În multe probleme legate de variabile aleatoare distribuite normal, este necesar să se determine probabilitatea ca o variabilă aleatoare , respectând legea normală cu parametrii , să se încadreze în intervalul de la până la . Pentru a calcula această probabilitate, folosim formula generală

unde este funcția de distribuție a mărimii .

Să găsim funcția de distribuție a unei variabile aleatoare distribuite conform legii normale cu parametrii . Densitatea de distribuție a valorii este:

. (6.3.2)

De aici găsim funcția de distribuție

. (6.3.3)

Să facem schimbarea variabilei în integrală (6.3.3)

și aduceți-l la forma:

(6.3.4)

Integrala (6.3.4) nu este exprimată în termeni de functii elementare, dar poate fi calculat printr-o funcție specială care exprimă o integrală definită a expresiei sau (așa-numita integrală de probabilitate), pentru care se întocmesc tabele. Există multe varietăți de astfel de funcții, de exemplu:

;

etc. Care dintre aceste funcții să utilizați este o chestiune de gust. Vom alege ca atare funcție

. (6.3.5)

Este ușor de observat că această funcție nu este altceva decât funcția de distribuție pentru o variabilă aleatoare distribuită normal cu parametri.

Suntem de acord să numim funcția o funcție de distribuție normală. Anexa (Tabelul 1) prezintă tabele cu valorile funcției.

Să exprimăm funcția de distribuție (6.3.3) a mărimii cu parametri și în termenii funcției de distribuție normală . Evident,

. (6.3.6)

Acum să găsim probabilitatea de a atinge o variabilă aleatoare pe segmentul de la până la . Conform formulei (6.3.1)

Astfel, am exprimat probabilitatea ca o variabilă aleatoare , distribuită conform legii normale cu orice parametri, să cadă pe diagramă în termenii funcției de distribuție standard , corespunzătoare celei mai simple legi normale cu parametrii 0.1. Rețineți că argumentele funcției din formula (6.3.7) au un sens foarte simplu: există o distanță de la capătul drept al secțiunii până la centrul de dispersie, exprimată în abateri standard; - aceeași distanță pentru capătul din stânga al secțiunii, iar această distanță este considerată pozitivă dacă capătul este situat în dreapta centrului de împrăștiere și negativă dacă este la stânga.

Ca orice funcție de distribuție, funcția are următoarele proprietăți:

3. - funcţie nedescrescătoare.

În plus, din simetria distribuției normale cu parametrii despre origine, rezultă că

Folosind această proprietate, de fapt, ar fi posibil să se limiteze tabelele funcției doar la valorile pozitive ale argumentului, dar pentru a evita o operație inutilă (scăderea de la una), Tabelul 1 din anexă listează valorile atât pentru argumentele pozitive, cât și pentru cele negative.

În practică, se întâlnește adesea problema calculării probabilității ca o variabilă aleatoare distribuită normal să cadă într-o zonă care este simetrică față de centrul de împrăștiere. Luați în considerare o astfel de secțiune de lungime (Fig. 6.3.1). Să calculăm probabilitatea de a ajunge la acest site folosind formula (6.3.7):

Ținând cont de proprietatea (6.3.8) a funcției și dând partea stângă a formulei (6.3.9) o formă mai compactă, obținem o formulă pentru probabilitatea ca o variabilă aleatoare distribuită conform legii normale să se încadreze într-o secțiunea simetrică față de centrul de împrăștiere:

. (6.3.10)

Să rezolvăm următoarea problemă. Să lăsăm deoparte segmente succesive de lungime din centrul de împrăștiere (Fig. 6.3.2) și să calculăm probabilitatea ca o variabilă aleatorie să cadă în fiecare dintre ele. Deoarece curba legii normale este simetrică, este suficient să amânăm astfel de segmente doar într-o singură direcție.

Conform formulei (6.3.7) găsim:

(6.3.11)

După cum se poate observa din aceste date, probabilitățile de a lovi fiecare dintre următoarele segmente (al cincilea, al șaselea etc.) cu o precizie de 0,001 sunt egale cu zero.

Rotunjind probabilitățile de lovire a segmentelor la 0,01 (până la 1%), obținem trei numere care sunt ușor de reținut:

0,34; 0,14; 0,02.

Suma acestor trei valori este 0,5. Aceasta înseamnă că pentru o variabilă aleatoare distribuită normal, toate dispersiile (până la fracțiuni de procent) se potrivesc în secțiune .

Aceasta permite, cunoscând abaterea standard și așteptarea matematică a unei variabile aleatoare, să se indice aproximativ intervalul valorilor ei practic posibile. O astfel de metodă de estimare a intervalului de valori posibile ale unei variabile aleatoare este cunoscută în statistici matematice numită regula trei sigma. Regula celor trei sigma implică și o metodă aproximativă pentru determinarea abaterii standard a unei variabile aleatoare: ei iau abaterea maximă posibilă practic de la medie și o împart la trei. Desigur, această metodă brută poate fi recomandată numai dacă nu există alte modalități mai precise de a determina .

Exemplul 1. O variabilă aleatoare , distribuită conform legii normale, este o eroare în măsurarea unei anumite distanțe. La măsurare este permisă o eroare sistematică în direcția supraestimării cu 1,2 (m); abaterea standard a erorii de măsurare este de 0,8 (m). Aflați probabilitatea ca abaterea valorii măsurate de la valoarea adevărată să nu depășească 1,6 (m) în valoare absolută.

Soluţie. Eroarea de măsurare este o variabilă aleatoare care respectă legea normală cu parametrii și . Trebuie să găsim probabilitatea ca această cantitate să cadă pe intervalul de la până la . Prin formula (6.3.7) avem:

Folosind tabelele de funcții (Anexă, Tabelul 1), găsim:

; ,

Exemplul 2. Găsiți aceeași probabilitate ca în exemplul anterior, dar cu condiția să nu existe o eroare sistematică.

Soluţie. Prin formula (6.3.10), presupunând , găsim:

.

Exemplul 3. La o țintă care arată ca o bandă (autostradă), a cărei lățime este de 20 m, tragerea se efectuează într-o direcție perpendiculară pe autostradă. Viziunea se realizează de-a lungul liniei centrale a autostrăzii. Abaterea standard în direcția de tragere este egală cu m. Există o eroare sistematică în direcția de tragere: subțirerea este de 3 m. Aflați probabilitatea de a lovi autostrada cu o singură lovitură.

Variabilă aleatorie se numește o variabilă care, în urma fiecărui test, ia o valoare necunoscută anterior, în funcție de cauze aleatorii. Variabilele aleatoare sunt notate cu majuscule latine: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ După tipul lor, variabilele aleatoare pot fi discretși continuu.

Variabilă aleatoare discretă- aceasta este o variabilă atât de aleatorie, ale cărei valori nu pot fi mai mult decât numărabile, adică fie finite, fie numărabile. Numărabilitatea înseamnă că pot fi enumerate valorile unei variabile aleatorii.

Exemplul 1 . Să dăm exemple de variabile aleatoare discrete:

a) numărul de lovituri pe țintă cu $n$ lovituri, aici valorile posibile sunt $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) numărul de steme care au căzut la aruncarea unei monede, aici valorile posibile sunt $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) numărul de nave care au ajuns la bord (un set numărabil de valori).

d) numărul de apeluri care sosesc la centrală (un set numărabil de valori).

1. Legea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete.

O variabilă aleatoare discretă $X$ poate lua valorile $x_1,\dots ,\ x_n$ cu probabilități $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Corespondența dintre aceste valori și probabilitățile lor se numește legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete. De regulă, această corespondență este specificată folosind un tabel, în primul rând al căruia sunt indicate valorile lui $x_1,\dots ,\ x_n$, iar în a doua linie probabilitățile corespunzătoare acestor valori sunt $ p_1,\dots ,\ p_n$.

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(matrice)$

Exemplul 2 . Fie variabila aleatoare $X$ numărul de puncte aruncate atunci când un zar este aruncat. O astfel de variabilă aleatorie $X$ poate lua următoarele valori $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Probabilitățile tuturor acestor valori sunt egale cu $1/6$. Apoi legea distribuției probabilităților pentru variabila aleatoare $X$:

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(matrice)$

cometariu. Deoarece evenimentele $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ formează un grup complet de evenimente în legea distribuției variabilei aleatoare discrete $X$, suma probabilităților trebuie să fie egală cu unu, adică $\sum( p_i)=1$.

2. Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete.

Așteptările matematice ale unei variabile aleatorii specifică valoarea sa „centrală”. Pentru o variabilă aleatorie discretă, așteptarea matematică este calculată ca suma produselor valorilor $x_1,\dots ,\ x_n$ și a probabilităților $p_1,\dots ,\p_n$ corespunzătoare acestor valori, adică: $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. În literatura engleză, se folosește o altă notație $E\left(X\right)$.

Proprietăți așteptări matematice $M\stânga(X\dreapta)$:

1. $M\left(X\right)$ este între cel mai mic și cele mai mari valori variabilă aleatorie $X$.
2. Așteptările matematice ale unei constante este egală cu constanta însăși, adică. $M\left(C\right)=C$.
3. Factorul constant poate fi scos din semnul așteptării: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Așteptările matematice ale sumei variabilelor aleatoare este egală cu suma așteptărilor lor matematice: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Exemplul 3 . Să găsim așteptările matematice ale variabilei aleatoare $X$ din exemplul $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\peste (6))+2\cdot ((1)\peste (6) )+3\cdot ((1)\peste (6))+4\cdot ((1)\peste (6))+5\cdot ((1)\peste (6))+6\cdot ((1 )\peste (6))=3.5.$$

Putem observa că $M\left(X\right)$ se află între cea mai mică ($1$) și cea mai mare ($6$) valori ale variabilei aleatoare $X$.

Exemplul 4 . Se știe că așteptarea matematică a variabilei aleatoare $X$ este egală cu $M\left(X\right)=2$. Găsiți așteptările matematice ale variabilei aleatoare $3X+5$.

Folosind proprietățile de mai sus, obținem $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Exemplul 5 . Se știe că așteptarea matematică a variabilei aleatoare $X$ este egală cu $M\left(X\right)=4$. Găsiți așteptările matematice ale variabilei aleatoare $2X-9$.

Folosind proprietățile de mai sus, obținem $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Dispersia unei variabile aleatoare discrete.

Valorile posibile ale variabilelor aleatoare cu așteptări matematice egale se pot împrăștia diferit în jurul valorilor lor medii. De exemplu, în doi grupuri de elevi GPA pentru examenul de teoria probabilității s-a dovedit a fi egal cu 4, dar într-un grup toți s-au dovedit a fi studenți buni, iar în celălalt grup - doar trei și studenți excelenți. Prin urmare, este nevoie de o astfel de caracteristică numerică a unei variabile aleatoare, care să arate răspândirea valorilor unei variabile aleatoare în jurul așteptărilor sale matematice. Această caracteristică este dispersia.

Dispersia unei variabile aleatoare discrete$X$ este:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

În literatura engleză, se folosește notația $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Foarte des, varianța $D\left(X\right)$ este calculată prin formula $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) stânga(X \dreapta)\dreapta))^2$.

Proprietăți de dispersie$D\stânga(X\dreapta)$:

1. Dispersia este întotdeauna mai mare sau egală cu zero, adică. $D\stanga(X\dreapta)\ge 0$.
2. Dispersia dintr-o constantă este egală cu zero, adică. $D\stanga(C\dreapta)=0$.
3. Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie, cu condiția ca acesta să fie pătrat, i.e. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\dreapta)$.
4. Varianța sumei variabilelor aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestora, i.e. $D\left(X+Y\right)=D\stanga(X\dreapta)+D\stanga(Y\dreapta)$.
5. Varianța diferenței variabilelor aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestora, i.e. $D\left(X-Y\right)=D\stanga(X\dreapta)+D\stanga(Y\dreapta)$.

Exemplul 6 . Să calculăm varianța variabilei aleatoare $X$ din exemplul $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\peste (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\peste (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +((1)\peste (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\peste (12))\aproximativ 2,92.$$

Exemplul 7 . Se știe că varianța variabilei aleatoare $X$ este egală cu $D\left(X\right)=2$. Găsiți varianța variabilei aleatoare $4X+1$.

Folosind proprietățile de mai sus, găsim $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ stânga(X\dreapta)=16\cdot 2=32$.

Exemplul 8 . Se știe că varianța lui $X$ este egală cu $D\left(X\right)=3$. Găsiți varianța variabilei aleatoare $3-2X$.

Folosind proprietățile de mai sus, găsim $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ stânga(X\dreapta)=4\cdot 3=12$.

4. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete.

Metoda de reprezentare a unei variabile aleatoare discrete sub forma unei serii de distribuție nu este singura și, cel mai important, nu este universală, deoarece o variabilă aleatoare continuă nu poate fi specificată folosind o serie de distribuție. Există o altă modalitate de a reprezenta o variabilă aleatoare - funcția de distribuție.

functie de distributie variabila aleatoare $X$ este o funcție $F\left(x\right)$, care determină probabilitatea ca variabila aleatoare $X$ să ia o valoare mai mică decât o valoare fixă ​​$x$, adică $F\left(x\ dreapta)$ )=P\stanga(X< x\right)$

Proprietățile funcției de distribuție:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Probabilitatea ca variabila aleatoare $X$ să ia valori din intervalul $\left(\alpha ;\\beta \right)$ este egală cu diferența dintre valorile funcției de distribuție la sfârșitul acestui interval : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - nedescrescătoare.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \dreapta)=1\ )$.

Exemplul 9 . Să găsim funcția de distribuție $F\left(x\right)$ pentru legea de distribuție a variabilei aleatoare discrete $X$ din exemplul $2$.

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(matrice)$

Dacă $x\le 1$, atunci evident $F\left(x\right)=0$ (inclusiv $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Dacă 1 dolari< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Dacă 2 dolari< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Dacă 3 dolari< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Dacă 4 dolari< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Dacă 5 dolari< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Dacă $x > 6$, atunci $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) + P\stanga(X=4\dreapta)+P\stanga(X=5\dreapta)+P\stanga(X=6\dreapta)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Deci $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ la\ x\le 1,\\
1/6, la \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ la\ 2< x\le 3,\\
1/2, la \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ la\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ la \ 4< x\le 5,\\
1,\ pentru \ x > 6.
\end(matrice)\dreapta.$

Legea normală a distribuției probabilităților

Fără exagerare, poate fi numită lege filozofică. Observând diferite obiecte și procese ale lumii din jurul nostru, întâlnim adesea faptul că ceva nu este suficient și că există o normă:


Iată o vedere de bază funcții de densitate distribuție normală de probabilitate și vă urez bun venit la această lecție cea mai interesantă.

Ce exemple pot fi date? Sunt doar întuneric. Aceasta este, de exemplu, înălțimea, greutatea oamenilor (și nu numai), a lor forță fizică, capacitate mentala etc. Există o „masă” (intr-un fel sau altul)și există abateri în ambele sensuri.

Acestea sunt caracteristici diferite ale obiectelor neînsuflețite (aceleași dimensiuni, greutate). Aceasta este o durată aleatorie a proceselor, de exemplu, timpul unei curse de o sută de metri sau transformarea rășinii în chihlimbar. Din fizică, mi-au venit în minte moleculele de aer: printre ele sunt cele lente, sunt rapide, dar majoritatea se mișcă la viteze „standard”.

Apoi, ne abatem de la centru cu încă o abatere standard și calculăm înălțimea:

Marcarea punctelor pe desen (Culoarea verde)și vedem că acest lucru este destul.

În etapa finală, desenăm cu atenție un grafic și deosebit de atent reflectă-l convexitate / concavitate! Ei bine, probabil că ați realizat cu mult timp în urmă că axa absciselor este asimptotă orizontală, și este absolut imposibil să „urci” pentru asta!

Cu designul electronic al soluției, graficul este ușor de construit în Excel și, în mod neașteptat pentru mine, am înregistrat chiar și un scurt videoclip pe această temă. Dar mai întâi, să vorbim despre cum se schimbă forma curbei normale în funcție de valorile și .

Când creșteți sau descreșteți „a” (cu „sigma”) neschimbat graficul își păstrează forma și se deplasează la dreapta/stânga respectiv. Deci, de exemplu, când funcția ia forma iar graficul nostru „se mută” cu 3 unități la stânga - exact la origine:


O cantitate distribuită normal cu zero așteptări matematice a primit un nume complet natural - centrat; funcția sa de densitate – chiar, iar graficul este simetric față de axa y.

În cazul unei schimbări în „sigma” (cu constanta „a”), graficul „rămâne pe loc”, dar își schimbă forma. Când este mărită, devine mai jos și alungită, ca o caracatiță care își întinde tentaculele. Și invers, la micșorarea graficului devine mai îngustă și mai înaltă- se dovedește „caracatiță surprinsă”. Da, la scădea„sigma” de două ori: graficul precedent se îngustează și se întinde de două ori:

Totul este în deplină concordanță cu transformări geometrice ale graficelor.

Distribuția normală cu valoarea unitară „sigma” se numește normalizat, și dacă este și centrat(cazul nostru), atunci se numește o astfel de distribuție standard. Are o funcție de densitate și mai simplă, care a fost deja întâlnită în teorema locală Laplace: . Distribuția standard și-a găsit aplicație largă în practică și foarte curând îi vom înțelege în sfârșit scopul.

Acum hai sa ne uitam la un film:

Da, foarte bine - cumva nemeritat am rămas în umbră funcția de distribuție a probabilității. Ne amintim de ea definiție:
- probabilitatea ca o variabilă aleatorie să ia o valoare mai mică decât variabila , care „rulează” toate valorile reale până la „plus” infinit.

În interiorul integralei, se folosește de obicei o literă diferită, astfel încât să nu existe „suprapuneri” cu notația, deoarece aici fiecare valoare este atribuită integrală improprie , care este egal cu unii număr din interval.

Aproape toate valorile nu pot fi calculate cu precizie, dar așa cum tocmai am văzut, cu puterea de calcul modernă, acest lucru nu este dificil. Deci, pentru funcție a distribuției standard, funcția Excel corespunzătoare conține, în general, un singur argument:

=NORMSDIST(z)

Unu, doi - și gata:

Desenul arată clar implementarea tuturor proprietățile funcției de distribuție, iar din nuanțele tehnice de aici ar trebui să acordați atenție asimptote orizontaleși un punct de inflexiune.

Acum să ne amintim una dintre sarcinile cheie ale subiectului, și anume, să aflăm cum să găsim - probabilitatea ca o variabilă aleatorie normală va lua o valoare din interval. Din punct de vedere geometric, această probabilitate este egală cu zonăîntre curba normală și axa x din secțiunea corespunzătoare:

dar de fiecare dată măcinați o valoare aproximativă este nerezonabil și, prin urmare, este mai rațional de utilizat formula „ușoară”.:
.

! isi aminteste de asemenea , ce

Aici puteți utiliza din nou Excel, dar există câteva „dar” semnificative: în primul rând, nu este întotdeauna la îndemână, iar în al doilea rând, valorile „gata făcute”, cel mai probabil, vor ridica întrebări din partea profesorului. De ce?

Am mai vorbit în mod repetat despre asta: la un moment dat (și nu cu mult timp în urmă) un calculator obișnuit era un lux, iar modul „manual” de rezolvare a problemei luate în considerare este încă păstrat în literatura educațională. Esența lui este să standardiza valorile „alfa” și „beta”, adică reduc soluția la distribuția standard:

Notă : funcția este ușor de obținut din cazul generalfolosind un liniar substituiri. Apoi și:

iar de la înlocuire urmează doar formula trecerea de la valorile unei distribuții arbitrare la valorile corespunzătoare ale distribuției standard.

De ce este nevoie de asta? Faptul este că valorile au fost calculate cu scrupulozitate de strămoșii noștri și rezumate într-un tabel special, care se află în multe cărți de pe terver. Dar și mai comun este tabelul de valori, despre care ne-am ocupat deja Teorema integrală a Laplace:

Dacă avem la dispoziție un tabel de valori ale funcției Laplace , apoi rezolvăm prin ea:

Valorile fracționale sunt în mod tradițional rotunjite la 4 zecimale, așa cum se face în tabelul standard. Și pentru control Punctul 5 aspect.

iti amintesc ca , și pentru a evita confuzia fi mereu în control, tabelul CE funcționează în fața ochilor tăi.

Răspuns este necesar să fie dat ca procent, astfel încât probabilitatea calculată trebuie înmulțită cu 100 și furnizați rezultatului un comentariu semnificativ:

- cu un zbor de la 5 la 70 m, aproximativ 15,87% din obuze vor cădea

Ne antrenăm pe cont propriu:

Exemplul 3

Diametrul rulmenților fabricați în fabrică este o variabilă aleatorie distribuită în mod normal cu o așteptare de 1,5 cm și o abatere standard de 0,04 cm.Găsiți probabilitatea ca dimensiunea unui rulment luat aleatoriu să varieze între 1,4 și 1,6 cm.

În soluția eșantion și mai jos, voi folosi funcția Laplace ca cea mai comună opțiune. Apropo, rețineți că, conform formulării, aici puteți include capetele intervalului în considerație. Cu toate acestea, acest lucru nu este critic.

Și deja în acest exemplu ne-am întâlnit un caz special– când intervalul este simetric în raport cu așteptarea matematică. Într-o astfel de situație, poate fi scris sub forma și, folosind ciudatenia funcției Laplace, simplifica formula de lucru:

Se apelează parametrul delta deviere din așteptarea matematică, iar inegalitatea dublă poate fi „ambalată” folosind modul:

este probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare să se abate de la așteptarea matematică cu mai puțin de .

Ei bine, soluția care se încadrează într-o singură linie :)
este probabilitatea ca diametrul unui rulment luat la întâmplare să difere de la 1,5 cm cu cel mult 0,1 cm.

Rezultatul acestei sarcini s-a dovedit a fi aproape de unitate, dar aș dori și mai multă fiabilitate - și anume, să aflu limitele în care este diametrul aproape toti rulmenti. Există vreun criteriu pentru asta? Există! La întrebare răspunde așa-zisul

regula trei sigma

Esența sa este aceea practic de încredere este faptul că o variabilă aleatoare distribuită normal va lua o valoare din interval .

Într-adevăr, probabilitatea abaterii de la așteptare este mai mică decât:
sau 99,73%

În ceea ce privește rulmenții, este vorba de 9973 de piese cu un diametru de 1,38 până la 1,62 cm și doar 27 de exemplare „substandard”.

LA cercetare practică Regula trei sigma este de obicei aplicată invers: dacă statistic a constatat că aproape toate valorile variabilă aleatoare în studiu se încadrează într-un interval de 6 abateri standard, atunci există motive întemeiate să credem că această valoare este distribuită conform legii normale. Verificarea se realizează folosind teoria ipotezele statistice.

Continuăm să rezolvăm sarcinile aspre sovietice:

Exemplul 4

Valoarea aleatorie a erorii de cântărire este distribuită conform legii normale cu așteptări matematice zero și o abatere standard de 3 grame. Găsiți probabilitatea ca următoarea cântărire să fie efectuată cu o eroare care să nu depășească 5 grame în valoare absolută.

Soluţie foarte simplu. După condiție, și notăm imediat că la următoarea cântărire (ceva sau cineva) vom obține aproape 100% rezultatul cu o precizie de 9 grame. Dar în problemă există o abatere mai restrânsă și conform formulei :

- probabilitatea ca următoarea cântărire să fie efectuată cu o eroare care să nu depășească 5 grame.

Răspuns:

O problemă rezolvată este fundamental diferită de una aparent similară. Exemplul 3 lectie despre distributie uniforma. A fost o eroare rotunjire rezultatele măsurătorilor, aici vorbim despre eroarea aleatorie a măsurătorilor în sine. Astfel de erori apar din cauza caracteristicilor tehnice ale dispozitivului în sine. (gama de erori admisibile, de regulă, este indicată în pașaportul său), și tot din vina experimentatorului - când, de exemplu, „cu ochi” luăm citiri din săgeata aceleiași scale.

Printre altele, există și așa-numitele sistematic erori de măsurare. Este deja Nu la nimereală erori care apar din cauza configurării sau funcționării incorecte a dispozitivului. Deci, de exemplu, cântarele de podea nereglementate pot „adăuga” în mod constant un kilogram, iar vânzătorul subponderează în mod sistematic cumpărătorii. Sau nu sistematic, pentru că poți schimba. Cu toate acestea, în orice caz, o astfel de eroare nu va fi aleatorie, iar așteptarea sa este diferită de zero.

…Dezvolt urgent un curs de instruire in vanzari =)

Să rezolvăm singuri problema:

Exemplul 5

Diametrul rolei este o variabilă aleatorie distribuită normal, abaterea sa standard este mm. Aflați lungimea intervalului, simetric față de așteptarea matematică, în care lungimea diametrului mărgelei va scădea cu probabilitate.

Articol 5* layout-ul de proiectare a ajuta. Vă rugăm să rețineți că așteptările matematice nu sunt cunoscute aici, dar acest lucru nu interferează cu nimic în rezolvarea problemei.

Și sarcina de examinare, pe care o recomand cu tărie pentru a consolida materialul:

Exemplul 6

O variabilă aleatoare distribuită în mod normal este dată de parametrii săi (așteptările matematice) și (deviația standard). Necesar:

a) notează densitatea de probabilitate și descrie schematic graficul acesteia;
b) aflați probabilitatea ca acesta să ia o valoare din interval ;
c) găsiți probabilitatea ca modulo să se abate de la cel mult ;
d) aplicând regula „trei sigma”, găsiți valorile variabilei aleatoare.

Astfel de probleme sunt oferite peste tot, iar de-a lungul anilor de practică am reușit să rezolv sute și sute dintre ele. Asigurați-vă că exersați desenul manual și utilizarea foilor de calcul pe hârtie ;)

Ei bine, voi analiza un exemplu de complexitate crescută:

Exemplul 7

Densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare are forma . Găsiți , așteptări matematice , varianță , funcție de distribuție , densitate grafică și funcții de distribuție, găsiți .

Soluţie: în primul rând, să fim atenți că condiția nu spune nimic despre natura variabilei aleatoare. În sine, prezența expozantului nu înseamnă nimic: poate fi, de exemplu, demonstrativ sau în general arbitrare distributie continua. Și, prin urmare, „normalitatea” distribuției mai trebuie să fie fundamentată:

Din moment ce functia determinat la orice valoare reală și poate fi redusă la formă , atunci variabila aleatoare este distribuită conform legii normale.

Vă prezentăm. Pentru asta selectați un pătrat complet si organizeaza fracție cu trei etaje:


Asigurați-vă că efectuați o verificare, revenind indicatorul la forma sa originală:

ceea ce am vrut să vedem.

În acest fel:
- pe regula puterii„ciupirea”. Și aici putem nota imediat ceea ce este evident caracteristici numerice:

Acum să găsim valoarea parametrului. Deoarece multiplicatorul distribuției normale are forma și , atunci:
, din care exprimăm și substituim în funcția noastră:
, după care vom trece din nou peste înregistrarea cu ochii și ne vom asigura că funcția rezultată are forma .

Să reprezentăm grafic densitatea:

și graficul funcției de distribuție :

Dacă nu există Excel și chiar și un calculator obișnuit la îndemână, atunci ultimul grafic este ușor de construit manual! La un moment dat, funcția de distribuție preia valoarea și iată

Capitolul 1. Variabilă aleatoare discretă

§ 1. Conceptul de variabilă aleatoare.

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete.

Definiție : Aleatorie este o cantitate care, în urma testului, ia o singură valoare dintr-un set posibil de valori ale sale, necunoscută în prealabil și în funcție de cauze aleatorii.

Există două tipuri de variabile aleatoare: discrete și continue.

Definiție : Se numește variabila aleatoare X discret (discontinuu) dacă mulțimea valorilor sale este finită sau infinită, dar numărabilă.

Cu alte cuvinte, valorile posibile ale unei variabile aleatoare discrete pot fi renumerotate.

Puteți descrie o variabilă aleatoare folosind legea distribuției sale.

Definiție : Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete numită corespondența dintre valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile acestora.

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete X poate fi dată sub forma unui tabel, în primul rând al căruia toate valorile posibile ale variabilei aleatoare sunt indicate în ordine crescătoare, iar în al doilea rând probabilitățile corespunzătoare ale acestora valori, adică

unde р1+ р2+…+ рn=1

Un astfel de tabel se numește o serie de distribuție a unei variabile aleatoare discrete.

Dacă mulțimea de valori posibile ale unei variabile aleatoare este infinită, atunci seria р1+ р2+…+ рn+… converge, iar suma sa este egală cu 1.

Legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete X poate fi reprezentată grafic, pentru care se construiește o linie poligonală într-un sistem de coordonate dreptunghiular, conectând succesiv puncte cu coordonatele (xi;pi), i=1,2,…n. Linia rezultată este numită poligon de distribuție (Fig. 1).

Chimie organică "href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark"> ale chimiei organice sunt egale cu 0,7 și, respectiv, 0,8. Întocmește legea distribuției variabilei aleatoare X - numărul de examene pe care studentul va trece.

Soluţie. Ca urmare a examenului, variabila aleatoare considerată X poate lua una dintre următoarele valori: x1=0, x2=1, x3=2.

Să aflăm probabilitatea acestor valori.Notați evenimentele:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">

Deci, legea distribuției variabilei aleatoare X este dată de tabelul:

Control: 0,6+0,38+0,56=1.

§ 2. Funcția de distribuție

O descriere completă a unei variabile aleatoare este dată și de funcția de distribuție.

Definiție: Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete X se numește funcția F(x), care determină pentru fiecare valoare x probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia o valoare mai mică decât x:

F(x)=P(X<х)

Din punct de vedere geometric, funcția de distribuție este interpretată ca probabilitatea ca o variabilă aleatoare X să ia valoarea care este reprezentată pe dreapta numerică de un punct la stânga punctului x.

1)0≤F(x)≤1;

2) F(x) este o funcție nedescrescătoare pe (-∞;+∞);

3) F(x) - continuă din stânga în punctele x= xi (i=1,2,…n) și continuă în toate celelalte puncte;

4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Dacă legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete X este dată sub forma unui tabel:

atunci funcția de distribuție F(x) este determinată de formula:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

0 pentru x≤ x1,

p1 la x1< х≤ x2,

F(x)= p1 + p2 la x2< х≤ х3

1 pentru x> xn.

Graficul său este prezentat în Fig. 2:

§ 3. Caracteristicile numerice ale unei variabile aleatoare discrete.

Așteptările matematice sunt una dintre caracteristicile numerice importante.

Definiție: Așteptări matematice M(X) Variabila aleatoare discretă X este suma produselor tuturor valorilor sale și probabilitățile lor corespunzătoare:

M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

Așteptările matematice servesc ca o caracteristică a valorii medii a unei variabile aleatorii.

Proprietățile așteptărilor matematice:

1)M(C)=C, unde C este o valoare constantă;

2) M (C X) \u003d C M (X),

3)M(X±Y)=M(X)±M(Y);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), unde X, Y sunt variabile aleatoare independente;

5)M(X±C)=M(X)±C, unde C este o valoare constantă;

Pentru a caracteriza gradul de dispersie a valorilor posibile ale unei variabile aleatoare discrete în jurul valorii sale medii, se utilizează varianța.

Definiție: dispersie D ( X ) variabila aleatoare X este așteptarea matematică a abaterii pătrate a variabilei aleatoare de la așteptarea ei matematică:

Proprietăți de dispersie:

1)D(C)=0, unde C este o valoare constantă;

2)D(X)>0, unde X este o variabilă aleatoare;

3)D(C X)=C2 D(X), unde C este o valoare constantă;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), unde X, Y sunt variabile aleatoare independente;

Pentru a calcula varianța, este adesea convenabil să folosiți formula:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

unde М(Х)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

Varianta D(X) are dimensiunea pătratului unei variabile aleatoare, ceea ce nu este întotdeauna convenabil. Prin urmare, valoarea √D(X) este folosită și ca indicator al dispersiei valorilor posibile ale unei variabile aleatoare.

Definiție: Deviație standard σ(X) variabila aleatoare X se numește rădăcina pătrată a varianței:

Sarcina numărul 2. Variabila aleatoare discretă X este dată de legea distribuției:

Găsiți P2, funcția de distribuție F(x) și reprezentați graficul acesteia, precum și M(X), D(X), σ(X).

Soluţie: Deoarece suma probabilităților valorilor posibile ale variabilei aleatoare X este egală cu 1, atunci

Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1

Găsiți funcția de distribuție F(x)=P(X

Din punct de vedere geometric, această egalitate poate fi interpretată după cum urmează: F(x) este probabilitatea ca o variabilă aleatoare să ia valoarea care este reprezentată pe axa reală de un punct la stânga lui x.

Dacă x≤-1, atunci F(x)=0, deoarece nu există o singură valoare a acestei variabile aleatoare pe (-∞;x);

Dacă -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

Daca 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;х) cad două valori x1=-1 și x2=0;

Daca 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

Daca 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Dacă x>3, atunci F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, deoarece patru valori x1=-1, x2=0,x3=1,x4=2 se încadrează în intervalul (-∞;x) și x5=3.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 pentru x≤-1,

0,1 la -1<х≤0,

0,2 la 0<х≤1,

F(x)= 0,5 la 1<х≤2,

0,7 la 2<х≤3,

1 pentru x>3

Să reprezentăm grafic funcția F(x) (Fig. 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845.

§ 4. Legea distribuției binomiale

variabilă aleatoare discretă, legea lui Poisson.

Definiție: Binom numită legea distribuției unei variabile aleatoare discrete X - numărul de apariții ale evenimentului A în n încercări repetate independente, în fiecare dintre care evenimentul A poate să apară cu probabilitatea p sau să nu apară cu probabilitatea q = 1-p. Atunci Р(Х=m)-probabilitatea de apariție a evenimentului A exact de m ori în n încercări este calculată prin formula Bernoulli:

P(X=m)=Сmnpmqn-m

Așteptările matematice, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare X, distribuite după o lege binară, se găsesc, respectiv, prin formulele:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Probabilitatea evenimentului A - „a obține cinci” în fiecare test este aceeași și egală cu 1/6, adică P(A)=p=1/6, apoi P(A)=1-p=q=5/6, unde

- "picăturile nu sunt cinci."

Variabila aleatoare X poate lua valori: 0;1;2;3.

Găsim probabilitatea fiecăreia dintre valorile posibile ale lui X folosind formula Bernoulli:

P(X=0)=P3(0)=C03p0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

P(X=1)=P3(1)=C13p1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

P(X=2)=P3(2)=C23p2q=3(1/6)2(5/6)1=15/216;

P(X=3)=P3(3)=C33p3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

Acea. legea de distribuție a variabilei aleatoare X are forma:

Control: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

Să găsim caracteristicile numerice ale variabilei aleatoare X:

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

Sarcina numărul 4. Mașină automată ștampilă piese. Probabilitatea ca o piesă fabricată să fie defectă este de 0,002. Găsiți probabilitatea ca între 1000 de părți selectate să fie:

a) 5 defecte;

b) cel puțin unul este defect.

Soluţie: Numărul n=1000 este mare, probabilitatea fabricării unei piese defecte p=0,002 este mică, iar evenimentele luate în considerare (piesa va fi defectă) sunt independente, deci are loc formula Poisson:

Рn(m)= e- λ λm

Să găsim λ=np=1000 0,002=2.

a) Aflați probabilitatea ca să fie 5 piese defecte (m=5):

P1000(5)= e-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

b) Aflați probabilitatea ca cel puțin o piesă defectă să fie.

Evenimentul A - "cel puțin una dintre părțile selectate este defectă" este opusul evenimentului - "toate părțile selectate nu sunt defecte". Prin urmare, P (A) \u003d 1-P (). Prin urmare, probabilitatea dorită este egală cu: Р(А)=1-Р1000(0)=1- e-2 20 \u003d 1-e-2 \u003d 1-0,13534≈0,865.

Sarcini pentru munca independenta.

1.1

1.2. Variabila aleatoare dispersată X este dată de legea distribuției:

Găsiți p4, funcția de distribuție F(X) și trasați graficul acesteia, precum și M(X), D(X), σ(X).

1.3. În cutie sunt 9 pixuri, dintre care 2 nu mai scriu. La întâmplare, luați 3 pixuri cu pâslă. Variabila aleatorie X - numărul de pixuri de scris dintre cele luate. Alcătuiți legea distribuției unei variabile aleatoare.

1.4. Pe raftul bibliotecii sunt 6 manuale plasate aleatoriu, 4 dintre ele sunt legate. Bibliotecarul ia la întâmplare 4 manuale. Variabila aleatoare X este numărul de manuale legate dintre cele luate. Alcătuiți legea distribuției unei variabile aleatoare.

1.5. Biletul are două sarcini. Probabilitatea de a rezolva corect prima problemă este 0,9, a doua este 0,7. Variabila aleatoare X este numărul de probleme rezolvate corect din bilet. Alcătuiți o lege de distribuție, calculați așteptarea matematică și varianța acestei variabile aleatoare și, de asemenea, găsiți funcția de distribuție F (x) și construiți graficul acesteia.

1.6. Trei trăgători trag într-o țintă. Probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură pentru primul trăgător este de 0,5, pentru al doilea - 0,8, pentru al treilea - 0,7. Variabila aleatoare X este numărul de lovituri pe țintă dacă trăgătorii fac câte o lovitură fiecare. Aflați legea distribuției, M(X),D(X).

1.7. Un jucător de baschet aruncă mingea în coș cu o probabilitate de a lovi la fiecare aruncare 0,8. Pentru fiecare lovitură, el primește 10 puncte, iar în caz de ratare, nu i se acordă puncte. Alcătuiți legea distribuției unei variabile aleatoare X-număr de puncte primite de un jucător de baschet pentru 3 aruncări. Găsiți M(X),D(X) și, de asemenea, probabilitatea ca el să obțină mai mult de 10 puncte.

1.8. Pe cartonașe sunt scrise litere, doar 5 vocale și 3 consoane. Se aleg la întâmplare 3 cărți și de fiecare dată cardul luat este returnat înapoi. Variabila aleatoare X este numărul de vocale dintre cele luate. Alcătuiți o lege de distribuție și găsiți M(X),D(X),σ(X).

1.9. În medie, sub 60% din contracte, compania de asigurări plătește sume de asigurare în legătură cu producerea unui eveniment asigurat. Alcătuiește legea repartizării variabilei aleatoare X - numărul de contracte pentru care s-a plătit suma asigurată dintre patru contracte aleatoare aleatorii. Aflați caracteristicile numerice ale acestei mărimi.

1.10. Postul de radio la anumite intervale trimite indicative de apel (nu mai mult de patru) până când se stabilește o comunicare bidirecțională. Probabilitatea de a primi un răspuns la un indicativ de apel este de 0,3. Variabilă aleatorie X-număr de indicative trimise. Alcătuiți legea distribuției și găsiți F(x).

1.11. Sunt 3 chei, dintre care doar una se potrivește în încuietoare. Întocmește o lege de distribuție pentru variabila aleatoare X-număr de încercări de deschidere a încuietorului, dacă cheia încercată nu participă la încercările ulterioare. Găsiți M(X),D(X).

1.12. Se efectuează teste independente succesive ale trei dispozitive pentru fiabilitate. Fiecare dispozitiv ulterior este testat numai dacă cel anterior s-a dovedit a fi fiabil. Probabilitatea de a trece testul pentru fiecare instrument este de 0,9. Compilați legea distribuției variabilei aleatoare X-număr de dispozitive testate.

1.13 .Variabila aleatoare discretă X are trei valori posibile: x1=1, x2, x3 și x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Blocul dispozitivului electronic conține 100 de elemente identice. Probabilitatea de defectare a fiecărui element în timpul T este egală cu 0,002. Elementele funcționează independent. Aflați probabilitatea ca nu mai mult de două elemente să eșueze în timpul T.

1.15. Manualul a fost publicat în 50.000 de exemplare. Probabilitatea ca manualul să fie legat incorect este de 0,0002. Aflați probabilitatea ca circulația să conțină:

a) patru cărți defecte,

b) mai puțin de două cărți defecte.

1 .16. Numărul de apeluri care sosesc la PBX în fiecare minut este distribuit conform legii Poisson cu parametrul λ=1,5. Găsiți probabilitatea ca într-un minut să fie:

a) două apeluri;

b) cel puţin un apel.

1.17.

Găsiți M(Z),D(Z) dacă Z=3X+Y.

1.18. Legile de distribuție a două variabile aleatoare independente sunt date:

Găsiți M(Z),D(Z) dacă Z=X+2Y.

Raspunsuri:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. p3=0,4; 0 pentru x≤-2,

0,3 la -2<х≤0,

F(x)= 0,5 la 0<х≤2,

0,9 la 2<х≤5,

1 pentru x>5

1.2. p4=0,1; 0 pentru x≤-1,

0,3 la -1<х≤0,

0,4 la 0<х≤1,

F(x)= 0,6 la 1<х≤2,

0,7 la 2<х≤3,

1 pentru x>3

M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 pentru x≤0,

0,03 la 0<х≤1,

F(x)= 0,37 la 1<х≤2,

1 pentru x>2

M(X)=2; D(X)=0,62

M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896

1. 8 .

M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(Х) ≈

M(X)=2,4; D(X)=0,96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

M(X)=2; D(X)=2/3

1.14. 1,22e-0,2≈0,999

1.15. a) 0,0189; b) 0,00049

1.16. a) 0,0702; b) 0,77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

capitolul 2 Variabilă aleatoare continuă

Definiție: Continuu denumește valoarea, toate valorile posibile ale cărora umplu complet intervalul finit sau infinit al axei numerice.

Evident, numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare continue este infinit.

O variabilă aleatoare continuă poate fi specificată folosind o funcție de distribuție.

Definiție: F functie de distributie variabila aleatoare continuă X este funcția F(x), care determină pentru fiecare valoare xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13">R

Funcția de distribuție este uneori numită funcție de distribuție cumulativă.

Proprietățile funcției de distribuție:

1)1≤F(x)≤1

2) Pentru o variabilă aleatoare continuă, funcția de distribuție este continuă în orice punct și diferențiabilă peste tot, cu excepția poate în puncte individuale.

3) Probabilitatea ca o variabilă aleatoare X să se încadreze în unul dintre intervalele (a; b), [a; b), [a; b], este egală cu diferența dintre valorile funcției F (x) la punctele a și b, adică P(a<Х

4) Probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X să ia o singură valoare este 0.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Specificarea unei variabile aleatoare continue folosind o funcție de distribuție nu este singura. Să introducem conceptul de densitate de distribuție a probabilității (densitate de distribuție).

Definiție : Probabilitate densitate f ( X ) variabila aleatoare continuă X este derivata funcției sale de distribuție, adică:

Densitatea distribuției de probabilitate este uneori numită funcție de distribuție diferențială sau legea distribuției diferențiale.

Se numește graficul densității distribuției de probabilitate f(x). curba de distribuție a probabilității .

Proprietățile densității probabilității:

1) f(x) ≥0, când xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" înălțime ="62 src="> 0 pentru x≤2,

f(x)= c(x-2) la 2<х≤6,

0 pentru x>6.

Aflați: a) valoarea lui c; b) funcția de distribuție F(x) și construiți graficul acesteia; c) Р(3≤х<5)

Soluţie:

+ ∞

a) Aflați valoarea lui c din condiția de normalizare: ∫ f(x)dx=1.

Prin urmare, -∞

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x

daca 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2;

Gif" width="14" height="62"> 0 pentru x≤2,

F (x) \u003d (x-2) 2/16 la 2<х≤6,

1 pentru x>6.

Graficul funcției F(x) este prezentat în Fig. 3

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 pentru x≤0,

F (x) \u003d (3 arctg x) / π la 0<х≤√3,

1 pentru x>√3.

Găsiți funcția de distribuție diferențială f(x)

Soluţie: Deoarece f (x) \u003d F '(x), atunci

https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24">

Toate proprietățile așteptării și dispersiei matematice considerate mai devreme pentru variabilele aleatoare dispersate sunt valabile și pentru cele continue.

Sarcina numărul 3. Variabila aleatoare X este dată de funcția diferențială f(x):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 +x3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Sarcini pentru soluție independentă.

2.1. O variabilă aleatoare continuă X este dată de o funcție de distribuție:

0 pentru x≤0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 pentru x≤ π/6,

F(х)= - cos 3x la π/6<х≤ π/3,

1 pentru x> π/3.

Aflați funcția de distribuție diferențială f(x) și, de asemenea

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3.

0 pentru x≤2,

f(x)= cu x la 2<х≤4,

0 pentru x>4.

2.4. O variabilă aleatoare continuă X este dată de densitatea distribuției:

0 pentru x≤0,

f(х)= с √х la 0<х≤1,

0 pentru x>1.

Aflați: a) numărul c; b) M(X), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> pentru x,

0 la x.

Aflați: a) F(x) și reprezentați graficul său; b) M(X),D(X), σ(X); c) probabilitatea ca în patru încercări independente valoarea X să ia exact de 2 ori valoarea aparținând intervalului (1; 4).

2.6. Densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X este dată:

f (x) \u003d 2 (x-2) pentru x,

0 la x.

Aflați: a) F(x) și reprezentați graficul său; b) M(X),D(X), σ(X); c) probabilitatea ca în trei teste independente valoarea X să ia exact de 2 ori valoarea aparținând intervalului .

2.7. Funcția f(x) este dată astfel:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. Funcția f(x) este dată astfel:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /patru ; π /4].

Aflați: a) valoarea constantei c, la care funcția va fi densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare X; b) funcţia de distribuţie F(x).

2.9. Variabila aleatoare Х, concentrată pe intervalul (3;7), este dată de funcția de distribuție F(х)= . Găsiți probabilitatea ca

variabila aleatoare X va lua valoarea: a) mai mică de 5, b) nu mai mică de 7.

2.10. Variabila aleatoare X, concentrată pe intervalul (-1; 4),

dat de funcţia de distribuţie F(x)= . Găsiți probabilitatea ca

variabila aleatoare X va lua valoarea: a) mai mică de 2, b) nu mai mică de 4.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

Aflați: a) numărul c; b) M(X); c) probabilitatea P(X > M(X)).

2.12. Variabila aleatoare este dată de funcția de distribuție diferențială:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> .

Aflați: a) M(X); b) probabilitatea Р(Х≤М(Х))

2.13. Distribuția timpului este dată de densitatea de probabilitate:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> pentru x ≥0.

Demonstrați că f(x) este într-adevăr o distribuție de densitate de probabilitate.

2.14. Densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X este dată:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src="> (fig.4) (fig.5)

2.16. Variabila aleatoare X este distribuită conform legii „triunghiului dreptunghic” în intervalul (0; 4) (Fig. 5). Găsiți o expresie analitică pentru densitatea de probabilitate f(x) pe întreaga axă reală.

Răspunsuri

0 pentru x≤0,

f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 pentru x≤ π/6,

F(x)= 3sin 3x la π/6<х≤ π/3,

0 pentru x> π/3. O variabilă aleatoare continuă X are o lege de distribuție uniformă pe un anumit interval (a;b), căruia îi aparțin toate valorile posibile ale lui X, dacă densitatea distribuției de probabilitate f(x) este constantă pe acest interval și este egală cu 0 în afara lui , adică

0 pentru x≤a,

f(x)= pentru a<х

0 pentru x≥b.

Graficul funcției f(x) este prezentat în fig. unu

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 pentru x≤a,

F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(Х)=.

Sarcina numărul 1. Variabila aleatoare X este distribuită uniform pe segment. Găsi:

a) densitatea distribuției de probabilitate f(x) și construiți graficul acesteia;

b) funcția de distribuție F(x) și construiți graficul acesteia;

c) M(X),D(X), σ(X).

Soluţie: Folosind formulele discutate mai sus, cu a=3, b=7, găsim:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> la 3≤х≤7,

0 pentru x>7

Să construim graficul acestuia (Fig. 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 pentru x≤3,

F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">fig.4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 pentru x<0,

f(х)= λе-λх la х≥0.

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X, distribuită conform unei legi exponențiale, este dată de formula:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ(X)=

Astfel, așteptarea matematică și abaterea standard a distribuției exponențiale sunt egale între ele.

Probabilitatea ca X să cadă în intervalul (a;b) se calculează prin formula:

Р(a<Х

Sarcina numărul 2. Durata medie de funcționare a dispozitivului este de 100 de ore. Presupunând că timpul de funcționare al dispozitivului are o lege de distribuție exponențială, găsiți:

a) densitatea distribuției de probabilitate;

b) funcţia de distribuţie;

c) probabilitatea ca timpul de funcționare fără defecțiuni a dispozitivului să depășească 120 de ore.

Soluţie: După condiție, distribuția matematică M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 pentru x<0,

a) f(x)= 0,01e -0,01x pentru x≥0.

b) F(x)= 0 pentru x<0,

1-e -0,01x la x≥0.

c) Găsim probabilitatea dorită folosind funcția de distribuție:

P(X>120)=1-F(120)=1-(1-e-1,2)=e-1,2≈0,3.

§ 3.Legea distribuției normale

Definiție: O variabilă aleatoare continuă X are legea distribuției normale (legea Gauss), dacă densitatea sa de distribuție are forma:

,

unde m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

Curba de distribuție normală se numește curba normala sau gaussiana (fig.7)

Curba normală este simetrică față de dreapta x=m, are un maxim la x=a egal cu .

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X, distribuită conform legii normale, se exprimă prin funcția Laplace Ф (х) după formula:

,

unde este funcția Laplace.

Cometariu: Funcția Ф(х) este impară (Ф(-х)=-Ф(х)), în plus, dacă x>5, putem considera Ф(х) ≈1/2.

Graficul funcției de distribuție F(x) este prezentat în fig. opt

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33">

Probabilitatea ca valoarea absolută a abaterii să fie mai mică decât un număr pozitiv δ este calculată prin formula:

În special, pentru m=0 egalitatea este adevărată:

„Regula celor trei sigma”

Dacă variabila aleatoare X are o lege de distribuție normală cu parametrii m și σ, atunci este practic sigur că valoarea ei se află în intervalul (a-3σ; a+3σ), deoarece

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a)

b) Să folosim formula:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src=">

Conform tabelului de valori al funcției Ф(х) găsim Ф(1,5)=0,4332, Ф(1)=0,3413.

Deci probabilitatea dorită este:

P(28

Sarcini pentru munca independenta

3.1. Variabila aleatoare X este distribuită uniform în intervalul (-3;5). Găsi:

b) funcţia de distribuţie F(x);

c) caracteristici numerice;

d) probabilitatea P(4<х<6).

3.2. Variabila aleatoare X este distribuită uniform pe segment. Găsi:

a) densitatea distribuției f(x);

b) funcţia de distribuţie F(x);

c) caracteristici numerice;

d) probabilitatea Р(3≤х≤6).

3.3. Pe autostradă este instalat un semafor automat, în care semaforul verde este aprins timp de 2 minute pentru vehicule, galben pentru 3 secunde și roșu pentru 30 de secunde etc. Mașina trece de-a lungul autostrăzii la un moment dat. Găsiți probabilitatea ca mașina să treacă de semafor fără să se oprească.

3.4. Trenurile de metrou circulă regulat la intervale de 2 minute. Pasagerul intră pe platformă la un moment dat. Care este probabilitatea ca pasagerul să fie nevoit să aștepte mai mult de 50 de secunde pentru tren? Găsiți așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X - timpul de așteptare al trenului.

3.5. Aflați varianța și abaterea standard a distribuției exponențiale date de funcția de distribuție:

F(x)= 0 la x<0,

1-e-8x pentru x≥0.

3.6. O variabilă aleatoare continuă X este dată de densitatea distribuției de probabilitate:

f(x)=0 la x<0,

0,7 e-0,7x la x≥0.

a) Numiți legea distribuției variabilei aleatoare considerate.

b) Aflați funcția de distribuție F(X) și caracteristicile numerice ale variabilei aleatoare X.

3.7. Variabila aleatoare X este distribuită conform legii exponențiale, dată de densitatea distribuției de probabilitate:

f(x)=0 la x<0,

0,4 e-0,4 x la x≥0.

Aflați probabilitatea ca, în urma testului, X să ia o valoare din intervalul (2.5; 5).

3.8. O variabilă aleatoare continuă X este distribuită conform legii exponențiale dată de funcția de distribuție:

F(x)= 0 la x<0,

1-0,6x la x≥0

Aflați probabilitatea ca, în urma testului, X să ia o valoare din intervalul .

3.9. Așteptările matematice și abaterea standard a unei variabile aleatoare distribuite normal sunt 8 și, respectiv, 2. Aflați:

a) densitatea distribuției f(x);

b) probabilitatea ca, în urma testului, X să ia o valoare din intervalul (10;14).

3.10. Variabila aleatoare X este distribuită în mod normal cu media 3,5 și varianța 0,04. Găsi:

a) densitatea distribuției f(x);

b) probabilitatea ca, în urma testului, X să ia o valoare din intervalul .

3.11. Variabila aleatoare X este distribuită în mod normal cu M(X)=0 și D(X)=1. Care dintre evenimentele: |X|≤0,6 sau |X|≥0,6 are o probabilitate mai mare?

3.12. Variabila aleatoare X este distribuită în mod normal cu M(X)=0 și D(X)=1. Din ce interval (-0,5;-0,1) sau (1;2) într-un test va lua o valoare cu o valoare mai mare probabilitate?

3.13. Prețul curent pe acțiune poate fi modelat folosind o distribuție normală cu M(X)=10den. unitati şi σ (X)=0,3 den. unitati Găsi:

a) probabilitatea ca prețul actual al acțiunii să fie de la 9,8 den. unitati până la 10,4 den. unități;

b) folosirea „regula celor trei sigma” pentru a găsi limitele în care se va situa prețul curent al acțiunii.

3.14. Se cântărește substanța fără erori sistematice. Erorile de cântărire aleatoare sunt supuse legii normale cu raportul rădăcină-pătrată medie σ=5r. Găsiți probabilitatea ca în patru experimente independente eroarea în trei cântăriri să nu apară în valoarea absolută 3r.

3.15. Variabila aleatoare X este distribuită în mod normal cu M(X)=12,6. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare să cadă în intervalul (11,4;13,8) este 0,6826. Găsiți abaterea standard σ.

3.16. Variabila aleatoare X este distribuită în mod normal cu M(X)=12 și D(X)=36. Aflați intervalul în care, cu o probabilitate de 0,9973, variabila aleatoare X va cădea în urma testului.

3.17. O piesă fabricată de o mașină automată este considerată defectă dacă abaterea X a parametrului său controlat de la valoarea nominală depășește 2 unități de măsură în modulo . Se presupune că variabila aleatoare X este distribuită în mod normal cu M(X)=0 și σ(X)=0,7. Ce procent de piese defecte emite mașina?

3.18. Parametrul de detaliu X este distribuit în mod normal cu o așteptare matematică de 2 egală cu valoarea nominală și o abatere standard de 0,014. Aflați probabilitatea ca abaterea lui X de la valoarea nominală modulo să nu depășească 1% din valoarea nominală.

Răspunsuri

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src=">

b) 0 pentru x≤-3,

F(x)=stânga">

3.10. a)f(x)= ,

b) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185.

3.11. |x|≥0,6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. a) Р(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ=1,2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

1.2.4. Variabile aleatoare și distribuțiile lor

Distribuții ale variabilelor aleatoare și funcții de distribuție. Distribuția unei variabile aleatoare numerice este o funcție care determină în mod unic probabilitatea ca o variabilă aleatoare să ia o valoare dată sau să aparțină unui interval dat.

Prima este dacă variabila aleatoare ia un număr finit de valori. Atunci distribuția este dată de funcție P(X = x), dând fiecare valoare posibilă X variabilă aleatorie X probabilitatea ca X = x.

Al doilea este dacă variabila aleatoare ia infinit de valori. Acest lucru este posibil numai atunci când spațiul de probabilitate pe care este definită variabila aleatoare constă dintr-un număr infinit de evenimente elementare. Atunci distribuția este dată de mulțimea de probabilități P(a < X pentru toate perechile de numere a, b astfel încât A . Distribuția poate fi specificată folosind așa-numitul. funcția de distribuție F(x) = P(X definitoriu pentru toate reale X probabilitatea ca variabila aleatoare X ia valori mai mici decât X. Este clar că