Acest articol este despre zecimale. Aici ne vom ocupa de notația zecimală a numerelor fracționale, vom introduce conceptul de fracție zecimală și vom da exemple de fracții zecimale. În continuare, să vorbim despre cifrele fracțiilor zecimale, dați numele cifrelor. După aceea, ne vom concentra asupra fracțiilor zecimale infinite, să spunem despre fracțiile periodice și neperiodice. În continuare, listăm principalele acțiuni cu fracții zecimale. În concluzie, stabilim poziția fracțiilor zecimale pe raza de coordonate.

Navigare în pagină.

Notarea zecimală a unui număr fracționar

Citirea zecimale

Să spunem câteva cuvinte despre regulile de citire a fracțiilor zecimale.

Fracțiile zecimale, care corespund fracțiilor ordinare corecte, sunt citite în același mod ca aceste fracții obișnuite, în prealabil se adaugă doar „zero întreg”. De exemplu, fracția zecimală 0,12 corespunde fracției obișnuite 12/100 (se citește „douăsprezece sutimi”), prin urmare, 0,12 este citit ca „virgul zero douăsprezece sutimi”.

Fracțiile zecimale, care corespund numerelor mixte, sunt citite exact în același mod ca aceste numere mixte. De exemplu, zecimala 56.002 îi corespunde număr mixt, prin urmare, fracția zecimală 56,002 se citește „cincizeci și șase virgulă două miimi”.

Locurile în zecimale

În notarea fracțiilor zecimale, precum și în notarea numerelor naturale, valoarea fiecărei cifre depinde de poziția sa. Într-adevăr, numărul 3 în zecimală 0,3 înseamnă trei zecimi, în zecimală 0,0003 - trei zece miimi, iar în zecimală 30.000,152 - trei zeci de mii. Astfel, putem vorbi despre cifre în zecimale, precum și despre cifrele din numere naturale.

Numele cifrelor din fracția zecimală până la virgulă zecimală coincid complet cu numele cifrelor din numere naturale. Și numele cifrelor din fracția zecimală după virgulă sunt vizibile din următorul tabel.

De exemplu, în fracția zecimală 37,051, numărul 3 este pe locul zecilor, 7 este pe locul unităților, 0 este pe locul al zecelea, 5 este pe locul al sutelea, 1 este pe locul al miile.

Cifrele din fracția zecimală diferă și în funcție de vechime. Dacă trecem de la cifră la cifră de la stânga la dreapta în notația zecimală, atunci ne vom muta de la senior la grade juniori. De exemplu, cifra sutelor este mai veche decât cifra a zecimii, iar cifra a milionimii este mai mică decât cifra a sutimii. În această fracție zecimală finală, putem vorbi despre cifrele cele mai semnificative și cele mai puțin semnificative. De exemplu, în zecimală 604,9387 senior (cel mai înalt) cifra este cifra sutelor și junior (cel mai mic)- locul zece mii.

Pentru fracțiile zecimale are loc extinderea în cifre. Este analog cu expansiunea în cifre a numerelor naturale. De exemplu, extinderea zecimală a lui 45,6072 este: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002 . Și proprietățile de adunare din extinderea unei fracții zecimale în cifre vă permit să mergeți la alte reprezentări ale acestei fracții zecimale, de exemplu, 45.6072=45+0.6072 , sau 45.6072=40.6+5.007+0.0002 , sau 45.6072= 42+0.6002 . .

Sfârșit zecimale

Până în acest moment, am vorbit doar despre fracții zecimale, în înregistrarea cărora există un număr finit de cifre după virgulă. Astfel de fracții se numesc fracții zecimale finale.

Definiție.

Sfârșit zecimale- Acestea sunt fracții zecimale, ale căror înregistrări conțin un număr finit de caractere (cifre).

Iată câteva exemple de zecimale finale: 0,317 , 3,5 , 51,1020304958 , 230 032,45 .

Cu toate acestea, nu orice fracție comună poate fi reprezentată ca o fracție zecimală finită. De exemplu, fracția 5/13 nu poate fi înlocuită cu o fracție egală cu unul dintre numitorii 10, 100, ..., prin urmare, nu poate fi convertită într-o fracție zecimală finală. Vom vorbi mai multe despre acest lucru în secțiunea de teorie a conversiei fracțiilor obișnuite în fracții zecimale.

zecimale infinite: fracții periodice și fracții neperiodice

Scriind o fracție zecimală după virgulă, se poate admite posibilitatea prezenței demonilor. cantitatea finală cifre. În acest caz, vom ajunge la luarea în considerare a așa-numitelor fracții zecimale infinite.

Definiție.

zecimale fără sfârșit- Acestea sunt fracții zecimale, în înregistrarea cărora există un număr infinit de cifre.

Este clar că nu putem scrie fracțiile zecimale infinite în întregime, prin urmare, în înregistrarea lor, acestea sunt limitate doar la un anumit număr finit de cifre după virgulă zecimală și pun o elipsă care indică o succesiune infinită de cifre. Iată câteva exemple de fracții zecimale infinite: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….

Dacă te uiți cu atenție la ultimele două fracții zecimale nesfârșite, atunci în fracția 2,111111111 ... numărul 1 care se repetă la infinit este clar vizibil, iar în fracția 69,74152152152 ..., începând cu a treia zecimală, grupul de numere care se repetă 1, 5 și 2 sunt clar vizibile. Astfel de fracții zecimale infinite se numesc periodice.

Definiție.

zecimale periodice(sau pur și simplu fractii periodice) sunt fracții zecimale infinite, în înregistrarea cărora, pornind de la o anumită zecimală, o cifră sau grup de cifre, care se numește perioada de fracție.

De exemplu, perioada fracției periodice 2,111111111... este numărul 1, iar perioada fracției 69,74152152152... este un grup de numere precum 152.

Pentru fracții zecimale periodice infinite, a fost adoptată o notație specială. Pentru concizie, am convenit să scriem punctul o dată, anexând-o între paranteze. De exemplu, fracția periodică 2,111111111... se scrie ca 2,(1) , iar fracția periodică 69,74152152152... este scrisă ca 69,74(152) .

Este de remarcat faptul că pentru aceeași fracție zecimală periodică, puteți specifica perioade diferite. De exemplu, zecimala periodică 0,73333... poate fi considerată ca o fracție 0,7(3) cu o perioadă de 3, precum și o fracție 0,7(33) cu o perioadă de 33 și așa mai departe 0,7(333), 0,7 (3333). ), ... Vă puteți uita și la fracția periodică 0,73333 ... astfel: 0,733(3), sau așa 0,73(333), etc. Aici, pentru a evita ambiguitatea și inconsecvența, suntem de acord să considerăm ca perioadă a unei fracții zecimale cea mai scurtă dintre toate secvențele posibile de cifre care se repetă și începând de la cea mai apropiată poziție până la punctul zecimal. Adică, perioada fracției zecimale 0,73333… va fi considerată o secvență de o cifră 3, iar periodicitatea începe din a doua poziție după virgulă, adică 0,73333…=0,7(3) . Un alt exemplu: fracția periodică 4,7412121212… are o perioadă de 12, periodicitatea începe de la a treia cifră după virgulă, adică 4,7412121212…=4,74(12) .

Fracțiile periodice zecimale infinite sunt obținute prin conversia în fracții zecimale ale fracțiilor obișnuite ai căror numitori conțin factori primi, alții decât 2 și 5.

Aici merită menționat fracțiile periodice cu o perioadă de 9. Iată exemple de astfel de fracții: 6,43(9) , 27,(9) . Aceste fracții sunt o altă notație pentru fracțiile periodice cu perioada 0 și se obișnuiește să le înlocuim cu fracții periodice cu perioada 0. Pentru a face acest lucru, perioada 9 este înlocuită cu perioada 0, iar valoarea următoarei cifrei cea mai mare este mărită cu unu. De exemplu, o fracție cu perioada 9 de forma 7.24(9) este înlocuită cu o fracție periodică cu perioada 0 de forma 7.25(0) sau o fracție zecimală finală egală de 7.25. Un alt exemplu: 4,(9)=5,(0)=5 . Egalitatea unei fracții cu o perioadă de 9 și a fracției sale corespunzătoare cu o perioadă de 0 se stabilește ușor după înlocuirea acestor fracții zecimale cu fracțiile lor ordinare egale.

În cele din urmă, să aruncăm o privire mai atentă la zecimale infinite, care nu au o secvență de cifre care se repetă la infinit. Ele sunt numite neperiodice.

Definiție.

zecimale nerecurente(sau pur și simplu fracții neperiodice) sunt zecimale infinite fără punct.

Uneori, fracțiile neperiodice au o formă asemănătoare cu cea a fracțiilor periodice, de exemplu, 8,02002000200002 ... este o fracție neperiodică. În aceste cazuri, ar trebui să fii deosebit de atent să observi diferența.

Rețineți că fracțiile neperiodice nu sunt convertite în fracții obișnuite, fracțiile zecimale neperiodice infinite reprezintă numere iraționale.

Operații cu zecimale

Una dintre acțiunile cu zecimale este compararea și sunt definite și patru aritmetice de bază operatii cu zecimale: adunare, scădere, înmulțire și împărțire. Luați în considerare separat fiecare dintre acțiunile cu fracții zecimale.

Comparație zecimală bazată în esență pe o comparație a fracțiilor ordinare corespunzătoare fracțiilor zecimale comparate. Cu toate acestea, conversia fracțiilor zecimale în fracții obișnuite este o operație destul de laborioasă, iar fracțiile infinite care nu se repetă nu pot fi reprezentate ca o fracție obișnuită, deci este convenabil să utilizați o comparație pe biți a fracțiilor zecimale. Compararea biți a zecimale este similară cu compararea numerelor naturale. Pentru informații mai detaliate, vă recomandăm să studiați comparația materialului articolului de fracții zecimale, reguli, exemple, soluții.

Să trecem la pasul următor - înmulțirea zecimalelor. Înmulțirea fracțiilor zecimale finale se realizează în mod similar cu scăderea fracțiilor zecimale, reguli, exemple, soluții de înmulțire cu o coloană de numere naturale. În cazul fracțiilor periodice, înmulțirea se poate reduce la înmulțirea fracțiilor obișnuite. La rândul său, înmulțirea fracțiilor zecimale neperiodice infinite după rotunjirea lor se reduce la înmulțirea fracțiilor zecimale finite. Recomandăm studierea în continuare a materialului articolului înmulțirea fracțiilor zecimale, reguli, exemple, soluții.

Decimale pe fasciculul de coordonate

Există o corespondență unu-la-unu între puncte și zecimale.

Să ne dăm seama cum sunt construite punctele pe raza de coordonate corespunzătoare unei fracții zecimale date.

Putem înlocui fracțiile zecimale finite și fracțiile zecimale periodice infinite cu fracții obișnuite egale cu acestea și apoi construim fracțiile ordinare corespunzătoare pe raza de coordonate. De exemplu, o fracție zecimală 1,4 corespunde unei fracțiuni obișnuite 14/10, prin urmare, punctul cu coordonata 1,4 este îndepărtat de la origine în direcția pozitivă cu 14 segmente egale cu o zecime dintr-un singur segment.

Fracțiile zecimale pot fi marcate pe fasciculul de coordonate, pornind de la extinderea acestei fracții zecimale în cifre. De exemplu, să presupunem că trebuie să construim un punct cu coordonata 16.3007 , deoarece 16.3007=16+0.3+0.0007 , apoi în punct dat se poate ajunge prin eliminarea succesivă a 16 segmente unitare de la origine, a 3 segmente, a căror lungime este egală cu o zecime dintr-un segment unitar și a 7 segmente, a căror lungime este egală cu o fracțiune a zecemiimii dintr-un singur segment. segment.

Această metodă de a construi numere zecimale pe fasciculul de coordonate vă permite să vă apropiați cât doriți de punctul corespunzător unei fracții zecimale infinite.

Uneori este posibil să se traseze cu precizie un punct corespunzător unei zecimale infinite. De exemplu, , atunci această fracție zecimală infinită 1,41421... corespunde punctului razei de coordonate, îndepărtat de origine prin lungimea diagonalei unui pătrat cu latura de 1 segment unitar.

Procesul invers de obținere a unei fracții zecimale corespunzătoare unui punct dat de pe fasciculul de coordonate este așa-numitul măsurarea zecimală a unui segment. Să vedem cum se face.

Fie ca sarcina noastră să fie să ajungem de la origine la un punct dat pe linia de coordonate (sau să ne apropiem infinit de el dacă este imposibil să ajungem la el). Cu o măsurare zecimală a unui segment, putem amâna secvenţial orice număr de segmente unitare de la origine, apoi segmente a căror lungime este egală cu o zecime dintr-un singur segment, apoi segmente a căror lungime este egală cu o sutime dintr-un singur segment etc. . Notând numărul de segmente trasate din fiecare lungime, obținem fracția zecimală corespunzătoare unui punct dat de pe raza de coordonate.

De exemplu, pentru a ajunge la punctul M din figura de mai sus, trebuie să lăsați deoparte 1 segment de unitate și 4 segmente, a căror lungime este egală cu zecimea unității. Astfel, punctul M corespunde fracției zecimale 1,4.

Este clar că punctele fasciculului de coordonate, care nu pot fi atinse în timpul măsurării zecimale, corespund unor fracții zecimale infinite.

Bibliografie.

• Matematica: studii. pentru 5 celule. educatie generala instituții / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Ed. 21, șters. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematica. Clasa a 6-a: manual. pentru învăţământul general instituții / [N. Ya. Vilenkin și alții]. - Ed. a 22-a, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educaţie, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

În acest articol, vom înțelege ce este o fracție zecimală, ce caracteristici și proprietăți are. Merge! 🙂

Zecimal este un caz special al fracțiilor ordinare (în care numitorul este un multiplu al lui 10).

Definiție

Decimalele sunt fracții ai căror numitori sunt numere formate din unu și un anumit număr de zerouri care le urmează. Adică, acestea sunt fracții cu numitorul 10, 100, 1000 etc. În caz contrar, o fracție zecimală poate fi caracterizată ca o fracție cu numitorul lui 10 sau una dintre puterile lui zece.

Exemple de fracțiuni:

, ,

O fracție zecimală este scrisă diferit de o fracție comună. Operațiile cu aceste fracții sunt, de asemenea, diferite de operațiile cu cele obișnuite. Regulile pentru operațiunile pe ele sunt în mare măsură apropiate de regulile pentru operațiunile pe numere întregi. Acest lucru, în special, determină relevanța lor în rezolvarea problemelor practice.

Reprezentarea unei fracții în notație zecimală

Nu există un numitor în notația zecimală, acesta afișează numărul numărătorului. LA vedere generala Fracția zecimală se scrie astfel:

unde X este partea întreagă a fracției, Y este partea sa fracțională, "," este punctul zecimal.

Pentru reprezentarea corectă a unei fracții obișnuite ca zecimală, este necesar ca aceasta să fie corectă, adică cu o parte întreagă evidențiată (dacă este posibil) și un numărător mai mic decât numitorul. Apoi, în notație zecimală, partea întreagă este scrisă înainte de virgulă zecimală (X), iar numărătorul fracției ordinare este scris după virgulă zecimală (Y).

Dacă numărătorul reprezintă un număr cu un număr de cifre mai mic decât numărul de zerouri din numitor, atunci în partea Y numărul de cifre lipsă din notația zecimală este completat cu zerouri în fața cifrelor numărătorului.

Exemplu:

Dacă fracția obișnuită este mai mică decât 1, adică nu are o parte întreagă, atunci 0 se scrie sub formă zecimală pentru X.

În partea fracționară (Y), după ultima cifră semnificativă (alta decât zero), poate fi introdus un număr arbitrar de zerouri. Nu afectează valoarea fracției. Și invers: toate zerourile de la sfârșitul părții fracționale a fracției zecimale pot fi omise.

Citirea zecimale

Partea X se citește în cazul general după cum urmează: „X numere întregi”.

Partea Y se citește în funcție de numărul din numitor. Pentru numitorul 10, ar trebui să citiți: „Y zecimi”, pentru numitorul 100: „Y sutimi”, pentru numitorul 1000: „Y zecimi” și așa mai departe... 😉

O altă abordare a citirii este considerată mai corectă, bazată pe numărarea numărului de cifre ale părții fracționale. Pentru a face acest lucru, trebuie să înțelegeți că cifrele fracționale sunt situate într-o imagine în oglindă în raport cu cifrele părții întregi a fracției.

Numele pentru citirea corectă sunt date în tabel:

Pe baza acestui fapt, citirea ar trebui să se bazeze pe corespondența cu numele categoriei ultimei cifre a părții fracționale.

• 3.5 spune „trei virgulă cinci”
• 0,016 arată ca „zero virgulă șaisprezece miimi”

Conversia unei fracții ordinare arbitrare într-o zecimală

Dacă numitorul unei fracții obișnuite este 10 sau o putere a lui zece, atunci fracția este convertită așa cum este descris mai sus. În alte situații, sunt necesare transformări suplimentare.

Există 2 moduri de a traduce.

Primul mod de traducere

Numătorul și numitorul trebuie înmulțite cu un astfel de număr întreg încât numitorul să fie 10 sau una dintre puterile lui zece. Și apoi fracția este reprezentată în notație zecimală.

Această metodă este aplicabilă fracțiilor, al căror numitor este descompus numai în 2 și 5. Deci, în exemplul anterior . Dacă există și alți factori primi în expansiune (de exemplu, ), atunci va trebui să recurgeți la metoda a 2-a.

Al doilea mod de traducere

A doua metodă este de a împărți numărătorul la numitor într-o coloană sau pe un calculator. Partea întreagă, dacă există, nu este implicată în transformare.

Regula împărțirii lungi care are ca rezultat o fracție zecimală este descrisă mai jos (vezi Împărțirea zecimalelor).

Convertiți zecimal în obișnuit

Pentru a face acest lucru, partea sa fracțională (în dreapta virgulei) ar trebui să fie scrisă ca numărător, iar rezultatul citirii părții fracționale ar trebui să fie scris ca număr corespunzător în numitor. În plus, dacă este posibil, trebuie să reduceți fracția rezultată.

Sfârșit și zecimal infinit

Fracția zecimală se numește finală, a cărei parte fracțională este formată dintr-un număr finit de cifre.

Toate exemplele de mai sus conțin exact fracțiile zecimale finale. Cu toate acestea, nu orice fracție obișnuită poate fi reprezentată ca o zecimală finală. Dacă prima metodă de translație pentru o anumită fracție nu este aplicabilă, iar metoda a 2-a demonstrează că împărțirea nu poate fi finalizată, atunci se poate obține doar o fracție zecimală infinită.

Este imposibil să scrieți o fracție infinită în forma sa completă. Într-o formă incompletă, astfel de fracții pot fi reprezentate:

1. ca urmare a reducerii la numărul dorit de zecimale;
2. sub forma unei fracţiuni periodice.

O fracție se numește periodică, în care, după virgulă, se poate distinge o succesiune de cifre care se repetă la infinit.

Fracțiile rămase se numesc neperiodice. Pentru fracțiile neperiodice, este permisă doar prima metodă de reprezentare (rotunjire).

Un exemplu de fracție periodică: 0,8888888 ... Există o cifră 8 care se repetă aici, care, evident, se va repeta la infinit, deoarece nu există niciun motiv să presupunem altfel. Acest număr este numit perioada de fracție.

Fracțiile periodice sunt pure și amestecate. O fracție zecimală este pură, în care perioada începe imediat după virgulă. O fracție mixtă are 1 sau mai multe cifre înainte de virgulă.

54,33333 ... - fracție zecimală pură periodică

2,5621212121 ... - fracție mixtă periodică

Exemple de scriere a zecimale infinite:

Al doilea exemplu arată cum se formează corect o perioadă într-o fracție periodică.

Conversia zecimale periodice în ordinare

Pentru a converti o fracție periodică pură într-o perioadă obișnuită, scrieți-o la numărător și scrieți la numitor un număr format din nouă într-o sumă egală cu numărul de cifre din perioadă.

O zecimală recurentă mixtă este tradusă după cum urmează:

1. trebuie să formați un număr format din numărul după virgulă zecimală înainte de punct și prima perioadă;
2. din numărul rezultat scădeți numărul după virgulă zecimală dinaintea punctului. Rezultatul va fi numărătorul unei fracții ordinare;
3. la numitor, trebuie să introduceți un număr format din numărul de nouă egal cu numărul de cifre ale perioadei, urmat de zerouri, al căror număr este egal cu numărul de cifre ale numărului după virgulă zecimală înainte de prima perioada.

Comparație zecimală

Fracțiile zecimale sunt comparate inițial după părțile lor întregi. Cu cât este mai mare fracția care are partea întreagă mai mare.

Dacă părțile întregi sunt aceleași, atunci cifrele cifrelor corespunzătoare ale părții fracționale sunt comparate, începând de la prima (de la zecimi). Același principiu se aplică și aici: cea mai mare dintre fracții, care are un rang mai mare de zecimi; dacă cifrele zecimiilor sunt egale, cifrele zecimii sunt comparate și așa mai departe.

Pentru că

, deoarece cu părți întregi egale și zecimi egale în partea fracțională, a 2-a fracție are mai multe sutimi.

Adunarea și scăderea zecimalelor

Decimalele se adună și se scad în același mod ca numerele întregi, scriind cifrele corespunzătoare una sub alta. Pentru a face acest lucru, trebuie să aveți puncte zecimale una sub alta. Apoi unitățile (zecile etc.) ale părții întregi, precum și zecimile (sutimele etc.) ale părții fracționale se vor potrivi. Cifrele lipsă ale părții fracționale sunt umplute cu zerouri. Direct Procesul de adunare și scădere se efectuează în același mod ca pentru numerele întregi.

Înmulțirea zecimală

Pentru a înmulți fracțiile zecimale, trebuie să le scrieți una sub alta, aliniate cu ultima cifră și fără să acordați atenție locației punctelor zecimale. Apoi, trebuie să înmulțiți numerele în același mod ca atunci când înmulțiți numerele întregi. După primirea rezultatului, ar trebui să recalculați numărul de cifre după virgulă în ambele fracții și să separați numărul total de cifre fracționale din numărul rezultat cu o virgulă. Dacă nu sunt suficiente cifre, acestea sunt înlocuite cu zerouri.

Înmulțirea și împărțirea zecimalelor cu 10 n

Aceste acțiuni sunt simple și se reduc la mutarea punctului zecimal. P La înmulțire, virgula este mutată la dreapta (fracția crește) cu numărul de cifre egal cu numărul de zerouri din 10 n, unde n este o putere întreagă arbitrară. Adică, un anumit număr de cifre sunt transferate din partea fracțională la întreg. La împărțire, respectiv, virgula este transferată la stânga (numărul scade), iar unele dintre cifre sunt transferate din partea întreagă în partea fracțională. Dacă nu sunt suficiente cifre de transferat, atunci cifrele lipsă sunt umplute cu zerouri.

Împărțirea unei zecimale și a unui întreg la un întreg și o zecimală

Împărțirea unei zecimale la un întreg este același cu împărțirea a două numere întregi. În plus, trebuie luată în considerare doar poziția punctului zecimal: la demolarea cifrei cifrei urmată de virgulă, este necesar să se pună o virgulă după cifra curentă a răspunsului generat. Apoi trebuie să continuați să împărțiți până când obțineți zero. Dacă nu există suficiente semne în dividend pentru împărțirea completă, zerouri ar trebui să fie folosite ca acestea.

În mod similar, 2 numere întregi sunt împărțite într-o coloană dacă toate cifrele dividendului au fost demolate și diviziunea completă nu a fost încă finalizată. În acest caz, după demolarea ultimei cifre a dividendului, în răspunsul rezultat este plasată o zecimală, iar zerouri sunt folosite ca cifre demolate. Acestea. dividendul aici, de fapt, este reprezentat ca o fracție zecimală cu o parte fracțională zero.

Pentru a împărți o fracție zecimală (sau un număr întreg) cu un număr zecimal, este necesar să înmulțiți dividendul și divizorul cu numărul 10 n, în care numărul de zerouri este egal cu numărul de cifre după virgulă zecimală din divizor. În acest fel, ei scapă de punctul zecimal din fracția cu care doriți să împărțiți. În plus, procesul de împărțire este același cu cel descris mai sus.

Reprezentarea grafică a zecimalelor

Grafic, fracțiile zecimale sunt reprezentate prin intermediul unei linii de coordonate. Pentru aceasta, segmentele individuale sunt împărțite suplimentar în 10 părți egale, la fel cum centimetrii și milimetrii sunt depuși pe o riglă în același timp. Acest lucru asigură că zecimale sunt afișate cu acuratețe și pot fi comparate în mod obiectiv.

Pentru ca diviziunile longitudinale pe segmente individuale să fie aceleași, ar trebui să luați în considerare cu atenție lungimea singurului segment în sine. Ar trebui să fie astfel încât să poată fi asigurată comoditatea divizării suplimentare.

Vom dedica acest material unui subiect atât de important ca fracțiile zecimale. În primul rând, să definim definițiile de bază, să dăm exemple și să ne oprim asupra regulilor de notație zecimală, precum și asupra cifrelor fracțiilor zecimale. În continuare, evidențiem principalele tipuri: fracții finite și infinite, periodice și neperiodice. În partea finală, vom arăta cum sunt situate punctele corespunzătoare numerelor fracționale pe axa de coordonate.

Ce este notația zecimală pentru numerele fracționale

Așa-numita notație zecimală pentru numerele fracționale poate fi folosită atât pentru numerele naturale, cât și pentru numerele fracționale. Arată ca un set de două sau mai multe numere cu o virgulă între ele.

Punctul zecimal este folosit pentru a separa partea întreagă de partea fracțională. De regulă, ultima cifră a unei zecimale nu este niciodată zero, cu excepția cazului în care punctul zecimal este imediat după primul zero.

Care sunt câteva exemple de numere fracționale în notație zecimală? Poate fi 34 , 21 , 0 , 35035044 , 0 , 0001 , 11 231 552 , 9 etc.

În unele manuale, puteți găsi utilizarea unui punct în loc de virgulă (5. 67, 6789. 1011 etc.) Această opțiune este considerată echivalentă, dar este mai tipică pentru sursele în limba engleză.

Definiţia decimals

Pe baza conceptului de notație zecimal de mai sus, putem formula următoarea definiție a fracțiilor zecimale:

Definiția 1

Decimale sunt numere fracționale în notație zecimală.

De ce trebuie să scriem fracții în această formă? Ne oferă câteva avantaje față de cele obișnuite, de exemplu, o notație mai compactă, mai ales în cazurile în care numitorul este 1000, 100, 10 etc. sau un număr mixt. De exemplu, în loc de 6 10 putem specifica 0 , 6 , în loc de 25 10000 - 0 , 0023 , în loc de 512 3 100 - 512 , 03 .

Cum să reprezinte corect fracțiile obișnuite cu zeci, sute, mii la numitor sub formă zecimală va fi descris într-un material separat.

Cum să citești corect zecimale

Există câteva reguli pentru citirea înregistrărilor zecimale. Deci, acele fracții zecimale care corespund echivalentelor lor ordinare corecte se citesc aproape la fel, dar cu adăugarea cuvintelor „zero zecimi” la început. Deci, intrarea 0 , 14 , care corespunde cu 14 100 , este citită ca „zero virgulă paisprezece sutimi”.

Dacă o fracție zecimală poate fi asociată cu un număr mixt, atunci se citește în același mod ca acest număr. Deci, dacă avem o fracție 56, 002, care corespunde cu 56 2 1000, citim o astfel de intrare ca „cincizeci și șase virgulă două miimi”.

Valoarea unei cifre într-o notație zecimală depinde de locul în care se află (la fel ca în cazul numerelor naturale). Deci, în fracția zecimală 0, 7, șapte este zecimi, în 0, 0007 este zece miimi, iar în fracția 70.000, 345 înseamnă șapte zeci de mii de unități întregi. Astfel, în fracțiile zecimale, există și conceptul de cifră numerică.

Numele cifrelor situate înaintea virgulei sunt similare cu cele care există în numere naturale. Numele celor care se află după sunt prezentate clar în tabel:

Să luăm un exemplu.

Exemplul 1

Avem zecimala 43.098. Are un patru pe locul zecilor, un trei pe locul unităților, zero pe locul zece, 9 pe locul sute și 8 pe locul mie.

Se obișnuiește să se distingă cifrele fracțiilor zecimale după vechime. Dacă trecem prin numere de la stânga la dreapta, atunci vom trece de la cifrele mari la cele mai mici. Se dovedește că sutele sunt mai vechi decât zeci, iar milionimile sunt mai tinere decât sutimile. Dacă luăm acea fracție zecimală finală, pe care am citat-o ​​ca exemplu mai sus, atunci în ea cea mai mare, sau cea mai mare, va fi cifra sutelor, iar cea mai mică, sau cea mai mică, va fi cifra de 10 miimi.

Orice fracție zecimală poate fi descompusă în cifre separate, adică reprezentată ca o sumă. Această operație se realizează în același mod ca și pentru numerele naturale.

Exemplul 2

Să încercăm să extindem fracția 56, 0455 în cifre.

Vom fi în stare să:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Dacă ne amintim proprietățile adunării, putem reprezenta această fracție sub alte forme, de exemplu, ca suma 56 + 0, 0455 sau 56, 0055 + 0, 4 etc.

Ce sunt zecimalele finale

Toate fracțiile despre care am vorbit mai sus sunt zecimale finale. Aceasta înseamnă că numărul de cifre după virgulă zecimală este finit. Să obținem definiția:

Definiția 1

zecimalele finale sunt un tip de zecimală care are un număr finit de cifre după virgulă.

Exemple de astfel de fracții pot fi 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231032, 49 etc.

Oricare dintre aceste fracții poate fi convertită fie într-un număr mixt (dacă valoarea părții lor fracționale este diferită de zero), fie într-o fracție obișnuită (dacă partea întreagă este zero). Am dedicat un material separat modului în care se face acest lucru. Să evidențiem doar câteva exemple aici: de exemplu, putem aduce fracția zecimală finală 5 , 63 la forma 5 63 100 , iar 0 , 2 corespunde cu 2 10 (sau orice altă fracție egală cu aceasta, de exemplu, 4 20 sau 1 5.)

Dar procesul invers, adică. scrierea unei fracții obișnuite în formă zecimală poate să nu fie întotdeauna efectuată. Deci, 5 13 nu poate fi înlocuit cu o fracție egală cu un numitor de 100, 10 etc., ceea ce înseamnă că fracția zecimală finală nu va funcționa din ea.

Principalele tipuri de fracții zecimale infinite: fracții periodice și neperiodice

Am subliniat mai sus că fracțiile finite sunt numite astfel deoarece au un număr finit de cifre după virgulă. Cu toate acestea, poate fi infinit, caz în care fracțiile în sine vor fi numite și infinite.

Definiția 2

Decimale infinite sunt cele care au un număr infinit de cifre după virgulă.

Evident, astfel de numere pur și simplu nu pot fi scrise complet, așa că indicăm doar o parte din ele și apoi punem puncte suspensive. Acest semn indică o continuare infinită a succesiunii de zecimale. Exemple de zecimale infinite ar fi 0 , 143346732 ... , 3 , 1415989032 ... , 153 , 0245005 ... , 2 , 66666666666 ... , 69 , 748768152 ... etc.

În „coada” unei astfel de fracțiuni, pot exista nu numai secvențe de numere aparent aleatorii, ci și o repetare constantă a aceluiași caracter sau grup de caractere. Fracțiile cu alternanță după virgulă zecimală se numesc periodice.

Definiția 3

Fracțiile zecimale periodice sunt astfel de fracții zecimale infinite în care o cifră sau un grup de mai multe cifre se repetă după virgulă. Partea care se repetă se numește perioada fracției.

De exemplu, pentru fracția 3, 444444 ... . perioada va fi numărul 4, iar pentru 76, 134134134134 ... - grupa 134.

Care este numărul minim de caractere permis într-o fracție periodică? Pentru fracțiile periodice, va fi suficient să scrieți întreaga perioadă o dată în paranteze. Deci, fracția este 3, 444444 ... . va fi corect să scrieți ca 3, (4) și 76, 134134134134 ... - ca 76, (134) .

În general, intrările cu mai multe puncte între paranteze vor avea exact aceeași semnificație: de exemplu, fracția periodică 0,677777 este aceeași cu 0,6 (7) și 0,6 (77) etc. Sunt permise și intrări precum 0 , 67777 (7) , 0 , 67 (7777) și altele.

Pentru a evita erorile, introducem uniformitatea notației. Să fim de acord să scriem o singură perioadă (cea mai scurtă secvență de cifre posibilă), care este cea mai apropiată de punctul zecimal și să o închidem în paranteze.

Adică, pentru fracția de mai sus, vom considera intrarea 0, 6 (7) drept principală și, de exemplu, în cazul fracției 8, 9134343434, vom scrie 8, 91 (34) .

Dacă numitorul unei fracții obișnuite conține factori primi care nu sunt egali cu 5 și 2, atunci când este convertit în notație zecimală, se vor obține fracții infinite din aceștia.

În principiu, putem scrie orice fracție finită ca una periodică. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să adăugăm un număr infinit de zerouri la dreapta. Cum arată pe înregistrare? Să presupunem că avem o fracție finală 45, 32. În formă periodică, va arăta ca 45 , 32 (0) . Această acțiune este posibilă deoarece adăugarea zerourilor la dreapta oricărei fracții zecimale ne oferă ca rezultat o fracție egală cu aceasta.

Separat, ar trebui să ne oprim asupra fracțiilor periodice cu o perioadă de 9, de exemplu, 4, 89 (9), 31, 6 (9) . Ele sunt o notație alternativă pentru fracții similare cu o perioadă de 0, așa că sunt adesea înlocuite atunci când se scriu cu fracții cu o perioadă zero. În același timp, se adaugă unul la valoarea cifrei următoare, iar (0) este indicat în paranteze. Egalitatea numerelor rezultate este ușor de verificat prezentându-le ca fracții obișnuite.

De exemplu, fracția 8, 31 (9) poate fi înlocuită cu fracția corespunzătoare 8, 32 (0). Sau 4 , (9) = 5 , (0) = 5 .

Fracțiile periodice zecimale infinite se referă la numere rationale. Cu alte cuvinte, orice fracție periodică poate fi reprezentată ca o fracție obișnuită și invers.

Există, de asemenea, fracții în care nu există o secvență care se repetă la infinit după virgulă. În acest caz, ele se numesc fracții neperiodice.

Definiția 4

Fracțiile zecimale neperiodice includ acele fracții zecimale infinite care nu conțin punct după virgulă, adică. grup repetat de numere.

Uneori, fracțiile neperiodice arată foarte asemănătoare cu cele periodice. De exemplu, 9 , 03003000300003 ... la prima vedere pare să aibă o perioadă, dar o analiză detaliată a zecimalei confirmă că aceasta este încă o fracție neperiodică. Trebuie să fii foarte atent cu astfel de numere.

Fracțiile neperiodice sunt numere irationale. Ele nu sunt convertite în fracții obișnuite.

Operații de bază cu zecimale

Cu fracții zecimale pot fi efectuate următoarele operații: comparare, scădere, adunare, împărțire și înmulțire. Să analizăm fiecare dintre ele separat.

Compararea zecimalelor poate fi redusă la compararea fracțiilor obișnuite care corespund zecimalelor originale. Dar fracțiile neperiodice infinite nu pot fi reduse la această formă, iar conversia fracțiilor zecimale în cele obișnuite este adesea o sarcină laborioasă. Cum să efectuăm rapid o acțiune de comparație dacă trebuie să o facem în cursul rezolvării problemei? Este convenabil să comparăm fracțiile zecimale după cifre în același mod în care comparăm numerele naturale. Vom dedica un articol separat acestei metode.

Pentru a adăuga o fracție zecimală la alta, este convenabil să folosiți metoda de adunare a coloanei, ca în cazul numerelor naturale. Pentru a adăuga fracții zecimale periodice, trebuie mai întâi să le înlocuiți cu unele obișnuite și să numărați conform schemei standard. Dacă, conform condițiilor problemei, trebuie să adăugăm fracții neperiodice infinite, atunci trebuie mai întâi să le rotunjim la o anumită cifră, apoi să le adunăm. Cu cât cifra la care rotunjim este mai mică, cu atât va fi mai mare acuratețea calculului. Pentru scăderea, înmulțirea și împărțirea fracțiilor infinite este necesară și rotunjirea preliminară.

Găsirea diferenței fracțiilor zecimale este opusul adunării. De fapt, cu ajutorul scăderii, putem găsi un număr a cărui sumă cu fracția scăzută ne va da pe cea redusă. Vom vorbi despre asta mai detaliat într-un articol separat.

Înmulțirea fracțiilor zecimale se face în același mod ca și pentru numerele naturale. Metoda de calcul prin coloană este, de asemenea, potrivită pentru aceasta. Reducem din nou această acțiune cu fracții periodice la înmulțirea fracțiilor ordinare după regulile deja studiate. Fracțiile infinite, după cum ne amintim, trebuie să fie rotunjite înainte de numărare.

Procesul de împărțire a zecimalelor este inversul procesului de înmulțire. Când rezolvăm probleme, folosim și numărătoarea coloanelor.

Puteți seta o corespondență exactă între zecimala finală și un punct de pe axa de coordonate. Să ne dăm seama cum să marchem un punct pe axă care va corespunde exact cu fracția zecimală necesară.

Am studiat deja cum să construim puncte corespunzătoare fracțiilor obișnuite, iar fracțiile zecimale pot fi reduse la această formă. De exemplu, o fracție obișnuită 14 10 este aceeași cu 1 , 4 , astfel încât punctul corespunzător acesteia va fi îndepărtat de la origine în direcția pozitivă exact la aceeași distanță:

Puteți face fără a înlocui fracția zecimală cu una obișnuită și luați ca bază metoda de extindere a cifrelor. Deci, dacă trebuie să marchem un punct a cărui coordonată va fi egală cu 15 , 4008 , atunci vom reprezenta mai întâi acest număr ca o sumă 15 + 0 , 4 + , 0008 . Pentru început, lăsăm deoparte 15 segmente întregi de unitate în direcția pozitivă de la origine, apoi 4 zecimi dintr-un segment și apoi 8 zecimii dintr-un segment. Ca rezultat, vom obține un punct de coordonate, care corespunde fracției 15, 4008.

Pentru o fracție zecimală infinită, este mai bine să utilizați această metodă specială, deoarece vă permite să vă apropiați de punctul dorit cât de aproape doriți. În unele cazuri, este posibil să construiți o corespondență exactă a unei fracții infinite pe axa de coordonate: de exemplu, 2 = 1, 41421. . . , iar această fracție poate fi asociată cu un punct de pe raza de coordonate, îndepărtat de 0 prin lungimea diagonalei pătratului, a cărui latură va fi egală cu un segment unitar.

Dacă nu găsim un punct pe axă, ci o fracție zecimală corespunzătoare acestuia, atunci această acțiune se numește măsurarea zecimală a segmentului. Să vedem cum să o facem corect.

Să presupunem că trebuie să ajungem de la zero la un punct dat pe axa de coordonate (sau să ne apropiem cât mai mult posibil în cazul unei fracții infinite). Pentru a face acest lucru, lăsăm deoparte segmentele de unitate de la originea coordonatelor până ajungem la punctul dorit. După segmente întregi, dacă este necesar, măsurăm zecimi, sutimi și părți mai mici, astfel încât corespondența să fie cât mai precisă. Ca rezultat, am obținut o fracție zecimală, care îi corespunde punct dat pe axa de coordonate.

Mai sus am dat o poză cu un punct M. Privește-l din nou: pentru a ajunge în acest punct, trebuie să măsurați un segment de unitate de la zero și patru zecimi din acesta, deoarece acest punct corespunde fracțiunii zecimale 1, 4.

Dacă nu putem atinge un punct în procesul de măsurare zecimală, atunci înseamnă că îi corespunde o fracție zecimală infinită.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Vă amintiți cum în prima lecție despre fracții zecimale, am spus că există fracții numerice care nu pot fi reprezentate ca zecimale (vezi lecția „Fracțiuni zecimale”)? De asemenea, am învățat cum să factorizăm numitorii fracțiilor pentru a verifica dacă există alte numere decât 2 și 5.

Deci: am mințit. Și astăzi vom învăța cum să traducem absolut orice fracție numerică într-o zecimală. În același timp, ne vom familiariza cu o întreagă clasă de fracții cu o parte semnificativă infinită.

O zecimală recurentă este orice zecimală care are:

1. Partea semnificativă este formată dintr-un număr infinit de cifre;
2. La anumite intervale, numerele din partea semnificativă se repetă.

Setul de cifre repetate care formează partea semnificativă se numește partea periodică a fracției, iar numărul de cifre din acest set este perioada fracției. Segmentul rămas al părții semnificative, care nu se repetă, se numește partea neperiodică.

Deoarece există multe definiții, merită luate în considerare în detaliu câteva dintre aceste fracții:

Această fracțiune apare cel mai adesea în probleme. Partea neperiodică: 0; parte periodică: 3; durata perioadei: 1.

Partea neperiodică: 0,58; parte periodică: 3; durata perioadei: din nou 1.

Partea neperiodică: 1; parte periodică: 54; durata perioadei: 2.

Partea neperiodică: 0; piesa periodica: 641025; lungimea perioadei: 6. Pentru comoditate, părțile care se repetă sunt separate între ele printr-un spațiu - în această soluție nu este necesar să se facă acest lucru.

Partea neperiodică: 3066; parte periodică: 6; durata perioadei: 1.

După cum puteți vedea, definiția unei fracții periodice se bazează pe concept parte semnificativă a unui număr. Prin urmare, dacă ați uitat ce este, vă recomand să o repetați - vedeți lecția „”.

Trecerea la zecimală periodică

Se consideră o fracție obișnuită de forma a/b. Să descompunăm numitorul său în factori simpli. Există două opțiuni:

1. În expansiune sunt prezenți doar factorii 2 și 5. Aceste fracții sunt ușor reduse la zecimale - vezi lecția „Fracțiuni zecimale”. Nu ne interesează așa ceva;
2. Mai este ceva în expansiune în afară de 2 și 5. În acest caz, fracția nu poate fi reprezentată ca zecimală, dar poate fi transformată într-o zecimală periodică.

Pentru a seta o fracție zecimală periodică, trebuie să găsiți partea ei periodică și neperiodică. Cum? Convertiți fracția într-una improprie și apoi împărțiți numărătorul la numitor cu un „colț”.

Procedând astfel, se vor întâmpla următoarele:

1. Împărțiți mai întâi întreaga parte dacă există;
2. Pot exista mai multe numere după virgulă zecimală;
3. După un timp, numerele vor începe repeta.

Asta e tot! Cifrele repetate după virgulă zecimală sunt notate cu partea periodică, iar ceea ce este în față - neperiodic.

O sarcină. Convertiți fracțiile obișnuite în zecimale periodice:

Toate fracțiile fără o parte întreagă, așa că pur și simplu împărțim numărătorul la numitorul cu un „colț”:

După cum puteți vedea, rămășițele se repetă. Să scriem fracția în forma „corectă”: 1,733 ... = 1,7(3).

Rezultatul este o fracție: 0,5833 ... = 0,58(3).

Scriem în formă normală: 4,0909 ... = 4, (09).

Obținem o fracție: 0,4141 ... = 0, (41).

Trecerea de la zecimal periodic la obișnuit

Se consideră o zecimală periodică X = abc (a 1 b 1 c 1). Este necesar să-l transferați în clasicul „cu două etaje”. Pentru a face acest lucru, urmați patru pași simpli:

1. Aflați perioada fracției, adică numără câte cifre sunt în partea periodică. Fie numărul k;
2. Aflați valoarea expresiei X · 10 k . Acest lucru este echivalent cu deplasarea punctului zecimal pe o perioadă completă la dreapta - vezi lecția „Înmulțirea și împărțirea fracțiilor zecimale”;
3. Scădeți expresia originală din numărul rezultat. În acest caz, partea periodică este „arsă” și rămâne fracție comună;
4. Găsiți X în ecuația rezultată. Toate fracțiile zecimale sunt convertite în ordinare.

O sarcină. Convertiți într-o fracție improprie obișnuită a unui număr:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Lucrând cu prima fracție: X = 9,(6) = 9,666 ...

Parantezele conțin doar o cifră, deci perioada k = 1. În continuare, înmulțim această fracție cu 10 k = 10 1 = 10. Avem:

10X = 10 9,6666... ​​​​= 96,666...

Scădeți fracția inițială și rezolvați ecuația:

10X - X = 96,666 ... - 9,666 ... = 96 - 9 = 87;
9X=87;
X = 87/9 = 29/3.

Acum să ne ocupăm de a doua fracție. Deci X = 32,(39) = 32,393939 ...

Perioada k = 2, deci înmulțim totul cu 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Scădeți din nou fracția inițială și rezolvați ecuația:

100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Să ajungem la a treia fracție: X = 0,30(5) = 0,30555 ... Schema este aceeași, așa că voi da doar calculele:

Perioada k = 1 ⇒ înmulțiți totul cu 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

În cele din urmă, ultima fracție: X = 0,(2475) = 0,2475 2475 ... Din nou, pentru comoditate, părțile periodice sunt separate între ele prin spații. Avem:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10.000;
10.000X = 10.000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10.000X - X = 2475,2475 ... - 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Deja inauntru scoala primara elevii au de-a face cu fracțiile. Și apoi apar în fiecare subiect. Este imposibil să uiți acțiunile cu aceste numere. Prin urmare, trebuie să cunoașteți toate informațiile despre fracțiile ordinare și zecimale. Aceste concepte sunt simple, principalul lucru este să înțelegeți totul în ordine.

De ce sunt necesare fracții?

Lumea din jurul nostru este formată din obiecte întregi. Prin urmare, nu este nevoie de acțiuni. Dar viata de zi cu ziîmpinge în mod constant oamenii să lucreze cu părți ale obiectelor și lucrurilor.

De exemplu, ciocolata constă din mai multe felii. Luați în considerare situația în care țigla sa este formată din douăsprezece dreptunghiuri. Dacă îl împărțiți în două, obțineți 6 părți. Va fi bine împărțit în trei. Dar cei cinci nu vor putea da un număr întreg de felii de ciocolată.

Apropo, aceste felii sunt deja fracțiuni. Și împărțirea lor ulterioară duce la apariția unor numere mai complexe.

Ce este o „fracție”?

Acesta este un număr format din părți ale unuia. În exterior, arată ca două numere separate printr-o orizontală sau o oblică. Această caracteristică se numește fracțional. Numărul scris în partea de sus (stânga) se numește numărător. Cel de jos (dreapta) este numitorul.

De fapt, bara fracțională se dovedește a fi un semn de divizare. Adică, numărătorul poate fi numit dividend, iar numitorul poate fi numit divizor.

Care sunt fracțiile?

În matematică, există doar două tipuri de ele: fracții ordinare și zecimale. Elevii se familiarizează cu primii din clasele elementare, numindu-i pur și simplu „fracții”. Al doilea învață în clasa a V-a. Atunci apar aceste nume.

Fracțiile comune sunt toate cele care sunt scrise ca două numere separate printr-o bară. De exemplu, 4/7. Decimală este un număr în care partea fracționară are o notație pozițională și este separată de întreg prin virgulă. De exemplu, 4.7. Elevii trebuie să fie clar că cele două exemple date sunt numere complet diferite.

Fiecare fracție simplă poate fi scrisă ca zecimală. Această afirmație este aproape întotdeauna adevărată în direcție inversă. Există reguli care vă permit să scrieți o fracție zecimală ca o fracție obișnuită.

Ce subspecii au aceste tipuri de fracții?

Este mai bine să începeți în ordine cronologică, deoarece sunt studiate. Fracțiile comune sunt pe primul loc. Dintre acestea se pot distinge 5 subspecii.

Corect. Numătorul său este întotdeauna mai mic decât numitorul.

Gresit. Numătorul său este mai mare sau egal cu numitorul.

Reductibil / ireductibil. Poate fi fie corect, fie greșit. Un alt lucru este important, dacă numărătorul și numitorul au factori comuni. Dacă există, atunci ar trebui să împartă ambele părți ale fracției, adică să o reducă.

Amestecat. Un număr întreg este atribuit părții sale fracționale obișnuite corecte (incorecte). Și stă mereu în stânga.

Compozit. Este format din două fracții împărțite una în cealaltă. Adică are trei caracteristici fracționale simultan.

Decimalele au doar două subspecii:

finală, adică una în care partea fracționată este limitată (are un capăt);

infinit - un număr ale cărui cifre după virgulă zecimală nu se termină (pot fi scrise la nesfârșit).

Cum se transformă zecimal în obișnuit?

Dacă acesta este un număr finit, atunci se aplică o asociere bazată pe regulă - după cum aud, așa că scriu. Adică trebuie să-l citiți corect și să îl scrieți, dar fără virgulă, dar cu o linie fracțională.

Ca un indiciu despre numitorul necesar, amintiți-vă că este întotdeauna unul și câteva zerouri. Acestea din urmă trebuie să fie scrise la fel de multe câte cifrele din partea fracționară a numărului în cauză.

Cum se transformă fracțiile zecimale în fracții obișnuite dacă întreaga lor parte lipsește, adică egală cu zero? De exemplu, 0,9 sau 0,05. După aplicarea regulii specificate, se dovedește că trebuie să scrieți zero numere întregi. Dar nu este indicat. Rămâne să notăm doar părțile fracționale. Pentru primul număr, numitorul va fi 10, pentru al doilea - 100. Adică exemplele indicate vor avea numere drept răspunsuri: 9/10, 5/100. Mai mult, acesta din urmă se dovedește a fi posibil să fie redus cu 5. Prin urmare, rezultatul pentru acesta trebuie scris 1/20.

Cum se face o fracție obișnuită dintr-o zecimală dacă partea sa întreagă este diferită de zero? De exemplu, 5.23 sau 13.00108. Ambele exemple citesc partea întreagă și scriu valoarea acesteia. În primul caz, acesta este 5, în al doilea, 13. Apoi trebuie să treceți la partea fracțională. Cu ele este necesar să se efectueze aceeași operațiune. Primul număr are 23/100, al doilea are 108/100000. A doua valoare trebuie redusă din nou. Răspunsul este fracții mixte: 5 23/100 și 13 27/25000.

Cum se transformă o zecimală infinită într-o fracție comună?

Dacă nu este periodică, atunci o astfel de operație nu poate fi efectuată. Acest fapt se datorează faptului că fiecare fracție zecimală este întotdeauna convertită în finală sau periodică.

Singurul lucru care poate fi făcut cu o astfel de fracție este rotunjirea acesteia. Dar atunci zecimala va fi aproximativ egală cu acel infinit. Poate fi deja transformat într-unul obișnuit. Dar procesul invers: conversia în zecimală - nu va da niciodată valoarea inițială. Adică, fracțiile neperiodice infinite nu sunt traduse în fracții obișnuite. Acest lucru trebuie amintit.

Cum se scrie o fracție periodică infinită sub forma unui ordinar?

În aceste numere, una sau mai multe cifre apar întotdeauna după virgulă zecimală, care se repetă. Se numesc perioade. De exemplu, 0,3(3). Aici „3” în perioada. Ele sunt clasificate ca fiind raționale, deoarece pot fi transformate în fracții obișnuite.

Cei care au întâlnit fracții periodice știu că acestea pot fi pure sau amestecate. În primul caz, punctul începe imediat de la virgulă. În al doilea, partea fracțională începe cu orice numere, iar apoi începe repetarea.

Regula după care trebuie să scrieți o zecimală infinită sub forma unei fracții obișnuite va fi diferită pentru aceste două tipuri de numere. Este destul de ușor să scrieți fracții periodice pure ca fracții obișnuite. Ca și în cazul celor finale, acestea trebuie convertite: scrieți perioada la numărător, iar numărul 9 va fi numitorul, repetându-se de câte ori există cifre în perioadă.

De exemplu, 0,(5). Numărul nu are o parte întreagă, așa că trebuie să treceți imediat la partea fracțională. Scrieți 5 la numărător, iar la numitor 9. Adică răspunsul va fi fracția 5/9.

O regulă despre cum să scrieți o fracție zecimală comună care este o fracție mixtă.

Uită-te la durata perioadei. Atât de mult 9 va avea un numitor.

Notează numitorul: primele nouă, apoi zerouri.

Pentru a determina numărătorul, trebuie să scrieți diferența a două numere. Toate cifrele de după virgulă vor fi reduse, împreună cu punctul. Scădere - este fără punct.

De exemplu, 0,5(8) - scrieți fracția zecimală periodică ca fracție comună. Partea fracțională dinaintea punctului este de o cifră. Deci zero va fi unul. Există, de asemenea, o singură cifră în perioada - 8. Adică, există doar un nouă. Adică trebuie să scrieți 90 la numitor.

Pentru a determina numărătorul de la 58, trebuie să scădeți 5. Rezultă 53. De exemplu, va trebui să scrieți 53/90 ca răspuns.

Cum sunt convertite fracțiile comune în zecimale?

Cea mai simplă opțiune este un număr al cărui numitor este numărul 10, 100 și așa mai departe. Apoi numitorul este pur și simplu eliminat și o virgulă este plasată între părțile fracționale și întregi.

Există situații în care numitorul se transformă ușor în 10, 100 etc. De exemplu, numerele 5, 20, 25. Este suficient să le înmulțim cu 2, 5 și, respectiv, 4. Numai că este necesar să înmulțim nu numai numitorul, ci și numărătorul cu același număr.

Pentru toate celelalte cazuri, o regulă simplă va fi utilă: împărțiți numărătorul la numitor. În acest caz, puteți obține două răspunsuri: o fracție zecimală finală sau o fracție zecimală periodică.

Operații cu fracții comune

Adunare si scadere

Elevii îi cunosc mai devreme decât alții. Și la început fracțiile au aceiași numitori, apoi diferiți. Reguli generale poate fi redus la un astfel de plan.

Găsiți cel mai mic multiplu comun al numitorilor.

Scrieți factori suplimentari pentru toate fracțiile obișnuite.

Înmulțiți numărătorii și numitorii cu factorii definiți pentru ei.

Adăugați (scădeți) numărătorii fracțiilor și lăsați numitorul comun neschimbat.

Dacă numărătorul minuendului este mai mic decât subtraendul, atunci trebuie să aflați dacă avem un număr mixt sau o fracție adecvată.

În primul caz, partea întreagă trebuie să ia unul. Adăugați un numitor la numărătorul unei fracții. Și apoi faceți scăderea.

În al doilea - este necesar să se aplice regula scăderii de la un număr mai mic la unul mai mare. Adică, scădeți modulul minuendului din modulul subtraendului și puneți semnul „-” ca răspuns.

Priviți cu atenție rezultatul adunării (scăderii). Dacă obțineți o fracție necorespunzătoare, atunci ar trebui să selectați întreaga parte. Adică, împărțiți numărătorul la numitor.

Înmulțirea și împărțirea

Pentru implementarea lor, fracțiile nu trebuie reduse la un numitor comun. Acest lucru face mai ușor să luați măsuri. Dar ei trebuie să respecte regulile.

La înmulțirea fracțiilor obișnuite, este necesar să se ia în considerare numerele din numărători și numitori. Dacă orice numărător și numitor au un factor comun, atunci ele pot fi reduse.

Înmulțiți numărătorii.

Înmulțiți numitorii.

Dacă obțineți o fracție reductibilă, atunci ar trebui să fie simplificată din nou.

Când împărțiți, trebuie mai întâi să înlocuiți împărțirea cu înmulțirea, iar divizorul (a doua fracție) cu o inversă (schimbați numărătorul și numitorul).

Apoi procedați ca la înmulțire (începând cu pasul 1).

În sarcinile în care trebuie să înmulțiți (împărțiți) cu un număr întreg, acesta din urmă ar trebui să fie scris ca o fracție improprie. Adică, cu un numitor de 1. Apoi procedați așa cum este descris mai sus.



Operații cu zecimale

Adunare si scadere

Desigur, puteți transforma întotdeauna o zecimală într-o fracție comună. Și acționați conform planului deja descris. Dar uneori este mai convenabil să acționezi fără această traducere. Atunci regulile pentru adunarea și scăderea lor vor fi exact aceleași.

Egalizați numărul de cifre din partea fracțională a numărului, adică după virgulă zecimală. Atribuiți numărul de zerouri lipsă din el.

Scrieți fracții astfel încât virgula să fie sub virgulă.

Adaugă (scădea) ca numerele naturale.

Eliminați virgula.

Înmulțirea și împărțirea

Este important că nu trebuie să adăugați zerouri aici. Se presupune că fracțiile trebuie lăsate așa cum sunt date în exemplu. Și apoi mergi conform planului.

Pentru înmulțire, trebuie să scrieți fracțiile una sub alta, fără să acordați atenție virgulelor.

Înmulțiți ca numere naturale.

Puneți o virgulă în răspuns, numărând de la capătul din dreapta al răspunsului atâtea cifre câte sunt în părțile fracționale ale ambilor factori.

Pentru a împărți, trebuie mai întâi să convertiți divizorul: faceți din acesta un număr natural. Adică, înmulțiți-l cu 10, 100 etc., în funcție de câte cifre sunt în partea fracționară a divizorului.

Înmulțiți dividendul cu același număr.

Împărțiți o zecimală la un număr natural.

Puneți o virgulă în răspuns în momentul în care se termină împărțirea întregii părți.



Ce se întâmplă dacă într-un exemplu există ambele tipuri de fracții?

Da, în matematică există adesea exemple în care trebuie să efectuați operații pe fracții ordinare și zecimale. Există două soluții posibile la aceste probleme. Trebuie să cântăriți în mod obiectiv cifrele și să alegeți cel mai bun.

Primul mod: reprezentați zecimale obișnuite

Este potrivit dacă, la împărțire sau conversie, se obțin fracții finale. Dacă cel puțin un număr oferă o parte periodică, atunci această tehnică este interzisă. Prin urmare, chiar dacă nu vă place să lucrați cu fracții obișnuite, va trebui să le numărați.

A doua modalitate: scrieți fracțiile zecimale ca obișnuite

Această tehnică este convenabilă dacă există 1-2 cifre în partea de după virgulă zecimală. Dacă sunt mai multe, se poate obține o fracție obișnuită foarte mare, iar intrările zecimale vă vor permite să calculați sarcina mai rapid și mai ușor. Prin urmare, este întotdeauna necesar să evaluăm cu seriozitate sarcina și să alegeți cea mai simplă metodă de soluție.