Buning yordamida onlayn kalkulyator orqali o'tadigan tekislik tenglamasini toping boshiga berilgan nuqta va berilgan tekislikka parallel. Tushuntirishlar bilan batafsil yechim berilgan. Tekislik tenglamasini topish uchun nuqtaning koordinatalari va tekislik tenglamasining koeffitsientlari katakchalarga kiritiladi va “Yechish” tugmasi bosiladi.

×

Ogohlantirish

Barcha hujayralar tozalansinmi?

Yopish Tozalash

Ma'lumotlarni kiritish bo'yicha ko'rsatma. Raqamlar butun sonlar (masalan: 487, 5, -7623 va boshqalar), oʻnlik sonlar (masalan, 67., 102.54 va boshqalar) yoki kasrlar sifatida kiritiladi. Kasr a/b shaklida yozilishi kerak, bu erda a va b (b>0) butun yoki o'nlik sonlardir. Misollar 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 va boshqalar.

Berilgan nuqtadan o'tuvchi va berilgan tekislikka parallel bo'lgan tekislik tenglamasi - nazariya, misollar va echimlar

Bir nuqta berilsin M 0 (x 0 , y 0 , z 0) va tekislik tenglamasi

Barcha parallel tekisliklar kollinear normal vektorlarga ega. Demak, nuqtadan o'tuvchi (1) ga parallel tekislik qurish M 0 (x 0 , y 0 , z 0) kerakli tekislikning normal vektori, normal vektor sifatida qabul qilishingiz kerak n=(A, B, C) tekislik (1). Keyinchalik, bunday qiymatni topishingiz kerak D, qaysi nuqtada M 0 (x 0 , y 0 , z 0) tekislik tenglamasi (1) qanoatlantirildi:

Qiymatni almashtirish D(3) dan (1) gacha, biz quyidagilarni olamiz:

Tenglama (5) - nuqtadan o'tadigan tekislik tenglamasi M 0 (x 0 , y 0 , z 0) va tekislikka parallel (1).

Nuqtadan o`tuvchi tekislik tenglamasini toping M 0 (1, −6, 2) va tekislikka parallel:

Nuqta koordinatalarini almashtirish M 0 va (3) dagi normal vektorning koordinatalarini olamiz.

5-ma'ruza

1. Nuqtadan o`tuvchi tekislik tenglamasini yozing M 0 (1, -2, 5) 7 tekislikka parallel x-y-2z-1=0.

Yechim. tomonidan belgilang R berilgan samolyot, ruxsat R 0 nuqtadan o'tuvchi kerakli parallel tekislikdir M 0 (1, -2, 5).

Oddiy (perpendikulyar) vektorni ko'rib chiqing samolyot R. Normal vektorning koordinatalari tekislik tenglamasidagi o'zgaruvchilarning koeffitsientlari 
.

Chunki samolyotlar R va R 0 parallel, keyin vektor tekislikka perpendikulyar R 0 , ya'ni. tekislikning normal vektoridir R 0 .

Nuqtadan o`tuvchi tekislik tenglamasi M 0 (x 0 , y 0 , z 0) normal bilan
:

Nuqta koordinatalarini almashtiring M 0 va normal vektorlar (1) tenglamaga:

Qavslarni kengaytirib, biz tekislikning umumiy tenglamasini olamiz (yakuniy javob):

2. Nuqtadan o`tuvchi to`g`ri chiziqning kanonik va parametrik tenglamalarini tuzing M 0 (-2, 3, 0) chiziqqa parallel
.

Yechim. tomonidan belgilang L berilgan qator, ruxsat L 0 nuqtadan o'tadigan kerakli parallel chiziqdir M 0 (-2,3,0).

Qo'llanma vektor To'g'riga L(bu chiziqqa parallel nolga teng bo'lmagan vektor) ham chiziqqa parallel L 0 . Shuning uchun vektor chiziqning yo'nalishi vektoridir L 0 .

Yo'naltiruvchi vektor koordinatalari berilgan chiziqning kanonik tenglamalaridagi mos maxrajlarga teng

.

Bir nuqtadan o'tadigan fazodagi to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalari M 0 (x 0 , y 0 , z {l, m, n}

. (2)

Nuqta koordinatalarini almashtiring M 0 va yo'nalish vektori (2) tenglamaga kiriting va to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarini oling:

.

Parametrik tenglamalar nuqtadan o'tadigan fazodagi chiziq M 0 (x 0 , y 0 , z 0) nolga teng bo'lmagan vektorga parallel {l, m, n), shaklga ega bo'ling:

(3)

Nuqta koordinatalarini almashtiring M 0 va yo'nalish vektori (3) tenglamalarga aylantiring va to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini oling:

3. Nuqtani toping
, nuqtaga simmetrik
, nisbatan: a) bevosita
b) samolyotlar

Yechim. a) Perpendikulyar tekislik tenglamasini tuzing P nuqtani proyeksiya qilish
bu qatorga:

Topmoq
berilgan to'g'ri chiziq va proyeksiyalovchi tekislikning perpendikulyarlik shartidan foydalanamiz. To'g'ri yo'nalish vektori
tekislik  vektoriga perpendikulyar
normal vektor hisoblanadi
tekislikka  Berilgan chiziqqa perpendikulyar tekislik tenglamasi yoki ko'rinishga ega.

Proyeksiyani topamiz R ball M To'g'riga. Nuqta R chiziq va tekislikning kesishish nuqtasidir, ya'ni. uning koordinatalari bir vaqtning o'zida to'g'ri chiziq tenglamalarini ham, tekislik tenglamasini ham qondirishi kerak. Keling, tizimni hal qilaylik:

.

Uni yechish uchun to‘g‘ri chiziq tenglamasini parametrik shaklda yozamiz:

ga iboralarni almashtirish
tekislik tenglamasiga kirsak:

Bu yerdan topilgan koordinatalarni topamiz - bu o'rtaning koordinatalari R nuqtani bog'laydigan chiziq segmenti
va unga simmetrik nuqta

DA maktab kursi geometriya, teorema shakllantirildi.

Segmentning o'rta nuqtalari uning uchlarining tegishli koordinatalari yig'indisining yarmiga teng.

Nuqtaning koordinatalarini topish
segmentning o'rtasi koordinatalari uchun formulalardan:

Biz olamiz: shunday
.

Yechim. b) nuqtaga simmetrik nuqtani topish
bu tekislikka nisbatan P, nuqtadan perpendikulyar tushiring
bu samolyotga. Yo‘nalish vektori bo‘lgan to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing
nuqtadan o'tish
:

Chiziq va tekislikning perpendikulyarligi chiziqning yo'nalish vektori tekislikka perpendikulyar bo'lishini bildiradi 
. Keyin nuqtani proyeksiyalovchi to'g'ri chiziq tenglamasi
berilgan tekislikda quyidagi shaklga ega:

Tenglamalarni birgalikda yechish orqali
va
proyeksiyasini toping R ball
samolyotga. Buning uchun to'g'ri chiziq tenglamalarini parametrik shaklda qayta yozamiz:

Ushbu qiymatlarni almashtiring
tekislik tenglamasiga: a) bandiga o'xshab, segment o'rtasi koordinatalari formulalaridan foydalanib, biz simmetrik nuqtaning koordinatalarini topamiz.
:

Bular.
.

4. a) to‘g‘ri chiziqdan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing
vektorga parallel
; b) kesishgan ikkita chiziq orqali
va
(ilgari ular kesishganligini isbotlagan); c) ikkita parallel chiziq orqali
va
; d) to'g'ri chiziq orqali
va nuqta
.

Yechim. a) Berilgan chiziq kerakli tekislikda yotganligi va kerakli tekislik vektorga parallel bo'lgani uchun , u holda tekislikning normal vektori chiziqning yo'naltiruvchi vektoriga perpendikulyar bo'ladi
va vektor .

Shuning uchun tekislikning normal vektori sifatida vektorlarning o'zaro ko'paytmasini tanlash mumkin va :

Biz tekislikning normal vektorining koordinatalarini olamiz
.

Keling, chiziqning nuqtasini topamiz. To'g'ri chiziqning kanonik tenglamalaridagi nisbatlarni nolga tenglashtirish:

,

toping
,
,
. Berilgan chiziq nuqtadan o'tadi
, shuning uchun tekislik ham nuqtadan o'tadi
. Vektorga perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasidan foydalanish , biz tekislikning tenglamasini olamiz yoki , yoki, nihoyat,
.

Yechim. b) Fazodagi ikkita chiziq kesishishi, kesishishi yoki parallel bo'lishi mumkin. To'g'ri chiziqlar berilgan

va
(4)

parallel emas, chunki ularning yo'nalishi vektorlari
va
qarama-qarshi emas:
.

Chiziqlar kesishganligini qanday tekshirish mumkin? 3 ta noma’lumli 4 ta tenglamaning (4) sistemasini yechish mumkin. Agar tizim yagona yechimga ega bo'lsa, u holda biz chiziqlar kesishish nuqtasining koordinatalarini olamiz. Biroq, bizning muammomizni hal qilish uchun - ikkala chiziq yotadigan tekislikni qurish, ularning kesishish nuqtasi kerak emas. Shuning uchun fazoda ikkita parallel bo'lmagan to'g'ri chiziqning kesishish nuqtasini topmasdan turib kesishish shartini shakllantirish mumkin.

Agar ikkita parallel bo'lmagan chiziq kesishsa, u holda yo'nalish vektorlari
,
va chiziqlar ustida yotgan nuqtalarni birlashtirish
va
vektor bir xil tekislikda yotadi, ya'ni. o'xshash  aralash mahsulot Ushbu vektorlarning nolga teng:

. (5)

Biz chiziqlarning kanonik tenglamalaridagi nisbatlarni nolga (yoki 1 ga yoki istalgan raqamga) tenglashtiramiz.

va
,

va chiziqlardagi nuqtalarning koordinatalarini toping. Birinchi chiziq nuqta orqali o'tadi
, va nuqta orqali ikkinchi to'g'ri chiziq
. Bu chiziqlarning yo'nalish vektorlari mos ravishda teng
va
. olamiz

Tenglik (5) bajariladi, shuning uchun berilgan chiziqlar kesishadi. Bu shuni anglatadiki, bu ikki chiziqdan faqat bitta tekislik o'tadi.

Keling, masalaning ikkinchi qismiga - tekislik tenglamasini tuzishga o'tamiz.

Samolyotning normal vektori sifatida siz ularning yo'nalish vektorlarining kesishgan mahsulotini tanlashingiz mumkin va :

Tekislik normal vektor koordinatalari
.

Biz to'g'ridan-to'g'ri ekanligini aniqladik
o‘tib ketadi
, shuning uchun kerakli tekislik ham shu nuqtadan o'tadi. Biz tekislikning tenglamasini olamiz, yoki
yoki, nihoyat,
.

c) chiziqlardan boshlab
va
parallel bo'lsa, u holda ularning yo'nalish vektorlarining vektor mahsulotini normal vektor sifatida tanlab bo'lmaydi, u nol vektorga teng bo'ladi.

Nuqtalarning koordinatalarini aniqlang
va
bu chiziqlar o'tadi. Mayli
va
, keyin
,
. Keling, vektorning koordinatalarini hisoblaylik. Vektor
kerakli tekislikda yotadi va vektorga to'g'ri kelmaydi , keyin uning normal vektori sifatida vektorning o'zaro mahsulotini tanlashingiz mumkin
va birinchi qatorning yo'nalish vektori
:

Shunday qilib,
.

Samolyot to'g'ri chiziqdan o'tadi
, shuning uchun u nuqtadan o'tadi
. Tekislik tenglamasini olamiz: , yoki .

d) to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalaridagi nisbatlarni nolga tenglashtirish
, topamiz
,
,
. Shuning uchun chiziq nuqtadan o'tadi
.

Keling, vektorning koordinatalarini hisoblaylik. Vektor
uning normal vektori sifatida kerakli tekislikka tegishli to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining vektor ko'paytmasini tanlang
va vektor
:

U holda tekislik tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: , yoki.

Ushbu maqolada berilgan chiziq va berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini tuzish masalasini hal qilish uchun zarur bo'lgan ma'lumotlar mavjud. Ushbu muammoni hal qilgandan so'ng umumiy ko'rinish berilgan to‘g‘ri va nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasini tuzishga misollarning batafsil yechimlarini beramiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Berilgan chiziq va nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini topish.

Oxyz uch o'lchamli fazoda o'rnatilgan bo'lsin, a chiziq va a to'g'rida yotmaydigan nuqta berilsin. O'z oldimizga vazifa qo'yaylik: a to'g'ri va M 3 nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini olish.

Keling, birinchi navbatda tenglamasini yozmoqchi bo'lgan yagona tekislik borligini ko'rsataylik.

Ikki aksiomani eslang:

• fazoning bir to'g'ri chiziqda yotmaydigan uch xil nuqtalari orqali bitta tekislik o'tadi;
• agar chiziqning ikkita aniq nuqtasi ma'lum bir tekislikda yotsa, u holda bu chiziqning barcha nuqtalari shu tekislikda yotadi.

Bu gaplardan kelib chiqadiki, chiziq va unda yotmagan nuqta orqali bitta tekislik o'tkazish mumkin. Shunday qilib, bizning masalamizda a to'g'ri va M 3 nuqtadan bitta tekislik o'tadi va biz bu tekislikning tenglamasini yozishimiz kerak.

Endi berilgan a to'g'ri va nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini topishga kirishamiz.

Agar a chiziq uning ustida yotgan ikki xil M 1 va M 2 nuqtalarning koordinatalarini ko’rsatib berilgan bo’lsa, u holda bizning vazifamiz berilgan uchta M 1, M 2 va M 3 nuqtalardan o’tuvchi tekislik tenglamasini topishdan iborat.

Agar a to'g'ri boshqacha berilgan bo'lsa, avval a to'g'rida yotgan ikkita M 1 va M 2 nuqtaning koordinatalarini topishimiz kerak va shundan so'ng M 1, M 2 va uchta nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini yozishimiz kerak. M 3, bu a chiziqdan va M 3 nuqtasidan o'tadigan tekislikning kerakli tenglamasi bo'ladi.

Berilgan a chiziqda yotgan ikki xil M 1 va M 2 nuqtalarning koordinatalarini qanday topish mumkinligini aniqlaymiz.

Fazodagi to'rtburchaklar koordinatalar tizimida har qanday to'g'ri chiziq fazodagi to'g'ri chiziqning ba'zi tenglamalariga mos keladi. Faraz qilamizki, masalaning shartida a chizig‘ini ko‘rsatish usuli shakl fazosida chiziqning parametrik tenglamalarini olish imkonini beradi. . Keyin, faraz qilsak, bizda bir fikr bor , chiziq ustida yotgan a . Parametrga nolga teng bo'lmagan haqiqiy qiymat berib, a chiziqning parametrik tenglamalaridan M 2 nuqtaning koordinatalarini hisoblashimiz mumkin, u ham a to'g'rida joylashgan va M 1 nuqtadan farq qiladi.

Shundan so'ng, biz faqat uch xildan o'tuvchi va bitta to'g'ri chiziqda yotmagan tekislik tenglamasini va shaklida yozishimiz kerak. .

Demak, berilgan a to‘g‘ridan va a to‘g‘rida yotmaydigan M 3 nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasini oldik.

Berilgan nuqta va to‘g‘ri chiziqdan o‘tuvchi tekislik tenglamasini tuzishga misollar.

Keling, bir nechta misollarning yechimlarini ko'rsatamiz, ularda biz berilgan chiziq va berilgan nuqtadan o'tadigan tekislik tenglamasini topishning ko'rib chiqilgan usulini tahlil qilamiz.

Eng oddiy holatdan boshlaylik.

Misol.

Yechim.

Masalan, Ox koordinata chizig'ida ikkita turli nuqtani oling va.

Endi biz M 1, M 2 va M 3 uchta nuqtadan o'tadigan tekislik tenglamasini olamiz:

Bu tenglama berilgan Ox chiziq va nuqtadan o'tuvchi tekislikning kerakli umumiy tenglamasidir .

Javob:

.

Agar tekislik berilgan nuqta va berilgan toʻgʻri chiziqdan oʻtishi maʼlum boʻlsa va siz tekislikning tenglamasini segmentlarda yoki tekislikning normal tenglamasini yozmoqchi boʻlsangiz, avvalo umumiy tenglamani olishingiz kerak. berilgan samolyot, va undan kerakli shakldagi tekislik tenglamasiga o'ting.

Misol.

To‘g‘ri chiziqdan o‘tuvchi tekislikning normal tenglamasini yozing. va nuqta .

Yechim.

Birinchidan, berilgan tekislik uchun umumiy tenglamani yozamiz. Buning uchun to'g'ri chiziqda yotgan ikki xil nuqtaning koordinatalarini topamiz . Ushbu chiziqning parametrik tenglamalari shaklga ega . M 1 nuqta qiymatga, M 2 nuqtasi esa - mos kelsin. M 1 va M 2 nuqtalarining koordinatalarini hisoblaymiz:

Endi nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasini yozishimiz mumkin va to'g'ridan-to'g'ri :

Olingan tenglamaning ikkala qismini normallashtiruvchi omilga ko'paytirish orqali tekis tenglamaning kerakli shaklini olish qoladi. .

Javob:

.

Demak, berilgan nuqta va berilgan to‘g‘ri chiziqdan o‘tuvchi tekislik tenglamasini topish berilgan to‘g‘ri chiziqda yotgan ikki xil nuqtaning koordinatalarini topishga tayanadi. Bu ko'pincha bunday muammolarni hal qilishda asosiy qiyinchilikdir. Xulosa qilib aytganda, ikkita kesishuvchi tekislik tenglamalari bilan aniqlanadigan berilgan nuqta va to‘g‘ri chiziqdan o‘tuvchi tekislik tenglamasini tuzish misolining yechimini tahlil qilamiz.

Misol.

To'rtburchaklar koordinatalar tizimida Oxyz nuqta va ikkita tekislikning kesishish chizig'i bo'lgan a to'g'ri berilgan. va . a to'g'ri va M 3 nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini yozing.

Fazodagi bir to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta bitta tekislikni belgilaydi. Berilgan uchta nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing M 1 (X 1 ; da 1 ; z 1), M 2 (X 2 ; da 2 ; z 2), M 3 (X 3 ; da 3 ; z 3). Samolyotda ixtiyoriy nuqtani oling M(X; da; z) va vektorlarni tuzing = ( x - x 1 ; da– da 1 ; z-z 1), = (X 2 - X 1 ; da 2 – da 1 ; z 2 -z 1), = (X 3 - X 1 ; da 3 – da 1 ; z 3 -z biri). Bu vektorlar bir tekislikda yotadi, shuning uchun ular koplanardir. Uch vektorning solishtirish shartidan foydalanib (ularning aralash mahsuloti nolga teng), biz ∙ ∙ = 0 ni olamiz, ya'ni.

= 0. (3.5)

(3.5) tenglama chaqiriladi berilgan uchta nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi.

O'zaro tartibga solish kosmosdagi samolyotlar

Samolyotlar orasidagi burchak

Ikkita samolyot berilsin

LEKIN 1 X + DA 1 da + FROM 1 z + D 1 = 0,

LEKIN 2 X + DA 2 da + FROM 2 z + D 2 = 0.

Per tekisliklar orasidagi burchak biz ularga perpendikulyar bo'lgan har qanday ikkita vektor orasidagi ph burchagini olamiz (bu ikkita o'tkir va o'tkir burchakni beradi, p ga qadar bir-birini to'ldiradi). Samolyotlarning normal vektorlari = ( LEKIN 1 , DA 1 , FROM 1) va = ( LEKIN 2 , DA 2 , FROM 2) ularga perpendikulyar bo'lsa, biz olamiz

cosph = .

Ikki tekislikning perpendikulyarlik sharti

Agar ikkita tekislik perpendikulyar bo'lsa, bu tekisliklarning normal vektorlari ham perpendikulyar bo'lib, ularning skalyar ko'paytmasi nolga teng bo'ladi: ∙ = 0. Demak, ikkita tekislikning perpendikulyarligi sharti:

LEKIN 1 LEKIN 2 + DA 1 DA 2 + FROM 1 FROM 2 = 0.

Ikki tekislikning parallellik sharti

Agar tekisliklar parallel bo'lsa, ularning normal vektorlari ham parallel bo'ladi. Keyin normal vektorlarning o'xshash koordinatalari proportsionaldir. Demak, parallel tekisliklar uchun shart

= = .

Nuqtadan masofaM 0 (x 0 , y 0 , z 0) samolyotgacha Oh + Vu + Sz + D = 0.

M nuqtadan masofa 0 (x 0 , y 0 , z 0) samolyotga Ah + Vu + Sz + D= 0 - bu nuqtadan tekislikka tortilgan perpendikulyar uzunligi va formula bo'yicha topiladi.

d= .

1-misol R(– 1, 2, 7) = (3, – 1, 2) vektoriga perpendikulyar.

Yechim

(3.1) tenglamaga muvofiq biz olamiz

3(x + 1) – (y - 2) + 2(z- 7) = 0,

3X – da + 2z – 9 = 0.

2-misol Nuqtadan o`tuvchi tekislik tenglamasini yozing M(2; – 3; – 7) 2-tekislikka parallel X – 6da – 3z + 5 = 0.

Yechim

Vektor = (2; - 6; - 3) tekislikka perpendikulyar parallel tekislikka ham perpendikulyar. Shunday qilib, kerakli tekislik nuqtadan o'tadi M(2; – 3; – 7) vektorga perpendikulyar = (2; – 6; – 3). (3.1) formula bo'yicha tekislik tenglamasini topamiz:

2(X - 2) – 6(y + 3) – 3(z+ 7) = 0,

2X – 6da – 3z – 43 = 0.

3-misol Nuqtalardan o‘tuvchi tekislik tenglamasini toping M 1 (2; 3; – 1) va M 2 (1; 5; 3) 3 tekislikka perpendikulyar X – da + 3z + 15 = 0.

Yechim

Vektor = (3; - 1; 3) berilgan tekislikka perpendikulyar kerakli tekislikka parallel bo'ladi. Shunday qilib, samolyot nuqtalardan o'tadi M 1 va M 2 vektorga parallel.

Mayli M(x; y; z) tekislikning ixtiyoriy nuqtasi, keyin vektorlar = ( X – 2; da – 3; z+ 1), = (– 1; 2; 4), = (3; – 1; 3) koplanar, shuning uchun ularning aralash mahsuloti nolga teng:

= 0.

Birinchi qatorning elementlarini kengaytirish orqali determinantni hisoblang:

(X – 2) – (da – 3) + (z + 1) = 0,

10(X - 2) – (– 15)(y - 3) + (– 5)(z+ 1) = 0,

2(X - 2) + 3(y - 3) – (z+ 1) = 0,

2x + 3da – z– 14 = 0 – tekislik tenglamasi.

4-misol 2-tekisliklarga perpendikulyar boʻlgan koordinatalar koordinatasidan oʻtuvchi tekislik tenglamasini yozing X – da + 5z+ 3 = 0 va X + 3da – z – 7 = 0.

Yechim

Kerakli tekislikning normal vektori bo'lsin. Shartga ko'ra, tekislik bu tekisliklarga perpendikulyar, shuning uchun va , bu erda = (2; – 1; 5), = (1; 3; - 1). Shunday qilib, vektor sifatida siz vektorlarning o'zaro mahsulotini va , ya'ni = × ni olishingiz mumkin.

= = – 14 + 7 + 7 .

Koordinatalarni vektor koordinatalarini koordinatalarning koordinatalarini koordinata boshidan o'tuvchi tekislik tenglamasiga qo'yish Oh + Vu + Sz= 0, olamiz

– 14X + 7da + 7z = 0,

2X – da – z = 0.

O'z-o'zini tekshirish uchun savollar

1 Tekislikning umumiy tenglamasini yozing.

2 Nima geometrik ma'no da koeffitsientlar X, y, z ichida umumiy tenglama samolyotlar?

3 Nuqtadan o`tuvchi tekislik tenglamasini yozing M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) vektorga perpendikulyar = ( LEKIN; DA; FROM).

4 Tekislik tenglamasini o'qlar bo'ylab segmentlarga yozing va unga kiritilgan parametrlarning geometrik ma'nosini ko'rsating.

5 Nuqtalardan o`tuvchi tekislik tenglamasini yozing M 1 (X 1 ; da 1 ; z 1), M 2 (X 2 ; da 2 ; z 2), M 3 (X 3 ; da 3 ; z 3).

6 Ikki tekislik orasidagi burchakni topish formulasini yozing.

7 Ikki tekislikning parallellik shartlarini yozing.

8 Ikki tekislikning perpendikulyarlik shartini yozing.

9 Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash formulasini yozing.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar

1 Nuqtadan o`tuvchi tekislik tenglamasini yozing M(2; – 1; 1) vektorga perpendikulyar = (1; – 2; 3). ( Javob: X – 2da + 3z – 7 = 0)

2 Nuqta R(1; - 2; - 2) koordinata boshidan tekislikka tortilgan perpendikulyarning asosi. Ushbu tekislik uchun tenglamani yozing. ( Javob: X – 2da – 2z – 9 = 0)

3 Ikki ball berilgan M 1 (2; – 1; 3) va M 2 (– 1; 2; 4). Nuqtadan o`tuvchi tekislik tenglamasini yozing M 1 vektorga perpendikulyar. ( Javob: 3X – 3da – z – 6 = 0)

4 Uch nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini yozing M 1 (3; – 1; 2), M 2 (4; – 1; – 1), M 3 (2; 0; 2). (Javob: 3X + 3da + z – 8 = 0)

5 M 1 (3; – 1; 2) va M 2 (2; 1; 3) vektorga parallel = (3; - 1; 4). ( Javob: 9X + 7da – 5z – 10 = 0)

6 Nuqtadan o`tuvchi tekislik tenglamasini yozing M 1 (2; 3; – 4) = (3; 1; – 1) va = (1; – 2; 1) vektorlariga parallel. ( Javob: X + da + 7z + 14 = 0)

7 Nuqtadan o`tuvchi tekislik tenglamasini yozing M(1; – 1; 1) tekisliklarga perpendikulyar 2 X – da + z– 1 = 0 va X + 2da – z + 1 = 0. (Javob: X – 3da – 5z + 1 = 0)

8 Nuqtalardan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing M 1 (1; 0; 1) va M 2 (1; 2; – 3) tekislikka perpendikulyar X – da + z – 1 = 0. (Javob: X + 2da + z – 2 = 0)

9 Tekisliklar orasidagi burchakni toping 4 X – 5da + 3z– 1 = 0 va X – 4da – z + 9 = 0. (Javob: ph = arccos0.7)

10 Nuqtadan masofani toping M(2; – 1; – 1) 16-tekislikka qadar X – 12da + 15z – 4 = 0. (Javob: d = 1)

11 Uchta tekislikning kesishish nuqtasini toping 5 X + 8da – z – 7 = 0, X + 2da + 3z – 1 = 0, 2X – 3da + 2z – 9 = 0. (Javob: (3; – 1; 0))

12 Nuqtalardan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing M 1 (1; – 2; 6) va M 2 (5; - 4; 2) va o'qlarda teng segmentlarni kesib tashlaydi Oh va OU. (Javob: 4X + 4da + z – 2 = 0)

13 Samolyotlar orasidagi masofani toping X + 2da – 2z+ 2 = 0 va 3 X + 6da – 6z – 4 = 0. (Javob: d = )

Fazoda Q tekislikni ko'rib chiqaylik.Uning holati shu tekislikka perpendikulyar N vektor va Q tekislikda yotgan ba'zi qo'zg'almas nuqtani ko'rsatish orqali to'liq aniqlanadi. Q tekislikka perpendikulyar N vektor shu tekislikning normal vektori deyiladi. Normal vektor N proyeksiyalarini A, B va C bilan belgilasak, u holda

Berilgan nuqtadan o'tuvchi va berilgan normal vektorga ega bo'lgan Q tekislikning tenglamasini chiqaramiz. Buning uchun nuqtani Q tekislikning ixtiyoriy nuqtasi bilan bog'lovchi vektorni ko'rib chiqaylik (81-rasm).

M nuqtaning Q tekislikdagi har qanday holati uchun MXM vektori Q tekislikning normal vektor N ga perpendikulyar bo'ladi. Shuning uchun skalyar ko'paytma Skayar ko'paytmani proyeksiyalar bo'yicha yozamiz. dan beri, va vektor, keyin

va shuning uchun

Q tekisligining istalgan nuqtasining koordinatalari (4) tenglamani qanoatlantirishini ko'rsatdik. Q tekislikda yotmagan nuqtalarning koordinatalari bu tenglamani qanoatlantirmasligini (oxirgi holatda, ) ko‘rish oson. Shuning uchun biz Q tekislikning kerakli tenglamasini oldik. (4) tenglama berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi deyiladi. U joriy koordinatalarga nisbatan birinchi darajali

Shunday qilib, biz har qanday tekislik joriy koordinatalarga nisbatan birinchi darajali tenglamaga mos kelishini ko'rsatdik.

1-misol. Vektorga perpendikulyar nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini yozing.

Yechim. Bu yerda . Formula (4) ga asoslanib, biz olamiz

yoki soddalashtirilgandan so'ng,

(4) tenglamaning A, B va C koeffitsientlariga turli qiymatlarni berib, nuqtadan o'tuvchi har qanday tekislikning tenglamasini olishimiz mumkin. Berilgan nuqtadan oʻtuvchi tekisliklar toʻplamiga tekisliklar toʻplami deyiladi. A, B va C koeffitsientlari har qanday qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo'lgan (4) tenglama tekisliklar to'plamining tenglamasi deyiladi.

2-misol. Uch nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini yozing, (82-rasm).

Yechim. Nuqtadan o'tuvchi tekisliklar to'plamining tenglamasini yozamiz