Potensiallar farqining masofaga bog'liqligi. Potensial farq, elektr maydonidagi zaryad energiyasi. Potentsial

Oldingi paragrafda biz asosiy xususiyatni muhokama qildik elektr maydoni- uning keskinligi. Ta'rifning o'zidan ko'rinib turibdiki, bu kuch xarakteristikasi va shuning uchun vektor. Ba'zi hollarda skalyar xarakteristikalar qulayroq bo'lib, ular uchun ham kiritilishi mumkin elektrostatik maydon- potentsial farq va potentsial. Bunday holda, biz elektrostatik maydondagi zaryadga ta'sir qiluvchi kuchlarning muhim asosiy xususiyatiga - ularning konservatizmiga tayanamiz.

Eslatib o'tamiz, kuchlar konservativ deb ataladi, ularning ishi tananing traektoriyasining shakliga bog'liq emas. Bunday kuchlarning ishi faqat siljishning boshlang'ich va oxirgi nuqtalarining koordinatalari bilan belgilanadi. Zaryadlarning ixtiyoriy tizimi tomonidan yaratilgan elektrostatik maydonning kuch xususiyatlarining xususiyatlari haqidagi bilimimizga asoslanib, zaryad uning istalgan ikkita nuqtasi o'rtasida harakat qilganda ishning tengligini batafsil isbotlash mumkin bo'ladi. Ammo biz mexanika bo'limida isbotlagan "markaziy kuchlarning konservativligi to'g'risida" teoremani eslab, ushbu protsedurani biroz qisqartiramiz.

Statsionar nuqta zaryadi "markaziy kuchlar maydoni" ning manbai - bu elektrostatikaning asosiy qonuni - Kulon qonunining formulasidan bevosita kelib chiqadi. Elektr maydonlarining superpozitsiyasi printsipidan kelib chiqadiki, sinov zaryadi har qanday tizim maydonida harakat qilganda bajariladigan ish. dam olish zaryadlar - har bir zaryad sohasidagi ishlarning algebraik yig'indisi. Bu shuni anglatadiki, bunday kuchlar maydoni ("Kulon kuchlari" *)) ham konservativ kuchlar maydonidir. Bu isbotlanishi kerak bo'lgan narsa edi.

Shunday qilib, elektrostatik maydon kuchlarining **) ikki nuqta orasidagi nuqta (sinov) zaryadining harakati bo'yicha ishi bu maydonni tavsiflaydi. Ammo bu sinov zaryadining kattaligiga ham bog'liq q 0 . Bu tajribadan dalolat beradi, ammo bu "Coulomb" kuchlari haqidagi bilimimizga asoslanib ham tushunarli. Chunki ular zaryadga mutanosibdir q 1®2 traektoriyasining har bir nuqtasida 0 (Kulon qonuni asosida) va ish kuchga mutanosib. Maydonni va faqat maydonni tavsiflash uchun siz ishni sinov zaryadining qiymatiga bo'lishingiz mumkin. Nima sodir bo'ladi "potentsial farq". Mana ushbu muhim tushunchaning ta'rifi:

(ODA .) Potensial farq elektrostatik maydon nuqtalari orasidagi 1 va 2 deyiladi munosabat ish sinov zaryadini nuqtadan siljitish orqali maydonlar 1aynan 2ushbu to'lovning qiymatiga :

. (3.1)

SI tizimida potentsial farqning birligi 1 volt (1 V = 1 J / C) deb ataladi. Agar potentsial farqni qandaydir tarzda aniqlashni o'rgansak j 1 –j 2 tinch holatda bo'lgan zaryadlar tizimining maydoni uchun (nazariy yoki eksperimental ravishda), bu bizga istalgan joyni siljitish orqali maydonning ishini topishga imkon beradi. aniq belgilash zaryad q bu sohada:

. (3.2)

Demak, potentsial farq energiya xususiyati elektr maydoni, chunki u ish tushunchasi bilan bevosita bog'liq.

Mexanikada biz konservativ kuchlar uchun "potentsial energiya" tushunchasini kiritdik (hozir biz: "konservativ kuchlar maydonlari" deb aytamiz). Shu bilan birga, biz quyidagi tamoyilga amal qildik: “dala kuchlarining ishi yo'qotish bilan tengdir potentsial energiya". Biz ushbu tamoyilni analitik yozuvda rasmiylashtiramiz:

Bu erda U 1 va U 2 mos ravishda tizimning "boshlang'ich" ("1") va "yakuniy" ("2") holatlaridagi potentsial energiyadir. Muhokama qilinayotgan holatda sobit zaryadlar tizimining sohalari energiya hisoblanadi nuqta zaryadi q"1" pozitsiyasida (koordinatalar bilan ( x 1 ,y 1 ,z 1 )) va "2" pozitsiyasi (koordinatalari bilan () x 2 ,y 2 ,z 2 )) elektrostatik maydon. Bular. bu sohadagi zaryadning potentsial energiyasi maydon nuqtalari koordinatalarining skalyar funksiyasi U = U( x,y,z) (yoki ). (3.2) va (3.3) ni solishtirsak, biz potentsial farqni maydon nuqtalari koordinatalarining boshqa skaler funktsiyasi qiymatlaridagi farq deb taxmin qilish qulayligini ko'ramiz. j(x,y,z). U funksiyasi bilan bog'liq ( x,y,z) (potentsial energiya) oddiy munosabat bilan: U( x,y,z) = q× j(x,y,z). Yoki chunki

maydonning ma'lum nuqtasida "son jihatdan birlik musbat zaryadning potentsial energiyasiga teng" deyiladi. Va bu qiymat deyiladi j elektrostatik maydonning berilgan nuqtasining "potentsiali".

Eng muhimi, ma'lum bir zaryad tizimining maydoni uchun ushbu funktsiyani qanday topish mumkin? Jarayon qanday?

Avvalo, biz normalizatsiya shartlarini kelishib olishimiz kerak *): biz nuqta tanlashimiz kerak R 0, bunda sinov zaryad salohiyati nolga teng deb qabul qilinadi. Ko'pincha, bunday nuqta "cheksiz" masofadan tanlanadi, bu erda maydon yo'q **). Buning uchun siz sohaning "o'ziga xos" ishini topishingiz kerak - ya'ni. maydonning ma'lum bir nuqtasidan o'tkazilgan sinov zaryadining miqdori bilan bog'liq ish (yoki tez-tez aytilgandek, "birlik musbat zaryadni ko'chirish orqali"). R(x,y,z) normallashtirish nuqtasiga R 0 . Analitik shaklda bu ta'rifi potentsialni quyidagicha yozish mumkin:

(Def. ) j P(x,y,z) = . (3.5)

Biz tomonidan yangi kiritilgan qiymatlarni - potentsial farqni va potentsialni quvvat xarakteristikasi orqali ifodalash mumkinmi, biz allaqachon hisoblashni o'rganganmiz. berilgan joy kosmosdagi zaryadlar? Ha, albatta mumkin. Keling, bizga yaxshi tushunilgan tenglik zanjirini yozamiz:

Oxirgi tenglamani yana yozamiz

. (3.6)

Bu kuchlanishning ma'lum funktsiyasidan foydalangan holda potentsial farqni qidirish uchun "retsept" beradi. Xuddi shunday potentsial uchun:

Va nihoyat, maydonning o'zboshimchalik nuqtasining salohiyati uchun R koordinatalari bilan ( x,y,z):

. (3.7)

· Nuqtaviy zaryad maydonining potensiali

Potensialni hisoblash tartibiga asoslanib, biz nuqtaviy zaryad maydonining holati uchun ifodani olamiz. Bu fazoda o'zboshimchalik bilan joylashgan zaryadlar tizimining maydon potentsialini keyingi hisoblash uchun juda muhimdir.

2. Traektoriyani tanlash. Ixtiyoriy nuqta bo'lsin R(x,y,z) masofada joylashgan r manba to'lovidan. Natija traektoriya shakliga bog'liq bo'lmagani uchun (3.7) ko'rinishning egri chiziqli integralini hisoblash uchun maydonning berilgan nuqtasidan maydon chizig'i bo'ylab eng oddiy radiusli yo'naltirilgan to'g'ri chiziqni tanlaymiz va "abadiylikka o'tamiz".

3. Hisoblash. Potensialning ta'rifiga muvofiq, biz nuqta zaryadi tomonidan yaratilgan maydonning "o'ziga xos" ishini hisoblaymiz q tanlangan traektoriya bo'ylab sinov zaryadini uzatish bo'yicha. Quyidagi tenglik zanjiri, umid qilamizki, juda "shaffof" ko'rinadi. Biroq, biz hali ham unga minimal izoh beramiz. Avvalo shuni ta'kidlaymizki, biz zaryaddan radial yo'naltirilgan nur ko'rinishidagi traektoriyani tanlaganimiz sababli, biz belgilashimiz mumkin. E l va dl(ixtiyoriy egri" L") ga o'zgartiring Ha va dr(qutb o'qi" r"). Bundan tashqari, vektor radial yo'naltirilganligi sababli, traektoriya bo'ylab har qanday kichik siljish uchun stress vektorining proyeksiyasi oddiygina ushbu vektorning moduliga teng bo'ladi. E(r). Natijada, biz hisoblashimizda muhim qadamni ham qo'yishimiz mumkin - egri chiziqli integraldan odatiy aniqga o'tish:

.*)

Endi nuqtaviy zaryadning maydon kuchi moduli ifodasini (3.5) almashtirgandan so'ng, biz faqat matematik "odat" bilan qolamiz:

Natijani o'tkazuvchanlikka ega bo'lgan gazsimon yoki suyuq bir hil dielektrik muhit mavjudligi bilan to'ldirib, yana yozamiz. e, bu nuqta zaryadini o'rab turgan butun bo'shliqni to'ldiradi:

. (3.8)

Nuqtaviy zaryadning maydon potentsiali, biz ko'rib turganimizdek, 1 qonuniga muvofiq masofa bilan kamayadi. r.

· Ekvipotentsial yuzalar

Muhokama qilganda quvvat xususiyatlari elektrostatik maydon, biz kontseptsiyaning samarasiga amin bo'ldik kuch chiziqlari(kuchlanish chiziqlari). Maydonning energiya xarakteristikasi - potentsial uchun qo'shimcha tasviriy xarakteristikani - "ekvipotensial yuzalar" tizimini joriy qilish ham foydalidir. Nomidan ko'rinib turibdiki, ("equi" "teng" degan ma'noni anglatadi) bu doimiy potentsial yuzalar bo'lib, ular zaryadni harakatlantirganda dala kuchlarining ish qobiliyatini tavsiflaydi. Bunday sirtlar bo'ylab, shubhasiz, hech qanday ish bajarilmaydi. Ekvipotensial sirtlarning zichligi (zichligi) maksimal bo'lgan yo'nalishlarda maksimaldir. Bu joylarda maydon kuchi ham maksimal bo'ladi. Quvvat chiziqlari va ularning kesishgan joylarida ekvipotentsial sirtlarning o'zaro yo'nalishi nima ekanligini aniqlash oson: ular o'zaro perpendikulyar. Axir, ekvipotentsial sirt bo'ylab har qanday kichik siljish uchun boshlang'ich ish nolga teng va bu kuchlanish vektorining tangens komponenti nolga teng bo'lsagina mumkin, ya'ni. u qat'iy ravishda yuzaga normal bo'ylab yo'naltiriladi. Quyida biz ushbu so'zlarga mos keladigan zanjirni beramiz, umid qilamizki, juda aniq tenglik:

Shakl bilan birgalikda. 3. ... ular allaqachon shakllantirilgan bayonotni isbotlaydilar: kuch chiziqlari kesishadi (yoki "kelish ...") to'g'ri burchak ostida ekvipotensial yuzalar !

Keling, bizga yaxshi ma'lum bo'lgan elektrostatik maydonning eng oddiy holatlari uchun ekvipotentsial sirtlarning (va kuch chiziqlari ham) rasmini beraylik: a) nuqtaviy zaryad maydoni; b) mutlaq qiymatida bir xil ikkita qarama-qarshi nuqta zaryadining maydoni; ichida) ikkita qarama-qarshi zaryadlangan tekislik-parallel katta (ular orasidagi masofaga nisbatan) plitalar orasidagi maydon - rasmga qarang. 3.1.

Keling, sferik (nuqta) zaryadga murojaat qilaylik. Yuqorida ko'rsatilgandek, elektr maydonining kuchi shar bo'ylab bir tekis taqsimlangan zaryad tomonidan yaratilgan Q, sharning radiusiga bog'liq emas. Buni bir oz masofada tasavvur qiling r sharning markazidan sinov zaryadidir q. Zaryad joylashgan nuqtadagi maydon kuchi,

Rasmda nuqta zaryadlari orasidagi elektrostatik o'zaro ta'sir kuchining ular orasidagi masofaga bog'liqligi grafigi ko'rsatilgan. Sinov zaryadini ko'chirishda elektr maydonining ishini topish q uzoqdan r masofaga qadar R, bu intervalni nuqtalarga bo'ling r 1 , r 2 ,..., rP teng qismlarga bo'linadi. Zaryadga ta'sir qiluvchi o'rtacha kuch q segment ichida [ rr 1 ] ga teng

Ushbu kuchning ushbu sohadagi faoliyati:

Ish uchun shunga o'xshash iboralar barcha boshqa bo'limlar uchun olinadi. Shunday qilib, to'liq ish:

Qarama-qarshi belgilarga ega bir xil atamalar yo'q qilinadi va nihoyat biz quyidagilarni olamiz:

dalaning zaryad bo'yicha ishi

- potentsial farq

Endi maydon nuqtasining cheksizlikka nisbatan potentsialini topish uchun biz yo'naltiramiz R cheksizlikka va nihoyat biz olamiz:

Demak, nuqtaviy zaryad maydonining potentsiali zaryadgacha bo'lgan masofaga teskari proportsionaldir.

24. Zaryadning zaryadlar sistemasi sohasidagi potensial energiyasi. Potentsiallar uchun superpozitsiya printsipi. Potentsiallar uchun superpozitsiya printsipi

Har qanday o'zboshimchalik bilan murakkab elektrostatik maydon nuqta zaryadlari maydonlarining superpozitsiyasi sifatida ifodalanishi mumkin. Tanlangan nuqtadagi har bir bunday maydon ma'lum bir potentsialga ega. Potensial skalyar miqdor bo'lganligi sababli, barcha nuqtaviy zaryadlar maydonining natijaviy potentsiali alohida zaryadlar maydonlarining 1, 2, 3, ... potentsiallarining algebraik yig'indisidir: = 1 + 2 + 3 + .. Bu bog'liqlik elektr maydonlarining superpozitsiyasi printsipining bevosita natijasidir.

Elektr maydonidagi zaryadning potentsial energiyasi. Jismlarning gravitatsion o'zaro ta'siri va zaryadlarning elektrostatik o'zaro ta'sirini taqqoslashni davom ettiramiz. tana massasi m Yerning tortishish maydonida potentsial energiya mavjud. Gravitatsiya ishi qarama-qarshi belgi bilan olingan potentsial energiyaning o'zgarishiga teng:

A=-(V p2 -V p1) = mgh.

(Bu erda va pastda biz energiyani harf bilan belgilaymiz V.) Xuddi massa tanasi kabi m tortishish sohasida tananing massasiga mutanosib potentsial energiyaga ega, elektrostatik maydondagi elektr zaryadi potentsial energiyaga ega. V p , zaryadga mutanosib q. Elektrostatik maydon kuchlarining ishi LEKIN qarama-qarshi belgi bilan qabul qilingan elektr maydonidagi zaryadning potentsial energiyasining o'zgarishiga teng:

A=-(V p2 -V p1) . (40.1)

25. Potensial farq. Ekvipotentsial yuzalar

Ekvipotentsial sirt- har bir nuqtasi bir xil potentsialga ega bo'lgan sirt.

Ish va potentsial o'rtasidagi bog'liqlikdan quyidagicha:

zaryad ekvipotentsial yuzalar bo'ylab uzatilganda, elektr maydoni hech qanday ishlamaydi, chunki .

Nolga teng bo'lmagan kuch bilan ishlash faqat kuch vektori siljish vektoriga perpendikulyar bo'lsa, nolga teng. Bundan kelib chiqadiki, taranglik chiziqlari ekvipotensial sirtlarga perpendikulyar. Ekvipotensial yuzalarga nuqtaviy zaryad maydoni uchun sharlar va bir jinsli maydonlar uchun parallel tekisliklarni misol qilish mumkin (3-rasm).

Potensial farq (kuchlanish) ikki nuqta orasidagi zaryadni boshlang'ich nuqtadan oxirgi nuqtaga ushbu zaryad moduliga o'tkazishda dala ishining nisbatiga teng: U\u003d ph 1 - ph 2 \u003d -DF \u003d A / q, A \u003d - (W p2 - W p1) \u003d -q (ph 2 - ph 1) \u003d -qDph

Potensial farq voltlarda o'lchanadi (V = J / C) Elektrostatik maydon kuchi va potentsial farq o'rtasidagi bog'liqlik: E. x = Δφ / Δ x Elektrostatik maydonning kuchi potentsialning kamayishi yo'nalishiga qaratilgan. Voltlarda o'lchangan metrga bo'lingan (V / m)

§ 15. POTENTSIAL. ELEKTR ZARJLAR TIZIMINING ENERGIYASI. DALADA ZARARNI KO'CHIRISH BO'YICHA ISHLASH

Asosiy formulalar

 Elektr maydonining potentsiali bu nuqtada joylashgan musbat zaryadning potentsial energiyasiga nisbatiga teng qiymatdir. berilgan nuqta maydonlar, bu to'lov uchun;

=P/ Q,

yoki elektr maydonining potentsiali nuqta musbat zaryadni maydonning ma'lum bir nuqtasidan cheksizga ko'chirish uchun maydon kuchlari ishining ushbu zaryadga nisbatiga teng miqdordir:

=A/ Q.

Cheksizlikdagi elektr maydonining potentsiali shartli ravishda nolga teng qabul qilinadi.

E'tibor bering, zaryad elektr maydonida harakat qilganda, ishlaydi A v.s tashqi kuchlar ishning mutlaq qiymatida tengdir A s.p. maydon kuchi va unga qarama-qarshi belgisi:

A v.s = – A s.p. .

 Nuqtaviy zaryad tomonidan yaratilgan elektr maydon potensiali Q masofada r zaryaddan

 Metall tomonidan yaratilgan elektr maydonining potentsiali; zaryad olib borish Q radiusli shar R, sharning markazidan uzoqda:

shar ichida ( r<R)

;

shar yuzasida ( r=R)

;

doirasidan tashqarida (r> R)

.

Zaryadlangan sharning potensiali uchun berilgan barcha formulalarda  sharni oʻrab turgan bir hil cheksiz dielektrikning oʻtkazuvchanligidir.

 Tizim tomonidan yaratilgan elektr maydonining potentsiali P nuqta zaryadlari, ma'lum bir nuqtada, elektr maydonlarining superpozitsiyasi printsipiga muvofiq, potentsiallarning algebraik yig'indisiga teng  1 , 2 , ... , n, individual nuqta zaryadlari tomonidan yaratilgan Q 1 ,Q 2 , ...,Q n :

 Energiya V nuqtaviy zaryadlar tizimining o'zaro ta'siri Q 1 ,Q 2 , ...,Q n bu zaryadlar sistemasi bir-biriga nisbatan cheksizgacha olib tashlanganida bajara oladigan ish bilan aniqlanadi va formula bilan ifodalanadi.

qayerda  i- barcha tomonidan yaratilgan maydonning salohiyati P- Zaryadning joylashgan joyida 1 ta zaryad (1-chidan tashqari). Q i .

 Potensial elektr maydonining kuchi bilan bog'liqlik bilan bog'liq

E= -grad.

Sferik simmetriyaga ega elektr maydonida bu munosabat formula bilan ifodalanadi

yoki skalyar shaklda

va holatda bir hil maydon, ya'ni har bir nuqtada intensivligi mutlaq qiymat va yo'nalish bo'yicha bir xil bo'lgan maydon,

E=( 1 – 2 ,)/d,

qayerda  1 va 2 - ikkita ekvipotensial sirt nuqtalarining potensiallari; d - elektr maydon chizig'i bo'ylab bu sirtlar orasidagi masofa.

 Nuqtaviy zaryadni harakatlantirganda elektr maydon tomonidan bajariladigan ish Q potentsial  bo'lgan maydonning bir nuqtasidan 1 ,  potentsialli boshqasiga 2 ,

A=Q( 1 - 2 ), yoki

,

qayerda E l - kuchlanish vektor proyeksiyasi E harakat yo'nalishi bo'yicha; dl - harakat.

Bir hil maydonda oxirgi formula shaklni oladi

A= QElcos ,

qayerda l- siljish; - vektor yo'nalishlari orasidagi burchak E va siljish l.

Muammoni hal qilishga misollar

1-misol ijobiy zaryadlar Q 1 \u003d 3 mC va Q 2 \u003d 20 nC masofada vakuumda r 1 =l,5 m. Ishni belgilang A, bu zaryadlarni masofaga yaqinlashtirish uchun bajarilishi kerak r 2 =1 m.

Yechim. Faraz qilaylik, birinchi zaryad Q 1 statsionar bo'lib qoladi va ikkinchisi Q 2 tashqi kuchlar ta'sirida zaryad tomonidan yaratilgan maydonda harakat qiladi Q 1 unga uzoqdan yaqinlashdi r 1 =t,5 m gacha r 2 =1 m .

Ish LEKIN" zaryadni harakatlantirish uchun tashqi kuch Q potentsialli maydonning bir nuqtasidan 1 salohiyati boshqasiga 2 , mutlaq qiymatda teng va ish belgisi bo'yicha qarama-qarshi LEKIN zaryadning bir xil nuqtalar orasidagi harakati uchun maydon kuchlari:

A "= -A.

Ish LEKIN zaryadning siljishidagi maydon kuchlari A=Q( 1 - 2 ). Keyin ishla LEKIN" tashqi kuchlar sifatida yozish mumkin

A" = –Q( 1 - 2 )=Q( 2 - 1 ). (1)

Yo'lning boshlang'ich va oxirgi nuqtalarining potentsiallari formulalar bilan ifodalanadi

;

.

 iboralarni almashtirish 1 va 2 (1) formulaga va bu holda o'tkazilgan to'lovni hisobga olgan holda Q=Q 2 , olamiz

. (2)

Shuni hisobga olib 1/(4 0 )=910 9 m/F, keyin miqdorlarning qiymatlarini formula (2) ga almashtirib, hisoblab chiqqach, biz topamiz.

A"=180 mkJ.

2-misol Ish topish LEKIN to'lov o'tkazish maydonlari Q nuqtadan =10 nC 1 aynan 2 (15.1-rasm), sirt zichligi  \u003d 0,4 mkC / m bo'lgan ikkita qarama-qarshi zaryadlangan zaryad o'rtasida joylashgan. 2 cheksiz parallel tekisliklar, masofa l ularning orasidagi masofa 3 sm.

R

yechim. Muammoni hal qilishning ikki yo'li mavjud.

1-yo'l. Maydonning ishi Q zaryadini nuqtadan siljitishga majbur qiladi 1 potentsialli maydonlar 1 aynan 2 potentsialli maydonlar 2 formula bo'yicha toping

A=Q( 1 - 2 ). (1)

Nuqtalardagi potentsiallarni aniqlash 1 va 2 Bu nuqtalar orqali I va II ekvipotensial sirtlarni chizamiz. Bu sirtlar tekislik bo'ladi, chunki ikkita bir xil zaryadlangan cheksiz parallel tekisliklar orasidagi maydon bir xildir. Bunday maydon uchun munosabat

 1 - 2 =El, (2)

qayerda E - maydon kuchi; l - ekvipotensial yuzalar orasidagi masofa.

Parallel cheksiz qarama-qarshi zaryadlangan tekisliklar orasidagi maydon kuchi E=/ 0 . Ushbu ifodani almashtirish E(2) formulaga, keyin esa ifodasiga 1 - 2 (1) formulaga kiritamiz, biz olamiz

A= Q( /  0 ) l.

2-yo'l. Maydon bir xil bo'lgani uchun zaryadga ta'sir qiluvchi kuch Q, harakatlanayotganda doimiydir. Shuning uchun, zaryadni nuqtadan ko'chirish ishi 1 aynan 2 formuladan foydalanib hisoblash mumkin

A=F  r cos, (3)

qayerda F - zaryadga ta'sir qiluvchi kuch r- zaryad uzatish moduli Q bir nuqtadan 1 aynan 2;  - siljish va kuch yo'nalishlari orasidagi burchak . Lekin F= QE= Q( /  0 ). Ushbu ifodani almashtirish F tenglikka (3), shuningdek,  ekanligini payqagan r cos= l, olamiz

A=Q(/ 0 )l. (4)

Shunday qilib, ikkala yechim ham bir xil natijaga olib keladi.

(4) ifodaga miqdorlar qiymatini almashtirish Q, , 0 va l, toping

A\u003d 13,6 mkJ.

3-misol Radiusli aylana yoyi bo'ylab egilgan ingichka ipda R, chiziqli zichligi=10 nC/m bo'lgan bir tekis taqsimlangan zaryad. Kuchlanishni aniqlang E va bunday p tomonidan yaratilgan elektr maydonining potentsiali 

bir nuqtada taqsimlangan zaryad O, yoyning egrilik markaziga to'g'ri keladi. Uzunlik l ip aylananing 1/3 qismini tashkil qiladi va 15 sm ga teng.

Yechim. Biz koordinata o'qlarini shunday tanlaymizki, koordinatalarning kelib chiqishi yoyning egrilik markaziga va o'qga to'g'ri keladi. da yoyning uchlariga nisbatan nosimmetrik joylashgan edi (15.2-rasm). Ipda d uzunlikdagi elementni tanlang l. Zaryadlangan Q=d l, tanlangan hududda joylashgan, nuqta sifatida qaralishi mumkin.

Nuqtadagi elektr maydonining kuchini aniqlaylik O. Buning uchun avvalo d taranglikni topamiz E zaryad tomonidan yaratilgan maydon d Q:

qayerda r-radius-vektor d elementdan uzoqqa yo'naltirilgan l kuchlanish hisoblangan nuqtaga. d vektorini ifodalaymiz E proyeksiya orqali dE x c va dE y koordinata o'qi bo'yicha:

qayerda i va j- birlik yo'nalishi vektorlari (orthlar).

kuchlanish E integratsiya orqali toping:

Integratsiya uzunlik yoyi bo'ylab amalga oshiriladi l. Simmetriya tufayli integral nolga teng. Keyin

, (1)

qayerda

. Chunki r=R= const va d l=R d. keyin

Topilgan ifodani almashtiring dE y(1) da va kamonning o'qga nisbatan nosimmetrik joylashishini hisobga olgan holda OU, 0 dan /3 gacha integrasiya chegaralarini olamiz va natijani ikki barobarga oshiramiz;

Bu chegaralarni almashtirish va ifodalash R yoy uzunligi orqali (3 l= 2 r), olamiz

Bu formula vektor ekanligini ko'rsatadi E o'qning ijobiy yo'nalishiga to'g'ri keladi OUva qiymatini almashtirish l oxirgi formulaga kirib, hisob-kitoblarni bajaramiz, biz topamiz

E\u003d 2,18 kV / m.

Nuqtadagi elektr maydonining potentsialini aniqlaylik O. Avval nuqtaviy zaryad d tomonidan yaratilgan potensial d ni topamiz Q nuqtada O:

Keling, almashtiramiz r ustida R va integratsiyani bajaring:

.Chunki l=2  R/3, keyin

=/(6 0 ).

Ushbu formula bo'yicha hisob-kitoblarni amalga oshirib, biz olamiz

Misol4 . Elektr maydoni radiusli uzun silindr tomonidan yaratilgan R= 1 sm , chiziqli zichlik bilan bir tekis zaryadlangan=20 nC/m. Masofalarda joylashgan ushbu maydonning ikkita nuqtasining potentsial farqini aniqlang a 1 =0,5 sm va a 2 \u003d silindr yuzasidan 2 sm, uning o'rta qismida.

Yechim. Potensial farqni aniqlash uchun biz maydon kuchi va potentsialning o'zgarishi o'rtasidagi bog'liqlikdan foydalanamiz E= -grad. Silindrning maydoni bo'lgan eksenel simmetriyaga ega bo'lgan maydon uchun bu munosabatni quyidagicha yozish mumkin.

E= -( d/d r) , yoki d= - E d r.

Oxirgi ifodani integratsiyalash orqali biz ajratilgan ikkita nuqtaning potentsial farqini topamiz r 1 va r 2 silindrning o'qidan;

. (1)

Tsilindr uzun bo'lgani uchun va nuqtalar uning o'rta qismi yaqinida olinganligi sababli, maydon kuchini formula yordamida ifodalash mumkin.

. Ushbu ifodani almashtirish E tenglikka (1) erishamiz

(2)

Miqdorlardan beri r 2 va r 1 formulani nisbat sifatida kiriting, keyin ularni har qanday, lekin faqat bir xil birliklarda ifodalash mumkin:

r 1 =R+a 1 = 1,5 sm; r 2 =R+a 2 =3 sm .

, kattalik qiymatlarini almashtirish 0 ,r 1 va r 2 formulaga (2) kiritamiz va hisoblaymiz, biz topamiz

 1 - 2 =250 V.

5-misol Elektr maydoni uning uzunligi bo'ylab bir tekis taqsimlangan =0,1 mkC/m zaryadni olib yuruvchi yupqa novda tomonidan yaratilgan. Masofadagi novda uchlaridan uzoqda joylashgan nuqtada maydonning potentsialini  aniqlang, uzunligiga teng tayoq.

Yechim. Roddagi zaryadni nuqtaviy zaryad deb hisoblash mumkin emas, shuning uchun potentsialni hisoblash uchun formulani to'g'ridan-to'g'ri qo'llang

, (1)

faqat ball to'lovlari uchun amal qiladi, bu mumkin emas. Ammo tayoqni elementar segmentlarga ajratsak d l, keyin zaryadd l ularning har birida joylashgan nuqta sifatida qaralishi mumkin va keyin formula (1) haqiqiy bo'ladi. Ushbu formulani qo'llash orqali biz olamiz

, (2)

qayerda r - potentsial aniqlanadigan nuqtaning novda elementigacha bo'lgan masofasi.

Anjirdan. 15.3 d l=(r d/cos). Bu ifodani almashtirish d l formulaga (2), topamiz

.

Olingan ifodani  chegarasida integrallash 1 ha 2 , biz novda taqsimlangan butun zaryad tomonidan yaratilgan potentsialni olamiz:

.

DA nuqta simmetriya kuchi LEKIN tayoqning uchlariga nisbatan bizda  2 = 1 va shuning uchun

.

Binobarin,

.Chunki

(2-jadvalga qarang), keyin

.

Integratsiya chegaralarini almashtirib, biz olamiz

Ushbu formula bo'yicha hisob-kitoblarni amalga oshirib, biz topamiz

6-misol Tezligi v=1,8310 6 m/s bo‘lgan elektron maydon kuchayish vektoriga qarama-qarshi yo‘nalishda bir xil elektr maydoniga uchdi. Qanday potentsial farq U energiyaga ega bo'lishi uchun elektron o'tishi kerak E i\u003d 13,6 eV *? (Bunday energiyaga ega bo'lgan elektron vodorod atomi bilan to'qnashganda uni ionlashtira oladi. 13,6 eV energiya vodorodning ionlanish energiyasi deyiladi).

Yechim. Elektron bunday potentsial farqdan o'tishi kerak u, Shunday qilib, olingan energiya V kinetik energiya bilan birlashtirilgan T, elektron maydonga kirishdan oldin bo'lgan, ionlanish energiyasiga teng energiyani tashkil etdi E i , ya'ni V+ T= E i . Ushbu formulada ifodalash V= EI va T=(m v 2 /2), olamiz EI+(m v 2 /2)=E i. Bu yerdan

.

___________________

* Elektron-volt (eV) - 1 V potentsial farqi orqali o'tgan elektronning zaryadiga teng zaryadga ega bo'lgan zarracha tomonidan olingan energiya. Ushbu tizim bo'lmagan energiya birligi hozirda fizikada foydalanish uchun tasdiqlangan.

Keling, SI birliklarida hisob-kitoblarni amalga oshiramiz:

U=4,15 DA.

7-misol Dastlabki tezlikni aniqlang υ 0 protonlarning yaqinlashishi etarli darajada uzoq masofa bir-biridan minimal masofa bo'lsa r Ular yaqinlasha oladigan min. 10 -11 sm.

Yechish: Ikki proton o'rtasida itaruvchi kuchlar mavjud bo'lib, buning natijasida protonlarning harakati sekin bo'ladi. Shuning uchun, muammo sifatida hal qilinishi mumkin inertial tizim koordinatalar (ikki protonning massa markazi bilan bog'liq) va inertial bo'lmaganda (tez harakatlanuvchi protonlardan biri bilan bog'langan). Ikkinchi holda, Nyuton qonunlari amal qilmaydi. D'Alember tamoyilini qo'llash qiyin, chunki tizimning tezlashishi o'zgaruvchan bo'ladi. Shuning uchun masalani inertial sanoq sistemasida ko’rib chiqish qulay.

Koordinatalarning kelib chiqishini ikkita protonning massa markaziga joylashtiramiz. Biz bir xil zarralar bilan ishlayotganimiz sababli, massa markazi zarralarni bog'laydigan segmentni ikkiga bo'ladigan nuqtada bo'ladi. Massa markaziga nisbatan zarralar istalgan vaqtda bir xil tezlik moduliga ega bo'ladi. Zarrachalar bir-biridan etarlicha katta masofada bo'lganda, tezlik υ 1 har bir zarracha yarmiga teng υ 0 , ya'ni υ 1 =υ 0 /2.

Muammoni hal qilish uchun biz energiyaning saqlanish qonunini qo'llaymiz, unga ko'ra umumiy mexanik energiya E izolyatsiya qilingan tizim doimiy, ya'ni.

E=T+ P ,

qayerda T- ikkala protonning massa markaziga nisbatan kinetik energiyalari yig'indisi; P - zaryadlar tizimining potentsial energiyasi.

Potensial energiyani harakatning dastlabki P 1 va oxirgi P 2 momentlarida ifodalaymiz.

Dastlabki vaqtda, masalaning shartiga ko'ra, protonlar juda katta masofada edi, shuning uchun potentsial energiyani e'tiborsiz qoldirish mumkin (P 1 =0). Shuning uchun, dastlabki daqiqalar uchun umumiy energiya kinetik energiyaga teng bo'ladi T 1 protonlar, ya'ni.

E=T l . (1)

Oxirgi daqiqada, protonlar iloji boricha yaqinlashganda, tezlik va kinetik energiya nolga teng bo'ladi va umumiy energiya P 2 potentsial energiyaga teng bo'ladi, ya'ni.

E= P 2 . (2)

(1) va (2) tengliklarning to'g'ri qismlarini tenglashtirib, biz olamiz

T 1 \u003d P 2. (3)

Kinetik energiya protonlarning kinetik energiyalari yig'indisiga teng:

(4)

Ikki zaryadli sistemaning potentsial energiyasi Q 1 va Q Vakuumdagi 2 formula bilan aniqlanadi

, qayerda r- zaryadlar orasidagi masofa. Ushbu formuladan foydalanib, biz olamiz

(5)

(4) va (5) tengliklarni hisobga olgan holda, formula (3) shaklni oladi

qayerda

Olingan formula bo'yicha hisob-kitoblarni amalga oshirgandan so'ng, biz topamiz υ 0 =2,35 mm/s

8-misol Dastlabki tezligi bo'lmagan elektron potentsial farqdan o'tdi U 0 =10 kV va potentsial farqga zaryadlangan tekis kondansatör plitalari orasidagi bo'shliqqa uchib ketdi U l \u003d 100 V, chiziq bo'ylab AB, plitalarga parallel ravishda (15.4-rasm). Masofa d plitalar orasidagi 2 sm.Uzunligi l Elektron uchish yo'nalishidagi 1 ta kondansatör plitalari 20 sm ga teng. Masofani aniqlang Quyosh ekranda R, kondensatordan uzoqda l 2 \u003d 1 m.

Yechish.Elektronning kondensator ichidagi harakati ikki harakatdan iborat: 1) chiziq bo‘ylab inersiya bo‘yicha AB doimiy tezlikda υ 0 , potentsial farq ta'sirida olingan U 0 , elektron kondensatorga o'tgan; 2) kondansatkichning doimiy maydon kuchi ta'sirida vertikal yo'nalishda musbat zaryadlangan plastinkaga bir tekis tezlashtirilgan harakat. Kondensatorni tark etgandan so'ng, elektron bir xil tezlikda harakat qiladi υ, u nuqtada bor edi M kondensatordan chiqish vaqtida.

Anjirdan. 15.4 kerakli masofani ko'rsatadi | | BC|=h 1 +h 2 , qayerdan h 1 - kondensatorda harakatlanayotganda elektron vertikal yo'nalishda harakatlanadigan masofa; h 2 - kondansatördan chiqishda dastlabki tezlik yo'nalishi bo'yicha harakatlanadigan elektron tushadigan ekrandagi D nuqtasi orasidagi masofa. υ 0 va elektron haqiqatda uradigan nuqta C.

Alohida ifoda eting h 1 va h 2 . Bir tekis tezlashtirilgan harakatning yo'l uzunligi formulasidan foydalanib, biz topamiz

. (1)

qayerda a- kondansatör maydoni ta'sirida elektron tomonidan qabul qilingan tezlashtirish; t- kondensator ichidagi elektronning parvoz vaqti.

Nyutonning ikkinchi qonuniga ko'ra a=F/m, qayerda F- maydon elektronga ta'sir qiladigan kuch; t- uning massasi. O'z navbatida, F=eE=eU 1 /d, qayerda e- elektron zaryad; U 1 - kondansatör plitalari orasidagi potentsial farq; d- ular orasidagi masofa. Bir tekis harakat yo'li formulasidan kondensator ichidagi elektronning parvoz vaqtini topamiz

, qayerda

qayerda l 1 elektron parvoz yo'nalishi bo'yicha kondansatör uzunligi. Elektron harakatlanayotganda maydon bajargan ish va u tomonidan olingan kinetik energiya tenglik shartidan tezlik ifodasini topamiz:

. Bu yerdan

(2)

(1) formulaga qiymatlarni ketma-ket kiritish a,F, t va υ 0 2 tegishli iboralardan biz olamiz

Kesilgan uzunlik h 2 uchburchaklarning o'xshashligini toping MDC va vektor:

(3)

qayerda υ 1 - bir nuqtada vertikal yo'nalishdagi elektron tezligi M;l 2 - kondansatördan ekrangacha bo'lgan masofa.

Tezlik υ 1 ni formula bo'yicha topamiz υ 1 =da, uchun ifodalarni hisobga olgan holda a, F va t shaklini oladi

Ifodani almashtirish υ 1 ni formulaga (3) kiritamiz, biz olamiz

, yoki almashtirish orqali υ (3) formula bo'yicha 0 2 ni topamiz

Nihoyat, kerakli masofa uchun | Miloddan avvalgi| ega bo'ladi

|Miloddan avvalgi|=

Miqdorlar qiymatlarini almashtirish U 1 ,U 0 ,d,l 1 va l 2 ni oxirgi ifodaga kiritib, hisob-kitoblarni bajarib, biz | Miloddan avvalgi|=5,5 sm.

Vazifalar

Nuqtaviy zaryadlarning potentsial energiyasi va maydon potensiali

15.1. nuqta zaryadi Q\u003d 10 nC, maydonning ma'lum bir nuqtasida, P \u003d 10 mJ potentsial energiyaga ega. Bu maydon nuqtasining potensial ph ni toping.

5.2. Zaryadni ko'chirishda Q=20 Maydonning ikki nuqtasi orasidagi nC, ish tashqi kuchlar tomonidan amalga oshirildi A=4 mJ. Ishni belgilang A 1 maydon kuchlari va maydonning ushbu nuqtalari potentsiallarining Dph farqi.

15.3. Elektr maydoni nuqta musbat zaryad tomonidan yaratilgan Q 1 \u003d 6 nC. musbat zaryad Q 2 nuqtadan uzatiladi LEKIN bu maydonni bir nuqtaga DA(15.5-rasm). O'tkazilgan zaryad birligiga DP potentsial energiyaning o'zgarishi qanday bo'ladi, agar r 1 =20 sm va r 2 \u003d 50 sm?

15.4. Nuqtaviy zaryad tomonidan yaratilgan elektr maydoni Q l \u003d 50 nC. Potensial tushunchasidan foydalanmasdan, ishni hisoblang LEKIN ichida

nuqta zaryadini harakatlantirish uchun tashqi kuchlar Q 2 = -2 nC nuqtadan FROM aynan DA

(15.6-rasm), agar r 1 =10 sm, r 2 \u003d 20 sm. Shuningdek, zaryadlar tizimining potentsial energiyasining DP o'zgarishini aniqlang.

15.5. Maydon nuqta zaryadi bilan yaratilgan Q=1 nC. Masofadagi zaryaddan uzoq nuqtada maydonning potentsial ph ni aniqlang r=20 sm.

15.6. Zaryadlardan uzoqda joylashgan nuqtada elektr maydonining potentsial ph ni aniqlang Q 1 = -0,2 µC va Q 2 =0,5 mC, mos ravishda, yoqilgan r 1 =15 ommaviy axborot vositalari r 2 \u003d 25 sm. Shuningdek, hal qilish mumkin bo'lgan zaryadlar orasidagi minimal va maksimal masofalarni aniqlang.

15.7. To'lovlar Q 1 \u003d 1 mC va Q 2 = -1 mC masofada joylashgan d\u003d 10 sm.Kuchlanishni aniqlang E va masofadan olis nuqtadagi maydonning potentsial ph r= Birinchi zaryaddan 10 sm uzoqlikda va birinchi zaryaddan o'tuvchi chiziqda yotgan yo'nalishga perpendikulyar Q 1 gacha Q 2 .

15.8. Ikki nuqtali zaryad sistemasining P potensial energiyasini hisoblang Q 1 =100 nC va Q 2 =10 masofada nC d=10 sm.

15.9. Uch nuqtali zaryad sistemasining P potensial energiyasini toping Q 1 \u003d 10 nC, Q 2 =20 nCl va Q 3 \u003d -30 nC, yon uzunligi bo'lgan teng qirrali uchburchakning tepalarida joylashgan a=10 sm.

15.10. To'rtta bir xil nuqtali zaryad sistemasining potentsial energiyasi P nimaga teng Q\u003d 10 nC, yon uzunligi bo'lgan kvadratning uchlarida joylashgan a\u003d 10 sm? .

15.11. Yon uzunligi bo‘lgan kvadratning uchlarida joylashgan to‘rt nuqtali zaryad sistemasining P potensial energiyasini aniqlang a\u003d 10 sm. Zaryadlar modulda bir xil Q=10 nC, lekin ulardan ikkitasi salbiy. To'lovlarni tartibga solishning ikkita mumkin bo'lgan holatini ko'rib chiqing.

15.12 . Maydon ikkita nuqta zaryadi bilan yaratilgan + 2Q va -Q, masofada d=12 sm. Potensial nolga teng bo'lgan tekislikdagi nuqtalarning joylashishini aniqlang (nol potensial chizig'i uchun tenglamani yozing).

5.13. Tizim uchta zaryaddan iborat - ikkitasi bir xil o'lchamdagi Q 1 = |Q 2 |=1 mC va ishora va zaryadda qarama-qarshi Q=20 nC, tizimning boshqa ikkita zaryadi o'rtasida o'rtada 1 nuqtada joylashgan (15.7-rasm). Zaryadni uzatishda tizimning DP potentsial energiyasining o'zgarishini aniqlang Q 1-banddan 2-bandga. Bu nuqtalar manfiy zaryaddan chiqariladi Q Har bir masofa uchun 1 ta a= 0,2 m.

Chiziqli taqsimlangan zaryadlar maydonining potentsiali

15.14. Radiusli nozik halqa bo'ylab R= 10 sm chiziqli zichligi t= 10 nC/m bo'lgan bir tekis taqsimlangan zaryad. Halqaning o'qida yotgan nuqtada, masofada ph potensialini aniqlang a= markazdan 5 sm.

15.15. Yupqa to'g'ri o'tkazgichning segmentida chiziqli zichligi t=10 nC/m bo'lgan zaryad bir tekis taqsimlangan. Supero'tkazuvchilar o'qida joylashgan va segmentning eng yaqin uchidan bu segmentning uzunligiga teng masofada joylashgan nuqtada ushbu zaryad tomonidan yaratilgan ph potentsialini hisoblang.

Ma’ruza 6. Elektr maydon potensiali. Test № 2

Potensial elektrostatikaning eng murakkab tushunchalaridan biridir. Talabalar elektrostatik maydon potentsialining ta'rifini o'rganadilar, ko'plab muammolarni hal qiladilar, lekin ularda potentsial hissi yo'q, ular nazariyani haqiqat bilan bog'lashda qiynaladilar. Shu bois potentsial tushunchasini shakllantirishda o‘quv eksperimentining roli juda yuqori. Bizga shunday tajribalar kerakki, ular bir tomondan potentsial haqidagi mavhum nazariy g'oyalarni ko'rsatsa, ikkinchi tomondan potentsial tushunchasini joriy qilish uchun tajribaning to'liq asosliligini ko'rsatadi. Ushbu tajribalarda miqdoriy natijalarning alohida aniqligiga intilish foydali emas, balki zararli.

6.1. Elektrostatik maydonning potentsialligi

O'tkazuvchi jismni izolyatsion tayanchga o'rnatamiz va uni zaryad qilamiz. Biz yorug'lik o'tkazuvchi to'pni uzun izolyatsiyalangan ipga osib qo'yamiz va unga sinov zaryadini beramiz, bu tana zaryadi bilan bir xil nomlanadi. To'p tanadan sakrab tushadi va joydan tashqariga chiqadi 1 pozitsiyasiga o'tadi 2. Gravitatsion maydonda to'pning balandligi oshganidan beri h, uning Yer bilan o'zaro ta'sirining potentsial energiyasi oshdi mgh. Bu zaryadlangan jismning elektr maydoni sinov zaryadida ba'zi ishlarni bajarganligini anglatadi.

Keling, tajribani takrorlaymiz, lekin dastlabki daqiqada sinov to'pini qo'yib yubormay, uni ixtiyoriy yo'nalishga surib, unga bir oz kinetik energiya beraylik. Shu bilan birga, biz pozitsiyadan harakatlanayotganini topamiz 1 murakkab traektoriya bo'ylab, to'p oxir-oqibat pozitsiyada to'xtaydi 2 . Dastlabki daqiqada to'pga xabar berildi kinetik energiya, aniqki, to'pning harakati paytida ishqalanish kuchlarini engib o'tishga sarflangan va elektr maydoni birinchi holatda bo'lgani kabi to'p ustida ham xuddi shunday ishni bajargan. Haqiqatan ham, agar biz zaryadlangan jismni olib tashlasak, sinov to'pining xuddi shunday itarish holatidan kelib chiqishiga olib keladi. 2 pozitsiyasiga qaytadi 1 .

Shunday qilib, tajriba shuni ko'rsatadiki, elektr maydonining zaryaddagi ishi zaryadning traektoriyasiga bog'liq emas, balki faqat uning boshlang'ich va oxirgi nuqtalarining pozitsiyalari bilan belgilanadi. Boshqacha qilib aytganda, yopiq traektoriyada elektrostatik maydonning ishi doimo nolga teng. Bu xususiyatga ega maydonlar deyiladi salohiyat.

6.2. Markaziy maydonning potentsiali

Tajriba shuni ko'rsatadiki, zaryadlangan o'tkazuvchi to'p tomonidan yaratilgan elektrostatik maydonda sinov zaryadiga ta'sir qiluvchi kuch har doim zaryadlangan to'pning markazidan yo'naltiriladi, u masofa ortishi bilan monoton ravishda kamayadi va teng masofalarda bir xil qiymatlarga ega bo'ladi. undan. Bunday maydon deyiladi markaziy. Rasmdan foydalanib, markaziy maydonning potentsial ekanligini tekshirish oson.

6.3. Elektrostatik maydondagi potentsial zaryad energiyasi

Gravitatsion maydon, elektrostatik kabi, potentsialdir. Bundan tashqari, umumjahon tortishish qonunining matematik yozuvi Kulon qonunining yozuvi bilan mos keladi. Shuning uchun, elektrostatik maydonni o'rganayotganda, tortishish va elektrostatik maydonlar o'rtasidagi o'xshashlikka tayanish mantiqan.

Yer yuzasiga yaqin joylashgan kichik hududda tortishish maydonini bir xil deb hisoblash mumkin (1-rasm). a).

Bu sohadagi massasi m bo'lgan jismga kattaligi va yo'nalishi doimiy bo'lgan kuch ta'sir qiladi f= t g. Agar o'z-o'zidan qolgan tana o'z joyidan tushib qolsa 1 holatiga 2 , keyin tortishish kuchi ishlaydi A = fs = mgs = mg (h 1 – h 2).

Xuddi shu narsani boshqacha aytishimiz mumkin. Tana joyida bo'lganida 1 , Yer-tana tizimi potentsial energiyaga ega edi (ya'ni, ish qilish qobiliyati) V 1 = mgh bitta. Tana joyida bo'lganda 2 , ko'rib chiqilayotgan tizim potentsial energiyaga ega bo'la boshladi V 2 = mgh 2. Bu holda bajarilgan ish tizimning oxirgi va boshlang'ich holatlardagi potentsial energiyalari o'rtasidagi farqga teng bo'lib, qarama-qarshi belgi bilan qabul qilinadi: LEKIN = – (V 2 – V 1).

Keling, elektr maydoniga murojaat qilaylik, biz eslaymizki, tortishish kuchi kabi potentsialdir. Tasavvur qiling-a, tortishish kuchi yo'q va Yer yuzasi o'rniga manfiy zaryadlangan (aniqlik uchun) tekis o'tkazuvchan plastinka mavjud (1-rasm). b). Koordinata o'qini kiriting Y va plastinka ustiga musbat zaryad qo'ying q. Ko'rinib turibdiki, zaryadning o'zi mavjud emasligi sababli, plastinka ustida elektr zaryadini olib yuruvchi ma'lum bir massali tana bor. Ammo, biz tortishish maydoni yo'q deb hisoblaganimiz uchun, biz zaryadlangan jismning massasini hisobga olmaymiz.

Shunday qilib, ijobiy zaryad uchun q manfiy zaryadlangan tekislik tomondan, tortishish kuchi f = q E , qayerda E elektr maydonining kuchidir. Elektr maydoni bir xil bo'lgani uchun zaryadga uning barcha nuqtalarida bir xil kuch ta'sir qiladi. Agar zaryad pozitsiyadan harakat qilsa 1 holatiga 2 , keyin elektrostatik kuch unga ishlaydi LEKIN = fs = qEs = qE(y 1 – y 2).

Xuddi shu narsani boshqa so'zlar bilan ifodalashimiz mumkin. Homilador 1 Elektrostatik maydondagi zaryad potentsial energiyaga ega V 1 = qEy 1 va holatda 2 - potentsial energiya V 2 = qEy 2. Zaryad pozitsiyadan o'tganda 1 holatiga 2 zaryadlangan samolyotning elektr maydoni uning ustida ish qildi LEKIN = –(V 2 – V 1).

Eslatib o'tamiz, potentsial energiya faqat bir muddatgacha aniqlanadi: agar potentsial energiyaning nol qiymati o'qning boshqa joyida tanlangan bo'lsa. Y, keyin asosan hech narsa o'zgarmaydi.

6.4. Bir hil elektrostatik maydonning potentsiali

Agar elektrostatik maydondagi zaryadning potentsial energiyasi ushbu zaryadning qiymatiga bo'linsa, biz maydonning o'zi deb nomlangan energiya xarakteristikasini olamiz. salohiyat:

SI tizimidagi potentsial quyidagicha ifodalangan volt: 1 V = 1 J / 1 S.

Agar o'q bir xil elektr maydonida bo'lsa Y kuchlanish vektoriga parallel ravishda yuboring E , keyin maydonning ixtiyoriy nuqtasining potentsiali nuqtaning koordinatasiga mutanosib bo'ladi: bundan tashqari, proportsionallik koeffitsienti elektr maydonining kuchi hisoblanadi.

6.5. Potensial farq

Potensial energiya va potentsial ularning nol qiymatlarini tanlashga qarab, faqat ixtiyoriy doimiyga qadar aniqlanadi. Biroq, dala ishi juda aniq ma'noga ega, chunki u maydonning ikkita nuqtasidagi potentsial energiyalarning farqi bilan belgilanadi:

LEKIN = –(V 2 – V 1) = –( 2 q – 1 q) = q( 1 – 2).

Maydonning ikkita nuqtasi o'rtasida elektr zaryadini ko'chirish ishi zaryadning ko'paytmasiga va boshlang'ich va yakuniy nuqtalarning potentsial farqiga teng. Potentsial farq ham deyiladi Kuchlanishi.

Ikki nuqta orasidagi kuchlanish zaryadni boshlang'ich nuqtadan oxirgi nuqtaga ko'chirishda dala ishining ushbu zaryadga nisbatiga teng:

Potensial kabi kuchlanish ham ifodalanadi voltlarda.

6.6. Potensial farq va keskinlik

Yagona elektr maydonida kuch potentsialning kamayishi yo'nalishiga yo'naltiriladi va formula bo'yicha = Ha, potentsial farq U = 1 – 2 = E(da 1 – y 2). Nuqtalarning koordinatalaridagi farqni belgilash da 1 – y 2 = d, olamiz U = Ed.

Tajribada kuchni to'g'ridan-to'g'ri o'lchash o'rniga, potentsial farqni aniqlash va keyin formuladan foydalanib quvvat modulini hisoblash osonroq.

qayerda d vektor yo'nalishi bo'yicha yaqin joylashgan ikkita maydon nuqtasi orasidagi masofa E . Shu bilan birga, kuchlanish birligi sifatida har bir kulon uchun nyuton emas, balki metr uchun volt ishlatiladi:

6.7. Ixtiyoriy elektrostatik maydonning potentsiali

Tajriba shuni ko'rsatadiki, zaryadni cheksizlikdan maydonning ma'lum nuqtasiga ko'chirish ishining ushbu zaryad qiymatiga nisbati o'zgarishsiz qoladi: = LEKIN/q. Bu munosabat deyiladi elektrostatik maydonning berilgan nuqtasining potentsiali, cheksizlikdagi potentsialni nolga teng qabul qilish.

6.8. Potentsiallar uchun superpozitsiya printsipi

6.9. Nuqtaviy zaryad maydonining potensiali

Rasmda nuqta zaryadlari orasidagi elektrostatik o'zaro ta'sir kuchining ular orasidagi masofaga bog'liqligi grafigi ko'rsatilgan. Sinov zaryadini ko'chirishda elektr maydonining ishini topish q uzoqdan r masofaga qadar R, bu intervalni nuqtalarga bo'ling r 1 , r 2 ,..., r p teng qismlarga bo'linadi. Zaryadga ta'sir qiluvchi o'rtacha kuch q segment ichida [ rr 1 ] ga teng

Ushbu kuchning ushbu sohadagi faoliyati:

Ish uchun shunga o'xshash iboralar barcha boshqa bo'limlar uchun olinadi. Shunday qilib, to'liq ish:

Qarama-qarshi belgilarga ega bir xil atamalar yo'q qilinadi va nihoyat biz quyidagilarni olamiz:

dalaning zaryad bo'yicha ishi

- potentsial farq

Endi maydon nuqtasining cheksizlikka nisbatan potentsialini topish uchun biz yo'naltiramiz R cheksizlikka va nihoyat biz olamiz:

Demak, nuqtaviy zaryad maydonining potentsiali zaryadgacha bo'lgan masofaga teskari proportsionaldir.

6.10. Ekvipotentsial yuzalar

Elektr maydonining potentsiali har bir nuqtada bir xil qiymatga ega bo'lgan sirt deyiladi ekvipotentsial. Ipga osilgan sinov zaryadi bilan zaryadlangan sharning maydonining ekvipotensial sirtlarini rasmda ko'rsatilganidek ko'rsatish qiyin emas.

Ikkinchi rasmda ikkita qarama-qarshi zaryadning elektrostatik maydoni kuch (qattiq) va ekvipotensial (chiziq) chiziqlar bilan ifodalanadi.

Tadqiqot 6.1. Potensial farq

Mashq qilish. Potensiallar farqi yoki kuchlanish tushunchasini taqdim etadigan oddiy tajribani ishlab chiqing.

Amalga oshirish opsiyasi. Ikkita metall diskni izolyatsion tayanchlarga bir-biriga parallel ravishda taxminan 10 sm masofada joylashtiring.Disklarni kattaligi teng va ishorasi qarama-qarshi bo'lgan zaryadlar bilan zaryadlang. Elektrostatik dinamometrning sharini zaryad bilan zaryadlang, masalan, q= 5 nC (3.6 o'rganishga qarang) va uni disklar orasidagi maydonga kiriting. Bunday holda, dinamometr ignasi to'pga ta'sir qiluvchi kuchning ma'lum bir qiymatini ko'rsatadi. Dinamometrning parametrlarini bilib, kuch modulining qiymatini hisoblang (3.6-o'rganishga qarang). Misol uchun, tajribalarimizdan birida dinamometr ignasi qiymatni ko'rsatdi X\u003d 2 sm, shuning uchun formulaga ko'ra, kuch moduli f = Kx= 17 10 –5 N.

Dinamometrni harakatlantirib, zaryadlangan disklar orasidagi maydonning barcha nuqtalarida sinov zaryadiga bir xil kuch ta'sir qilishini ko'rsating. Sinov zaryadi yo'l bo'ylab harakatlanishi uchun dinamometrni harakatlantirish orqali s\u003d Unga ta'sir qiluvchi kuch yo'nalishi bo'yicha 5 sm, talabalardan so'rang: elektr maydoni zaryadda qanday ish qiladi? Zaryad moduli bo'yicha maydonning ishi teng ekanligini tushunishga erishing

LEKIN = fs= 8,5 10 -6 J, (6,3)

bundan tashqari, agar zaryad maydon kuchi yo'nalishi bo'yicha harakat qilsa, u ijobiy, teskari yo'nalishda esa salbiy. Dinamometr to'pining boshlang'ich va oxirgi pozitsiyalari o'rtasidagi potentsial farqni hisoblang: U = LEKIN/q\u003d 1,7 10 3 V.

Bir tomondan, plitalar orasidagi elektr maydon kuchi:

Boshqa tomondan, (6.1) formulaga muvofiq, uchun d=s:

Shunday qilib, tajriba shuni ko'rsatadiki, elektr maydonining kuchini ikki yo'l bilan aniqlash mumkin, bu, albatta, bir xil natijalarga olib keladi.

6.2-o‘rganish. Elektrometrning kuchlanishini kalibrlash

Mashq qilish. Ko'rgazmali ko'rsatkichli elektrometr kuchlanishni o'lchashi mumkinligini ko'rsatadigan tajribani loyihalashtiring.

Amalga oshirish opsiyasi. Tajriba o'rnatish sxematik tarzda rasmda ko'rsatilgan. Elektrostatik dinamometr yordamida bir xil elektr maydonining kuchini aniqlang va formuladan foydalaning U = Ed Supero'tkazuvchilar plitalar orasidagi potentsial farqni hisoblang. Ushbu bosqichlarni takrorlab, elektrostatik voltmetrni olish uchun elektrometrni kuchlanish uchun kalibrlang.

Tadqiqot 6.3. Sferik zaryadning maydon potensiali

Mashq qilish. Tekshiruv zaryadini cheksizlikdan zaryadlangan shar tomonidan yaratilgan maydonning qaysidir nuqtasiga o'tkazish uchun elektrostatik maydonga qarshi bajarilishi kerak bo'lgan ishni eksperimental tarzda aniqlang.

Amalga oshirish opsiyasi. Alyuminiy folga bilan o'ralgan ko'pikli koptokni izolyatsiyalash ustuniga ulang. Uni piezoelektrik yoki boshqa manbadan zaryadlang (1.10-bandga qarang) va xuddi shu zaryad bilan elektrostatik dinamometrning novdasiga sinov to'pini zaryadlang. Agar elektrostatik dinamometr zaryadlar orasidagi elektrostatik o'zaro ta'sir kuchlarini qayd qilmasa, sinov zaryadi tekshirilganidan cheksiz uzoqdir. Tajribada elektrostatik dinamometrni harakatsiz qoldirish va o'rganilayotgan zaryadni ko'chirish qulay.

Sekin-asta izolyatsion stenddagi zaryadlangan to'pni elektrostatik dinamometr to'piga yaqinlashtiring. Jadvalning birinchi qatoriga masofa qiymatlarini yozing r zaryadlar o'rtasida, ikkinchi qatorda - elektrostatik o'zaro ta'sir kuchining tegishli qiymatlari. Masofani santimetrda, kuchni esa dinamometr shkalasi kalibrlangan an'anaviy birliklarda ifodalash qulay. Olingan ma'lumotlarga asoslanib, kuchning masofaga bog'liqligi grafigini tuzing. Siz allaqachon shunga o'xshash grafikni 3.5 o'rganishda yaratgansiz.

Endi zaryadni cheksizlikdan maydonning berilgan nuqtasiga ko'chirish ishining bog'liqligini toping. E'tibor bering, tajribada zaryadlarning o'zaro ta'sir kuchi bir zaryaddan boshqa zaryaddan nisbatan kichik masofada deyarli nolga teng bo'ladi.

Zaryadlar orasidagi masofadagi o'zgarishlarning butun diapazonini teng bo'laklarga ajrating, masalan, har biri 1 sm.Tajriba ma'lumotlarini qayta ishlashni grafik oxiridan boshlash qulayroqdir. 16 dan 12 sm gacha bo'lgan maydonda kuchning o'rtacha qiymati f cf 0,13 arb. birliklar, shuning uchun elementar ish LEKIN bu sohada 0,52 arb ga teng. birliklar 12 dan 10 sm gacha bo'lgan maydonda shunga o'xshash tarzda bahslashsak, biz 0,56 an'anaviy birlikdan iborat elementar ishni olamiz. birliklar Keyinchalik 1 sm uzunlikdagi kesmalarni olish qulaydir.Ularning har birida kuchning o'rtacha qiymatini toping va uni kesma uzunligiga ko'paytiring. Olingan dala ishi qiymatlari A barcha sohalarda jadvalning to'rtinchi qatoriga kiriting.

Ishni bilish uchun LEKIN zaryadni cheksizlikdan ma'lum masofaga o'tkazishda elektr maydoni tomonidan yaratilgan, mos keladigan elementar ishni qo'shing va olingan qiymatlarni jadvalning beshinchi qatoriga yozing. Oxirgi qatorga 1/ qiymatlarini yozing. r, zaryadlar orasidagi masofa o'zaro.

Elektr maydonining ishini masofaning o'zaro nisbati bo'yicha chizing va to'g'ri chiziq olganingizga ishonch hosil qiling (o'ngdagi rasm).

Shunday qilib, tajriba shuni ko'rsatadiki, zaryad cheksizlikdan maydonning ma'lum nuqtasiga o'tganda elektr maydonining ishi shu nuqtadan maydonni hosil qiluvchi zaryadga qadar bo'lgan masofaga teskari proportsionaldir.

6.4-o‘rganish. Yuqori kuchlanish manbai

Ma `lumot. Maktab fizikasi tajribasi uchun sanoat hozirda ajoyib yuqori kuchlanishli kuchlanish manbalarini ishlab chiqarmoqda. Ular ikkita chiqish terminali yoki ikkita yuqori voltli elektrodga ega, ular orasidagi potentsial farq doimiy ravishda 0 dan 25 kV gacha sozlanishi. Qurilmaga o'rnatilgan ko'rsatgich yoki raqamli kuchlanish o'lchagich manba qutblari orasidagi potentsial farqni aniqlash imkonini beradi. Bunday qurilmalar elektrostatikada o'quv eksperimenti darajasini oshiradi.

Mashq qilish. Nuqtaviy zaryad uchun (6.2) formulaga muvofiq eksperimental ravishda aniqlangan zaryadlangan sharning potentsiali yuqori voltli quvvat manbai tomonidan ushbu sharga berilgan potentsialga teng ekanligini ko'rsatadigan ko'rgazmali o'quv tajribasini tuzing.

Amalga oshirish opsiyasi. Sinov koptokli elektrostatik dinamometrdan va izolyatsion stendga o'tkazuvchan to'pdan iborat tajriba moslamasini qayta yig'ing (3.4 va 6.3-bandlarga qarang). O'rnatishning barcha elementlarining parametrlarini o'lchash.

Aniqlik uchun shuni ta'kidlaymizki, tajribalardan birida biz elektrostatik dinamometrdan foydalanganmiz, uning parametrlari 3.4 ishda ko'rsatilgan: a= 5 10 -3 m, b= 55 10 -3 m, Bilan= 100 10 -3 m, t= 0,94 10 -3 kg, va to'plar bir xil va radiusga ega edi R= 7,5 10 -3 m.Bu dinamometr uchun kalibrlash koeffitsienti K, ixtiyoriy kuch birliklarini nyutonga aylantiruvchi formula bilan berilgan (3.6 o'rganishga qarang).

Sinov zaryadini cheksizlikdan maydonning ma'lum bir nuqtasiga o'tkazish bo'yicha ish jadvali pdagi rasmda ko'rsatilgan. 31. Ushbu grafikdagi an'anaviy ish birliklaridan joulga o'tish uchun formulaga muvofiq zarur. A = f Chorshanba r santimetrdagi masofa qiymatlarini metrga, kuch qiymatlarini arbga aylantiring. birliklar (sm) arbga aylanadi. birliklar (m) va ga ko'paytiring K. Shunday qilib: A(J) = 10 -4 KA(arb. birliklar).

O'zaro masofaga nisbatan mos keladigan ish rejasi quyida ko'rsatilgan. Uni ekstrapolyatsiya qilish R\u003d 7,5 mm, biz sinov zaryadini cheksizlikdan zaryadlangan to'pning yuzasiga o'tkazish ishini topamiz LEKIN\u003d 57 10 -4 K \u003d 4,8 10 -5 J. To'plarning zaryadlari bir xil bo'lganligi sababli q\u003d 6.6 10 -9 C (3.6-o'rganishga qarang), keyin kerakli potentsial \u003d LEKIN/q= 7300 V.

Yuqori kuchlanish manbasini yoqing va undagi chiqish kuchlanishini regulyator bilan o'rnating, masalan, U= 15 kV. Elektrodlardan biri bilan Supero'tkazuvchilar to'plarga birma-bir tegib, manbani o'chiring. Bunday holda, to'plarning har biri Yerga nisbatan = 7,5 kV potentsialga ega bo'ladi. To'plarning zaryadlarini Coulomb usuli bilan aniqlash uchun tajribani takrorlang (tadqiqot 3.6) va siz 7 nC ga yaqin qiymatga ega bo'lasiz.

Shunday qilib, tajribada sharlarning zaryadlari ikkita mustaqil usulda aniqlanadi. Birinchi usul potentsialni aniqlashdan to'g'ridan-to'g'ri foydalanishga asoslangan bo'lsa, ikkinchisi yuqori voltli manba yordamida ma'lum bir potentsialni to'plarga etkazish va keyinchalik ularning zaryadini Kulon qonuni yordamida o'lchashga asoslangan. Shu bilan birga, bir xil natijalarga erishildi.

Albatta, maktab o'quvchilarining hech biri zamonaviy asboblar jismoniy miqdorlarning qiymatlarini to'g'ri o'lchashiga shubha qilmaydi. Ammo endi ular eng oddiy hodisalarda o'rganadigan miqdorlar to'g'ri o'lchanganiga ishonch hosil qilishdi. Fizika asoslari bilan zamonaviy texnika o‘rtasida mustahkam aloqa o‘rnatildi, maktab bilimlari bilan real hayot o‘rtasidagi tafovutga barham berildi.

O'z-o'zini nazorat qilish uchun savollar va topshiriqlar

1. Elektrostatik maydonning potentsial ekanligini eksperimental tarzda qanday isbotlash mumkin?

2. Gravitatsion va elektrostatik maydonlar o'rtasidagi o'xshashlikning mohiyati nimada?

3. Elektrostatik maydonning intensivligi va potentsial farqi o'rtasida qanday bog'liqlik bor?

4. Potensiallar uchun superpozitsiya tamoyilining to‘g‘riligini bevosita asoslovchi tajribani taklif qiling.

5. Integral hisob yordamida nuqtaviy zaryadning maydon potensialini hisoblang. Formuladan olingan hosilangizni ma'ruzada berilgan elementar hosila bilan solishtiring.

6. Ikki Supero'tkazuvchilar disklar orasidagi potentsial farqni aniqlash bo'yicha tajribada (6.1-tadqiqot) nima uchun kuchlanish o'lchagichni uning sinov to'pi bir diskdan ikkinchisiga butun masofani bosib o'tishi uchun harakatlantirish mumkin emasligini aniqlang.

7. Elektrometrni kuchlanish uchun kalibrlashdan so'ng (6.2-tadqiqot) natijani elektrometrning pasport ma'lumotlarida ko'rsatilgan qurilmaning kuchlanish sezgirligi qiymatlari bilan solishtiring.

9. Talabalar ongida elektrostatikani o‘rganishda kiritilgan elektr maydon potensiali tushunchasi qo‘llanilganiga to‘liq mos kelishiga asosli ishonchni shakllantirish metodikasini batafsil ishlab chiqing. zamonaviy fan va texnologiya.

Adabiyot

Butikov E.I., Kondratiyev A.S. Fizika: Proc. nafaqa: 3 ta kitobda. Kitob. 2. Elektrodinamika. Optika. – M.: Fizmatlit, 2004 yil.

Voskanyan A.G.., Marlenskiy A.D., Shibaev A.F. Miqdoriy o'lchovlarga asoslangan Coulomb qonunini ko'rsatish: Sat. "Elektrodinamikada o'qitish tajribasi", jild. 7. - M .: School-Press, 1996 yil.

Kasyanov V.A. Fizika-10. - M.: Bustard, 2003 yil.

Myakishev G.Ya., Sinyakov A.Z.., Slobodskov B.A.. Fizika: Elektrodinamika. 10-11 hujayralar: Proc. ang uchun. fizikani o'rganish. - M.: Bustard, 2002 yil.

Umumiy fizika kabinetlari uchun o'quv jihozlari ta'lim muassasalari: Ed. G.G. Nikiforova. - M.: Bustard, 2005 yil.

Mavzu 3. ELEKTROstatik MAYDON POTENTSIALI VA ISHI. KUCHNING POTENTSIAL BILAN MUNOSABASI

3.4. Elektr maydonidagi dipol

3.5. Elektrostatik maydonning kuchi va potentsiali o'rtasidagi bog'liqlik

3.6. Maydon chiziqlari va ekvipotentsial yuzalar

3.7. Farqni hisoblasheng oddiy elektrostatik maydonlarning maydon kuchiga ko'ra potentsiallar

3.1. Elektrostatik maydon kuchlarining ishi

Boshqa statsionar nuqta zaryadi maydonida joylashgan nuqtaviy zaryadga ta'sir qiluvchi kuch markaziy hisoblanadi. Zaryadning fazoning istalgan nuqtasida ta'sir etuvchi kuchning yo'nalishi maydon hosil qiluvchi zaryad markazidan o'tadi va kuchning qiymati faqat ushbu zaryadga bo'lgan masofaga bog'liq.

kuzatish nuqtasiga qadar. (Masalan, tortishish maydoni markaziy kuchlar maydonidir).

E
Guruch. 3.1
Agar jism fazoning har bir nuqtasida tabiiy ravishda nuqtadan nuqtaga o'zgaruvchan kuch bilan boshqa jismlarning ta'siriga duchor bo'ladigan sharoitda joylashtirilsa, u holda bu jism kuchlar maydonida deyiladi. Kuchlarning markaziy maydoni potentsialdir. Keling, elektr maydonining potentsial ekanligiga ishonch hosil qilaylik. Ruxsat etilgan nuqtaviy zaryad maydonining kuchlari bajargan ishni hisoblang q bu sohada harakatlanuvchi nuqta zaryadi ustida (3.1-rasm). Boshlang'ich yo'lda ishlang

teng:

yoki

Chunki

. Bu yerdan 1-2 yo'lda

(1)

Ko'rinib turibdiki, ish zaryadning elektr maydonida harakat qilgan yo'liga bog'liq emas q" , lekin faqat ushbu zaryadning boshlang'ich va oxirgi pozitsiyalariga bog'liq (on r 1 va r 2). Shuning uchun, zaryadga ta'sir qiluvchi kuchlar q" statsionar zaryad sohasida q, konservativ va bu kuchlarning maydoni salohiyat. Bu xulosa osonlik bilan kuch beri har qanday sobit zaryadlar tizimi maydoniga uzaytirilishi mumkin nuqtaviy zaryad bilan harakat qiladi q"bunday sohada, shakldagi superpozitsiya printsipi bilan ifodalanishi mumkin

, qayerda - to'lanadigan kuch i-maydon yaratuvchi tizimning zaryadi. Bu holda ish alohida kuchlar tomonidan bajarilgan ishlarning algebraik yig'indisiga teng:

. Ushbu iboraning o'ng tomonidagi atamalarning har biri yo'ldan mustaqildir. Shuning uchun yo'lga va ishga bog'liq emas LEKIN.

Bu mexanikadan ma'lum potentsial kuchlar yopiq yo'lda nolga teng. Dala kuchlarining zaryad bo'yicha bajargan ishi q" yopiq pastadirdan o'tayotganda, sifatida ifodalanishi mumkin

, qayerda -vektor proyeksiyasi elementar siljish yo'nalishiga, shuning uchun:

(2)

Bu munosabatlar har qanday yopiq tsikl uchun bajarilishi kerak. Shuni yodda tutish kerakki, (21) faqat elektrostatik maydon uchun amal qiladi. Harakatlanuvchi zaryadlar maydoni (ya'ni vaqt o'tishi bilan o'zgaruvchan maydon) potentsial emas. Demak, unga (21) shart qanoatlanmaydi.

Shaklni ifodalash

vektorning aylanishi deyiladi bu kontur bo'ylab. Shunday qilib, elektrostatik maydonning xarakteristikasi shundaki, har qanday yopiq zanjir bo'ylab intensivlik vektorining aylanishi nolga teng.

3.2. Elektrostatik maydon vektor aylanish teoremasi

Shunday qilib, biz vektorning aylanishini tasdiqlaymiz har qanday elektrostatik maydonda nolga teng, ya'ni. . Ushbu bayonot vektor aylanish teoremasi deb ataladi.

Zaryad berilgan sohada 1a2b1 yopiq yo‘l bo‘ylab intensivlik bilan harakatlansin. Teoremani isbotlash uchun biz ixtiyoriy yopiq yo'lni ikkita 1a2 va 2b1 qismga ajratamiz (rasmga qarang). Keling, zaryadni ko'chirish uchun ish topaylik q 1-banddan 2-nuqtagacha. Berilgan sohadagi ish yoʻlning shakliga bogʻliq boʻlmagani uchun, zaryadni 1a2 yoʻl boʻylab harakatlantirish boʻyicha ish zaryadni 1b2 yoki yoʻl boʻylab harakatlantirish ishiga teng.

3.2-rasm

Yuqoridagilardan shunday xulosa kelib chiqadi

(Moduli integrallar teng, lekin belgilari qarama-qarshi). Keyin yopiq yo'lda ishlang:

(3)

yoki

(4)

Bunday xususiyatlarga ega maydon deyiladi salohiyat . Har qanday elektrostatik maydon potentsialdir.

Aylanma teoremasi amalda hisob-kitoblarga murojaat qilmasdan bir qator muhim xulosalar chiqarishga imkon beradi. Keling, ushbu xulosani tasdiqlovchi ikkita oddiy misolni ko'rib chiqaylik.

Biz vektorning aylanishini bildiruvchi Stoks teoremasidan foydalanamiz ixtiyoriy kontur bo'ylab L bu kontur bilan qoplangan har qanday sirt orqali bu vektorning rotorining oqimiga teng, ya'ni.

. Elektrostatik maydon bo'lsa, bizda bor

, shuning uchun sirt shaklining o'zboshimchaligi tufayli biz olamiz

. Demak, elektrostatik maydonning potentsial tabiatidan shunday xulosa kelib chiqadi elektrostatik maydon agar girdob emas . (5)

3.3. Elektrostatik maydonning potentsial energiyasi va potensiali

Potensial kuchlar maydonida joylashgan jism potentsial energiyaga ega, buning natijasida ish maydon kuchlari tomonidan amalga oshiriladi. Shunday qilib, ish zaryadga ega bo'lgan potentsial energiya qiymatlari farqi sifatida ifodalanishi mumkin. q" zaryad maydonining 1 va 2 nuqtalarida q

Buni ham ko'rsatish mumkin, chunki

,

Demak, zaryad maydonidagi zaryadning potentsial energiyasi uchun q olamiz:

(6)

Ma'nosi const da (6) odatda zaryad olib tashlanganda shunday tanlanadi q" cheksizlikka (

) potentsial energiya yo'qoladi. Bu shart ostida, bu chiqadi

(7)

Biz taxmin qilamiz q" sinov to'lovi. Keyin sinov zaryadiga ega bo'lgan potentsial energiya nafaqat uning qiymatiga bog'liq , balki qiymat bo'yicha ham q va r, sohani belgilash. Shuning uchun, bu energiya maydonni tasvirlash uchun ishlatilishi mumkin, xuddi sinov zaryadiga ta'sir qiluvchi kuch bu maqsadda ishlatilgan.

Har xil sinov to'lovlari

,

maydonning bir nuqtasida turli xil energiyaga ega bo'ladi

,

va hokazo. Biroq, munosabat

barcha to'lovlar uchun bir xil bo'ladi. Qiymat

(8)

chaqirdi salohiyat ma'lum bir nuqtadagi maydon va elektr maydonlarini tasvirlash uchun maydon kuchi bilan birga ishlatiladi.

Quyidagi kabi (8) potentsial son jihatdan maydonning ma'lum nuqtasida birlik musbat zaryadga ega bo'lgan potentsial energiyaga teng.

Shunday qilib, nuqta zaryadining potentsial maydoni uchun biz olamiz quyidagi ifoda:

(9)

Agar maydon nuqtaviy zaryadlar tizimi tomonidan yaratilgan bo'lsa q 1 , q 2 , …, q n, mos ravishda masofalarda joylashgan r 1 , r 2 ,…, r n zaryad joylashgan maydonning nuqtasiga , keyin bu maydon kuchlari tomonidan zaryad bo'yicha bajarilgan ish , har bir zaryad uchun alohida kuchlar ishining algebraik yig'indisiga teng bo'ladi:

Ammo har bir asar teng:

Qayerda

zaryadlash masofasi zaryadning dastlabki holatiga,

zaryaddan zaryadning oxirgi holatigacha bo'lgan masofa.

Natijada:

Bu ifodani munosabat bilan solishtirish

, biz zaryadlar tizimi sohasida zaryadning potentsial energiyasining ifodasini olamiz:

, (10)

. (11).

Binobarin, zaryadlar sistemasi tomonidan yaratilgan maydonning potensiali har bir zaryad tomonidan alohida yaratilgan potentsiallarning algebraik yig'indisiga teng.

Munosabatdan

bundan kelib chiqadiki, to'lov , potentsialga ega bo'lgan maydon nuqtasida joylashgan , potentsial energiyaga ega

. Shunday qilib, maydon kuchlarining zaryaddagi ishi potentsial farq bilan ifodalanishi mumkin:

Shunday qilib, zaryad bo'yicha bajarilgan ish dala kuchlari, zaryadning mahsulotiga va boshlang'ich va oxirgi nuqtalardagi potentsial farqga teng. Agar potentsialli nuqtadan zaryad cheksizgacha olib tashlansa (shart bo'yicha potentsial nolga teng bo'lsa), maydon kuchlarining ishi teng bo'ladi.

yoki

,

T. e, raqamli potentsial mehnatga teng, bu maydonning berilgan nuqtasidan cheksizgacha olib tashlanganda birlik musbat zaryadga tegishli maydon kuchlari tomonidan bajariladi yoki birlik musbat zaryadni undan cheksizga ko'chirish uchun elektr maydon kuchlariga qarshi bajarilishi kerak bo'lgan ish. maydonning berilgan nuqtasiga cheksizlik.

Zaryadni cheksizlikdan ko'chirish uchun potentsial birlikni maydonning bunday nuqtasida potentsial sifatida qabul qilish kerak, unga teng ishni bajarish kerak.

1 Joule ("Ci" birliklar tizimi)

Bu yerdan

.

3.4. Elektrostatik maydondagi dipol

E elektr dipol ikkining birikmasi deb ataladi teng to'lovlar qarama-qarshi belgi, bir-biridan uzoqda joylashgan l, bu ularning dipol maydoni aniqlanadigan nuqtalargacha bo'lgan masofasiga nisbatan kichikdir.

Zaryadning mahsuloti va zaryadlar orasidagi masofa p=ql chaqirdi dipol moment . Dipolning to'liq ta'rifi uchun dipol o'qining kosmosdagi yo'nalishini ham ko'rsatish kerak. Shunga ko'ra, dipol momentini vektor sifatida ko'rib chiqish kerak . Ushbu vektorga yo'nalish berilgan manfiy zaryaddan musbat zaryadga(3.3-rasm). Agar siz radiusni kiritsangiz - vektor dan sarflangan - q ga + q, u holda dipol momentni quyidagicha ifodalash mumkin:

. (13)

Agar dipol bir xil elektr maydoniga joylashtirilsa, dipolni hosil qiluvchi zaryadlar: q va + q teng kattalikdagi, lekin qarama-qarshi yo'nalishdagi kuchlar tomonidan ta'sir qiladi va (14-rasm). Bu kuchlar bir juft kuch hosil qiladi, ularning qo'li tengdir

, ya'ni dipolning maydonga nisbatan yo'nalishiga bog'liq. Har bir kuchning moduli qE. Uni elkaga ko'paytirsak, biz dipolga ta'sir qiluvchi bir juft kuch momentining qiymatini olamiz:

Qayerda R– elektr momenti dipol.

DA vektor shakli:

. (15)

Lahza

dipolni uning momenti shunday aylantirishga intiladi maydon yo'nalishi bo'yicha o'rnatiladi.

Vektorlar orasidagi burchakni oshirish va ustida da dipolga ta'sir qiluvchi kuchlarga qarshi ish bajarilishi kerak:

Bu ish potentsial energiyani oshirishga qaratilgan V, elektr maydonida dipolga ega bo'lgan, ya'ni:

(16)

Integratsiya (16) elektr maydonidagi dipolning potentsial energiyasini ifodalaydi:

Taxmin qilib const=0 , olamiz

DA tanlash orqali const=0 , biz dipol maydon yo'nalishiga perpendikulyar o'rnatilganda dipolning energiyasi nolga teng bo'ladi deb faraz qilamiz. Eng kichik energiya qiymati ( -pe), dipol maydon yo'nalishi bo'ylab yo'naltirilganda olinadi, eng katta, teng pE, vektorga teskari yo'nalishda yo'naltirilganda .

Bir jinsli bo'lmagan maydonda dipolning zaryadlariga ta'sir qiluvchi kuchlar bir xil emas. Kichik kuch dipollari uchun f 1 va f 2 ni taxminan kollinear deb hisoblash mumkin. Maydon yo'nalishi bo'yicha eng tez o'zgaradi deb faraz qilaylik X, yo'nalishga to'g'ri keladi dipol joylashgan joyda (3.5-rasm). musbat zaryad dipol salbiy tomonga nisbatan siljiydi X miqdori bo'yicha

. Shuning uchun zaryadlar joylashgan nuqtalarda maydon kuchi D ga farq qiladi E. Kuchlar yig'indisidan beri

va

yoki , (19)

, keyin

, (20)

Qayerda

elektr maydon kuchligi vektorining gradientidir. Shunday qilib, bir hil bo'lmagan elektr maydonida, aylanish momentidan tashqari, kuch ham mavjud f, uning ta'sirida dipol kuchliroq maydon mintaqasiga tortiladi (a 0) yoki undan tashqariga chiqariladi (a> 90 0).

Buni hisobga olgan holda (18) kuch ifodasini olish mumkin f= –

.

3.5. Elektrostatik maydon kuchi va potentsial o'rtasidagi bog'liqlik

Elektr maydon kuchi - kattalik, raqamli kuchiga teng zaryad bo'yicha harakat qilish. Potentsial zaryadning potentsial energiyasiga son jihatdan teng qiymatdir. Shunday qilib, bu miqdorlar o'rtasida potentsial energiya va kuch o'rtasidagi munosabatlarga o'xshash munosabat bo'lishi kerak (ya'ni.

). Yo'l segmentidagi zaryad ustidagi maydon kuchlarining ishi quyidagicha ifodalanishi mumkin

, va bu holda paydo bo'ladigan zaryadning potentsial energiyasining kamayishi: . Tenglikdan kelib chiqqan

topamiz:

yoki

, (21)

Qayerdan o'zboshimchalik bilan tanlangan yo'nalish.

,

,

, (22)

Qayerda

koordinata o'qlarining ortslari, ya'ni birlik vektorlari. Komponentlar bilan vektor

, qayerda

koordinatalarning skalyar funksiyasi

chaqirdi gradient funksiyalarini bajaradi va belgisi bilan belgilanadi

(yoki

, qayerda nabla operatori). Shunday qilib, potentsial gradient:

(24)

Va (23) va (24) dan shunday kelib chiqadi

(25)

Gradient ba'zi bir miqdorning eng tez o'zgarishi yo'nalishini ko'rsatadigan vektor bo'lgani uchun, uning qiymati fazoning bir nuqtasidan ikkinchisiga o'zgaradi, keyin potentsial gradienti. (qaerda r-radius-vektor) - bu potentsialning eng tez o'sish yo'nalishi bo'yicha yo'naltirilgan vektor, bu yo'nalishdagi uzunlik birligiga uning o'zgarish tezligiga son jihatdan teng.

Chunki

vektor kattalik bo'lsa, uning moduli quyidagicha ifodalanadi:

, (26)

Xuddi vektorning moduli kabi :

(27)

"-" belgisi (25) kuchlanishning potentsialni kamaytirish yo'nalishiga yo'naltirilganligini ko'rsatadi. Formula (25) ma'lum qiymatlardan har bir nuqtada maydon kuchini topishga yoki teskari masalani hal qilishga, ya'ni har bir nuqtada berilgan qiymatlardan maydonning ikkita ixtiyoriy nuqtasi orasidagi potentsial farqni topishga imkon beradi.

3.6. Ekvipotentsial yuzalar

Elektrostatik maydonning potentsiali nuqtadan nuqtaga o'zgarib turadigan funktsiyadir. Biroq, har qanday real holatda, potentsiallari bir xil bo'lgan nuqtalar to'plamini ajratib ko'rsatish mumkin.

G doimiy potentsial nuqtalarining geometrik joylashuvi teng potensialli sirt yoki ekvipotensial sirt deb ataladi.

Bir xil zaryadlangan cheksiz tekislikni oling (3.6-rasm). Bunday tekislik yaratgan maydon bir jinsli bo'lib, kuchlanish chiziqlari tekislik uchun normaldir. Bundan kelib chiqadiki, zaryadni ma'lum bir nuqtadan ko'chirish ishi DA 1 boshqa har qanday nuqtaga DA 2 , zaryadlangan sirtdan nuqta bilan bir xil masofada joylashgan DA 1 nolga teng. Haqiqatan ham, ba'zi zaryadni ko'chirishda q to'g'ri chiziqda DA 1 DA 2 maydon tomonidan zaryadga ta'sir qiluvchi kuch har doim siljishga perpendikulyar bo'ladi va shuning uchun uning ishi nolga teng. Ammo bu ish, boshqa tomondan, quyidagi shaklda ifodalanishi mumkin:

, (28)

G de va

nuqtalarning potentsiallari mos ravishda hisoblanadi DA 1 va DA 2 . Demak, chunki A = 0, u holda =, ya'ni zaryadlangan tekislikdan teng masofada joylashgan nuqtalarning potentsiallari bir xil bo'ladi. Shunday qilib, teng potentsialli sirtlar (ekvipotensial yuzalar) zaryadlangan tekislikka parallel tekisliklardir. Agar samolyot musbat zaryadlangan bo'lsa, u holda potentsialning qiymati zaryadlangan tekislikdan masofa bilan kamayadi. Ko'rinib turibdiki, teng potentsialli sirtlar zaryadlangan tekislikning ikkala tomonida simmetrik joylashgan.

Nuqtaviy zaryad maydonining ekvipotensial sirtlari radiusli sharlardir r , uning markazi nuqta zaryadining markazida joylashgan, ya'ni.

(3.7-rasm). Shaklda. 3.6 va rasm. 3.7 intensivlik vektori ekvipotensial sirtlarga perpendikulyar.

Intensivlik vektori ekvipotensial sirtga perpendikulyar ekanligini ko'rsatamiz. Zaryadni ∆ yo'lning kichik kesimida teng potentsialli sirt ustida harakatlantirish ishini ko'rib chiqaylik S (3.7-rasm). Shu bilan birga, ish elektr quvvati

bu yo'lda bo'ladi:

Bu erda a - kuch yo'nalishi orasidagi burchak f va siljish ∆ S. Boshqa tomondan, bu ish harakatlanuvchi zaryad qiymatining mahsuloti va zaryadning boshlang'ich va oxirgi pozitsiyalaridagi potentsial farqi sifatida ifodalanishi mumkin, ya'ni.

.

Harakat ekvipotensial sirt bo'ylab ketayotganligi sababli, potentsial farq

va

, yoki kosa = 0, shuning uchun a = 90 0, ya'ni. kuch yo'nalishi va siljish o'rtasidagi burchak ∆ S 90 0 ga teng. Lekin, ya'ni. yo'nalishlari va mos keladi, shuning uchun orasidagi burchak va ∆ S, a=90 0, ya'ni. elektrostatik maydon vektorining yo'nalishi har doim ekvipotensial sirtga perpendikulyar.

Zaryadlangan jism atrofida siz xohlagancha ko'p ekvipotensial sirtlarni chizishingiz mumkin. Ekvipotentsial sirtlarning zichligi bo'yicha qiymatni baholash mumkin , ammo ikkita qo'shni ekvipotensial sirt orasidagi potensiallar farqi doimiy qiymatga teng bo'lishi sharti bilan.

Formula potentsial va kuch o'rtasidagi munosabatni ifodalaydi va har bir nuqtada maydon kuchini topish uchun ma'lum ph qiymatlaridan foydalanishga imkon beradi. Bundan tashqari, teskari masalani hal qilish mumkin, ya'ni. maydonning har bir nuqtasida ma'lum qiymatlar bo'yicha potentsial farqni toping maydonning ikkita ixtiyoriy nuqtasi o'rtasida. Buning uchun biz zaryad bo'yicha dala kuchlari tomonidan bajarilgan ishlardan foydalanamiz q uni 1-banddan 2-bandga ko'chirishda quyidagicha hisoblash mumkin:

Boshqa tomondan, ish quyidagicha ifodalanishi mumkin:

, keyin

Integral 1 va 2 nuqtani bog'laydigan har qanday chiziq bo'ylab olinishi mumkin, chunki dala kuchlarining ishi yo'lga bog'liq emas.

Yopiq pastadirdan o'tayotganda

olamiz:

bular. intensivlik vektorining aylanishi haqidagi mashhur teoremaga keldi: har qanday yopiq halqa bo'ylab elektrostatik maydon kuchi vektorining aylanishi nolga teng.

Bunday xususiyatga ega bo'lgan maydon potentsial deb ataladi.

Vektorning aylanishining yo'qolishidan elektrostatik maydonning chiziqlarini yopish mumkin emasligi kelib chiqadi.:ular ijobiy zaryadlardan boshlanadi(kelib chiqishi )va yana manfiy zaryadlar tugab qoldi(drenajlar )yoki cheksizlikka boring.

Gauss teoremasini va elektrostatik maydon kuchlanish vektorining vakuumda aylanishi haqidagi teoremani umumlashtiramiz. Chunki, a

, keyin

. Chunki

(

- Laplas operatori), keyin potentsial ph uchun ifodani olamiz

yoki

, deb ataladi Puasson tenglamasi.

Bu tenglama ma'lum zaryad taqsimotiga ko'ra imkon beradi

va qiymatlarni aniqlash uchun potensial ph uchun berilgan chegara sharti

maydonning barcha nuqtalarida va keyin kuchlanishni topish uchun formuladan foydalaning

dalalar, ya'ni. elektrostatikaning bevosita muammosini hal qilish.

3.7. Eng oddiy elektrostatik maydonlarning maydon kuchidan potentsial farqni hisoblash

Quvvat va potentsial o'rtasidagi o'rnatilgan bog'liqlik, maydonning ma'lum kuchiga ko'ra, ushbu maydonning ikkita ixtiyoriy nuqtasi orasidagi potentsial farqni topishga imkon beradi.

Keling, ba'zi zaryadlangan jismlar tomonidan yaratilgan maydon nuqtalari orasidagi potentsial farqni hisoblashning bir nechta misollarini ko'rib chiqaylik.

1. Bir xil zaryadlangan cheksiz tekislikning maydoni

Ostrogradskiy-Gauss teoremasi yordamida topilgan bir xil zaryadlangan cheksiz tekislikning maydoni formula bilan aniqlanadi.

, bu erda s - sirt zaryadining zichligi. Masofalarda joylashgan nuqtalar orasidagi potentsial farq x 1 va x 2 tekislikdan, ga teng

.

d E \u003d 0, plitalar orasidagi potentsial logarifmik qonunga muvofiq kamayadi va ikkinchi plastinka (silindrlardan tashqarida) elektr maydonini va ph va E nolga teng.
3.10-rasm
Shaklda. 3.10 kuchlanishning bog'liqligini ko'rsatadi E va quvvat dan r.
4. Bir xil zaryadlangan sferik yuzaning maydoni
Ostrogradskiy-Gauss teoremasini qo'llash misollarini ko'rib chiqsak, biz sharning maydon kuchi quyidagi formula bilan aniqlanishini aniqladik:

(3.11-rasm). Va shundan beri

, keyin

3.11-rasm
. Qabul qilsa r 1 = r , a r 2 =∞, u holda sferik sirtdan tashqaridagi potensial ifoda bilan aniqlanadi), formula bilan aniqlanadi
Nuqtadagi nol potentsial darajasini tanlab r 2 =∞ zaryadlangan shar ichidagi har qanday nuqtaning potentsialini quyidagicha topish mumkin:

. Integratsiyadan keyin biz olamiz

.

3.12-rasm
Shuni hisobga olib

, keyin

( 38 )
Olingan munosabatlardan quyidagilarni qilishimiz mumkin xulosalar .
- Gauss teoremasidan foydalanib, turli zaryadlangan sirtlardan E va ph ni hisoblash nisbatan oson.
- Vakuumdagi maydon kuchi zaryadlangan sirtdan o'tganda keskin o'zgaradi.
- Maydon salohiyati - har doim doimiy funktsiya koordinatalar.
test savollari
1. Elektrostatik maydonning potentsial ekanligini qanday ko'rsatish mumkin?
2. Potentsial nima?
3. Kuchlanish vektorining sirkulyatsiyasi nima deyiladi?
4. Zo'riqish va potentsial o'rtasida qanday bog'liqlik bor? Ekvipotensial yuzalar rasmidan maydon chiziqlari rasmini qanday chizish mumkin?
5. Zaryadni ekvipotensial sirt bo‘ylab harakatlantirish uchun qanday ish bajariladi?
6. Eng oddiy elektrostatik maydonlarning potentsial farqini hisoblashga misollar keltiring.
7. Tashqi elektrostatik maydonda dipol o'zini qanday tutadi?