Berilgan nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa. Nuqta va tekislik, chiziq va tekislik, tekislik va qiyshiq chiziqlar orasidagi masofani aniqlash. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa

Parallellik va perpendikulyarlik shartlari

1°. Ikki samolyot uchun solishtirish sharti

Ikkita samolyot berilsin:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, n 1 = {A 1 ; B 1 ; C 1 } ≠ 0 ;(1)

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, n 2 = {A 2 ; B 2 ; C 2 } ≠ 0 .(2)

Qachon ular koplanar (ya'ni, parallel yoki bir xil)? Shubhasiz, bu ularning normal vektorlari kollinear bo'lgan taqdirdagina bo'ladi. Taqqoslash mezonini qo'llash orqali biz olamiz

Taklif 1. Ikki tekislik koplanar bo'ladi, agar ularning normal vektorlarining o'zaro ko'paytmasi nol vektorga teng bo'lsa:

[n 1 , n 2 ] = 0 .

2°. Ikki tekislikning mos kelishi sharti

Taklif 2.(1) va (2) tekisliklar to'g'ri keladi, agar ularning to'rtta koeffitsienti proportsional bo'lsa, ya'ni l soni mavjud bo'lgandagina.

A 2 = l A 1 , B 2 = l B 1 , C 2 = l C 1 , D 2 = l D 1 . (3)

Isbot. Shartlar (3) bajarilsin. Keyin ikkinchi tekislikning tenglamasini quyidagicha yozish mumkin:

λ A 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + λ D 1 = 0.

l ≠ 0, aks holda shunday bo'lar edi A 2 = B 2 = C 2 = D 2 = 0, bu shartga zid keladi n 2 ≠ 0 . Shuning uchun oxirgi tenglama (1) tenglamaga ekvivalent bo'lib, bu ikkala tekislikning bir xil ekanligini anglatadi.

Keling, aksincha, berilgan tekisliklar mos kelishi ma'lum. U holda ularning normal vektorlari kollinear bo'ladi, ya'ni shunday l soni mavjud

A 2 = l A 1 , B 2 = l B 1 , C 2 = l C 1 .

Endi (2) tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin:

λ A 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + D 2 = 0.

(1) tenglamani l ga ko'paytirsak, biz hosil bo'lamiz ekvivalent tenglama birinchi tekislik (chunki l ≠ 0):

λ A 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + λ D 1 = 0.

Bir nuqtani oling x 0 , y 0 , z 0) birinchi (va shuning uchun ikkinchi) tekislikdan va uning koordinatalarini oxirgi ikkita tenglamaga almashtiring; Biz to'g'ri tenglikni olamiz:

λ A 1 x 0 + λ B 1 y 0 + λ C 1 z 0 + D 2 = 0 ;

λ A 1 x 0 + λ B 1 y 0 + λ C 1 z 0 + λ D 1 = 0.

Yuqoridan pastdan ayirib, biz olamiz D 2 − l D 1 = 0, ya'ni. D 2 = l D 1, QED.

3°. Ikki tekislikning perpendikulyarlik sharti

Shubhasiz, buning uchun normal vektorlarning perpendikulyar bo'lishi zarur va etarli.

Taklif 3. Oddiy vektorlarning nuqta mahsuloti nolga teng bo'lsa, ikkita tekislik perpendikulyar bo'ladi:

(n 1 , n 2) = 0 .

Tekislik tenglamasi berilgan bo'lsin

Ax + tomonidan + cz + D = 0, n = {A; B; C} ≠ 0 ,

va nuqta M 0 = (x 0 , y 0 , z 0). Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa formulasini olamiz:

Ixtiyoriy nuqtani oling Q = (x 1 , y 1 , z 1) berilgan tekislikda yotish. Uning koordinatalari tekis tenglamani qanoatlantiradi:

Ax 1 + tomonidan 1 + cz 1 + D = 0.

Endi kerakli masofaga e'tibor bering d vektor proyeksiyasining absolyut qiymatiga teng vektor yo'nalishiga n (bu erda biz proyeksiyani qabul qilamiz raqamli qiymat, vektor sifatida emas). Keyinchalik, proektsiyani hisoblash uchun formuladan foydalaning:

Xuddi shunday formula masofa uchun ham amal qiladi d nuqtadan M 0 = (x 0 , y 0) umumiy tenglama bilan berilgan to'g'ri chiziqqa tekislik Ax + tomonidan + C = 0.

MATEMATIKA FANIDAN NOKTADAN SOLOLGACHA MASAFNI TOPISH UCHUN Yagona davlat imtihonining C2-VAZIFALARI

Kulikova Anastasiya Yurievna

Matematika fakulteti 5-kurs talabasi. Analiz, algebra va geometriya EI KFU, Rossiya Federatsiyasi, Tatariston Respublikasi, Elabuga

Ganeeva Oygul Rifovna

ilmiy rahbar, t.f.n. ped. fanlar, dotsent, EI KFU, Rossiya Federatsiyasi, Tatariston Respublikasi, Elabuga

DA Topshiriqlardan foydalanish matematika bo'yicha o'tgan yillar nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblashda muammolar mavjud. Ushbu maqolada bitta masala misolidan foydalanib, nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topishning turli usullari ko'rib chiqiladi. Turli muammolarni hal qilish uchun siz eng mos usuldan foydalanishingiz mumkin. Muammoni bitta usul bilan hal qilgandan so'ng, boshqa usul natijaning to'g'riligini tekshirishi mumkin.

Ta'rif. Bu nuqtani o'z ichiga olmagan nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa bu nuqtadan berilgan tekislikka tushirilgan perpendikulyar segmentning uzunligidir.

Vazifa. Dan kubsimon LEKINBFROMDA 1 B 1 C 1 D 1 tomonlari bilan AB=2, Miloddan avvalgi=4, AA 1=6. Bir nuqtadan masofani toping D samolyotgacha ACD 1 .

1 yo'l. Foydalanish ta'rifi. masofani toping r( D, ACD 1) bir nuqtadan D samolyotgacha ACD 1 (1-rasm).

1-rasm. Birinchi yo'l

Keling, sarf qilaylik D.H.⊥AC, shuning uchun uchta perpendikulyar teorema bo'yicha D 1 H⊥AC va (DD 1 H)⊥AC. Keling, sarf qilaylik bevosita DT perpendikulyar D 1 H. To'g'riga DT samolyotda yotadi DD 1 H, Binobarin DT⊥AC. Binobarin, DT⊥ACD 1.

LEKINDC gipotenuzani toping AC va balandligi D.H.

To'g'ri uchburchakdan D 1 D.H. gipotenuzani toping D 1 H va balandligi DT

Javob: .

2 yo'l.Ovoz balandligi usuli (yordamchi piramidadan foydalanish). Bunday turdagi muammoni piramidaning balandligini hisoblash masalasiga qisqartirish mumkin, bu erda piramidaning balandligi nuqtadan tekislikgacha bo'lgan kerakli masofadir. Bu balandlik kerakli masofa ekanligini isbotlang; bu piramidaning hajmini ikki usulda toping va shu balandlikni ifodalang.

E'tibor bering, qachon bu usul berilgan nuqtadan berilgan tekislikka perpendikulyar qurishning hojati yo'q.

Kuboid - barcha yuzlari to'rtburchaklar bo'lgan kuboid.

AB=CD=2, Miloddan avvalgi=AD=4, AA 1 =6.

Istalgan masofa balandlik bo'ladi h piramidalar ACD 1 D, tepadan tushib ketdi D yerda ACD 1 (2-rasm).

Piramidaning hajmini hisoblang ACD 1 D ikki yo'l.

Hisoblashda, birinchi usulda, biz ∆ ni asos qilib olamiz ACD 1, keyin

Hisoblashda, ikkinchi usulda, biz ∆ ni asos qilib olamiz ACD, keyin

Oxirgi ikkita tenglikning o'ng tomonlarini tenglashtiramiz, biz olamiz

Shakl 2. Ikkinchi yo'l

To'g'ri uchburchaklardan ACD, QO‘SHISH 1 , CDD 1 Pifagor teoremasi yordamida gipotenuzalarni toping

ACD

Uchburchakning maydonini hisoblang ACD 1 Heron formulasidan foydalangan holda

Javob: .

3 yo'l. koordinata usuli.

Bir nuqta berilsin M(x 0 ,y 0 ,z 0) va tekislik α , tenglama bilan berilgan bolta+tomonidan+cz+d To'g'ri burchakli Dekart koordinata tizimida =0. Nuqtadan masofa M a tekisligiga quyidagi formula bilan hisoblash mumkin:

Koordinatalar sistemasini kiritamiz (3-rasm). Nuqtada kelib chiqish DA;

To'g'riga AB- eksa X, To'g'riga Quyosh- eksa y, To'g'riga BB 1 - eksa z.

Shakl 3. Uchinchi yo'l

B(0,0,0), LEKIN(2,0,0), FROM(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Mayli ax+tomonidan+ cz+ d=0 – tekislik tenglamasi ACD bitta. Unga nuqtalar koordinatalarini qo'yish A, C, D 1 biz olamiz:

Tekislik tenglamasi ACD 1 shaklni oladi

Javob: .

4 yo'l. vektor usuli.

Biz asosni kiritamiz (4-rasm) , .

4-rasm. To'rtinchi yo'l

Ushbu maqola nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani aniqlash haqida gapiradi. uch o‘lchamli fazoda berilgan nuqtadan masofani topish imkonini beradigan koordinata usulini tahlil qilaylik. Birlashtirish uchun bir nechta topshiriqlarning misollarini ko'rib chiqing.

Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa nuqtadan nuqtagacha bo'lgan ma'lum masofa yordamida topiladi, bu erda ulardan biri berilgan, ikkinchisi esa berilgan tekislikka proyeksiyadir.

Fazoda ch tekislikli M 1 nuqta berilganda, nuqta orqali tekislikka perpendikulyar to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin. H 1 - ularning kesishishining umumiy nuqtasi. Bu yerdan biz M 1 H 1 segmenti perpendikulyar ekanligini bilib olamiz, u M 1 nuqtadan ch tekislikka o'tkazilgan, bu erda H 1 nuqta perpendikulyar asosdir.

Ta'rif 1

Ular berilgan nuqtadan berilgan tekislikka o'tkazilgan perpendikulyar asosgacha bo'lgan masofani chaqiradilar.

Ta'rif turli formulalarda yozilishi mumkin.

Ta'rif 2

Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa berilgan nuqtadan berilgan tekislikka chizilgan perpendikulyar uzunligi deyiladi.

M 1 nuqtadan ch tekislikgacha bo'lgan masofa quyidagicha aniqlanadi: M 1 nuqtadan ch tekislikgacha bo'lgan masofa berilgan nuqtadan tekislikning istalgan nuqtasigacha bo'lgan eng kichik bo'ladi. Agar H 2 nuqta ch tekisligida joylashgan bo'lsa va H 2 nuqtaga teng bo'lmasa, biz M 2 H 1 H 2 ko'rinishdagi to'g'ri burchakli uchburchakni olamiz. , bu to'rtburchaklar, bu erda M 2 H 1, M 2 H 2 oyog'i mavjud - gipotenuza. Demak, bu M 1 H 1 ekanligini bildiradi< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 qiya deb hisoblanadi, u M 1 nuqtadan ch tekislikka tortiladi. Bizda ma'lum nuqtadan tekislikka o'tkazilgan perpendikulyar nuqtadan berilgan tekislikka o'tkazilgan qiyalikdan kichikroq ekanligi bor. Quyidagi rasmda ushbu holatni ko'rib chiqing.

Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa - nazariya, misollar, echimlar

Bir qator geometrik masalalar mavjud, ularning yechimlari nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani o'z ichiga olishi kerak. Buni aniqlash usullari boshqacha bo'lishi mumkin. Yechish uchun Pifagor teoremasi yoki uchburchaklarning o'xshashligidan foydalaning. Shartga ko'ra, uch o'lchovli fazoning to'rtburchaklar koordinata tizimida berilgan nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash kerak bo'lganda, ular koordinata usuli yordamida hal qilishadi. Ushbu paragraf ushbu usul bilan bog'liq.

Masalaning shartiga ko‘ra, uch o‘lchamli fazoda ch tekislik bilan koordinatalari M 1 (x 1, y 1, z 1) bo‘lgan nuqta berilgan bo‘lsa, M 1 dan masofani aniqlash kerak. samolyot ch. Yechish uchun bir nechta echimlar qo'llaniladi.

Birinchi yo'l

Bu usul M 1 nuqtadan ch tekislikka perpendikulyar asos bo'lgan H 1 nuqtaning koordinatalari yordamida nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topishga asoslangan. Keyinchalik, M 1 va H 1 orasidagi masofani hisoblashingiz kerak.

Masalani ikkinchi usulda yechish uchun berilgan tekislikning normal tenglamasidan foydalaniladi.

Ikkinchi yo'l

Shartga ko'ra, H 1 perpendikulyar asos bo'lib, u M 1 nuqtadan ch tekisligiga tushirildi. Keyin H 1 nuqtaning koordinatalarini (x 2, y 2, z 2) aniqlaymiz. M 1 dan ch tekisligiga kerakli masofa M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 formulasi bo'yicha topiladi, bu erda M 1 (x 1, y 1, z 1) va H 1 (x 2, y 2, z 2) . Yechish uchun siz H 1 nuqtasining koordinatalarini bilishingiz kerak.

Bizda H 1 ch tekislikning ch tekislikka perpendikulyar joylashgan M 1 nuqtasidan o‘tuvchi a to‘g‘ri chiziq bilan kesishish nuqtasi ekanligiga egamiz. Bundan kelib chiqadiki, berilgan tekislikka perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini shakllantirish kerak. Shunda biz H 1 nuqtaning koordinatalarini aniqlashimiz mumkin. Chiziq va tekislikning kesishish nuqtasining koordinatalarini hisoblash kerak.

Koordinatalari M 1 (x 1, y 1, z 1) nuqtadan ch tekislikgacha bo‘lgan masofani topish algoritmi:

Ta'rif 3

M 1 nuqtadan va bir vaqtda o‘tuvchi a to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing
ch tekisligiga perpendikulyar;
nuqta bo‘lgan H 1 nuqtaning koordinatalarini (x 2, y 2, z 2) toping va hisoblang.
a chiziqning tekislik bilan kesishishi ch ;
M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 formulasi yordamida M 1 dan ch gacha bo'lgan masofani hisoblang.

Uchinchi yo'l

Berilgan O x y z to rtburchak koordinatalar sistemasida ch tekislik mavjud bo lsa, u holda cos a · x + cos b · y + cos g · z - p = 0 ko rinishdagi tekislikning normal tenglamasini olamiz. Bu yerdan M 1 H 1 = cos a x + cos b y + cos formulasi bilan hisoblangan ch tekislikka tushirilgan M 1 (x 1, y 1, z 1) nuqta bilan M 1 H 1 masofani olamiz. g z-p. Bu formula to'g'ri, chunki u teorema tufayli o'rnatiladi.

Teorema

Agar M 1 (x 1, y 1, z 1) nuqta uch o‘lchamli fazoda berilgan bo‘lsa, cos a x + cos b y + cos g z - p = 0 ko‘rinishdagi ch tekisligining normal tenglamasiga ega bo‘lsa, u holda nuqtadan M 1 H 1 tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash M 1 H 1 = cos a · x + cos b · y + cos g · z - p formulasidan kelib chiqadi, chunki x = x 1 , y = y 1 , z = z 1.

Isbot

Teoremaning isboti nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani topishga qisqartiriladi. Bu yerdan biz M 1 dan ch tekislikgacha bo'lgan masofa M 1 radius vektorining sonli proyeksiyasining koordinata boshidan ch tekislikgacha bo'lgan masofasi orasidagi farqning moduli ekanligini tushunamiz. Keyin M 1 H 1 = n p n → O M → - p ifodasini olamiz. ch tekislikning normal vektori n → = cos a , cos b , cos g ko‘rinishga ega bo‘lib, uzunligi birga teng, n p n → O M → O M → = (x 1, y 1) vektorning sonli proyeksiyasi. , z 1) n → vektor bilan aniqlangan yo'nalishda.

Skayar vektorlarni hisoblash formulasini qo'llaymiz. Keyin n →, O M → = n → n p n → O M → = 1 n p n → O M → = n p n → O M → ko‘rinishdagi vektorni topish ifodasini olamiz, chunki n → = cos a, cos b, cos g z va O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Belgilanishning koordinata shakli n →, O M → = cos a x 1 + cos b y 1 + cos g z 1, keyin M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos a x 1 + cos ko‘rinishini oladi. b · y 1 + cos g · z 1 - p. Teorema isbotlangan.

Bu yerdan M 1 (x 1, y 1, z 1) nuqtadan ch tekislikgacha bo‘lgan masofani tekislikning normal tenglamasining chap tomoniga cos a x + cos b y + cos qo‘yish yo‘li bilan aniqlanadi. g z - p = 0 o'rniga x, y, z koordinatalari x 1 , y 1 va z1 olingan qiymatning mutlaq qiymatini olib, M 1 nuqtasiga tegishli.

Koordinatalari bo'lgan nuqtadan berilgan tekislikgacha bo'lgan masofani topish misollarini ko'rib chiqing.

1-misol

Koordinatalari M 1 (5 , - 3 , 10) nuqtadan 2 x - y + 5 z - 3 = 0 tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblang.

Yechim

Keling, muammoni ikki yo'l bilan hal qilaylik.

Birinchi usul a chiziqning yo'nalish vektorini hisoblashdan boshlanadi. Shartga ko'ra, berilgan 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0 tenglama umumiy tekislik tenglamasi va n → \u003d (2, - 1, 5) esa berilgan tekislikning normal vektoridir. Berilgan tekislikka perpendikulyar bo'lgan a to'g'ri chiziq uchun yo'naltiruvchi vektor sifatida ishlatiladi. Yozilishi kerak kanonik tenglama koordinatalari 2 , - 1 , 5 boʻlgan yoʻnalish vektori M 1 (5 , - 3 , 10) dan oʻtuvchi fazodagi toʻgʻri chiziq.

Tenglama x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ko'rinishida bo'ladi.

Kesishish nuqtalari aniqlanishi kerak. Buning uchun tenglamalarni kanonikdan ikkita kesishuvchi chiziq tenglamalariga o'tish uchun tizimga yumshoq tarzda birlashtiring. Bu nuqtani H 1 deb olaylik. Biz buni tushunamiz

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( y + 3) = - 1 (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Keyin tizimni yoqishingiz kerak

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Keling, Gauss bo'yicha tizimni yechish qoidasiga murojaat qilaylik:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0, y = - 1 10 10 + 2 z = - 1, x = - 1 - 2 y = 1

Biz H 1 (1, - 1, 0) ni olamiz.

Berilgan nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblaymiz. M 1 (5, - 3, 10) va H 1 (1, - 1, 0) nuqtalarini olamiz va olamiz.

M 1 H 1 \u003d (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 \u003d 2 30

Ikkinchi yechim avval berilgan 2 x - y + 5 z - 3 = 0 tenglamani normal ko'rinishga keltirishdir. Biz normallashtiruvchi omilni aniqlaymiz va 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 ni olamiz. Bu yerdan 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 tekislikning tenglamasini olamiz. Tenglamaning chap tomoni x \u003d 5, y \u003d - 3, z \u003d 10 ni almashtirish orqali hisoblanadi va siz M 1 (5, - 3, 10) dan 2 x - y + gacha bo'lgan masofani olishingiz kerak. 5 z - 3 = 0 modul. Biz ifodani olamiz:

M 1 H 1 \u003d 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 \u003d 60 30 \u003d 2 30

Javob: 2 30 .

ch tekisligi tekislikni aniqlash usullari bo'limining usullaridan biri bilan berilganda, siz birinchi navbatda ch tekisligining tenglamasini olishingiz va istalgan usul yordamida kerakli masofani hisoblashingiz kerak.

2-misol

Koordinatalari M 1 (5 , - 3 , 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C (4 , 0 , - 1) boʻlgan nuqtalar uch oʻlchamli fazoda oʻrnatiladi. M 1 dan A B C tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblang.

Yechim

Avval M 1 (5, - 3, 10) , A (0, 2, 1) , B (2 , 6 , 1) , C ( koordinatalari bilan berilgan uch nuqtadan oʻtuvchi tekislik tenglamasini yozishingiz kerak. 4 , 0 , - bir).

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8x + 4y - 20z + 12 = 0 ⇔ 2x - y + 5z - 3 = 0

Bundan kelib chiqadiki, muammo avvalgisiga o'xshash echimga ega. Demak, M 1 nuqtadan A B C tekislikgacha bo'lgan masofa 2 30 ga teng.

Javob: 2 30 .

Tekislikning berilgan nuqtasidan yoki ular parallel boʻlgan tekislikgacha boʻlgan masofani topish M 1 H 1 = cos a · x 1 + cos b · y 1 + cos g · z 1 - p formulasini qoʻllash orqali qulayroqdir. . Bu yerdan biz tekisliklarning normal tenglamalari bir necha bosqichda olinadi.

3-misol

Koordinatalari M 1 (- 3 , 2 , - 7) boʻlgan berilgan nuqtadan O x y z koordinata tekisligi va tekislikgacha boʻlgan masofani toping, tenglama bilan berilgan 2y - 5 = 0.

Yechim

O y z koordinata tekisligi x = 0 ko‘rinishdagi tenglamaga mos keladi. O y z tekisligi uchun bu normal holat. Shuning uchun ifodaning chap tomoniga x \u003d - 3 qiymatlarini qo'yish va M 1 (- 3, 2, - 7) koordinatalari bo'lgan nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofaning mutlaq qiymatini olish kerak. . Biz - 3 = 3 ga teng qiymatni olamiz.

Transformatsiyadan so'ng 2 y - 5 = 0 tekislikning normal tenglamasi y - 5 2 = 0 ko'rinishini oladi. Keyin koordinatalari M 1 (- 3 , 2 , - 7) nuqtadan 2 y - 5 = 0 tekislikkacha kerakli masofani topishingiz mumkin. O'rniga qo'yish va hisoblash, biz 2 - 5 2 = 5 2 - 2 ni olamiz.

Javob: M 1 (- 3, 2, - 7) dan O y z gacha bo'lgan kerakli masofa 3 ga, 2 y - 5 = 0 gacha esa 5 2 - 2 qiymatiga ega.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Fazodagi tekislik 3x-4y+2z+5=0 tenglama bilan berilgan, undan M(3;-2;6) nuqtagacha bo'lgan masofani toping.
Berilgan:
$$ x_0 = 3, \quad y_0 = -2, \quad z_0 = 6 $$

$$ A = 3, \quad B = -4, \quad C = 2, \quad D = 5 $$
Yechim:
Muammoni hal qilish uchun biz nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topish formulasidan foydalanamiz, bu nuqtadan tekislikka tushirilgan perpendikulyar uzunligiga teng:

$$ p = (| A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D|) \sqrt ustidan ((A^2 + B^2 + C^2)) $$

Bu yerda A, B, C, D - tekislik tenglamasining koeffitsientlari, x0, y0, z0 - nuqta koordinatalari.

Keling, almashtirishni amalga oshiramiz:

$$ \frac(|3 \cdot 3 + (-4) \cdot (-2)+2 \cdot 6 + 5 |)( \sqrt((3^2 + (-4)^2 + 2^2) ) ) = \frac(|9+8+12+5|)(\sqrt((9+16+4))) =6,314$$ (chiziqli birliklar)
Javob:
Chegi 1 sm ga teng ABCDA1B1C1D1 kubi berilgan.A1 nuqtadan B, D va C1 nuqtalar bilan aniqlangan tekislikgacha bo’lgan masofani hisoblang.
Yechim:
Muammoni hal qilish uchun biz koordinata usulini qo'llaymiz. Koordinatalar sistemasining kelib chiqishi A nuqtada joylashgan.X o'qi AD chekkasi bilan, y o'qi AB chekkasi bilan, z o'qi AA1 cheti bilan mos keladi.

Keyin A1 nuqta (0;0;1), B (0; 1; 0), D (1; 0; 0), C1(1; 1; 1) nuqtalarining koordinatalari. Har bir nuqtaning koordinatalarini A·x+B·y+C·z+D=0 tekislik uchun umumiy tenglamaga qo‘yib, biz uchta tenglama sistemasiga ega bo‘lamiz, ularni yechishda koeffitsientlari va tenglamasini topamiz. tekislik x+y-z-1=0.

$$ p = \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( \sqrt((A^2 + B^2 + C^2)) ) $$, almashtirish :

$$ p = \frac( |1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 - 1| )( \sqrt((1+1+1)) ) = 1,155 sm$$
Javob:
$$ R = 1,155 sm $$
U holda M (2; 4; -7) nuqtadan XOY tekislikgacha bo'lgan masofani toping.
Yechim:
XOY tekislik tenglamasi maxsus holat, uning tenglamasi z=0 ga teng. Keling, formulani qo'llaymiz:

$$ p = \frac( | A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( (A^2 + B^2 + C^2) ) $$ , bunda A=0, B =0, S=1, D=0, x0=2, y0=4, z0=-7.

Keling, almashtirishni amalga oshiramiz:

$$ p = \frac( |0 \cdot 2 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot (-7)) + 0| )( \sqrt((0^2 + 0^2 + 1^2)) ) = 7$$
Javob:
Tekislik A1 (0;2;1), B1(2;6;1), C1(4;0;-1) to'rtburchaklar sistemasidagi koordinatalari bo'lgan uch nuqtadan iborat ramka bilan aniqlanadi. Koordinatalari M (5; -3; 10) bo'lgan nuqta undan qanday masofada joylashganligini aniqlang.
Yechim:
Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani aniqlash uchun formuladan foydalanamiz

$$ p= \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( sqrt( (A^2 + B^2 + C^2) ) ) $$

Uni ishlatish uchun A1, B1 va C1 nuqtalari bilan aniqlangan tekislikning tenglamasini olish kerak. Umumiy shakl bu tenglamaning A·x+B·y+C·z+D=0. Tekislik tenglamasini chiqarish usullaridan biri (nuqtalar koordinatalari yoki determinantli tenglamalar tizimi) yordamida tekislikning tenglamasini topamiz, $$2x-y+5z-3=0$$ olamiz.

Tenglamaning olingan koeffitsientlari va nuqta koordinatalarini formulaga almashtiramiz:

$$ p = \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( \sqrt( (A^2 + B^2 + C^2) ) ) = \frac( | 2 \cdot 5 - (-3) + 5 \cdot 10 - 3|)( \sqrt( (2^2 + (-1)^2 + 5^2) ) ) = $10,95
Javob:
4x-6y-4z+7=0 tekislikdan O koordinatalar sistemasining bosh nuqtasigacha bo'lgan masofani toping.
Berilgan:
$$ x_0 = 0, \quad y_0 = 0, \quad z_0 = 0 $$

$$ A = 4, \quad B = -6, \quad C = -4, \quad D = 7 $$
Yechim:
O(0;0;0) koordinatalar sistemasining kelib chiqish koordinatalari. Keling, formuladan foydalanamiz:

$$ p= \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( sqrt( (A^2 + B^2 + C^2) ) ) $$ Samolyot uchun $$4 x-6y-4z+7=0$$,

$$ A=4, $$
$$ B=-6, $$
$$ C=-4, $$
$$ D=7. $$

Qiymatlarni almashtiring:

$$ p = \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( \sqrt( (A^2 + B^2 + C^2) ) ) = \frac( | 4 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 7|)( \sqrt( (4^2 + (-6)^2 + (-4)^2) ) ) = 0,85 $$
Javob:

Samolyot bo'lsin . Keling, normal chizamiz
kelib chiqishi orqali O. Let
normal tomonidan hosil qilingan burchaklardir koordinata o'qlari bilan.
. Mayli normal segment uzunligi
samolyotni kesib o'tishdan oldin. Normalning yo'nalish kosinuslari ma'lum deb faraz qiling , tekislikning tenglamasini chiqaramiz .

Mayli
) tekislikning ixtiyoriy nuqtasidir. Birlik normal vektor koordinatalariga ega. Vektorning proyeksiyasini topamiz
normal holatga.

Nuqtaidan beri M demak, samolyotga tegishli

Bu berilgan tekislik uchun tenglama deyiladi normal .

Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa

Samolyot berilsin ,M*
- kosmosdagi nuqta d uning samolyotdan masofasi.

Ta'rif. og'ish ball M* samolyotdan raqam deyiladi ( + d), agar M* tekislikning boshqa tomonida yotadi, bu erda normal nuqtalarning ijobiy yo'nalishi , va raqam (- d) agar nuqta tekislikning boshqa tomonida joylashgan bo'lsa:

Teorema. Samolyotga ruxsat bering normal birlik bilan normal tenglama bilan berilgan:

Mayli M*
– fazo nuqtasi og'ish t. M* tekislikdan ifoda bilan beriladi

Isbot. proyeksiya t.
* normalni bildiradi Q. Nuqtadan chetlanish M* samolyotdan

Qoida. Topmoq og'ish t. M* tekislikdan, siz tekislikning normal tenglamasida t koordinatalarini almashtirishingiz kerak. M* . Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa .

Tekislikning umumiy tenglamasini normal shaklga keltirish

Xuddi shu tekislik ikkita tenglama bilan berilgan bo'lsin:

Umumiy tenglama,

normal tenglama.

Ikkala tenglama bir xil tekislikni aniqlaganligi sababli, ularning koeffitsientlari proportsionaldir:

Birinchi uchta tenglikni kvadratga aylantiramiz va qo'shamiz:

Bu erdan topamiz normallashtiruvchi omil:

. (10)

Tekislikning umumiy tenglamasini normallashtiruvchi omilga ko'paytirib, tekislikning normal tenglamasini olamiz:

"Samolyot" mavzusidagi topshiriqlarga misollar.

1-misol Tekislik tenglamasini tuzing berilgan nuqtadan o'tish
(2,1,-1) va tekislikka parallel.

Yechim. Oddiy samolyot :
. Samolyotlar parallel bo'lgani uchun normal ham kerakli tekislik uchun normal hisoblanadi . Berilgan nuqtadan (3) o'tuvchi tekislik tenglamasidan foydalanib, biz tekislik uchun olamiz tenglama:

Javob:

2-misol Perpendikulyarning asosi boshlang'ichdan tekislikka tushdi , nuqta hisoblanadi
. Tekislik tenglamasini toping .

Yechim. Vektor
samolyot uchun normal hisoblanadi . Nuqta M 0 samolyotga tegishli. Berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasidan foydalanishingiz mumkin (3):

Javob:

3-misol Samolyot qurish nuqtalardan o'tish

va tekislikka perpendikulyar :.

Shuning uchun, qaysidir ma'noda M (x, y, z) samolyotga tegishli edi , uchta vektor bo'lishi kerak
o'xshash edi:

=0.

Determinantni ochish va olingan ifodani umumiy tenglama (1) ko'rinishiga keltirish qoladi.

4-misol Samolyot umumiy tenglama bilan berilgan:

Nuqtadan chetlanishni toping
berilgan tekislikdan.

Yechim. Samolyot tenglamasini normal shaklga keltiramiz.

Olingan normal tenglamaga nuqta koordinatalarini qo'ying M*.

Javob:
.

5-misol Segment tekislikni kesib o'tadimi.

Yechim. Kesmoq AB samolyotni kesib o'tdi, og'ishlar va samolyotdan turli belgilar bo'lishi kerak:

6-misol Uchta tekislikning bir nuqtada kesishishi.

Tizim bor yagona qaror, shuning uchun uchta tekislik bitta umumiy nuqtaga ega.

7-misol Berilgan ikkita tekislik hosil qilgan dihedral burchakning bissektrisalarini topish.

Mayli va - ma'lum bir nuqtaga og'ish
birinchi va ikkinchi tekisliklardan.

Bisektor tekisliklarining birida (koordinatalarning kelib chiqishi yotadigan burchakka mos keladi) bu og'ishlar kattalik va ishora jihatidan teng, ikkinchisida esa kattalik jihatidan teng va ishoraga qarama-qarshidir.

Bu birinchi bissektrial tekislikning tenglamasi.

Bu ikkinchi bissektrial tekislikning tenglamasi.

8-misol Ikki ma'lumot nuqtasining joylashuvini topish va bu tekisliklar hosil qilgan dihedral burchaklarga nisbatan.