Pabarazitë algjebrike ose sistemet e tyre me koeficientë racionalë, zgjidhjet e të cilave kërkohen në numra integralë ose të plotë. Si rregull, numri i të panjohurave në ekuacionet Diofantine është më i madh. Kështu, ato njihen edhe si pabarazi të pacaktuara. Në matematikën moderne, koncepti i mësipërm zbatohet për ekuacionet algjebrike, zgjidhjet e të cilave kërkohen në numra të plotë algjebrikë të një farë shtrirjeje të fushës së ndryshoreve Q-racionale, në fushën e ndryshoreve p-adike, etj.

Origjina e këtyre pabarazive

Studimi i ekuacioneve Diofantine është në kufirin midis teorisë së numrave dhe gjeometrisë algjebrike. Gjetja e zgjidhjeve në variabla me numër të plotë është një nga problemet më të vjetra matematikore. Tashmë në fillim të mijëvjeçarit të dytë para Krishtit. babilonasit e lashtë arritën të zgjidhnin sisteme ekuacionesh me dy të panjohura. Kjo degë e matematikës shumica lulëzoi në Greqia e lashte. Aritmetika e Diofantit (rreth shekulli III pas Krishtit) është një burim domethënës dhe kryesor që përmban lloje dhe sisteme të ndryshme ekuacionesh.

Në këtë libër, Diofanti parashikoi një sërë metodash për studimin e pabarazive të shkallës së dytë dhe të tretë, të cilat u zhvilluan plotësisht në shekullin e 19-të. Krijimi i teorisë numrat racionalë ky studiues i Greqisë antike çoi në analizë vendime logjike sisteme të pacaktuara, të cilat ndiqen sistematikisht në librin e tij. Megjithëse puna e tij përmban zgjidhje për ekuacionet specifike të Diofantinës, ka arsye për të besuar se ai ishte gjithashtu i njohur me disa metoda të përgjithshme.

Studimi i këtyre pabarazive zakonisht shoqërohet me vështirësi serioze. Për faktin se ato përmbajnë polinome me koeficientë të plotë F (x, y1,…, y n). Mbi bazën e kësaj, u nxorrën përfundime se nuk ekziston një algoritëm i vetëm me të cilin do të ishte e mundur të përcaktohet për çdo x të dhënë nëse ekuacioni F (x, y 1 ,…., y n) është i kënaqur. Situata është e zgjidhshme për y 1 , …, y n . Shembuj të polinomeve të tillë mund të shkruhen.

Pabarazia më e thjeshtë

ax + nga = 1, ku a dhe b janë numra relativisht të plotë dhe të thjeshtë, ka një numër të madh ekzekutimesh për të (nëse x 0, y 0 formohet rezultati, atëherë çifti i ndryshoreve x = x 0 + b n dhe y = y 0 -an , ku n është arbitrare, do të konsiderohet gjithashtu si përmbushje e pabarazisë). Një shembull tjetër i ekuacioneve Diofantine është x 2 + y 2 = z 2 . Zgjidhjet integrale pozitive të kësaj pabarazie janë gjatësitë e brinjëve të vogla x, y dhe trekëndëshat kënddrejtë, si dhe hipotenuza z me përmasa anësore të plota. Këta numra njihen si numra Pitagorianë. Të gjitha treshe në lidhje me ndryshoret e thjeshta të përmendura më sipër jepen me formulat x=m 2 - n 2 , y = 2mn, z = m 2 + n 2 , ku m dhe n janë numra të plotë dhe të thjeshtë (m>n>0 ).

Diofanti, në Aritmetikën e tij, kërkon zgjidhje racionale (jo domosdoshmërisht integrale) të llojeve të veçanta të pabarazive të tij. Një teori e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve diofantine të shkallës së parë u zhvillua nga C. G. Baschet në shekullin e 17-të. Shkencëtarë të tjerë në fillimi i XIX shekulli, kryesisht studioi pabarazi të tilla të tipit ax 2 +bxy + cy 2 + dx +ey +f = 0, ku a, b, c, d, e dhe f janë të zakonshme, jo homogjene, me dy të panjohura të shkallë e dytë. Lagranzhi përdori fraksione të vazhdueshme në studimin e tij. Gausi për format kuadratike zhvilloi një teori të përgjithshme që qëndron në themel të disa llojeve të zgjidhjeve.

Në studimin e këtyre pabarazive të shkallës së dytë, përparim i dukshëm u bë vetëm në shekullin e 20-të. A. Thue zbuloi se ekuacioni diofantin a 0 x n + a 1 x n-1 y +…+a n y n =c, ku n≥3, a 0 ,…,a n ,c janë numra të plotë dhe a 0 t n + … + a n nuk mund të ketë imp sasia përfundimtare zgjidhje me numra të plotë. Megjithatë, metoda e Thue nuk u zhvillua siç duhet. A. Baker krijoi teorema efektive që japin vlerësime mbi performancën e disa ekuacioneve të këtij lloji. BN Delaunay propozoi një metodë tjetër hetimi të zbatueshme për një klasë më të ngushtë të këtyre pabarazive. Në veçanti, forma ax 3 + y 3 = 1 është plotësisht e zgjidhshme në këtë mënyrë.

Ekuacionet diofantine: Metodat e zgjidhjes

Teoria e Diofantit ka shumë drejtime. Kështu, një problem i njohur në këtë sistem është hamendja se nuk ka zgjidhje jo të parëndësishme për ekuacionet diofantine x n + y n = z n nëse n ≥ 3 (pyetja e Fermatit). Studimi i plotësimeve të numrave të plotë të pabarazisë është një përgjithësim i natyrshëm i problemit të trinjakëve të Pitagorës. Euler-i mori një zgjidhje pozitive të problemit të Fermat-it për n = 4. Për shkak të këtij rezultati, ai i referohet vërtetimit të mungesës së numrit të plotë, studimeve jozero të ekuacionit nëse n është një numër i thjeshtë tek.

Studimi në lidhje me vendimin nuk ka përfunduar. Vështirësitë me zbatimin e tij lidhen me faktin se faktorizimi i thjeshtë në unazën e numrave të plotë algjebrikë nuk është unik. Teoria e pjesëtuesve në këtë sistem për shumë klasa të eksponentëve të thjeshtë n bën të mundur konfirmimin e vlefshmërisë së teoremës së Fermatit. Kështu, ekuacioni linear i Diofantinës me dy të panjohura plotësohet nga metodat dhe teknikat ekzistuese.

Llojet dhe llojet e detyrave të përshkruara

Aritmetika e unazave të numrave të plotë algjebrikë përdoret edhe në shumë probleme të tjera dhe zgjidhje të ekuacioneve diofantine. Për shembull, metoda të tilla janë aplikuar kur plotësohen pabarazitë e formës N(a 1 x 1 +…+ a n x n) = m, ku N(a) është norma e a, dhe gjenden x 1, …, x n variabla racionale integrale. . Kjo klasë përfshin ekuacionin e Pell-it x 2- dy 2 =1.

Vlerat a 1, ..., a n që shfaqen, këto ekuacione ndahen në dy lloje. Lloji i parë - të ashtuquajturat forma të plota - përfshin ekuacione në të cilat midis a ka m numra linearisht të pavarur mbi fushën e ndryshoreve racionale Q, ku m = , në të cilën ekziston një shkallë e eksponentëve algjebrikë Q (a1,… a n) mbi Q. Llojet jo të plota janë ato në të cilat numri maksimal i a i është më i vogël se m.

Format e plota janë më të thjeshta, studimi i tyre është i plotë dhe të gjitha zgjidhjet mund të përshkruhen. Lloji i dytë - speciet jo të plota - është më i ndërlikuar dhe zhvillimi i një teorie të tillë nuk ka përfunduar ende. Ekuacione të tilla studiohen duke përdorur përafrime diofantine, të cilat përfshijnë pabarazinë F(x,y)=C, ku F (x,y) - një polinom i shkallës n≥3 është i pareduktueshëm, homogjen. Kështu, mund të supozojmë se y i → ∞. Prandaj, nëse y i është mjaftueshëm i madh, atëherë pabarazia do të kundërshtojë teoremën e Thue, Siegel dhe Roth, nga e cila rezulton se F(x,y)=C, ku F është një formë e shkallës së tretë ose më e lartë, e pakalueshme nuk mund të reduktohet. kanë një numër të pafund zgjidhjesh.

Ky shembull është një klasë mjaft e ngushtë mes të gjithëve. Për shembull, megjithë thjeshtësinë e tyre, x 3 + y 3 + z 3 = N, si dhe x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = N nuk përfshihen në këtë klasë. Studimi i zgjidhjeve është një degë mjaft e studiuar me kujdes e ekuacioneve diofantine, ku baza është përfaqësimi me forma kuadratike të numrave. Lagranzhi krijoi një teoremë që thotë se ka një përmbushje për të gjitha N natyrore. Çdo numër natyror mund të përfaqësohet si shuma e tre katrorëve (teorema e Gausit), por nuk duhet të jetë e formës 4 a (8K-1), ku a dhe k janë rezultate me numër të plotë jo negativ.

Zgjidhje racionale ose integrale të një sistemi ekuacionesh diofantine të tipit F (x 1 , …, x n) = a, ku F (x 1 , …, x n) është një formë kuadratike me koeficientë të plotë. Kështu, sipas teoremës Minkowski-Hasse, pabarazia ∑a ij x i x j = b ku ij dhe b janë racionalë, ka një zgjidhje integrale në numra realë dhe p-adikë për çdo numër të thjeshtë p vetëm nëse është i zgjidhshëm në këtë strukturë. .

Për shkak të vështirësive të qenësishme, studimi i numrave me forma arbitrare të shkallës së tretë e lart është studiuar në një masë më të vogël. Metoda kryesore e ekzekutimit është metoda e shumave trigonometrike. Në këtë rast, numri i zgjidhjeve të ekuacionit shkruhet në mënyrë eksplicite në termat e integralit Furier. Pas kësaj, metoda e mjedisit përdoret për të shprehur numrin e përmbushjes së pabarazisë së kongruencave përkatëse. Metoda e shumave trigonometrike varet nga veçoritë algjebrike të mosbarazimeve. Ekzistojnë një numër i madh metodash elementare për zgjidhjen e ekuacioneve lineare të Diofantinës.

Analiza diofantine

Degë e matematikës, lënda e së cilës është studimi i zgjidhjeve integrale dhe racionale të sistemeve të ekuacioneve të algjebrës me metoda të gjeometrisë, nga e njëjta fushë. Në gjysmën e dytë të shekullit të 19-të, shfaqja e kësaj teorie të numrave çoi në studimin e ekuacioneve Diofantine nga një fushë arbitrare me koeficientë, dhe zgjidhjet u konsideruan ose në të ose në unazat e saj. Sistemi i funksioneve algjebrike u zhvillua paralelisht me numrat. Analogjia bazë midis të dyjave, e cila u theksua nga D. Hilbert dhe, në veçanti, L. Kronecker, çoi në ndërtimin e njëtrajtshëm të koncepteve të ndryshme aritmetike, të cilat zakonisht quhen globale.

Kjo është veçanërisht e dukshme nëse funksionet algjebrike në studim mbi një fushë të fundme konstantesh janë një ndryshore. Koncepte të tilla si teoria e fushës së klasës, pjesëtuesi dhe degëzimi dhe rezultatet janë një ilustrim i mirë i sa më sipër. Ky këndvështrim u adoptua në sistemin e pabarazive diofantine vetëm më vonë, dhe kërkimet sistematike jo vetëm me koeficientët numerikë, por edhe me koeficientët që janë funksione, filluan vetëm në vitet 1950. Një nga faktorët vendimtarë në këtë qasje ishte zhvillimi i gjeometrisë algjebrike. Studimi i njëkohshëm i fushave të numrave dhe funksioneve, që lindin si dy aspekte po aq të rëndësishme të së njëjtës lëndë, jo vetëm që dha rezultate elegante dhe bindëse, por çoi në pasurimin reciprok të dy temave.

Në gjeometrinë algjebrike, nocioni i varietetit përdoret për të zëvendësuar një grup pabarazish jo të pandryshueshme mbi një fushë të caktuar K, dhe zgjidhjet e tyre zëvendësohen me pika racionale me vlera në K ose në shtrirjen e saj të fundme. Prandaj, mund të themi se problemi themelor i gjeometrisë diofantine është studimi i pikave racionale të bashkësisë algjebrike X(K), ku X janë numra të caktuar në fushën K. Zbatimi i numrit të plotë ka kuptimi gjeometrik në ekuacionet lineare Diofantine.

Studime dhe opsione për pabarazinë

Në studimin e pikave racionale (ose integrale) në varietetet algjebrike, lind problemi i parë, që është ekzistenca e tyre. Problemi i dhjetë i Hilbertit formulohet si problemi i gjetjes së një metode të përgjithshme për zgjidhjen e këtij problemi. Në procesin e krijimit të një përkufizimi të saktë të algoritmit, dhe pasi të jetë vërtetuar se ekzekutime të ngjashme për një numër i madh problemet nuk ekzistojnë, problemi ka marrë një rezultat të dukshëm negativ dhe pyetja më interesante është përcaktimi i klasave të ekuacioneve diofantine për të cilat ekziston sistemi i mësipërm. Qasja më e natyrshme, nga pikëpamja algjebrike, është i ashtuquajturi parim Hasse: fusha fillestare K studiohet së bashku me plotësimet e saj K v për të gjitha vlerësimet e mundshme. Meqenëse X(K) = X(K v) janë kusht i domosdoshëm për ekzistencë, dhe pika K merr parasysh që bashkësia X(K v) nuk është bosh për të gjitha v.

Rëndësia qëndron në faktin se ai bashkon dy probleme. E dyta është shumë më e thjeshtë, është e zgjidhshme nga një algoritëm i njohur. Në rastin e veçantë ku varieteti X është projektiv, lema e Hanselit dhe përgjithësimet e saj bëjnë të mundur reduktimin e mëtejshëm: problemi mund të reduktohet në studimin e pikave racionale mbi një fushë të fundme. Më pas ai vendos të ndërtojë konceptin, qoftë përmes kërkimit të qëndrueshëm ose metodave më efikase.

Konsiderata e fundit e rëndësishme është se bashkësitë X(K v) janë jo bosh për të gjithë, përveç një numri të fundëm të v, kështu që numri i kushteve është gjithmonë i fundëm dhe ato mund të testohen në mënyrë efektive. Megjithatë, parimi i Hasse nuk zbatohet për kurbat e shkallës. Për shembull, 3x 3 + 4y 3 =5 ka pikë në të gjitha fushat e numrave p-adic dhe në sistem, por nuk ka pika racionale.

Kjo metodë shërbeu si një pikënisje për ndërtimin e një koncepti që përshkruan klasat e hapësirave kryesore homogjene të varieteteve Abelian për të kryer një "devijim" nga parimi i Hasse. Ai përshkruhet në termat e një strukture të veçantë që mund të shoqërohet me secilin shumëfish (grupi Tate-Shafarevich). Vështirësia kryesore e teorisë qëndron në faktin se metodat për llogaritjen e grupeve janë të vështira për t'u marrë. Ky koncept është shtrirë edhe në klasa të tjera të varieteteve algjebrike.

Kërkoni për një algoritëm për përmbushjen e pabarazive

Një tjetër ide heuristike e përdorur në studimin e ekuacioneve Diofantine është se nëse numri i variablave të përfshirë në një grup pabarazish është i madh, atëherë sistemi zakonisht ka një zgjidhje. Megjithatë, kjo është shumë e vështirë për t'u provuar për ndonjë rast të veçantë. Qasja e përgjithshme ndaj problemeve të këtij lloji përdor teorinë analitike të numrave dhe bazohet në vlerësimet për shumat trigonometrike. Kjo metodë fillimisht u aplikua për lloje të veçanta ekuacionesh.

Megjithatë, më pas u vërtetua me ndihmën e tij se nëse një formë e shkallës tek është F, në variabla d dhe n dhe me koeficientë racionalë, atëherë n është mjaft e madhe në krahasim me d, kështu që hipersipërfaqja projektive F = 0 ka një pikë racionale. Sipas hamendësimit Artin, ky rezultat është i vërtetë edhe nëse n > d 2 . Kjo është vërtetuar vetëm për format kuadratike. Probleme të ngjashme mund të kërkohen edhe për fusha të tjera. Problemi qendror i gjeometrisë diofantine është struktura e grupit të pikave të plota ose racionale dhe studimi i tyre, dhe pyetja e parë që duhet sqaruar është nëse kjo bashkësi është e fundme. Në këtë problem, situata zakonisht ka një numër të kufizuar ekzekutimesh nëse shkalla e sistemit është shumë më e madhe se numri i variablave. Ky është supozimi kryesor.

Pabarazitë në vija dhe kthesa

Grupi X(K) mund të përfaqësohet si një shumë e drejtpërdrejtë e një strukture të lirë të rangut r dhe një grupi të fundëm të rendit n. Që nga vitet 1930, është studiuar pyetja nëse këta numra janë të kufizuar në grupin e të gjitha kthesave eliptike mbi një fushë të caktuar K. Kufizimi i rrotullimit n u demonstrua në vitet shtatëdhjetë. Ekzistojnë kthesa të rangut të lartë arbitrar në rastin funksional. Në rastin numerik, ende nuk ka përgjigje për këtë pyetje.

Së fundi, hamendësimi i Mordell-it thotë se numri i pikave integrale është i fundëm për një kurbë të gjinisë g>1. Në rastin funksional, ky koncept u demonstrua nga Yu. I. Manin në 1963. Mjeti kryesor i përdorur në vërtetimin e teoremave të fundësisë në gjeometrinë diofantine është lartësia. Nga varietetet algjebrike të dimensionit më të madh se një, varietetet abeliane, të cilat janë analoge shumëdimensionale të kthesave eliptike, kanë qenë më të studiuarat.

A. Weil e përgjithësoi teoremën mbi fundshmërinë e numrit të gjeneratorëve të grupit të pikave racionale në varietetet abeliane të çdo dimensioni (koncepti i Mordell-Weil), duke e zgjeruar atë. Në vitet 1960, u shfaq hamendësimi i Birch dhe Swinnerton-Dyer, duke përmirësuar këtë dhe funksionet e grupit dhe zeta të manifoldit. Provat numerike e mbështesin këtë hipotezë.

Problemi i vendosshmërisë

Problemi është të gjesh një algoritëm që mund të përdoret për të përcaktuar nëse ndonjë ekuacion i Diofantinës ka një zgjidhje. Një tipar thelbësor i problemit të shtruar është kërkimi i një metode universale që do të ishte e përshtatshme për çdo pabarazi. Një metodë e tillë do të lejonte edhe zgjidhjen e sistemeve të mësipërme, pasi është ekuivalente me P21+⋯+P2k=0.p1= 0 , ... , PK= 0p = 0,...,pK = 0 ose p21+ ⋯ + P2K= 0 . n12+⋯+pK2=0. Problemi i gjetjes së një mënyre të tillë universale për të gjetur zgjidhje për pabarazitë lineare në numra të plotë u shtrua nga D. Gilbert.

Në fillim të viteve 1950, u shfaqën studimet e para që synonin të vërtetonin mosekzistencën e një algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve Diofantine. Në këtë kohë, u shfaq hamendësimi i Davis, i cili thoshte se çdo grup i numërueshëm i përket gjithashtu shkencëtarit grek. Për shkak se shembujt e grupeve të pazgjidhshme algoritmikisht janë të njohur, por janë të numërueshëm në mënyrë rekursive. Nga kjo rezulton se hamendja e Davis është e vërtetë dhe problemi i zgjidhshmërisë së këtyre ekuacioneve ka përmbushje negative.

Pas kësaj, për hamendësimin e Davis-it, mbetet të vërtetohet se ekziston një metodë për transformimin e një pabarazie që gjithashtu (ose nuk ka) në të njëjtën kohë ka një zgjidhje. U tregua se një ndryshim i tillë i ekuacionit të Diofantinës është i mundur nëse ka dy vetitë e treguara: 1) në çdo zgjidhje të këtij lloji v≤uu; 2) për çdo k ka një ekzekutim në të cilin ka rritje eksponenciale.

Një shembull i një ekuacioni linear Diophantine të kësaj klase plotësoi vërtetimin. Problemi i ekzistencës së një algoritmi për zgjidhshmërinë dhe njohjen e këtyre pabarazive në numrat racionalë konsiderohet ende një pyetje e rëndësishme dhe e hapur që nuk është studiuar mjaftueshëm.

Ministria e Arsimit dhe Shkencës e Republikës së Kazakistanit

Rajoni i Kazakistanit Lindor

Drejtimi: modelimi matematik i proceseve ekonomike dhe sociale.

Seksioni: matematikë

Tema: Zgjidhja e ekuacioneve diofantine të shkallës së parë dhe të dytë

Zhumadilov Eldar,

Burkutova Amina,

Institucioni Shteteror "Liceu Ekonomik"

Mbikëqyrësi:

Drannaya Natalia Alexandrovna

Institucioni Shteteror "Liceu Ekonomik"

Konsulenti:

Shef i Departamentit të Matematikës dhe Metodave të Mësimdhënies së Matematikës të Institutit Pedagogjik Shtetëror Semipalatinsk, Kandidat i Shkencave Fizike dhe Matematikore, Profesor i Asociuar

Zholymbaev Oraltay Muratkhanovich

Ust-Kamenogorsk

Hyrje…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Kapitulli 1. Rreth ekuacioneve diofantine................................................ ... ...........katër

Kapitulli 2. Metodat e zgjidhjes .............................................. ...................................6

2.1.Algoritmi i Euklidit................................................ ......................6

2.2 Gjuajtja e vazhdueshme ................................................ .......... ................................ tetë

2.3 Metoda e faktorizimit ................................................ ................ .9

2.4. Përdorimi i barazisë...................................................... ................ .............dhjetë

2.5.Metodat e tjera për zgjidhjen e ekuacioneve diofantine................................10

konkluzioni................................................ ................................................12

Bibliografia...................................................... .................................13

Aplikacion................................................. ..............................................katërmbëdhjetë

Prezantimi

“I nderuari Dionisi, duke e ditur se me zell dëshiron të mësosh se si të zgjidhësh problemet që kanë të bëjnë me numrat, jam përpjekur të shpjegoj natyrën dhe fuqinë e tyre, duke u nisur nga themelet mbi të cilat mbështetet kjo shkencë.

Ndoshta kjo temë do t'ju duket e vështirë, pasi nuk jeni ende të panjohur me të, dhe fillestarët nuk janë të prirur të shpresojnë për sukses. Por do të bëhet e kuptueshme për ju falë zellit tuaj dhe shpjegimeve të mia, sepse një dashuri e zjarrtë për shkencën ju ndihmon ta perceptoni shpejt doktrinën.

Ky dedikim hap “Aritmetikën” e Diofantit të Aleksandrisë.

Diofanti paraqet një nga gjëegjëzat magjepsëse në historinë e matematikës. Nuk e dimë kush ishte Diofanti, vitet e sakta të jetës së tij, nuk dimë paraardhësit e tij që do të kishin punuar në të njëjtën fushë si ai.

Mbi varrin e Diofantit ka një poezi enigmë, për të zgjidhur të cilën është e lehtë të llogaritet se Diofanti jetoi për 84 vjet. Kohën e jetës së Diofantit mund ta gjykojmë nga veprat e studiuesit francez të shkencës, Paul Tannri, dhe kjo është ndoshta mesi i shekullit III pas Krishtit.

Më interesante është vepra e Diofantit. Kemi zbritur në 7 libra nga 13, të cilët u bashkuan në “Aritmetikë”.

Në këtë libër, Diophantus (shek. III) përmblodhi dhe zgjeroi përvojën e grumbulluar para tij në zgjidhjen e ekuacioneve algjebrike të pacaktuara në numra të plotë ose në numra racionalë. Që atëherë, këto ekuacione janë quajtur Diofantine.

Këtu janë shembuj të ekuacioneve të tilla: x 2 + y 2 \u003d z 2, x 2 \u003d y 3 + 5y + 7.

Interesi për ekuacionet e Diofantinës lidhet me sa duket me vetë natyrën e njeriut - dokumentet e mbijetuara zbulojnë gjurmët e tij në thellësi të mijëvjeçarëve. Edhe në Babiloninë e lashtë, ata po kërkonin treshe të Pitagorës - zgjidhje me numra të plotë të ekuacionit

x 2 + y 2 \u003d z 2.

Ekuacionet diofantine lejojnë zgjidhjen e problemeve algjebrike në numra të plotë. "Aritmetika" e Diofantit formoi bazën e teorisë së numrave të kohëve moderne.

Qëllimi i këtij studimi: gjetja e metodave të ndryshme për zgjidhjen e ekuacioneve të pacaktuara.

Objektivat e kërkimit: të mësoni se si të zgjidhni ekuacione të pacaktuara të shkallës së parë dhe të dytë duke përdorur algoritmin e Euklidit, duke përdorur thyesat e vazhdueshme ose duke faktorizuar ekuacionin

Kapitulli 1. Mbi ekuacionet diofantine.

Ekuacionet diofantine quhen ekuacione algjebrike ose sisteme ekuacionesh algjebrike me koeficientë të plotë, për të cilat është e nevojshme të gjenden zgjidhje të plota ose racionale. Në këtë rast, numri i të panjohurave në ekuacione duhet të jetë së paku dy (nëse nuk kufizohet vetëm në numra të plotë). Ekuacionet diofantine zakonisht kanë shumë zgjidhje, prandaj quhen ekuacione të pacaktuara.

Problemet çojnë në ekuacione diofantine, sipas kuptimit të të cilave vlerat e panjohura të sasive mund të jenë vetëm numra të plotë.

Konsideroni një problem: Ju duhet të paguani 1700 rubla për një blerje. Blerësi ka kartëmonedha vetëm për 200 dhe 500 rubla. Si mund të paguajë? Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, mjafton të zgjidhet ekuacioni 2x + 5y = 17 me dy të panjohura x dhe y. Ekuacione të tilla kanë një numër të pafund zgjidhjesh. Në veçanti, çdo çift numrash të formularit
. Për detyrën tonë praktike, vetëm vlerat jo-negative të numrave të plotë të x dhe y janë të përshtatshme (nuk ia vlen të grisni faturat në copa). Prandaj, arrijmë te formulimi i problemit: gjeni të gjitha zgjidhjet me numër të plotë jo negativ të ekuacionit 2x + 5y \u003d 17. Përgjigja nuk përmban më një numër të pafund, por vetëm dy palë numrash (1; 3) dhe ( 6; 1).

Pra, veçoritë e problemave diofantine janë se: 1) reduktohen në ekuacione ose sisteme ekuacionesh me koeficientë të plotë; 2) zgjidhjet duhet të gjenden vetëm të plota, shpesh të natyrshme.

Para se të shqyrtojmë metodat për zgjidhjen e ekuacioneve të pacaktuara, ne paraqesim disa përkufizime dhe pohime të nevojshme për prezantim të mëtejshëm.

Pjesëtueshmëria

Përkufizimi Le të jetë a, b  Z, b ≠ 0. Numrat q  Z dhe r  (0,1,...,|b|-1) quhen përkatësisht herësi jo i plotë dhe pjesa e mbetur e pjesëtimit të a me b, nëse barazia

Për më tepër, nëse r = 0, atëherë themi se a është i pjesëtueshëm me b, ose se b është pjesëtues i a (shënimi a b ose b| a).

Ekuacionet diofantine mund të shkruhen si

P(x 1, x 2, ..., x n) = 0,

ku P(x 1, ..., x n) është një polinom me koeficientë të plotë.

Gjatë studimit të ekuacioneve Diofantine, zakonisht parashtrohen pyetjet e mëposhtme:

nëse ekuacioni ka zgjidhje me numra të plotë;

bashkësia e zgjidhjeve të tij të plota është e fundme ose e pafundme;

të zgjidhë ekuacionin në bashkësinë e numrave të plotë, d.m.th., të gjejë të gjitha zgjidhjet e tij të numrave të plotë;

të zgjidhë ekuacionin në bashkësinë e numrave të plotë pozitivë;

të zgjidhë ekuacionin në bashkësinë e numrave racionalë.

Vini re se problemi i zgjidhjes së ekuacioneve në numra të plotë është zgjidhur plotësisht vetëm për ekuacionet me një të panjohur, për ekuacionet e shkallës së parë dhe për ekuacionet e shkallës së dytë me dy të panjohura. Për ekuacionet mbi shkallën e dytë me dy ose më shumë të panjohura, edhe problemi i ekzistencës së zgjidhjeve të numrave të plotë është mjaft i vështirë. Për shembull, nuk dihet nëse ekuacioni ka

x 3 + y 3 + z 3 = 30

të paktën një zgjidhje me numër të plotë. Për më tepër, është vërtetuar se, në parim, nuk ekziston një algoritëm i unifikuar që lejon zgjidhjen e ekuacioneve arbitrare të Diofantinës në numra të plotë në një numër të kufizuar hapash.

Kapitulli 2. Metodat e zgjidhjes.

2.1 Algoritmi i Euklidit.

Ju mund të gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave natyrorë a dhe b pa i faktorizuar këta numra në faktorë të thjeshtë, por duke zbatuar procesin e pjesëtimit me një mbetje. Për ta bërë këtë, ju duhet të ndani numrin më të madh të këtyre numrave me atë më të vogël, pastaj numrin më të vogël me pjesën e mbetur në ndarjen e parë, pastaj pjesën e mbetur në pjesëtimin e parë me pjesën e mbetur në ndarjen e dytë dhe vazhdoni këtë. procesoni derisa të ndodhë ndarja pa mbetje (sepse mbetjet zvogëlohen, atëherë kjo do të ndodhë në një hap). Mbetja e fundit jozero është gcd e kërkuar (a, b).

Për të vërtetuar këtë pohim, ne paraqesim procesin e përshkruar në formën e zinxhirit vijues të barazive: nëse a>b, atëherë

Këtu r 1, …, r n janë mbetje pozitive që zvogëlohen me rritjen e numrit. Nga barazia e parë rezulton se pjesëtuesi i përbashkët i numrave a dhe b pjesëton r 1 dhe pjesëtuesi i përbashkët i b dhe r 1 pjesëton a, pra gcd (a, b) = gcd (b, r 1). Duke kaluar në barazitë e mëposhtme të sistemit, marrim:

gcd(a, b) \u003d gcd (b, r 1) \u003d gcd (r 1, r 2) \u003d ...

…= GCD (r n -1 , r n) = GCD (r n , 0) = r n .

Kështu, kur zgjidhen ekuacionet diofantine të boshtit të shkallës së parë + me = c, mund të zbatohen teoremat e mëposhtme:

Teorema 1. Nëse gcd (a, b) = 1, atëherë ekuacioni ax + nga = 1 ka të paktën një çift (x, y) të një zgjidhjeje të plotë.

Teorema 2. Nëse gcd (a, b) = d > 1, dhe numri c nuk është i pjesëtueshëm me d, atëherë ekuacioni ax + me = c nuk ka zgjidhje integrale.

Dëshmi. Supozojmë se ekuacioni ax + by = c ka një zgjidhje numër të plotë (x 0, y 0). Meqenëse, a d, bd, atëherë marrim c = (ax + nga)d. Kjo bie ndesh me kushtet e teoremes, dhe keshtu teorema vertetohet.

Teorema 3. Nëse gcd (a, b) = 1, atëherë të gjitha zgjidhjet me numra të plotë të ekuacionit ax + nga = c përcaktohen me formulën:

x \u003d x 0 c + bt

Këtu (x 0 , y 0) është një zgjidhje e plotë e ekuacionit ax + me = 1, dhe t është një numër i plotë arbitrar.

Shembulli 1 Zgjidheni ekuacionin 54x + 37y = 1 në numra të plotë.

Sipas algoritmit të Euklidit, a = 54, b = 37. Zëvendësoni të dhënat sipas algoritmit dhe merrni:

54=371+17, moduli 17 = 54-371

37 = 172+3 , 3 = 37-172

17 = 35+2 , 2 = 17- 35

3 = 21+1 , 1 = 3 - 21

Pas gjetjes së njësisë, ne shprehim vlerat e a dhe b përmes saj:

1 = 3 – (17-35);

1 = 17 - (37- 172) 4;

1 = 17 - 374+178;

1 = 179 – 374;

1 = (54- 371) 9 - 374;

1 = 549 - 379 - 374;

Prandaj, x 0 \u003d 9, y 0 \u003d -13. Pra, ky ekuacion ka zgjidhjen e mëposhtme
.

Shembulli 2 Kërkohet të gjendet një zgjidhje me numër të plotë të ekuacionit 15x + 37y = 1.

Metoda 1. Le të përdorim zbërthimin e unitetit:

1 = 15*5 + 37*(-2) Përgjigje: x = 5, y = -2.

Metoda e 2-të. Duke përdorur algoritmin e Euklidit, kemi: 37 = 15*2 + 7, 15 = 2*7 + 1. Prandaj 1 = 15 - 2*7 = 15 - 2(37 - 15*2) = 15*5 + (- 2) *37. Pastaj x o \u003d 5, y o \u003d - 2. Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit është një sistem.

Shembulli 3. Në ekuacionin 16x + 34y = 7, gcd (16, 34) = 2 dhe 7 nuk pjesëtohet me 2, atëherë nuk ka zgjidhje me numra të plotë.

2.2 Gjuajtja e vazhdueshme

Një aplikim i algoritmit të Euklidit është të përfaqësojë një fraksion si

Ku q 1 është një numër i plotë, dhe q 2 , … ,q n- numra të plotë. Një shprehje e tillë quhet thyesë e vazhdueshme (e fundme e vazhdueshme).

Ekuacioni:

me koeficientët e parë a dhe b ka një zgjidhje

,
,

ku
- konvergjenti i parafundit me thyesën e vazhduar, në të cilën është zbërthyer thyesa.

Dëshmi:

Nëse për një thyesë të dhënë të vazhdueshme me pjesë të njëpasnjëshme q 1 , q 2 ,...,q n thyesat e pakalueshme

, , …,

janë rezultatet e konvolimit të konvergjenteve
,
, etj. , të rendit 1, 2, …, n përkatësisht, atëherë

,
, …, n.

Në k= n marrim:

,

Ku është thyesa e fundit e përshtatshme për thyesën e vazhdueshme në të cilën është zbërthyer thyesa. Meqenëse thyesat dhe janë të pakalueshme, atëherë , dhe

.

Duke shumëzuar të dyja anët e barazisë së fundit me (-1) n, kemi

Kjo do të thotë, një çift numrash , , ku n është rendi i thyesës së vazhdueshme, është një zgjidhje e ekuacionit .

Shembull. Kamionë tretonësh janë ndarë për transportin e një numri të madh kontejnerësh prej 170 kg dhe 190 kg secili. A është e mundur të ngarkoni plotësisht makinat me to?

Zgjidhja:

Le X dhe në numri i kontejnerëve përkatësisht 170 dhe 190 kg, atëherë kemi ekuacionin

170x+190y=3000

Pas zvogëlimit me 10, ekuacioni duket kështu,

Për të gjetur një zgjidhje të veçantë, ne përdorim zgjerimin e thyesës në një goditje zinxhir

Duke e shembur fraksionin e parafundit të përshtatshëm për të në një të zakonshme

Një zgjidhje e veçantë e këtij ekuacioni ka formën

X 0 = (-1) 4 300*9=2700, y 0 =(-1) 5 300*8=-2400,

dhe e përgjithshme jepet me formulë

x=2700-19k, y=-2400+17k.

prej nga fitojmë kushtin në parametrin k

ato. k=142, x=2, y=14. .

2.3 Metoda e faktorizimit

Kjo metodë dhe të gjitha ato pasuese zbatohen në zgjidhjen e ekuacioneve diofantine të shkallës së dytë.

Detyra 1.

Zgjidhje. E shkruajmë ekuacionin në formë

(x - 1) (y - 1) = 1.

Prodhimi i dy numrave të plotë mund të jetë i barabartë me 1 vetëm nëse të dy janë të barabartë me 1. Kjo do të thotë, ekuacioni origjinal është i barabartë me grupin

me tretësirat (0,0) dhe (2,2).

2.4 Përdorimi i barazisë

Detyra 2. Zgjidheni ekuacionin me numra të thjeshtë

Zgjidhje. Le të shqyrtojmë dy raste në varësi të paritetit të ndryshores x.

a) Le të jetë x një numër tek. Zëvendësimi x = 2t + 1 sjell ekuacionin origjinal në formë

(2t + 1) 2 - 2y 2 = 1,

2y 2 = 4t (t + 1).

Prandaj, 2 | y2. Meqenëse y është një numër i thjeshtë, atëherë y = 2. Prandaj

b) Le të jetë x numër çift. Meqenëse x është një numër i thjeshtë, atëherë x = 2. Prandaj, d.m.th., ekuacioni është i pazgjidhshëm në numrat e thjeshtë.

Rrjedhimisht, ekuacioni ka një zgjidhje unike (3; 2) në klasën e numrave të thjeshtë.

2.5 Metoda të tjera për zgjidhjen e ekuacioneve Diofantine

Detyra 3. Vërtetoni se ekuacioni

ka pafundësisht shumë zgjidhje në numra natyrorë.

Zgjidhje.Është e lehtë të shihet se (3.2) është një nga zgjidhjet e ekuacionit origjinal. Nga ana tjetër, nga identiteti

(x 2 + 2y 2) 2 - 2 (2xy) 2 = (x 2 - 2y 2) 2

rrjedh se nëse (x, y) është zgjidhje e këtij ekuacioni, atëherë çifti (x 2 + 2y 2 , 2xy) është edhe zgjidhja e tij. Duke përdorur këtë fakt, ne përcaktojmë në mënyrë rekursive një sekuencë të pafundme (x n , y n) zgjidhjesh të ndryshme të ekuacionit origjinal:

(x 1 , y 1) = (3,2) dhe x n +1 = x n 2 + 2y n 2 , y n +1 = 2x n y n , n  N * .

Detyra 4. Vërtetoni se ekuacioni

x(x + 1) = 4y (y + 1)

i pazgjidhshëm në numra të plotë pozitiv.

Zgjidhje.Është e lehtë të shihet se ekuacioni origjinal është i barabartë me ekuacionin

x 2 + x + 1 = (2y + 1) 2 .

Prandaj, x 2

Detyra 5. Zgjidheni ekuacionin në numra të plotë

x + y \u003d x 2 - xy + y 2.

Zgjidhje. Le të jetë t = x + y. Sepse

atëherë pabarazia duhet të jetë prej nga t  .

konkluzioni:

Shënimi modern për thyesat e vazhdueshme u propozua nga shkencëtari i shquar Christian Huygens (1629-1695).

Huygens u kthye në fraksione të vazhdueshme kur ndërtoi një planetar në Paris. Ai donte të merrte përafrimin më të mirë për raportin e periudhave orbitale të planetëve. Këto raporte dhe raportet e numrit të dhëmbëve të ingranazheve përkatëse të ndërlidhura të planetarit duhej të përputheshin. Por numri i dhëmbëve të ingranazheve, për arsye teknike, nuk mund të jetë shumë i madh. Ishte e nevojshme që ato të zgjidheshin në atë mënyrë që raportet që rezultonin të ndryshonin sa më pak nga ato të vërteta. Huygens iu drejtua fraksioneve të vazhdueshme dhe me ndihmën e tyre gjeti një zgjidhje për problemin me të cilin u përball.

Si përfundim, vërejmë avantazhet dhe disavantazhet e thyesave të vazhdueshme të krahasuara, për shembull, me numrat dhjetorë. Komoditeti qëndron në faktin se vetitë e tyre nuk janë të lidhura me asnjë sistem numrash. Për këtë arsye, fraksionet e vazhdueshme përdoren në mënyrë efektive në studimet teorike. Por ato nuk kanë marrë një aplikim të gjerë praktik, pasi nuk ka rregulla të përshtatshme për kryerjen e operacioneve aritmetike për ta, të cilat janë të disponueshme për fraksionet dhjetore.

Kjo temë është e rëndësishme sepse ekuacionet diofantine përdoren edhe në inxhinieri, biologji, etj. Për shembull, kur numërohen kromozomet e gjeneratës së parë.

Për të filluar, ne zgjedhim pesë zgjidhje të rastësishme: 1=

Kromozomi

Gjenerata e parë e kromozomeve dhe përmbajtja e tyre.

Vetia kryesore e ekuacioneve Diofantine është se ne nuk i kalojmë të gjitha zgjidhjet me radhë, por afrohemi nga zgjidhjet e zgjedhura rastësisht tek ato më të mira.

Bibliografi

Revista "Quantum" 1970 #7

"Enciklopedia e një matematikani të ri" 520 f.

Vilenkin N.Ya. "Pas faqeve të një teksti të matematikës" (klasat 10-11) - Moskë: "Prosveshchenie" 1996-320 f.

http://festival.1 shtator. sq/ artikuj/417558/

Shynybekov N.A. "Algjebra 8" Almaty "Atamura" 2004-272 f.

I.N. Sergeev "Zbato matematikën" 1989 - 240 f.

1. http://ilib. pasqyrë1. mccme. sq/ djvu/ serp- ndër_ eq. htm

   Kozhegeldinov S.Sh. "Disa elementë të teorisë së ekuacioneve diofantine në ushtrime dhe detyra"

   Pichugin L.F. “Pas faqeve të tekstit shkollor të algjebrës”, M., 1990, 224 f.

   Glazer G.I. “Historia e matematikës në shkollën 10-11”, 351s

   Gusev V.A., Orlov A.I. etj “Punë jashtëshkollore në matematikë në klasat 6-8”, M., 1984, 286 f.

   Petrakov I.A. "Matematika për kuriozët", M., 2000. 256s.

   http://bse.sci-lib.com/article028554.html

   http://bars-minsk.narod.ru/teachers/diofant.html

Aplikacion

Zgjidhe ekuacionin 127x - 52y + 1 = 0 ne numra te plote.Pergjigje: x = 9 + 52t, y = 22 + 127t, t  Z.

Zgjidheni në numra të plotë ekuacionin 107x + 84y = 1.

Zgjidheni ekuacionin 3x 2 + 4xy - 7y 2 = 13 në numra të plotë.Udhëzim. Aplikoni faktorizimin.
Përgjigje: (2,1), (-2,-1).

Vërtetoni se ekuacioni y 2 = 5x 2 + 6 nuk ka zgjidhje me numra të plotë.
Indikacion. Merrni parasysh modulin 4 të ekuacionit.

Vërtetoni se ekuacioni x 2 - 3y 2 = 1 ka pafundësisht shumë zgjidhje me numra të plotë.
Indikacion. Përdorni lidhjen e përsëritur midis zgjidhjeve.

Zgjidheni ekuacionin: 17x + 13y = 5.

Vërtetoni se çdo shumë parash e shprehur si një numër i plotë rubla më i madh se 7 mund të paguhet pa ndryshim, duke pasur vetëm fatura prej tre rubla dhe pesë rubla në sasi të mjaftueshme.

Kërkohet të hidhni 20,5 litra lëng në kavanoza 0,7 litra dhe 0,9 litra në mënyrë që të gjitha kavanozat të mbushen. Sa kanaçe ju nevojiten për të përgatitur? Cili është numri më i vogël i kavanozëve që mund të nevojiten?

Madje, me tre të panjohura vendosin edhe ...

1. Algoritmet gjenetike dhe zbatimi i tyre praktik

   Detyrë >> Informatikë

   Strategjitë). më afër e dyta pol - sisteme që ... idetë e përshtatjes dhe evolucionit. Diplomë mutacionet në këtë rast... matematika e Diofantit.26 Merrni parasysh diofantinë ekuacionin: a+2b+3c+4d ... Shkalla e mbijetesës së pari gjeneratat e kromozomeve (të vendosur vendimet) Kështu që...

2. Roli i jashtëzakonshëm i Leonhard Euler në zhvillimin e algjebrës së gjeometrisë dhe teorisë së numrave

   Teza >> Figura historike

   ... vendim ekuacionet. Ai theksoi se zgjidhje ekuacionet e dyta, e treta dhe e katërta gradë reduktuar në ekuacionet përkatësisht së pari, e dyta dhe e treta shkallë; këto të fundit ekuacionet... numër i plotë vendim sistemeve diofantinë ekuacionet më të larta gradë dhe...

3. Modelimi i ekuilibrit avull-lëng në një përzierje me katër përbërës të aceton-toluen-butanoldimethylformamide

   Punë diplome >> Kimi

   Ata janë pjesë e një sistemi të vetëm diofantinë ekuacionet dhe reciprokisht plotësojnë ... Efektiviteti i miratuar vendimet në masë të madhe shkallë përcaktuar nga veçoritë... një molekulë së pari komponenti, tjetri - një molekulë e dyta komponent. Sipas ekuacioni ...

Buxheti i komunës institucion arsimor

mesatare shkollë gjithëpërfshirëse №1

Pavlovo.

Punë kërkimore

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve diofantine.

Departamenti: Fizikë dhe Matematikë

Seksioni: matematikë

E përfunduar:

Nxënësi i klasës së 8-të Nikolai Trukhin (14 vjeç)

Këshilltar shkencor:

mësues matematike

Lefanova N. A.

Pavlovo

2013

Tabela e përmbajtjes

I Hyrje…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3

II Përmbledhje e literaturës………………………………………………………………………………………………………

III Pjesa kryesore…………………………………………………………………………6

IV Përfundim………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

V Lista e referencave……………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………….

VI Shtojca……………………………………………………………..17

Prezantimi.

Në vitin 2011-2012 kam performuar punë kërkimore me temë: “Zgjidhja e ekuacioneve në Greqinë e lashtë dhe në Indi”. Gjatë punës për të, u njoha me veprat e Diofantit të Aleksandrisë dhe të Muhamed al-Kuarizmit. Në punën time të mëparshme kam shqyrtuar disa metoda për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallës së parë me dy të panjohura, jam njohur me disa probleme të vjetra që çojnë në zgjidhjen e ekuacioneve të shkallës së parë me dy të panjohura.

Mohammed Ben Mussa al-Khwarizmi, ose Muhamedi biri i Moisiut të Khorezmit, i cili është anëtar i "shtëpisë së urtësisë" në Iran, shkroi një libër rreth 820 të kronologjisë sonë, ku mësoi të zgjidhte pyetje të thjeshta dhe komplekse të aritmetikës. që u duhen njerëzve gjatë ndarjes së trashëgimisë, hartimit të testamentit, ndarjes së pasurisë dhe çështjeve gjyqësore, në tregti, të gjitha llojet e transaksioneve. Nocionet "algjebër", "numrat arabë", "algoritmi" lidhen me emrin e al-Khorezmi. Ai ndau algjebrën nga gjeometria, dha një kontribut të madh në matematikën e mesjetës islame. Muhamed el-Kuarizmi ishte i njohur dhe i respektuar si gjatë jetës së tij ashtu edhe pas vdekjes së tij.

Por doja të dija më shumë për Diofantin. Dhe tema e hulumtimit tim këtë vit është: Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve diofantine »

Diofanti i Aleksandrisë është një nga matematikanët e lashtë grekë më të veçantë, veprat e të cilit ishin rëndësi të madhe për algjebër dhe teorinë e numrave. Nga veprat e Diofantit, më e rëndësishmja është "Aritmetika", prej 13 librave prej të cilëve, vetëm 6 kanë mbijetuar deri më sot. Librat e mbijetuar përmbajnë 189 probleme me zgjidhje. Libri i parë përmban probleme që çojnë në ekuacione të caktuara të shkallës së parë dhe të dytë. Pesë librat e mbetur përmbajnë kryesisht ekuacione të papërcaktuara (ekuacionet e papërcaktuara quhen ekuacione që përmbajnë më shumë se një të panjohur). Këta libra nuk përmbajnë ende një teori sistematike të ekuacioneve të pacaktuara, metodat e zgjidhjes ndryshojnë nga rasti në rast. Diofanti është i kënaqur me një zgjidhje, të plotë ose të pjesshme, përderisa ajo është pozitive. Megjithatë, metodat për zgjidhjen e ekuacioneve të pacaktuara përbëjnë kontributin kryesor të Diofantit në matematikë. Në simbolikën e Diofantit kishte vetëm një shenjë për të panjohurën. Gjatë zgjidhjes së ekuacioneve të pacaktuara, ai përdori numra arbitrarë si disa të panjohura, në vend të të cilave mund të merrej ndonjë tjetër, gjë që ruante natyrën e përgjithshme të zgjidhjeve të tij.

Qëllimi i punës sime:

1. Vazhdoni njohjen me ekuacionet Diofantine.

2. Të hetojë metodat e numërimit dhe të dispersionit (bluarjes) gjatë zgjidhjes së ekuacioneve diofantine.

3. Eksploroni mundësinë e përdorimit të ekuacioneve Diofantine për të zgjidhur disa probleme praktike.

II. Rishikim i literaturës.

Gjatë shkrimit të veprës kam përdorur literaturën e mëposhtme:

Kam përdorur informacione për Diofantin dhe el-Kuarizmin.

Libri i kushtohet metodave të Diofantit në zgjidhjen e ekuacioneve të pacaktuara. Ai tregon për jetën e vetë Diofantit. Ky informacion përdoret nga unë në punën time.

Libri tregon për historinë e algjebrës që nga kohërat e lashta. Unë kam përdorur informacione për teorinë e ekuacioneve që në lashtësi.

Ky libër përmban rreth 200 artikuj mbi konceptet bazë të matematikës dhe aplikimet e saj. Kam përdorur materialet e artikujve "Algjebra", "Ekuacionet", "Ekuacionet diofantine"

Tekstet e detyrave për përdorim praktik janë marrë nga libri.

Në temën që përdora faqen:

http :// sq . wikipedia . org (informacione rreth el-Khorezmiut dhe Diofantit. Rreth metodave për zgjidhjen e ekuacioneve diofantine).

Pjesa kryesore

Në ditët e sotme, të gjithë ata që kanë bërë matematikë kanë dëgjuar për ekuacionet diofantine. Ekuacionet algjebrike me koeficientë të plotë, të zgjidhura në grupin e numrave të plotë (rrallë racionalë), hynë në historinë e matematikës si Diofantine . Ekuacionet diofantine të shkallës 1 dhe 2 janë më të studiuarit. Përmbajtja e punës sime përfshin probleme që reduktohen në zgjidhjen e një ekuacioni të shkallës së parë me dy të panjohura

(1)

Le të shqyrtojmë detyrën.

Detyra 1. Në qelizë është x fazanët dhe në lepujt. Sa fazanë dhe lepuj janë në një kafaz nëse numri i përgjithshëm i këmbëve është 62.

Numri total këmbët mund të shkruhen duke përdorur ekuacionin 2x + 4y \u003d 62 (2)

Ky barazi, të cilin e bëra sipas kushtit të problemit, quhet ekuacion me dy ndryshore. Ky ekuacion quhet ekuacion linear. Ekuacionet lineare luajnë një rol të rëndësishëm në zgjidhjen e problemeve të ndryshme. Më lejoni t'ju kujtoj dispozitat kryesore që lidhen me këtë koncept.

Një ekuacion linear me dy ndryshore është një ekuacion i formës ax + nga \u003d c, ku x dhe y janë ndryshore, a, b dhe c janë disa numra.

Përcaktoni pa mëdyshje nga ekuacioni (2) vlerat x dhe yështë e ndaluar. Edhe nëse kufizohemi në vlerat natyrore të variablave, mund të ketë raste të tilla: 1 dhe 15, 3 dhe 14, 5 dhe 13, etj.

Një palë numra ( a , b ) quhet zgjidhje e një ekuacioni me dy ndryshore nëse, kur zëvendësojmë x me a dhe y me b, fitojmë barazi të vërtetë.

Çdo ekuacion me dy ndryshore korrespondon me grupin e zgjidhjeve të tij, domethënë grupin e përbërë nga të gjitha çiftet e numrave (a, b), duke i zëvendësuar në ekuacion, fitohet një barazi e vërtetë. Në këtë rast, natyrisht, nëse grupet X dhe Y janë specifikuar paraprakisht, të cilat mund të pranojnë të panjohurën x dhe y, atëherë ju duhet të merrni vetëm çifte të tilla (a , b ), për të cilat a i përket X dhe b i përket Y.

nja dy numra ( a, b) mund të paraqitet në plan me pikën M, e cila ka koordinatat a dhe b, M \u003d M (a, b). Duke marrë parasysh imazhet e të gjitha pikave të grupit të zgjidhjeve të një ekuacioni me dy të panjohura, marrim një nëngrup të caktuar të planit. Quhet grafiku i ekuacionit .

Mund të tregohet se grafiku ekuacioni linear me dy variabla, në të cilat të paktën njëri nga koeficientët nuk është i barabartë me zero, është një vijë e drejtë. Për të vizatuar këtë ekuacion, mjafton të marrim dy pika me koordinata dhe të vizatojmë një vijë të drejtë përmes tyre. Metoda grafike zgjidhje që kam përdorur në punën e mëparshme.

Dy ekuacione në dy variabla që kanë zgjidhje të njëjta quhen ekuivalente.

Për shembull, ekuacionet x + 2y = 5 dhe 3x + 6y = 15 janë ekuivalente - çdo çift numrash që plotëson njërin prej këtyre ekuacioneve plotëson edhe të dytin.

Ekuacionet me dy ndryshore kanë të njëjtat veti si ekuacionet me një ndryshore:

1) nëse në ekuacion e transferojmë termin nga një pjesë në tjetrën, duke ndryshuar shenjën e tij, atëherë marrim një ekuacion të barabartë me atë të dhënë;

2) nëse të dy pjesët e ekuacionit shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër jozero, atëherë fitohet një ekuacion që është ekuivalent me atë të dhënë.

Ka disa mënyra për të zgjidhur ekuacionet Diofantine:

Metoda e zgjedhjes

Duke përdorur algoritmin e Euklidit

Përdorimi i gjuajtjes së vazhdueshme

Metoda e shpërndarjes (bluarjes).

Përdorimi i gjuhës programuese Pascal

Në punën time, unë eksplorova metoda - numërimi i opsioneve dhe shpërndarja (bluarja)

Duke marrë parasysh metodën e numërimit të opsioneve, është e nevojshme të merret parasysh numri zgjidhjet e mundshme ekuacionet. Për shembull, kjo metodë mund të zbatohet duke zgjidhur problemin e mëposhtëm:

Detyra 2. Andrei punon në një kafene gjatë verës. Për çdo orë ai paguhet 10 rubla. Dhe llogarisni 2 r. për çdo pjatë të thyer. Javën e kaluar ai fitoi 180 r. Përcaktoni sa orë ka punuar dhe sa targa ka thyer, nëse dihet se ai punon jo më shumë se 3 orë në ditë.

Zgjidhje.

Le x orët që ai punoi në një javë, atëherë 10x R. u pagua por u prish në pllaka dhe zbriten prej saj 2 vjet R. Ne kemi ekuacionin 10x - 2y \u003d 180, dhe x më pak ose e barabartë me 21. Marrim: 5x-y=90, 5x=90+y, x=18+y:5.

Sepse x numër i plotë, atëherë në duhet të ndahet në mënyrë të barabartë me 5 për të marrë një numër të plotë në anën e djathtë. Janë katër raste

y=0, x=18, pra zgjidhja është çifti - (18, 0);

y=5, x=19, (19, 5);

y=10, x=20, (20, 10);

y=15, x=21, (21, 15).

E zgjidha këtë problem duke përdorur metodën e numërimit të opsioneve. Përgjigja përmban katër opsionet e mundshme. Unë u përpoqa të zgjidh disa probleme të tjera në këtë mënyrë.

Detyra 3. Shuma prej 23 rubla u bë nga monedha me dy dhe pesë rubla. Sa prej këtyre monedhave me dy rubla ka?

Zgjidhje.

Le x - numri i monedhave me dy rubla, y - numri i monedhave prej pesë rubla. Le të bëjmë dhe zgjidhim ekuacionin: 2x+5y=23; 2x=23–5y; x \u003d (23 - 5v): 2; x \u003d (22 + 1 - 5y): 2, ne ndajmë 22 me 2 dhe (1 - 5y) me 2 term nga termi, marrim: x \u003d 11 + (1 - 5y): 2.

Sepse x dhe y numrat natyrorë sipas kushtit të problemës, atëherë ana e majtë e ekuacionit është numër natyror, që do të thotë se edhe ana e djathtë duhet të jetë numër natyror. Përveç kësaj, për të marrë një numër natyror në anën e djathtë, është e nevojshme që shprehja (1 - 5y) të jetë plotësisht e pjesëtueshme me 2. Le të numërojmë opsionet.

y =1, x=9, domethënë mund të ketë 9 monedha me dy rubla;

y=2, ndërsa shprehja (1 - 5y) nuk pjesëtohet me 2;

y=3, x=4, domethënë mund të ketë 4 monedha me dy rubla;

kur y është më i madh ose i barabartë me 4, x nuk është numër natyror.

Kështu, përgjigja në problem është si vijon: midis monedhave ka 9 ose 4 monedha me dy rubla.

Detyra 4. Sheherazade i tregon përrallat e tij sundimtarit të madh. Në total, asaj i duhet të tregojë 1001 përralla. Sa netë do të duhen Sheherazade për të treguar të gjitha përrallat e tij nëse x netë ajo do të tregojë 3 përralla, dhe pjesën tjetër të përrallave 5 për në netët

Zgjidhje.

Treguesi ka nevojë për x + y netët , ku x dhe y - rrënjët natyrore të ekuacionit 3x + 5y \u003d 1001

x \u003d (1001 - 5y): 3; sepse xështë një numër natyror, atëherë ana e djathtë e barazisë duhet të përmbajë edhe një numër natyror, që do të thotë se shprehja (1001 - 5y) duhet të jetë plotësisht e pjesëtueshme me 3.

Le të kalojmë mbi opsionet.

y=1, 1001 - 5y=1001-5= 996, 996 pjesëtohet me 3, pra x=332; vendimi(332;1);

y=2, 1001– 10=991, 991 nuk pjesëtohet me 3;

y=3, 1001 - 15 = 986; 986 nuk pjesëtohet me 3;

y \u003d 4, 1001 - 20 \u003d 981, 981 është i pjesëtueshëm me 3, prandaj, x \u003d 327, zgjidhja është (327; 4), etj.

Ka 67 palë rrënjë të mundshme në këtë problem, nuk i tregova të gjitha zgjidhjet e këtij problemi, sepse kërkon shumë kohë.

Ekuacioni sëpatë + nga = c (1) në problemet e mësipërme, zgjidha metodën e numërimit të opsioneve. E kuptova vetë se metoda e numërimit të opsioneve nuk është gjithmonë efektive për zgjidhjen e këtij problemi, pasi kërkon një kohë të konsiderueshme për të gjetur të gjitha zgjidhjet e ekuacionit. Dhe, për mendimin tim, aktualisht është e parëndësishme.

Prandaj, problemin Scheherazade e zgjidha duke përdorur metodën e shpërndarjes (bluarjes).

Metoda e shpërndarjes është një metodë e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve të pacaktuara të shkallës së parë me koeficientë të plotë në numra të plotë.

Pra, le të zgjidhim problemin në lidhje me Scheherazade me metodën e shpërndarjes:

Le të kthehemi te ekuacioni 3x + 5y = 1001.

Le ta rishkruajmë ndryshe: 3x = 1001 - 5y; 3x \u003d 1001 - 2y - 3y;

x = -y +
dhe shënojnë x l= y + x

Si rezultat, ekuacioni do të marrë formën 3x 1 = 1001 - 2v ose

y = - x l
.

Nëse përsëri zëvendësojmë y 1 \u003d y + x 1, atëherë arrijmë në ekuacionin

x 1 + 2y 1 \u003d 1001. Vini re se koeficientët për të panjohurat janë ulur - ato janë copëtuar.

Këtu koeficienti në x 1 është i barabartë me 1, dhe për këtë arsye, për çdo numër të plotë y 1 \u003d t, numri x 1 është gjithashtu një numër i plotë. Mbetet të shprehim variablat origjinale në terma t:

x 1 \u003d 1001 - 2 t, pra, y \u003d - 1001 + 3 t, dhe x \u003d 2002 - 5 t. Pra, marrim një sekuencë të pafundme (2002 – 5 t , – 1001 + 3 t ) zgjidhjesh me numra të plotë . Shfaqja e formulave për gjetjen e vlerave të variablave ndryshon nga zgjidhjet e marra më herët, por duke marrë parasysh gjendjen e problemit, rrënjët janë të njëjta. Pra, çifti (332;1) fitohet në t =334.

Sipas mendimit tim, kjo metodë nuk është vetëm më e përshtatshme (ka një algoritëm veprimesh), por edhe interesante. Kjo metodë është e njohur për në aplikuar për herë të parë në fillimVInë. Matematikan indian Aryabhatta.

Vitin e kaluar tregova zgjidhjen e problemit të lashtë Indian Brahmagupta për metodat e shpërndarjes të propozuara nga vetë Brahmagupta. Vendimi ishte irracional.

Ajo është paraqitur më poshtë:

"Gjeni dy numra të plotë, duke ditur se ndryshimi midis prodhimeve të të parit me 19 dhe të dytës me 8 është 13."

Në problem kërkohet të gjenden të gjitha zgjidhjet me numra të plotë të ekuacioneve.

Zgjidhja:

(1) 19x – 8y = 13

shprehem yështë e panjohura me vlerën më të vogël absolute të koeficientit përmes x, Unë marr:

(2) y = (19x – 13)/8

Tani duhet të zbulojmë se çfarë vlerash të plota x vlerat përkatëse y janë gjithashtu numra të plotë. Unë do të rishkruaj ekuacionin (2) si më poshtë:

(3) y = 2x + (3x – 13)/8

Nga (3) rrjedh se y me një numër të plotë x merr një vlerë të plotë vetëm nëse shprehja (3 x-13)/8 është një numër i plotë, le të themi y 1 . Duke supozuar

(4) (3x - 13)/8 = y 1 ,

pyetja reduktohet në zgjidhjen e ekuacionit (4) në numra të plotë me dy të panjohura x dhe y 1 ; mund të shkruhet kështu:

(5) 3x – 8y 1 = 13.

Ky ekuacion ka avantazhin ndaj origjinalit (1) që 3, më e vogla nga vlerat absolute të koeficientëve për të panjohurat, është më e vogël se në (1), d.m.th. 8. Kjo u arrit duke zëvendësuar koeficientin x (19) me pjesën e mbetur prej 8.

Duke vazhduar në të njëjtën mënyrë, marrim nga (5):

(6) x= (8 vjet 1 +13)/3 = 2y 1 + (2y 1 + 13)/3.

Pra, e panjohura x me numër të plotë y 1 merr vlera të plota vetëm kur (2 y 1 + 13)/3 është një numër i plotë, le të themi y 2 :

(7) (2y 1 + 1)/3 = y 2 ,

ose

(8) 3y 2 – 2 y 1 = 13.

(9) y 1 = (3y 2 - 13)/2 = y 2 + (y 2 - 13)/2

Duke supozuar

(10) (y 2 - 13)/2 = y 3 ,

marr

(11) y 2 – 2 y 3 = 13.

Ky është më i thjeshti nga të gjitha ekuacionet e konsideruara të pacaktuara, pasi një nga koeficientët është i barabartë me 1.

Nga (11) marr:

(12) y 2 = 2y 3 + 13.

Kjo tregon se y 2 merr vlera të plota për çdo vlerë të plotë të y 3. Nga barazitë (6), (9), (12), (3) me zëvendësime të njëpasnjëshme, mund të gjejmë shprehjet e mëposhtme për ekuacionet e panjohura x dhe y (1):

x= 2y 1 +y 2 = 2(y 2 +y 3 ) + y 2 = 3y2 + 2 y 3 = 3(2y 2 + 13) + 2y 3 = 8y 3 + 39;

në= 2x + y 1 = 2(8y 3 + 39) + y 2 + y 3 = 19y 3 +91.

Pra formulat

x=8 y 3 + 39,

y=19 y 3 + 91.

Në y 3 = 0, + 1,+ 2, + 3, … jepni të gjitha zgjidhjet me numra të plotë të barazimit (1).

Tabela e mëposhtme jep shembuj të zgjidhjeve të tilla.

Tabela 1.

y3

x

y

Le ta zgjidhim këtë problem në mënyrë racionale. Zgjidhja përdor një algoritëm specifik.

Detyra 5.

Gjeni dy numra nëse ndryshimi midis prodhimeve të të parit me 19 dhe të dytit me 8 është 13.

Zgjidhje. Kërkohet të zgjidhet ekuacioni 19x - 8y \u003d 13

Le ta rishkruajmë ndryshe: 8y =19x –13; 8y =16x +3x -13; y = 2x +

dhe shënojnë y 1 \u003d y - 2x.

Si rezultat, ekuacioni do të marrë formën 8y 1 = Zx - 13 ose x = 2y 1
.

Nëse përsëri zëvendësojmë x 1 \u003d x - 2y 1, atëherë arrijmë në ekuacionin

3x l - 2v 1 \u003d 13.

Koeficientët për të panjohurat janë ulur - janë shtypur. Bluarje e mëtejshme: y 1 = x l +
, atëherë marrim y 2 \u003d y 1 -x 1.

Si rezultat, ekuacioni i fundit konvertohet në formën x 1 - 2y 2: \u003d 13. Këtu koeficienti në x 1 është i barabartë me 1, dhe për këtë arsye, për çdo numër të plotë y 2 \u003d t, numri x 1 është gjithashtu një numër i plotë.

Mbetet të shprehim variablat origjinale në terma t:

së pari shprehim x 1 \u003d 2t +13, y 1 \u003d 3t +13; dhe pastaj x = 8 t +39, y = 19 t + 91.

Pra, marrim një sekuencë të pafundme (39 + 8t, 91 + 19 t) zgjidhje me numra të plotë. Ekuacioni sëpatë + nga = c (1) në problemet e mësipërme, zgjidha metodën e shpërndarjes (bluarjes).

IV. konkluzioni.

Duke studiuar ekuacionet diofantine për zgjidhjen e tyre, përdora metodat e numërimit të opsioneve dhe shpërndarjes (bluarjes). Me këto metoda zgjidha si problemet moderne ashtu edhe ato të lashta. Përmbajtja e punës sime përfshinte detyra që përfundojnë në zgjidhjen e ekuacioneve të shkallës së parë me dy ndryshore ax + b y \u003d c (1)

Gjatë punës sime, arrita në përfundimet e mëposhtme:

Metoda e numërimit kërkon kosto të konsiderueshme kohore, që do të thotë se nuk është shumë e përshtatshme dhe racionale.

Më racionale, për mendimin tim, është metoda e shpërndarjes. Kur po zgjidhja një problem të vjetër indian me këtë metodë, kuptova se ekziston një algoritëm i caktuar zgjidhjeje. Kisha mjaft njohuri të marra në shkollë. Isha i bindur se metodat për zgjidhjen e ekuacioneve dofantiane po përmirësohen vazhdimisht me zhvillimin e matematikës.

Vitin tjetër dua të vazhdoj të studioj metodat për zgjidhjen e ekuacioneve Diofantine.

V. Bibliografi

G. I. Glazer "Historia e matematikës në shkollë" M.: ed. "Iluminizmi" 1964 376.

I. G. Bashmakova "Ekuacionet diofantine dhe diofantine" M.: ed. "Shkenca" 1972 68-ta.

V. A. Nikiforovsky "Në botën e ekuacioneve" M.: ed. "Shkenca" 1987 176-ta.

A. P. Savin "Fjalori Enciklopedik i një Matematikani të Ri" M .: ed. "Pedagogjia" 1985

G. M. Voznyak, V. F. Gusev "Probleme të aplikuara për ekstreme" M.: ed. "Iluminizmi" 1985 144.

http :// sq . wikipedia . org

VI. Aplikacion.

Në fermë është e nevojshme të kryhet një ujësjellës me gjatësi 167 m. Tuba janë në dispozicion në gjatësi 5m dhe 7m. Sa tuba duhet të përdoren për të bërë numrin më të vogël të lidhjeve (mos i prisni tubat)?

Duke pasur parasysh që numri i njërit dhe i gypave të tjerë mund të ndryshojë, numri i tubave 7 metra shënohet me x,5- metër - përmes në

Atëherë 7x është gjatësia e tubave 7 metra, 5y është gjatësia e tubave 5 metra.

Nga këtu marrim ekuacionin e pacaktuar:

7x+5y=167

Duke nxjerrë, për shembull, një ndryshore në përmes një ndryshoreje X, marrim:

Është e lehtë të gjesh çifte vlerash që përputhen duke përsëritur X dhe në, të cilat plotësojnë ekuacionin 7x+5y=167

(1;32), (6;25), (11;18), (16;11), (21;4).

Nga këto zgjidhje, kjo e fundit është më e favorshme, pra x=21; y=4.

Shumë mënyra të lashta për të gjetur numrat dhe datat e lindjes bazohen në zgjidhjen e ekuacioneve diofantine. Kështu, për shembull, për të marrë me mend datën e lindjes (muajin dhe ditën) e bashkëbiseduesit, mjafton të zbuloni prej tij shumën e marrë nga shtimi i dy produkteve: numri i datës (X ) me numra 12 dhe muajsh (në ) në 31.

2. Le të jetë shuma e punimeve në fjalë 330. Gjeni datëlindjen.

Le të zgjidhim ekuacionin e pacaktuar

12 X + 31 në = 330.

Duke përdorur metodën e shpërndarjes, marrim:

X = 43 – 31 në 4 ,

në = 6 – 12 në 4 .

Duke pasur parasysh kufizimet, është e lehtë të thuhet se e vetmja zgjidhjeështë

në 4 = 1, X = 12, në = 6.

Pra, data e lindjes: dita e 12-të e muajit të 6-të, d.m.th. 12 qershor.

Linear ekuacionet diofantine

Punë kërkimore në algjebër

Nxënësi i klasës së 9-të MOU "Upshinskaya OOSh"

Antonov Yuri

“Nëse doni të mësoni të notoni, atëherë

me guxim futeni në ujë, dhe nëse dëshironi

mësoni të zgjidhni problemet, pastaj zgjidhni ato.

D.Poya

Shefi - Sofronova N.A. .

Një detyrë

Për dysheme me gjerësi 3 metra ka dërrasa me gjerësi 11 cm dhe 13 cm Sa dërrasa të të dyja madhësive duhet të merren?

Nese nje X - numri i dërrasave 11 cm i gjerë, dhe në - numri i dërrasave 13 cm i gjerë, atëherë duhet të zgjidhim ekuacionin:

11 X + 13 y = 300

Karakteristikat e ekuacionit 11 x + 13 y \u003d 300: ▪ Koeficientët 11, 13, 300 janë numra të plotë. ▪ Numri i të panjohurave tejkalon numrin e ekuacioneve. ▪ Zgjidhjet e këtij ekuacioni x dhe y duhet të jenë numër i plotë numra pozitiv

Ekuacionet algjebrike ose sistemet e ekuacioneve algjebrike me koeficientë të plotë, në të cilat numri i të panjohurave tejkalon numrin e ekuacioneve dhe për të cilat duhet gjetur zgjidhje me numra të plotë, quhen të pacaktuara ose diofantinë, emëruar pas një matematikani grek Diofanti .

Shembuj të ekuacioneve diofantine

1 . Gjeni të gjitha çiftet e numrave të plotë

x , y , për të cilën është e vërtetë barazisë

2 . Tregoni se ekuacioni

ka një numër të pafund zgjidhjesh

numra të plotë

Objektiv:

Për të zbuluar:

• Çfarë lloj metodat Me ekzistojnë për zgjidhjet e ekuacioneve diofantine?

Detyrat:

• Gjeni dhe dhe Mësoni metodat e zgjidhjes lineare Ekuacionet diofantine në dy ndryshore.

• Shqyrtoni mundësitë e teorisë së ekuacioneve lineare Diofantine.

Trinjakët e Pitagorës

• Ekuacionet e pacaktuara në numra të plotë u zgjidhën edhe para Diofantit. Me interes të madh ishte, për shembull, ekuacioni algjebrik x 2 + y 2 = z 2 , palët detyruese x , në , z trekëndësh kënddrejtë. Numrat e plotë x , y dhe z , të cilat janë zgjidhje të këtij ekuacioni, quhen "Trenjakët e Pitagorës" .

ekuacioni i Fermatit

• Veprat e Diofantit lidhen drejtpërdrejt edhe me kërkimin matematikor të matematikanit francez Pierre de Fermat. Besohet se ishte puna e Fermat që filloi një valë të re në zhvillimin e teorisë së numrave. Dhe një nga problemet e tij është ekuacioni i famshëm i Fermatit

X n +y n =z n

Asnjë matematikan i vetëm i madh nuk kaloi nga teoria e ekuacioneve Diofantine.

Fermat, Euler, Lagrange, Gauss, Chebyshev lanë gjurmë të pashlyeshme në këtë teori interesante.

Shembuj të ekuacioneve të pacaktuara zgjidhur nga matematikanë të mëdhenj Shekujt 19 dhe 20: x 2 − ny 2 = 1 , ku n nuk është një katror i saktë (Fermat, Pell); x z − y t = 1 , ku z , t 1, (Katalana); Oh 2 + b.xy + su 2 + dx + ey + f = 0 , ku a , b , Me , d , e , f - numra të plotë, pra një ekuacion i përgjithshëm johomogjen i shkallës së dytë me dy të panjohura (P. Fermat, J. Vallis, L. Euler, J. Lagrange dhe K. Gauss)

Ekuacionet diofantine në shekullin e 20-të

1900 Kongresi Ndërkombëtar i Matematikës.

Problemi i 10-të i Hilbertit

Jepet një ekuacion diofantin me disa të panjohura dhe koeficientë racional të numrave të plotë. Është e nevojshme të krijohet një procedurë që mund të përcaktojë në një numër të kufizuar veprimesh nëse ekuacioni është i zgjidhshëm në numra të plotë racional.

Matematikan rus Yuri Matiyasevich vërtetuar :

Problemi i 10-të i Hilbertit është i pazgjidhshëm - algoritmi i kërkuar nuk ekziston.

A është gjithmonë e mundur të gjenden të gjitha zgjidhjet e plota për një ekuacion të caktuar të pacaktuar ose të vërtetohet mungesa e një të tillë?

• Problemi i zgjidhjes së ekuacioneve në numra të plotë është zgjidhur plotësisht vetëm për ekuacionet e shkallës së parë me dy ose tre të panjohura.
• DE e shkallës së dytë me dy të panjohura tashmë zgjidhet me shumë vështirësi.
• DE e shkallës së dytë me më shumë se dy të panjohura zgjidhen vetëm në disa raste të veçanta, për shembull, ekuacioni x 2 + y 2 = z 2 .
• DE-të e shkallës më të lartë se e dyta kanë, si rregull, vetëm një numër të kufizuar zgjidhjesh (në numra të plotë).
• Për ekuacionet mbi shkallën e dytë me dy ose më shumë të panjohura, edhe problemi i ekzistencës së zgjidhjeve të numrave të plotë është mjaft i vështirë. Për shembull, nuk dihet nëse ekuacioni ka

x 3 + y 3 + z 3 = 30 të paktën një zgjidhje me numër të plotë.

• Për të zgjidhur ekuacione diferenciale individuale, dhe ndonjëherë për ekuacione specifike, duhet të shpikni metoda të reja. Natyrisht, nuk ka asnjë algoritëm që do të lejonte gjetjen e zgjidhjeve për DE arbitrare.

Ekuacionet Diofantine Lineare

Forma e përgjithshme:

LDE me dy variabla:

a X + nga = c

LDE me tre variabla:

a X + nga + cz = d

LDE me dy të panjohura

LDE me dy variabla:

a X + nga = c

Zgjidhjet:

x = x 0 - bt

në = në 0 + në

Homogjene:

a X +nga= 0

Zgjidhjet:

x = - bt

në = në

Gjetja e një zgjidhjeje private

Metodat e zgjidhjes:

• Metoda e shumëfishtë.
• Zbatimi i algoritmit të Euklidit.
• Metoda e përsëritjes.
• Metoda e zbritjes.

• Metoda për marrjen në konsideratë të mbetjeve nga pjesëtimi

Metoda e shumëfishtë

zgjidhin ekuacionin 11 x + 2 y = 69

Ne po kërkojmë një shumë të barabartë me 69: 55 + 14 = 69 Zgjidhja e veçantë e ekuacionit

X 0 = 5, y 0 = 7

Zbatimi i algoritmit të Euklidit

zgjidhin ekuacionin 4 x + 7 y = 16

• Le të gjejmë gcd-në e numrave 4 dhe 7 duke përdorur algoritmin e Euklidit: gcd(4,7) = 1

• Le të shprehim numrin 1 përmes koeficientëve a = 4 dhe b =7 duke përdorur teoremën e zgjerimit linear GCD:

GCD ( a, b ) = au+bv .

• Ne marrim: 1 = 4 ∙ 2 + 7 ∙ (-1) u = 2, v = -1

• Zgjidhja e veçantë e ekuacionit: X 0 = 2 ∙ 16 = 32,

në 0 = -1 ∙ 16 = -16

metoda e numërimit

zgjidhin ekuacionin 7 x + 12 y = 100

• 7x + 12y = 100
• 7x \u003d 100 - 12 vjet
• 100 - 12 y shumëfish i 7

Zgjidhja e veçantë e ekuacionit: X 0 = 4, y 0 = 6

100-12u

Metoda e lëshimit: 3x+8y=60

shprehin

e ndryshueshme X

përmes në

shprehin

e ndryshueshme X

përmes t

Përgjigje:

Ekzaminimi:

Metoda për marrjen në konsideratë të mbetjeve nga pjesëtimi

• Zgjidheni ekuacionin në numra të plotë 3x - 4 vjet \u003d 1
• 3 x = 4 y + 1
• Ana e majtë e ekuacionit është e pjestueshme me 3, kështu që ana e djathtë duhet të pjesëtohet me 3. Pjestimi me 3 mund të rezultojë në mbetjet 0, 1 dhe 2.
• Le të shqyrtojmë 3 raste.

3x = 4 ∙ 3p + 1 = 12p + 1

y=3p+1

I papjesëtueshëm me 3

3x = 4 ∙ (3p + 1) +1 = 12p + 3

y=3p+2

I papjesëtueshëm me 3

3 x = 4 ∙ (3p + 2) +1 = 12p + 9

3x=3(4p+3)

x = 4 p + 3

Përgjigje:

Pjestueshem me 3

x = 4 p + 3 ; y=3p+2

Mundësitë e teorisë LDE Gjeni të gjitha zgjidhjet me numra të plotë të një ekuacioni X 2 + 5 vjet 2 + 34z 2 + 2xy - 10xz - 22uz =0

Çfarë më dha projekti?

• Fitoi njohuri për të punuar në një projekt kërkimor.
• Ai u njoh me historinë e zhvillimit të ekuacioneve diofantine dhe biografinë e Diofantit.
• Metodat e studiuara për zgjidhjen e LDE-ve me dy dhe tre të panjohura.
• zgjidhi një grup problemesh që janë të natyrës praktike, si dhe ndodhin në olimpiada, provime për kursin e shkollës bazë.
• Përvetësoi aftësi për të zgjidhur probleme jo standarde.

Mendoj se në të ardhmen do të vazhdoj të studioj ekuacionet diofantine të shkallës së dytë dhe metodat për zgjidhjen e tyre.

LISTA E BURIMEVE TË PËRDORUR

• Matematika në koncepte, përkufizime dhe terma. Pjesa 1. Një udhëzues për mësuesit. Ed. L.V. Sabinina. M., "Iluminizmi", 1978. -320 f. (Biblioteka e një mësuesi matematike.) Në anën e pasme të librit të titullit: O.V. Manturov, Yu.K. Solntsev, Yu.I. Sorokin, N.G. Fedin.
• Nagibin F.F., Kanin E.S. Kutia e Math: Një udhëzues për studentin. - Botimi i 4-të, i rishikuar. dhe shtesë - M.: Iluminizmi, 1984. - Vitet 160., ill.
• N.P. Tuchnin. Si të bëni një pyetje? (Për krijimtarinë matematikore të nxënësve): Një libër për studentët. - M .: Arsimi, 1993. - 192 f., ill.
• S.N.Olekhnik, Yu.V.Nesterenko, M.K.Potapov Probleme të lashta argëtuese. –M.: Bustard, 2002. -176s., ill.
• Ya.I. Perelman. Algjebër argëtuese. - M.: Nauka, 1975. - Vitet 200, i sëmurë.
• Burimet zgjedhore: http :// www.yugzone.ru /x/ diofant-i-diofantovy-uravneniya / I.G. Bashmakova "Ekuacionet diofantine dhe diofantine".
• Burimet zgjedhore: http :// www.goldenmuseum.com /1612Hilbert_eng.html Problemi i 10-të i Hilbertit: historia e një zbulimi matematikor (Diophantus, Fermat, Hilbert, Julia Robinson, Nikolai Vorobyov, Yuri Matiyasevich).
• Burimi zgjedhor: http://ru.wikipedia.org/wiki/ Ekuacionet diofantine.
• Burimet zgjedhore: http :// Revolution.allbest.ru / matematikë /d00013924.html Belov Denis Vladimirovich Ekuacionet lineare diofantine.
• Burimet zgjedhore: http :// Revolution.allbest.ru / matematikë /d00063111.html Ekuacionet Diofantine Lineare
• Burimet zgjedhore: http ://portfolio.1september.ru/work.php?id=570768 Zyuryukina Olga. Ekuacione të pacaktuara në numra të plotë ose ekuacione diofantine.
• Burimet zgjedhore: http ://portfolio.1september.ru/work.php?id=561773 Arapov Aleksandër. Diofanti dhe ekuacionet e tij.
• Burimet zgjedhore: http :// en.wikipedia.org / wiki / Algoritmi i Euklidit.

Ministria e Arsimit dhe Shkencës e Federatës Ruse

Institucioni arsimor shtetëror i lartë

arsimi profesional

Akademia Shtetërore Sociale dhe Pedagogjike Tobolsk

ato. DI. Mendeleev"

Departamenti i Matematikës, TIMOM

Disa ekuacione diofantine

Puna e kursit

Student i vitit të 3-të i FMF

Mataev Evgeny Viktorovich

Këshilltar shkencor:

Kandidati i Shkencave Fizike dhe Matematikore A.I.Valitskas

Gradë: ____________

Tobolsk - 2011

Prezantimi……………………………………………………………………........2

§ 1. Ekuacionet lineare diofantine………………………………………..3

§ 2. Ekuacioni diofantinx 2 – y 2 = a………………………………….....9

§ 3. Ekuacioni diofantinx 2 + y 2 = a…………………………………... 12

§ 4. Ekuacioni x 2 + x + 1 = 3v 2 …………………………………………….. 16

§ 5. Treshe të Pitagorës……………………………………………………….. 19

§ 6. Teorema e fundit e Fermatit………………………………………………………… 23

përfundimi………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Bibliografi...........………………………………………………..30

PREZANTIMI

Një ekuacion diofantin është një ekuacion i formës P(x 1 , … , x n ) = 0 , ku ana e majtë është një polinom në ndryshore x 1 , … , x n me koeficientë të plotë. Çdo grup i porositur (u 1 ; … ; u n ) numra të plotë me veti P(u 1 , … , u n ) = 0 quhet zgjidhje (e pjesshme) e ekuacionit të Diofantinës P(x 1 , … , x n ) = 0 . Të zgjidhësh një ekuacion diofantin do të thotë të gjesh të gjitha zgjidhjet e tij, d.m.th. zgjidhjen e përgjithshme të këtij ekuacioni.

Qëllimi ynë do të jetë të mësojmë se si të gjejmë zgjidhje për disa ekuacione Diofantine, nëse këto zgjidhje janë të disponueshme.

Për ta bërë këtë, ju duhet t'i përgjigjeni pyetjeve të mëposhtme:

a. A ka gjithmonë një zgjidhje ekuacioni Diofantin, gjeni kushtet për ekzistencën e një zgjidhjeje.

b. A ka ndonjë algoritëm që lejon gjetjen e një zgjidhjeje për një ekuacion Diofantine.

Shembuj: 1. Ekuacioni diofantin 5 x – 1 = 0 nuk ka zgjidhje.

2. Ekuacioni diofantin 5 x – 10 = 0 ka një zgjidhje x = 2 , e cila është e vetmja.

3. Ekuacioni ln x – 8 x 2 = 0 nuk është diofantinë.

4. Shpesh ekuacionet e formës P(x 1 , … , x n ) = P(x 1 , … , x n ) , ku P(x 1 , … , x n ) , P(x 1 , … , x n ) janë polinome me koeficientë të plotë, të quajtur edhe Diofantinë. Ato mund të shkruhen në formë P(x 1 , … , x n ) – P(x 1 , … , x n ) = 0 , i cili është standard për ekuacionet diofantine.

5. x 2 – y 2 = aështë një ekuacion diofantin i shkallës së dytë me dy të panjohura x dhe y për çdo numër të plotë a. Ka zgjidhje për a = 1 , por nuk ka zgjidhje për a = 2 .

§ 1. Ekuacionet lineare diofantine

Le a 1 , … , a n , MeZ . Ekuacioni i llojit a 1 x 1 + … + a n x n = c quhet ekuacion linear diofantin me koeficientë a 1 , … , a n , krahu i djathtë c dhe i panjohur x 1 , … , x n . Nëse ana e djathtë c e një ekuacioni linear diofantin është zero, atëherë një ekuacion i tillë diofantin quhet homogjen.

Qëllimi ynë i afërt është të mësojmë se si të gjejmë zgjidhje të veçanta dhe të përgjithshme të ekuacioneve lineare Diofantine në dy të panjohura. Natyrisht, çdo ekuacion homogjen diofantin a 1 x 1 + … + a n x n = 0 gjithmonë ka një zgjidhje të veçantë (0; … ; 0).

Natyrisht, një ekuacion linear diofantin, të gjithë koeficientët e të cilit janë të barabartë me zero, ka një zgjidhje vetëm në rastin kur ana e djathtë e tij është e barabartë me zero. Në përgjithësi, ne kemi sa vijon

Teorema (mbi ekzistencën e një zgjidhjeje të një ekuacioni linear Diofantin). Ekuacioni linear diofantin a 1 x 1 + … + a n x n = c, koeficientët e të cilit nuk janë të gjithë të barabartë me zero, ka një zgjidhje nëse dhe vetëm nëse GCD (a 1 , … , a n ) | c.

Dëshmi. Domosdoshmëria e kushtit është e qartë: GCD (a 1 , … , a n ) | a i (1 i n) , kështu që GCD (a 1 , … , a n ) | (a 1 x 1 + … + a n x n ) , që do të thotë se ndan dhe

c = a 1 x 1 + … + a n x n .

Le D= gcd(a 1 , … , a n ) , c =Dt dhe a 1 u 1 + … + a n u n = D – zgjerimi linear i pjesëtuesit më të madh të përbashkët të numrave a 1 , … , a n. Duke shumëzuar të dyja anët me t, marrim a 1 (u 1 t) + … + a n (u n t) = Dt = c, d.m.th. numër i plotë

n-ka (x 1 t; …; x n t)është një zgjidhje e ekuacionit origjinal me n i panjohur.

Teorema është vërtetuar.

Kjo teoremë jep një algoritëm konstruktiv për gjetjen e zgjidhjeve të veçanta për ekuacionet lineare të Diofantinës.

Shembuj: 1. Ekuacioni linear diofantin 12x+21y=5 nuk ka zgjidhje sepse gcd (12, 21) = 3 nuk ndan 5 .

2. Gjeni një zgjidhje të veçantë të ekuacionit të Diofantinës 12x+21y = 6.

Natyrisht tani gcd(12, 21) = 3 | 6, pra zgjidhja ekziston. Shkruajmë zgjerimin linear gcd(12, 21) = 3 = 122 + 21 (–1). Prandaj, një çift (2; –1) është një zgjidhje e veçantë e ekuacionit 12x+21y=3, dhe një çift (4; –2) është një zgjidhje e veçantë e ekuacionit origjinal 12x+21y = 6.

3. Gjeni një zgjidhje të veçantë për një ekuacion linear 12x + 21y - 2z = 5.

Sepse (12, 21, –2) = ((12, 21), –2) = (3, –2) = 1 | 5 , atëherë zgjidhja ekziston. Pas vërtetimit të teoremës, së pari gjejmë një zgjidhje për ekuacionin (12.21)x–2y=5, dhe më pas, duke zëvendësuar zgjerimin linear të pjesëtuesit më të madh të përbashkët nga problemi i mëparshëm, marrim zgjidhjen e ekuacionit origjinal.

Për të zgjidhur ekuacionin 3x - 2y = 5 shkruani zgjerimin linear gcd (3, -2) = 1 = 31 - 21 padyshim. Pra, disa numra (1; 1) është një zgjidhje e ekuacionit 3 x – 2 y = 1 , dhe një çift (5; 5) është një zgjidhje e veçantë e ekuacionit të Diofantinës 3x - 2y = 5.

Kështu që, (12, 21)5 – 25 = 5 . Duke zëvendësuar këtu zgjerimin linear të gjetur më parë (12, 21) = 3 = 122 + 21(–1) , marrim (122+21(–1))5 – 25 = 5 , ose 1210 + 21(–5) – 25 = 5 , d.m.th. treshe numrash të plotë (10; –5; 5) është një zgjidhje e veçantë e ekuacionit origjinal të Diofantinës 12x + 21y - 2z = 5.

Teorema (mbi strukturën e zgjidhjes së përgjithshme të një ekuacioni linear Diofantin). Për një ekuacion linear Diofantine a 1 x 1 + … + a n x n = c pohimet e mëposhtme janë të vërteta:

(1) nëse = (u 1 ; … ; u n ), = (v 1 ; …; v n ) janë zgjidhjet e tij të veçanta, atëherë dallimi (u 1 – v 1 ; … ; u n – v n ) është një zgjidhje e veçantë e përkatëses ekuacioni homogjen a 1 x 1 + … + a n x n = 0 ,

(2) grupi i zgjidhjeve të veçanta të ekuacionit linear homogjen të Diofantinës a 1 x 1 + … + a n x n = 0 mbyllur me mbledhje, zbritje dhe shumëzim me numra të plotë,

(3) nëse Mështë zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit të dhënë linear Diofantine, dhe Lështë zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit homogjen përkatës të Diofantinës, atëherë për ndonjë zgjidhje të veçantë = (u 1 ; … ; u n ) e ekuacionit origjinal, barazia M = +L .

Dëshmi. Duke zbritur barazinë a 1 v 1 + … + a n v n = c nga barazia a 1 u 1 + … +a n u n = c, marrim a 1 (u 1 – v 1 ) + … + a n (u n – v n ) = 0 , d.m.th., kompleti

(u 1 – v 1 ; … ; u n – v n ) është një zgjidhje e veçantë e ekuacionit linear homogjen Diofantine a 1 x 1 + … + a n x n = 0 . Kështu, është vërtetuar se

= (u 1 ; … ; u n ), = (v 1 ; …; v n ) ML .

Kjo vërteton pohimin (1).

Deklarata (2) vërtetohet në mënyrë të ngjashme:

, L z Z L z L .

Për të vërtetuar (3), së pari vërejmë se M+L. Kjo rrjedh nga ajo e mëparshmja: M+L .

Në të kundërt, nëse = (l 1 ; …; l n ) L dhe = (u 1 ; … ; u n ) M, pastaj M:

a 1 (u 1 + l 1 )+ …+a n (u n + l n ) = (a 1 u 1 + … + a n u n )+(a 1 l 1 + … + a n l n ) = c + 0 = c.

Në këtë mënyrë, + LM, dhe përfundimisht M = +L .

Teorema është vërtetuar.

Teorema e provuar ka një kuptim të qartë gjeometrik. Nëse marrim parasysh ekuacionin linear a 1 x 1 + … + a n x n = c, ku X i R, atëherë, siç dihet nga gjeometria, përcakton në hapësirë R n hiperplani i marrë nga avioni L me ekuacion homogjen a 1 x 1 + … +a n x n =0 duke kaluar nëpër origjinën e koordinatave me një zhvendosje nga disa vektorë R n. Shikoni sipërfaqen + L i quajtur edhe një manifold linear me hapësirë ​​udhëzuese L dhe vektori i zhvendosjes . Kështu, vërtetohet se zgjidhja e përgjithshme M ekuacioni diofantin a 1 x 1 + … + a n x n = c përbëhet nga të gjitha pikat e disa manifoldeve lineare që kanë koordinata me numra të plotë. Në këtë rast, koordinatat e vektorit të zhvendosjes janë gjithashtu numra të plotë, dhe bashkësia L zgjidhjet e ekuacionit homogjen të Diofantinës a 1 x 1 + … + a n x n = 0 përbëhet nga të gjitha pikat në hapësirën udhëzuese me koordinata me numra të plotë. Për këtë arsye, shpesh thuhet se grupi i zgjidhjeve të një ekuacioni arbitrar të Diofantinës formon një manifold linear me një vektor zhvendosjeje. dhe hapësirë ​​drejtuese L.

Shembull: për ekuacionin e Diofantinës x - y \u003d 1 vendim të përbashkët M ka formën (1+y; y), ku yZ, zgjidhja e tij e veçantë = (1; 0) , dhe zgjidhja e përgjithshme L ekuacioni homogjen x – y = 0 do të shkruhet në formular (y; y), ku nëZ. Kështu, ne mund të vizatojmë figurën e mëposhtme, në të cilën zgjidhjet e ekuacionit origjinal të Diofantinës dhe ekuacionit homogjen përkatës të Diofantinës tregohen me pika të trasha në manifoldin linear M dhe hapësirë L përkatësisht.

2. Gjeni zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit të Diofantinës 12x + 21y - 2z = 5.

Zgjidhje private (10; –5; 5) ky ekuacion është gjetur më herët, gjejmë zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit homogjen 12x + 21y - 2z = 0, ekuivalente me ekuacionin Diofantine 12 x + 21 y = 2 z.

Që ky ekuacion të jetë i zgjidhshëm, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që kushti gcd(12, 21) = 3 | 2z, ato. 3 | z ose z = 3t për disa numra të plotë t. Duke reduktuar të dyja pjesët në 3 , marrim 4x + 7y = 2t. Zgjidhja e veçantë (2; –1) e ekuacionit të Diofantinës 4x+7y= 1 gjetur në shembullin e mëparshëm. Kjo është arsyeja pse (4t ; -2t)është një zgjidhje e veçantë e ekuacionit 4x + 7y = 2t për çdo

t Z. Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit homogjen përkatës

(7 u ; –4 u) gjetur tashmë. Kështu, zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit 4x + 7y = 2t duket si: (4t + 7u; -2t-4u) , dhe zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit homogjen 12x + 21y - 2z = 0 do të shkruhet kështu:

(4t + 7u; -2t-4u; 3t).

Është e lehtë të verifikohet se ky rezultat korrespondon me teoremën e lartpërmendur pa prova mbi zgjidhjet e ekuacionit homogjen të Diofantinës a 1 X 1 + … + a n X n = 0 : nëse P =, pastaj R dhe

(u; t) Pështë zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit homogjen të konsideruar.

Pra, zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit të Diofantinës 12x + 21y - 2z = 5 duket kështu: (10 + 4t + 7u; –5 – 2t – 4u; 5+3t).

3. Duke përdorur shembullin e ekuacionit të mëparshëm, ne ilustrojmë një metodë tjetër për zgjidhjen e ekuacioneve diofantine në shumë të panjohura, e cila konsiston në uljen e njëpasnjëshme të vlerës maksimale të moduleve të koeficientëve të saj.

12x + 21y - 2z = 5 12x + (102 + 1)y - 2z = 5

12x + y - 2(z - 10y) = 5

Kështu, zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit të konsideruar mund të shkruhet si më poshtë: (x; 5 - 12x + 2u; 50 - 120x + 21u), ku x, u janë parametra të plotë arbitrar.

§ 2. Ekuacioni diofantinx 2 – y 2 = a

Shembuj: 1. Në a = 0 marrim një numër të pafund zgjidhjesh: x = y ose x = – y për këdo y Z.

2. Në a = 1 ne kemi x 2 – y 2 = 1 (x + y)(x – y) = 1 . Kështu, numri 1 zbërthehet në produktin e dy faktorëve të plotë x + y dhe x – y(e rëndësishme, që x, y- e tërë!). Sepse numri 1 vetëm dy zgjerime në produktin e faktorëve të plotë 1 = 11 dhe 1 = (–1)(–1) , kemi dy mundësi: .

3. Për a = 2 ne kemi x 2 – y 2 = 2 (x + y)(x – y) = 2. Duke vazhduar në mënyrë të ngjashme me atë të mëparshme, ne i konsiderojmë zgjerimet

2=12=21=(–1)(–2)=(–2)(–1), ne kompozojmë sisteme:, të cilat, ndryshe nga shembulli i mëparshëm, nuk kanë zgjidhje. Pra, nuk ka zgjidhje për ekuacionin e konsideruar të Diofantinës x 2 – y 2 = 2.

4. Konsideratat e mëparshme çojnë në disa përfundime. Zgjidhjet e ekuacioneve x 2 – y 2 = a janë në dekompozim a = km në prodhimin e numrave të plotë nga sistemi . Ky sistem ka zgjidhje të tëra nëse dhe vetëm nëse k + m dhe k – m janë të njëtrajtshme, d.m.th. kur numrat k dhe m i njëjti barazi (njëkohësisht çift ose tek). Kështu, ekuacioni diofantin x 2 - y 2 = a ka një zgjidhje nëse dhe vetëm nëse a mund të zgjerohet në një produkt të dy faktorëve numër të plotë me barazi të njëjtë. Mbetet vetëm për të gjetur të gjithë një të tillë.

Teorema (mbi ekuacioninx 2 – y 2 = a ). (1) Ekuacioni x 2 – y 2 = 0 ka një numër të pafund zgjidhjesh .

(2) Çdo zgjidhje e ekuacionit fitohet si , ku a = kmështë zbërthimi i numrit a në produktin e dy faktorëve të plotë të barazisë së njëjtë.

(3) Ekuacioni x 2 – y 2 = a ka një zgjidhje nëse dhe vetëm nëse a 2 (mod 4).

Dëshmi.(1) tashmë është vërtetuar.

(2) tashmë është vërtetuar.

(3) () Le të shohim së pari ekuacionin e Diofantit x 2 – y 2 = a ka një zgjidhje. Le ta vërtetojmë këtë a 2 (mod 4) . Nese nje a = km është zgjerimi në një produkt të numrave të plotë të barazisë së njëjtë, pastaj për çift k dhe m ne kemi k = 2 l, m = 2 n dhe a = km = 4 ln 0 (mod 4) . Në rastin e rastit k, m puna e tyre a gjithashtu e çuditshme, ndryshim a – 2 tek dhe jo i pjesëtueshëm me 4 , d.m.th. përsëri

a 2 (mod 4).

() Nëse tani a 2 (mod 4) , atëherë mund të ndërtojmë një zgjidhje për ekuacionin x 2 – y 2 = a. Në të vërtetë, nëse a është e rastësishme, atëherë a = 1 aështë një zbërthim produkt i numrave të plotë tek, në mënyrë që është zgjidhja e ekuacionit të Diofantinës. Nëse a është çift, atëherë duke pasur parasysh a 2 (mod 4) ne e marrim atë 4 | a, a = 4 b = 2(2 b) është një zbërthim produkt i numrave të plotë çift, në mënyrë që është zgjidhja e ekuacionit të Diofantinës.

Teorema është vërtetuar.

Shembuj: 1. Ekuacioni diofantin x 2 – y 2 = 2012 nuk ka zgjidhje, pasi 2010 = 4502 + 2 2 (mod 4).

2. Ekuacioni diofantin x 2 – y 2 = 2011 ka zgjidhje, sepse

2011 3 (mod 4). Kemi zgjerime të dukshme

2011 = 12011 = 20111 = (–1)(–2011) = (–2011)(–1),

për secilën prej tyre gjejmë zgjidhje (çdo kombinim karakteresh). Nuk ka zgjidhje të tjera, sepse numri 2011 thjeshtë (?!).

§ 3. Ekuacioni diofantinx 2 + y 2 = a

Shembuj: 1. 0 = 0 2 + 0 2 , 1 = 0 2 + 1 2 , k 2 = 0 2 + k 2 . Kështu, është e qartë se çdo katror mund të përfaqësohet në mënyrë të parëndësishme si një shumë e dy katrorëve.

2. 2 = 1 2 + 1 2 , 5 = 1 2 + 2 2 , 8 = 2 2 + 2 2 , 10 = 1 2 + 3 2 , 13 = 2 2 + 3 2 , 17 = 1 2 + 4 2 , 18 = 3 2 + 3 2 , 20 = 2 2 + 4 2 , …

3. Nuk ka zgjidhje për a = 3, 6 = 23, 7, 11, 12 = 2 2 3, 14 = 27, 15 = 35, 19, 21 = 37, 22 = 211, 23, 24 = 32 3 , …

Një analizë e rezultateve të mësipërme mund të sugjerojë se mungesa e zgjidhjeve është disi e lidhur me numrat e thjeshtë të formës

4 n+3 i pranishëm në faktorizimin e numrave që nuk mund të paraqiten si shuma të dy katrorëve.

Teorema (mbi paraqitjen e numrave natyrorë me shuma të dy katrorëve). Një numër natyror a mund të përfaqësohet si një shumë e dy katrorëve nëse dhe vetëm nëse, në zgjerimin e tij kanonik, numrat kryesorë të formës 4 n + 3 kanë edhe eksponentë.

Dëshmi. Së pari vërtetojmë se nëse një numër natyror a mund të përfaqësohet si një shumë e dy katrorëve, atëherë në zgjerimin e tij kanonik të gjithë numrat e thjeshtë të formës 4 n + 3 duhet të ketë edhe eksponentë. Supozoni, në kundërshtim me atë që është vërtetuar, se a= fq 2 k +1 b = x 2 + y 2 , ku

R - numri i thjeshtë i formës 4 n+3 dhe b fq. Imagjinoni numrat X dhe në si

x =Dz, y = Dt, kuD= gcd(x, y) = fq s w, fq w; z, t, s N 0 . Pastaj marrim barazinë R 2 k +1 b = D 2 (z 2 + t 2 ) = fq 2 s w 2 (z 2 + t 2 ) , d.m.th. R 2( k – s )+1 b = w 2 (z 2 + t 2 ) . Ka p në anën e majtë të barazisë (fuqia tek nuk është e barabartë me zero), që do të thotë se një nga faktorët në anën e djathtë është i pjesëtueshëm me numrin e thjeshtë p. Sepse fq w, pastaj p | (z 2 + t 2 ) , ku numrat z, t e thjeshtë reciprokisht. Kjo bie ndesh me lemen tjeter (?!).

Lema (mbi pjesëtueshmërinë e shumës së dy katrorëve me një numër të thjeshtë të formës

4 n + 3 ). Nëse një numër i thjeshtë p = 4n+3 ndan shumën e katrorëve të dy numrave natyrorë, pastaj ndan secilin nga këta numra.

Dëshmi. Nga e kundërta. Le x 2 + y 2 0(mod fq) , por x0(mod fq) ose y 0 (mod fq) . Sepse x dhe y simetrike, ato mund të ndërrohen, kështu që mund të supozojmë se x fq.

Lemë (në modulin e kthyeshmërisëfq ). Për çdo numër të plotë x, i papjesëtueshëm me një numër të thjeshtë fq, ekziston një modul i elementit të anasjelltë fq – një numër i tillë i plotë 1 u < fq, çfarë xi 1 (mod fq).

Dëshmi. Numri x coprime me fq, kështu që ne mund të shkruajmë një zgjerim linear GCD(x, fq) = 1 = xi + pv (u, v Z) . Është e qartë se xi1(modp) , d.m.th. u- element i anasjelltë ndaj x modul fq. Nese nje u nuk e plotëson kufizimin 1 u < fq, pastaj duke u ndarë u me pjesën e mbetur për fq, marrim pjesën e mbetur r u (mod fq) , per cilin xr xi 1 (mod fq) dhe 0 r < fq.

Lema e kthyeshmërisë së modulit fq e provuar.

Krahasimi i shumëzimit x 2 + y 2 0 (mod fq) për katror u 2 element i anasjelltë për të x modul fq, marrim 0 = 0u 2 x 2 u 2 +y 2 u 2 = (xu) 2 + (ju) 2 1 + t 2 (mod p).

Pra për t = ju krahasimi i bërë t 2 –1 (mod fq) , të cilën e sjellim në një kontradiktë. Është e qartë se t fq: ndryshe t 0 (mod fq) dhe 0 t 2 –1 (mod fq) , e cila është e pamundur. Nga teorema e Fermatit kemi t fq –1 1 (mod fq), të cilat së bashku me t 2 –1 (mod fq) dhe fq = 4 n + 3 çon në një kontradiktë:

1 t p–1 = t 4n+3–1 = t 2 (2n+1) = (t 2 ) 2n+1 (–1) 2n+1 = –1 (modp).

Kontradikta e fituar tregon se supozimi rreth x 0 (mod fq) nuk ishte e saktë.

Lemë mbi pjesëtueshmërinë e shumës së dy katrorëve me një numër të thjeshtë 4 n+3 e provuar.

Kështu, vërtetohet se numri, zbërthimi kanonik i të cilit përfshin një numër të thjeshtë fq = 4 n + 3 në një fuqi tek, nuk mund të përfaqësohet si shuma e dy katrorëve.

Le të provojmë tani se çdo numër në zgjerimin kanonik të të cilit janë numrat e thjeshtë fq = 4 n + 3 marrin pjesë vetëm në fuqi çift, të përfaqësuar si shuma e dy katrorëve.

Ideja e provës bazohet në identitetin e mëposhtëm:

(a 2 +b 2 ) (c 2 +d 2 ) = (ac – bd) 2 + (reklamë + p.e.s.) 2 ,

e cila mund të merret nga vetia e njohur e modulit të numrave kompleks - moduli i prodhimit është i barabartë me prodhimin e moduleve. Vërtet,

| z|| t| = | zt| | a + bi|| c + di| = |(a + bi)(c + di)|

|a+bi| 2 |c + di| 2 = |(ac – bd) + (ad + bc)i| 2

(a 2 +b 2 ) (c 2 +d 2 ) = (ac – bd) 2 + (reklamë + p.e.s.) 2 .

Nga ky identitet rrjedh se nëse dy numra u, v mund të përfaqësohen si shuma e dy katrorëve: u = x 2 + y 2 , v = z 2 + t 2 , atëherë produkti i tyre uv mund të përfaqësohet gjithashtu si shuma e dy katrorëve: UV = (xz – yt) 2 + (xt + yz) 2 .

Çdo numër natyror a > 1 mund të shkruhet në formë a= fq 1 … R k m 2 , ku R i janë numra të thjeshtë të dallueshëm në çift, m N . Për ta bërë këtë, mjafton të gjejmë zbërthimin kanonik , shkruani çdo shkallë të formularit r në formën e një katrori (r) 2 për madje = 2, ose në formë r = r(r) 2 për të rastësishme = 2 + 1 , dhe pastaj gruponi veçmas katrorët dhe numrat e thjeshtë të mbetur të thjeshtë. Për shembull,

29250 = 23 2 5 3 13 = 2513(35) 2 , m = 15.

Numri m 2 ka një paraqitje të parëndësishme si shuma e dy katrorëve: m 2 = 0 2 + m 2 . Nëse vërtetojmë përfaqësimin si një shumë e dy katrorëve të të gjithë numrave të thjeshtë R i (1 i k) , pastaj duke përdorur identitetin do të fitohet edhe paraqitja e numrit a. Sipas kushteve, midis numrave R 1 , …, R k mund të takohen vetëm 2 = 1 2 + 1 2 dhe numrat e thjeshtë të formës 4 n + 1 . Kështu, mbetet për të marrë një paraqitje si shuma e dy katrorëve të një numri të thjeshtë p = 4 m + 1. Ne e ndajmë këtë deklaratë në një teoremë të veçantë (shih më poshtë)

Për shembull, për a = 29250 = 2513(15) 2 me radhë marrim:

2 = 1 2 + 1 2 , 5 = 1 2 + 2 2 , 13 = 2 2 + 3 2 ,

25 = (11 – 12) 2 + (12 + 11) 2 = 1 2 + 3 2 ,

2513 = (12 – 33) 2 + (13 + 32) 2 = 7 2 + 9 2 ,

29250 = 2513(15) 2 = (715) 2 + (915) 2 = 105 2 + 135 2 .

Teorema është vërtetuar.

§ 4. Ekuacionix + x + 1 = 3v

Le të merremi tani me ekuacionin x+x+1=Zu. Ajo tashmë ka historinë e saj. Në vitin 1950, R. Oblat sugjeroi që përveç zgjidhjes

x=y=1. nuk ka zgjidhje të tjera në numra natyrorë x, y ku x është një numër tek. Në të njëjtin vit, T. Nagel vuri në dukje zgjidhjen x= 313, y = 181. Një metodë e ngjashme me atë të mësipërme për ekuacionin x+x-2y=0, do të na lejojë të përcaktojmë të gjitha zgjidhjet e ekuacionit x+x+1=3y (1)

në numra natyrorë x, u. Le të pretendojmë se (x, y)është një zgjidhje e ekuacionit (1) në numra natyrorë, dhe x > 1. Mund të shihet lehtësisht se ekuacioni (18) nuk ka zgjidhje në numrat natyrorë x, y, ku x = 2, 3. 4, 5, 6, 7, 8, 9; kështu duhet të jetë x10.

Le ta tregojmë atë 12 vjeç<7 x+3, 7v>4x+ 2. 4y > 2x+1 . (2)

Nëse do të ishte 12 vjeç> 7x+3, do të kishim 144 vjet> 49 x+42 x+9 . dhe meqenëse, duke pasur parasysh (18), 144y= 48x+ 48 x + 48 , atëherë do të ishte X< 6 x +3 9, nga ku

(x-z)< 48 dhe, për rrjedhojë, duke pasur parasysh se x> 10, 7 < 148 , e cila është e pamundur. Kështu, vërtetohet e para nga pabarazitë (2).

Nëse do të ishte 7 vjec< 4 x+2 , do të kishim 49 vjec< 16 x+ 16 x+4 , dhe meqenëse, në funksion të (1), 16 x+ 16 x+ 16 = 48 vjeç, atëherë do të ishte 49 vjec< 48u-12, e cila është e pamundur. Kështu, vërtetohet e dyta nga pabarazitë (2), nga e cila rrjedh drejtpërdrejt e treta. Pra, pabarazitë (2) janë të vërteta.

Le të vendosim tani

w\u003d 7x - 12v + 3,h = -4 x+ 7u-2. (3)

Bazuar në (2), ne gjejmë se w > 0 , h > 0 dhe X -w=3(4 y-2 x-1)>0 dhe për këtë arsye, w<х . Sipas (3), kemi w 2 + w+1=3 h 2 prej nga, në funksion të (1), ne pranojmë g(x, y) = (7x - 12y + 3, -4x + 7y -2).

Pra, mund të themi se, bazuar në çdo zgjidhje (x, y) ekuacionet (1) në numra natyrorë, ku x > 1, kemi një zgjidhje të re (w, h) = g(x, y) ekuacionet (1) në numra natyrorë w, h ku w < х (dhe si rrjedhim zgjidhja në numra natyrorë më të vegjël). Kështu, duke vepruar si më sipër, gjejmë se për secilën zgjidhje të ekuacionit (1) në numra natyrorë x, y, ku x > 1, ekziston një numër natyror n i tillë që g(x, y) = (l, 1).

Duke pranuar f(x, y) = (7x+12v + 3, 4x+ 7v + 2), (4) ne mund ta gjejmë lehtësisht atë f(g(x, y)) = (x, y) dhe si rrjedhim (x, y) = f(1,1) Nga ana tjetër, është e lehtë të kontrollohet nëse (x, y)është zgjidhje e ekuacionit (1) në numra natyrorë, atëherë f(x, y) ekziston edhe një zgjidhje e ekuacionit (1) në numra natyrorë (përkatësisht, më të mëdhenj se X dhe në).

Duke pranuar x=y=1(x, y) = f(1, 1) për n=2,3,…..,

marrim sekuencën { x, y} për n= 1, 2,….., që përmban të gjitha zgjidhjet e ekuacionit (1) në numra natyrorë dhe vetëm zgjidhje të tilla.

Këtu kemi (X,y)= f(1,1)= f(x, y), prandaj, për shkak të (4), marrim

x=7x+12v+3,y=4x+7y+2 (5) (n=1, 2, ...)

Formula që ju lejojnë të përcaktoni vazhdimisht të gjitha zgjidhjet (x, y) ekuacionet (1) në numra natyrorë. Në këtë mënyrë, ne marrim lehtësisht zgjidhje (1,1),(22,13),(313,181),.(4366,2521),(60817,35113),..

Është e qartë se ka një numër të pafund të këtyre zgjidhjeve. Nga barazitë

x=y=1 dhe (4) me induksion gjejmë lehtësisht se numrat X me indekset tek janë tek, me indekset çift janë çift dhe numrat y thelbi i çuditshëm për n = 1, 2, ... Për të marrë të gjitha zgjidhjet e ekuacionit (1) në numra të plotë x, y, siç është e lehtë të vërtetohet, kjo do të vijonte me zgjidhjet e marra tashmë (x, y) bashkohen (x, -y) dhe (-x-1,±y) për n=1, 2, .. .

Pra, këtu kemi, për shembull, më shumë zgjidhje të tilla: (-2,1) (-23,13), (-314,181). A. Rotkevich vuri në dukje se nga të gjitha zgjidhjet e ekuacionit (1) në numra natyrorë x > 1 dhe y mund të marrë të gjitha zgjidhjet e ekuacionit (z+1)-z=y (6)

në numra natyrorë z y. Në të vërtetë, supozojmë se numrat natyrorë z, y plotësojnë ekuacionin (5). Duke vënë x=3z+l, marrim, siç është e lehtë për t'u kontrolluar, numra natyrorë x > 1 dhe në ekuacioni i kënaqshëm (1).

Nga ana tjetër, nëse numrat natyrorë x > 1 dhe në plotësojmë ekuacionin (1), atëherë kemi, pasi është e lehtë të kontrollohet, (x-1)= 3 (y-x), prej nga rezulton se numri (natyror) x-1 i ndarë nga 3 , Rrjedhimisht x-1=3 z, ku zështë një numër natyror, dhe barazia 3z=y-x=y3z-1 , e cila dëshmon se numrat z dhe në plotësoni ekuacionin (6). Kështu, bazuar në zgjidhjet (22,13),(313,181), (4366,2521) ekuacioni (1), marrim zgjidhje (7,13),(104,181),(1455,2521) ekuacionet (6). Gjithashtu këtu vërejmë se nëse numrat natyrorë z y plotësoni ekuacionin (6), vërtetohet se nëështë shuma e dy katrorëve të njëpasnjëshëm, për shembull 13=2+3,181=9+10, 2521=35+ 36 . Në mënyrë të ngjashme, si më parë për ekuacionin (1), ne mund të gjenim të gjitha zgjidhjet e ekuacionit x+(x+1)= y në numra natyrorë x, y, duke marrë për x > 3 g (x. y) \u003d (3x -2v + 1, 3v - 4x - 2) dhe për x> 1 f(x, y) = (3x+ 2v+l, 4x + Zu + 2), që çon në formulën ( x, y)f(3,5) dhe në përfundimin se të gjitha zgjidhjet e ekuacionit (6) në numrat natyrorë x, y janë të përfshira në sekuencën { x, y} për n= 1, 2,…., ku x=3, y=5 dhex=3 x+2 y+1 . y = 4 x+3 y+2 (n=1, 2, ...). Për shembull, x \u003d 3 3 + 2 5 + 1 \u003d 20, y \u003d 4 3 + Z 5 + 2 \u003d 29;x=119, y=169:x=69b, y=985;x=4059, y=5741.

Kuptimi gjeometrik i ekuacionit të konsideruar është se ai jep të gjithë trekëndëshat e Pitagorës (drejtkëndësh me brinjë natyrore), këmbët e të cilëve shprehen me numra natyrorë të njëpasnjëshëm. Ka një numër të pafund të trekëndëshave të tillë (*).

Ekuacioni është x+(x+1)= y, është vërtetuar se nuk ka zgjidhje në numra natyrorë x, y.