LEKTURA Nr 3. PUNA. PUSHTETI. ENERGJI

1. PUNA DHE FUQIA NË LËVIZJE KËTHYESE DHE Rrotulluese

Punë me forcë është një madhësi fizike skalare që karakterizon masën e veprimit të një force mbi një trup material. Puna e një force varet nga madhësia e forcës, drejtimi i vektorit të forcës dhe nga zhvendosja e pikës së zbatimit të forcës.

Nëse forca që vepron në trup është konstante në madhësi dhe drejtim, dhe zhvendosja trupi ndodh përgjatë një trajektoreje drejtvizore (Fig. 1), atëherë në këtë rast puna e forcës llogaritet me një formulë të thjeshtë:

ku është këndi ndërmjet vektorit të forcës dhe vektorit të zhvendosjes : .

Në Sistemin Ndërkombëtar të Njësive, puna matet në joule:

Siç shihet nga formula, puna e një force mund të jetë pozitive dhe negative.

Nëse këndi ndërmjet vektorit të forcës dhe vektorit të zhvendosjes është akut (Fig. 1), atëherë forca bën punë pozitive:

Nëse këndi ndërmjet vektorit të forcës dhe vektorit të zhvendosjes është i mpirë, atëherë forca kryen punë negative, në këtë rast themi se puna kryhet kundër forcës:

Nëse vektori i forcës është pingul me vektorin e zhvendosjes dhe , atëherë në këtë rast forca nuk funksionon:

Në rastin e përgjithshëm, nëse vektori i forcës ndryshon në madhësi ose në drejtim, dhe trupi lëviz përgjatë një trajektoreje të lakuar (Fig. 2), koncepti i punës elementare prezantohet:

ku është vektori i zhvendosjes elementare të trupit, është këndi midis vektorit të forcës dhe vektorit të zhvendosjes elementare, d.m.th. . Madhësia e një zhvendosjeje elementare përcaktohet nga fakti se forca që vepron në trup gjatë kësaj zhvendosjeje mbetet konstante si në madhësi ashtu edhe në drejtim.

Puna totale e forcës në lëvizjen përfundimtare të një trupi material nga një pikë në pikë përgjatë një trajektoreje të lakuar është e barabartë me shumën e veprave elementare, domethënë një integral të formës:

Nëse trupi lëviz përgjatë një rruge të mbyllur nën veprimin e një force, atëherë në këtë rast puna e forcës do të llogaritet me formulën:

Në natyrë, ka forca, puna e të cilave përgjatë çdo trajektoreje të mbyllur është gjithmonë (identike) e barabartë me zero, forca të tilla quhen konservatore ose potenciale:

Shembuj të forcave konservatore janë forca e gravitetit, forca elastike, forca e Kulombit dhe disa forca të tjera.

Forcat, puna e të cilave përgjatë ndonjë trajektoreje të mbyllur nuk është identike zero quhen jo-konservatore ose jo potencial:

Shembuj të forcave jo konservatore janë forca e fërkimit rrëshqitës, forca e rezistencës.

Për të karakterizuar shkallën e kryerjes së punës, prezantohet koncepti i fuqisë.

Fuqia mesatare është një sasi fizike skalare e barabartë me raportin e punës së bërë gjatë një periudhe të caktuar kohore me vlerën e kësaj periudhe kohore:

Nëse zvogëlojmë intervalin kohor, atëherë raporti do të priret në një kufi të caktuar. Ky kufi quhet fuqia e menjëhershme e forcës:

Kështu, fuqia e një force është derivati ​​kohor i punës së bërë nga forca.

Duke përdorur përkufizimin e punës mekanike, mund të merrni një formulë të përshtatshme për zgjidhjen e problemeve:

ku është këndi ndërmjet drejtimit të vektorit të forcës dhe vektorit të shpejtësisë, d.m.th. . Pra, fuqia e menjëhershme e zhvilluar nga forca është e barabartë me produktin skalar të vektorit të forcës dhe vektorit të shpejtësisë me të cilin lëviz pika e zbatimit të kësaj force.

Njësitë e fuqisë në Sistemin Ndërkombëtar të Njësive - vat:

Konsideroni tani lëvizjen rrotulluese. Lëreni trupin të rrotullohet në një rreth me rreze nën veprimin e një force që drejtohet pingul me trajektoren e trupit (pra, pingul me rrethin) në çdo pikë (Fig. 3). Në këtë rast, forca dhe zhvendosja elementare e trupit do të jenë gjithmonë kolineare, domethënë, këndi midis këtyre vektorëve do të jetë gjithmonë zero. Prandaj, puna elementare e forcës shprehet me formulën:

Nga ana tjetër, ne e dimë nga gjeometria se gjatësia e harkut të një rrethi me rreze është e barabartë me , ku është këndi në të cilin mbështetet ky hark.

Kështu, mund të shkruajmë shprehjen e mëposhtme për punë elementare:

Është e lehtë të shihet se në rastin tonë produkti i madhësisë së forcës dhe rrezes së rrethit është i barabartë me madhësinë e momentit të forcës në lidhje me boshtin e rrotullimit që kalon nëpër qendrën e rrethit:

Së fundi, mund të shkruajmë shprehjen për punën elementare:

Për të gjetur punën totale që kryhet nga forca kur trupi rrotullohet rreth rrethit përmes një këndi, është e nevojshme të integrohet shprehja e mësipërme:

Nëse momenti i forcës është një vlerë konstante (e cila nuk është aspak e nevojshme), atëherë formula për punën e forcës gjatë lëvizjes rrotulluese merr një formë të thjeshtë:

Duke përdorur formulat e marra, është e lehtë të shihet se fuqia gjatë lëvizjes rrotulluese është e barabartë me produktin e momentit të forcës dhe shpejtësisë këndore të pikës së aplikimit të forcës:

2. ENERGJIA MEKANIKE

Koncepti i punës mekanike është i lidhur ngushtë me konceptin e energjisë mekanike. Energjia, siç e dini, është një masë e vetme sasiore e lëvizjes së materies në të gjitha manifestimet e kësaj lëvizjeje. Dhe puna është një masë e ndryshimit në energjinë e sistemit. Nese nje sistemi mekanik kryen punë pozitive në trupat e jashtëm, atëherë energjia e sistemit në mënyrë të pashmangshme zvogëlohet. Në këtë rast, themi se puna është kryer për shkak të humbjes së energjisë së sistemit, dhe puna është kryer forcat e brendshme sistemet:

Kjo eshte

Dhe, anasjelltas, nëse trupat e jashtëm punojnë në një sistem mekanik, atëherë energjia e tij rritet:

Kjo eshte

Energjia mekanike është e dy llojeve - kinetike dhe potenciale. Energjia kinetike e një sistemi është për shkak të lëvizjes mekanike të këtij sistemi, domethënë energjia kinetike është një masë e lëvizjes mekanike të këtij sistemi.

Le të nxjerrim një formulë që përshkruan energjinë kinetike të sistemit në lëvizje përpara. Le të veprojë në trup një forcë konstante në madhësi dhe drejtim.

Nën veprimin e kësaj force, siç dihet, trupi do të lëvizë në vijë të drejtë dhe do të përshpejtohet në mënyrë të njëtrajtshme. Nxitimi i një trupi përcaktohet nga ligji i dytë i Njutonit:

Le të jetë shpejtësia fillestare e trupit me zero, atëherë pas një momenti të caktuar kohor nga fillimi i lëvizjes, shpejtësia e trupit do të jetë e barabartë me , ku është zhvendosja e trupit ose, e cila është e njëjtë, është zhvendosja e pikës së zbatimit të forcës. Ne e shprehim lëvizjen në terma të shpejtësisë, marrim: .

Tani mund të shkruani një shprehje për punën elementare që bëri forca kur lëvizte trupin në një distancë pafundësisht të vogël:

Ku është këndi ndërmjet vektorit të shpejtësisë dhe vektorit, në lëvizjen translatore ky kënd është gjithmonë i barabartë me zero gradë, pra .

Kështu, puna elementare në lëvizjen përkthimore shprehet me formulën:

Për të gjetur punën totale të bërë nga forca gjatë përshpejtimit të trupit nga qetësia në një shpejtësi të caktuar, është e nevojshme të integrohet shprehja që rezulton nga vlera e shpejtësisë fillestare në vlerën përfundimtare të shpejtësisë:

Siç u përmend më lart, nëse puna kryhet nga një forcë e jashtme, atëherë energjia e sistemit rritet, për më tepër, puna e forcës së jashtme është e barabartë me ndryshimin energjia kinetike sistemet, pra:

Duke krahasuar dy shprehje për të njëjtën sasi, mund të konkludojmë se energjia kinetike e trupit në gjendjen e tij të dytë është:

Prandaj, energjia kinetike në gjendjen e parë përshkruhet me një formulë të ngjashme:

Nëse trupi është në qetësi, atëherë energjia e tij kinetike është identike e barabartë me zero.

Në përgjithësi, energjia kinetike e një trupi që lëviz me një shpejtësi është:

Siç shihet nga formula e përftuar, energjia kinetike varet vetëm nga masa e trupit (një vlerë konstante në fizikën klasike) dhe shpejtësia e menjëhershme e trupit, prandaj, energjia kinetike është funksion i gjendjes së sistemit. dhe nuk varet nga mënyra se si sistemi ka hyrë në këtë gjendje.

Le të kontrollojmë dimensionin e formulës që rezulton:

Që nga shpejtësia e sistemit në të ndryshme sistemet inerciale referenca është e ndryshme, prandaj, energjia kinetike e sistemit varet edhe nga zgjedhja e kornizës së referencës.

Nëse trupi është i përfshirë në lëvizje rrotulluese, atëherë ai gjithashtu ka energji kinetike. Ne marrim një formulë për energjinë kinetike të një trupi rrotullues.

Lëreni një pikë materiale me masë të rrotullohet rreth një rrethi me rreze dhe shpejtësi këndore. Siç e dini, shpejtësia e linjës pika materiale lidhet me shpejtësinë këndore nga relacioni i mëposhtëm:

Ne e zëvendësojmë këtë raport në formulën për energjinë kinetike, marrim:

,

ku është momenti i inercisë së pikës materiale rreth boshtit të rrotullimit.

Formula që rezulton për energjinë kinetike është e vlefshme jo vetëm për një pikë materiale, por edhe për çdo rrotullim absolutisht trup i fortë, i cili ka një moment inercie rreth boshtit të rrotullimit.

Nëse trupi merr pjesë njëkohësisht në lëvizjen përkthimore dhe rrotulluese, atëherë energjia e tij kinetike është shuma e energjisë kinetike të lëvizjes përkthimore dhe energjisë kinetike. lëvizje rrotulluese:

Një shembull është një predhë (plumb) fluturues i shkrepur nga një armë pushkë. Për shkak të pranisë së lëvizjes rrotulluese, energjia kinetike, dhe si rrjedhim forca vdekjeprurëse e predhës, rritet në krahasim me energjinë kinetike të të njëjtit predhë të shkrepur nga një armë e lëmuar.

Energji potenciale sistemet - të kushtëzuara me energji marrëveshje reciproke organet që përbëjnë sistemin dhe natyrën e ndërveprimit ndërmjet tyre.

Koncepti i energjisë potenciale ka kuptim vetëm për sistemet ku veprojnë forcat konservatore të përmendura më sipër. Energjia potenciale në sisteme të tilla është e barabartë me punën e bërë nga forcat e brendshme (konservatore) të sistemit kur sistemi lëviz nga një pozicion i caktuar në një pozicion ku energjia potenciale e sistemit, sipas marrëveshjes, është zero.

Kështu, nuk ka një formulë universale për llogaritjen e energjisë potenciale të një sistemi arbitrar; ajo duhet të merret për secilin sistem specifik në një mënyrë të caktuar.

Ne nxjerrim formulën për energjinë potenciale, për shembull, për një trup të ngritur mbi sipërfaqen e Tokës. Para së gjithash, është e nevojshme të vërtetohet se forcat që veprojnë në një sistem të tillë janë konservatore, dhe koncepti i energjisë potenciale ka vërtet kuptim. Pra, midis çdo trupi të ngritur mbi sipërfaqen e Tokës dhe Tokës, një forcë graviteti e barabartë me , ku është vektori i nxitimit të rënies së lirë, i cili drejtohet vertikalisht poshtë në qendër të Tokës. Le të gjejmë se çfarë pune bën forca e gravitetit kur lëviz një trup nga një pikë mbi sipërfaqen e Tokës në tjetrën. Le të jetë pika e parë mbi sipërfaqen e Tokës në një lartësi, dhe pika e dytë të jetë në një lartësi, përkatësisht, dhe . Trajektorja e trupit nga gjendja e parë në të dytën është një vijë.

Para së gjithash, le të shkruajmë një shprehje për punën elementare të bërë nga forca e gravitetit me një zhvendosje pafundësisht të vogël të trupit:

Ku është këndi ndërmjet vektorit të zhvendosjes elementare dhe vektorit të nxitimit gravitacional, dhe është një zhvendosje vertikale pafundësisht e vogël e trupit.

Për të gjetur punën totale të gravitetit gjatë lëvizjes së trupit nga gjendja e parë në gjendjen e dytë, është e nevojshme të integrohet shprehja për punën elementare:

Le të analizojmë rezultatin - punë e plotë graviteti përcaktohet vetëm nga pozicioni i trupit mbi nivelin e tokës dhe është plotësisht i pavarur nga lloji i trajektores së trupit. Ky fakt është dëshmi se graviteti është një forcë konservatore, që do të thotë se koncepti i energjisë potenciale ka kuptim për sistemin "trup-tokë". Rajoni i hapësirës ku vepron graviteti konservativ quhet fushë potenciale gravitetit.

Meqenëse puna kryhet nga forca e brendshme e sistemit - forca e gravitetit, energjia e sistemit zvogëlohet. Me fjalë të tjera, puna kryhet për shkak të humbjes së energjisë potenciale të sistemit, d.m.th

Duke krahasuar dy shprehje për punën e gravitetit, mund të konkludojmë se trupi në gjendjen e parë, domethënë në një lartësi mbi tokë, kishte një energji potenciale të barabartë me , në gjendjen e dytë energjia potenciale e trupit është, përkatësisht, . Energjia potenciale e një trupi në sipërfaqen e Tokës është zero.

Pra, në rastin e përgjithshëm, energjia potenciale e një trupi të ngritur në një lartësi mbi sipërfaqen e Tokës është e barabartë me:

.

Siç mund ta shohim, energjia potenciale gjithashtu varet vetëm nga masa e trupit dhe lartësia e tij mbi sipërfaqen e tokës, domethënë, energjia potenciale është një funksion i gjendjes së sistemit dhe nuk varet nga mënyra se si erdhi sistemi. këtë shtet.

Një arsyetim i ngjashëm na çon në përfundimin se forca elastike e sustave është gjithashtu një forcë konservatore.

Forca elastike, siç dihet, përshkruhet nga ligji i Hukut: ,

ku është koeficienti i ngurtësisë së sustës, karakteristikë e këtij susta, që ka dimensionin , është deformimi i sustës, pra ndryshimi i madhësisë së sustës.

Shenja minus në ligjin e Hukut tregon se drejtimi i forcës së krijuar në një sustë të deformuar është gjithmonë i kundërt me deformimin e sustës. Në të vërtetë, nëse një sustë shtrihet, atëherë në të lind një forcë që tenton ta kthejë sustën në gjendjen e saj origjinale dhe anasjelltas.

Kështu, një burim elastik i deformuar ka një rezervë të energjisë potenciale, domethënë mund të kryejë disa punë mekanike, më saktë, puna kryhet nga forca elastike që lind në pranverë.

Vlera e energjisë potenciale të ruajtur në një burim të deformuar është e barabartë me:

Energjia potenciale e një sustë të padeformuar () është identike e barabartë me zero.

Kompletuar energji mekanike sistemi është i barabartë me shumën e energjisë kinetike dhe potenciale: ose

Nëse sistemi mekanik është i mbyllur dhe në sistem veprojnë vetëm forcat konservatore, atëherë energjia totale mekanike e të gjithë sistemit mbetet e pandryshuar për çdo ndërveprim midis trupave që përbëjnë këtë sistem. Kjo deklaratë shpreh thelbin e ligjit të ruajtjes së energjisë mekanike. Duhet të theksohet se energjia e secilit trup të sistemit mund të ndryshojë, vetëm energjia totale mekanike e të gjithë sistemit mbetet e pandryshuar.

Matematikisht, ligji i ruajtjes së energjisë mekanike mund të shkruhet në disa mënyra:

ku janë energjitë potenciale dhe kinetike të të gjithë sistemit para ndërveprimit, dhe janë energjitë potenciale dhe kinetike të të gjithë sistemit pas bashkëveprimit.

Nëse në sistem veprojnë forca jo konservatore (forca e fërkimit, etj.) ose sistemi nuk është i mbyllur, domethënë në të veprojnë forcat e jashtme, atëherë në këtë rast energjia totale mekanike nuk mbetet konstante - ligji i ruajtjes së energjisë është nuk plotësohet. Në këtë rast, ndryshimi në energjinë totale mekanike do të jetë i barabartë me punën e prodhuar nga forcat jo konservatore ose forcat e jashtme gjatë kalimit të sistemit nga një gjendje në tjetrën.

Matematikisht, ky fakt shkruhet si më poshtë:

ose ,

ku është sasia e nxehtësisë së çliruar në sistem.

Një shembull i ndërveprimeve në të cilat plotësohet ligji i ruajtjes së energjisë totale mekanike të sistemit është absolutisht elastike goditje ose përplasje. Përplasja (ndikimi) është bashkëveprimi i dy ose më shumë trupave, i cili zgjat një kohë shumë të shkurtër, kur këta trupa afrohen në distanca të vogla. Ndikim absolutisht elastik - një përplasje trupash në të cilat trupat nuk ndodhin i deformuar (fo rma e trupave nuk ndryshon), dhe energjia e përgjithshme kinetike e sistemit të trupave mbetet konstante. Në absolutisht elastike ndikimi, plotësohen si ligji i ruajtjes së energjisë mekanike të sistemit ashtu edhe ligji i ruajtjes së momentit të sistemit.

Krejt e kundërta absolutisht elastike ndikimi është një përplasje trupash, në të cilën trupat që përplasen kombinohen dhe më pas lëvizin si një e tërë. Një ndërveprim i tillë quhet ndikim absolutisht joelastik. Në një ndikim absolutisht joelastik, ligji i ruajtjes së energjisë së sistemit nuk është i kënaqur, por ligji i ruajtjes së momentit të sistemit mbetet i vlefshëm.

3. SHEMBUJ TË ZGJIDHJES SË PROBLEMEVE NË TEMËN "PUNË, FUQI, ENERGJI"

DETYRA Nr. 1. Një predhë automatike kundërajrore AZP-57, me peshë 2,8 kg, fluturon në një lartësi prej 1 km me shpejtësi 800 metra në sekondë dhe rrotullohet me 500 rrotullime në sekondë. Gjeni energjinë e përgjithshme mekanike të predhës, duke e konsideruar atë si një cilindër homogjen të vazhdueshëm.

Zgjidhjen e këtij problemi e fillojmë duke i shkruar të dhënat në gjendjen e problemit të vlerës nën titullin "Diposur", duke qenë se kalibri i predhës është i barabartë me diametrin e tij.

DEPUR:

Gjeni: E

Zgjidhja: siç e dini, energjia totale mekanike e sistemit është e barabartë me shumën e energjisë potenciale dhe kinetike. Në problemin tonë është marrë në konsideratë sistemi predhë-tokë. Energjia potenciale e predhës në këtë sistem është . Energjia kinetike e një predhe është shuma e energjisë kinetike të lëvizjes së saj përkthimore dhe energjisë kinetike të lëvizjes së saj rrotulluese: . Energjia kinetike e lëvizjes përkthimore mund të llogaritet menjëherë, pasi ne i dimë të gjitha sasitë e nevojshme. Për të llogaritur energjinë kinetike të lëvizjes rrotulluese, duhet të dimë momentin e inercisë së predhës dhe shpejtësinë këndore të saj. Meqenëse predha konsiderohet si një cilindër i ngurtë homogjen, momenti i tij i inercisë do të jetë i barabartë me . Shpejtësia këndore është gjithashtu e lehtë për t'u gjetur, pasi ne e dimë shpejtësinë e rrotullimit të predhës: .

Kështu, energjia totale mekanike e predhës në sistemin "projectile-tokë" do të jetë e barabartë me shprehja e mëposhtme: - morëm një formulë pune, pasi ajo i përgjigjet pyetjes së problemit dhe përfshin vetëm sasi të njohura. Le të kontrollojmë dimensionin e formulës së punës: - dimensioni është i saktë, kështu që ju mund të zëvendësoni vlerat numerike. .

Problemi është zgjidhur, por duhet theksuar se energjia kinetike e lëvizjes rrotulluese të predhës në këtë rast është shumë më e vogël se energjia kinetike e lëvizjes së saj përkthimore. Rrotullimi i predhës i jep stabilitet predhës, duke rritur saktësinë e goditjes. Në këtë problem, duhet të kujtojmë se lëvizja rrotulluese dhe përkthimore e predhës nuk është në asnjë mënyrë e lidhur me njëra-tjetrën dhe ndodh në mënyrë të pavarur nga njëra-tjetra.

Problemi numër 2. Një cilindër i fortë me peshë 400 gram rrotullohet pa rrëshqitur në një sipërfaqe horizontale. Shpejtësia lineare e boshtit të cilindrit është 1 metër në sekondë. Përcaktoni energjinë totale kinetike të cilindrit.

DEPUR:

GJENI: K

ZGJIDHJA: Ky problem është shumë i ngjashëm me problemin e mëparshëm. Meqenëse cilindri është i përfshirë në dy lëvizje njëkohësisht, energjia e tij kinetike do të jetë e barabartë me shumën e energjisë kinetike të lëvizjes përkthimore dhe të energjisë kinetike të lëvizjes rrotulluese. Megjithatë, këto lëvizje nuk janë të pavarura, shpejtësia lineare e cilindrit boshti do të përcaktojë gjithashtu shpejtësinë këndore të rrotullimit të cilindrit sipas formulës. Më tej, momenti i inercisë së cilindrit konsiderohet i njohur: . Në këtë fazë, kadetët me siguri do të kenë vështirësi, pasi gjendja e problemit nuk thotë asgjë për rrezen e cilindrit. Prandaj, këshillohet që mësuesi të theksojë edhe një herë rëndësinë e zgjidhjes së problemit në një formë të përgjithshme alfabetike, kështu që kur shprehjet e mësipërme zëvendësohen në formulën e energjisë kinetike, rrezja do të ulet dhe nuk do të jetë e pranishme në formulën përfundimtare. : - kemi marrë një formulë pune, ajo përmban vetëm sasitë e përcaktuara në gjendjen e problemit: masën dhe shpejtësinë. Dimensioni i formulës së punës është i dukshëm dhe nuk kërkon verifikim. Vlera numerike e energjisë kinetike është: .

Detyra numër 3. Energjia kinetike e një volant rrotullues është 1 Kiloxhaule. Nën veprimin e një çift rrotullues të vazhdueshëm frenimi, volant filloi të rrotullohej në mënyrë uniforme dhe, pasi kishte bërë 80 rrotullime, u ndal. Përcaktoni momentin e forcës së frenimit.

Madhësitë e njohura i shkruajmë nën titullin "Dhëna", duke marrë parasysh se në gjendjen përfundimtare sistemi është në qetësi, që do të thotë se energjia e tij në këtë gjendje është e barabartë me zero.

DEPUR:

Gjeni: M

Zgjidhja: për të gjetur momentin e forcës së frenimit duhet të shkruajmë formulën e llogaritjes së punës gjatë lëvizjes rrotulluese: - këtu kemi marrë parasysh faktin që puna është kryer në mënyrë të barabartë. Zhvendosja këndore mund të llogaritet duke ditur se dimensioni korrespondon me realitetin, prandaj, është e mundur të zëvendësohen vlerat numerike të sasive të njohura: . Shenja minus në rezultat tregon se puna është bërë nga trupi, volant kundër forcë e jashtme, duke rezultuar në energjinë e volantit reduktohet në zero.

Problemi numër 4 Volanti rrotullohet sipas ligjit të shprehur nga ekuacioni , ku A \u003d 2 rad, B \u003d 16 rad / s, C \u003d -2 rad / s 2. Momenti i volantit të inercisë 50 kgm 2 . Gjeni energjinë kinetike të volantit dhe fuqinë e tij 3 sekonda pas fillimit të lëvizjes.

E dhënë:

Gjeni: K, N

Zgjidhja: së pari gjejmë energjinë kinetike të lëvizjes rrotulluese të volantit, siç e dini, është e barabartë me . Ne gjejmë shpejtësinë këndore të volantit si derivatin e parë të zhvendosjes këndore: , ne zëvendësojmë shprehjen që rezulton në formulën për energjinë kinetike të volantit, marrim:

- të gjitha sasitë e përfshira në këtë formulë janë të njohura për ne nga gjendja e problemit. Le të kontrollojmë dimensionin e formulës që rezulton: - dimensioni është i saktë, ne zëvendësojmë vlerat numerike të sasive të njohura : . Nxitimi këndor mund të gjendet si derivat i shpejtësisë këndore në lidhje me kohën: . Ne i zëvendësojmë të gjitha këto shprehje në formulën që morëm më lart për fuqinë e forcës:

Kjo është një formulë funksionale, ajo i përgjigjet pyetjes së problemit dhe përfshin vetëm sasi të njohura nga gjendja e problemit. Le të kontrollojmë dimensionin e kësaj formule: - dimensioni i formulës së punës korrespondon me dimensionin e fuqisë, që do të thotë se formula e punës është e saktë, prandaj mund të kalojmë në llogaritjen e vlerës numerike të kësaj sasie: .

Le të analizojmë rezultatin, shenja minus tregon që volantja është ngadalësuar dhe funksionon kundër forcave të jashtme.

3.4. energji mekanike

3.4.1. Energjia kinetike

Energjia kinetike lëvizje përpara trupi përcaktohet nga formula

ku m është masa e trupit në lëvizje; v është moduli i shpejtësisë së tij.

Për të llogaritur energjinë kinetike gjatë lëvizjes përkthimore të një trupi, ekziston një formulë tjetër:

ku P = mv është moduli i momentit të trupit në lëvizje.

Energjia kinetike lëvizje rrotulluese trupi përcaktohet nga formula

W k = m ω 2 R 2 2 ,

ku m është masa e trupit në lëvizje; ω është vlera e shpejtësisë këndore (frekuenca ciklike); R është rrezja e rrethit përgjatë të cilit lëviz trupi.

Për të llogaritur energjinë kinetike gjatë lëvizjes rrotulluese të trupit, ekziston një formulë tjetër:

W k = 2 m π 2 ν 2 R 2 ,

ku ν është frekuenca e rrotullimit të trupit.

Kur zgjidhni problemet për llogaritjen e energjisë kinetike të një sistemi trupash, është e dobishme të mbani mend se ai përbëhet nga energjitë kinetike të secilit prej trupave:

W k sys = W k 1 + W k 2 + ... + W k N ,

ku W k 1 , W k 2 , ..., W kN janë energjitë kinetike të çdo trupi.

Kur zgjidhni probleme për llogaritjen e energjisë kinetike të lëvizjes rrotulluese, formulat e mëposhtme mund të jenë të dobishme:

• marrëdhënia midis shpejtësive lineare v dhe këndore ω:

v = ωR,

ku R është rrezja e rrethit përgjatë të cilit lëviz trupi;

• Marrëdhënia midis frekuencës ciklike ω dhe frekuencës ν:

• marrëdhënia midis frekuencës ciklike ω (ose frekuencës ν) dhe periudhës së rrotullimit të trupit rreth perimetrit T:

ωT = 2π ose ν = 1 T .

Shembulli 24. Koordinata e një trupi që lëviz përgjatë boshtit Oxvaret nga koha sipas ligjit x (t) \u003d 8.0 - 2.0t + t 2, ku koordinata është dhënë në metra, koha është në sekonda. Përcaktoni ndryshimin e energjisë kinetike të trupit nga fillimi i së tretës deri në fund të sekondës së katërt të lëvizjes. Pesha e trupit është 3.0 kg.

Zgjidhje. Energjia kinetike e një trupi përcaktohet nga formula:

W k 1 \u003d m v 2 (t 1) 2;

W k 2 \u003d m v 2 (t 2) 2,

ku v (t 1) është moduli i shpejtësisë së trupit në fillim të sekondës së tretë; v (t 2) - moduli i shpejtësisë së trupit në fund të sekondës së katërt.

Ekuacioni i lëvizjes së trupit

x (t) = 8,0 − 2,0 t + t2

ju lejon të vendosni ligjin e ndryshimit të projeksionit të shpejtësisë në boshtin Ox me kalimin e kohës në formën:

v x (t) = v 0 x + a x t,

ku v 0 x \u003d -2.0 m / s është projeksioni i shpejtësisë fillestare në boshtin Ox; a x = = 2.0 m/s 2 - projeksioni i nxitimit në boshtin e treguar.

Kështu, varësia e projeksionit të shpejtësisë nga koha, e shkruar në mënyrë eksplicite

v x (t) = - 2,0 + 2,0 t,

ju lejon të merrni projeksionet përkatëse të shpejtësisë:

• në fillim të sekondës së tretë të lëvizjes (t 1 \u003d 2 s)

v x (t 1) \u003d - 2,0 + 2,0 t 1 \u003d - 2,0 + 2,0 ⋅ 2 \u003d 2,0 m / s;

• në fund të sekondës së katërt të lëvizjes (t 2 \u003d 4 s)

v x (t 2) \u003d - 2,0 + 2,0 t 2 \u003d - 2,0 + 2,0 ⋅ 4 \u003d 6,0 ​​m / s.

Vlerat e energjisë kinetike të trupit në pikat e treguara në kohë:

• në fillim të sekondës së tretë të lëvizjes (t 1 \u003d 2 s)

W k 1 \u003d 3,0 ⋅ (2,0) 2 2 \u003d 6,0 ​​J,

• në fund të sekondës së katërt të lëvizjes (t 2 \u003d 4 s)

W k 2 \u003d 3,0 ⋅ (6,0) 2 2 \u003d 54 J.

Dallimi i dëshiruar në energjitë kinetike është

Δ W k \u003d W k ​​2 - W k 1 \u003d 54 - 6.0 \u003d 48 J.

Kështu, energjia kinetike e trupit gjatë intervalit kohor të specifikuar u rrit me 48 J.

Shembulli 25. Një trup lëviz në rrafshin xOy përgjatë një trajektoreje të formës x 2 + y 2 \u003d 25 nën veprimin e një force centripetale, vlera e së cilës është 50 N. Masa e trupit është 2.0 kg. Koordinatat x dhe y janë në metra. Gjeni energjinë kinetike të trupit.

Zgjidhje. Trajektorja e lëvizjes së trupit është një rreth me rreze 5,0 m.Sipas gjendjes së problemit në trup vepron vetëm një forcë e drejtuar kah qendra e këtij rrethi.

Moduli i forcës në fjalë është vlerë konstante, pra, trupi ka një nxitim konstant centripetal, i cili nuk ndikon në madhësinë e shpejtësisë së trupit; prandaj, trupi lëviz në një rreth me një shpejtësi konstante.

Figura ilustron këtë rrethanë.

Madhësia e forcës centripetale përcaktohet nga formula

F c. c \u003d m v 2 R,

ku m - pesha e trupit; v është moduli i shpejtësisë së trupit; R është rrezja e rrethit përgjatë të cilit lëviz trupi.

Shprehja për energjinë kinetike të trupit ka formën:

Marrëdhënia e ekuacioneve

F c. me W k = m v 2 R 2 m v 2 = 2 R

ju lejon të merrni një formulë për llogaritjen e energjisë së dëshiruar kinetike:

Energjia kinetike e një sistemi mekanik është energjia e lëvizjes mekanike të këtij sistemi.

Forcë F , duke vepruar në një trup në pushim dhe duke shkaktuar lëvizjen e tij, kryen punë dhe energjia e trupit në lëvizje rritet me sasinë e punës së shpenzuar. Kështu puna dA forcë F në rrugën që ka përshkuar trupi gjatë rritjes së shpejtësisë nga 0 në  , shkon për të rritur energjinë kinetike dE te trupi, d.m.th.

Duke përdorur ligjin e dytë të Njutonit dhe duke shumëzuar me zhvendosje dr , marrim:

Që atëherë

Kështu, një trup me masë m , duke lëvizur me një shpejtësi  , ka energji kinetike

Energji potenciale- energjia mekanike e një sistemi trupash, e përcaktuar nga rregullimi i tyre i ndërsjellë dhe natyra e forcave të ndërveprimit midis tyre.

Kur lëvizni një trup nga një pozicion në tjetrin, puna e forcave që veprojnë gjatë lëvizjes së trupit nga një pozicion në tjetrin nuk varet nga trajektorja përgjatë së cilës ka ndodhur kjo lëvizje, por varet vetëm nga pozicionet fillestare dhe përfundimtare. Fusha të tilla quhen potencial, dhe forcat që veprojnë në to janë konservatore.

Puna e forcave konservatore në një trajektore të mbyllur është zero. Kjo deklaratë është ilustruar në Fig. 2.1.

Vetia e konservatorizmit zotërohet nga forca e gravitetit dhe forca e elasticitetit. Për këto forca, ne mund të prezantojmë konceptin e energjisë potenciale.

Puna e një force konservatore A 12a= A 12b. Punoni në një rrugë të mbyllur A = A 12a+ A 21b= A 12a- A 12b = 0.

Trupi, duke qenë në një fushë potenciale forcash, ka energji potencialeE P . Puna e forcave konservatore me një ndryshim elementar (pafundësisht të vogël) në konfiguracioni i sistemit është i barabartë me rritjen e energjisë potenciale, marrë me një shenjëminus, pasi puna është bërë për shkak të humbjes së energjisë potenciale:

Puna dA i shprehur si prodhim skalar i forcës F për të lëvizur dr dhe shprehja (2.2) mund të shkruhet si

Prandaj, nëse funksioni dihet E P (r ), atëherë nga formula (2.3) mund të gjendet forca F moduli dhe drejtimi.

Energjia potenciale mund të përcaktohet nga (2.3) si

ku C është konstanta e integrimit.

Nëse një trup lëviz pranë sipërfaqes së Tokës, atëherë ai ndikohet nga një forcë graviteti që është konstante në madhësi dhe drejtim. Puna e kësaj force varet vetëm nga zhvendosja vertikale e trupit. Në çdo seksion të shtegut, puna e gravitetit mund të shkruhet në projeksione të vektorit të zhvendosjes në boshtOY:

ku është projeksioni i gravitetit,Δ S y është projeksioni i vektorit të zhvendosjes. Nëse trupi ka lëvizur nga një pikë e vendosur në lartësih 1 , deri në një pikë në lartësih 2 nga origjina e boshtit koordinativ OY (oriz. 2.2.),forca e gravitetit ka bërë punë:

Kjo punë është e barabartë me një ndryshim në një sasi fizike, marrë me shenjën e kundërt. Kjo sasi fizike quhet energji potenciale trupat në fushën e gravitetit

E fq = mgh .

Është e barabartë me punën e bërë nga graviteti kur trupi ulet në nivelin zero.

Puna e gravitetit është e barabartë me ndryshimin e energjisë potenciale të trupit, marrë me shenjën e kundërt.

A = –(E p2- E p1).

Le të gjejmë energjinë potenciale të një trupi të deformuar elastikisht (pranverë). Forcëelasticiteti është proporcional me deformimin:

ku F psh - projeksioni i forcës elastike në bosht X,

k - koeficienti i elasticitetit (për një susta - ngurtësi),

Shenja minus tregon seF psh drejtuar anashdeformimi i kundërt x.

Sipas ligjit të tretë të Njutonit, forca deformuese është e barabartë në vlerë absolute me forcën ynvrazhdësi dhe drejtohet përballë saj, d.m.th.

punë elementare dA , me forcë F x në deformim pafundësisht të vogël dx , është e barabartë me:

një punë të plotë

.

shkon për të rritur energjinë potenciale të sustës. Kështu, energjia potenciale e një trupi të deformuar elastikisht:

Energjia totale mekanike e sistemit:

ato. është e barabartë me shumën e energjive kinetike dhe potenciale.

Le të përbëhet një sistem mekanik arbitrar nga grimca;

- pesha, - shpejtësia - Një prej tyre. Pastaj:

vlerë

quhet energji kinetike -ajo grimcë, dhe

-

energjia kinetike e sistemit mekanik të konsideruar.

Për shkak të shpejtësisë së njëjtë të të gjitha pikave

energjia kinetike e një trupi që lëviz në mënyrë përkthimore përcaktohet nga formula

, ku

është masa e tij, dhe - moduli i shpejtësisë.

Për një trup rrotullues:

energjia kinetike e një trupi në lëvizje rrotulluese përcaktohet nga formula

30.20, Ku

- momenti i inercisë së trupit rreth boshtit të rrotullimit dhe është shpejtësia këndore e saj.

30.6*. Formula për llogaritjen e energjisë kinetike të një trupi që lëviz në mënyrë sferike

Le është qendra e lëvizjes sferike, dhe

- sistemi koordinativ i lidhur me trupin; për më tepër, boshtet e tij janë boshtet kryesore të inercisë së trupit.

Në formulën e përgjithshme -

-

shprehin përmes shpejtësisë këndore dhe karakteristikave gjeometrike të trupit:

Sepse

, atëherë me metodën e ndërrimit të indekseve kemi:

Por

, d.m.th. vektoriale shumëzohet në mënyrë shkallëzuese me vetveten. Marrim parasysh që prodhimet skalare të vektorëve ortogonalë janë të barabartë me zero dhe marrim:

Kur kuadroni, termat e mesëm do të përmbajnë produkte në çift të koordinatave të ndryshme. Kur zëvendësohet në formulë ( a) do të japin momente centrifugale të inercisë. Akset e supozuara janë kryesore dhe, për rrjedhojë, të gjitha momentet centrifugale të inercisë së trupit janë të barabarta me zero. Pra nga duhet të mbahet vetëm shuma e katrorëve:

Pas zëvendësimit në formulë ( a) shprehjet ( b), marrim:

Shprehjet në kllapa rezultojnë në momentet aksiale inerci -

. Kështu rezulton

formula për llogaritjen e energjisë kinetike të një trupi në lëvizje sferike:

30,7*. Formulat për llogaritjen e energjisë kinetike të trupave që lëvizin lirshëm dhe në plan

Duke përdorur ligjin e mbledhjes, shpejtësinë - ajo grimcë përfaqësohet nga shuma e dy përbërësve -

, ku

- shpejtësia e kornizës së referencës së masës qendrore (në raport me atë inerciale);

- shpejtësia - grimca e th në lidhje me sistemin qendër-masë.

Mund të shihet nga dy nënseksionet e mëparshme se dy komponentët e parë (

) shprehjet ( b) kur zëvendësohet në formulë e përgjithshme për të llogaritur energjinë kinetike, ata do të japin përbërësit përkthimor dhe sferik të energjisë totale kinetike -

, , ku

- masë trupore;

- momentet e inercisë së trupit në lidhje me boshtet e tij kryesore qendrore të inercisë;

- projeksionet e shpejtësisë këndore të trupit në lëvizjen e tij sferike në raport me sistemin referues të masës qendrore.

Gjeni se cili është përbërësi i tretë i shprehjes ( b) kur zëvendësohet në një formulë të përgjithshme për llogaritjen e energjisë kinetike.-

bazuar në konceptin e qendrës së masës =

energjia kinetike e një trupi që lëviz lirshëm mund të llogaritet si shuma e dy termave - energjia kinetike e lëvizjes përkthimore (e llogaritur si për një pikë materiale që lëviz me shpejtësinë e qendrës së masës së trupit dhe që zotëron masën e tij) dhe energjia kinetike e trupit në lëvizjen e tij sferike në lidhje me sistemin e referencës qendrore të masës:

.

Ne propozojmë të marrim rezultatin vetë:

Energjia kinetike e një trupi në aeroplan që lëviz mund të llogaritet si shuma e dy termave - energjia kinetike e lëvizjes së tij përkthimore me shpejtësinë e qendrës së masës dhe energjia kinetike në lëvizjen rrotulluese të këtij trupi në raport me qendrën e masës. Sistemi i referencës:

.