Varianca e variancës është e barabartë. Pritshmëria matematikore dhe varianca e një ndryshoreje të rastësishme. Vetitë e pritshmërisë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme

Në atë të mëparshme, ne dhamë një numër formulash që na lejojnë të gjejmë karakteristikat numerike të funksioneve kur dihen ligjet e shpërndarjes së argumenteve. Megjithatë, në shumë raste, për të gjetur karakteristikat numerike të funksioneve, nuk është e nevojshme as të njihen ligjet e shpërndarjes së argumenteve, por mjafton të njihen vetëm disa nga karakteristikat numerike të tyre; në këtë rast, ne bëjmë pa asnjë ligj të shpërndarjes fare. Përcaktimi i karakteristikave numerike të funksioneve nga karakteristikat e dhëna numerike të argumenteve përdoret gjerësisht në teorinë e probabilitetit dhe bën të mundur thjeshtimin e ndjeshëm të zgjidhjes së një numri problemesh. Në pjesën më të madhe, metoda të tilla të thjeshtuara lidhen me funksionet lineare; megjithatë, disa elementare funksionet jolineare pranoni gjithashtu një qasje të ngjashme.

Në të tashmen ne paraqesim një seri teoremash mbi karakteristikat numerike funksione, të cilat në tërësinë e tyre paraqesin një aparat shumë të thjeshtë për llogaritjen e këtyre karakteristikave, i zbatueshëm në një gamë të gjerë kushtesh.

1. Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje jo të rastësishme

Prona e deklaruar është mjaft e dukshme; mund të vërtetohet duke konsideruar një variabël jo të rastësishëm si një lloj të veçantë të një të rastësishme, me një vlerë të mundshme me një probabilitet prej një; atëherë sipas formulës së përgjithshme për pritshmërinë matematikore:

2. Shpërndarja e një ndryshoreje jo të rastësishme

Nese jo vlerë e rastësishme, pastaj

3. Heqja e një ndryshoreje jo të rastësishme përtej shenjës së pritshmërisë matematikore

, (10.2.1)

d.m.th., një vlerë jo e rastësishme mund të hiqet nga shenja e pritjes.

Dëshmi.

a) Për sasitë e ndërprera

b) Për sasi të vazhdueshme

4. Heqja e një vlere jo të rastësishme për shenjën e variancës dhe devijimit standard

Nëse është një ndryshore jo e rastësishme dhe është e rastësishme, atëherë

, (10.2.2)

d.m.th., një vlerë jo e rastësishme mund të hiqet nga shenja e dispersionit duke e katroruar atë.

Dëshmi. Sipas përkufizimit të variancës

Pasoja

d.m.th., një vlerë jo e rastësishme mund të hiqet nga shenja e devijimit standard me vlerën e saj absolute. Vërtetimin e marrim duke nxjerrë rrënjën katrore nga formula (10.2.2) dhe duke marrë parasysh se r.s.c. është një vlerë në thelb pozitive.

5. Pritshmëria matematikore e shumës së ndryshoreve të rastit

Le të vërtetojmë se për çdo dy ndryshore të rastësishme dhe

dmth pritshmëria matematikore e shumës së dy ndryshoreve të rastësishme është e barabartë me shumën e pritjeve të tyre matematikore.

Kjo veti njihet si teorema e mbledhjes së pritjeve.

Dëshmi.

a) Le të jetë një sistem variablash të rastësishëm të ndërprerë. E zbatueshme për shumën e ndryshoreve të rastit formulë e përgjithshme(10.1.6) për pritjen e një funksioni të dy argumenteve:

Ho nuk është asgjë më shumë se probabiliteti total që vlera do të marrë vlerën:

;

Rrjedhimisht,

Në mënyrë të ngjashme, ne do ta vërtetojmë atë

dhe teorema vërtetohet.

b) Le të jetë një sistem variablash të rastësishëm të vazhdueshëm. Sipas formulës (10.1.7)

. (10.2.4)

Ne transformojmë të parin nga integralet (10.2.4):

;

po ashtu

dhe teorema vërtetohet.

Duhet të theksohet posaçërisht se teorema e mbledhjes së pritjeve matematikore është e vlefshme për çdo ndryshore të rastësishme - të varur dhe të pavarur.

Teorema e mbledhjes së pritjeve mund të përgjithësohet në një numër arbitrar termash:

, (10.2.5)

d.m.th pritshmëria matematikore e shumës së disa variablave të rastit është e barabartë me shumën e pritjeve të tyre matematikore.

Për ta vërtetuar atë, mjafton të zbatohet metoda e induksionit të plotë.

6. Pritshmëria matematikore funksion linear

Konsideroni një funksion linear të disa argumenteve të rastit:

ku janë koeficientët jo të rastësishëm. Le ta vërtetojmë këtë

, (10.2.6)

d.m.th., mesatarja e një funksioni linear është e barabartë me të njëjtin funksion linear të mesatares së argumenteve.

Dëshmi. Duke përdorur teoremën e mbledhjes m.o. dhe rregulli i nxjerrjes së një ndryshoreje jo të rastësishme nga shenja e m. o., marrim:

7. Dispepkjo shumë e variablave të rastit

Varianca e shumës së dy ndryshoreve të rastit është e barabartë me shumën e variancave të tyre plus dyfishin e momentit të korrelacionit:

Dëshmi. Shënoni

Sipas teoremës së mbledhjes së pritjeve matematikore

Le të kalojmë nga ndryshoret e rastësishme në variablat përkatëse në qendër. Duke zbritur term për term nga barazia (10.2.8) barazia (10.2.9), kemi:

Sipas përkufizimit të variancës

Q.E.D.

Formula (10.2.7) për variancën e shumës mund të përgjithësohet në çdo numër termash:

, (10.2.10)

ku është momenti i korrelacionit të vlerave, shenja nën shumë do të thotë që shuma vlen për të gjitha kombinimet e mundshme në çift të ndryshoreve të rastit .

Vërtetimi është i ngjashëm me atë të mëparshëm dhe rrjedh nga formula për katrorin e një polinomi.

Formula (10.2.10) mund të shkruhet në një formë tjetër:

, (10.2.11)

ku shuma e dyfishtë shtrihet në të gjithë elementët e matricës së korrelacionit të sistemit të sasive , që përmban si momente korrelacioni ashtu edhe varianca.

Nëse të gjitha variablat e rastësishme , të përfshira në sistem, janë të pakorreluara (d.m.th., në ), formula (10.2.10) merr formën:

, (10.2.12)

d.m.th., varianca e shumës së variablave të rastësishme të pakorreluara është e barabartë me shumën e variancave të termave.

Ky propozim njihet si teorema e shtimit të variancës.

8. Dispersioni i një funksioni linear

Konsideroni një funksion linear të disa ndryshoreve të rastit.

ku janë variablat jo të rastësishëm.

Le të vërtetojmë se dispersioni i këtij funksioni linear shprehet me formulën

, (10.2.13)

ku është momenti i korrelacionit të sasive , .

Dëshmi. Le të prezantojmë shënimin:

. (10.2.14)

Duke zbatuar formulën (10.2.10) për variancën e shumës në anën e djathtë të shprehjes (10.2.14) dhe duke marrë parasysh se , marrim:

ku është momenti i korrelacionit të sasive:

Le të llogarisim këtë moment. Ne kemi:

;

po ashtu

Duke e zëvendësuar këtë shprehje në (10.2.15), arrijmë në formulën (10.2.13).

Në rastin e veçantë kur të gjitha sasitë i pakorreluar, formula (10.2.13) merr formën:

, (10.2.16)

d.m.th., varianca e një funksioni linear të ndryshoreve të rastësishme të pakorreluara është e barabartë me shumën e produkteve të katrorëve të koeficientëve dhe variancave të argumenteve përkatëse.

9. Pritshmëria matematikore e prodhimit të ndryshoreve të rastit

Pritshmëria matematikore e produktit të dy ndryshoreve të rastësishme është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore plus momentin e korrelacionit:

Dëshmi. Ne do të vazhdojmë nga përkufizimi i momentit të korrelacionit:

Ne e transformojmë këtë shprehje duke përdorur vetitë e pritshmërisë matematikore:

e cila është padyshim ekuivalente me formulën (10.2.17).

Nëse variablat e rastësishëm janë të pakorreluara, atëherë formula (10.2.17) merr formën:

d.m.th., mesatarja e prodhimit të dy ndryshoreve të rastësishme të pakorreluara është e barabartë me produktin e mesatares së tyre.

Ky pohim njihet si teorema e shumëzimit të pritjeve.

Formula (10.2.17) nuk është gjë tjetër veçse një shprehje e momentit të dytë qendror të përzier të sistemit për sa i përket momentit të dytë fillestar të përzier dhe pritshmërive matematikore:

. (10.2.19)

Kjo shprehje përdoret shpesh në praktikë kur llogaritet momenti i korrelacionit në të njëjtën mënyrë që për një variabël të rastësishëm shpesh llogaritet varianca përmes momentit të dytë fillestar dhe pritshmërisë matematikore.

Teorema e shumëzimit të pritjes mund të përgjithësohet edhe në një numër arbitrar faktorësh, vetëm në këtë rast për zbatimin e saj nuk mjafton që sasitë të jenë të pakorreluara, por kërkohet që të zhduken edhe disa momente të përziera më të larta, numri i të cilëve varet nga numri i termave në produkt. Këto kushte sigurisht që plotësohen nëse variablat e rastësishëm të përfshira në produkt janë të pavarura. Në këtë rast

, (10.2.20)

dmth pritshmëria matematikore e produktit të variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore.

Ky propozim mund të vërtetohet lehtësisht me induksion të plotë.

10. Shpërndarja e prodhimit të ndryshoreve të rastësishme të pavarura

Le ta vërtetojmë këtë për variablat e pavarur

Dëshmi. Le të shënojmë. Sipas përkufizimit të variancës

Meqenëse sasitë janë të pavarura, dhe

Në variablat e pavarur gjithashtu i pavarur; Rrjedhimisht,

Por nuk ka asgjë tjetër përveç momentit të dytë fillestar të sasisë, dhe, për rrjedhojë, shprehet në terma të variancës:

;

po ashtu

Duke i zëvendësuar këto shprehje me formulën (10.2.22) dhe duke sjellë terma të ngjashëm, arrijmë në formulën (10.2.21).

Në rastin kur shumëzohen variablat e rastësishëm të përqendruar (vlera me pritshmëri matematikore të barabarta me zero), formula (10.2.21) merr formën:

, (10.2.23)

d.m.th., varianca e produktit të variablave të rastësishme me qendër të pavarur është e barabartë me produktin e variancave të tyre.

11. Momentet më të larta të shumës së ndryshoreve të rastit

Në disa raste është e nevojshme të llogariten momentet më të larta të shumës së variablave të rastësishëm të pavarur. Le të vërtetojmë disa marrëdhënie të lidhura.

1) Nëse sasitë janë të pavarura, atëherë

Dëshmi.

prej nga me teoremën e shumëzimit të pritjes

Por momenti i parë qendror për çdo sasi është zero; zhduken dy terma të mesëm dhe vërtetohet formula (10.2.24).

Lidhja (10.2.24) mund të përgjithësohet lehtësisht me induksion në një numër arbitrar termash të pavarur:

. (10.2.25)

2) Momenti i katërt qendror i shumës së dy ndryshoreve të rastësishme të pavarura shprehet me formulën

ku janë dispersionet e dhe .

Prova është saktësisht e njëjtë me atë të mëparshme.

Duke përdorur metodën e induksionit të plotë, është e lehtë të vërtetohet përgjithësimi i formulës (10.2.26) në një numër arbitrar termash të pavarur.

Përveç karakteristikave të pozicionit - vlera mesatare, tipike të një ndryshoreje të rastësishme - përdoren një numër karakteristikash, secila prej të cilave përshkruan një ose një pronë tjetër të shpërndarjes. Të ashtuquajturat momente përdoren më shpesh si karakteristika të tilla.

Koncepti i momentit përdoret gjerësisht në mekanikë për të përshkruar shpërndarjen e masave (momentet statike, momentet e inercisë, etj.). Pikërisht të njëjtat metoda përdoren në teorinë e probabilitetit për të përshkruar vetitë themelore të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme. Më shpesh, dy lloje momentesh përdoren në praktikë: fillestare dhe qendrore.

Momenti fillestar i rendit të katërt të një ndryshoreje të rastësishme të ndërprerë është shuma e formës:

. (5.7.1)

Natyrisht, ky përkufizim përkon me përcaktimin e momentit fillestar të rendit s në mekanikë, nëse masat janë të përqendruara në pikat në boshtin x.

Për një ndryshore të vazhdueshme të rastësishme X, momenti fillestar i rendit të parë është integrali

. (5.7.2)

Është e lehtë të shihet se karakteristika kryesore e pozicionit të paraqitur në n°-në e mëparshme - pritshmëria matematikore - nuk është asgjë më shumë se momenti i parë fillestar i ndryshores së rastit.

Duke përdorur shenjën e pritjes, ne mund të kombinojmë dy formula (5.7.1) dhe (5.7.2) në një. Në të vërtetë, formulat (5.7.1) dhe (5.7.2) janë plotësisht të ngjashme në strukturë me formulat (5.6.1) dhe (5.6.2), me ndryshimin se në vend të dhe ekzistojnë, përkatësisht, dhe . Prandaj, mund të shkruajmë një përkufizim të përgjithshëm të momentit fillestar të rendit -të, i cili është i vlefshëm si për sasitë e ndërprera ashtu edhe për ato të vazhdueshme:

, (5.7.3)

ato. Momenti fillestar i rendit të th të një ndryshoreje të rastësishme është pritshmëria matematikore e fuqisë th të kësaj ndryshoreje të rastit.

Para se të japim përkufizimin e momentit qendror, ne prezantojmë një koncept të ri të "ndryshores së rastit të përqendruar".

Le të ketë një ndryshore të rastësishme me pritshmëri matematikore. Ndryshorja e rastësishme e përqendruar që korrespondon me vlerën është devijimi i ndryshores së rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore:

Në vijim, ne do të biem dakord kudo që të caktojmë variablin e rastësishëm të përqendruar që korrespondon me variablin e dhënë të rastit me të njëjtën shkronjë me ikonën në krye.

Është e lehtë të verifikohet se pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme të përqendruar është e barabartë me zero. Në të vërtetë, për një sasi të ndërprerë

në mënyrë të ngjashme për një sasi të vazhdueshme.

Përqendrimi i një ndryshoreje të rastësishme, padyshim, është e barabartë me zhvendosjen e origjinës në pikën e mesme, "qendrore", abshisa e së cilës është e barabartë me pritshmërinë matematikore.

Momentet e një ndryshoreje të rastësishme të përqendruar quhen momente qendrore. Ato janë analoge me momentet rreth qendrës së gravitetit në mekanikë.

Kështu, momenti qendror i rendit s të një ndryshoreje të rastësishme është pritshmëria matematikore e fuqisë së th të ndryshores së rastësishme të përqendruar korresponduese:

, (5.7.6)

dhe për të vazhdueshme - integrale

. (5.7.8)

Në atë që vijon, në ato raste kur nuk ka dyshim se cilës ndryshore të rastësishme i përket një moment i caktuar, ne, për shkurtim, do të shkruajmë thjesht dhe .

Natyrisht, për çdo ndryshore të rastësishme, momenti qendror i rendit të parë është i barabartë me zero:

, (5.7.9)

meqenëse pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme të përqendruar është gjithmonë zero.

Le të nxjerrim marrëdhënie që lidhin momentet qendrore dhe fillestare të rendeve të ndryshme. Ne do të kryejmë derivimin vetëm për sasi të ndërprera; është e lehtë të verifikohet se ekzaktësisht të njëjtat marrëdhënie janë të vlefshme për sasitë e vazhdueshme, nëse shumat e fundme i zëvendësojmë me integrale dhe probabilitetet me elemente të probabilitetit.

Konsideroni pikën e dytë qendrore:

Në mënyrë të ngjashme, për momentin e tretë qendror marrim:

Shprehjet për etj. mund të merret në mënyrë të ngjashme.

Kështu, për momentet qendrore të çdo ndryshoreje të rastësishme, formulat janë të vlefshme:

(5.7.10)

Në përgjithësi, momentet mund të konsiderohen jo vetëm në lidhje me origjinën (momentet fillestare) ose pritshmërinë matematikore (momentet qendrore), por edhe në lidhje me një pikë arbitrare:

. (5.7.11)

Megjithatë, momentet qendrore kanë një avantazh mbi të gjithë të tjerët: momenti i parë qendror, siç e pamë, është gjithmonë i barabartë me zero, dhe momenti i dytë qendror pas tij, për këtë kornizë referimi, ka një vlerë minimale. Le ta vërtetojmë. Për një ndryshore të rastësishme të ndërprerë në , formula (5.7.11) ka formën:

. (5.7.12)

Le ta transformojmë këtë shprehje:

Natyrisht, kjo vlerë arrin minimumin e saj kur , d.m.th. kur merret momenti në lidhje me pikën .

Nga të gjitha momentet, momenti i parë fillestar (pritja) dhe momenti i dytë qendror përdoren më shpesh si karakteristika të një ndryshoreje të rastësishme.

Momenti i dytë qendror quhet varianca e ndryshores së rastit. Duke pasur parasysh rëndësinë ekstreme të kësaj karakteristike, ndër të tjera, ne prezantojmë një emërtim të veçantë për të:

Sipas përcaktimit të momentit qendror

, (5.7.13)

ato. varianca e një ndryshoreje të rastësishme X është pritshmëria matematikore e katrorit të ndryshores me qendër përkatëse.

Duke zëvendësuar në shprehjen (5.7.13) vlerën e shprehjes së saj, kemi gjithashtu:

. (5.7.14)

Për të llogaritur drejtpërdrejt variancën, përdoren formulat e mëposhtme:

, (5.7.15)

(5.7.16)

Përkatësisht për sasitë e ndërprera dhe të vazhdueshme.

Shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme është një karakteristikë e shpërndarjes, shpërndarja e vlerave të një ndryshoreje të rastësishme rreth pritshmërisë së saj matematikore. Vetë fjala "dispersion" do të thotë "shpërndarje".

Nëse i drejtohemi interpretimit mekanik të shpërndarjes, atëherë dispersioni nuk është gjë tjetër veçse momenti i inercisë së një shpërndarjeje të caktuar të masës në raport me qendrën e gravitetit (pritshmëria matematikore).

Varianca e një ndryshoreje të rastësishme ka dimensionin e katrorit të ndryshores së rastit; Për një karakterizim vizual të shpërndarjes, është më e përshtatshme të përdoret një sasi, dimensioni i së cilës përkon me atë të një ndryshoreje të rastësishme. Për ta bërë këtë, merrni rrënjën katrore të dispersionit. Vlera që rezulton quhet devijimi standard (përndryshe - "standardi") i një ndryshoreje të rastësishme. Devijimi mesatar katror do të shënohet me:

, (5.7.17)

Për të thjeshtuar regjistrimet, ne shpesh do të përdorim shënimin e shkurtuar për devijimin standard dhe variancën: dhe . Në rastin kur nuk ka dyshim se cilës variabël të rastësishëm i referohen këto karakteristika, ndonjëherë do të heqim shenjën x y dhe do të shkruajmë thjesht dhe . Fjalët "devijim standard" ndonjëherë do të shkurtohen me shkronjat s.c.o.

Në praktikë, shpesh përdoret një formulë që shpreh variancën e një ndryshoreje të rastësishme në terma të momentit të dytë fillestar të saj (e dyta e formulave (5.7.10)). Në shënimin e ri, do të duket si kjo:

Pritja dhe varianca matematikore (ose devijimi standard) janë karakteristikat më të përdorura të një ndryshoreje të rastësishme. Ato karakterizojnë tiparet më të rëndësishme të shpërndarjes: pozicionin e saj dhe shkallën e shpërndarjes. Për një përshkrim më të detajuar të shpërndarjes, përdoren momente të rendit më të lartë.

Momenti i tretë qendror shërben për të karakterizuar asimetrinë (ose "lakueshmërinë") e shpërndarjes. Nëse shpërndarja është simetrike në lidhje me pritjen matematikore (ose, në interpretimin mekanik, masa shpërndahet në mënyrë simetrike në lidhje me qendrën e gravitetit), atëherë të gjitha momentet e rendit tek (nëse ekzistojnë) janë të barabarta me zero. Në të vërtetë, në total

me një shpërndarje që është simetrike në lidhje me ligjin e shpërndarjes dhe tek, çdo term pozitiv korrespondon me një term negativ të barabartë me të në vlerë absolute, kështu që e gjithë shuma është e barabartë me zero. E njëjta gjë është padyshim e vërtetë për integralin

e cila është e barabartë me zero si një integral në kufijtë simetrik të një funksioni tek.

Prandaj, është e natyrshme të zgjidhet ndonjë nga momentet tek si karakteristikë e asimetrisë së shpërndarjes. Më e thjeshta prej tyre është momenti i tretë qendror. Ka dimensionin e një kubi të një ndryshoreje të rastësishme: për të marrë një karakteristikë pa dimension, momenti i tretë ndahet me kubin e devijimit standard. Vlera që rezulton quhet "koeficienti i asimetrisë" ose thjesht "asimetri"; do ta etiketojmë:

Në fig. 5.7.1 tregon dy shpërndarje të shtrembëruara; njëri prej tyre (kurba I) ka një asimetri pozitive (); tjetra (kurba II) është negative ().

Momenti i katërt qendror shërben për të karakterizuar të ashtuquajturën “ftohtësi”, d.m.th. Shpërndarja me majë ose me majë të sheshtë. Këto veti të shpërndarjes përshkruhen duke përdorur të ashtuquajturën kurtosis. Kurtoza e një ndryshoreje të rastësishme është sasia

Numri 3 i zbritet raportit sepse për një ligj shumë të rëndësishëm dhe të përhapur në natyrë të shpërndarjes normale (të cilin do ta njohim në detaje më vonë). Kështu, për një shpërndarje normale, kurtoza është zero; kthesat që janë më të theksuara se kthesat normale kanë një kurtozë pozitive; kthesat janë më të sheshta - nga kurtoza negative.

Në fig. 5.7.2 paraqet: shpërndarje normale(kurba I), shpërndarja me kurtozë pozitive (kurba II) dhe shpërndarja me kurtozë negative (kurba III).

Përveç momenteve fillestare dhe qendrore të diskutuara më sipër, në praktikë ndonjëherë përdoren të ashtuquajturat momente absolute (fillestare dhe qendrore), të përcaktuara nga formulat.

Natyrisht, momentet absolute të urdhrave madje përkojnë me momentet e zakonshme.

Nga momentet absolute, më shpesh përdoret momenti i parë absolut qendror.

, (5.7.21)

quhet devijimi mesatar aritmetik. Së bashku me dispersionin dhe devijimin standard, devijimi mesatar aritmetik nganjëherë përdoret si një karakteristikë e shpërndarjes.

Pritja matematikore, mënyra, mediana, momentet fillestare dhe qendrore dhe, në veçanti, varianca, devijimi standard, anshmëria dhe kurtoza janë karakteristikat numerike më të përdorura të variablave të rastit. Në shumë probleme praktike, një karakterizim i plotë i një ndryshoreje të rastësishme - ligji i shpërndarjes - ose nuk nevojitet ose nuk mund të merret. Në këto raste, ato kufizohen në një përshkrim të përafërt të një ndryshoreje të rastësishme me ndihmë. Karakteristikat numerike, secila prej të cilave shpreh disa veti karakteristike të shpërndarjes.

Shumë shpesh, karakteristikat numerike përdoren për të përafruar zëvendësimin e një shpërndarjeje me një tjetër, dhe zakonisht ata përpiqen ta bëjnë këtë zëvendësim në mënyrë që disa pika të rëndësishme të mbeten të pandryshuara.

Shembulli 1. Është kryer një eksperiment, si rezultat i të cilit mund të shfaqet ose jo një ngjarje, probabiliteti i së cilës është i barabartë me . Konsiderohet një ndryshore e rastësishme - numri i shfaqjeve të një ngjarjeje (ndryshore karakteristike e rastësishme e një ngjarjeje). Përcaktoni karakteristikat e tij: pritshmëria matematikore, varianca, devijimi standard.

Zgjidhje. Seria e shpërndarjes së sasisë ka formën:

ku është probabiliteti që ngjarja të mos ndodhë.

Sipas formulës (5.6.1) gjejmë pritshmërinë matematikore të vlerës:

Dispersioni i vlerës përcaktohet me formulën (5.7.15):

(Ftojmë lexuesin të marrë të njëjtin rezultat duke shprehur variancën në termat e momentit të dytë fillestar).

Shembulli 2. Janë gjuajtur tre të shtëna të pavarura në objektiv; probabiliteti për të goditur çdo goditje është 0.4. ndryshorja e rastësishme është numri i goditjeve. Përcaktoni karakteristikat e sasisë - pritshmëria matematikore, dispersioni, s.c.o., asimetria.

Zgjidhje. Seria e shpërndarjes së sasisë ka formën:

Ne llogarisim karakteristikat numerike të sasisë:

Vini re se të njëjtat karakteristika mund të llogariten shumë më thjesht duke përdorur teorema mbi karakteristikat numerike të funksioneve (shih Kapitullin 10).

Dispersioni i një ndryshoreje të rastësishme është një masë e përhapjes së vlerave të kësaj ndryshore. Varianca e vogël do të thotë që vlerat janë të grumbulluara afër njëra-tjetrës. Një variancë e madhe tregon një shpërndarje të fortë vlerash. Koncepti i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme përdoret në statistika. Për shembull, nëse krahasoni variancën e vlerave të dy sasive (siç janë rezultatet e vëzhgimeve të pacientëve meshkuj dhe femra), mund të testoni rëndësinë e disa ndryshoreve. Varianca përdoret gjithashtu kur ndërtoni modele statistikore, pasi varianca e vogël mund të jetë një shenjë se po i përshtatni vlerat.

Hapat

Shembull i llogaritjes së variancës

Regjistroni vlerat e mostrës. Në shumicën e rasteve, vetëm mostrat e popullatave të caktuara janë në dispozicion të statisticienëve. Për shembull, si rregull, statisticienët nuk analizojnë koston e mbajtjes së popullsisë së të gjitha makinave në Rusi - ata analizojnë një mostër të rastësishme prej disa mijëra makinash. Një mostër e tillë do të ndihmojë në përcaktimin e kostos mesatare për makinë, por ka shumë të ngjarë, vlera që rezulton do të jetë larg nga ajo reale.

Për shembull, le të analizojmë numrin e simiteve të shitura në një kafene në 6 ditë, të marra në mënyrë të rastësishme. Mostra ka formën e mëposhtme: 17, 15, 23, 7, 9, 13. Ky është një mostër, jo një popullatë, sepse nuk kemi të dhëna për simitet e shitura për çdo ditë që kafja është e hapur.
Nëse ju jepet një popullatë dhe jo një mostër vlerash, kaloni në seksionin tjetër.

Shkruani formulën për llogaritjen e variancës së mostrës. Dispersioni është një masë e përhapjes së vlerave të një sasie. Sa më afër zeros të jetë vlera e dispersionit, aq më afër grupohen vlerat së bashku. Kur punoni me një mostër vlerash, përdorni formulën e mëposhtme për të llogaritur variancën:

Llogaritni mesataren mostrat. Ajo shënohet si x̅. Mesatarja e mostrës llogaritet si një mesatare aritmetike normale: mblidhni të gjitha vlerat në mostër dhe më pas ndani rezultatin me numrin e vlerave në mostër.
- Në shembullin tonë, shtoni vlerat në mostër: 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
  Tani ndajeni rezultatin me numrin e vlerave në mostër (në shembullin tonë ka 6): 84 ÷ 6 = 14.
  Mesatarja e mostrës x̅ = 14.
- Mesatarja e mostrës është rëndësi qendrore, rreth të cilit shpërndahen vlerat në kampion. Nëse vlerat në kampion grumbullohen rreth kampionit mesatar, atëherë varianca është e vogël; përndryshe, shpërndarja është e madhe.
Zbrisni mesataren e mostrës nga çdo vlerë në mostër. Tani llogarisni diferencën x i (\displaystyle x_(i))- x̅, ku x i (\displaystyle x_(i))- çdo vlerë në mostër. Çdo rezultat i marrë tregon shkallën në të cilën një vlerë e caktuar devijon nga mesatarja e mostrës, domethënë sa larg është kjo vlerë nga mesatarja e mostrës.

Siç u përmend më lart, shuma e dallimeve x i (\displaystyle x_(i))- x̅ duhet të jetë e barabartë me zero. Kjo do të thotë që varianca mesatare është gjithmonë zero, gjë që nuk jep asnjë ide për përhapjen e vlerave të një sasie. Për të zgjidhur këtë problem, katrore çdo ndryshim x i (\displaystyle x_(i))- x̅. Kjo do të rezultojë që të merrni vetëm numra pozitivë të cilët, kur mblidhen së bashku, nuk do të mblidhen kurrë deri në 0.

Llogaritni shumën e diferencave në katror. Domethënë, gjeni pjesën e formulës që është shkruar kështu: ∑[( x i (\displaystyle x_(i))-x̅) 2 (\displaystyle ^(2))]. Këtu shenja Σ nënkupton shumën e diferencave në katror për secilën vlerë x i (\displaystyle x_(i)) në mostër. Ju keni gjetur tashmë dallimet në katror (x i (\displaystyle (x_(i))-x̅) 2 (\displaystyle ^(2)) për çdo vlerë x i (\displaystyle x_(i)) në mostër; tani thjesht shtoni këto katrorë.
- Në shembullin tonë: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166 .
Pjestoni rezultatin me n - 1, ku n është numri i vlerave në mostër. Disa kohë më parë, për të llogaritur variancën e mostrës, statisticienët thjesht e ndanë rezultatin me n; në këtë rast, ju do të merrni mesataren e variancës në katror, e cila është ideale për të përshkruar variancën e një kampioni të caktuar. Por mbani mend se çdo mostër është vetëm një pjesë e vogël. popullatë vlerat. Nëse merrni një mostër të ndryshme dhe bëni të njëjtat llogaritje, do të merrni një rezultat të ndryshëm. Siç rezulton, pjesëtimi me n - 1 (në vend të vetëm n) jep një vlerësim më të mirë të variancës së popullsisë, që është ajo që ju kërkoni. Pjesëtimi me n - 1 është bërë i zakonshëm, kështu që përfshihet në formulën për llogaritjen e variancës së mostrës.

Dallimi midis variancës dhe devijimit standard. Vini re se formula përmban një eksponent, kështu që varianca matet në njësi katrore të vlerës së analizuar. Ndonjëherë një vlerë e tillë është mjaft e vështirë për t'u përdorur; në raste të tilla, përdorni devijimin standard, i cili është i barabartë me rrenja katrore nga dispersioni. Kjo është arsyeja pse varianca e mostrës shënohet si s 2 (\displaystyle s^(2)), dhe devijimi standard i mostrës si s (\displaystyle s).
- Në shembullin tonë, devijimi standard i mostrës është: s = √33.2 = 5.76.
Llogaritja e variancës së popullsisë
1. Analizoni disa grupe vlerash. Seti përfshin të gjitha vlerat e sasisë në shqyrtim. Për shembull, nëse po studioni moshën e banorëve të rajonit të Leningradit, atëherë popullsia përfshin moshën e të gjithë banorëve të këtij rajoni. Në rastin e punës me një agregat, rekomandohet të krijoni një tabelë dhe të vendosni vlerat e agregatit në të. Merrni parasysh shembullin e mëposhtëm:
  
  Shkruani formulën për llogaritjen e variancës së popullsisë. Meqenëse popullsia përfshin të gjitha vlerat e një sasie të caktuar, formula e mëposhtme ju lejon të merrni vlerën e saktë të variancës së popullsisë. Për të dalluar variancën e popullsisë nga varianca e mostrës (e cila është vetëm një vlerësim), statisticienët përdorin variabla të ndryshëm:
  
  Llogaritni mesataren e popullsisë. Kur punoni me popullatën e përgjithshme, vlera mesatare e saj shënohet si μ (mu). Mesatarja e popullsisë llogaritet si mesatarja e zakonshme aritmetike: mblidhni të gjitha vlerat në popullatë dhe më pas ndani rezultatin me numrin e vlerave në popullatë.
  
  Zbrisni mesataren e popullsisë nga çdo vlerë në popullatë. Sa më afër zeros të jetë vlera e diferencës, aq më afër mesatares së popullsisë është vlera e veçantë. Gjeni ndryshimin midis secilës vlerë në popullatë dhe mesatares së saj, dhe do të merrni një vështrim të parë në shpërndarjen e vlerave.
  
  Sheshoni çdo rezultat që merrni. Vlerat e diferencës do të jenë pozitive dhe negative; nëse i vendosni këto vlera në një vijë numerike, atëherë ato do të shtrihen në të djathtë dhe në të majtë të mesatares së popullsisë. Kjo nuk është e mirë për llogaritjen e variancës, pasi numrat pozitivë dhe negativë anulojnë njëri-tjetrin. Prandaj, katrore çdo ndryshim për të marrë numra ekskluzivisht pozitiv.
  
  Gjeni mesataren e rezultateve të marra. Ju keni gjetur se sa larg është çdo vlerë në popullatë nga mesatarja e saj. Gjeni mesataren e shumës së diferencave në katror duke e pjesëtuar me numrin e vlerave në popullatë.
2. Përputhni këtë zgjidhje me formulën. Nëse nuk e kuptoni se si zgjidhja e mësipërme lidhet me formulën, më poshtë është një shpjegim i zgjidhjes:
  - Ne gjejmë ndryshimin midis secilës vlerë dhe mesatares së popullsisë, dhe më pas vendosim në katror çdo ndryshim, domethënë marrim ( x 1 (\displaystyle x_(1)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)), (x 2 (\displaystyle x_(2)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)) dhe kështu me radhë derisa ( x n (\displaystyle x_(n)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)), ku x n (\displaystyle x_(n))është vlera e fundit në popullatë.
  - Për të llogaritur vlerën mesatare të rezultateve të marra, duhet të gjeni shumën e tyre dhe ta ndani atë me n: (( x 1 (\displaystyle x_(1)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)) + (x 2 (\displaystyle x_(2)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)) + ... + (x n (\displaystyle x_(n)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2))) / n
  - Tani le të shkruajmë shpjegimin e mësipërm duke përdorur variablat: (∑( x i (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2))) / n dhe merrni një formulë për llogaritjen e variancës së popullsisë.

Përkufizimi.Shpërndarja (shpërndarja) Ndryshorja diskrete e rastësishme quhet pritshmëria matematikore e devijimit në katror të ndryshores së rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore:

Shembull. Për shembullin e mësipërm, ne gjejmë

Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme është:

Vlerat e mundshme të devijimit në katror:

; ;

Dispersioni është:

Megjithatë, në praktikë, kjo metodë e llogaritjes së variancës është e papërshtatshme, sepse çon në llogaritje të rënda për një numër të madh vlerash të një ndryshoreje të rastësishme. Prandaj, përdoret një metodë tjetër.

Llogaritja e variancës

Teorema. Varianca është e barabartë me diferencën midis pritjes matematikore të katrorit të ndryshores së rastësishme X dhe katrorit të pritjes së saj matematikore:

Dëshmi. Duke marrë parasysh faktin se pritshmëria matematikore dhe katrori i pritjes matematikore janë vlera konstante, mund të shkruajmë:

Le të zbatojmë këtë formulë në shembullin e mësipërm:

X
x2
fq	0,0778	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,0102

Vetitë e dispersionit

1) Dispersion vlerë konstante barazohet me zero:

2) Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e dispersionit duke e kuadruar atë:

3) Varianca e shumës së dy variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me shumën e variancave të këtyre variablave:

4) Varianca e diferencës së dy variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me shumën e variancave të këtyre variablave:

Vlefshmëria e kësaj barazie rrjedh nga vetia 2.

Teorema. Varianca e numrit të dukurive të ngjarjes A në n prova të pavarura, në secilën prej të cilave probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes është konstant, është i barabartë me produktin e numrit të provave nga probabiliteti i ndodhjes dhe probabiliteti i ngjarjes. nuk ndodh në çdo gjykim:

Shembull. Fabrika prodhon 96% të produkteve të klasës së parë dhe 4% të produkteve të klasës së dytë. 1000 artikuj janë zgjedhur në mënyrë të rastësishme. Le X- numri i produkteve të klasës së parë në këtë mostër. Gjeni ligjin e shpërndarjes, pritshmërinë matematikore dhe variancën e një ndryshoreje të rastësishme.

Kështu, ligji i shpërndarjes mund të konsiderohet binom.

Shembull. Gjeni variancën e një ndryshoreje të rastësishme diskrete X– numri i dukurive të ngjarjes POR në dy gjykime të pavarura, nëse probabilitetet e ndodhjes së kësaj ngjarje në çdo gjykim janë të barabarta dhe dihet se

Sepse vlerë e rastësishme X shpërndahet sipas ligjit binomial, pra

Shembull. Testet e pavarura kryhen me të njëjtën probabilitet të ndodhjes së ngjarjes POR në çdo provë. Gjeni probabilitetin që të ndodhë një ngjarje POR nëse varianca e numrit të dukurive të ngjarjes në tri prova të pavarura është 0.63.

Sipas formulës së dispersionit të ligjit binomial, marrim:

;

Shembull. Një pajisje e përbërë nga katër pajisje që funksionojnë në mënyrë të pavarur është duke u testuar. Probabilitetet e dështimit të secilës prej pajisjeve janë përkatësisht të barabarta ; ; . Gjeni pritshmërinë matematikore dhe variancën e numrit të pajisjeve të dështuara.

Duke marrë numrin e pajisjeve të dështuara si një ndryshore të rastësishme, shohim se kjo ndryshore e rastësishme mund të marrë vlerat 0, 1, 2, 3 ose 4.

Për të hartuar një ligj të shpërndarjes për këtë ndryshore të rastësishme, është e nevojshme të përcaktohen probabilitetet përkatëse. Le të pranojmë.

1) Asnjë pajisje e vetme nuk dështoi:

2) Një nga pajisjet dështoi.

dispersion (shpërndarja) e një ndryshoreje të rastësishme është pritshmëria matematikore e devijimit në katror të një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore:

Për të llogaritur variancën, mund të përdorni një formulë pak të modifikuar

sepse M(X), 2 dhe
janë vlera konstante. Në këtë mënyrë,

4.2.2. Vetitë e dispersionit

Prona 1. Dispersioni i një vlere konstante është zero. Në të vërtetë, sipas përkufizimit

Prona 2. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e dispersionit duke e kuadruar atë.

Dëshmi

Në qendër një ndryshore e rastësishme është devijimi i një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore:

Vlera e përqendruar ka dy veti që janë të përshtatshme për transformim:

Prona 3. Nëse ndryshoret e rastësishme X dhe Y e pavarur, atëherë

Dëshmi. Shënoni
. Pastaj.

Në termin e dytë, për shkak të pavarësisë së ndryshoreve të rastësishme dhe vetive të variablave të rastit të përqendruar

Shembulli 4.5. Nese nje a dhe b janë konstante, atëherë D (aX+b)= D(aX)+D(b)=
.

4.2.3. Devijimi standard

Dispersioni, si karakteristikë e përhapjes së një ndryshoreje të rastësishme, ka një pengesë. Nëse, për shembull, X– gabimi i matjes ka dimensionin MM, atëherë varianca ka dimensionin
. Prandaj, shpesh preferohet të përdoret një karakteristikë tjetër e shpërndarjes - devijimi standard , e cila është e barabartë me rrënjën katrore të variancës

Devijimi standard ka të njëjtin dimension me vetë variablin e rastësishëm.

Shembulli 4.6. Varianca e numrit të ndodhjes së një ngjarjeje në skemën e provave të pavarura

Prodhuar n provat e pavarura dhe probabiliteti që një ngjarje të ndodhë në çdo provë është R. Ne shprehim, si më parë, numrin e ndodhjes së ngjarjes X përmes numrit të ndodhjes së ngjarjes në eksperimentet individuale:

Meqenëse eksperimentet janë të pavarura, variablat e rastësishëm që lidhen me eksperimentet të pavarur. Dhe për shkak të pavarësisë ne kemi

Por secila prej variablave të rastit ka një ligj shpërndarjeje (shembulli 3.2)

dhe
(shembulli 4.4). Prandaj, sipas përkufizimit të variancës:

ku q=1- fq.

Si rezultat, ne kemi
,

Devijimi standard i numrit të dukurive të një ngjarjeje në n eksperimente të pavarura
.

4.3. Momentet e ndryshoreve të rastit

Përveç atyre të konsideruara tashmë, variablat e rastësishëm kanë shumë karakteristika të tjera numerike.

Momenti i fillimit k X (
) quhet pritshmëri matematikore k fuqia e kësaj ndryshoreje të rastësishme.

Momenti qendror k Variabla e rastësishme e rendit të thtë X quhet pritshmëri k fuqia e sasisë përkatëse të përqendruar.

Është e lehtë të shihet se momenti qendror i rendit të parë është gjithmonë i barabartë me zero, momenti qendror i rendit të dytë është i barabartë me dispersionin, pasi .

Momenti qendror i rendit të tretë jep një ide të asimetrisë së shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme. Momentet e rendit më të lartë se i dyti përdoren relativisht rrallë, kështu që ne do të kufizohemi vetëm në konceptet e tyre.

4.4. Shembuj të gjetjes së ligjeve të shpërndarjes

Shqyrtoni shembuj të gjetjes së ligjeve të shpërndarjes së ndryshoreve të rastësishme dhe karakteristikave të tyre numerike.

Shembulli 4.7.

Përpiloni ligjin e shpërndarjes për numrin e goditjeve në objektiv me tre të shtëna në objektiv, nëse probabiliteti për të goditur me çdo goditje është 0,4. Gjeni funksionin integral F(X) për shpërndarjen rezultuese të një ndryshoreje të rastësishme diskrete X dhe vizatoni grafikun e tij. Gjeni pritshmërinë matematikore M(X) , dispersion D(X) dhe devijimi standard
(X) ndryshore e rastësishme X.

Zgjidhje

1) Ndryshore diskrete e rastësishme X- numri i goditjeve në objektiv me tre të shtëna - mund të marrë katër vlera: 0, 1, 2, 3 . Probabilitetin që ajo të pranojë secilën prej tyre, e gjejmë me formulën e Bernoulli për: n=3,fq=0,4,q=1- fq=0.6 dhe m=0, 1, 2, 3:

Merrni probabilitetet e vlerave të mundshme X:;

Le të hartojmë ligjin e dëshiruar të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme X:

Kontrolli: 0,216+0,432+0,288+0,064=1.

Le të ndërtojmë një poligon të shpërndarjes të ndryshores së rastësishme të fituar X. Për ta bërë këtë, në një sistem koordinativ drejtkëndor, shënoni pikat (0; 0.216), (1; 0.432), (2; 0.288), (3; 0.064). Le t'i lidhim këto pika me segmente vijash, vija e thyer që rezulton është poligoni i dëshiruar i shpërndarjes (Fig. 4.1).

2) Nëse x 0, atëherë F(X)=0. Në të vërtetë, për vlerat më të vogla se zero, vlera X nuk pranon. Prandaj, për të gjithë X0, duke përdorur përkufizimin F(X), marrim F(X)=P(X< x) =0 (si probabiliteti i një ngjarjeje të pamundur).

Nëse 0 , pastaj F(X) =0,216. Në të vërtetë, në këtë rast F(X)=P(X< x) = =P(- < X 0)+ P(0< X< x) =0,216+0=0,216.

Nëse marrim, për shembull, X=0.2, atëherë F(0,2)=P(X<0,2) . Por probabiliteti i një ngjarjeje X<0,2 равна 0,216, так как случайная величинаX vetëm në një rast merr një vlerë më të vogël se 0.2, domethënë 0 me një probabilitet prej 0.216.

Nëse 1 , pastaj

Vërtet, X mund të marrë vlerën 0 me një probabilitet prej 0,216 dhe vlerën 1 me një probabilitet prej 0,432; prandaj, një nga këto vlera, pavarësisht se cila, X mund të pranojë (sipas teoremës së mbledhjes së probabiliteteve të ngjarjeve të papajtueshme) me një probabilitet prej 0,648.

Nëse 2 , pastaj, duke argumentuar në mënyrë të ngjashme, marrim F(X)=0,216+0,432 + + 0,288=0,936. Në të vërtetë, le, për shembull, X=3. Pastaj F(3)=P(X<3) shpreh probabilitetin e një ngjarjeje X<3 – стрелок сделает меньше трех попаданий, т.е. ноль, один или два. Применяя теорему сложения вероятностей, получим указанное значение функцииF(X).

Nese nje x> 3, atëherë F(X)=0,216+0,432+0,288+0,064=1. Në të vërtetë, ngjarja X
është i besueshëm dhe probabiliteti i tij është i barabartë me një, dhe X>3 - e pamundur. Duke pasur parasysh se

F(X)=P(X< x) =P(X 3) + P(3< X< x) , marrim rezultatin e treguar.

Pra, fitohet funksioni i dëshiruar i shpërndarjes integrale të ndryshores së rastësishme X:

F(x) =

grafiku i të cilit është paraqitur në Fig. 4.2.

3) Pritja matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskrete është e barabartë me shumën e produkteve të të gjitha vlerave të mundshme X mbi probabilitetet e tyre:

M(X)=0=1,2.

Kjo është, mesatarisht, ka një goditje në objektiv me tre të shtëna.

Varianca mund të llogaritet nga përkufizimi i variancës D(X)= M(X- M(X)) ose përdorni formulën D(X)= M(X
, e cila të çon te qëllimi më shpejt.

Le të shkruajmë ligjin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme X :

Gjeni pritshmërinë matematikore për X:

M(X ) = 04
= 2,16.

Le të llogarisim variancën e dëshiruar:

D(X) = M(X ) – (M(X)) = 2,16 – (1,2)= 0,72.

Devijimi mesatar katror gjendet me formulën

(X) =
= 0,848.

Intervali ( M- ; M+ ) = (1.2-0.85; 1.2+0.85) = (0.35; 2.05) - intervali i vlerave më të mundshme të ndryshores së rastësishme X, vlerat 1 dhe 2 bien në të.

Shembulli 4.8.

Është dhënë funksioni i shpërndarjes diferenciale (funksioni i densitetit) i një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X:

f(x) =

1) Përcaktoni një parametër konstant a.

2) Gjeni funksionin integral F(x) .

3) Paraqitni grafikët e funksionit f(x) dhe F(x) .

4) Gjeni dy mënyra të probabiliteteve P(0.5< X 1,5) dhe P(1,5< X<3,5) .

5). Gjeni pritshmërinë matematikore M(X), dispersion D(X) dhe devijimi standard
ndryshore e rastësishme X.

Zgjidhje

1) Funksioni diferencial sipas vetive f(x) duhet të plotësojë kushtin
.

Le të llogarisim këtë integral të papërshtatshëm për funksionin e dhënë f(x) :

Duke e zëvendësuar këtë rezultat në anën e majtë të barazisë, marrim atë a=1. Në gjendje për f(x) ndryshoni parametrin a në 1:

2) Për të gjetur F(x) përdorni formulën

Nëse x
, pastaj
Rrjedhimisht,

Nëse 1
pastaj

Nëse x>2 atëherë

Pra, funksioni integral i dëshiruar F(x) duket si:

3) Le të ndërtojmë grafikët e funksioneve f(x) dhe F(x) (fig. 4.3 dhe 4.4).

4) Probabiliteti i goditjes së një ndryshoreje të rastësishme në një interval të caktuar (a,b) llogaritur me formulë
, nëse funksioni është i njohur f(x), dhe sipas formulës P(a < X < b) = F(b) – F(a), nëse funksioni dihet F(x).

Le të gjejmë
duke përdorur dy formula dhe krahasoni rezultatet. Sipas kushteve a=0.5;b=1,5; funksionin f(X) specifikuar në paragrafin 1). Prandaj, probabiliteti i dëshiruar sipas formulës është:

I njëjti probabilitet mund të llogaritet me formulën b) nëpërmjet rritjes së përftuar në paragrafin 2). funksion integral F(x) në këtë interval:

Sepse F(0,5)=0.

Në mënyrë të ngjashme, ne gjejmë

sepse F(3,5)=1.

5) Për të gjetur pritshmërinë matematikore M(X) përdorni formulën
Funksioni f(x) dhënë në vendimin e paragrafit 1), është e barabartë me zero jashtë intervalit (1,2]: