Është e qartë se çdo ngjarje ka një shkallë të mundësisë së ndodhjes (e zbatimit të saj). Për të krahasuar në mënyrë sasiore ngjarjet me njëra-tjetrën sipas shkallës së mundësisë së tyre, padyshim është e nevojshme të lidhet një numër i caktuar me secilën ngjarje, që sa më i madh, aq më i mundshëm është ngjarja. Ky numër quhet probabiliteti i ngjarjes.

Probabiliteti i ngjarjes- është një masë numerike e shkallës së mundësisë objektive të ndodhjes së kësaj ngjarjeje.

Konsideroni një eksperiment stokastik dhe një ngjarje të rastësishme A të vëzhguara në këtë eksperiment. Le ta përsërisim këtë eksperiment n herë dhe le të jetë m(A) numri i eksperimenteve në të cilat ndodhi ngjarja A.

Lidhja (1.1)

thirrur frekuencë relative ngjarja A në serinë e eksperimenteve.

Është e lehtë të verifikohet vlefshmëria e vetive:

nëse A dhe B janë të papajtueshme (AB= ), atëherë ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

Frekuenca relative përcaktohet vetëm pas një serie eksperimentesh dhe, në përgjithësi, mund të ndryshojë nga seria në seri. Megjithatë, përvoja tregon se në shumë raste, me rritjen e numrit të eksperimenteve, frekuenca relative i afrohet një numri të caktuar. Ky fakt i qëndrueshmërisë së frekuencës relative është verifikuar në mënyrë të përsëritur dhe mund të konsiderohet i vërtetuar eksperimentalisht.

Shembulli 1.19.. Nëse hedh një monedhë, askush nuk mund të parashikojë se në cilën anë do të zbresë. Por nëse hidhni dy ton monedha, atëherë të gjithë do të thonë se rreth një ton do të bjerë me një stemë, domethënë, frekuenca relative e rënies së stemës është afërsisht e barabartë me 0.5.

Nëse, me rritjen e numrit të eksperimenteve, frekuenca relative e ngjarjes ν(A) tenton në një numër fiks, atëherë themi se ngjarja A është statistikisht e qëndrueshme, dhe ky numër quhet probabiliteti i ngjarjes A.

Probabiliteti i një ngjarjeje POR quhet një numër fiks P(A), të cilit frekuenca relative ν(A) e kësaj ngjarjeje tenton me një rritje të numrit të eksperimenteve, d.m.th.

Ky përkufizim quhet përkufizimi statistikor i probabilitetit .

Merrni parasysh një eksperiment stokastik dhe lëreni hapësirën e ngjarjeve të tij elementare të përbëhet nga një grup i fundëm ose i pafundëm (por i numërueshëm) i ngjarjeve elementare ω 1 , ω 2 , …, ω i , … . supozojmë se çdo ngjarje elementare ω i i është caktuar një numër i caktuar - р i , i cili karakterizon shkallën e mundësisë së shfaqjes së kësaj ngjarje elementare dhe plotëson vetitë e mëposhtme:

Një numër i tillë p i quhet probabiliteti i ngjarjes elementareω i .

Tani le të jetë A një ngjarje e rastësishme e vëzhguar në këtë eksperiment dhe një grup i caktuar korrespondon me të

Në një mjedis të tillë probabiliteti i ngjarjes POR quhet shuma e probabiliteteve të ngjarjeve elementare që favorizojnë A(përfshirë në grupin përkatës A):

Probabiliteti i paraqitur në këtë mënyrë ka të njëjtat veti si frekuenca relative, përkatësisht:

Dhe nëse AB \u003d (A dhe B janë të papajtueshme),

atëherë P(A+B) = P(A) + P(B)

Në të vërtetë, sipas (1.4)

Në relacionin e fundit, ne kemi përfituar nga fakti se asnjë ngjarje elementare nuk mund të favorizojë njëkohësisht dy ngjarje të papajtueshme.

Vëmë re veçanërisht se teoria e probabilitetit nuk tregon se si të përcaktohet p i, ato duhet të kërkohen nga konsideratat praktike ose të merren nga një eksperiment statistikor i duhur.

Si shembull, merrni parasysh skemën klasike të teorisë së probabilitetit. Për ta bërë këtë, merrni parasysh një eksperiment stokastik, hapësira e ngjarjeve elementare të të cilit përbëhet nga një numër i kufizuar (n) elementësh. Le të supozojmë gjithashtu se të gjitha këto ngjarje elementare janë njësoj të mundshme, domethënë, probabilitetet e ngjarjeve elementare janë p(ω i)=p i =p. Prandaj rrjedh se

Shembulli 1.20. Kur hedh një monedhë simetrike, stema dhe bishtat janë po aq të mundshme, probabiliteti i tyre është 0,5.

Shembulli 1.21. Kur hidhet një vegël simetrike, të gjitha fytyrat janë njësoj të mundshme, probabiliteti i tyre është 1/6.

Le të favorizohet tani ngjarja A nga m ngjarje elementare, zakonisht quhen rezultatet favorizojnë ngjarjen A. Pastaj

Mora përkufizimi klasik i probabilitetit: probabiliteti P(A) i ngjarjes A është i barabartë me raportin e numrit të rezultateve që favorizojnë ngjarjen A me numri total rezultatet

Shembulli 1.22. Një urnë përmban m topa të bardhë dhe n topa të zinj. Sa është probabiliteti për të vizatuar një top të bardhë?

Zgjidhje. Gjithsej ka m+n ngjarje elementare. Ata janë të gjithë njëlloj të pabesueshëm. Ngjarja e favorshme A prej tyre m. Rrjedhimisht,.

Karakteristikat e mëposhtme rrjedhin nga përkufizimi i probabilitetit:

Prona 1. Probabiliteti i një ngjarjeje të caktuar është i barabartë me një.

Në të vërtetë, nëse ngjarja është e besueshme, atëherë çdo rezultat elementar i testit favorizon ngjarjen. Në këtë rast m=p, Rrjedhimisht,

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

Prona 2. Probabiliteti i një ngjarje të pamundur është zero.

Në të vërtetë, nëse ngjarja është e pamundur, atëherë asnjë nga rezultatet elementare të gjykimit nuk e favorizon ngjarjen. Në këtë rast t= 0, pra, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

Prona 3.Probabiliteti ngjarje e rastësishmeështë një numër pozitiv ndërmjet zeros dhe një.

Në të vërtetë, vetëm një pjesë e numrit të përgjithshëm të rezultateve elementare të testit favorizon një ngjarje të rastësishme. Kjo do të thotë, 0≤m≤n, që do të thotë 0≤m/n≤1, prandaj, probabiliteti i çdo ngjarjeje plotëson pabarazinë e dyfishtë 0≤ P(A) ≤1. (1.8)

Duke krahasuar përkufizimet e probabilitetit (1.5) dhe frekuencës relative (1.1), arrijmë në përfundimin: përkufizimi i probabilitetit nuk kërkon të bëhet testimi ne realitet; përcaktimi i frekuencës relative supozon se në fakt janë kryer teste. Me fjale te tjera, probabiliteti llogaritet para përvojës, dhe frekuenca relative - pas përvojës.

Megjithatë, llogaritja e probabilitetit kërkon informacion paraprak për numrin ose probabilitetet e rezultateve elementare që favorizojnë një ngjarje të caktuar. Në mungesë të një informacioni të tillë paraprak, të dhënat empirike përdoren për të përcaktuar probabilitetin, domethënë, frekuenca relative e ngjarjes përcaktohet nga rezultatet e një eksperimenti stokastik.

Shembulli 1.23. Departamenti i kontrollit teknik zbuluar 3 pjesë jo standarde në një grumbull prej 80 pjesësh të zgjedhura rastësisht. Frekuenca relative e shfaqjes së pjesëve jo standarde r (A)= 3/80.

Shembulli 1.24. Sipas qëllimit.prodhuar 24 ka qëlluar dhe janë regjistruar 19 goditje. Frekuenca relative e goditjes së objektivit. r (A)=19/24.

Vëzhgimet afatgjata kanë treguar se nëse eksperimentet kryhen në të njëjtat kushte, në secilën prej të cilave numri i testeve është mjaftueshëm i madh, atëherë frekuenca relative shfaq vetinë e stabilitetit. Kjo pronë është që në eksperimente të ndryshme frekuenca relative ndryshon pak (sa më pak, aq më shumë teste bëhen), duke u luhatur rreth një numri të caktuar konstant. Doli se ky numër konstant mund të merret si një vlerë e përafërt e probabilitetit.

Marrëdhënia midis frekuencës relative dhe probabilitetit do të përshkruhet më në detaje dhe më saktë më poshtë. Tani le të ilustrojmë vetinë e stabilitetit me shembuj.

Shembulli 1.25. Sipas statistikave suedeze, shkalla relative e lindjeve të vajzave në vitin 1935 sipas muajve karakterizohet nga numrat e mëposhtëm (numrat janë renditur në rendin e muajve, duke filluar nga janar): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Frekuenca relative luhatet rreth numrit 0.481, i cili mund të merret si vlera e përafërt probabiliteti për të pasur vajza.

Vini re se statistikat e vendeve të ndryshme japin afërsisht të njëjtën vlerë të frekuencës relative.

Shembulli 1.26. Eksperimente të përsëritura u kryen duke hedhur një monedhë, në të cilën numërohej numri i dukurive të "stemës". Rezultatet e disa eksperimenteve janë paraqitur në tabelë.

1. Paraqitja e teoremave kryesore dhe formulave të probabilitetit: teorema e mbledhjes, probabiliteti i kushtëzuar, teorema e shumëzimit, pavarësia e ngjarjeve, formula probabilitet të plotë.

Qëllimet: krijimi i kushteve të favorshme për prezantimin e konceptit të probabilitetit të një ngjarjeje; njohja me teoremat dhe formulat bazë të teorisë së probabilitetit; shkruani formulën e probabilitetit total.

Ecuria e mësimit:

Eksperiment i rastësishëm (eksperiment)është një proces në të cilin rezultate të ndryshme janë të mundshme dhe është e pamundur të parashikohet paraprakisht se cili do të jetë rezultati. Rezultatet e mundshme reciprokisht ekskluzive të një përvoje quhen të saj ngjarje elementare . Grupi i ngjarjeve elementare do të shënohet me W.

ngjarje e rastësishme quhet një ngjarje, për të cilën është e pamundur të thuhet paraprakisht nëse do të ndodhë si rezultat i përvojës apo jo. Çdo ngjarje e rastësishme A që ka ndodhur si rezultat i eksperimentit mund të shoqërohet me një grup ngjarjesh elementare nga W. Ngjarjet elementare që përbëjnë këtë grup quhen e favorshme për ndodhjen e ngjarjes A.

Bashkësia W mund të konsiderohet gjithashtu si një ngjarje e rastësishme. Meqenëse përfshin të gjitha ngjarjet elementare, do të ndodhë domosdoshmërisht si rezultat i përvojës. Një ngjarje e tillë quhet të besueshme .

Nëse për një ngjarje të caktuar nuk ka ngjarje elementare të favorshme nga W, atëherë ajo nuk mund të ndodhë si rezultat i eksperimentit. Një ngjarje e tillë quhet e pamundur.

Ngjarjet quhen po aq e mundur , nëse si rezultat i testimit sigurohen mundesi e Barabarte zbatimin e këtyre ngjarjeve. Quhen dy ngjarje të rastësishme e kundërt nëse, si rezultat i eksperimentit, njëri prej tyre ndodh nëse dhe vetëm nëse tjetri nuk ndodh. Ngjarja e kundërt me ngjarjen A shënohet me .

Ngjarjet A dhe B quhen të papajtueshme nëse ndodhja e njërës prej tyre përjashton ndodhjen e tjetrës. Ngjarjet A 1 , A 2 , ..., A n quhen të papajtueshme në çift, nëse dy prej tyre janë të papajtueshëm. Ngjarjet A 1 , A 2 , ..., Një formë sistem të plotë ngjarje të papajtueshme në çift nëse, si rezultat i testit, një dhe vetëm njëri prej tyre është i sigurt se do të ndodhë.

Shuma (kombinimi) i ngjarjeve A 1 , A 2 , ..., A n është një ngjarje e tillë C, e cila konsiston në faktin se të paktën një nga ngjarjet A 1 , A 2 , ..., A n ka ndodhur Shuma e ngjarjeve shënohet si vijon:

C \u003d A 1 + A 2 + ... + A n.

Produkti (kryqëzimi) i ngjarjeve A 1 , A 2 , ..., A n një ngjarje e tillë quhet P, e cila konsiston në faktin se të gjitha ngjarjet A 1 , A 2 , ..., A n kanë ndodhur njëkohësisht. Produkti i ngjarjeve shënohet

Probabiliteti P(A) në teorinë e probabilitetit vepron si një karakteristikë numerike e shkallës së mundësisë së ndodhjes së ndonjë ngjarje të veçantë të rastësishme A me përsëritje të përsëritur të testeve.

Për shembull, në 1000 hedhje të një trupi, numri 4 del 160 herë. Raporti 160/1000 = 0,16 tregon frekuencën relative të numrit 4 që bie jashtë në këtë seri testesh. Më në përgjithësi frekuenca e rastësishme e ngjarjeve Dhe kur kryejnë një seri eksperimentesh, ata e quajnë raportin e numrit të eksperimenteve në të cilat ndodhi një ngjarje e caktuar me numrin e përgjithshëm të eksperimenteve:

ku P*(A) është frekuenca e ngjarjes A; m është numri i eksperimenteve në të cilat ndodhi ngjarja A; n është numri i përgjithshëm i eksperimenteve.

Probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme A quhet një numër konstant, rreth të cilit grupohen frekuencat e një ngjarjeje të caktuar ndërsa numri i eksperimenteve rritet ( përcaktimi statistikor i probabilitetit të një ngjarjeje ). Probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme shënohet me P(A).

Natyrisht, askush nuk do të jetë në gjendje të bëjë një numër të pakufizuar testesh për të përcaktuar probabilitetin. Nuk ka nevojë për këtë. Në praktikë, probabiliteti mund të merret si frekuencë e një ngjarjeje në numra të mëdhenj testet. Kështu, për shembull, nga modelet statistikore të lindjes të krijuara gjatë vëzhgimeve shumëvjeçare, probabiliteti i ngjarjes që i porsalinduri të jetë djalë vlerësohet në 0,515.

Nëse gjatë testit nuk ka arsye për të cilat një ngjarje e rastësishme do të ndodhte më shpesh se të tjerat ( ngjarje po aq të mundshme), ne mund të përcaktojmë probabilitetin bazuar në konsideratat teorike. Për shembull, le të zbulojmë në rastin e hedhjes së një monedhe, shpeshtësinë e rënies së stemës (ngjarja A). Eksperimentues të ndryshëm kanë treguar në disa mijëra prova se frekuenca relative e një ngjarjeje të tillë merr vlera afër 0.5. duke pasur parasysh se pamja e stemës dhe ana e kundërt e monedhës (ngjarja B) janë ngjarje po aq të mundshme nëse monedha është simetrike, gjykimi P(A)=P(B)=0,5 mund të bëhet pa përcaktuar frekuencën. të këtyre ngjarjeve. Mbi bazën e konceptit të "probabilitetit të barabartë" të ngjarjeve, formulohet një përkufizim tjetër i probabilitetit.

Le të ndodhë ngjarja A në shqyrtim në m raste, të cilat quhen të favorshme për A dhe nuk ndodhin në n-m të mbetura, të pafavorshme për A.

Atëherë probabiliteti i ngjarjes A është i barabartë me raportin e numrit të ngjarjeve elementare të favorshme për të me numrin e tyre të përgjithshëm(përkufizimi klasik i probabilitetit të një ngjarjeje):

ku m është numri i ngjarjeve elementare që favorizojnë ngjarjen A; n - Numri i përgjithshëm i ngjarjeve elementare.

Le të shohim disa shembuj:

Shembulli #1:Një urnë përmban 40 topa: 10 të zeza dhe 30 të bardha. Gjeni probabilitetin që një top i zgjedhur rastësisht të jetë i zi.

Numri i rasteve të favorshme është i barabartë me numrin e topave të zinj në urnë: m = 10. Numri i përgjithshëm i ngjarjeve po aq të mundshme (duke nxjerrë një top) është i barabartë me numrin total të topave në urnë: n = 40. Këto ngjarje janë të papajtueshme, pasi hiqet një dhe vetëm një top. P(A) = 10/40 = 0,25

Shembulli #2:Gjeni probabilitetin për të marrë një numër çift kur hidhni një kërpudhë.

Me rastin e hedhjes së një koke, realizohen gjashtë ngjarje të papajtueshme po aq të mundshme: shfaqja e një shifre: 1,2,3,4,5 ose 6, d.m.th. n = 6. Rastet e favorshme janë humbja e njërit prej numrave 2,4 ose 6: m = 3. Probabiliteti i dëshiruar P(A) = m/N = 3/6 = ½.

Siç mund ta shohim nga përkufizimi i probabilitetit të një ngjarjeje, për të gjitha ngjarjet

0 < Р(А) < 1.

Natyrisht, probabiliteti i një ngjarjeje të caktuar është 1, probabiliteti i një ngjarje të pamundur është 0.

Teorema e shtimit të probabilitetit: probabiliteti i ndodhjes së një (pa marrë parasysh çfarë) ngjarje nga disa ngjarje të papajtueshme është e barabartë me shumën e probabiliteteve të tyre.

Për dy ngjarje të papajtueshme A dhe B, probabiliteti i këtyre ngjarjeve është i barabartë me shumën e probabiliteteve të tyre:

P(A ose B)=P(A) + P(B).

Shembulli #3:Gjeni probabilitetin për të marrë 1 ose 6 kur hidhni një zare.

Ngjarja A (rrotulla 1) dhe B (rrotullimi 6) janë po aq të mundshme: P(A) = P(B) = 1/6, pra P(A ose B) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Shtimi i probabiliteteve është i vlefshëm jo vetëm për dy, por edhe për çdo numër ngjarjesh të papajtueshme.

Shembulli #4:Një urnë përmban 50 topa: 10 të bardhë, 20 të zinj, 5 të kuq dhe 15 blu. Gjeni probabilitetin që një top i bardhë, i zi ose i kuq të shfaqet në një veprim të vetëm të heqjes së një topi nga urna.

Probabiliteti për të vizatuar një top të bardhë (ngjarja A) është P(A) = 10/50 = 1/5, një top i zi (ngjarja B) është P(B) = 20/50 = 2/5 dhe një top i kuq ( ngjarja C) është P (C) = 5/50 = 1/10. Nga këtu, sipas formulës për shtimin e probabiliteteve, marrim P (A ose B ose C) \u003d P (A) + P (B) \u003d P (C) \u003d 1/5 + 2/5 + 1/ 10 \u003d 7/10

Shuma e probabiliteteve të dy ngjarjeve të kundërta, siç vijon nga teorema e mbledhjes së probabilitetit, është e barabartë me një:

P(A) + P() = 1

Në shembullin e mësipërm, nxjerrja e topave të bardhë, të zinj dhe të kuq do të jetë ngjarja A 1 , P(A 1) = 7/10. Ngjarja e kundërt e 1 është vizatimi i topit blu. Meqenëse ka 15 topa blu, dhe numri i përgjithshëm i topave është 50, marrim P( 1) = 15/50 = 3/10 dhe P(A) + P() = 7/10 + 3/10 = 1.

Nëse ngjarjet А 1 , А 2 , ..., А n formojnë një sistem të plotë ngjarjesh të papajtueshme në çift, atëherë shuma e probabiliteteve të tyre është e barabartë me 1.

Në përgjithësi, probabiliteti i shumës së dy ngjarjeve A dhe B llogaritet si

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB).

Teorema e shumëzimit të probabilitetit:

Ngjarjet A dhe B quhen të pavarur Nëse probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A nuk varet nga fakti nëse ngjarja B ka ndodhur apo jo, dhe anasjelltas, probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes B nuk varet nga fakti nëse ngjarja A ka ndodhur apo jo.

Probabiliteti i ndodhjes së përbashkët të ngjarjeve të pavarura është i barabartë me produktin e probabiliteteve të tyre. Për dy ngjarje P(A dhe B)=P(A) P(B).

Shembull: Njëra urnë përmban 5 topa të zinj dhe 10 të bardhë, tjetra 3 të zeza dhe 17 të bardha. Gjeni probabilitetin që herën e parë që tërhiqen topa nga secila urnë, të dy topat janë të zinj.

Zgjidhja: probabiliteti i tërheqjes së një topi të zi nga urna e parë (ngjarja A) - P(A) = 5/15 = 1/3, një top i zi nga urna e dytë (ngjarja B) - P(B) = 3/ 20

P (A dhe B) \u003d P (A) P (B) \u003d (1/3) (3/20) \u003d 3/60 \u003d 1/20.

Në praktikë, probabiliteti i një ngjarje B shpesh varet nga fakti nëse një ngjarje tjetër A ka ndodhur apo jo. Në këtë rast, flitet për probabiliteti i kushtëzuar , d.m.th. probabiliteti i ngjarjes B duke pasur parasysh që ngjarja A ka ndodhur. Probabiliteti i kushtëzuar shënohet me P(B/A).

Fillimisht, duke qenë vetëm një koleksion informacioni dhe vëzhgimesh empirike të lojës me zare, teoria e probabilitetit është bërë një shkencë solide. Fermat dhe Pascal ishin të parët që i dhanë një kornizë matematikore.

Nga reflektimet mbi të përjetshmen në teorinë e probabilitetit

Dy individë, të cilëve teoria e probabilitetit u detyrohet shumë formula themelore, Blaise Pascal dhe Thomas Bayes, njihen si njerëz thellësisht fetarë, ky i fundit ishte një ministër presbiterian. Me sa duket, dëshira e këtyre dy shkencëtarëve për të vërtetuar falsitetin e mendimit për një Pasuri të caktuar, duke i dhënë fat të preferuarave të saj, i dha shtysë kërkimeve në këtë fushë. Në fund të fundit, në fakt, çdo lojë e fatit, me fitoret dhe humbjet e saj, është vetëm një simfoni e parimeve matematikore.

Falë eksitimit të Chevalier de Mere, i cili ishte njëlloj një kumarxhi dhe një person që nuk ishte indiferent ndaj shkencës, Pascal u detyrua të gjente një mënyrë për të llogaritur probabilitetin. De Mere u interesua për këtë pyetje: "Sa herë duhet të hidhni dy zare në çift, në mënyrë që probabiliteti për të marrë 12 pikë të kalojë 50%?". Pyetja e dytë që e interesoi jashtëzakonisht zotërinë: "Si ta ndani bastin midis pjesëmarrësve në lojën e papërfunduar?" Sigurisht, Pascal iu përgjigj me sukses të dy pyetjeve të de Mere, i cili u bë iniciatori i padashur i zhvillimit të teorisë së probabilitetit. Interesante, personi i de Mere mbeti i njohur në këtë fushë, dhe jo në letërsi.

Më parë, asnjë matematikan nuk ka bërë ende një përpjekje për të llogaritur probabilitetet e ngjarjeve, pasi besohej se kjo ishte vetëm një zgjidhje supozimi. Blaise Pascal dha përkufizimin e parë të probabilitetit të një ngjarjeje dhe tregoi se kjo është një shifër specifike që mund të justifikohet matematikisht. Teoria e probabilitetit është bërë baza për statistika dhe përdoret gjerësisht në shkenca moderne.

Çfarë është rastësia

Nëse marrim parasysh një test që mund të përsëritet një numër të pafundëm herë, atëherë mund të përcaktojmë një ngjarje të rastësishme. Ky është një nga rezultatet e mundshme të përvojës.

Përvoja është zbatimi i veprimeve specifike në kushte konstante.

Për të qenë në gjendje të punoni me rezultatet e përvojës, ngjarjet zakonisht shënohen me shkronjat A, B, C, D, E ...

Probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme

Për të vazhduar në pjesën matematikore të probabilitetit, është e nevojshme të përcaktohen të gjithë përbërësit e tij.

Probabiliteti i një ngjarjeje shprehet në forma numerike masë e mundësisë së ndodhjes së ndonjë ngjarjeje (A ose B) si rezultat i përvojës. Probabiliteti shënohet si P(A) ose P(B).

Teoria e probabilitetit është:

• të besueshme ngjarja është e garantuar të ndodhë si rezultat i eksperimentit Р(Ω) = 1;
• e pamundur ngjarja nuk mund të ndodhë kurrë Р(Ø) = 0;
• e rastit ngjarja shtrihet midis të sigurtës dhe të pamundurës, domethënë, probabiliteti i ndodhjes së saj është i mundshëm, por jo i garantuar (probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme është gjithmonë brenda 0≤P(A)≤1).

Marrëdhëniet ndërmjet ngjarjeve

Si një, ashtu edhe shuma e ngjarjeve A + B merren parasysh kur ngjarja llogaritet në zbatimin e të paktën një prej komponentëve, A ose B, ose të dyja - A dhe B.

Në lidhje me njëra-tjetrën, ngjarjet mund të jenë:

• Po aq e mundur.
• të pajtueshme.
• E papajtueshme.
• E kundërta (reciprokisht përjashtuese).
• I varur.

Nëse dy ngjarje mund të ndodhin me probabilitet të barabartë, atëherë ato po aq e mundur.

Nëse ndodhja e ngjarjes A nuk e anulon probabilitetin e ndodhjes së ngjarjes B, atëherë ata të pajtueshme.

Nëse ngjarjet A dhe B nuk ndodhin kurrë në të njëjtën kohë në të njëjtin eksperiment, atëherë ato quhen të papajtueshme. hedhja e monedhës - shembull i mirë: shfaqja e bishtave është automatikisht mosparaqitja e kokave.

Probabiliteti për shumën e ngjarjeve të tilla të papajtueshme përbëhet nga shuma e probabiliteteve të secilës prej ngjarjeve:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Nëse ndodhja e një ngjarjeje e bën të pamundur ndodhjen e një tjetër, atëherë ato quhen të kundërta. Pastaj njëra prej tyre caktohet si A, dhe tjetra - Ā (lexohet si "jo A"). Ndodhja e ngjarjes A do të thotë që Ā nuk ka ndodhur. Këto dy ngjarje formojnë një grup të plotë me një shumë probabiliteti të barabartë me 1.

Ngjarjet e varura kanë ndikim të ndërsjellë, duke ulur ose rritur probabilitetin e njëra-tjetrës.

Marrëdhëniet ndërmjet ngjarjeve. Shembuj

Është shumë më e lehtë të kuptosh parimet e teorisë së probabilitetit dhe kombinimin e ngjarjeve duke përdorur shembuj.

Eksperimenti që do të kryhet është nxjerrja e topave nga kutia dhe rezultati i çdo eksperimenti është një rezultat elementar.

Një ngjarje është një nga rezultatet e mundshme të një përvoje - një top i kuq, një top blu, një top me numrin gjashtë, etj.

Testi numër 1. Janë 6 topa, tre prej të cilëve janë blu me numra tek, dhe tre të tjerët janë të kuq me numra çift.

Testi numër 2. Ka 6 topa blu me numra nga një në gjashtë.

Bazuar në këtë shembull, ne mund të emërtojmë kombinime:

• Ngjarje e besueshme. Në spanjisht Nr. 2, ngjarja "merr topin blu" është e besueshme, pasi probabiliteti i shfaqjes së tij është 1, pasi të gjithë topat janë blu dhe nuk mund të ketë humbje. Ndërsa ngjarja “merr topin me numrin 1” është e rastësishme.
• Ngjarje e pamundur. Në spanjisht Nr. 1 me topa blu dhe të kuq, ngjarja "merr topin vjollcë" është e pamundur, pasi probabiliteti i shfaqjes së tij është 0.
• Ngjarje ekuivalente. Në spanjisht Nr. 1, ngjarjet "merr topin me numrin 2" dhe "merr topin me numrin 3" janë po aq të mundshme, dhe ngjarjet "merr topin me një numër çift" dhe "merr topin me numrin 2". ” kanë probabilitete të ndryshme.
• Ngjarjet e përputhshme. Marrja e një gjashtë në procesin e hedhjes së një trupi dy herë radhazi janë ngjarje të pajtueshme.
• Ngjarje të papajtueshme. Në të njëjtën spanjisht Ngjarjet nr. 1 "merr topin e kuq" dhe "merr topin me një numër tek" nuk mund të kombinohen në të njëjtën përvojë.
• ngjarje të kundërta. Shembulli më i mrekullueshëm i kësaj është hedhja e monedhave, ku vizatimi i kokave është i njëjtë me mosvizatimin e bishtave dhe shuma e probabiliteteve të tyre është gjithmonë 1 (grupi i plotë).
• Ngjarjet e varura. Pra, në spanjisht Nr. 1, mund t'i vendosni vetes synimin për të nxjerrë një top të kuq dy herë radhazi. Nxjerrja ose mos nxjerrja e tij herën e parë ndikon në probabilitetin e nxjerrjes së tij herën e dytë.

Mund të shihet se ngjarja e parë ndikon ndjeshëm në probabilitetin e së dytës (40% dhe 60%).

Formula e probabilitetit të ngjarjeve

Kalimi nga tregimi i fatit në të dhëna të sakta ndodh duke transferuar temën në rrafshin matematikor. Kjo do të thotë, gjykimet për një ngjarje të rastësishme si "probabiliteti i lartë" ose "probabiliteti minimal" mund të përkthehen në të dhëna numerike specifike. Tashmë është e lejueshme të vlerësohet, krahasohet dhe futet një material i tillë në llogaritjet më komplekse.

Nga pikëpamja e llogaritjes, përkufizimi i probabilitetit të një ngjarjeje është raporti i numrit të rezultateve elementare pozitive me numrin e të gjitha rezultateve të mundshme të përvojës në lidhje me një ngjarje të caktuar. Probabiliteti shënohet me P (A), ku P do të thotë fjala "probabilitet", e cila përkthehet nga frëngjishtja si "probabilitet".

Pra, formula për probabilitetin e një ngjarjeje është:

Ku m është numri i rezultateve të favorshme për ngjarjen A, n është shuma e të gjitha rezultateve të mundshme për këtë përvojë. Probabiliteti i një ngjarje është gjithmonë midis 0 dhe 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Llogaritja e probabilitetit të një ngjarjeje. Shembull

Le të marrim spanjisht. Nr. 1 me topa, i cili është përshkruar më herët: 3 topa blu me numrat 1/3/5 dhe 3 topa të kuq me numrat 2/4/6.

Bazuar në këtë test, mund të konsiderohen disa detyra të ndryshme:

• A - rënie e topit të kuq. Janë 3 topa të kuq dhe gjithsej janë 6 variante.Ky është shembulli më i thjeshtë, në të cilin probabiliteti i një ngjarjeje është P(A)=3/6=0.5.
• B - heqja e një numri çift. Janë gjithsej 3 (2,4,6) numra çift dhe numri i përgjithshëm i opsioneve të mundshme numerike është 6. Probabiliteti i kësaj ngjarjeje është P(B)=3/6=0.5.
• C - humbja e një numri më të madh se 2. Janë 4 opsione të tilla (3,4,5,6) nga numri i përgjithshëm i rezultateve të mundshme 6. Probabiliteti i ngjarjes C është P(C)=4/6= 0,67.

Siç mund të shihet nga llogaritjet, ngjarja C ka një probabilitet më të lartë, pasi numri i rezultateve të mundshme pozitive është më i lartë se në A dhe B.

Ngjarje të papajtueshme

Ngjarje të tilla nuk mund të shfaqen njëkohësisht në të njëjtën përvojë. Si në spanjisht Nr. 1, është e pamundur të marrësh një top blu dhe një të kuq në të njëjtën kohë. Kjo do të thotë, ju mund të merrni ose një top blu ose të kuq. Në të njëjtën mënyrë, një numër çift dhe një numër tek nuk mund të shfaqen në një ditar në të njëjtën kohë.

Probabiliteti i dy ngjarjeve konsiderohet si probabiliteti i shumës ose produktit të tyre. Shuma e ngjarjeve të tilla A + B konsiderohet të jetë një ngjarje që konsiston në shfaqjen e një ngjarje A ose B, dhe produkti i AB-së së tyre - në paraqitjen e të dyjave. Për shembull, shfaqja e dy gjashtëshe njëherësh në fytyrat e dy zare në një hedhje.

Shuma e disa ngjarjeve është një ngjarje që nënkupton ndodhjen e të paktën njërës prej tyre. Produkti i disa ngjarjeve është dukuri e përbashkët e të gjithave.

Në teorinë e probabilitetit, si rregull, përdorimi i bashkimit "dhe" tregon shumën, bashkimin "ose" - shumëzimin. Formulat me shembuj do t'ju ndihmojnë të kuptoni logjikën e mbledhjes dhe shumëzimit në teorinë e probabilitetit.

Probabiliteti i shumës së ngjarjeve të papajtueshme

Nëse merret parasysh probabiliteti i ngjarjeve të papajtueshme, atëherë probabiliteti i shumës së ngjarjeve është i barabartë me shumën e probabiliteteve të tyre:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Për shembull: ne llogarisim probabilitetin që në spanjisht. Nr. 1 me topa blu dhe të kuq do të bjerë një numër midis 1 dhe 4. Ne do të llogarisim jo në një veprim, por me shumën e probabiliteteve të përbërësve elementar. Pra, në një eksperiment të tillë ka vetëm 6 topa ose 6 nga të gjitha rezultatet e mundshme. Numrat që plotësojnë kushtin janë 2 dhe 3. Probabiliteti për të marrë numrin 2 është 1/6, probabiliteti i numrit 3 është gjithashtu 1/6. Probabiliteti për të marrë një numër midis 1 dhe 4 është:

Probabiliteti i shumës së ngjarjeve të papajtueshme të një grupi të plotë është 1.

Pra, nëse në eksperimentin me një kub mbledhim probabilitetet për të marrë të gjithë numrat, atëherë si rezultat marrim një.

Kjo është e vërtetë edhe për ngjarje të kundërta, për shembull, në eksperimentin me një monedhë, ku njëra anë e saj është ngjarja A dhe tjetra është ngjarja e kundërt Ā, siç dihet,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Probabiliteti i prodhimit të ngjarjeve të papajtueshme

Shumëzimi i probabiliteteve përdoret kur merret parasysh ndodhja e dy ose më shumë ngjarjeve të papajtueshme në një vëzhgim. Probabiliteti që ngjarjet A dhe B të shfaqen në të në të njëjtën kohë është e barabartë me produktin e probabiliteteve të tyre, ose:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Për shembull, probabiliteti që në Nr. 1 si rezultat i dy përpjekjeve, një top blu do të shfaqet dy herë, i barabartë me

Domethënë, probabiliteti që të ndodhë një ngjarje kur, si rezultat i dy përpjekjeve me nxjerrjen e topave, do të nxirren vetëm topa blu, është 25%. Është shumë e lehtë për të bërë eksperimente praktike mbi këtë problem dhe për të parë nëse ky është në të vërtetë rasti.

Ngjarje të përbashkëta

Ngjarjet konsiderohen të përbashkëta kur pamja e njërës prej tyre mund të përkojë me pamjen e tjetrës. Pavarësisht se ato janë të përbashkëta, konsiderohet probabiliteti i ngjarjeve të pavarura. Për shembull, hedhja e dy zarave mund të japë rezultat kur numri 6 bie mbi të dy. Edhe pse ngjarjet përkuan dhe u shfaqën njëkohësisht, ato janë të pavarura nga njëra-tjetra - vetëm një gjashtë mund të bjerë, e dyta nuk ka ndikim në të. .

Probabiliteti i ngjarjeve të përbashkëta konsiderohet si probabiliteti i shumës së tyre.

Probabiliteti i shumës së ngjarjeve të përbashkëta. Shembull

Probabiliteti i shumës së ngjarjeve A dhe B, të cilat janë të përbashkëta në lidhje me njëra-tjetrën, është e barabartë me shumën e probabiliteteve të ngjarjes minus probabilitetin e produktit të tyre (d.m.th., zbatimi i tyre i përbashkët):

R nyje. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Supozoni se probabiliteti për të goditur objektivin me një goditje është 0.4. Pastaj ngjarja A - goditja e objektivit në përpjekjen e parë, B - në të dytën. Këto ngjarje janë të përbashkëta, pasi është e mundur që të goditet objektivi si nga gjuajtja e parë ashtu edhe nga e dyta. Por ngjarjet nuk varen. Sa është probabiliteti i ngjarjes për të goditur objektivin me dy të shtëna (të paktën një)? Sipas formulës:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Përgjigja e pyetjes është: "Probabiliteti për të goditur objektivin me dy të shtëna është 64%.

Kjo formulë për probabilitetin e një ngjarjeje mund të zbatohet edhe për ngjarje të papajtueshme, ku probabiliteti i ndodhjes së përbashkët të një ngjarjeje P(AB) = 0. Kjo do të thotë se probabiliteti i shumës së ngjarjeve të papajtueshme mund të konsiderohet një rast i veçantë. të formulës së propozuar.

Gjeometria e probabilitetit për qartësi

Është interesante se probabiliteti i shumës së ngjarjeve të përbashkëta mund të përfaqësohet si dy zona A dhe B që kryqëzohen me njëra-tjetrën. Siç mund ta shihni nga fotografia, zona e bashkimit të tyre është e barabartë me sipërfaqen totale minus sipërfaqen e kryqëzimit të tyre. Ky shpjegim gjeometrik e bën më të kuptueshme formulën në dukje të palogjikshme. Vini re se zgjidhjet gjeometrike nuk janë të rralla në teorinë e probabilitetit.

Përkufizimi i probabilitetit të shumës së një grupi (më shumë se dy) ngjarjesh të përbashkëta është mjaft i rëndë. Për ta llogaritur atë, duhet të përdorni formulat që jepen për këto raste.

Ngjarjet e varura

Ngjarjet e varura quhen nëse ndodhja e njërës (A) prej tyre ndikon në probabilitetin e ndodhjes së tjetrës (B). Për më tepër, merret parasysh edhe ndikimi i ndodhjes së ngjarjes A dhe mosndodhja e saj. Megjithëse ngjarjet quhen të varura sipas përkufizimit, vetëm njëra prej tyre është e varur (B). Probabiliteti i zakonshëm shënohej si P(B) ose probabiliteti i ngjarjeve të pavarura. Në rastin e vartësve, futet një koncept i ri - probabiliteti i kushtëzuar P A (B), që është probabiliteti i ngjarjes së varur B me kusht që të ketë ndodhur ngjarja A (hipoteza), nga e cila varet.

Por ngjarja A është gjithashtu e rastësishme, kështu që ka edhe një probabilitet që duhet dhe mund të merret parasysh në llogaritje. Shembulli i mëposhtëm do të tregojë se si të punohet me ngjarje të varura dhe një hipotezë.

Shembull i llogaritjes së probabilitetit të ngjarjeve të varura

Një shembull i mirë për llogaritjen e ngjarjeve të varura është një kuvertë standarde letrash.

Në shembullin e një kuverte me 36 letra, merrni parasysh ngjarjet e varura. Është e nevojshme të përcaktohet probabiliteti që letra e dytë e tërhequr nga kuverta të jetë një kostum diamanti, nëse letra e parë e tërhequr është:

1. Dajre.
2. Një kostum tjetër.

Natyrisht, probabiliteti i ngjarjes së dytë B varet nga A e parë. Pra, nëse opsioni i parë është i vërtetë, që është 1 kartë (35) dhe 1 diamant (8) më pak në kuvertë, probabiliteti i ngjarjes B:

P A (B) \u003d 8 / 35 \u003d 0,23

Nëse opsioni i dytë është i vërtetë, atëherë ka 35 letra në kuvertë dhe numri i përgjithshëm i dajreve (9) është ende i ruajtur, atëherë probabiliteti i ngjarjes së mëposhtme është B:

P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

Mund të shihet se nëse ngjarja A është e kushtëzuar nga fakti që letra e parë është një diamant, atëherë probabiliteti i ngjarjes B zvogëlohet dhe anasjelltas.

Shumëzimi i ngjarjeve të varura

Bazuar në kapitullin e mëparshëm, ngjarjen e parë (A) e pranojmë si fakt, por në thelb ajo ka karakter të rastësishëm. Probabiliteti i kësaj ngjarjeje, përkatësisht nxjerrja e një dajre nga një kuvertë letrash, është e barabartë me:

P(A) = 9/36=1/4

Meqenëse teoria nuk ekziston vetvetiu, por thirret për t'i shërbyer qëllimeve praktike, është e drejtë të theksohet se më shpesh nevojitet probabiliteti i prodhimit të ngjarjeve të varura.

Sipas teoremës mbi produktin e probabiliteteve të ngjarjeve të varura, probabiliteti i ndodhjes së ngjarjeve të varura së bashku A dhe B është i barabartë me probabilitetin e një ngjarje A të shumëzuar me probabilitetin e kushtëzuar të ngjarjes B (në varësi të A):

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

Pastaj në shembullin me një kuvertë, probabiliteti për të nxjerrë dy letra me një kostum diamanti është:

9/36*8/35=0,0571 ose 5,7%

Dhe probabiliteti për të nxjerrë jo diamante në fillim, dhe më pas diamante, është e barabartë me:

27/36*9/35=0,19 ose 19%

Mund të shihet se probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes B është më i madh, me kusht që së pari të tërhiqet një kartë e një kostumi të ndryshëm nga diamanti. Ky rezultat është mjaft logjik dhe i kuptueshëm.

Probabiliteti total i një ngjarjeje

Kur një problem me probabilitete të kushtëzuara bëhet i shumëanshëm, ai nuk mund të llogaritet me metoda konvencionale. Kur ka më shumë se dy hipoteza, përkatësisht A1, A2, ..., A n, .. formon një grup të plotë ngjarjesh me kushtin:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Pra, formula për probabilitetin total për ngjarjen B me një grup të plotë ngjarjesh të rastësishme A1, A2, ..., A n është:

Një vështrim në të ardhmen

Probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme është thelbësor në shumë fusha të shkencës: ekonometria, statistika, fizika, etj. Meqenëse disa procese nuk mund të përshkruhen në mënyrë deterministe, pasi ato vetë janë probabiliste, nevojiten metoda të veçanta pune. Probabiliteti i një teorie ngjarjesh mund të përdoret në çdo fushë teknologjike si një mënyrë për të përcaktuar mundësinë e një gabimi ose mosfunksionimi.

Mund të thuhet se, duke njohur probabilitetin, ne bëjmë disi një hap teorik drejt së ardhmes, duke e parë atë përmes prizmit të formulave.

• Probabiliteti - shkalla (masë relative, kuantifikimi) mundësia e ndodhjes së ndonjë ngjarjeje. Kur arsyet për një ngjarje të mundshme që të ndodhë në fakt tejkalojnë arsyet e kundërta, atëherë kjo ngjarje quhet e mundshme, përndryshe - e pamundur ose e pamundur. Mbizotërimi i bazave pozitive mbi ato negative, dhe anasjelltas, mund të jetë në shkallë të ndryshme, si rezultat i të cilave probabiliteti (dhe pamundësia) është më i madh ose më i vogël. Prandaj, probabiliteti shpesh vlerësohet në nivel cilësor, veçanërisht në rastet kur një vlerësim sasior pak a shumë i saktë është i pamundur ose jashtëzakonisht i vështirë. Gradime të ndryshme të "niveleve" të probabilitetit janë të mundshme.

  Studimi i probabilitetit nga pikëpamja matematikore është një disiplinë e veçantë - teoria e probabilitetit. Në teorinë e probabilitetit dhe statistika matematikore koncepti i probabilitetit zyrtarizohet si një karakteristikë numerike e një ngjarjeje - një masë probabiliteti (ose vlera e saj) - një masë në një grup ngjarjesh (nëngrupe të një grupi ngjarjesh elementare), duke marrë vlera nga

  (\displaystyle 0)

  (\displaystyle 1)

  Kuptimi

  (\displaystyle 1)

  Korrespondon me një ngjarje të vlefshme. Një ngjarje e pamundur ka një probabilitet prej 0 (e kundërta në përgjithësi nuk është gjithmonë e vërtetë). Nëse probabiliteti për të ndodhur një ngjarje është

  (\displaystyle p)

  Atëherë probabiliteti i mosndodhjes së tij është i barabartë me

  (\displaystyle 1-p)

  Në veçanti, probabiliteti

  (\displaystyle 1/2)

  Do të thotë probabilitet i barabartë i ndodhjes dhe mosndodhjes së ngjarjes.

  Përkufizimi klasik i probabilitetit bazohet në konceptin e probabilitetit të barabartë të rezultateve. Probabiliteti është raporti i numrit të rezultateve që favorizojnë një ngjarje të caktuar me numrin total të rezultateve po aq të mundshme. Për shembull, probabiliteti për të marrë kokat ose bishtat në një hedhje të rastësishme të monedhës është 1/2 nëse supozohet se ndodhin vetëm këto dy mundësi dhe ato janë po aq të mundshme. Ky "përkufizim" klasik i probabilitetit mund të përgjithësohet në rastin e një numri të pafund vlerash të mundshme - për shembull, nëse një ngjarje mund të ndodhë me probabilitet të barabartë në çdo pikë (numri i pikave është i pafund) i një zone të kufizuar të hapësirë ​​(aeroplan), atëherë probabiliteti që do të ndodhë në një pjesë të kësaj zone të lejueshme është e barabartë me raportin e vëllimit (sipërfaqes) të kësaj pjese me vëllimin (sipërfaqen) e sipërfaqes së të gjitha pikave të mundshme .

  “Përkufizimi” empirik i probabilitetit lidhet me shpeshtësinë e ndodhjes së një ngjarjeje, bazuar në faktin se me një numër mjaft të madh provash, frekuenca duhet të priret në shkallën objektive të mundësisë së kësaj ngjarjeje. AT prezantim modern teoria e probabilitetit, probabiliteti përkufizohet në mënyrë aksiomatike si rast i veçantë teoria abstrakte e masës së një bashkësie. Megjithatë, lidhja midis masës abstrakte dhe probabilitetit, që shpreh shkallën e mundësisë së një ngjarjeje, është pikërisht frekuenca e vëzhgimit të saj.

  Përshkrimi probabilistik i disa dukurive ka marrë përdorim të gjerë në shkencën moderne, veçanërisht në ekonometri, fizika statistikore Sistemet makroskopike (termodinamike), ku edhe në rastin e një përshkrimi përcaktues klasik të lëvizjes së grimcave, një përshkrim përcaktues i të gjithë sistemit të grimcave nuk duket praktikisht i mundshëm dhe i përshtatshëm. AT fizika kuantike vetë proceset e përshkruara janë të një natyre probabiliste.

Përkufizime të ndryshme të probabilitetit të një ngjarjeje të rastësishme

Teoria e probabilitetit – shkenca matematikore, i cili, sipas probabiliteteve të disa ngjarjeve, lejon vlerësimin e probabiliteteve të ngjarjeve të tjera që lidhen me të parat.

Konfirmimi se koncepti i "probabilitetit të një ngjarjeje" nuk ka përkufizim është fakti se në teorinë e probabilitetit ekzistojnë disa qasje për të shpjeguar këtë koncept:

Përkufizimi klasik i probabilitetit ngjarje e rastësishme .

Probabiliteti i një ngjarje është i barabartë me raportin e numrit të rezultateve të përvojës të favorshme për ngjarjen me numrin total të rezultateve të përvojës.

Ku

Numri i rezultateve të favorshme të përvojës;

Numri i përgjithshëm i rezultateve të përvojës.

Rezultati i përvojës quhet i favorshëm për një ngjarje, nëse një ngjarje u shfaq në këtë rezultat të përvojës. Për shembull, nëse ngjarja është shfaqja e një kartoni me kostum të kuq, atëherë shfaqja e një asi diamanti është një rezultat i favorshëm për ngjarjen.

Shembuj.

1) Probabiliteti për të marrë 5 pikë në faqen e kallëpit është i barabartë me , meqenëse bishtaja mund të bjerë në secilën nga 6 faqet lart, dhe 5 pikë janë vetëm në njërën faqe.

2) Probabiliteti që një stemë të bjerë kur një monedhë hidhet një herë është , pasi një monedhë mund të bjerë me një stemë ose bisht - dy rezultate të përvojës, dhe stema përshkruhet vetëm në njërën anë të monedhë.

3) Nëse ka 12 topa në urnë, nga të cilat 5 janë të zeza, atëherë probabiliteti për të nxjerrë një top të zi është , pasi ka gjithsej 12 rezultate të kërpudhave dhe 5 prej tyre janë të favorshme.

Koment. Përkufizimi klasik i probabilitetit zbatohet në dy kushte:

1) të gjitha rezultatet e eksperimentit duhet të jenë po aq të mundshme;

2) përvoja duhet të ketë një numër të kufizuar rezultatesh.

Në praktikë, mund të jetë e vështirë të vërtetohet se ngjarjet janë të mundshme: për shembull, kur kryeni një eksperiment me hedhjen e një monedhe, rezultati i eksperimentit mund të ndikohet nga faktorë të tillë si asimetria e monedhës, efekti i formës së saj në karakteristikat aerodinamike të fluturimit, kushtet atmosferike, etj., përveç kësaj, ka eksperimente me një numër të pafund rezultatesh.

Shembull . Fëmija hedh topin dhe distanca maksimale që mund ta hedhë topin është 15 metra. Gjeni probabilitetin që topi të fluturojë përtej shenjës 3 m.

Zgjidhje.Probabiliteti i dëshiruar propozohet të konsiderohet si raporti i gjatësisë së segmentit të vendosur përtej shenjës prej 3 m (zona e favorshme) me gjatësinë e të gjithë segmentit (të gjitha rezultatet e mundshme):

Shembull. Një pikë hidhet rastësisht në një rreth me rreze 1. Sa është probabiliteti që pika të bjerë në një katror të brendashkruar në rreth?

Zgjidhje.Probabiliteti që një pikë të bjerë në një katror kuptohet në këtë rast si raporti i sipërfaqes së katrorit (zona e favorshme) me sipërfaqen e rrethit (sipërfaqja totale e figurës ku është pika është hedhur):

Diagonalja e një katrori është 2 dhe shprehet në terma të brinjës së tij duke përdorur teoremën e Pitagorës:

Arsyetim i ngjashëm kryhet në hapësirë: nëse një pikë zgjidhet rastësisht në trupin e vëllimit, atëherë probabiliteti që pika të jetë pjesë e trupit të vëllimit llogaritet si raport i vëllimit të pjesës së favorshme me totalin. vëllimi i trupit:

Duke kombinuar të gjitha rastet, ne mund të formulojmë një rregull për llogaritjen e probabilitetit gjeometrik:

Nëse një pikë zgjidhet rastësisht në një zonë, atëherë probabiliteti që pika të jetë pjesë e kësaj zone është e barabartë me:

, ku

Tregon masën e sipërfaqes: në rastin e një segmenti, kjo është gjatësia, në rastin e një zone të sheshtë, kjo është sipërfaqja, në rastin e një trupi tredimensional, ky është vëllimi, në sipërfaqe , sipërfaqja, në kurbë, gjatësia e kurbës.

Një aplikim interesant i konceptit të probabilitetit gjeometrik është problemi i takimit.

Një detyrë. (Rreth një takimi)

Dy studentë ranë dakord të takoheshin, për shembull, në orën 10 të mëngjesit me kushtet e mëposhtme: secili vjen në çdo kohë gjatë orës nga ora 10 deri në 11 dhe pret 10 minuta, pas së cilës ai largohet. Sa është probabiliteti i takimit?

Zgjidhje.Ne i ilustrojmë kushtet e problemit si më poshtë: në bosht vizatojmë kohën për të parën nga ato që ndodhin, dhe në bosht - kohën për të dytën. Duke qenë se eksperimenti zgjat një orë, atëherë në të dy akset kemi lënë mënjanë segmente me gjatësi 1. Momentet kohore kur takimi ka mbërritur në të njëjtën kohë interpretohet me diagonalen e katrorit.

Lëreni të parën të arrijë në një moment në kohë. Studentët do të takohen nëse koha e mbërritjes së studentit të dytë në pikën e takimit është ndërmjet

Duke argumentuar në këtë mënyrë për çdo moment të kohës, marrim se rajoni kohor që interpreton mundësinë e një takimi (“kryqëzimi i kohërave” i studentëve të parë dhe të dytë që janë në vendin e duhur) është midis dy vijave të drejta: dhe . Probabiliteti i takimit përcaktohet nga formula e probabilitetit gjeometrik:

Në 1933 Kolmogorov A.M. (1903 - 1987) propozoi një qasje aksiomatike për ndërtimin dhe paraqitjen e teorisë së probabilitetit, e cila është bërë përgjithësisht e pranuar në kohën e tanishme. Kur ndërtohet një teori e probabilitetit si një teori formale aksiomatike, kërkohet jo vetëm të prezantohet një koncept themelor - probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme, por edhe të përshkruhen vetitë e tij duke përdorur aksioma (deklarata që janë intuitive të vërteta, të pranuara pa prova).

Deklarata të tilla janë deklarata të ngjashme me vetitë e shpeshtësisë relative të ndodhjes së një ngjarjeje.

Frekuenca relative e shfaqjes së një ngjarjeje të rastësishme është raporti i numrit të ndodhive të një ngjarjeje në prova me numrin total të provave të kryera:

Natyrisht, për një ngjarje të caktuar, për një ngjarje të pamundur, për ngjarje të papajtueshme, dhe sa vijon është e vërtetë:

Shembull. Le të ilustrojmë deklaratën e fundit. Lërini të nxjerrin letra nga një kuvertë me 36 letra. Lëreni që ngjarja të nënkuptojë shfaqjen e diamanteve, ngjarja do të thotë shfaqjen e zemrave dhe ngjarja - shfaqja e një karte të kostumit të kuq. Natyrisht, ngjarjet dhe janë të papajtueshme. Kur shfaqet një kostum i kuq, vendosim një shenjë pranë ngjarjes, kur shfaqen diamante - afër ngjarjes, dhe kur shfaqen krimbat - afër ngjarjes. Është e qartë se etiketa pranë ngjarjes do të vendoset nëse dhe vetëm nëse etiketa vendoset pranë ngjarjes ose afër ngjarjes, d.m.th. .

Le ta quajmë probabilitetin e një ngjarjeje të rastësishme numrin e lidhur me ngjarjen sipas rregullit të mëposhtëm:

Për ngjarje të papajtueshme dhe

Kështu që,