Ndryshore e rastësishme është një variabël që mund të marrë vlera të caktuara në varësi të rrethanave të ndryshme, dhe ndryshorja e rastësishme quhet e vazhdueshme , nëse mund të marrë ndonjë vlerë nga një interval i kufizuar ose i pakufizuar. Për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme, është e pamundur të specifikohen të gjitha vlerat e mundshme, prandaj, shënohen intervalet e këtyre vlerave që lidhen me probabilitete të caktuara.

Shembuj të ndryshoreve të rastësishme të vazhdueshme janë: diametri i një pjese të kthyer në një madhësi të caktuar, lartësia e një personi, diapazoni i një predhe, etj.

Meqenëse për variablat e rastësishme të vazhdueshme funksioni F(x), Ndryshe nga variabla diskrete të rastësishme, nuk ka kërcime askund, atëherë probabiliteti i ndonjë vlere të vetme të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është e barabartë me zero.

Kjo do të thotë që për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme nuk ka kuptim të flasim për shpërndarjen e probabilitetit midis vlerave të saj: secila prej tyre ka probabilitet zero. Sidoqoftë, në një kuptim të caktuar, midis vlerave të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme ka "gjithnjë e më pak të mundshme". Për shembull, nuk ka gjasa që dikush të dyshojë se vlera e një ndryshoreje të rastësishme - lartësia e një personi të hasur rastësisht - 170 cm - ka më shumë gjasa se 220 cm, megjithëse njëra dhe tjetra vlera mund të ndodhin në praktikë.

Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme dhe densiteti i probabilitetit

Si një ligj i shpërndarjes, i cili ka kuptim vetëm për variablat e rastësishëm të vazhdueshëm, prezantohet koncepti i densitetit të shpërndarjes ose densitetit të probabilitetit. Le t'i qasemi duke krahasuar kuptimin e funksionit të shpërndarjes për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme dhe për një ndryshore të rastësishme diskrete.

Pra, funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastit (si diskrete ashtu edhe i vazhdueshëm) ose funksion integral quhet një funksion që përcakton probabilitetin që vlera e një ndryshoreje të rastësishme X më pak se ose e barabartë me vlerën kufi X.

Për një ndryshore të rastësishme diskrete në pikat e vlerave të saj x1 , x 2 , ..., x unë,... masat e përqendruara të probabiliteteve fq1 , fq 2 , ..., fq unë,..., dhe shuma e të gjitha masave është e barabartë me 1. Le ta transferojmë këtë interpretim në rastin e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme. Imagjinoni që një masë e barabartë me 1 nuk është e përqendruar në pika të veçanta, por është "lyer" vazhdimisht përgjatë boshtit x. kau me një farë dendësie të pabarabartë. Probabiliteti për të goditur një ndryshore të rastësishme në çdo vend Δ x do të interpretohet si masa që i atribuohet këtij seksioni, dhe dendësia mesatare në këtë seksion - si raport i masës me gjatësinë. Ne sapo kemi prezantuar një koncept të rëndësishëm në teorinë e probabilitetit: dendësia e shpërndarjes.

Dendësia e probabilitetit f(x) e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është derivati ​​i funksionit të shpërndarjes së saj:

.

Duke ditur funksionin e densitetit, mund të gjejmë probabilitetin që vlera e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme t'i përkasë intervalit të mbyllur [ a; b]:

probabiliteti që një ndryshore e rastësishme e vazhdueshme X do të marrë çdo vlerë nga intervali [ a; b], është e barabartë me një integral të caktuar të densitetit të probabilitetit të tij në intervalin nga a përpara b:

.

Ku formulë e përgjithshme funksione F(x) shpërndarja e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme, e cila mund të përdoret nëse funksioni i densitetit është i njohur f(x) :

.

Grafiku i densitetit të probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme quhet kurba e shpërndarjes së saj (fig. më poshtë).

Zona e figurës (e hijezuar në figurë), e kufizuar nga një kurbë, vija të drejta të tërhequra nga pikat a dhe b pingul me boshtin e abshisë, dhe boshtin Oh, shfaq grafikisht probabilitetin që vlera e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme Xështë brenda intervalit të a përpara b.

Vetitë e funksionit të densitetit të probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme

1. Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme të marrë ndonjë vlerë nga intervali (dhe zona e figurës, e cila është e kufizuar nga grafiku i funksionit f(x) dhe boshti Oh) është e barabartë me një:

2. Funksioni i densitetit të probabilitetit nuk mund të marrë vlera negative:

dhe jashtë ekzistencës së shpërndarjes, vlera e saj është zero

Dendësia e shpërndarjes f(x), si dhe funksionin e shpërndarjes F(x), është një nga format e ligjit të shpërndarjes, por ndryshe nga funksioni i shpërndarjes, ai nuk është universal: dendësia e shpërndarjes ekziston vetëm për variablat e rastësishme të vazhdueshme.

Le të përmendim dy llojet më të rëndësishme në praktikë të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme.

Nëse funksioni i densitetit të shpërndarjes f(x) një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme në një interval të fundëm [ a; b] merr një vlerë konstante C, dhe jashtë intervalit merr një vlerë të barabartë me zero, atëherë kjo shpërndarja quhet uniforme .

Nëse grafiku i funksionit të densitetit të shpërndarjes është simetrik në lidhje me qendrën, vlerat mesatare përqendrohen afër qendrës dhe kur largohen nga qendra, mblidhen më të ndryshme nga mesataret (grafiku i funksionit i ngjan një prerjeje të një zile), pastaj kjo shpërndarja quhet normale .

Shembulli 1 Funksioni i shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është i njohur:

Gjeni një veçori f(x) dendësia e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme. Vizatoni grafikët për të dy funksionet. Gjeni probabilitetin që një variabël e rastësishme e vazhdueshme të marrë ndonjë vlerë në intervalin nga 4 në 8: .

Zgjidhje. Ne marrim funksionin e densitetit të probabilitetit duke gjetur derivatin e funksionit të shpërndarjes së probabilitetit:

Grafiku i funksionit F(x) - parabola:

Grafiku i funksionit f(x) - vijë e drejtë:

Le të gjejmë probabilitetin që një variabël e rastësishme e vazhdueshme të marrë ndonjë vlerë në intervalin nga 4 në 8:

Shembulli 2 Funksioni i densitetit të probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme jepet si:

Llogaritni faktorin C. Gjeni një veçori F(x) shpërndarja e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme. Vizatoni grafikët për të dy funksionet. Gjeni probabilitetin që një variabël e rastësishme e vazhdueshme të marrë ndonjë vlerë në intervalin nga 0 në 5: .

Zgjidhje. Koeficient C gjejmë, duke përdorur vetinë 1 të funksionit të densitetit të probabilitetit:

Kështu, funksioni i densitetit të probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është:

Duke u integruar, gjejmë funksionin F(x) shpërndarjet e probabilitetit. Nese nje x < 0 , то F(x) = 0. Nëse 0< x < 10 , то

.

x> 10, atëherë F(x) = 1 .

Kështu, rekordi i plotë i funksionit të shpërndarjes së probabilitetit është:

Grafiku i funksionit f(x) :

Grafiku i funksionit F(x) :

Le të gjejmë probabilitetin që një variabël e rastësishme e vazhdueshme të marrë ndonjë vlerë në intervalin nga 0 në 5:

Shembulli 3 Dendësia e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X jepet nga barazia , ndërsa . Gjeni koeficientin POR, probabiliteti që një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X merr një vlerë nga intervali ]0, 5[, funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X.

Zgjidhje. Me kusht, arrijmë në barazi

Prandaj, prej nga. Kështu që,

.

Tani gjejmë probabilitetin që një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X do të marrë çdo vlerë nga intervali ]0, 5[:

Tani marrim funksionin e shpërndarjes së kësaj ndryshoreje të rastësishme:

Shembulli 4 Gjeni densitetin e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X, i cili merr vetëm vlera jo negative dhe funksionin e shpërndarjes së tij .

………………………………………………………

An - një ndryshore e rastësishme X ka marrë vlerën e An.

Natyrisht, shuma e ngjarjeve A1 A2, . , An është një ngjarje e caktuar, pasi ndryshorja e rastësishme merr domosdoshmërisht të paktën një nga vlerat x1, x2, xn.

Prandaj, P (A1 È A2 È . È An) = 1.

Për më tepër, ngjarjet A1, A2, ., An janë të papajtueshme, pasi një ndryshore e rastësishme në një eksperiment të vetëm mund të marrë vetëm një nga vlerat x1, x2, ., xn. Nga teorema e mbledhjes për ngjarje të papajtueshme, marrim

P(A1)+P(A2)+ .+P(An)=1,

dmth p1+p2+. +pn = 1, ose, me pak fjalë,

Prandaj, shuma e të gjithë numrave të vendosur në rreshtin e dytë të tabelës 1, e cila jep ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme X, duhet të jetë e barabartë me një.

SHEMBULL 1. Lëreni variablin e rastësishëm X të jetë numri i pikave të rrotulluara kur rrokulliset një kërpudhë. Gjeni ligjin e shpërndarjes (në formën e tabelës).

Vlera e rastësishme X merr vlera

x1=1, x2=2, … , x6=6

me probabilitete

p1= p2 = … = p6 =

Ligji i shpërndarjes jepet nga tabela:

tabela 2

SHEMBULL 2. Shpërndarja binomiale. Konsideroni një ndryshore të rastësishme X - numrin e shfaqjeve të ngjarjes A në një seri eksperimentesh të pavarura, në secilën prej të cilave A ndodh me probabilitet p.

Ndryshorja e rastësishme X padyshim mund të marrë një nga vlerat e mëposhtme:

0, 1, 2, ., k, ., n.

Probabiliteti i një ngjarjeje që konsiston në faktin që ndryshorja e rastësishme X do të marrë një vlerë të barabartë me k përcaktohet nga formula e Bernoulli:

Рn(k)= ku q=1- р.

Një shpërndarje e tillë e një ndryshoreje të rastësishme quhet shpërndarje binomiale ose shpërndarje Bernoulli. Shpërndarja e Bernoulli është plotësisht e specifikuar nga dy parametra: numri n i të gjitha provave dhe probabiliteti p me të cilin ndodh ngjarja në çdo provë individuale.

Kushti për shpërndarjen binomiale merr formën:

Për të vërtetuar vlefshmërinë e kësaj barazie, mjafton identiteti

(q+px)n=

vendos x=1.

SHEMBULL 3. Shpërndarja Poisson. Ky është emri i shpërndarjes së probabilitetit të formës:

P(k)= .

Përcaktohet nga një parametër i vetëm (pozitiv) a. Nëse ξ është një ndryshore e rastësishme që ka një shpërndarje Poisson, atëherë parametri përkatës a - është vlera mesatare e kësaj ndryshoreje të rastësishme:

a=Mξ=, ku M është pritshmëria matematikore.

Ndryshorja e rastësishme është:

SHEMBULL 4. shpërndarja eksponenciale.

Nëse koha është një ndryshore e rastësishme, le ta shënojmë me τ, në mënyrë që

ku 0<λ=const, t ³ 0, причем, если t=0, то P(t)=0.

Vlera mesatare e ndryshores së rastësishme t është:

Dendësia e shpërndarjes ka formën:

4) Shpërndarja normale

Le të jenë variabla të rastësishme të pavarura, të shpërndara identike dhe le Nëse termat janë mjaftueshëm të vegjël dhe numri n është mjaft i madh, - nëse për n à ∞ pritshmëria matematikore e ndryshores së rastësishme Мξ dhe varianca Dξ e barabartë me Dξ=M(ξ–Μξ)2, janë të tilla që Мξ~ а, Dξ~σ2, atëherë

- shpërndarje normale ose gausiane

.

5) Shpërndarja gjeometrike. Le të tregojmë ξ numrin e provave që i paraprijnë "suksesit" të parë. Nëse supozojmë se çdo test zgjat një njësi kohe, atëherë ξ mund ta konsiderojmë si kohën e pritjes deri në “suksesin” e parë. Shpërndarja duket si kjo:

Р(k)=p(1-p)k, (k=0, 1, 2) p>0

6) Shpërndarja hipergjeometrike.

Ka N - objekte ndër të cilat n - "objekte të veçanta". Ndër të gjitha objektet, k-objektet zgjidhen rastësisht. Gjeni probabilitetin që midis objekteve të zgjedhura të jetë e barabartë me r - "objekte të veçanta". Shpërndarja duket si kjo:

7) Shpërndarja e Paskalit.

Le të x - numri total"dështimet" që i paraprijnë ardhjes së "suksesit" të ri. Shpërndarja duket si kjo:

Funksioni i shpërndarjes ka formën:

Një shpërndarje ekuiprobabile nënkupton që ndryshorja e rastësishme x mund të marrë çdo vlerë në interval me të njëjtën probabilitet. Në këtë rast, dendësia e shpërndarjes llogaritet si

Grafikët e densitetit të shpërndarjes dhe funksionit të shpërndarjes janë paraqitur më poshtë.

Para se të shpjegohet koncepti i "zhurmës së bardhë", është e nevojshme të jepen një sërë përkufizimesh.

Një funksion i rastësishëm është një funksion i një argumenti jo të rastësishëm t, i cili, për çdo vlerë fikse të argumentit, është një ndryshore e rastësishme. Për shembull, nëse U është një ndryshore e rastësishme, atëherë funksioni X(t)=t2U është i rastësishëm.

Seksioni i një funksioni të rastësishëm është një ndryshore e rastësishme që korrespondon me një vlerë fikse të argumentit të funksionit të rastit. Në këtë mënyrë, funksion i rastësishëm mund të konsiderohet si një grup variablash të rastësishëm (X(t)), në varësi të parametrit t.

Ndryshore e rastësishme Një sasi quhet që, si rezultat i provave të kryera në të njëjtat kushte, merr vlera të ndryshme, në përgjithësi, në varësi të faktorëve të rastësishëm që nuk merren parasysh. Shembuj të variablave të rastësishëm: numri i pikave në kallëp, numri i artikujve me defekt në grumbull, devijimi i pikës së goditjes së predhës nga objektivi, koha koha e funksionimit pajisje etj.. Të dallojë variablat e rastësishme diskrete dhe të vazhdueshme. Diskret Quhet një ndryshore e rastësishme, vlerat e mundshme të së cilës formojnë një grup të numërueshëm, të fundëm ose të pafundëm (d.m.th., një grup, elementët e të cilit mund të numërohen).

të vazhdueshme Quhet një ndryshore e rastësishme, vlerat e mundshme të së cilës plotësojnë vazhdimisht një interval të fundëm ose të pafundëm të boshtit numerik. Numri i vlerave të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është gjithmonë i pafund.

Variablat e rastësishëm do të shënohen me shkronja të mëdha të fundit të alfabetit latin: X, Y, ...; vlerat e një ndryshoreje të rastësishme - me shkronja të vogla: X, y.... Në këtë mënyrë, X Tregon të gjithë grupin e vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe X - Një kuptim specifik.

ligji i shpërndarjes Një ndryshore e rastësishme diskrete është një korrespondencë e dhënë në çdo formë midis vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe probabiliteteve të tyre.

Lërini vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme X Janë . Si rezultat i testit, ndryshorja e rastësishme do të marrë një nga këto vlera, d.m.th. Një ngjarje nga një grup i plotë ngjarjesh të papajtueshme në çift do të ndodhë.

Le të dihen edhe probabilitetet e këtyre ngjarjeve:

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme X Mund të shkruhet në formën e një tabele të quajtur Pranë shpërndarjes Ndryshore diskrete e rastësishme:

Seria e shpërndarjes është e barabartë (kushti i normalizimit).

Shembulli 3.1. Gjeni ligjin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete X - numri i dukurive të “shqiponjës” në dy hedhje monedhash.

Funksioni i shpërndarjes është një formë universale e vendosjes së ligjit të shpërndarjes si për ndryshoret e rastësishme diskrete ashtu edhe për ato të vazhdueshme.

Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishmeX Funksioni thirret F(X), Përcaktohet në vijën e plotë numerike si më poshtë:

F(X)= P(X< х ),

d.m.th. F(X) ekziston një probabilitet që ndryshorja e rastit X Merr një vlerë më të vogël se X.

Funksioni i shpërndarjes mund të paraqitet grafikisht. Për një ndryshore të rastësishme diskrete, grafiku ka një formë të shkallëzuar. Le të ndërtojmë, për shembull, një grafik të funksionit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të dhënë nga seria e mëposhtme (Fig. 3.1):

Oriz. 3.1. Grafiku i funksionit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete

Kërcimet e funksionit ndodhin në pika që korrespondojnë me vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme dhe janë të barabarta me probabilitetet e këtyre vlerave. Në pikat e ndërprerjes, funksioni F(X) është e vazhdueshme në të majtë.

Grafiku i funksionit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është një kurbë e vazhdueshme.

Oriz. 3.2. Grafiku i funksionit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme

Funksioni i shpërndarjes ka këto karakteristika të dukshme:

1) , 2) , 3) ,

4) në .

Ne do të quajmë një ngjarje që konsiston në faktin se një ndryshore e rastësishme X Merr një vlerë X, I përket një intervali gjysmë të mbyllur A£ X< B, Duke goditur një ndryshore të rastësishme në intervalin [ A, B).

Teorema 3.1. Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme të bjerë në intervalin [ A, B) është e barabartë me rritjen e funksionit të shpërndarjes në këtë interval:

Nëse e zvogëlojmë intervalin [ A, B), Duke supozuar se, atëherë në kufi, formula (3.1) në vend të probabilitetit të goditjes së intervalit jep probabilitetin e goditjes së pikës, d.m.th., probabilitetin që ndryshorja e rastësishme të marrë vlerën A:

Nëse funksioni i shpërndarjes ka një ndërprerje në pikë A, Pastaj kufiri (3.2) barazohet me vlerën kërcim funksioni F(X) në pikën X=A, Domethënë, probabilitetet që ndryshorja e rastësishme do të marrë vlerën A (Fig. 3.3, POR). Nëse ndryshorja e rastësishme është e vazhdueshme, d.m.th., funksioni është i vazhdueshëm F(X), atëherë kufiri (3.2) është i barabartë me zero (Fig. 3.3, B)

Kështu, probabiliteti i ndonjë vlere të veçantë të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është zero. Megjithatë, kjo nuk do të thotë se ngjarja është e pamundur. X=A, Ai thotë vetëm se frekuenca relative e kësaj ngjarje do të priret në zero me një rritje të pakufizuar të numrit të testeve.

Oriz. 3.3. Kërcimi i funksionit të shpërndarjes

Për variablat e rastësishme të vazhdueshme, së bashku me funksionin e shpërndarjes, përdoret një formë tjetër e specifikimit të ligjit të shpërndarjes - dendësia e shpërndarjes.

Nëse është probabiliteti për të goditur intervalin, atëherë raporti karakterizon densitetin me të cilin probabiliteti shpërndahet në afërsi të pikës. X. Kufiri i kësaj lidhjeje në , d.m.th. e. derivat, quhet Dendësia e shpërndarjes(densiteti i shpërndarjes së probabilitetit, densiteti i probabilitetit) i një ndryshoreje të rastësishme X. Ne pranojmë të shënojmë densitetin e shpërndarjes

.

Kështu, dendësia e shpërndarjes karakterizon probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të bjerë në afërsi të pikës X.

Grafiku i densitetit të shpërndarjes quhet gara të shtrembërPërkufizimet(Figura 3.4).

Oriz. 3.4. Lloji i densitetit të shpërndarjes

Bazuar në përkufizimin dhe vetitë e funksionit të shpërndarjes F(X), është e lehtë të përcaktohen vetitë e mëposhtme të densitetit të shpërndarjes F(X):

1) F(X)³0

2)

3)

4)

Për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme, për shkak të faktit se probabiliteti për të goditur një pikë është zero, barazitë e mëposhtme vlejnë:

Shembulli 3.2. Vlera e rastësishme X Specifikuar nga dendësia e shpërndarjes

Kërkohet:

A) gjeni vlerën e koeficientit POR;

B) gjeni funksionin e shpërndarjes;

C) gjeni probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të bjerë në intervalin (0, ).

Funksioni i shpërndarjes ose dendësia e shpërndarjes përshkruan plotësisht një ndryshore të rastësishme. Shpesh, megjithatë, kur zgjidhen probleme praktike, nuk ka nevojë për njohuri të plotë të ligjit të shpërndarjes, mjafton të dish vetëm disa prej tij. tipare të karakterit. Për ta bërë këtë, në teorinë e probabilitetit, përdoren karakteristikat numerike të një ndryshoreje të rastësishme, duke shprehur veti të ndryshme të ligjit të shpërndarjes. Karakteristikat kryesore numerike janë MatematikorePritshmëria, varianca dhe devijimi standard.

Vlera e pritshme Karakterizon pozicionin e një ndryshoreje të rastësishme në boshtin e numrave. Kjo është një vlerë mesatare e një ndryshoreje të rastësishme rreth së cilës grupohen të gjitha vlerat e saj të mundshme.

Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme X Të simbolizuara M(X) ose T. Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskrete është shuma e produkteve të çiftëzuara të të gjitha vlerave të mundshme të ndryshores së rastësishme dhe probabiliteteve të këtyre vlerave:

Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme përcaktohet duke përdorur një integral të papërshtatshëm:

Bazuar në përkufizimet, është e lehtë të verifikohet vlefshmëria e vetive të mëposhtme pritje matematikore:

1. (pritshmëria matematikore e një ndryshoreje jo të rastësishme NGA E barabartë me vlerën më jo të rastësishme).

2. Nëse ³0, atëherë ³0.

4. Nëse dhe të pavarur, pastaj .

Shembulli 3.3. Gjeni pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme diskrete të dhënë nga një seri shpërndarjesh:

Zgjidhje.

=0×0,2 + 1×0,4 + 2×0,3 + 3×0,1=1,3.

Shembulli 3.4. Gjeni pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme të dhënë nga dendësia e shpërndarjes:

.

Zgjidhje.

Dispersioni dhe devijimi standard Ato janë karakteristika të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme, ato karakterizojnë përhapjen e vlerave të mundshme të saj në lidhje me pritshmërinë matematikore.

dispersion D(X) ndryshore e rastësishme X Pritshmëria matematikore e devijimit në katror të një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore quhet. Për një ndryshore të rastësishme diskrete, varianca shprehet me shumën:

(3.3)

Dhe për të vazhdueshme - integrale

(3.4)

Varianca ka dimensionin e katrorit të një ndryshoreje të rastësishme. karakteristikë e shpërndarjes, Përputhja në madhësiStee me ndryshore të rastësishme, është devijimi standard.

Karakteristikat e shpërndarjes:

1) janë konstante. Veçanërisht,

3)

Veçanërisht,

Vini re se llogaritja e variancës sipas formulës (3.5) shpesh rezulton të jetë më e përshtatshme sesa me formula (3.3) ose (3.4).

Vlera quhet kovarianca variablat e rastësishëm.

Nese nje , pastaj vlera

thirrur Koeficienti i korrelacionit variablat e rastësishëm.

Mund të tregohet se nëse , atëherë sasitë janë të varura në mënyrë lineare: ku

Vini re se nëse ata janë të pavarur, atëherë

Shembulli 3.5. Gjeni variancën e një ndryshoreje të rastësishme të dhënë nga seria e shpërndarjes nga Shembulli 1.

Zgjidhje. Për të llogaritur variancën, duhet të dini pritshmërinë matematikore. Për një ndryshore të rastësishme të dhënë më sipër, u gjet: M=1.3. Ne llogarisim variancën duke përdorur formulën (3.5):

Shembulli 3.6. Ndryshorja e rastësishme jepet nga dendësia e shpërndarjes

Gjeni variancën dhe devijimin standard.

Zgjidhje. Së pari gjejmë pritshmërinë matematikore:

(si një integral i një funksioni tek mbi një interval simetrik).

Tani ne llogarisim variancën dhe devijimin standard:

1. Shpërndarja binomiale. Ndryshorja e rastësishme , e barabartë me numrin e "SUKSESET" në skemën e Bernulit, ka një shpërndarje binomiale: , .

Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme e shpërndarë sipas ligjit binomial është

.

Varianca e kësaj shpërndarjeje është .

2. Shpërndarja Poisson ,

Pritshmëria matematikore dhe varianca e një ndryshoreje të rastësishme me shpërndarje Poisson , .

Shpërndarja Poisson përdoret shpesh kur kemi të bëjmë me numrin e ngjarjeve që ndodhin në një hark kohor ose hapësinor, si numri i makinave që vijnë në një lavazh në një orë, numri i ndalimeve të makinës në javë, numri e aksidenteve rrugore etj.

Ndryshorja e rastit ka Shpërndarja gjeometrike me parametër nëse merr vlera me probabilitete . Një ndryshore e rastësishme me një shpërndarje të tillë ka kuptim Numrat e testit të parë të suksesshëm në skemën e Bernulit me probabilitet suksesi . Tabela e shpërndarjes duket si kjo:

3. Shpërndarja normale. Ligji normal i shpërndarjes së probabilitetit zë një vend të veçantë midis ligjeve të tjera të shpërndarjes. Në teorinë e probabilitetit, vërtetohet se dendësia e probabilitetit të shumës së pavarur ose I varur dobët, terma uniformisht të vegjël (d.m.th., duke luajtur përafërsisht të njëjtin rol) me një rritje të pakufizuar të numrit të tyre i afrohet ligjit të shpërndarjes normale sa më afër që të dëshirohet, pavarësisht se çfarë ligjesh të shpërndarjes kanë këto terma (qëndror teorema e kufirit A. M. Lyapunova).

Dendësia e shpërndarjes probabilitetet X thirrni funksionin f(x)është derivati ​​i parë i funksionit të shpërndarjes F(x):

Koncepti i densitetit të shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme X për sasi diskrete nuk aplikohet.

Dendësia e probabilitetit f(x) quhet funksioni i shpërndarjes diferenciale:

Prona 1. Dendësia e shpërndarjes është një vlerë jo negative:

Prona 2. Integrali jo i duhur i densitetit të shpërndarjes në intervalin nga në është i barabartë me një:

Shembulli 1.25. Jepet funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X:

f(x).

Zgjidhja: Dendësia e shpërndarjes është e barabartë me derivatin e parë të funksionit të shpërndarjes:

1. Jepet funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X:

Gjeni dendësinë e shpërndarjes.

2. Është dhënë funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X:

Gjeni dendësinë e shpërndarjes f(x).

1.3. Karakteristikat numerike të rastësishme të vazhdueshme

sasive

Vlera e pritshme ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X, vlerat e mundshme të të cilave i përkasin të gjithë boshtit Oh, përcaktohet nga barazia:

Supozohet se integrali konvergjon absolutisht.

a,b), pastaj:

f(x)është dendësia e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme.

Dispersion ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X, vlerat e mundshme të të cilave i përkasin të gjithë boshtit, përcaktohet nga barazia:

rast i veçantë. Nëse vlerat e ndryshores së rastësishme i përkasin intervalit ( a,b), pastaj:

Probabiliteti që X do të marrë vlerat që i përkasin intervalit ( a,b), përcaktohet nga barazia:

.

Shembulli 1.26. Ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X

Gjeni pritshmërinë matematikore, variancën dhe probabilitetin e goditjes së një ndryshoreje të rastësishme X në intervalin (0; 0.7).

Zgjidhja: Ndryshorja e rastësishme shpërndahet në intervalin (0,1). Le të përcaktojmë densitetin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X:

a) Pritshmëria matematikore :

b) Dispersion

në)

Detyrat për punë e pavarur:

1. Ndryshore e rastësishme X dhënë nga funksioni i shpërndarjes:

M(x);

b) dispersion D(x);

X në intervalin (2,3).

2. Vlera e rastësishme X

Gjeni: a) pritjen matematikore M(x);

b) dispersion D(x);

c) përcaktoni probabilitetin e goditjes së një ndryshoreje të rastësishme X në intervalin (1; 1.5).

3. Vlera e rastësishme X jepet nga funksioni i shpërndarjes integrale:

Gjeni: a) pritjen matematikore M(x);

b) dispersion D(x);

c) përcaktoni probabilitetin e goditjes së një ndryshoreje të rastësishme X në interval.

1.4. Ligjet e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme

1.4.1. Shpërndarja uniforme

Ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X ka një shpërndarje uniforme në intervalin [ a,b], nëse në këtë segment dendësia e shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme është konstante, dhe jashtë saj është e barabartë me zero, d.m.th.

Oriz. katër.

; ; .

Shembulli 1.27. Një autobus i disa rrugëve lëviz në mënyrë uniforme me një interval prej 5 minutash. Gjeni probabilitetin që një ndryshore e rastësishme e shpërndarë në mënyrë uniforme X– koha e pritjes së autobusit do të jetë më pak se 3 minuta.

Zgjidhja: Vlera e rastësishme X- shpërndahet në mënyrë uniforme gjatë intervalit.

Dendësia e probabilitetit: .

Në mënyrë që koha e pritjes të mos kalojë 3 minuta, pasagjeri duhet të arrijë në stacionin e autobusit brenda 2 deri në 5 minuta pas nisjes së autobusit të mëparshëm, d.m.th. vlerë e rastësishme X duhet të bjerë brenda intervalit (2;5). Se. probabiliteti i dëshiruar:

Detyrat për punë të pavarur:

1. a) gjeni pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme X shpërndahet në mënyrë uniforme në intervalin (2; 8);

b) gjeni variancën dhe devijimin standard të një ndryshoreje të rastësishme X, shpërndahet në mënyrë uniforme në intervalin (2;8).

2. Akrepi i minutave të një ore elektrike kërcen në fund të çdo minutë. Gjeni probabilitetin që në një moment të caktuar ora të tregojë kohën që ndryshon nga koha e vërtetë jo më shumë se 20 sekonda.

1.4.2. Shpërndarja eksponenciale (eksponenciale).

Ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X shpërndahet në mënyrë eksponenciale nëse densiteti i probabilitetit të tij ka formën:

ku është parametri i shpërndarjes eksponenciale.

Në këtë mënyrë

Oriz. 5.

Karakteristikat numerike:

Shembulli 1.28. Vlera e rastësishme X- koha e funksionimit të llambës - ka një shpërndarje eksponenciale. Përcaktoni probabilitetin që llamba të zgjasë të paktën 600 orë nëse jetëgjatësia mesatare e llambës është 400 orë.

Zgjidhja: Sipas kushtit të problemit, pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme Xështë e barabartë me 400 orë, pra:

;

Probabiliteti i dëshiruar, ku

Së fundi:

Detyrat për punë të pavarur:

1. Shkruani funksionin e dendësisë dhe shpërndarjes së ligjit eksponencial, nëse parametri .

2. Vlera e rastësishme X

Gjeni pritshmërinë matematikore dhe variancën e një sasie X.

3. Vlera e rastësishme X dhënë nga funksioni i shpërndarjes së probabilitetit:

Gjeni pritjen matematikore dhe devijimin standard të një ndryshoreje të rastësishme.

1.4.3. Shpërndarja normale

normale quhet shpërndarja e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X, dendësia e të cilit ka formën:

ku a– pritshmëria matematikore, – devijimi standard X.

Probabiliteti që X do të marrë një vlerë që i përket intervalit:

, ku

është funksioni Laplace.

Një shpërndarje që ka ; , d.m.th. me një densitet probabiliteti quhet standard.

Oriz. 6.

Probabiliteti që vlera absolute e devijimit të jetë më e vogël se një numër pozitiv:

.

Në veçanti, kur a= 0 barazia është e vërtetë:

Shembulli 1.29. Vlera e rastësishme X shpërndahet normalisht. Devijimi standard. Gjeni probabilitetin që devijimi i një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore në vlerë absolute të jetë më e vogël se 0.3.

Zgjidhja: .

Detyrat për punë të pavarur:

1. Shkruani densitetin e probabilitetit të shpërndarjes normale të një ndryshoreje të rastësishme X, duke e ditur atë M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Pritshmëria matematikore dhe devijimi standard i një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë normalisht X janë përkatësisht 20 dhe 5. Gjeni probabilitetin që si rezultat i testit X do të marrë vlerën që përmban intervali (15;20).

3. Defekte të rastësishme matjet i nënshtrohen ligjit normal me devijim standard mm dhe pritshmëri matematikore a= 0. Gjeni probabilitetin që gabimi i të paktën njërës nga 3 matjet e pavarura të mos kalojë 4 mm në vlerë absolute.

4. Disa substanca peshohen pa gabime sistematike. Gabimet e rastësishme të peshimit i nënshtrohen ligjit normal me një devijim standard r. Gjeni probabilitetin që peshimi të kryhet me një gabim jo më të madh se 10 g në vlerë absolute.

Konceptet e pritjes matematikore M(X) dhe dispersion D(X) e prezantuar më herët për një ndryshore të rastësishme diskrete mund të zgjerohet në variabla të rastësishme të vazhdueshme.

· Pritshmëria matematikore M(X) ndryshorja e vazhdueshme e rastësishme X përcaktohet nga barazia:

me kusht që ky integral të konvergjojë.

· Dispersioni D(X) ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X përcaktohet nga barazia:

· Devijimi standardσ( X) ndryshorja e vazhdueshme e rastësishme përcaktohet nga barazia:

Të gjitha vetitë e pritjes dhe shpërndarjes matematikore të konsideruara më herët për variablat e rastësishme diskrete janë gjithashtu të vlefshme për ato të vazhdueshme.

Problemi 5.3. Vlera e rastësishme X dhënë nga funksioni diferencial f(x):

Gjej M(X), D(X), σ( X), si dhe P(1 < X< 5).

Zgjidhja:

M(X)= =

+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,

D(X)=

= = /

P 1 =

Detyrat

5.1. X

f(x), si dhe

R(‒1/2 < X< 1/2).

5.2. Ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X dhënë nga funksioni i shpërndarjes:

Gjeni funksionin e shpërndarjes diferenciale f(x), si dhe

R(2π /9< X< π /2).

5.3. Ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X

Gjeni: a) numrin Me; b) M(X), D(X).

5.4. Ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X dhënë nga dendësia e shpërndarjes:

Gjeni: a) numrin Me; b) M(X), D(X).

5.5. X:

Gjej nje) F(X) dhe vizatoni grafikun e tij; b) M(X), D(X), σ( X); c) probabilitetin që në katër prova të pavarura vlera X merr saktësisht 2 herë vlerën që i përket intervalit (1;4).

5.6. Duke pasur parasysh densitetin e shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X:

Gjej nje) F(X) dhe vizatoni grafikun e tij; b) M(X), D(X), σ( X); c) probabilitetin që në tre prova të pavarura vlera X do të marrë saktësisht 2 herë vlerën që i përket intervalit .

5.7. Funksioni f(X) jepet si:

Me X; b) funksionin e shpërndarjes F(x).

5.8. Funksioni f(x) jepet si:

Gjeni: a) vlerën e konstantës Me, në të cilin funksioni do të jetë densiteti i probabilitetit të disa ndryshoreve të rastësishme X; b) funksionin e shpërndarjes F(x).

5.9. Vlera e rastësishme X, e përqendruar në intervalin (3;7), jepet nga funksioni i shpërndarjes F(X)= X merr vlerën: a) më pak se 5, b) jo më pak se 7.

5.10. Vlera e rastësishme X, e përqendruar në intervalin (-1; 4), jepet nga funksioni i shpërndarjes F(X)= . Gjeni probabilitetin që ndryshorja e rastit X merr vlerën: a) më pak se 2, b) më pak se 4.

5.11.

Gjeni: a) numrin Me; b) M(X); c) probabiliteti R(X > M(X)).

5.12. Ndryshorja e rastësishme jepet nga funksioni i shpërndarjes diferenciale:

Gjej nje) M(X); b) probabiliteti R(X ≤ M(X)).

5.13. Shpërndarja e kohës jepet nga densiteti i probabilitetit:

Vërtetoni këtë f(x) është me të vërtetë një shpërndarje e densitetit të probabilitetit.

5.14. Duke pasur parasysh densitetin e shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X:

Gjeni një numër Me.

5.15. Vlera e rastësishme X shpërndahet sipas ligjit të Simpsonit (trekëndëshi izoscelular) në segmentin [-2; 2] (Fig. 5.4). Gjeni një shprehje analitike për densitetin e probabilitetit f(x) në vijën e plotë numerike.

Oriz. 5.4 Fig. 5.5

5.16. Vlera e rastësishme X shpërndahet sipas ligjit "trekëndësh kënddrejtë" në intervalin (0; 4) (Fig. 5.5). Gjeni një shprehje analitike për densitetin e probabilitetit f(x) në vijën e plotë numerike.

Përgjigjet

P (-1/2<X<1/2)=2/3.

P(2π /9<X< π /2)=1/2.

5.3. a) Me=1/6, b) M(X)=3, c) D(X)=26/81.

5.4. a) Me=3/2, b) M(X)=3/5, c) D(X)=12/175.

b) M(X)= 3 , D(X)= 2/9, σ( X)= /3.

b) M(X)=2 , D(X)= 3, σ( X)= 1,893.

5.7. a) c = ; b)

5.8. a) Me=1/2; b)

5.9. a) 1/4; b) 0.

5.10. a) 3/5; b) 1.

5.11. a) Me= 2; b) M(X)= 2; ne 1- ln 2 2 ≈ 0,5185.

5.12. a) M(X)= π /2; b) 1/2