2. Elektr maydoni. Elektr maydoni nuqta zaryadi. Elektr uzatish liniyalari.

Zamonaviy tushunchalarga ko'ra, elektr zaryadlari bir-biriga bevosita ta'sir qilmaydi. Har bir zaryadlangan jism atrofdagi fazoda hosil qiladi elektr maydoni . Bu maydon boshqa zaryadlangan jismlarga kuch ta'siriga ega. Asosiy mulk elektr maydoni- ma'lum bir kuch bilan elektr zaryadlariga ta'sir qilish. Shunday qilib, zaryadlangan jismlarning o'zaro ta'siri ularning bir-biriga bevosita ta'siri bilan emas, balki zaryadlangan jismlarni o'rab turgan elektr maydonlari orqali amalga oshiriladi.

Zaryadlangan jismni o'rab turgan elektr maydoni deb atalmish yordamida tekshirilishi mumkin sinov to'lovi - tekshirilayotgan to'lovlarning sezilarli qayta taqsimlanishiga olib kelmaydigan kichik nuqta zaryadi.

Elektr maydonining miqdorini aniqlash uchun tanishtiriladi kuch xarakterli elektr maydon kuchi .

Elektr maydonining kuchi kosmosning ma'lum bir nuqtasida joylashtirilgan musbat sinov zaryadiga maydon ta'sir qiladigan kuchning ushbu zaryadning kattaligiga nisbatiga teng bo'lgan jismoniy miqdor deb ataladi:

Elektr maydon kuchi vektor fizik miqdordir. Kosmosning har bir nuqtasida vektorning yo'nalishi musbat sinov zaryadiga ta'sir qiluvchi kuchning yo'nalishiga to'g'ri keladi.

Vaqt o'tishi bilan statsionar va o'zgarmas zaryadlarning elektr maydoni deyiladi elektrostatik . Ko'p hollarda qisqalik uchun bu maydon umumiy atama - elektr maydoni bilan belgilanadi

Agar bir nechta zaryadlangan jismlar tomonidan yaratilgan elektr maydoni sinov zaryadi yordamida tekshirilsa, unda hosil bo'lgan kuch har bir zaryadlangan jismdan sinov zaryadiga ta'sir qiluvchi kuchlarning geometrik yig'indisiga teng bo'ladi. Demak, kosmosning ma'lum bir nuqtasida zaryadlar tizimi tomonidan yaratilgan elektr maydonining kuchi bir xil nuqtada alohida zaryadlar tomonidan yaratilgan elektr maydonlari kuchlarining vektor yig'indisiga teng:

Bu maydon deyiladi Coulomb . Coulomb maydonida vektorning yo'nalishi zaryadning belgisiga bog'liq Q: agar Q> 0 bo'lsa, vektor zaryaddan radius bo'ylab yo'naltiriladi, agar Q < 0, то вектор направлен к заряду.

Elektr maydonini vizual tasvirlash uchun foydalaning kuch chiziqlari . Bu chiziqlar har bir nuqtadagi vektorning yo'nalishi teginish yo'nalishiga to'g'ri keladigan tarzda chizilgan maydon chizig'i(1.2.1-rasm). Elektr maydonini kuch chiziqlari yordamida tasvirlashda ularning zichligi maydon kuchi vektorining moduliga mutanosib bo'lishi kerak.

Musbat va manfiy nuqta zaryadlarining Kulon maydonlarining kuch chiziqlari shaklda ko'rsatilgan. 1.2.2. Har qanday zaryadlar tizimi tomonidan yaratilgan elektrostatik maydonni nuqta zaryadlarining Kulon maydonlarining superpozitsiyasi sifatida ko'rsatish mumkin, chunki rasmda ko'rsatilgan. 1.2.2 maydonlar har qanday elektrostatik maydonning elementar strukturaviy birliklari ("g'isht") sifatida qaralishi mumkin.

Nuqtaviy zaryadning kulon maydoni Q vektor shaklida yozish qulay. Buning uchun zaryaddan radius vektorini chizish kerak Q kuzatish nuqtasiga. Keyin soat Q> 0 vektor parallel va qachon Q < 0 вектор антипараллелен Следовательно, можно записать:

qayerda r radius vektorining moduli hisoblanadi.

Maydonlarning superpozitsiyasi printsipini qo'llashga misol sifatida shakl. 1.2.3. maydon chiziqlarining rasmi ko'rsatilgan elektr dipol - har xil belgilarga ega ikkita bir xil modulli zaryadlar tizimlari q va - q ma'lum masofada joylashgan l.

Elektr dipolining muhim xarakteristikasi bu deyiladi dipol moment

bu erda manfiy zaryaddan musbat zaryadga yo'naltirilgan vektor bo'lsa, Dipol moduli ko'plab molekulalarning elektr modeli bo'lib xizmat qilishi mumkin.

Masalan, neytral suv molekulasi (H 2 O) elektr dipol momentiga ega, chunki ikkita vodorod atomining markazlari kislorod atomining markazi bilan bir xil to'g'ri chiziqda emas, balki 105 ° burchak ostida joylashgan (2-rasm). 1.2.4). Suv molekulasining dipol momenti p= 6,2 10 -30 C m.

3. Elektrostatik Gauss teoremasi. Muayyan holat uchun Gauss teoremasining isboti (nuqtaviy zaryad radiusli shar ichida joylashgan) R). Gauss teoremasini umumlashtirishN ball to'lovlari. Gauss teoremasini uzluksiz taqsimlangan zaryad holatiga umumlashtirish. Gauss teoremasi differentsial shaklda.

Vektorning oqimini topamizE sharsimon sirt orqaliS, markazida nuqta zaryadi joylashganq.

Bu holda, beri yo'nalishlari E va n sferik sirtning barcha nuqtalarida to'g'ri keladi.

Nuqtaviy zaryadning maydon kuchini hisobga olgan holda va sharning sirt maydonini olishimiz haqiqatdir

Zaryad belgisiga qarab algebraik miqdor. Masalan, qachon q<0 линии E zaryad tomon yo'naltirilgan va tashqi normal yo'nalishga teskari n. Shuning uchun, bu holda, oqim salbiy.<0 .

Yopiq sirt zaryad atrofida bo'lsin q ixtiyoriy shaklga ega. Ko'rinib turibdiki, sirt bir xil miqdordagi chiziqlar bilan kesishadi E, qaysi sirt S. Shuning uchun vektorning oqimi E ixtiyoriy sirt orqali ham hosil bo'lgan formula bilan aniqlanadi.

Agar zaryad yopiq sirtdan tashqarida bo'lsa, unda, aniqki, yopiq maydonga qancha chiziqlar kirsa, xuddi shu raqam uni tark etadi. Natijada vektor oqimi E nolga teng bo'ladi.

Elektr maydoni nuqtaviy zaryadlar tizimi tomonidan yaratilgan bo'lsa keyin superpozitsiya printsipiga ko'ra,

Maxsus holatning isboti:

Gauss teoremasi da'volar:

Elektrostatik maydon kuchi vektor oqimi ixtiyoriy yopiq sirt orqali bu sirt ichida joylashgan zaryadlarning algebraik yig'indisi elektr doimiy e ga bo'linadi. 0 .

qayerda R sharning radiusidir. Sferik sirtdan o'tadigan oqim P mahsulotga teng bo'ladi E sfera maydoniga 4p R 2. Binobarin,

Keling, nuqta zaryadini ixtiyoriy yopiq sirt bilan o'rab olaylik S va radiusning yordamchi sferasini ko'rib chiqing R 0 (1.3.3-rasm).

Kichkina konusni ko'rib chiqing qattiq burchak Dũ tepada. Bu konus shardagi kichik D maydonini ajratib turadi S 0 , va sirtda S– platforma D S. Bu maydonlar orqali DA 0 va DA elementar oqimlari bir xil. Haqiqatan ham,

Mana D S" = Δ S cos a - radiusli shar yuzasida qattiq burchak DŌ bo'lgan konus tomonidan aniqlangan maydon n.

Chunki a Bundan kelib chiqadiki, zaryadni o'rab turgan ixtiyoriy sirt orqali nuqtaviy zaryadning elektr maydonining umumiy oqimi yordamchi sfera yuzasi orqali o'tadigan PH 0 oqimiga teng:

Xuddi shunday tarzda, agar yopiq sirt bo'lsa, ko'rsatilishi mumkin S ball zaryadini qoplamaydi q, keyin oqim PH = 0. Bunday holat rasmda ko'rsatilgan. 1.3.2. Nuqtaviy zaryadning elektr maydonining barcha kuch chiziqlari yopiq sirtga kiradi S orqali. Ichki yuza S hech qanday zaryad yo'q, shuning uchun bu mintaqada kuch chiziqlari buzilmaydi va kelib chiqmaydi.

Gauss teoremasini zaryadlarni ixtiyoriy taqsimlash holatiga umumlashtirish superpozitsiya tamoyilidan kelib chiqadi. Har qanday zaryad taqsimotining maydoni nuqtaviy zaryadlarning elektr maydonlarining vektor yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin. Zaryadlar tizimining ixtiyoriy yopiq sirt orqali oqimi P S PH oqimlaridan iborat bo'ladi i alohida zaryadlarning elektr maydonlari. Zaryad bo'lsa q i sirt ichida edi S, keyin u oqimga hissa qo'shadi, agar bu zaryad sirtdan tashqarida bo'lsa, u holda uning elektr maydonining oqimga qo'shgan hissasi nolga teng bo'ladi.

Shunday qilib, Gauss teoremasi isbotlangan.

Har qanday miqdordagi to'lovlar uchun

Yakuniy qadam oddiy. Bu superpozitsiya tamoyilini qo'llashdan iborat.

Agar har bir nuqtaviy zaryad uchun u tomonidan yaratilgan maydon (boshqa zaryadlar mavjud bo'lmaganda) Gauss teoremasini qondiradigan sirt bo'ylab oqim hosil qilsa (ya'ni, sirt ichidagi har bir zaryad uchun va sirtning har bir tashqarisi uchun 0) , keyin umumiy maydondan oqim

boshqalar yo'qligida har bir zaryad tomonidan yaratilgan oqimlarning yig'indisiga teng, oddiygina tengdir

bu erda yig'indi faqat sirt ichidagi zaryadlar ustida bo'ladi (tashqaridagilarning har biri 0 hissa qo'shadi).

Teorema isbotlangan.

ELEKTRIK BIAS

Asosiy formulalar

 Elektr maydon kuchi

E=F/Q,

qayerda F nuqta musbat zaryadga ta’sir etuvchi kuchdir Q maydonning berilgan nuqtasiga joylashtiriladi.

 Nuqtaviy zaryadga ta’sir etuvchi kuch Q, elektr maydoniga joylashtirilgan,

F=QE.

E elektr maydoni:

a) ixtiyoriy sirt orqali S, bir hil bo'lmagan maydonga joylashtirilgan,

yoki

,

bu yerda  - intensivlik vektori orasidagi burchak E va normal n sirt elementiga; d S- sirt elementining maydoni; E n- kuchlanish vektorining normalga proyeksiyasi;

b) bir xil elektr maydoniga joylashtirilgan tekis sirt orqali;

F E =ES cos.

 Kuchlanish vektor oqimi E yopiq sirt orqali

,

bu erda integratsiya butun sirt bo'ylab amalga oshiriladi.

 Ostrogradskiy-Gauss teoremasi. Kuchlanish vektor oqimi E har qanday yopiq sirtni o'rab turgan zaryadlar orqali Q l , Q 2 , . . ., Q n ,

,

qayerda - yopiq sirt ichiga o'ralgan zaryadlarning algebraik yig'indisi; P - to'lovlar soni.

 Nuqtaviy zaryad tomonidan yaratilgan elektr maydonining intensivligi Q masofada r zaryaddan

.

Radiusli metall shar tomonidan yaratilgan elektr maydonining kuchi R, zaryad olib borish Q,masofada r sharning markazidan:

a) shar ichida (r<.R)

b) shar yuzasida (r=R)

;

c) sferadan tashqarida (r>R)

.

 Elektr maydonlarining superpozitsiyasi (superpozitsiyasi) printsipi, unga ko'ra intensivlik E Ikki (yoki undan ko'p) nuqta zaryadlari tomonidan yaratilgan natijada maydon qo'shilgan maydonlar kuchlarining vektor (geometrik) yig'indisiga teng:

E=E 1 +E 2 +...+E n .

Kuchli ikkita elektr maydoni bo'lsa E 1 va E 2 quvvat vektor moduli

bu yerda  - vektorlar orasidagi burchak E 1 va E 2 .

 Masofadagi cheksiz uzun bir xil zaryadlangan ip (yoki silindr) tomonidan yaratilgan maydonning intensivligi r uning o'qidan

, bu yerda  - chiziqli zaryad zichligi.

Chiziqli zaryad zichligi - bu ip bo'ylab taqsimlangan zaryadning ip (tsilindr) uzunligiga nisbatiga teng qiymat:

 Cheksiz bir xil zaryadlangan tekislik tomonidan yaratilgan maydonning intensivligi,

bu yerda  - sirt zaryadining zichligi.

Yuzaki zaryad zichligi - bu sirt bo'ylab taqsimlangan zaryadning ushbu sirt maydoniga nisbatiga teng qiymat:

.

 Ikki parallel cheksiz bir tekis va qarama-qarshi zaryadlangan, sirt zaryad zichligi moduli bir xil (tekis kondansatör maydoni) tomonidan yaratilgan maydonning intensivligi.

.

Yuqoridagi formula yassi kondansatör plitalari orasidagi maydon kuchini hisoblash uchun (uning o'rta qismida) faqat plitalar orasidagi masofa kondansatör plitalarining chiziqli o'lchamlaridan ancha kam bo'lsa, amal qiladi.

 Elektr siljishi D kuchlanish bilan bog'liq E elektr maydon nisbati

D= 0 E.

Bu munosabat faqat izotrop dielektriklar uchun amal qiladi.

 Elektr siljish vektorining oqimi elektr maydon kuchligi vektorining oqimiga o'xshash tarzda ifodalanadi:

a) bir xil maydonda, tekis sirt orqali oqim

;

b) bir jinsli maydon va ixtiyoriy sirt holatida

,

qayerda D n - vektor proyeksiyasi D normalning sirt elementiga yo'nalishi bo'yicha, uning maydoni d ga teng S.

 Ostrogradskiy-Gauss teoremasi. Har qanday yopiq sirtni o'rab turgan zaryadlar orqali elektr siljish vektor oqimi Q 1 ,Q 2 , ...,Q n ,

,

qayerda P- yopiq sirt ichiga o'ralgan zaryadlar soni (o'z belgisi bilan).

 Elektr maydoni kuchayish vektorining sirkulyatsiyasi bir nuqtali musbat zaryadni yopiq halqa bo‘ylab harakatlantirish ishiga son jihatdan teng qiymatdir. Sirkulyatsiya yopiq tsiklli integral bilan ifodalanadi

, qayerda E l - intensivlik vektori E ning konturning berilgan nuqtasida bir xil nuqtadagi konturga teginish yo'nalishi bo'yicha proyeksiyasi.

Elektrostatik maydon holatida intensivlik vektorining aylanishi nolga teng:

.

Muammoni hal qilishga misollar

P

misol 1. Elektr maydoni ikkita nuqta zaryadidan hosil bo'ladi: Q 1 =30nC va Q 2 = -10 nC. Masofa d zaryadlar orasidagi 20 sm masofada joylashgan nuqtada elektr maydon kuchini aniqlang r 1 = birinchidan va masofadan 15 sm r 2 =ikkinchi zaryadlardan 10 sm.

Yechim. Elektr maydonlarining superpozitsiyasi printsipiga ko'ra, har bir zaryad kosmosda boshqa zaryadlarning mavjudligidan qat'iy nazar, maydon hosil qiladi. Shuning uchun kuchlanish E kerakli nuqtadagi elektr maydonini kuchli tomonlarning vektor yig'indisi sifatida topish mumkin E 1 va E 2 Har bir to'lov tomonidan alohida yaratilgan maydonlar: E=E 1 +E 2 .

Birinchi va ikkinchi zaryadlar tomonidan vakuumda hosil bo'lgan elektr maydonining kuchlari mos ravishda tengdir.

(1)

Vektor E 1 (14.1-rasm) zaryaddan maydon chizig'i bo'ylab yo'naltirilgan Q 1 , zaryaddan beri Q 1 >0;vektor E 2 ham kuch chizig'i bo'ylab, lekin zaryad tomon yo'naltirilgan Q 2 ,chunki Q 2 <0.

Vektor moduli E kosinuslar qonuni bo'yicha toping:

bu erda tomonlari bo'lgan uchburchakdan  burchakni topish mumkin r 1 , r 2 va d:

.

Bunda mashaqqatli yozuvlarga yo'l qo'ymaslik uchun cos qiymatini alohida hisoblab chiqamiz.Ushbu formuladan foydalanib, topamiz.

Ifodalarni almashtirish E 1 va E 2 va formulalar bo'yicha (1) tenglikka (2) va umumiy koeffitsient 1/(4) chiqarib 0 ) ildiz belgisi uchun biz olamiz

.

 qiymatlarini almashtirish ,  0 , Q 1 , Q 2 , r 1 -,r 2 va  oxirgi formulaga kiritib, hisob-kitoblarni bajarib, topamiz

2-misol Elektr maydoni zaryad zichligi  bo'lgan ikkita parallel cheksiz zaryadlangan tekislik tomonidan yaratilgan. 1 \u003d 0,4 mkC / m 2 va 2 \u003d 0,1 mkC / m 2. Ushbu zaryadlangan samolyotlar tomonidan yaratilgan elektr maydonining kuchini aniqlang.

R

yechim. Superpozitsiya printsipiga ko'ra, har bir zaryadlangan tekislik tomonidan alohida-alohida yaratilgan maydonlar bir-birining ustiga qo'yiladi, har bir zaryadlangan tekislik boshqa zaryadlangan tekislik mavjudligidan qat'iy nazar elektr maydonini yaratadi (14.2-rasm).

Birinchi va ikkinchi tekisliklar tomonidan yaratilgan bir hil elektr maydonlarining kuchlari mos ravishda quyidagilarga teng:

;

.

Samolyotlar barcha makonni uchta hududga ajratadi: I, II va III. Rasmdan ko'rinib turibdiki, birinchi va uchinchi mintaqalarda ikkala maydonning elektr kuch chiziqlari bir xil yo'nalishda yo'naltirilgan va shuning uchun umumiy maydonlarning kuchli tomonlari. E (men) va E(III) birinchi va uchinchi hududlarda bir-biriga teng va birinchi va ikkinchi tekisliklar tomonidan yaratilgan maydon kuchlarining yig'indisiga teng: E (men) = E(III) = E 1 +E 2 , yoki

E (men) = E (III) =

.

Ikkinchi mintaqada (tekisliklar orasidagi) maydonlarning elektr kuch chiziqlari qarama-qarshi yo'nalishda yo'naltiriladi va shuning uchun maydon kuchi E (II) birinchi va ikkinchi tekisliklar tomonidan yaratilgan maydon kuchlari farqiga teng: E (II) =|E 1 -E 2 | , yoki

.

Ma'lumotlarni almashtirib, hisob-kitoblarni bajarib, biz olamiz

E (men) =E (III) =28,3 kV/m=17 kV/m.

Umumiy maydonning kuch chiziqlarini taqsimlash rasmida rasmda ko'rsatilgan. 14.3.

3-misol. Yassi havo kondensatorining plitalarida zaryad bor Q=10nC. Kvadrat S kondansatkichning har bir plitasi 100 sm ga teng 2 Kuchni aniqlang F, ular bilan plitalar tortiladi. Plitalar orasidagi maydon bir xil deb hisoblanadi.

Yechim. Zaryadlash Q bir plastinka kondensatorning boshqa plitasining zaryadidan hosil bo'lgan maydonda. Shuning uchun birinchi zaryadga kuch ta'sir qiladi (14.4-rasm).

F=E 1 Q,(1)

qayerda E 1 - bir plastinkaning zaryadidan hosil bo'lgan maydonning kuchi. Lekin

bu yerda  - plastinkaning sirt zaryad zichligi.

uchun ifodani hisobga olgan holda formula (1). E 1 shaklini oladi

F=Q 2 /(2 0 S).

Miqdorlar qiymatlarini almashtirish Q, 0 va S Ushbu formulaga kirib, hisob-kitoblarni bajarib, biz olamiz

F\u003d 565 mkN.

4-misol Elektr maydoni sirt zichligi  bilan zaryadlangan cheksiz tekislik tomonidan yaratilgan = 400 nC/m 2 , va chiziqli zichlik =100 nC/m bilan zaryadlangan cheksiz to'g'ri ip. Masofada r\u003d Ipdan 10 sm masofada nuqta zaryadi bor Q=10 nC. Zaryad va ip bir tekislikda zaryadlangan tekislikka parallel bo'lsa, zaryadga ta'sir qiluvchi kuchni, uning yo'nalishini aniqlang.

Yechim. Maydonga joylashtirilgan zaryadga ta'sir qiluvchi kuch

F=EQ, (1)

qayerda E -Q.

Keling, kuchlanishni aniqlaylik E masala shartiga ko'ra cheksiz zaryadlangan tekislik va cheksiz zaryadlangan ip tomonidan yaratilgan maydon. Cheksiz zaryadlangan tekislik tomonidan yaratilgan maydon bir xil va uning intensivligi har qanday nuqtada

. (2)

Cheksiz zaryadlangan chiziq hosil qilgan maydon bir xil emas. Uning intensivligi masofaga bog'liq va formula bilan aniqlanadi

. (3)

Elektr maydonlarining superpozitsiyasi printsipiga ko'ra, zaryad bo'lgan nuqtada maydon kuchi Q, intensivliklarning vektor yig'indisiga teng E 1 va E 2 (14.5-rasm): E=E 1 +E 2 .Chunki vektorlar E 1 va E 2 o'zaro perpendikulyar, keyin

.

Ifodalarni almashtirish E 1 va E 2 formulalar (2) va (3) bu tenglikka erishamiz

,

yoki

.

Endi kuch topamiz F, zaryad bo'yicha harakat qilish, ifodani almashtirish E formulaga (1):

. (4)

Miqdorlar qiymatlarini almashtirish Q, 0 ,,,va r formulaga (4) kirib, hisob-kitoblarni amalga oshiramiz, biz topamiz

F\u003d 289 mkN.

Kuch yo'nalishi F, musbat zaryadga ta'sir qiladi Q, intensivlik vektorining yo'nalishiga to'g'ri keladi E dalalar. Yo'nalish bir xil vektor E zaryadlangan tekislikka  burchak bilan berilgan. Anjirdan. 14.5 shundan kelib chiqadi

, qayerda

.

 qiymatlarini almashtirish, r,vabu ifodada va hisoblashda biz olamiz

5-misol nuqta zaryadi Q\u003d 25nC radiusli tekis cheksiz silindr tomonidan yaratilgan nolga teng R= 1 sm, sirt zichligi  = 2 mkC / m 2 bilan bir xil zaryadlangan. Tsilindrning o'qidan uzoqda joylashgan zaryadga ta'sir qiluvchi kuchni aniqlang r=10 sm.

Yechim. Zaryadga ta'sir qiluvchi kuch Q dalada joylashgan,

F=QE,(1)

qayerda E - zaryad joylashgan nuqtadagi maydon kuchi Q.

Ma'lumki, cheksiz uzunlikdagi bir xil zaryadlangan silindrning maydon kuchi

E=/(2 0 r), (2)

bu yerda  - chiziqli zaryad zichligi.

Chiziqli zichlikni  sirt zichligi  bilan ifodalaymiz. Buning uchun uzunligi bo'lgan silindrli elementni tanlang l va undagi ayblovni bildiring Q 1 ikki yo'l:

Q 1 =  S= 2  Rl va Q 1 = l.

Bu tengliklarning to'g'ri qismlarini tenglashtirib,  ni olamiz l=2 Rl . ga qisqartirgandan keyin l toping=2 R . Buni hisobga olib, formula (2) shaklni oladi E=R /( 0 r). Ushbu ifodani almashtirish E(1) formulada biz kerakli kuchni topamiz:

F=Q R/( 0 r).(3)

Chunki R va r formulaga nisbat sifatida kiritiladi, keyin ularni har qanday, lekin faqat bir xil birliklarda ifodalash mumkin.

Formula (3) yordamida hisob-kitoblarni amalga oshirgandan so'ng, biz topamiz

F\u003d 2510 -9 210 -6 10 -2 / (8,8510 -12 1010 -2)H==56510 -6 H=565mH.

Kuch yo'nalishi F kuchlanish vektorining yo'nalishiga to'g'ri keladi E, ikkinchisi esa simmetriya tufayli (silindr cheksiz uzun) silindrga perpendikulyar yo'naltiriladi.

6-misol Elektr maydoni =30 nC/m chiziqli zichlik bilan bir xilda zaryadlangan yupqa cheksiz uzun ip orqali hosil bo'ladi. Masofada a\u003d Ipdan 20 sm masofada radiusli tekis dumaloq joy mavjud r\u003d 1 sm. Agar uning tekisligi maydonning o'rtasidan o'tadigan kuchlanish chizig'i bilan  \u003d 30 ° burchakka ega bo'lsa, bu maydon orqali kuchlanish vektorining oqimini aniqlang.

Yechim. Zaryadlangan filament tomonidan cheksiz bir xilda yaratilgan maydon bir jinsli emas. Bu holda intensivlik vektor oqimi integral bilan ifodalanadi

, (1)

qayerda E n - vektor proyeksiyasi E normal holatga n sayt yuzasiga dS. Integratsiya saytning butun yuzasi bo'ylab amalga oshiriladi, u keskinlik chiziqlari bilan teshiladi.

P

proyeksiya E P kuchlanish vektori teng, buni rasmda ko'rish mumkin. 14.6,

E P =E cos,

bu erda  - vektor yo'nalishi bilan normal orasidagi burchak n. Buni hisobga olib, formula (1) shaklni oladi

.

Maydon yuzasining o'lchamlari ipgacha bo'lgan masofaga nisbatan kichik bo'lgani uchun (r<E Juda kam. sayt ichida mutlaq qiymat va yo'nalishda o'zgaradi, bu sizga integral belgisi ostidagi qiymatlarni almashtirish imkonini beradi E va cos ularning o'rtacha qiymatlari<E> va va ularni integral belgisidan chiqaring:

Integratsiyalash va almashtirish orqali<E> va ularning taxminiy qiymatlari E A va cos  A , saytning o'rta nuqtasi uchun hisoblangan, biz olamiz

F E =E A cos  A S= r 2 E A cos A . (2)

kuchlanish E A formula bo'yicha hisoblanadi E A=/(2 0 a). Kimdan

guruch. 14,6 dan keyin cos  A=cos(/2 -  )=sin.

Ifodani hisobga olgan holda E A va cos  A tenglik (2.) shaklini oladi

.

Ma'lumotlarni oxirgi formulaga almashtirib, hisob-kitoblarni amalga oshirib, biz topamiz

F E=424 mV.m.

Misol7 . Radiusli ikkita konsentrik o'tkazuvchan sharlar R 1 =6 sm va R 2 = 10 sm mos ravishda yuklarni olib yuradi Q 1 \u003d lnKl va Q 2 =–0,5 nC. Tanglikni toping E sferalar markazidan masofada ajratilgan nuqtalardagi maydonlar r 1 =5 sm, r 2 =9 sm r 3 =15 sm. Grafik yaratish E(r).

R

yechim. E'tibor bering, elektr maydon kuchini topmoqchi bo'lgan nuqtalar uchta sohada joylashgan (14.7-rasm): I maydon ( r<R 1 ), II hudud ( R 1 <r 2 <R 2 ), III hudud ( r 3 >R 2 ).

1. Taranglikni aniqlash uchun E 1 I maydonda sferik sirt chizamiz S 1 radius r 1 va Ostrogradskiy-Gauss teoremasidan foydalaning. I mintaqasida hech qanday zaryad yo'qligi sababli, ko'rsatilgan teorema bo'yicha biz tenglikni olamiz

, (1)

qayerda E n elektr maydon kuchining normal komponentidir.

Simmetriya sabablariga ko'ra, oddiy komponent E n kuchlanishning o'ziga teng bo'lishi va sohaning barcha nuqtalari uchun doimiy bo'lishi kerak, ya'ni. En=E 1 = const.Shuning uchun uni integral belgisidan chiqarish mumkin. Tenglik (1) shaklni oladi

.

Sfera maydoni nolga teng bo'lmagani uchun

E 1 =0,

ya'ni shartni qondiradigan barcha nuqtalarda maydon kuchi r 1 <.R 1 , nolga teng bo'ladi.

2. II mintaqada radiusli sferik sirt chizamiz r 2 .Chunki bu sirt ichida zaryad bor Q 1 , u uchun Ostrogradskiy-Gauss teoremasiga ko'ra, biz tenglikni yozishimiz mumkin.

. (2)

Chunki E n =E 2 = const, keyin simmetriya shartlari nazarda tutiladi

, yoki ES 2 =Q 1 / 0 ,

E 2 =Q 1 /( 0 S 2 ).

Bu erda sfera maydoni uchun ifodani almashtirsak, biz olamiz

E 2 =Q/(4

). (3)

3. III mintaqada radiusli sferik sirt chizamiz r 3 . Bu sirt umumiy zaryadni qoplaydi Q 1 +Q 2 . Shuning uchun buning uchun Ostrogradskiy-Gauss teoremasi asosida yozilgan tenglama ko'rinishga ega bo'ladi.

.

Shunday qilib, birinchi ikkita holatda qo'llaniladigan qoidalardan foydalanib, biz topamiz

(3) va (4) tengliklarning to'g'ri qismlari elektr maydon kuchini birligini berishiga ishonch hosil qilaylik;

Biz barcha miqdorlarni SI birliklarida ifodalaymiz ( Q 1 \u003d 10 -9 C, Q 2 = –0,510 -9 C, r 1 =0,09 m, r 2 =15m , l/(4 0 )=910 9 m/F) va hisob-kitoblarni bajaring:

4. Grafikni tuzamiz E(r).DA maydon I ( r 1 1 ) kuchlanish E=0. II hududda (R 1 r<.R 2 ) kuchlanish E 2 (r) qonunga muvofiq o'zgaradi l/r 2 .Point r=R 1 kuchlanish E 2 (R 1 )=Q 1 /(4 0 R )=2500 V/m.Nuqtada r=R 1 (r moyil bo'ladi R 1 chap) E 2 (R 2 )=Q 1 /(4 0 R )=900V/m. III hududda ( r>R 2 )E 3 (r) qonunga muvofiq o'zgaradi 1/ r 2 , va nuqtada r=R 2 (r moyil bo'ladi R 2 o'ngda) E 3 (R 2 ) =(Q 1 –|Q 2 |)/(4 0 R )=450 V/m. Shunday qilib, funktsiya E(r) nuqtalarda r=R 1 va r=R 2 tanaffusga uchraydi. qaramlik grafigi E(r) shaklda ko'rsatilgan. 14.8.

Vazifalar

Nuqtaviy zaryadlarning maydon kuchi

14.1. Kuchlanishni aniqlang E nuqtaviy zaryad natijasida hosil bo'lgan elektr maydoni Q=10 nC masofada r\u003d undan 10 sm. Dielektrik - moy.

14.2. Masofa d ikki nuqta zaryadlari orasida Q 1 =+8 nC va Q 2 \u003d -5,3 nC 40 sm ga teng. Intensivlikni hisoblang E zaryadlar orasidagi o'rtadagi nuqtada maydon. Ikkinchi zaryad musbat bo'lsa, intensivlik qanday bo'ladi?

14.3. Q 1 =10nC va Q 2 = –20 nC, masofada joylashgan d= 20 sm. Kuchlanishni aniqlang E tomonidan birinchi zaryaddan uzoqda joylashgan nuqtada maydon r 1 =30 sm va ikkinchidan r 2 =50 sm.

14.4. Masofa d ikki nuqtali musbat zaryadlar orasida Q 1 =9Q va Q 2 \u003d Q 8 sm. Birinchi zaryaddan r qancha masofada intensivlik nuqtasi bo'ladi E zaryad maydoni nolga tengmi? Agar ikkinchi zaryad manfiy bo'lsa, bu nuqta qayerda bo'lar edi?

14.5. Ikki nuqtali zaryad Q 1 =2Q va Q 2 = –Q masofada joylashgan d bir biridan. Bu zaryadlardan o`tuvchi to`g`ri chiziqdagi nuqtaning o`rnini, intensivligini toping E nolga teng bo'lgan maydonlar,

14.6. Ikki nuqtali zaryad tomonidan yaratilgan elektr maydon Q 1 =40nC va Q 2 = –10 nC, masofada joylashgan d=10 sm. Kuchlanishni aniqlang E tomonidan birinchi zaryaddan uzoqda joylashgan nuqtada maydon r 1 \u003d 12 sm va ikkinchidan r 2 =6 sm.

Halqa va shar bo'ylab taqsimlangan zaryadning maydon kuchi

14.7. Radiusli yupqa halqa R\u003d 8 sm chiziqli zichlik  \u003d 10 nC/m bilan bir tekis taqsimlangan zaryadni olib yuradi. Qanday keskinlik E masofadagi halqaning barcha nuqtalaridan teng masofada joylashgan nuqtadagi elektr maydoni r\u003d 10 sm?

14.8. Yarim shar sirt zichligi=1,nC/m 2 bilan bir xil taqsimlangan zaryadni olib yuradi. Tanglikni toping E yarim sharning geometrik markazidagi elektr maydoni.

14.9. Radiusli metall sharda R\u003d 10 sm - bu zaryad Q\u003d lnKl. Kuchlanishni aniqlang E quyidagi nuqtalarda elektr maydoni: 1) masofada r 1 =sfera markazidan 8 sm; 2) uning yuzasida; 3) masofada r 2 =sferaning markazidan 15 sm. Bog'liqlik grafigi E dan r.

14.10. Radiusli ikkita konsentrik metall zaryadlangan sharlar R 1 =6 sm va R 2 \u003d 10 sm mos ravishda yuk tashish Q 1 =1 nC va Q 2 = – 0,5 nC. Tanglikni toping E nuqta maydonlari. sharlar markazidan masofada joylashgan r 1 =5 sm, r 2 =9 sm, r 3 \u003d 15 sm Syujetga bog'liqlik E(r).

Zaryadlangan chiziqli maydon kuchi

14.11. Juda uzun yupqa tekis sim butun uzunligi bo'ylab teng taqsimlangan zaryadni olib yuradi. Zaryadning chiziqli zichligini , agar intensivlik bo'lsa, hisoblang E masofadagi dalalar a\u003d simdan uning o'rtasiga nisbatan 0,5 m 200 V / m ni tashkil qiladi.

14.12. Masofa d bir-biriga parallel bo'lgan ikkita uzun ingichka simlar orasidagi masofa 16 sm.. simlar chiziqli zichligi ||=^150 bo'lgan qarama-qarshi zaryadlar bilan bir xilda zaryadlangan. µC/m. Qanday keskinlik E masofadan turib yoqilgan nuqtadagi maydonlar r\u003d birinchi va ikkinchi simdan 10 sm?

14.13. To'g'ri metall novda diametri d=5 sm va uzunligi l\u003d 4 m uning yuzasi bo'ylab bir tekis taqsimlangan zaryadni olib yuradi Q=500nC. Kuchlanishni aniqlang E masofada tayoqning o'rtasiga qarama-qarshi nuqtada maydon a uning yuzasidan =1 sm.

14.14. Radiusli cheksiz uzun ingichka devorli metall quvur R\u003d 2 sm sirt bo'ylab teng taqsimlangan zaryadni olib yuradi ( \u003d 1 nC / m 2). Kuchlanishni aniqlang E masofalarda trubaning o'qidan ajratilgan nuqtalardagi maydonlar r 1 =lcm, r 2 \u003d 3 sm. Syujetga bog'liqlik E(r).

14.15. Radiusli ikkita uzun yupqa devorli koaksiyal naycha R 1 =2 sm va R 2 \u003d 4 sm chiziqli zichlik bilan uzunlik bo'ylab bir tekis taqsimlangan yuklarni tashish  1 \u003d ln C / m va  2 = -0,5 nC/m. Quvurlar orasidagi bo'shliq ebonit bilan to'ldirilgan. Kuchlanishni aniqlang E masofalarda joylashgan nuqtalardagi maydonlar r 1 \u003d 1 sm, r 2 =3 sm, r 3 \u003d quvurlar o'qidan 5 sm; Bog'liqlik grafigi E dan r.