Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi.

Ecuațiile nedefinite sunt ecuații care conțin mai multe necunoscute. O singură soluție a unei ecuații nedefinite este înțeleasă ca un set de valori ale necunoscutelor, care transformă ecuația dată într-o egalitate adevărată.

Pentru a rezolva în numere întregi ecuații de forma ah + de = c , Unde A, b , c sunt numere întregi altele decât zero, prezentăm o serie de prevederi teoretice care ne vor permite stabilirea unei reguli de decizie. Aceste prevederi se bazează și pe fapte cunoscute teoria divizibilității.

Teorema 1.Dacă GCD (A, b ) = d , apoi există astfel de numere întregi Xși la, că egalitatea ah + b y= d . (Această egalitate se numește o combinație liniară sau o reprezentare liniară a celui mai mare divizor comun a două numere în ceea ce privește numerele în sine.)

Demonstrarea teoremei se bazează pe utilizarea egalității algoritmului euclidian pentru a găsi cel mai mare divizor comun a două numere (cel mai mare divizor comun este exprimat în termeni de coeficienti parțiali și resturi, începând cu ultima egalitate din algoritmul euclidian).

Exemplu.

Aflați reprezentarea liniară a celui mai mare divizor comun al numerelor 1232 și 1672.

Soluţie.

1. Compuneți egalitățile algoritmului Euclid:

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, adică. (1672,352) = 88.

2) Exprimăm secvenţial 88 în termeni de câte şi resturi incomplete, folosind egalităţile obţinute mai sus, începând de la sfârşit:

88 = 440 - 352∙1 = (1672 - 1232) - (1232 - 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, adică. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).

Teorema 2. Dacă ecuaţia ah + b y = 1 dacă gcd (A, b ) = 1 , este suficient să prezentați numărul 1 ca o combinație liniară a numerelor a și b.

Valabilitatea acestei teoreme rezultă din teorema 1. Astfel, pentru a găsi o singură soluție întreagă a ecuației ah + b y = 1, dacă mcd(a, c) = 1, este suficient să reprezentați numărul 1 ca o combinație liniară de numere A și în .

Exemplu.

Aflați întreaga soluție a ecuației 15x + 37y = 1.

Soluţie.

1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,

15 = 7 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),

Teorema 3. Dacă în ecuație ah + b y = cu mcd(a, b ) = d >1 și Cu nedivizibil cu d , atunci ecuația nu are soluții întregi.

Pentru a demonstra teorema, este suficient să presupunem contrariul.

Exemplu.

Aflați întreaga soluție a ecuației 16x - 34y = 7.

Soluţie.

(16,34)=2; 7 nu este divizibil cu 2, ecuația soluțiilor întregi are nr

Teorema 4. Dacă în ecuație ah + b y = cu mcd(a, b ) = d >1 și cu d , atunci acesta

Când se demonstrează teorema, ar trebui să se arate că o soluție întreagă arbitrară a primei ecuații este și o soluție a celei de-a doua ecuații și invers.

Teorema 5. Dacă în ecuație ah + b y = cu mcd(a, b ) = 1, atunci toate soluțiile întregi ale acestei ecuații sunt conținute în formulele:

t este orice număr întreg.

Când se demonstrează teorema, ar trebui să se arate, în primul rând, că formulele de mai sus dau de fapt soluții pentru ecuația dată și, în al doilea rând, că o soluție întreagă arbitrară a acestei ecuații este conținută în formulele de mai sus.

Teoremele de mai sus ne permit să stabilim următoarea regulă pentru rezolvarea ecuației în numere întregi ah+ b y = cu mcd(a, b ) = 1:

1) Se găsește o soluție întreagă a ecuației ah + b y = 1 prin reprezentarea 1 ca o combinație liniară de numere A șib (există și alte modalități de a găsi soluții întregi la această ecuație, de exemplu, folosind fracții continue);

O formulă generală pentru soluții întregi ale datei

Dăruind t anumite valori întregi, este posibil să se obțină soluții particulare ale acestei ecuații: cea mai mică în valoare absolută, cea mai mică pozitivă (dacă este posibil), etc.

Exemplu.

Găsiți soluții întregi ale ecuației 407x - 2816y = 33.

Soluţie.

1. Simplificăm această ecuație, aducând-o la forma 37x - 256y \u003d 3.

2. Rezolvăm ecuația 37x - 256y \u003d 1.

256 = 37∙ 6 + 34,

37 = 34 ∙1 + 3,

34 = 3 ∙11 + 1.

1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =

37∙(-83) - 256∙(-12),

3. Forma generală a tuturor soluțiilor întregi ale ecuației date:

x \u003d -83 ∙ 3 - 256 t \u003d -249 - 256 t,

y \u003d -12 ∙ 3 ​​​​- 37 t \u003d -36 - 37 t.

Metoda de enumerare exhaustivă a tuturor valorilor posibile ale variabilelor,

incluse în ecuație.

Aflați mulțimea tuturor perechilor de numere naturale care sunt soluții ale ecuației 49x + 51y = 602.

Soluţie:

Exprimăm variabila x din ecuație în termeni de y x =Deoarece x și y sunt numere naturale, x =602 - 51y ≥ 49, 51y≤553, 1≤y≤10.

O enumerare completă a opțiunilor arată că soluțiile naturale ale ecuației sunt x=5, y=7.

Răspuns: (5;7).

Rezolvarea ecuațiilor prin metoda factorizării.

Diophantus, împreună cu ecuațiile liniare, considerau ecuații nedefinite pătratice și cubice. Rezolvarea lor este de obicei dificilă.

Să luăm în considerare un astfel de caz când formula diferenței de pătrate sau o altă metodă de factorizare poate fi aplicată în ecuații.

Rezolvați ecuația în numere întregi: x 2 + 23 = y 2

Soluţie:

Să rescriem ecuația sub forma: y 2 - x 2 \u003d 23, (y - x) (y + x) \u003d 23

Deoarece x și y sunt numere întregi și 23 este un număr prim, sunt posibile următoarele cazuri:

Rezolvând sistemele rezultate, găsim:

(-11;12),(11;12),(11;-12),(-11;-12)

Exprimarea unei variabile în termenii alteia și selectarea părții întregi a fracției.

Rezolvați ecuația în numere întregi: x 2 + xy - y - 2 = 0.

Soluţie:

Exprimăm din această ecuație y în termeni de x:

y (x - 1) \u003d 2 - x 2,

1. Ecuații de gradul I cu două necunoscute

1. Exemple de ecuații de gradul doi cu trei necunoscute

1. Cazul general al ecuației de gradul doi în două necunoscute

DEZVOLTARE DE SOFTWARE

1. Programul nr. 1 (ecuații cu o necunoscută)

INTRODUCERE

Proiectul meu de curs este dedicat uneia dintre cele mai interesante secțiuni ale teoriei numerelor - rezolvarea ecuațiilor în numere întregi.

Rezolvarea în numere întregi a ecuațiilor algebrice cu coeficienți întregi în mai mult de o necunoscută este una dintre cele mai dificile probleme din teoria numerelor.

Problema rezolvării ecuațiilor în numere întregi a fost rezolvată complet doar pentru ecuațiile de gradul doi cu două necunoscute. Remarcăm că pentru ecuațiile de orice grad cu o necunoscută, nu prezintă un interes semnificativ, deoarece această problemă poate fi rezolvată folosind un număr finit de încercări. Pentru ecuațiile de peste gradul doi cu două sau mai multe necunoscute, nu doar problema găsirii tuturor soluțiilor în numere întregi este foarte dificilă, ci chiar și problema mai simplă a stabilirii existenței unei mulțimi finite sau infinite de astfel de soluții.

În proiectul meu, am încercat să prezint câteva dintre principalele rezultate obținute în teorie; soluții de ecuații în numere întregi. Teoremele formulate în acesta sunt prevăzute cu dovezi în cazurile în care aceste dovezi sunt suficient de simple.

1. ECUATII CU UNUL NECUNOSCUT

Luați în considerare o ecuație de gradul întâi cu o necunoscută

Fie coeficienții ecuației

și sunt numere întregi. Este clar că soluția acestei ecuații

va fi un număr întreg numai dacă

este complet divizibil cu . Astfel, ecuația (1) nu este întotdeauna rezolvabilă în numere întregi; deci, de exemplu, a două ecuații și prima are o soluție întreagă, iar a doua în numere întregi este de nerezolvat.

Aceeași împrejurare întâlnim și în cazul ecuațiilor al căror grad este mai mare decât primul: ecuație pătratică

are solutii intregi , ; ecuația în numere întregi este de nerezolvat, deoarece rădăcinile sale sunt iraționale.

Problema găsirii rădăcinilor întregi ale unei ecuații de gradul n cu coeficienți întregi

(2)

rezolvat usor. Într-adevăr, să

este rădăcina acestei ecuații. Apoi

, .

Se vede din ultima egalitate că

se împarte fără rest; prin urmare, fiecare rădăcină întreagă a ecuației (2) este un divizor al termenului liber al ecuației. Pentru a găsi soluții întregi ale ecuației, trebuie să alegeți acei divizori care, atunci când sunt înlocuiți în ecuație, o transformă într-o identitate. Deci, de exemplu, din numerele 1, -1, 2 și -2, care sunt toți divizori ai termenului liber al ecuației

,

doar -1 este rădăcina. Prin urmare, această ecuație are o singură rădăcină întreagă

. Prin aceeași metodă este ușor să se arate că ecuația

în numere întregi este indecidabilă.

De un interes mult mai mare este soluția în numere întregi a unei ecuații cu multe necunoscute.

2. PRIMELE ECUATII DE PUTERE CU DOUA NECUNOSCUT

Luați în considerare o ecuație de gradul întâi cu două necunoscute

,

(3)

și sunt numere întregi altele decât zero și este un număr întreg arbitrar. Presupunem că coeficienții și nu au divizori comuni alții decât unitatea. Într-adevăr, dacă cel mai mare divizor comun al acestor coeficienți este diferit de unitate, atunci egalitățile , ; ecuația (3) ia forma

si poate avea solutii intregi numai daca

impartit de . Astfel, în cazul - toți coeficienții ecuației (3) trebuie împărțiți la , și, reducând (3) cu , ajungem la ecuație

,

ai căror coeficienţi

și primă reciproc.

Luați în considerare mai întâi cazul când

Municipal instituție educațională

Savrush medie şcoală cuprinzătoare

Districtul Pokhvistnevsky Regiunea Samara

Eseu despre matematică pe această temă:

„Ecuații cu doi

necunoscut

în numere întregi »

Completat de: Kolesova Tatiana

Staroverova Nina

la elevii clasei a X-a

MOU Savrushskaya școala secundară

districtul Pokhvistnevsky

Regiunea Samara.

supraveghetor: Yatmankina Galina Mihailovna

profesor de matematică.

Savruha 2011

Introducere.____________________________________________________________3

1. Context istoric _______________________________________5

1.1 Teoreme privind numărul de soluții ale ecuațiilor diofante liniare___6

1.2 Algoritm pentru rezolvarea ecuației în numere întregi _________________ 6

1.3 Metode de rezolvare a ecuațiilor_______________________________ 7

Capitolul 2. Aplicarea metodelor de rezolvare a ecuaţiilor.

1. Rezolvarea problemelor _____________________________________________ 8

2.1 Rezolvarea problemelor folosind algoritmul Euclid ________________ 8

2.2 Mod de enumerare a opțiunilor________________________________ 9

2.3 Metoda de factoring ___________________________ 9

2.4 Metoda reziduală __________________________________________ 12

2. Sarcini ale nivelului de examinare _____________________ 13

Concluzie________________________________________________ 16

Lista literaturii utilizate _____________________________ 17

„Cine controlează numerele,

El conduce lumea"

Pitagora.

Introducere.

Analiza situatiei: Ecuațiile diofante sunt o temă relevantă în epoca noastră, deoarece rezolvarea ecuațiilor, inegalităților, problemelor care se reduc la rezolvarea ecuațiilor în numere întregi folosind estimări pentru variabile se găsește în diverse colecții matematice și colecții ale examenului.

După ce am studiat în lecții diferite moduri de rezolvare a unei ecuații pătratice cu o variabilă, a fost interesant pentru noi să ne dăm seama cum sunt rezolvate ecuațiile cu două variabile. Astfel de sarcini se găsesc la olimpiade și în materialele examenului.

În aia an universitar Elevii de clasa a XI-a vor trebui să susțină examenul de stat unificat la matematică, unde KIM-urile sunt compilate după o nouă structură. Nu există nicio parte „A”, dar sarcinile au fost adăugate la partea „B” și la partea „C”. Compilatorii explică adăugarea lui C6 prin faptul că pentru admiterea la universitate tehnica trebuie să fie capabil să rezolve probleme nivel inalt dificultăți.

Problemă: Rezolvând variante aproximative ale sarcinilor USE, am observat că cele mai comune sarcini din C6 sunt sarcini de rezolvare a ecuațiilor de gradul I și II în numere întregi. Dar nu știm cum să rezolvăm astfel de ecuații. În acest sens, a devenit necesară studierea teoriei unor astfel de ecuații și a algoritmului pentru soluționarea acestora.

Ţintă: Aflați cum să rezolvați ecuații cu două necunoscute de gradul întâi și al doilea în numere întregi.

Sarcini: 1) Studiază literatură educațională și de referință;

2) Colectați material teoretic despre modul de rezolvare a ecuațiilor;

3) Analizați algoritmul de rezolvare a ecuațiilor de acest tip;

4) Descrieți soluția.

5) Luați în considerare o serie de exemple folosind această tehnică.

6) Rezolvați ecuații cu două variabile în numere întregi din

materiale USE-2010 C6.

Obiect de studiu : Rezolvarea ecuațiilor

Subiect de studiu : Ecuații cu două variabile în numere întregi.

Ipoteză: Acest subiect are o mare importanță practică. LA curs şcolar Matematicienii studiază în detaliu ecuații cu o variabilă și diferite moduri de a le rezolva. Are nevoie proces educațional cere elevilor să cunoască și să fie capabili să rezolve ecuații simple în două variabile. Prin urmare, o atenție sporită la acest subiect nu este doar justificată, ci și relevantă în cursul de matematică școlar.

acest lucru poate fi folosit pentru a studia această temă în clase opționale de către studenți, în pregătirea pentru absolvire și examen de admitere. Sperăm că materialul nostru îi va ajuta pe elevii de liceu să învețe cum să rezolve ecuații de acest tip.

Capitolul 1. Teoria ecuaţiilor cu două variabile în numere întregi.

1. Referință istorică.

Diophantine și istoria ecuațiilor diofantine .

Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi este una dintre cele mai vechi probleme matematice. Această zonă a matematicii a atins cea mai mare prosperitate în Grecia antică. Principala sursă care a ajuns până la vremea noastră este opera lui Diophantus - „Aritmetica”. Diophantus a rezumat și a extins experiența acumulată înaintea lui în rezolvarea ecuațiilor nedefinite în numere întregi.

Istoria ne-a păstrat câteva trăsături ale biografiei remarcabilului algebriist alexandrin Diophantus. Potrivit unor surse, Diophantus a trăit până în 364 d.Hr. Doar o biografie deosebită a lui Diophantus este cunoscută cu siguranță, care, conform legendei, a fost sculptată pe piatra funerară și a reprezentat un puzzle:

„Dumnezeu a trimis la el să fie băiat o șaseme din viața lui; adăugând la aceasta a douăsprezecea, Și-a acoperit obrajii cu puf; după a șaptea parte, i-a aprins lumina căsătoriei și la cinci ani după căsătorie i-a dat un fiu. Vai! Copil întârziat nefericit, ajuns la jumătatea vieții pline a tatălui său, a fost dus de soarta nemiloasă. Patru ani mai târziu, mângâindu-și durerea cu știința numerelor, el [Diophantus] și-a încheiat viața ”(aproximativ 84 de ani).

Acest puzzle este un exemplu al problemelor pe care le-a rezolvat Diophantus. S-a specializat în rezolvarea problemelor în numere întregi. Astfel de probleme sunt acum cunoscute sub numele de probleme diofantine.

Cea mai cunoscută, rezolvată de Diophantus, este problema „descompunerii în două pătrate”. Echivalentul său este binecunoscuta teoremă a lui Pitagora. Această teoremă era cunoscută în Babilon, poate că era cunoscută în Egiptul antic, dar pentru prima dată s-a dovedit în școala pitagoreică. Acesta a fost numele unui grup de filozofi interesați de matematică, numit după fondatorul școlii, Pitagora (c. 580-500 î.Hr.)

Viața și opera lui Diofant au continuat în Alexandria, a adunat și a rezolvat probleme cunoscute și a inventat noi probleme. Mai târziu le-a combinat într-o mare lucrare numită Aritmetică. Din cele treisprezece cărți care compun Aritmetica, doar șase au supraviețuit până în Evul Mediu și au devenit o sursă de inspirație pentru matematicienii Renașterii.

1.1 Teoreme privind numărul de soluții ale unei ecuații liniare diofantine.

Aici oferim formulările teoremelor, pe baza cărora poate fi compilat un algoritm de rezolvare a ecuațiilor nedefinite de gradul I în două variabile în numere întregi.

Teorema 1. Dacă în ecuația , , atunci ecuația are cel puțin o soluție.

Teorema 2. Dacă în ecuație , și Cu nu este divizibil cu , atunci ecuația nu are soluții întregi.

Teorema 3. Dacă în ecuație , și , atunci este echivalent cu ecuația în care .

Teorema 4. Dacă în ecuația , , atunci toate soluțiile întregi ale acestei ecuații sunt conținute în formulele:

Unde x 0, y 0

1.2. Algoritm pentru rezolvarea ecuației în numere întregi.

Teoremele formulate ne permit să compunem următoarele algoritm soluții în numere întregi ale unei ecuații de forma .

1. Găsiți cel mai mare divizor comun al numerelor Ași b ,

dacă și Cu nu este divizibil cu , atunci ecuația nu are soluții întregi;

dacă și atunci

2. Împărțiți termen cu termen ecuația de pe , obținând astfel o ecuație în care .

3. Găsiți o soluție întreagă ( x 0, y 0) ecuaţii prin reprezentarea lui 1 ca o combinaţie liniară de numere şi ;

4. Compune formula generala soluții întregi ale acestei ecuații

Unde x 0, y 0 este o soluție întreagă a ecuației , - orice număr întreg.

1.3 Modalități de rezolvare a ecuațiilor

Când rezolvăm ecuații în numere întregi și naturale, putem distinge condiționat următoarele metode:

1. O modalitate de a enumera opțiunile.

2. Algoritmul lui Euclid.

3. Fracții continuate.

4. Metoda de factorizare.

5. Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi ca pătrate în raport cu o variabilă.

6. Metoda reziduurilor.

7. Metoda coborârii infinite.

capitolul 2

1. Exemple de rezolvare a ecuațiilor.

2.1 Algoritmul lui Euclid.

Sarcina 1 . Rezolvați ecuația în numere întregi 407 X – 2816y = 33.

Să folosim algoritmul compilat.

1. Folosind algoritmul Euclid, găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 407 și 2816:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

Prin urmare (407,2816) = 11, cu 33 divizibil cu 11

2. Împărțiți ambele părți ale ecuației inițiale la 11 pentru a obține ecuația 37 X – 256y= 3 și (37, 256) = 1

3. Folosind algoritmul euclidian, găsim o reprezentare liniară a numărului 1 prin numerele 37 și 256.

256 = 37 6 + 34;

Să exprimăm 1 din ultima egalitate, apoi crescând succesiv egalitățile vom exprima 3; 34 și înlocuiți expresiile rezultate în expresia pentru 1.

1 = 34 – 3 11 = 34 – (37 – 34 1) 11 = 34 12 – 37 11 = (256 – 37 6) 12 – 37 11 =

– 83 37 – 256 (–12)

Astfel, 37 (- 83) - 256 (-12) = 1, de unde perechea de numere x 0= – 83 și la 0= – 12 este soluția ecuației 37 X – 256y = 3.

4. Notați formula generală pentru soluțiile ecuației inițiale

Unde t- orice număr întreg.

2.2 Mod de enumerare a opțiunilor.

Sarcina 2. Iepurii și fazanii stau într-o cușcă, au 18 picioare în total. Aflați câte dintre acestea și altele sunt în celulă?

Soluţie: Se întocmește o ecuație cu două variabile necunoscute, în care x este numărul de iepuri, y este numărul de fazani:

4x + 2y = 18 sau 2x + y = 9.

Expres la prin X : y \u003d 9 - 2x.

Astfel, problema are patru soluții.

Răspuns: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

2.3 Metoda de factoring.

Enumerarea opțiunilor la găsirea soluțiilor naturale la o ecuație cu două variabile se dovedește a fi foarte laborioasă. De asemenea, dacă ecuația este întreg soluții, este imposibil să le enumerăm, deoarece există un număr infinit de astfel de soluții. Prin urmare, vom arăta încă un truc - metoda factorizării.

Sarcina 3. Rezolvați ecuația în numere întregi y 3 - X 3 = 91.

Soluţie. 1) Folosind formulele de înmulțire abreviate, descompunem partea dreaptă a ecuației în factori:

(y - X)(y 2 + X y + X 2) = 91……………………….(1)

2) Scrieți toți divizorii numărului 91: ± 1; ± 7; ± 13; ±91

3) Facem cercetări. Rețineți că pentru orice număr întreg Xși y număr

y 2 + yx + X 2 ≥ y 2 - 2|y ||X | + X 2 = (|y | - |X |) 2 ≥ 0,

prin urmare, ambii factori din partea stângă a ecuației trebuie să fie pozitivi. Atunci ecuația (1) este echivalentă cu un set de sisteme de ecuații:

; ; ;

4) După ce am rezolvat sistemele, obținem: primul sistem are soluții (5; 6), (-6; -5); a treia (-3; 4),(-4; 3); a doua și a patra soluție în numere întregi nu au.

Răspuns: ecuația (1) are patru soluții (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

Sarcina 4. Găsiți toate perechile de numere naturale care satisfac ecuația

Soluţie. Factorizăm partea stângă a ecuației și scriem ecuația ca

.

pentru că Deoarece divizorii lui 69 sunt numerele 1, 3, 23 și 69, atunci 69 poate fi obținut în două moduri: 69=1 69 și 69=3 23. Având în vedere că , obținem două sisteme de ecuații, prin rezolvarea cărora putem găsi numerele dorite:

Primul sistem are o soluție, iar al doilea sistem are o soluție.

Răspuns: .

Sarcina 5.

Soluţie. Scriem ecuația sub forma

.

Să factorizăm partea stângă a ecuației. obține

.

Produsul a două numere întregi poate fi egal cu 1 numai în două cazuri: dacă ambele sunt egale cu 1 sau -1. Obținem două sisteme:

Primul sistem are soluția x=2, y=2, iar al doilea sistem are soluția x=0, y=0.

Răspuns: .

Sarcina 6. Rezolvați ecuația în numere întregi

.

Soluţie. Scriem această ecuație sub forma

Descompunem partea stângă a ecuației în factori prin metoda grupării, obținem

.

Produsul a două numere întregi poate fi egal cu 7 în următoarele cazuri:

7=1 7=7 1=-1 (-7)=-7 (-1). Astfel, obținem patru sisteme:

Sau , sau , sau .

Soluția primului sistem este o pereche de numere x = - 5, y = - 6. Rezolvând cel de-al doilea sistem, obținem x = 13, y = 6. Pentru al treilea sistem, soluția sunt numerele x = 5, y = 6. Al patrulea sistem are o soluție x = - 13, y = - 6.

Sarcina 7. Demonstrați că ecuația ( X - y) 3 + (y - z) 3 + (z - X) 3 = 30 nu

are soluții întregi.

Soluţie. 1) Factorizăm partea stângă a ecuației și împărțim ambele părți ale ecuației la 3, ca rezultat obținem ecuația:

(X - y)(y - z)(z - X) = 10…………………………(2)

2) Divizorii lui 10 sunt numerele ±1, ±2, ±5, ±10. Rețineți, de asemenea, că suma factorilor din partea stângă a ecuației (2) este egală cu 0. Este ușor de verificat dacă suma oricăror trei numere din mulțimea divizorilor numărului 10, dând un produs de 10, nu va fi egal cu 0. Prin urmare, ecuația inițială nu are soluții în numere întregi.

Sarcina 8. Rezolvați ecuația: x 2 - y 2 \u003d 3 în numere întregi.

Soluţie:

1. aplicați formula pentru înmulțirea prescurtată x 2 - y 2 \u003d (x-y) (x + y) \u003d 3

2. aflați divizorii numărului 3 = -1;-3;1;3

3. Această ecuație este echivalentă cu un set de 4 sisteme:

x-y=1 2x=4 x=2, y=1

X-y=3 x=2, y=-1

X-y=-3 x=-2, y=1

X-y=-1 x=-2, y=-1

Răspuns: (2;1), (2;-1), (-2;1), (-2,-1)

2.4 Metoda reziduurilor.

Sarcina 9 .Rezolvați ecuația: x 2 + xy \u003d 10

Soluţie:

1. Exprimați variabila y în termeni de x: y= 10 ani 2

Y = - X

2. Fracție va fi întreg dacă x Є ±1;±2; ±5;±10

3. Găsiți 8 valori y.

Dacă x=-1 atunci y=-9 x=-5 atunci y=3

x=1 apoi y=9 x=5 apoi y=-3

x=-2 apoi y=-3 x=-10 apoi y=9

x=2 apoi y=3 x=10 apoi y=-9

Sarcina 10. Rezolvați ecuația în numere întregi:

2x 2 -2xy + 9x + y \u003d 2

Soluţie:

exprimăm din ecuație necunoscuta care intră în ea doar până la gradul I – în acest caz la:

2x 2 + 9x-2=2xy-y

Y =

selectăm partea întreagă a fracției folosind regula împărțirii unui polinom la un „unghi” polinom. Primim:

Prin urmare, diferența 2x-1 poate lua numai valorile -3, -1,1,3.

Rămâne de enumerat aceste patru cazuri.

Răspuns : (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

2. Sarcini ale nivelului de examinare

Având în vedere mai multe modalități de rezolvare a ecuațiilor de gradul I cu două variabile în numere întregi, am observat că metoda de factorizare și metoda reziduală sunt cel mai des folosite.

Ecuațiile care sunt date în variantele Examenului Unificat de Stat -2011 se rezolvă în principal prin metoda reziduală.

1. Rezolvați ecuația în numere naturale: , unde m>n

Soluţie:

Să exprimăm variabila P printr-o variabilă t

(y+10) 2< 6 -2 ≤ у+10 ≤ 2 -12 ≤ у ≤ -8

(y+6) 2< 5 -2 ≤ у+6 ≤ 2 -8 ≤ у ≤ -4 у=-8

Răspuns: (12; -8)

Concluzie.

Soluţie alt fel ecuațiile este una dintre liniile de conținut ale cursului școlar de matematică, dar, în același timp, metodele de rezolvare a ecuațiilor cu mai multe necunoscute practic nu sunt luate în considerare. În același timp, rezolvarea ecuațiilor în mai multe necunoscute în numere întregi este una dintre cele mai vechi probleme matematice. Majoritatea metodelor de rezolvare a unor astfel de ecuații se bazează pe teoria divizibilității numerelor întregi, interesul pentru care este determinat în prezent de dezvoltarea rapidă a tehnologia Informatiei. În acest sens, va fi interesant pentru elevii de liceu să se familiarizeze cu metodele de rezolvare a unor ecuații în numere întregi, mai ales că olimpiadele de diferite niveluri oferă foarte des sarcini care presupun rezolvarea unei ecuații în numere întregi, iar anul acesta sunt incluse astfel de ecuații. mai mult şi în materialele examenului.

În munca noastră, am luat în considerare doar ecuații nedefinite de gradul I și II. Ecuațiile de gradul întâi, după cum am văzut, sunt rezolvate destul de simplu. Am identificat tipurile de astfel de ecuații și algoritmi pentru soluțiile lor. S-a găsit și o soluție generală a unor astfel de ecuații.

Ecuațiile de gradul doi sunt mai complicate, așa că am luat în considerare doar cazuri speciale: teorema lui Pitagora și cazurile în care o parte a ecuației are forma unui produs, iar a doua este factorizată.

Marii matematicieni sunt angajați în ecuații de gradul al treilea și mai mult, deoarece soluțiile lor sunt prea complicate și greoaie

În viitor, ne propunem să ne aprofundăm cercetările în studiul ecuațiilor cu mai multe variabile, care sunt utilizate în rezolvarea problemelor.

Literatură.

1. Berezin V.N. Culegere de sarcini pentru activități opționale și extrașcolare la matematică. „Iluminismul” de la Moscova 1985

2. Galkin E.G. Sarcini nestandardizate în matematică. Chelyabinsk "Vzglyad" 2004

3. Galkin E.G. Probleme cu numerele întregi. Chelyabinsk "Vzglyad" 2004

4. Glazer E.I. Istoria matematicii la scoala. „Iluminismul” de la Moscova 1983

5. Mordkovich A.G. Algebra și începutul analizei clasa 10-11. Moscova 2003

6. Matematică. UTILIZARE 2010. Institutul Federal

dimensiuni pedagogice.

7. Sharygin I. F. Curs opțional de matematică. Soluţie

sarcini. Moscova 1986

Textul lucrării este plasat fără imagini și formule.
Versiunea completa munca este disponibilă în fila „Fișiere de lucru” în format PDF

Introducere.

Obiect de studiu.

Cercetarea se referă la una dintre cele mai interesante ramuri ale teoriei numerelor - soluția ecuațiilor în numere întregi.

Subiect de studiu.

Rezolvarea în numere întregi a ecuațiilor algebrice cu coeficienți întregi în mai mult de o necunoscută este una dintre cele mai dificile și străvechi probleme de matematică și nu este suficient de profund reprezentată în cursul de matematică școlar. În lucrarea mea, voi prezenta o analiză destul de completă a ecuațiilor în numere întregi, o clasificare a acestor ecuații în funcție de metodele de rezolvare a acestora, o descriere a algoritmilor de rezolvare a acestora, precum și exemple practice de aplicare a fiecărei metode pentru rezolvarea ecuațiilor în numere întregi.

Ţintă.

Aflați cum să rezolvați ecuații în numere întregi.

Sarcini:

Studiază literatură educațională și de referință;

Colectați material teoretic despre cum să rezolvați ecuații;

Analizați algoritmi de rezolvare a ecuațiilor de acest tip;

Descrieți soluții;

Luați în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor folosind aceste metode.

Ipoteză:

În fața ecuațiilor în numere întregi în sarcinile olimpiadei, am presupus că dificultățile în rezolvarea lor se datorează faptului că nu îmi sunt cunoscute toate modalitățile de rezolvare a acestora.

Relevanţă:

La rezolvarea unor variante aproximative ale sarcinilor USE, am observat că există adesea sarcini pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul I și II în numere întregi. În plus, sarcinile olimpiadei diverse niveluri conțin, de asemenea, ecuații în numere întregi sau probleme care sunt rezolvate folosind abilitățile de a rezolva ecuații în numere întregi. Importanța de a ști cum să rezolv ecuații în numere întregi determină relevanța cercetării mele.

Metode de cercetare

Analiza teoretică și generalizarea informațiilor literatura stiintifica despre ecuații în numere întregi.

Clasificarea ecuațiilor în numere întregi după metodele soluționării lor.

Analiza și generalizarea metodelor de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi.

Rezultatele cercetării

Lucrarea descrie metode de rezolvare a ecuațiilor, are în vedere materialul teoretic al teoremei lui Fermat, teorema lui Pitagora, algoritmul lui Euclid, prezintă exemple de rezolvare a problemelor și ecuațiilor de diferite niveluri de complexitate.

2.Istoria ecuațiilor în numere întregi

Diophantus - un om de știință - algebriist al Greciei Antice, conform unor surse, a trăit până în anul 364 d.Hr. e. S-a specializat în rezolvarea problemelor în numere întregi. De aici denumirea de ecuații diofantine. Cea mai cunoscută, rezolvată de Diophantus, este problema „descompunerii în două pătrate”. Echivalentul său este binecunoscuta teoremă a lui Pitagora. Viața și opera lui Diofant au continuat în Alexandria, a adunat și a rezolvat probleme cunoscute și a inventat noi probleme. Mai târziu le-a combinat într-o mare lucrare numită Aritmetică. Din cele treisprezece cărți care compun Aritmetica, doar șase au supraviețuit până în Evul Mediu și au devenit o sursă de inspirație pentru matematicienii Renașterii.Aritmetica lui Diofant este o colecție de probleme, fiecare include o soluție și o explicație necesară. Colecția include o varietate de probleme, iar soluția lor este adesea foarte ingenioasă. Diophantus este interesat doar de soluții întregi pozitive și raționale. El numește soluțiile iraționale „imposibile” și selectează cu atenție coeficienții astfel încât să se obțină soluțiile pozitive, raționale dorite.

Teorema lui Fermat este folosită pentru a rezolva ecuații în numere întregi. Istoria a cărei dovadă este destul de interesantă. Mulți matematicieni eminenti au lucrat la o demonstrație completă a Marii Teoreme, iar aceste eforturi au condus la multe rezultate în teoria numerelor modernă. Se crede că teorema este pe primul loc în ceea ce privește numărul de demonstrații incorecte.

Remarcabilul matematician francez Pierre Fermat a afirmat că ecuația pentru întregul n ≥ 3 nu are soluții în numere întregi pozitive x, y, z (xyz = 0 este exclus de pozitivitatea lui x, y, z. Pentru cazul n = 3, aceasta Teorema a fost încercată în secolul X, demonstrată de matematicianul din Asia Centrală al-Khojandi, dar demonstrația sa nu a fost păstrată. Ceva mai târziu, Fermat însuși a publicat o demonstrație a unui caz particular pentru n = 4.

Euler în 1770 a demonstrat teorema pentru n = 3, Dirichlet și Legendre în 1825 pentru n = 5 și Lame pentru n = 7. Kummer a arătat că teorema este adevărată pentru toți primii n mai mici de 100, cu posibila excepție a lui 37, 59, 67.

În anii 1980 a existat noua abordare la rezolvarea problemei. Din conjectura Mordell, demonstrată de Faltings în 1983, rezultă că ecuația

pentru n > 3 poate avea doar un număr finit de soluții coprime.

Ultimul, dar cel mai important pas în demonstrarea teoremei a fost făcut în septembrie 1994 de Wiles. Dovada sa de 130 de pagini a fost publicată în Annals of Mathematics. Dovada se bazează pe presupunerea matematicianului german Gerhard Frei că Ultima Teoremă a lui Fermat este o consecință a ipotezei Taniyama-Shimura (această ipoteză a fost dovedită de Ken Ribet cu participarea lui J.-P. Serra). Wiles a publicat prima versiunea dovezii sale în 1993 (după 7 ani de muncă grea), dar în ea s-a descoperit curând o lacună serioasă; cu ajutorul lui Richard Lawrence Taylor, decalajul a fost rapid închis. Versiunea finală a fost publicată în 1995. 15 martie 2016 Andrew Wiles primește Premiul Abel. În prezent, prima este de 6 milioane de coroane norvegiene, adică aproximativ 50 de milioane de ruble. Potrivit lui Wiles, premiul a fost o „surpriză completă” pentru el.

3.Ecuații liniare în numere întregi

Ecuațiile liniare sunt cele mai simple dintre toate ecuațiile diofante.

O ecuație de forma ax=b, unde a și b sunt niște numere și x este o variabilă necunoscută, se numește ecuație liniară cu unul necunoscut. Aici este necesar să se găsească numai soluții întregi ale ecuației. Se poate observa că dacă a ≠ 0, atunci ecuația va avea o soluție întreagă numai dacă b este complet divizibil cu a și această soluție este x = b / f. Dacă a=0, atunci ecuația va avea o soluție întreagă când b=0 și în acest caz x este orice număr.

deoarece 12 este divizibil egal cu 4, atunci

pentru că a=o și b=0, atunci x este orice număr

pentru că 7 nu este nici măcar divizibil cu 10, atunci nu există soluții.

4. Mod de enumerare a opțiunilor.

În metoda de enumerare a opțiunilor, este necesar să se ia în considerare semnele de divizibilitate a numerelor, să se ia în considerare toate opțiuni posibile egalitate finită de enumerare. Această metodă poate fi folosită pentru a rezolva aceste probleme:

№1 Aflați mulțimea tuturor perechilor de numere naturale care sunt soluția ecuației 49x+69y=602

Exprimăm din ecuația x =,

pentru că x și y sunt numere naturale, atunci x = ≥ 1, înmulțiți întreaga ecuație cu 49 pentru a scăpa de numitor:

Mutați 602 în partea stângă:

51y ≤ 553, exprimă y, y= 10

O enumerare completă a opțiunilor arată că soluțiile naturale ale ecuației sunt x=5, y=7.

Răspuns: (5,7).-

№2 Rezolvați problema

Din numerele 2, 4, 7, trebuie făcut un număr de trei cifre, în care niciun număr nu poate fi repetat de mai mult de două ori.

Să găsim numărul tuturor numerelor din trei cifre care încep cu numărul 2: (224, 242, 227, 272, 247, 274, 244, 277) - sunt 8 dintre ele.

În mod similar, găsim toate numerele din trei cifre care încep cu numerele 4 și 7: (442, 424, 422, 447, 474, 427, 472, 477).

(772, 774, 727, 747, 722, 744, 724, 742) - sunt, de asemenea, câte 8 numere fiecare. Sunt doar 24 de numere.

Răspuns: 24.

5. Fracția continuă și algoritmul lui Euclid

O fracție continuă este o expresie a unei fracții obișnuite sub forma

unde q 1 este un număr întreg și q 2 , … ,qn sunt numere naturale. O astfel de expresie se numește fracție continuă (finită continuă). Există fracții continue finite și infinite.

Pentru numere rationale fractia continuata are vedere de capăt. În plus, șirul a i este exact șirul de câte care se obține prin aplicarea algoritmului euclidian la numărătorul și numitorul unei fracții.

Rezolvând ecuații cu fracții continuate, am compilat un algoritm general de acțiuni pentru această metodă de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi.

Algoritm

1) Compilați raportul coeficienților pentru necunoscute sub forma unei fracții

2) Convertiți expresia în fracție improprie

3) Selectați partea întreagă a unei fracții improprie

4) Înlocuiți o fracție adecvată cu o fracție egală

5) Faceți 3.4 cu fracția greșită obținută la numitor

6) Repetați 5 până la rezultatul final

7) În expresia rezultată, aruncați ultima verigă a fracției continuate, transformați noua fracție continuată rezultată într-una simplă și scădeți-o din fracția inițială.

Exemplu#1 Rezolvați ecuația 127x- 52y+ 1 = 0 în numere întregi

Să transformăm raportul coeficienților în necunoscute.

În primul rând, selectăm partea întreagă a fracției improprie; = 2 +

Înlocuiți o fracție adecvată cu o fracție egală.

Unde = 2+

Să facem aceleași transformări cu fracția improprie obținută la numitor.

Acum fracția inițială va lua forma: Repetând același raționament pentru fracție, obținem

Am primit o expresie numită fracția finală continuată sau continuată. După ce am renunțat la ultima verigă a acestei fracții continuate - o cincime, transformăm noua fracție continuă rezultată într-una simplă și o scădem din fracția inițială:

Să aducem expresia rezultată la un numitor comun și să o renunțăm.

De unde 127∙9-52∙22+1=0. Din compararea egalității obținute cu ecuația 127x- 52y + 1 = 0, rezultă că atunci x= 9, y= 22 este o soluție a ecuației inițiale, iar conform teoremei, toate soluțiile acesteia vor fi conținute în progresiile x= 9+ 52t, y= 22+ 127t , unde t=(0; ±1; ±2....). , aruncați ultima verigă și faceți calcule similare celor date mai sus.

Pentru a demonstra această presupunere, vom avea nevoie de unele proprietăți ale fracțiilor continue.

Luați în considerare o fracție ireductibilă. Notăm cu q 1 câtul și cu r 2 restul împărțirii a la b. Apoi obținem:

Atunci b=q 2 r 2 +r 3 ,

Similar

r 2 \u003d q 3 r 3 + r 4, ;

r 3 \u003d q 4 r 4 + r 5,;

………………………………..

Mărimile q 1 , q 2 ,... se numesc coeficienti incompleti. Procesul de mai sus de formare a coeficientilor incompleti se numeste algoritmul lui Euclid. Resturile din diviziunea r 2 , r 3 ,... satisfac inegalitățile

acestea. formează o serie de numere nenegative descrescătoare.

Exemplul #2 Rezolvați ecuația 170x+190y=3000 în numere întregi

După reducerea cu 10, ecuația arată astfel:

Pentru a găsi o anumită soluție, folosim expansiunea unei fracții într-o fracție continuă

După ce a prăbușit penultima fracție potrivită pentru ea într-un obișnuit

O anumită soluție a acestei ecuații are forma

X 0 \u003d (-1) 4300 ∙ 9 \u003d 2700, y 0 \u003d (-1) 5300 ∙ 8 \u003d -2400,

iar generalul este dat de formula

x=2700-19k, y=-2400+17k.

de unde obținem condiția asupra parametrului k

Acestea. k=142, x=2, y=14. .

6. Metoda factoring

Metoda de enumerare a opțiunilor este o modalitate incomodă, deoarece există cazuri în care este imposibil să se găsească soluții complete prin enumerare, deoarece există un număr infinit de astfel de soluții. Metoda factorizării este o tehnică foarte interesantă și se regăsește atât în ​​matematica elementară, cât și în matematica superioară.

Esența constă în transformare identică. Sensul oricărei transformări identice este de a scrie o expresie într-o formă diferită, păstrându-i în același timp esența. Luați în considerare exemple de aplicare a acestei metode.

№1 Rezolvați ecuația în numere întregi y 3 - X 3 = 91.

Folosind formulele de înmulțire prescurtate, descompunem partea dreaptă a ecuației în factori:

(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91

Scriem toți divizorii numărului 91: ± 1; ± 7; ± 13; ±91

Rețineți că pentru orice număr întreg x și y numărul

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 ≥ 0,

prin urmare, ambii factori din partea stângă a ecuației trebuie să fie pozitivi. Atunci ecuația inițială este echivalentă cu setul de sisteme de ecuații:

După ce am rezolvat sistemele, selectăm acele rădăcini care sunt numere întregi.

Obținem soluții pentru ecuația inițială: (5; 6), (-6; -5); (-3; 4),(-4; 3).

Răspuns: (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

№2 Aflați toate perechile de numere naturale care satisfac ecuația x 2 -y 2 = 69

Factorizăm partea stângă a ecuației și scriem ecuația ca

pentru că Deoarece divizorii lui 69 sunt numerele 1, 3, 23 și 69, atunci 69 poate fi obținut în două moduri: 69=1 69 și 69=3 23. Având în vedere că x-y > 0, obținem două sisteme de ecuații, prin rezolvarea cărora putem găsi numerele dorite:

După ce am exprimat o variabilă și înlocuind-o în a doua ecuație, găsim rădăcinile ecuațiilor Primul sistem are o soluție x=35;y=34 , iar al doilea sistem are o soluție x=13, y=10.

Răspuns: (35; 34), (13; 10).

№3 Rezolvați ecuația x + y \u003d xy în numere întregi:

Scriem ecuația sub forma

Să factorizăm partea stângă a ecuației. obține

Produsul a două numere întregi poate fi egal cu 1 numai în două cazuri: dacă ambele sunt egale cu 1 sau -1. Obținem două sisteme:

Primul sistem are o soluție x=2, y=2, iar al doilea sistem are o soluție x=0, y=0. Răspuns: (2; 2), (0; 0).

№4 Demonstrați că ecuația (x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 nu are soluții în numere întregi.

Factorizăm partea stângă a ecuației și împărțim ambele părți ale ecuației la 3, ca rezultat obținem ecuația:

(x - y)(y - z)(z - x) = 10

Divizorii lui 10 sunt numerele ±1, ±2, ±5, ±10. De asemenea, rețineți că suma factorilor din partea stângă a ecuației este egală cu 0. Este ușor de verificat că suma oricăror trei numere din mulțimea divizorilor numărului 10, dând 10 în produs, nu va egal cu 0. Prin urmare, ecuația originală nu are soluții în numere întregi.

7. Metoda reziduurilor

Sarcina principală a metodei este de a găsi restul împărțirii ambelor părți ale ecuației cu un număr întreg, pe baza rezultatelor obținute. Adesea informațiile obținute reduc posibilitățile mulțimilor de soluții ale ecuației. Luați în considerare exemple:

№1 Demonstrați că ecuația x 2 = 3y + 2 nu are soluții în numere întregi.

Dovada.

Luați în considerare cazul în care x, y ∈ N. Luați în considerare resturile ambelor părți împărțite la 3. Partea dreaptă a ecuației dă un rest de 2 când este împărțit la 3 pentru orice valoare a lui y. Partea stângă, care este pătratul unui număr natural, atunci când este împărțită la 3, dă întotdeauna un rest de 0 sau 1. Pe baza acestui lucru, concluzionăm că nu există o soluție pentru această ecuație în numerele naturale.

Luați în considerare cazul în care unul dintre numere este egal cu 0. Atunci, evident, nu există soluții în numere întregi.

Cazul în care y este un întreg negativ nu are soluții, deoarece partea dreaptă va fi negativă, iar partea stângă pozitivă.

Cazul în care x este un întreg negativ, de asemenea, nu are soluții, deoarece se încadrează în unul dintre cazurile avute în vedere mai devreme datorită faptului că (-x) 2 = (x) 2 .

Rezultă că ecuația indicată nu are soluții în numere întregi, ceea ce trebuia să fie demonstrat.

№2 Rezolvați în numere întregi 3 X = 1 + y 2 .

Nu este greu de observat că (0; 0) este soluția acestei ecuații. Rămâne de demonstrat că ecuația nu are alte rădăcini întregi.

Luați în considerare cazurile:

1) Dacă x∈N, y∈N, atunci Z este divizibil cu trei fără rest, iar 1 + y 2 când este împărțit la 3 dă

restul este fie 1, fie 2. Prin urmare, egalitate pentru numere întregi pozitive

valorile lui x, y sunt imposibile.

2) Dacă x este un număr întreg negativ, y∈Z , atunci 0< 3 х < 1, а 1 + y 2 ≥ 0 и

egalitatea este de asemenea imposibilă. Prin urmare, (0; 0) este singurul

Răspuns: (0; 0).

№3 Rezolvați ecuația 2x 2 -2xy+9x+y=2 în numere întregi:

Să exprimăm din ecuație necunoscuta care intră în ea doar până la primul grad, adică variabila y:

2x 2 + 9x-2 = 2xy-y, de unde

Selectăm partea întreagă a fracției folosind regula împărțirii unui polinom la un „unghi” polinom. Primim:

Evident, o diferență de 2x-1 poate lua doar valorile -3, -1, 1 și 3.

Rămâne de enumerat aceste patru cazuri, în urma cărora obținem soluții: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

Răspuns: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

8. Un exemplu de rezolvare a ecuațiilor cu două variabile în numere întregi ca pătrate în raport cu una dintre variabile

№1 Rezolvați ecuația 5x în numere întregi 2 +5 ani 2 + 8xy+2y-2x +2=0

Această ecuație poate fi rezolvată prin metoda factorizării, totuși, această metodă, așa cum este aplicată acestei ecuații, este destul de laborioasă. Să luăm în considerare un mod mai rațional.

Scriem ecuația sub forma unei pătratice în raport cu variabila x:

5x 2 +(8y-2)x+5y 2 +2y+2=0

Îi găsim rădăcinile.

Această ecuație are o soluție dacă și numai dacă discriminantul

din această ecuație este egală cu zero, adică - 9(y+1) 2 =0, deci y= - 1.

Dacă y=-1, atunci x=1.

Răspuns: (1; - 1).

9. Un exemplu de rezolvare a problemelor folosind ecuații în numere întregi.

№ 1. Rezolvați ecuația în numere naturale : unde n>m

Să exprimăm variabila n în termenii variabilei m:

Să găsim divizorii numărului 625: acesta este 1; 5; 25; 125; 625

1) dacă m-25 =1, atunci m=26, n=25+625=650

2) m-25 =5, apoi m=30, n=150

3) m-25 =25, apoi m=50, n=50

4) m-25 =125, apoi m=150, n=30

5) m-25 =625, apoi m=650, n=26

Răspuns: m=150, n=30

№ 2. Rezolvați ecuația în numere naturale: mn +25 = 4m

Rezolvare: mn +25 = 4m

1) exprimați variabila 4m în termeni de n:

2) găsiți divizorii naturali ai numărului 25: acesta este 1; 5; 25

dacă 4-n=1, atunci n=3, m=25

4-n=5, apoi n=-1, m=5; 4-n =25, apoi n=-21, m=1 (rădăcini străine)

Răspuns: (25;3)

Pe lângă sarcinile de rezolvare a ecuației în numere întregi, există sarcini pentru a demonstra faptul că ecuația nu are rădăcini întregi.

Când rezolvați astfel de probleme, este necesar să vă amintiți următoarele proprietăți de divizibilitate:

1) Dacă n Z; n este divizibil cu 2, atunci n = 2k, k ∈ Z.

2) Dacă n ∈ Z; n nu este divizibil cu 2, atunci n = 2k+1, k ∈ Z.

3) Dacă n ∈ Z; n este divizibil cu 3, atunci n = 3k, k ∈ Z.

4) Dacă n ∈ Z; n nu este divizibil cu 3, atunci n = 3k±1, k ∈ Z.

5) Dacă n ∈ Z; n nu este divizibil cu 4, atunci n = 4k+1; n = 4k+2; n = 4k+3. k ∈ Z.

6) Dacă n ∈ Z; n(n+1) este divizibil cu 2, atunci n (n+1)(n+2) este divizibil cu 2;3;6.

7) n; n+1 sunt coprime.

№3 Demonstrați că ecuația x 2 - 3y = 17 nu are soluții întregi.

Dovada:

Fie x; y - soluții ale ecuației

x 2 \u003d 3 (y + 6) -1 y ∈ Z atunci y+6 ∈ Z , deci 3(y+6) este divizibil cu 3, deci 3(y+6)-1 nu este divizibil cu 3, deci x 2 nu este divizibil cu 3, deci x nu este divizibil cu 3, deci x = 3k±1, k ∈ Z.

Înlocuiți acest lucru în ecuația originală.

Avem o contradicție. Aceasta înseamnă că ecuația nu are soluții întregi, ceea ce trebuia să fie demonstrat.

10.Formula de vârf

Formula lui Pick a fost descoperită de matematicianul austriac Georg Pick în 1899. Formula este legată de ecuații în numere întregi, prin aceea că numai nodurile întregi sunt luate din poligoane, precum și numerele întregi din ecuații.

Folosind această formulă, puteți găsi aria unei figuri construite pe o foaie într-o celulă (triunghi, pătrat, trapez, dreptunghi, poligon).

În această formulă, vom găsi puncte întregi în interiorul poligonului și pe marginea acestuia.

În sarcinile care vor fi la examen, există un întreg grup de sarcini în care se dă un poligon construit pe o foaie într-o celulă și se pune întrebarea despre găsirea zonei. Scara celulei este de un centimetru pătrat.

Exemplul #1

M - numărul de noduri de pe marginea triunghiului (pe laturi și vârfuri)

N este numărul de noduri din interiorul triunghiului.

*La „noduri” ne referim la intersecția liniilor. Aflați aria triunghiului:

Observați nodurile:

M = 15 (indicat cu roșu)

N = 34 (marcat cu albastru)

Exemplul #2

Găsiți aria poligonului: Observați nodurile:

M = 14 (indicat cu roșu)

N = 43 (marcat cu albastru)

12.Metoda coborârii

Una dintre metodele de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi - metoda coborârii - se bazează pe teorema lui Fermat.

Metoda coborârii este o metodă care constă în construirea unei soluții la o succesiune infinită de soluții cu z pozitiv infinit descrescător.

Vom lua în considerare algoritmul acestei metode folosind exemplul de rezolvare a unei anumite ecuații.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația în numere întregi 5x + 8y = 39.

1) Să alegem necunoscuta care are cel mai mic coeficient (în cazul nostru, este x) și să o exprimăm în termenii unei alte necunoscute:

2) Selectați partea întreagă: Evident, x va fi întreg dacă expresia se dovedește a fi întreg, care, la rândul său, va avea loc atunci când numărul 4 - 3y este divizibil cu 5 fără rest.

3) Să introducem o variabilă întreagă suplimentară z astfel: 4 -3y = 5z. Ca urmare, obținem o ecuație de același tip cu cea inițială, dar cu coeficienți mai mici.

4) O rezolvăm deja în raport cu variabila y, argumentând exact la fel ca în paragrafele 1, 2: Selectând partea întreagă, obținem:

5) Argumentând similar celei precedente, introducem o nouă variabilă u: 3u = 1 - 2z.

6) Exprimați necunoscuta cu cel mai mic coeficient, în acest caz variabila z: . Cerând ca acesta să fie un întreg, obținem: 1 - u = 2v, de unde u = 1 - 2v. Nu mai sunt fracții, coborârea s-a încheiat (continuăm procesul până când nu mai rămân fracții în expresia pentru următoarea variabilă).

7) Acum trebuie să „mergi în sus”. Exprimați prin variabila v mai întâi z, apoi y și apoi x:

8) Formulele x = 3+8v și y = 3 - 5v, unde v este un număr întreg arbitrar, reprezintă soluția generală a ecuației inițiale în numere întregi.

Astfel, metoda coborârii presupune mai întâi exprimarea secvenţială a unei variabile printr-o alta, până când nu mai rămân fracţii în reprezentarea variabilei, iar apoi, „ascensiunea” secvenţială de-a lungul lanţului de egalităţi pentru a obţine o soluţie generală a ecuaţiei.

12.Concluzie

În urma studiului, s-a confirmat ipoteza că dificultățile în rezolvarea ecuațiilor în numere întregi se datorează faptului că nu mi-au fost cunoscute toate metodele de rezolvare a acestora. Pe parcursul cercetărilor, am reușit să găsesc și să descriu modalități puțin cunoscute de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi, să le ilustrez cu exemple. Rezultatele cercetării mele pot fi utile tuturor studenților interesați de matematică.

13. Bibliografie

Resurse de carte:

1. N. Ya. Vilenkin et al., Algebră și analiză matematică / Clasa 10, Clasa 11 / / M., „Prosveshchenie”, 1998;

2. A. F. Ivanov et al., Matematică. Materiale educaționale și de instruire pentru pregătirea pentru examen // Voronezh, GOUVPO VSTU, 2007

3. A. O. Gel’fond, Matematică, teoria numerelor// Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi// Casa de carte LIBROCOM

Resurse de internet:

4. Opțiuni demo Control materiale de măsurare examen de stat unificat la matematică http://fipi.ru/

5. Exemple de soluții de ecuații în numere întregi http://reshuege.ru

6. Exemple de soluții de ecuații în numere întregi http://mat-ege.ru

7.Istoria ecuațiilor diofantine http://www.goldenmuseum.com/1612Hilbert_rus.html

8. Istoria lui Diophantus http://nenuda.ru/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F- % D1%81-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D0%BC%D1%8F-%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5 % D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8-%D0%B2-%D1%86%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D1%85 - %D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%D1%85.htm

9.Istoria ecuațiilor diofantine http://dok.opredelim.com/docs/index-1732.html

10. Istoria lui Diophantus http://www.studfiles.ru/preview/4518769/

Ecuații neliniare în două necunoscute

Definiția 1 . Să fie A niște set de perechi de numere (X; y). Se spune ca multimea A este data functie numerica z din două variabile x și y , dacă se specifică o regulă, cu ajutorul căreia i se atribuie un anumit număr fiecărei perechi de numere din mulțimea A.

Exercițiu functie numerica z din două variabile x și y adesea desemna Asa de:

Unde f (X , y) - orice altă funcție decât funcția

f (X , y) = topor+de+c ,

unde a, b, c sunt numere date.

Definiția 3 . Rezolvarea ecuației (2). numește o pereche de numere X; y) , pentru care formula (2) este o egalitate adevărată.

Exemplul 1 . rezolva ecuatia

Deoarece pătratul oricărui număr este nenegativ, din formula (4) rezultă că necunoscutele x și y satisfac sistemul de ecuații

a cărei soluție este o pereche de numere (6 ; 3) .

Răspuns: (6; 3)

Exemplul 2 . rezolva ecuatia

Prin urmare, soluția ecuației (6) este un număr infinit de perechi de numere drăguț

(1 + y ; y) ,

unde y este orice număr.

liniar

Definiția 4 . Rezolvarea sistemului de ecuații

numește o pereche de numere X; y) , substituindu-le în fiecare dintre ecuațiile acestui sistem, obținem egalitatea corectă.

Sistemele cu două ecuații, dintre care una liniară, au forma

g(X , y)

Exemplul 4 . Rezolvați un sistem de ecuații

Soluție. Să exprimăm necunoscuta y din prima ecuație a sistemului (7) în termenii necunoscutului x și să substituim expresia rezultată în a doua ecuație a sistemului:

Rezolvarea ecuației

X 1 = - 1 , X 2 = 9 .

Prin urmare,

y 1 = 8 - X 1 = 9 ,
y 2 = 8 - X 2 = - 1 .

Sisteme de două ecuații, dintre care una omogenă

Sistemele cu două ecuații, dintre care una omogenă, au forma

unde a , b , c sunt date numere și g(X , y) este o funcție a două variabile x și y.

Exemplul 6 . Rezolvați un sistem de ecuații

Soluție. Să rezolvăm ecuația omogenă

3X 2 + 2X y - y 2 = 0 ,

3X 2 + 17X y + 10y 2 = 0 ,

tratându-l ca o ecuație pătratică în raport cu necunoscutul x:

.

În cazul când X = - 5y, din a doua ecuație a sistemului (11) obținem ecuația

5y 2 = - 20 ,

care nu are rădăcini.

În cazul când

din a doua ecuație a sistemului (11) obținem ecuația

,

ale căror rădăcini sunt numere y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Găsind pentru fiecare dintre aceste valori y valoarea corespunzătoare x , obținem două soluții ale sistemului: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

Răspuns: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)

Exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații de alte tipuri

Exemplul 8 . Rezolvați sistemul de ecuații (MIPT)

Soluție. Introducem noi necunoscute u și v , care sunt exprimate în termeni de x și y prin formulele:

Pentru a rescrie sistemul (12) în termeni de noi necunoscute, mai întâi exprimăm necunoscutele x și y în termeni de u și v . Din sistemul (13) rezultă că

Rezolvăm sistemul liniar (14) excluzând variabila x din a doua ecuație a acestui sistem. În acest scop, efectuăm următoarele transformări pe sistemul (14).