Paradoksi i Bertrand Russell. zgjidhjen e problemeve të paradokseve logjike. Berberi me mjekër - zgjidhja e paradoksit të B. Russell-it Berberi rruajti të gjithë ata që nuk rruanin veten

Të gjitha grupet që nuk e përmbajnë veten si element të tyre. A e përmban ai veten si element? Nëse po, atëherë, sipas përkufizimit, nuk duhet të jetë një element - një kontradiktë. Nëse jo - atëherë, sipas përkufizimit, duhet të jetë një element - përsëri një kontradiktë.

Kontradikta në paradoksin e Russell-it lind nga përdorimi në arsyetim i konceptit të brendshëm kontradiktor. grupe të të gjitha grupeve dhe idetë për mundësinë e zbatimit të pakufizuar të ligjeve të logjikës klasike gjatë punës me grupe. Janë propozuar disa mënyra për të kapërcyer këtë paradoks. Më e famshmja është paraqitja e një formalizimi të qëndrueshëm për teorinë e grupeve, në lidhje me të cilën do të ishin të pranueshme të gjitha mënyrat "vërtet të nevojshme" (në një farë kuptimi) të funksionimit me grupe. Në kuadër të një formalizimi të tillë, deklarata për ekzistencën grupe të të gjitha grupeve do të ishte i pakalueshëm.

Në të vërtetë, supozoni se grupi i të gjitha grupeve ekziston. Pastaj, sipas aksiomës së përzgjedhjes, duhet të ekzistojë edhe një bashkësi, elementet e së cilës janë ato dhe vetëm ato bashkësi që nuk e përmbajnë veten si element. Megjithatë, supozimi i ekzistencës së një grupi çon në paradoksin e Russell. Prandaj, në funksion të konsistencës së teorisë, deklarata për ekzistencën e një grupi nuk është e derivueshme në këtë teori, e cila kërkohej të vërtetohej.

Në rrjedhën e zbatimit të programit të përshkruar të "shpëtimit" të teorisë së grupeve, u propozuan disa aksiomatizime të mundshme të saj (teoria Zermelo-Fraenkel ZF, teoria Neumann-Bernays-Gödel NBG, etj.), por pa prova. është gjetur për ndonjë nga këto teori deri tani konsistencë. Për më tepër, siç tregoi Gödel duke zhvilluar një numër teoremash të paplotësisë, një provë e tillë nuk mund të ekzistojë (në një farë kuptimi).

Një tjetër reagim ndaj zbulimit Paradoksi i Rasëllit u shfaq intuitizmi i L. E. Ya. Brouwer.

Opsionet e formulimit

Ka shumë formulime popullore të këtij paradoksi. Njëri prej tyre tradicionalisht quhet paradoksi i berberit dhe shkon kështu:

Një berber fshati u urdhërua "Rruhet këdo që nuk rruhet dhe mos rruhet këdo që rruhet". Si duhet të sillet me veten?

Një tjetër opsion:

Një vend nxori një dekret: “Kryetarët e të gjitha qyteteve nuk duhet të jetojnë në qytetin e tyre, por në një qytet të veçantë kryebashkiakësh”. Ku duhet të jetojë kryetari i bashkisë së kryetarëve?

Dhe një tjetër:

Një bibliotekë e caktuar vendosi të hartonte një katalog bibliografik që do të përfshinte të gjithë ata dhe vetëm ata katalogë bibliografikë që nuk përmbajnë referenca për veten e tyre. A duhet që një drejtori i tillë të përfshijë një lidhje me vetveten?

Shiko gjithashtu

Letërsia

Courant R, Robbins G.Çfarë është matematika? - Ch. II, § 4.5
Miroshnichenko P. N.Çfarë e shkatërroi paradoksin e Rasëllit në sistemin e Frege? // Logjika moderne: problemet e teorisë, historisë dhe zbatimit në shkencë. - SPb., 2000. - S. 512-514.
Katrechko S. L. Paradoksi i Berberit të Russell dhe dialektika e Platonit - Aristoteli // Logjika moderne: problemet e teorisë, historisë dhe aplikimeve në shkencë. - Shën Petersburg, 2002. - S. 239-242.
Martin Gardner Epo me mend çfarë! = Ah! goca. Paradokse për enigmë dhe kënaqësi. - M .: Mir, 1984. - S. 22-23. - 213 f.

Shënime

Fondacioni Wikimedia. 2010 .

Shihni se çfarë është "Russell Paradox" në fjalorë të tjerë:

- (Greqisht paradokse të papritura, të çuditshme) në një kuptim të gjerë: një deklaratë që bie ashpër në kundërshtim me opinionin e pranuar përgjithësisht, të vendosur, mohimin e asaj që duket se është "pa dyshim e saktë"; në një kuptim më të ngushtë, dy pohime të kundërta, për ... ... Enciklopedi Filozofike

Paradoksi i Russell-it, një antinomi teorike e grupeve e zbuluar në 1903 nga Bertrand Russell dhe e rizbuluar më vonë në mënyrë të pavarur nga E. Zermelo, duke demonstruar papërsosmërinë e gjuhës së teorisë naive të grupeve të G. Cantor-it dhe jo mospërputhjen e saj. Antinomia ... ... Wikipedia

paradoks- PARADOKS (nga greqishtja para jashtë dhe mendimi doxa). 1) Në një kuptim të gjerë (jologjik), gjithçka që në një mënyrë ose në një tjetër bie ndesh (ndryshon) nga mendimi i pranuar përgjithësisht, i konfirmuar nga tradita, ligji, rregulli, norma ose sensi i përbashkët. ... ... Enciklopedia e Epistemologjisë dhe Filozofisë së Shkencës

Pozicioni, i cili në fillim nuk është ende i dukshëm, por në kundërshtim me pritjet, shpreh të vërtetën. Në logjikën e lashtë, një paradoks ishte një deklaratë, paqartësia e së cilës i referohet kryesisht korrektësisë ose pasaktësisë së saj. NË…… Enciklopedi Filozofike

- (paradoksi i klasës së të gjitha klasave të bazuara) një paradoks në teorinë e grupeve, që është një përgjithësim i paradoksit të Burali Fortit. I quajtur pas matematikanit rus D. Mirimanov. Përmbajtja 1 Formulimi ... Wikipedia

Demonstron se supozimi i ekzistencës së një bashkësie të të gjithë numrave rendorë çon në kontradikta dhe, për rrjedhojë, teoria e bashkësive, në të cilën është e mundur ndërtimi i një grupi të tillë, është kontradiktore. Përmbajtja 1 Formulimi 2 Historia ... Wikipedia

- (nga paradokset greke i papritur, i çuditshëm) gjykim (deklaratë, fjali) i papritur, i pazakontë (të paktën në formë), në kundërshtim të fortë me opinionin e pranuar përgjithësisht, tradicional për këtë çështje. Në këtë kuptim, epiteti "paradoksal" ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

Paradoksi i Cantorit është një paradoks i teorisë së grupeve, i cili demonstron se supozimi i ekzistencës së një grupi të të gjitha grupeve çon në kontradikta dhe, për rrjedhojë, një teori nuk është konsistente në të cilën ndërtimi i një grupi të tillë ... ... Wikipedia

Ky term ka kuptime të tjera, shih Paradoks (kuptime). Robert Boyle. Skema e provës se një makinë me lëvizje të përhershme nuk ekziston Paradoks ... Wikipedia

libra

Rënia e konceptit metafizik të universalitetit të fushës lëndore në logjikë. Polemika Frege-Schroeder, B. V. Biryukov. AT ky libër konsiderohet historia dramatike e logjikës matematikore, e lidhur me konceptin e "universit të arsyetimit" - fusha lëndore në logjikë. Konflikti i pikëpamjeve mes dy...

Berberi rruan ata dhe vetëm ata që nuk rruhen vetë,
A do të rruhet vetë berberi?

Përgjigje: Berberi do të kryejë aktin e rruajtjes deri
derisa të kuptojë se çfarë po bën. për shembull
prerë të paktën një fije floku. Ato. diçka ndodhi
rezultatin, duke e vlerësuar të cilin, berberi do të jetë në gjendje të bëjë
deduksion logjik nëse rruhet apo jo. Pas së cilës ai
ndaloni rruajtjen e flamurit dhe kur ta arrijë
fakti që në ky moment nuk rruhet, përsërit
veprimet e tyre. si rezultat, shpejtësia e rruajtjes do të jetë
varen nga shpejtësia me të cilën vetë berberi
funksionon si një sistem analitik. Dhe në fund, vendimi
paradoksi do të jetë në kohë, d.m.th. rruaj jo rruaj
i rruar jo i rruar etj. dmth cikli, por
gjeneratori ynë.

Pra, berberi do të rruhet si rezultat?

Varet nga kriteri i së vërtetës për termin rruaj (në
detyrë, nuk është e specifikuar, si rezultat i së cilës detyra nuk është
vendosur saktë).

kështu që mora guximin ta instaloja, në mënyrë që detyra
mori një vendim dhe prezantoi përkufizimin e "rruajeve"
Fakti i rruajtjes është prerja e një fije floku në të njëjtën kohë
koha t1-t2.

copy-pasted nga një forum tjetër:

"Le t'i vendosim të gjitha pikat në Yo!"
Epo, fakti i së vërtetës së rruajtjes është sigurisht i lezetshëm! Dhe kush do ta instalojë në të vërtetë?

Vetë berberi, sigurisht!
Në fund të fundit, ai e përcakton vetë nëse e përmbush kushtin e detyrës në një kohë të caktuar apo jo.
Nëse ai nuk rruhet për momentin, atëherë ai mund të fillojë me qetësi të rruhet. Në këtë moment ai nuk është berber për vete.
Kushti nuk thotë se është e ndaluar të filloni të rruheni ose të rruheni.
Ai nuk duhet të ketë faktin se ai vetë është në dijeni të procesit të rruajtjes, përndryshe do të shkelë kushtin.
Ato. nëse nuk mund ta kuptojë, atëherë NUK e cenon kushtin e problemit!
Dhe në kuadrin e tij të referencës, sipas ligjit të mesit të përjashtuar, kjo nuk mund të ndodhë.

Sepse ai thjesht nuk ka kohë të realizojë veprimin e prerjes së flokëve në momentin t1-t2.

Rezulton se veprimi ka ndodhur dhe berberi nuk ka faj. Po, ai është i vetëdijshëm që ka përfunduar aktin e rruajtjes, por në momentin që nuk e kishte kryer ende, kishte të drejtë të fillonte procedurën e rruajtjes sipas kushtit! Ai nuk ishte berber në ISO-në e tij. Dhe kur u rrua, ndërgjegjja e tij është përsëri e pastër, sepse nuk rruhet më. Dhe vetë fakti i veprimit të rruajtjes në ISO-në e tij nuk është fare i përcaktuar.
Nga këndvështrimi i asnjë fshatari, berberi gjithashtu nuk i ka shkelur kushtet, sepse gjithçka që ka bërë në një interval kaq të shkurtër kohor nuk përcaktohet nga ISO e tyre, dhe aq më tepër. Ata të dy shohin vetëm rezultatin: ai nuk ishte i rruar dhe tani është i rruar.

Nëse marrim një "berber të shpejtë" i cili është në gjendje të përcaktojë faktin e rruajtjes së tij në momentin e prerjes së gjysmës së flokëve, atëherë ai thjesht do të ndalojë për të mos shkelur gjendjen dhe menjëherë do të vazhdojë të rruhet, pasi ai do të përsëri pushoni së qeni berber.

Në çdo rast, berberi do të rruhet dhe nuk do t'i vijë kuptueshmëria se ai ka shkelur kushtin, pavarësisht faktit.

Nuk ju shkon mendja se trupi lëviz në një vijë të drejtë dhe i përshpejtuar uniformisht në vakum për një arsye pas faktit? Ju e merrni si të mirëqenë, apo jo? oops! Trupi ka lëvizur, energjia nuk është shpenzuar, por kush e ka lëvizur? Kush e shpenzoi energjinë?
Po kështu berberi do të përballet me një fakt. Oops! Pabrilsi! Si ndodhi? Kjo, sigurisht, nëse kujtesa e tij është trokitur dhe ai nuk mban mend se çfarë bëri një moment më parë.

Dhe në rastin e ligjit 1 të Njutonit, ju thjesht nuk e bëni atë, kjo është e gjitha.

Dhe vetëm për faktin se berberi kujton atë që bëri një moment më parë, dhe gjithashtu se ai nuk ishte i rruar, ai mund të bëjë një supozim deduktiv se ai është rruar vetë dhe se ka shkelur kushtin.
Fakti i rruajtjes nuk mund të vërtetohej, por patjetër që ishte.
Ne zbatojmë ligjin e logjikës së përmbysjes së shkakësisë:
përfundimi deduktiv kthehet në induktiv në rastin e vërtetimit se nuk mund të ketë një tjetër përfundim deduktiv, por nuk mund të ketë, nuk kishte njeri aty pranë, prandaj berberi u rrua vetë, dhe jo një mrekulli e rruajti, dhe fakti i shkeljes. tashmë është krijuar në mënyrë induktive.
(Do t'ju kërkoj ta ndjeni këtë moment, sepse këtu ju tregova se si funksionon ligji i përmbysjes së shkakësisë për konceptin e induksionit dhe deduksionit, ku mund të tregoj tjetër)

Por kjo përsëri nuk cenon kushtet e problemit, pasi problemi nuk thotë asgjë nëse berberi duhet të vuajë nga kjo pas faktit. Kishte një pyetje të rruhej apo të mos rruhej.

Edhe nëse berberi arrin në përfundimin se ai shkel kushtin pas faktit të rruajtjes së një floku dhe se përpjekja për t'u rruar përsëri do ta çojë atë në shkeljen tjetër të gjendjes së problemit, kjo përsëri nuk ndryshon asgjë, pasi problemi nuk ishte udhëzohet të marrë parasysh me kohë reagimet negative, d.m.th. sipas parazgjedhjes, ne i neglizhojmë ato sipas konventës.

"Vëzhgues? Ky është një tjetër ISO."

Në fund të fundit, detyra është vendosur për berberin, dhe jo për një lloj vëzhguesi të jashtëm, i cili mund të masë procedurën e rruajtjes së një floku duke e kuantizuar këtë veprim në më shumë detaje sesa berberi në komponentë në një ISO tjetër (lëvizje e ngadaltë). kuptoni procesin e rruajtjes së gjysmës së flokëve dhe thoni se berberi shkel gjendjen. Epo, po, nga pozicioni i tij, berberi do ta prishë, por kjo nuk bie në kundërshtim me gjendjen e problemit.

Pronari i një berberie në një fshat ka postuar njoftimin e mëposhtëm: "Unë rruaj ata dhe vetëm ata banorë të fshatit që nuk rruhen vetë". Pyetja është kush e rruan berberin?

Zhvillimi logjika matematikore u intensifikua veçanërisht në shekullin e 20-të në lidhje me zhvillimin e teknologjisë kompjuterike dhe programimit.

Ø Përkufizimi Logjika matematikoreështë një formë moderne e logjikës që mbështetet tërësisht në formale metodat matematikore. Ai studion vetëm konkluzionet me objekte dhe gjykime të përcaktuara rreptësisht për të cilat është e mundur të vendoset pa mëdyshje nëse janë të vërteta apo të rreme.

Koncepti themelor (i papërcaktuar) i logjikës matematikore është koncepti i " deklaratë e thjeshtë". Një deklaratë, e cila është një deklaratë e vetme, zakonisht quhet e thjeshtë ose elementare.

Ø Deklaratë përkufizimiështë një fjali deklarative që mund të thuhet se është e vërtetë ose e gabuar.

Deklaratat mund të jenë të vërteta I ose të rreme L.

Shembull: Planeti Tokë sistem diellor. (E vërtetë); Çdo paralelogram është katror (E gabuar)

Ka deklarata për të cilat është e pamundur të thuhet me siguri nëse janë të vërteta apo të rreme. "Sot moti është i mirë" (kushdo që e pëlqen)

Shembull deklaratë "Po bie shi"- e thjeshtë, dhe e vërtetë ose e rreme varet nga moti tani jashtë dritares. Nëse vërtet bie shi, atëherë deklarata është e vërtetë, dhe nëse është me diell dhe është e kotë të presësh për shi, atëherë deklarata është "Po bie shi" do të jetë false.

Shembull" " nuk është një deklaratë (nuk dihet se çfarë vlerash merr).

"Studenti i dytë" nuk është një thënie

Ø PërkufizimiElementare thëniet nuk mund të shprehen me thënie të tjera.

Ø PërkufizimiKompozit propozimet janë propozime që mund të shprehen duke përdorur propozime elementare.

Shembull"Numri 22 është çift" është një deklaratë elementare.

Ekzistojnë dy qasje kryesore për të vërtetuar vërtetësinë e pohimeve: empirike (eksperimentale) dhe logjike.

Në qasje empirike e vërteta e pohimit vërtetohet me ndihmën e vëzhgimeve, matjeve, eksperimenteve.

qasje logjike qëndron në faktin se e vërteta e një deklarate përcaktohet në bazë të së vërtetës së pohimeve të tjera, pra pa iu referuar fakteve, përmbajtjes së tyre, pra formalisht. Kjo qasje bazohet në identifikimin dhe përdorimin e lidhjeve logjike ndërmjet pohimeve të përfshira në argument.

2.2 Logjika propozicionale

Para së gjithash, ju duhet të përcaktoni konceptet, sepse i njëjti seksion shpesh quhet ndryshe: logjika matematikore, logjika propozicionale (fjali), logjika simbolike, logjika me dy vlera, logjika propozicionale, algjebra e Bulit ...

Ø Përkufizimilogjika propozicionale- një pjesë e logjikës në të cilën çështja e së vërtetës ose falsitetit të pohimeve shqyrtohet dhe vendoset në bazë të studimit të metodës së ndërtimit të pohimeve nga e. elementare(më tej të pa zbërthyera dhe të pa analizuara) deklarata me ndihmën e veprimeve logjike të lidhjes ("dhe"), ndarjes ("ose"), mohimit ("jo"), nënkuptimit ("nëse...atëherë...") , etj.

Ø Përkufizimi Kalkulus propozicionalështë një sistem logjik aksiomatik, interpretimi i të cilit është algjebra e pohimeve.

Me interes më të madh është ndërtimi i një sistemi formal, i cili, midis të gjitha pohimeve të mundshme, dallon ato që janë ligje logjike (arsyetimi i ndërtuar saktë, përfundimet logjike, tautologjitë, deklaratat përgjithësisht të vlefshme).

Teoritë formale, duke mos përdorur gjuhën e natyrshme (të folurit), kanë nevojë për gjuhën e tyre formale në të cilën shkruhen shprehjet që hasen në të.

Ø Përkufizimi Quhet sistemi formal që gjeneron pohime që janë tautologji dhe vetëm ato llogaritja propozicionale(IV).

Sistemi formal IoT përcaktohet nga:

Cilat simbole përdoren më mirë për të treguar lidhjet logjike?

Le të ndalemi në shënimet e mëposhtme: mohim, lidhëz, shkëputje, nënkuptim dhe ekuivalencë. Zakonisht, vlerat logjike të rezultateve të aplikimit të lidhjeve shkruhen në formën e tabelave (të ashtuquajturat tabela të së vërtetës).

2.3 Lidhjet logjike...................................................... ......................

Në gjuhën natyrore, roli i lidhoreve në kompozim fjali të ndërlikuara nga ato të thjeshtat luajnë mjetet e mëposhtme gramatikore:

sindikatat "dhe", "ose", "jo";

fjalët "nëse ..., atëherë", "ose ... ose",

"nëse dhe vetëm nëse" etj.

Në logjikën propozicionale, lidhjet logjike të përdorura për të kompozuar propozime komplekse duhet të përcaktohen saktësisht.

Le të shqyrtojmë lidhjet (operacionet) logjike në pohime, në të cilat vlerat e së vërtetës së pohimeve të përbëra përcaktohen vetëm nga vlerat e së vërtetës së pohimeve përbërëse, dhe jo nga kuptimi i tyre.

Ekzistojnë pesë lidhje logjike të përdorura gjerësisht.

mohim (i përfaqësuar nga një shenjë),

lidhëz (shenjë),

ndarje (shenja v),

nënkuptim (shenjë)

ekuivalencë (shenjë).

Ø PërkufizimiNegacion pohimet P është një pohim që është i vërtetë nëse dhe vetëm nëse pohimi P është i rremë.

Ø PërkufizimiLidhëza dy propozime P dhe Q - një propozim që është i vërtetë nëse dhe vetëm nëse të dy propozimet janë të vërteta.

Ø PërkufizimiDisjunksion dy propozime P dhe Q - një propozim që është i gabuar nëse dhe vetëm nëse të dy propozimet janë të rreme.

Ø Përkufiziminënkuptim dy pohime P dhe Q - një pohim që është i rremë nëse dhe vetëm nëse P është e vërtetë dhe Q është e gabuar. Pohimi P quhet parcela implikimet dhe pohimi Q - përfundimi implikimet.

Ø PërkufizimiEkuivalenca dy propozime P dhe Q - një propozim që është i vërtetë nëse dhe vetëm nëse vlerat e së vërtetës së P dhe Q janë të njëjta.

Përdorimi i fjalëve "nëse ..." "atëherë ..." në algjebrën e logjikës ndryshon nga përdorimi i tyre në të folurit e përditshëm, ku, si rregull, besojmë se nëse deklarata Xështë e rreme, atëherë deklarata "Nëse X, pastaj në' nuk ka fare kuptim. Përveç kësaj, ndërtimi i një fjalie të formës "nëse X, pastaj në» në të folurën e përditshme nënkuptojmë gjithmonë se fjalia në buron nga propozimi X. Përdorimi i fjalëve "nëse, atëherë" në logjikën matematikore nuk e kërkon këtë, pasi kuptimi i propozimeve nuk merret parasysh në të.

2.4 Operacionet logjike

Baza e teknologjisë dixhitale janë tre operacione logjike që qëndrojnë në themel të të gjitha daljeve kompjuterike. Këto janë tre operacione logjike: DHE, OSE, JO, të cilat quhen "tre shtyllat e logjikës së makinës".

Lidhjet logjike ose operacionet logjike të njohura nga kursi i matematikës diskrete mund të aplikohen në deklarata. Kjo rezulton në formulat. Formulat bëhen propozime duke zëvendësuar të gjitha kuptimet e shkronjave.

Tabelat e së vërtetës së operacioneve bazë logjike.

Disa variabla të lidhura së bashku me operacione logjike quhen funksion logjik.

Përshkrimi i çdo llogaritjeje përfshin një përshkrim të simboleve të kësaj llogaritjeje (alfabeti), formula, të cilat janë konfigurimet përfundimtare të simboleve dhe përkufizimin e formulave të derivueshme.

2.5 Alfabeti i llogaritjes propozicionale

Alfabeti i llogaritjes së shqiptimit përbëhet nga simbole të tre kategorive:

E para prej tyre është shenja e ndarjes ose e mbledhjes logjike, e dyta është shenja e lidhjes ose shumëzimit logjik, e treta është shenja e nënkuptimit ose pasojës logjike dhe e katërta është shenja e mohimit.

Llogaritja propozicionale nuk ka simbole të tjera.

2.6 Formulat Tautologji

Formulat e llogaritjes propozicionale janë sekuenca simbolesh nga alfabeti i llogaritjes propozicionale.

Shkronjat e mëdha të alfabetit latin përdoren për të përcaktuar formulat. Këto shkronja nuk janë simbole llogaritëse. Ato janë vetëm simbole formulash.

Ø Formula e përkufizimit - deklaratë e përbërë e mirëformuar:

1) Çdo shkronjë është formulë.

2) Nëse , janë formula, atëherë , , , , janë gjithashtu formula.

Natyrisht, fjalët nuk janë formula: ) (e treta e këtyre fjalëve nuk përmban kllapa të mbyllura dhe e katërta nuk përmban kllapa).

Vini re se koncepti i lidhjeve logjike nuk është konkretizuar këtu. Zakonisht, disa thjeshtëzime futen në formula. Për shembull, kllapat hiqen në shënimin e formulave sipas të njëjtave rregulla si në algjebër propozicionale.

Ø Përkufizimi. Formula quhet tautologji, nëse merr vetëm vlera të vërteta për çdo vlerë të shkronjave.

Ø Përkufizimi Një formulë që është false për çdo vlerë të shkronjave quhet kontradiktë

Ø Përkufizimi Formula quhet e realizueshme, nëse në një grup të shpërndarjes së vlerave të vërtetësisë së variablave merr vlerën DHE.

Ø Përkufizimi Formula quhet e kundërshtueshme, nëse për disa shpërndarje të vlerave të vërtetësisë së variablave merr vlerën L.

Shembull janë formula sipas pikës 2 të përkufizimit.

Për të njëjtën arsye, fjalët do të jenë formula:

Njëkohësisht me konceptin e një formule, koncepti nënformula ose pjesë e një formule.

1. nënformula formula elementare është vetvetja.

2. Nëse formula ka formën , atëherë nënformulat e saj janë: vetvetja, formula A dhe të gjitha nënformulat e formulës A.

3. Nëse formula ka formën (A * B) (në tekstin e mëtejmë, nën simbolin * do të kuptojmë ndonjërin nga tre simbolet), atëherë nënformulat e saj janë: vetë, formula A dhe B dhe të gjitha nënformulat e formulave. A dhe B.

Shembull Për formulën nënformulat e tij do të jenë:

- nënformula e thellësisë zero,

Nënformulat e thellësisë së parë,

Nënformulat e thellësisë së dytë,

Nënformulat e thellësisë së tretë,

Nënformula e thellësisë së katërt.

Kështu, ndërsa "zhytemi thellë në strukturën e formulës", ne veçojmë nënformula të gjitha thellësi më të madhe

Nga kursi i matematikës diskrete njihen ekuivalencat (ekuivalencat) kryesore logjike, të cilat janë shembuj tautologjish. Të gjitha ligjet logjike duhet të jenë tautologji.

Ndonjëherë quhen ligje rregullat e tërheqjes, të cilat përcaktojnë përfundimin e saktë nga premisat.

2.7Ligjet e logjikës propozicionale

Algjebra e logjikës ka ligje komutative dhe asociative në lidhje me veprimet e lidhjes dhe disjunksionit dhe një ligj shpërndarës të lidhjes në lidhje me disjunksionin, të njëjtat ligje ndodhin në algjebrën e numrave.

Prandaj, mbi formulat e algjebrës së logjikës, është e mundur të kryhen të njëjtat shndërrime që kryhen në algjebrën e numrave (hapja e kllapave, kllapa, vendosja e faktorit të përbashkët).

Konsideroni ligjet bazë të logjikës propozicionale.

1. Komutativiteti:

, .

2. Asociacioni:

3. Shpërndarja:

4. Idempotenca: , .

5. Ligji i mohimit të dyfishtë: .

6. Ligji i përjashtimit të të tretës:.

7. Ligji i kontradiktës: .

8. Ligjet e de Morganit:

9. Ligjet e idempotencës(vetitë e veprimeve me konstante logjike)

Nuk ka eksponentë dhe koeficientë në algjebrën e logjikës. Lidhja e "faktorëve" identikë është e barabartë me njërin prej tyre

Këtu , dhe janë ndonjë letër.

Shembuj. formula e tautologjisë.

Jo mospërputhja e saj.

Antinomia e Russell-it formulohet si më poshtë:

Le Kështë bashkësia e të gjitha bashkësive që nuk e përmbajnë veten si element të tyre. A përmban K veten si element? Nëse po, atëherë sipas përkufizimit K, nuk duhet të jetë një element K- një kontradiktë. Nëse jo, atëherë sipas përkufizimit K, duhet të jetë një element K- përsëri një kontradiktë.

Kontradikta në antinominë e Russell-it lind nga përdorimi i konceptit grupe të të gjitha grupeve dhe idetë për mundësinë e zbatimit të pakufizuar të ligjeve të logjikës klasike gjatë punës me grupe. Janë propozuar disa mënyra për të kapërcyer këtë antinomi. Më e famshmja është paraqitja e një formalizimi të qëndrueshëm për teorinë e grupeve, në lidhje me të cilën do të ishin të pranueshme të gjitha mënyrat "vërtet të nevojshme" (në një farë kuptimi) të funksionimit me grupe. Në kuadër të një formalizimi të tillë, deklarata për ekzistencën grupe të të gjitha grupeve do të ishte i pakalueshëm.

Në të vërtetë, supozoni se grupi U e të gjitha grupeve ekziston. Pastaj, sipas aksiomës së përzgjedhjes, duhet të ekzistojë edhe një grup K, elementet e të cilit janë ato dhe vetëm ato grupe që nuk e përmbajnë veten si element. Megjithatë, supozimi i ekzistencës së një grupi Kçon në antinominë e Rasëllit. Prandaj, në funksion të konsistencës së teorisë, pohimi për ekzistencën e një grupi U nuk është e deduktueshme në këtë teori, e cila duhej të vërtetohej.

Gjatë zbatimit të programit të përshkruar të "shpëtimit" të teorisë së grupeve, u propozuan disa aksiomatizime të mundshme të tij (teoria Zermelo-Fraenkel ZF, teoria Neumann-Bernays-Gödel NBG, etj.), megjithatë, për asnjë nga këto teori, deri më tani asnjë provë e mospërputhjes. Për më tepër, siç tregoi Gödel duke zhvilluar një numër teoremash të paplotësisë, një provë e tillë nuk mund të ekzistojë (në një farë kuptimi).

Një tjetër reagim ndaj zbulimit Paradoksi i Rasëllit u shfaq intuitizmi i L. E. Ya. Brouwer.

Ata gabimisht besojnë se ky paradoks demonstron mospërputhjen e teorisë së grupeve të G. Cantor-it. Për të hedhur poshtë këto pikëpamje, N. Vavilov citon paradoksin e mëposhtëm - "Pardoksi i derrit":

Le nështë një numër i plotë që është edhe më i madh se edhe më i vogël se zero. Pastaj nështë pozitive nëse dhe vetëm nëse është negative.

Është e qartë se prej saj rrjedh vetëm mosekzistenca e numrit të supozuar prej nesh n, dhe jo mospërputhja e teorisë së numrave në përgjithësi - e njëjta metodë përdoret në provat me kontradiktë.

Struktura e këtij paradoksi është identike me strukturën e paradoksit të Russell, i cili na lejon të nxjerrim përfundime vetëm për mospërputhjen e konceptit të "bashkësisë së të gjitha grupeve", por jo teorisë së grupeve në tërësi.

Opsionet e formulimit

Ka shumë formulime popullore të këtij paradoksi. Njëri prej tyre tradicionalisht quhet paradoksi i berberit dhe shkon kështu:

Një berber fshati u urdhërua "Rruhet këdo që nuk rruhet dhe mos rruhet këdo që rruhet" si duhet të sillet me veten?

Një tjetër opsion:

Një vend nxori një dekret: “Kryetarët e të gjitha qyteteve nuk duhet të jetojnë në qytetin e tyre, por në një qytet të veçantë kryebashkiakësh” ku duhet të jetojë kryetari i bashkisë së kryetarëve?

Dhe një tjetër:

Letërsia

R. Courant, G. Robbins. Çfarë është matematika? ch. II, § 4.5
Miroshnichenko P.N. Çfarë e shkatërroi paradoksin e Rasëllit në sistemin e Frege? // Logjika moderne: problemet e teorisë, historisë dhe zbatimit në shkencë. SPb., 2000. fq.512-514.
Katrechko S.L. Paradoksi i Berberit i Rasëllit dhe dialektika e Platon-Aristotelit //Logjika moderne: problemet e teorisë, historisë dhe zbatimit në shkencë. SPb., 2002. fq.239-242.

Shënime

Fondacioni Wikimedia. 2010 .

Shihni se çfarë është "Barber Paradox" në fjalorë të tjerë:

Paradoksi i Russell-it, i zbuluar në 1901 nga Bertrand Russell dhe i rizbuluar më vonë në mënyrë të pavarur nga E. Zermelo, është një paradoks teorik i grupit që demonstron mospërputhjen e sistemit logjik të Frege-s, i cili ishte një përpjekje e hershme për formalizimin ... ... Wikipedia

Matematika zakonisht përcaktohet duke renditur emrat e disa prej degëve të saj tradicionale. Para së gjithash, kjo është aritmetika, e cila merret me studimin e numrave, marrëdhëniet midis tyre dhe rregullat e punës me numrat. Faktet e aritmetikës pranojnë të ndryshme ... ... Enciklopedia Collier

Ouroboros "Gjarpri që gllabëron veten." Vetë-referenca (vetë-referenca) është një fenomen që ndodh në sistemet e propozimeve në ato raste kur një koncept i caktuar i referohet vetvetes. Me fjalë të tjera, nëse ka ... Wikipedia

- ... Wikipedia

Një listë shërbimesh artikujsh të krijuar për të koordinuar punën në zhvillimin e temës. Ky paralajmërim nuk është i instaluar në artikujt informues, listat dhe fjalorët ... Wikipedia

Berberi, pasi mori urdhrin, në fillim u gëzua, sepse shumë ushtarë dinin të rruheshin, rruajtën ata që nuk dinin të rruheshin dhe pastaj u ul në një trung dhe mendoi: çfarë të bënte ai me veten? Në fund të fundit, nëse rruhet vetë, do të shkelë urdhrin e komandantit që të mos rruhet ata që rruhen vetë. Berberi kishte vendosur tashmë që nuk do të rruhej vetë. Por më pas i lindi mendimi se nëse nuk rruhet vetë, do të rezultojë se ai nuk rruhet vetë, dhe me urdhër të komandantit ai duhet të rruhet akoma ...

Çfarë ndodhi me të, historia hesht.

Po në lidhje me teorinë e grupeve? Dhe ja çfarë: komandanti u përpoq të përcaktojë grupin e njerëzve që berberi duhet të rruaj, në këtë mënyrë:

ata dhe vetëm ata që nuk rruhen.

Duket se një grup i zakonshëm përshkruhet me disa fjalë ruse, pse është më keq, për shembull, grupe

të gjithë nxënësit në shkollë?

Por me këtë grup lind menjëherë një problem: nuk është e qartë nëse berberët i përkasin këtij grupi.

Këtu është një version tjetër i këtij paradoksi.

Le ta quajmë mbiemrin e gjuhës ruse reflektuese nëse ka një veti që përcakton. Për shembull, mbiemri "rusisht" është refleksiv, dhe mbiemri "anglisht" është jorefleksiv, mbiemri "tre rrokje" është refleksiv (kjo fjalë përbëhet nga tre rrokje), dhe mbiemri "katër rrokje" është jo -refleksiv (përbëhet nga pesë rrokje). Duket se asgjë nuk na pengon të përcaktojmë kompletin

të gjithë mbiemrat refleksiv.

Por le të marrim parasysh mbiemrin “jorefleksiv”. A është reflektues apo jo?

Mund të thuhet se mbiemri "jo-refleksiv" nuk është as refleksiv dhe as jorefleksiv. Por si atëherë të jesh me një magji të tillë:

A është i vërtetë ose pohimi ose mohimi i vërtetë?

(Kjo magji quhet ligji i mesit të përjashtuar dhe në të vërtetë bazohet metoda e kontradiktës.)

Më në fund, versioni i tretë i paradoksit. Konsideroni grupin

Vendos të tilla që

Ne përfshijmë në grup vetëm ato grupe që i përkasin vetes. Ka grupe që përmbajnë grupe të tjera. Për shembull, le

një grup përmban numra dhe një grup ka dy elementë: një grup dhe një numër. Duke u kthyer te kutitë, mund të thuhet kështu: disa kuti mund të vendosen në kuti të tjera. (Rezulton se çdo sekuencë e tillë e kutive të mbivendosura ka gjithmonë një numër të kufizuar elementesh - ka arsye të thella për këtë.)

Seti i konsideruar është një lloj "berberi". Nëse supozojmë se, menjëherë konkludojmë se. Nëse supozojmë se - ne e marrim atë.

Përballë këtyre paradokseve, teoricienët e grupeve e kuptuan këtë nuk mund të specifikoni grupe me fraza arbitrare. Pas kësaj, ata filluan të merren me paradokset në dy mënyra.

Mënyra e parë është mënyra e Cantor, i cili doli me "teorinë naive të grupeve", në të cilën të gjitha veprimet dhe operacionet që çojnë në paradokse janë të ndaluara. Ideja është kjo: lejohet të punohet me grupe që "ndodhin në natyrë", lejohet gjithashtu të punohet me grupe që përftohen prej tyre me operacione të arsyeshme teorike të grupeve. Le, për shembull,

Shumë nxënës shkolle
= bashkësi funksionesh të vazhdueshme

(këto grupe "gjenden në natyrë"), prej tyre mund të merrni bashkim, kryqëzim. Mund edhe të shumëzohet grupi me grup: sipas përkufizimit

Një grup çiftesh në të cilat elementi i parë është nga grupi i parë dhe i dyti është nga i dyti. Në rastin tonë, ky është një grup çiftesh në të cilat elementi i parë është një student i shkollës, dhe i dyti është një lloj funksioni i vazhdueshëm.

Një mënyrë tjetër është aksiomatike. Kjo mënyrë e kapërcimit të paradokseve u zhvillua nga Zermelo dhe Frenkel (sistemi i aksiomave Zermelo–Frenkel), Gödel dhe Bernays (sistemi i aksiomave Godel–Bernays). Sipas kësaj teorie, një grup është diçka që plotëson aksiomat si në vijim.

Të dhënat e aksiomave janë të dyfishuara në "gjuhën e sasive". Këtu janë kuptimet e kuantifikuesve të përdorur:
- për këdo;
- ekziston;
- ka vetëm një;
- është një grup;
- grupi i atyre dhe vetëm atyre që plotësojnë kushtin;
- logjik "ose";
- logjike "dhe".

1. Aksioma e vëllimit. Një grup përcaktohet nga elementet e tij: grupet që përbëhen nga të njëjtat elementë janë të barabartë.

2. Aksioma e unifikimit. Bashkimi i të gjithë elementëve të një grupi është një bashkësi.

3. Aksioma e përzgjedhjes. Për çdo grup dhe çdo kusht ka një grup

Një nëngrup elementësh të grupit që plotësojnë kushtin.

Me fjalë të tjera, ne nuk mund të marrim grupin e të gjithë krokodilëve fluturues nga e gjithë bota ose grupin e atyre grupeve që nuk përmbajnë vetveten, por ne mundemi, duke marrë një grup të caktuar, të zgjedhim një "copë" në të - një grup elementet e tij që plotësojnë disa kushte.

4. Aksioma e shkallës. Bashkësia e të gjitha nënbashkësive të një bashkësie të caktuar është një bashkësi.

5. Aksioma e zëvendësimit. Le të jetë një grup dhe le të jetë një formulë arbitrare. Atëherë nëse për secilin ekziston dhe është unike e tillë që është e vërtetë, atëherë ekziston një grup i të gjithave për të cilat ekziston i tillë që është i vërtetë.

6. Aksioma e financimit. Nuk ka një sekuencë të pafund grupesh të mbivendosura: çdo zinxhir grupesh

7. Aksioma e pafundësisë. Ka grupe të pafundme, pra grupe të tilla që janë të barasvlefshme në madhësi me .

8. Aksioma e zgjedhjes. Një tjetër aksiomë shumë komplekse, por edhe shumë e dukshme - për të më vonë.

Për më shumë mbi aksiomatikën e teorisë së grupeve, shihni librin.