Me ndihmën e kësaj kalkulator në internet gjeni ekuacionin për një rrafsh që kalon per pikë e dhënë dhe paralel me rrafshin e dhënë. Jepet një zgjidhje e detajuar me shpjegime. Për të gjetur ekuacionin e rrafshit, vendosni koordinatat e pikës dhe koeficientët e ekuacionit të planit në qeliza dhe klikoni në butonin "Zgjidh".

×

Paralajmërim

Të pastrohen të gjitha qelizat?

Mbylle Pastro

Udhëzim për futjen e të dhënave. Numrat futen si numra të plotë (shembuj: 487, 5, -7623, etj.), numra dhjetorë (p.sh. 67., 102.54, etj.) ose thyesa. Thyesa duhet të shtypet në formën a/b, ku a dhe b (b>0) janë numra të plotë ose dhjetorë. Shembujt 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, etj.

Ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër një pikë të caktuar dhe paralel me një plan të caktuar - teori, shembuj dhe zgjidhje

Le të jepet një pikë M 0 (x 0 , y 0 , z 0) dhe ekuacioni i rrafshit

Të gjithë rrafshet paralele kanë vektorë normalë kolinearë. Prandaj, për të ndërtuar një rrafsh paralel me (1) që kalon nëpër pikë M 0 (x 0 , y 0 , z 0) ju duhet të merrni si vektor normal të planit të dëshiruar, vektorin normal n=(A, B, C) aeroplani (1). Tjetra, ju duhet të gjeni një vlerë të tillë D, në të cilën pika M 0 (x 0 , y 0 , z 0) plotësoi ekuacionin e rrafshët (1):

Vlera zëvendësuese D nga (3) në (1), marrim:

Ekuacioni (5) është ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër pikë M 0 (x 0 , y 0 , z 0) dhe paralel me rrafshin (1).

Gjeni ekuacionin e një rrafshi që kalon në një pikë M 0 (1, −6, 2) dhe paralel me rrafshin:

Zëvendësimi i koordinatave të pikave M 0 dhe koordinatat e vektorit normal në (3), marrim.

Leksioni 5

1. Shkruani një ekuacion për një rrafsh që kalon në një pikë M 0 (1, -2, 5) paralel me planin 7 x-y-2z-1=0.

Zgjidhje. Shënoni me R aeroplan i dhënë, le R 0 është rrafshi i dëshiruar paralel që kalon nëpër pikë M 0 (1, -2, 5).

Konsideroni vektorin normal (pingulor). aeroplan R. Koordinatat e vektorit normal janë koeficientët e variablave në ekuacionin e rrafshit 
.

Sepse aeroplanët R dhe R 0 janë paralele, atëherë vektori pingul me rrafshin R 0 , d.m.th. është vektori normal i rrafshit R 0 .

Ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër një pikë M 0 (x 0 , y 0 , z 0) me normale
:

Zëvendësoni koordinatat e pikave M 0 dhe vektorë normalë në ekuacionin (1):

Duke zgjeruar kllapat, marrim ekuacionin e përgjithshëm të planit (përgjigja përfundimtare):

2. Të hartojë ekuacione kanonike dhe parametrike të drejtëzës që kalon në një pikë M 0 (-2, 3, 0) paralel me vijën
.

Zgjidhje. Shënoni me L linjë e dhënë, le L 0 është drejtëza paralele e dëshiruar që kalon nëpër pikë M 0 (-2,3,0).

Vektor udhëzues drejt L(një vektor jozero paralel me këtë drejtëz) është gjithashtu paralel me drejtëzën L 0 . Prandaj, vektori është vektori i drejtimit të drejtëzës L 0 .

Drejton koordinatat vektoriale janë të barabartë me emëruesit përkatës në ekuacionet kanonike të drejtëzës së dhënë

.

Ekuacionet kanonike të një drejtëze në hapësirë ​​që kalon nëpër një pikë M 0 (x 0 , y 0 , z {l, m, n}

. (2)

Zëvendësoni koordinatat e pikave M 0 dhe vektori i drejtimit në ekuacionin (2) dhe merrni ekuacionet kanonike të drejtëzës:

.

Ekuacionet parametrike vijë në hapësirë ​​që kalon nëpër një pikë M 0 (x 0 , y 0 , z 0) paralel me një vektor jozero {l, m, n), kanë formën:

(3)

Zëvendësoni koordinatat e pikave M 0 dhe vektori i drejtimit në ekuacionet (3) dhe merrni ekuacionet parametrike të drejtëzës:

3. Gjeni një pikë
, simetrik në pikën
, në lidhje me: a) të drejtpërdrejtë
b) aeroplanët

Zgjidhje. a) Hartoni ekuacionin e rrafshit pingul P duke projektuar një pikë
në këtë linjë:

Per te gjetur
përdorim kushtin e pingulitetit të drejtëzës së dhënë dhe rrafshit projektues. Vektori i drejtimit drejt
pingul me rrafshin  vektor
është vektor normal
me rrafshin  Ekuacioni i një rrafshi pingul me një drejtëz të caktuar ka formën ose

Le të gjejmë projeksionin R pikë M drejt. Pika Rështë pika e prerjes së drejtëzës dhe rrafshit, d.m.th. koordinatat e tij duhet të plotësojnë njëkohësisht si ekuacionet e një drejtëze ashtu edhe ekuacionin e një rrafshi. Le të zgjidhim sistemin:

.

Për ta zgjidhur atë, shkruajmë ekuacionin e një drejtëze në një formë parametrike:

Zëvendësimi i shprehjeve për
në ekuacionin e planit, marrim:

Nga këtu gjejmë koordinatat e gjetura - këto janë koordinatat e mesit R segmenti i vijës që lidh një pikë
dhe një pikë simetrike me të

AT kursi shkollor gjeometria, u formulua një teoremë.

Pikat e mesit të një segmenti janë gjysma e shumës së koordinatave përkatëse të skajeve të tij.

Gjetja e koordinatave të një pike
nga formulat për koordinatat e mesit të segmentit:

Ne marrim: Pra
.

Zgjidhje. b) Për të gjetur një pikë simetrike me një pikë
në lidhje me këtë aeroplan P, hidhni pingulen nga pika
te ky aeroplan. Hartoni ekuacionin e një drejtëze me një vektor drejtimi
duke kaluar nëpër pikë
:

Perpendikulariteti i drejtëzës dhe rrafshit do të thotë që vektori i drejtimit të drejtëzës është pingul me rrafshin 
. Pastaj ekuacioni i drejtëzës që projekton pikën
në një plan të caktuar, ka formën:

Duke i zgjidhur së bashku ekuacionet
dhe
gjeni projeksionin R pikë
tek avioni. Për ta bërë këtë, ne rishkruajmë ekuacionet e vijës së drejtë në një formë parametrike:

Zëvendësoni këto vlera
në ekuacionin e planit: Ngjashëm me pikën a), duke përdorur formulat për koordinatat e mesit të segmentit, gjejmë koordinatat e pikës simetrike.
:

Ato.
.

4. Shkruani një ekuacion për një rrafsh që kalon nga a) një drejtëz
paralel me vektorin
; b) përmes dy drejtëzave të kryqëzuara
dhe
(duke vërtetuar më parë se ato kryqëzohen); c) përmes dy drejtëzave paralele
dhe
; d) përmes një vije të drejtë
dhe pikë
.

Zgjidhje. a) Meqenëse drejtëza e dhënë shtrihet në rrafshin e dëshiruar, dhe rrafshi i dëshiruar është paralel me vektorin , atëherë vektori normal i rrafshit do të jetë pingul me vektorin drejtues të drejtëzës
dhe vektor .

Prandaj, si një vektor normal i rrafshit, mund të zgjidhet prodhimi kryq i vektorëve dhe :

Marrim koordinatat e vektorit normal të rrafshit
.

Le të gjejmë një pikë në vijë. Barazimi i raporteve në ekuacionet kanonike të drejtëzës me zero:

,

Gjej
,
,
. Një vijë e caktuar kalon nëpër një pikë
, pra, edhe aeroplani kalon nëpër pikë
. Duke përdorur ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me vektorin , marrim ekuacionin e rrafshit , ose , ose, në fund,
.

Zgjidhje. b) Dy drejtëza në hapësirë ​​mund të kryqëzohen, të kryqëzohen ose të jenë paralele. Duke pasur parasysh vijat e drejta

dhe
(4)

nuk janë paralelë sepse vektorët e tyre të drejtimit
dhe
jo kolinear:
.

Si të kontrolloni nëse linjat kryqëzohen? Është e mundur të zgjidhet sistemi (4) prej 4 ekuacionesh me 3 të panjohura. Nëse sistemi ka një zgjidhje unike, atëherë marrim koordinatat e pikës së kryqëzimit të vijave. Sidoqoftë, për të zgjidhur problemin tonë - ndërtimi i një rrafshi në të cilin shtrihen të dy linjat, pika e tyre e kryqëzimit nuk është e nevojshme. Prandaj, është e mundur të formulohet kushti për kryqëzimin e dy drejtëzave joparalele në hapësirë ​​pa gjetur pikën e kryqëzimit.

Nëse dy drejtëza jo paralele priten, atëherë vektorët e drejtimit
,
dhe bashkimi i pikave të shtrira në vija
dhe
vektori shtrihet në të njëjtin rrafsh, d.m.th. koplanare  produkt i përzier nga këta vektorë është zero:

. (5)

Ne i barazojmë raportet në ekuacionet kanonike të rreshtave me zero (ose me 1 ose çdo numër)

dhe
,

dhe gjeni koordinatat e pikave në drejtëza. Rreshti i parë kalon nëpër pikë
, dhe vija e dytë e drejtë përmes pikës
. Vektorët e drejtimit të këtyre vijave janë përkatësisht të barabartë me
dhe
. marrim

Barazia (5) plotësohet, prandaj linjat e dhëna kryqëzohen. Kjo do të thotë se ka vetëm një aeroplan që kalon nëpër këto dy linja.

Le të kalojmë në pjesën e dytë të problemit - hartimin e ekuacionit të aeroplanit.

Si një vektor normal i aeroplanit, ju mund të zgjidhni produktin kryq të vektorëve të drejtimit të tyre dhe :

Koordinatat e vektorit normal të planit
.

Kemi gjetur se direkt
shkon permes
, pra, në këtë pikë kalon edhe rrafshi i dëshiruar. Marrim ekuacionin e aeroplanit, ose
ose, më në fund,
.

c) Që nga vijat
dhe
janë paralele, atëherë prodhimi vektorial i vektorëve të tyre të drejtimit nuk mund të zgjidhet si vektor normal, do të jetë i barabartë me vektorin zero.

Përcaktoni koordinatat e pikave
dhe
nëpër të cilat kalojnë këto vija. Le
dhe
, pastaj
,
. Le të llogarisim koordinatat e vektorit. Vektor
shtrihet në rrafshin e dëshiruar dhe është jokolinear me vektorin , pastaj si vektor i tij normal ju mund të zgjidhni prodhimin kryq të një vektori
dhe vektori i drejtimit të vijës së parë
:

Kështu që,
.

Aeroplani kalon nëpër një vijë të drejtë
, pra kalon nëpër pikë
. Marrim ekuacionin e rrafshit: , ose .

d) Barazimi i raporteve në ekuacionet kanonike të drejtëzës me zero
, ne gjejme
,
,
. Prandaj, vija kalon nëpër pikë
.

Le të llogarisim koordinatat e vektorit. Vektor
i përket rrafshit të dëshiruar, si vektor normal i tij zgjidhni prodhimin vektorial të vektorit drejtues të drejtëzës
dhe vektor
:

Atëherë ekuacioni i rrafshët ka formën: , ose .

Ky artikull përmban informacionin e nevojshëm për të zgjidhur problemin e përpilimit të ekuacionit të një rrafshi që kalon nëpër një vijë të caktuar dhe një pikë të caktuar. Pas zgjidhjes së këtij problemi në pamje e përgjithshme do të japim zgjidhje të detajuara shembujsh për kompozimin e ekuacionit të një rrafshi që kalon një drejtëz dhe një pikë të caktuar.

Navigimi i faqes.

Gjetja e ekuacionit të një rrafshi që kalon nga një drejtëz dhe një pikë e caktuar.

Le të jetë Oxyz i fiksuar në hapësirën tredimensionale, jepet një vijë a dhe një pikë që nuk shtrihet në vijën a. Le t'i vendosim vetes detyrën: të marrim ekuacionin e rrafshit që kalon në drejtëzën a dhe pikën M 3.

Së pari, le të tregojmë se ekziston një plan i vetëm, ekuacioni i të cilit duam të shkruajmë.

Kujtoni dy aksioma:

• nëpër tre pika të ndryshme të hapësirës që nuk shtrihen në një vijë të drejtë, kalon një plan i vetëm;
• nëse dy pika të dallueshme të një drejtëze shtrihen në një rrafsh të caktuar, atëherë të gjitha pikat e kësaj drejtëze shtrihen në atë rrafsh.

Nga këto pohime rezulton se përmes një vije dhe një pike që nuk shtrihet mbi të, mund të vizatohet një plan. Kështu, në problemin tonë, një rrafsh i vetëm kalon përmes drejtëzës a dhe pikës M 3, dhe ne duhet të shkruajmë ekuacionin e këtij rrafshi.

Tani le të fillojmë të gjejmë ekuacionin e rrafshit që kalon nëpër drejtëzën e dhënë a dhe pikën .

Nëse drejtëza a jepet duke specifikuar koordinatat e dy pikave të ndryshme M 1 dhe M 2 që shtrihen në të, atëherë detyra jonë është të gjejmë ekuacionin e rrafshit që kalon nëpër tre pikat e dhëna M 1 , M 2 dhe M 3 .

Nëse drejtëza a jepet ndryshe, atëherë së pari duhet të gjejmë koordinatat e dy pikave M 1 dhe M 2 të shtrira në drejtëzën a, dhe pas kësaj të shkruajmë ekuacionin e rrafshit që kalon nëpër tri pikat M 1, M 2 dhe M 3, i cili do të jetë ekuacioni i dëshiruar i rrafshit që kalon nga drejtëza a dhe pika M 3 .

Le të kuptojmë se si të gjejmë koordinatat e dy pikave të ndryshme M 1 dhe M 2 që shtrihen në një vijë të caktuar a.

Në një sistem koordinativ drejtkëndor në hapësirë, çdo vijë e drejtë korrespondon me disa ekuacione të një vije të drejtë në hapësirë. Supozojmë se metoda e përcaktimit të vijës a në gjendjen e problemit na lejon të marrim ekuacionet e saj parametrike të vijës në hapësirën e formës . Pastaj, duke supozuar , ne kemi një pikë , i shtrirë në vijën a . Duke i dhënë parametrit një vlerë reale jo zero, nga ekuacionet parametrike të drejtëzës a mund të llogarisim koordinatat e pikës M 2 , e cila gjithashtu shtrihet në drejtëzën a dhe është e ndryshme nga pika M 1 .

Pas kësaj, do të na duhet vetëm të shkruajmë ekuacionin e aeroplanit që kalon nëpër tre të ndryshme dhe nuk shtrihet në një pikë të drejtë dhe, në formën .

Pra, kemi marrë ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër një drejtëz të caktuar a dhe një pikë të caktuar M 3 që nuk shtrihet në drejtëzën a.

Shembuj të përpilimit të ekuacionit të një rrafshi që kalon nëpër një pikë të caktuar dhe një drejtëz.

Le të tregojmë zgjidhjet e disa shembujve, në të cilët do të analizojmë metodën e shqyrtuar për gjetjen e ekuacionit të një rrafshi që kalon nëpër një vijë të caktuar dhe një pikë të caktuar.

Le të fillojmë me rastin më të thjeshtë.

Shembull.

Zgjidhje.

Merrni dy pika të ndryshme në vijën koordinative Ox, për shembull, dhe .

Tani marrim ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër tre pika M 1, M 2 dhe M 3:

Ky ekuacion është ekuacioni i përgjithshëm i dëshiruar i rrafshit që kalon nëpër drejtëzën e dhënë Ox dhe pikën .

Përgjigje:

.

Nëse dihet që rrafshi kalon nëpër një pikë të caktuar dhe një vijë të drejtë të caktuar, dhe dëshironi të shkruani ekuacionin e rrafshit në segmente ose ekuacionin normal të planit, atëherë së pari duhet të merrni ekuacionin e përgjithshëm. aeroplan i dhënë, dhe prej tij shkoni në ekuacionin e rrafshit të formës së kërkuar.

Shembull.

Shkruani ekuacionin normal për një rrafsh që kalon nga një vijë e drejtë. dhe pikë .

Zgjidhje.

Së pari, shkruajmë ekuacionin e përgjithshëm për një plan të caktuar. Për ta bërë këtë, gjejmë koordinatat e dy pikave të ndryshme të shtrira në një vijë të drejtë . Ekuacionet parametrike të kësaj linje kanë formën . Le të korrespondojë pika M 1 me vlerën, dhe pika M 2 -. Ne llogarisim koordinatat e pikave M 1 dhe M 2:

Tani mund të shkruajmë ekuacionin e përgjithshëm të një drejtëze që kalon nëpër një pikë dhe të drejtpërdrejtë :

Mbetet për të marrë formën e kërkuar të ekuacionit të planit duke shumëzuar të dy pjesët e ekuacionit që rezulton me faktorin normalizues .

Përgjigje:

.

Pra, gjetja e ekuacionit të një rrafshi që kalon nëpër një pikë të caktuar dhe një drejtëz të caktuar mbështetet në gjetjen e koordinatave të dy pikave të ndryshme që shtrihen në një drejtëz të caktuar. Kjo është shpesh vështirësia kryesore në zgjidhjen e problemeve të tilla. Si përfundim, do të analizojmë zgjidhjen e shembullit për përpilimin e ekuacionit të një rrafshi që kalon në një pikë të caktuar dhe një drejtëz, i cili përcaktohet nga ekuacionet e dy rrafsheve të kryqëzuara.

Shembull.

Në një sistem koordinativ drejtkëndor Oxyz jepet një pikë dhe një drejtëz a, e cila është vija e kryqëzimit të dy planeve dhe . Shkruani ekuacionin e rrafshit që kalon në drejtëzën a dhe pikën M 3 .

Tre pika në hapësirë ​​që nuk shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë përcaktojnë një rrafsh të vetëm. Shkruani një ekuacion për një rrafsh që kalon nëpër tre pika të dhëna M 1 (X 1 ; në 1 ; z 1), M 2 (X 2 ; në 2 ; z 2), M 3 (X 3 ; në 3 ; z 3). Merrni një pikë arbitrare në aeroplan M(X; në; z) dhe kompozoni vektorë = ( x - x 1 ; në– në 1 ; z-z 1), = (X 2 - X 1 ; në 2 – në 1 ; z 2 -z 1), = (X 3 - X 1 ; në 3 – në 1 ; z 3 -z një). Këta vektorë shtrihen në të njëjtin rrafsh, prandaj janë koplanarë. Duke përdorur kushtin e komplanaritetit të tre vektorëve (produkti i tyre i përzier është i barabartë me zero), marrim ∙ ∙ = 0, d.m.th.

= 0. (3.5)

Ekuacioni (3.5) quhet ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër tri pika të dhëna.

Marrëveshje e ndërsjellë aeroplanët në hapësirë

Këndi midis aeroplanëve

Le të jepen dy avionë

POR 1 X + AT 1 në + NGA 1 z + D 1 = 0,

POR 2 X + AT 2 në + NGA 2 z + D 2 = 0.

Per këndi ndërmjet planeve marrim këndin φ ndërmjet çdo dy vektori pingul me ta (që jep dy kënde, akute dhe të mpirë, duke plotësuar njëri-tjetrin deri në π). Meqenëse vektorët normalë të planeve = ( POR 1 , AT 1 , NGA 1) dhe = ( POR 2 , AT 2 , NGA 2) janë pingul me to, atëherë marrim

cosφ = .

Kushti i pingulitetit të dy rrafsheve

Nëse dy plane janë pingul, atëherë vektorët normalë të këtyre rrafsheve janë gjithashtu pingul dhe produkti i tyre skalar është i barabartë me zero: ∙ = 0. Prandaj, kushti për pingulitetin e dy planeve është

POR 1 POR 2 + AT 1 AT 2 + NGA 1 NGA 2 = 0.

Gjendja e paralelizmit të dy rrafsheve

Nëse rrafshet janë paralele, atëherë edhe vektorët e tyre normalë do të jenë paralelë. Atëherë koordinatat me emër të ngjashëm të vektorëve normalë janë proporcionale. Prandaj, kushti për plane paralele është

= = .

Largësia nga pikaM 0 (x 0 , y 0 , z 0) deri në aeroplan Oh + Wu + Сz + D = 0.

Largësia nga pika M 0 (x 0 , y 0 , z 0) në aeroplan Ah + Wu + Сz + D= 0 është gjatësia e pingulit të tërhequr nga kjo pikë në rrafsh, dhe gjendet me formulën

d= .

Shembulli 1 R(– 1, 2, 7) është pingul me vektorin = (3, - 1, 2).

Zgjidhje

Sipas ekuacionit (3.1) marrim

3(x + 1) – (y - 2) + 2(z- 7) = 0,

3X – në + 2z – 9 = 0.

Shembulli 2 Shkruani një ekuacion për një rrafsh që kalon nëpër një pikë M(2; – 3; – 7) paralel me rrafshin 2 X – 6në – 3z + 5 = 0.

Zgjidhje

Vektori = (2; - 6; - 3) pingul me rrafshin është gjithashtu pingul me rrafshin paralel. Pra, rrafshi i dëshiruar kalon nëpër pikë M(2; – 3; – 7) pingul me vektorin = (2; – 6; – 3). Le të gjejmë ekuacionin e rrafshit me formulën (3.1):

2(X - 2) – 6(y + 3) – 3(z+ 7) = 0,

2X – 6në – 3z – 43 = 0.

Shembulli 3 Gjeni ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër pika M 1 (2; 3; – 1) dhe M 2 (1; 5; 3) pingul me planin 3 X – në + 3z + 15 = 0.

Zgjidhje

Vektori = (3; - 1; 3) pingul me rrafshin e dhënë do të jetë paralel me rrafshin e dëshiruar. Pra, aeroplani kalon nëpër pika M 1 dhe M 2 paralel me vektorin .

Le M(x; y; z) një pikë arbitrare e rrafshit, pastaj vektorët = ( X – 2; në – 3; z+ 1), = (– 1; 2; 4), = (3; – 1; 3) janë koplanare, kështu që produkti i tyre i përzier është i barabartë me zero:

= 0.

Llogaritni përcaktorin duke u zgjeruar mbi elementët e rreshtit të parë:

(X – 2) – (në – 3) + (z + 1) = 0,

10(X - 2) – (– 15)(y - 3) + (– 5)(z+ 1) = 0,

2(X - 2) + 3(y - 3) – (z+ 1) = 0,

2x + 3në – z– 14 = 0 – ekuacioni i rrafshët.

Shembulli 4 Shkruani një ekuacion për një plan që kalon nga origjina pingul me rrafshet 2 X – në + 5z+ 3 = 0 dhe X + 3në – z – 7 = 0.

Zgjidhje

Le të jetë vektori normal i planit të dëshiruar. Sipas kushtit, rrafshi është pingul me këto plane, pra dhe , ku = (2; – 1; 5), = (1; 3; – 1). Pra, si një vektor, ju mund të merrni prodhimin kryq të vektorëve dhe, domethënë, = × .

= = – 14 + 7 + 7 .

Zëvendësimi i koordinatave të vektorit në ekuacionin e rrafshit që kalon nga origjina Oh + Wu + Сz= 0, marrim

– 14X + 7në + 7z = 0,

2X – në – z = 0.

Pyetje për vetë-ekzaminim

1 Shkruani ekuacionin e përgjithshëm të rrafshit.

2 Çfarë është kuptimi gjeometrik koeficientët në X, y, z në ekuacioni i përgjithshëm aeroplanët?

3 Shkruani ekuacionin e rrafshit që kalon nëpër pikë M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) pingul me vektorin = ( POR; AT; NGA).

4 Shkruani ekuacionin e planit në segmente përgjatë boshteve dhe tregoni kuptimin gjeometrik të parametrave të përfshirë në të.

5 Shkruani ekuacionin e rrafshit që kalon nëpër pika M 1 (X 1 ; në 1 ; z 1), M 2 (X 2 ; në 2 ; z 2), M 3 (X 3 ; në 3 ; z 3).

6 Shkruani formulën për gjetjen e këndit ndërmjet dy rrafsheve.

7 Shkruani kushtet për paralelizmin e dy rrafsheve.

8 Shkruani kushtin e pingulitetit të dy planeve.

9 Shkruani formulën me të cilën llogaritet distanca nga një pikë në një plan.

Detyrat për zgjidhje të pavarur

1 Shkruani një ekuacion për një rrafsh që kalon nëpër një pikë M(2; – 1; 1) pingul me vektorin = (1; – 2; 3). ( Përgjigju: X – 2në + 3z – 7 = 0)

2 Pika R(1; - 2; - 2) është baza e pingulit të tërhequr nga origjina në rrafsh. Shkruani një ekuacion për këtë rrafsh. ( Përgjigju: X – 2në – 2z – 9 = 0)

3 Duke pasur parasysh dy pikë M 1 (2; – 1; 3) dhe M 2 (– 1; 2; 4). Shkruani një ekuacion për një rrafsh që kalon nëpër një pikë M 1 është pingul me vektorin . ( Përgjigju: 3X – 3në – z – 6 = 0)

4 Shkruani një ekuacion për një rrafsh që kalon nga tre pika M 1 (3; – 1; 2), M 2 (4; – 1; – 1), M 3 (2; 0; 2). (Përgjigju: 3X + 3në + z – 8 = 0)

5 M 1 (3; – 1; 2) dhe M 2 (2; 1; 3) paralel me vektorin = (3; - 1; 4). ( Përgjigju: 9X + 7në – 5z – 10 = 0)

6 Shkruani një ekuacion për një rrafsh që kalon nëpër një pikë M 1 (2; 3; – 4) paralel me vektorët = (3; 1; – 1) dhe = (1; – 2; 1). ( Përgjigju: X + në + 7z + 14 = 0)

7 Shkruani një ekuacion për një rrafsh që kalon nëpër një pikë M(1; – 1; 1) pingul me rrafshin 2 X – në + z– 1 = 0 dhe X + 2në – z + 1 = 0. (Përgjigju: X – 3në – 5z + 1 = 0)

8 Shkruani një ekuacion për një rrafsh që kalon nëpër pika M 1 (1; 0; 1) dhe M 2 (1; 2; – 3) pingul me rrafshin X – në + z – 1 = 0. (Përgjigju: X + 2në + z – 2 = 0)

9 Gjeni këndin midis planeve 4 X – 5në + 3z– 1 = 0 dhe X – 4në – z + 9 = 0. (Përgjigju: φ = arccos0.7)

10 Gjeni distancën nga pika M(2; – 1; – 1) deri në rrafshin 16 X – 12në + 15z – 4 = 0. (Përgjigju: d = 1)

11 Gjeni pikën e kryqëzimit të tre planeve 5 X + 8në – z – 7 = 0, X + 2në + 3z – 1 = 0, 2X – 3në + 2z – 9 = 0. (Përgjigju: (3; – 1; 0))

12 Shkruani një ekuacion për një plan që kalon nëpër pika M 1 (1; – 2; 6) dhe M 2 (5; - 4; 2) dhe pret segmente të barabarta në akset Oh dhe OU. (Përgjigju: 4X + 4në + z – 2 = 0)

13 Gjeni distancën midis avionëve X + 2në – 2z+ 2 = 0 dhe 3 X + 6në – 6z – 4 = 0. (Përgjigju: d = )

Konsideroni një rrafsh Q në hapësirë. Pozicioni i tij përcaktohet plotësisht duke specifikuar një vektor N pingul me këtë rrafsh dhe një pikë fikse që shtrihet në rrafshin Q. Vektori N pingul me rrafshin Q quhet vektor normal i këtij rrafshi. Nëse me A, B dhe C shënojmë projeksionet e vektorit normal N, atëherë

Le të nxjerrim ekuacionin e rrafshit Q që kalon në pikën e dhënë dhe ka vektorin normal të dhënë. Për ta bërë këtë, merrni parasysh një vektor që lidh një pikë me një pikë arbitrare të planit Q (Fig. 81).

Për çdo pozicion të pikës M në rrafshin Q, vektori MXM është pingul me vektorin normal N të rrafshit Q. Prandaj, prodhimi skalar Le të shkruajmë prodhimin skalar në terma të projeksioneve. Që nga , dhe vektor , atëherë

dhe si rrjedhim

Ne kemi treguar se koordinatat e çdo pike të planit Q plotësojnë ekuacionin (4). Është e lehtë të shihet se koordinatat e pikave që nuk shtrihen në rrafshin Q nuk e plotësojnë këtë ekuacion (në rastin e fundit, ). Prandaj, kemi marrë ekuacionin e kërkuar të rrafshit Q. Ekuacioni (4) quhet ekuacioni i rrafshit që kalon në pikën e dhënë. Është i shkallës së parë në raport me koordinatat aktuale

Pra, ne kemi treguar se çdo plan korrespondon me një ekuacion të shkallës së parë në lidhje me koordinatat aktuale.

Shembulli 1. Shkruani ekuacionin e një rrafshi që kalon në një pikë pingul me vektorin.

Zgjidhje. Këtu. Bazuar në formulën (4), marrim

ose, pas thjeshtimit,

Duke u dhënë koeficientëve A, B dhe C të ekuacionit (4) vlera të ndryshme, mund të marrim ekuacionin e çdo rrafshi që kalon nëpër pikën . Tërësia e planeve që kalojnë nëpër një pikë të caktuar quhet një tufë planesh. Ekuacioni (4), në të cilin koeficientët A, B dhe C mund të marrin çdo vlerë, quhet ekuacioni i një grupi planesh.

Shembulli 2. Shkruani një ekuacion për një rrafsh që kalon nëpër tri pika, (Fig. 82).

Zgjidhje. Le të shkruajmë ekuacionin për një grup planesh që kalojnë nëpër një pikë