Luați în considerare distribuția Weibull, calculați așteptarea ei matematică, varianța, mediana. Folosind funcția MS EXCEL WEIBULL.DIST(), trasăm graficul funcției de distribuție și al densității probabilității. Să generăm o matrice de numere aleatoare și să estimăm parametrii de distribuție.

Distribuție Weibull (Engleză)weibulldistributie) depinde de 2 parametri: α ( alfa)>0(definește forma distribuției) și b (beta)>0(definește scara). această distribuție este dată de următoarea formulă:

Dacă parametrul alfa= 1, atunci Distribuție Weibull se transformă în . Parametru betaîn practică, >=1 este de obicei acceptat.

functie de distributie este dat de următoarea formulă:

Notă: Pentru comoditatea scrierii formulelor în fișierul exemplu pentru parametrii de distribuție alfa și beta creat corespunzator .

Graficele sunt, de asemenea, construite în fișierul exemplu probabilitate densitateși functii de distributie cu valori marcate mijloc, și .

Generarea numerelor aleatorii și estimarea parametrilor

Folosim functie de distributie inversa(sau p- cuantilă, vezi articolul despre), care pentru Distribuții Weibull poate fi exprimat explicit folosind funcții elementare:

Cu această funcție, puteți genera valori variabilă aleatorie, care are Distribuție Weibull. Pentru a face acest lucru, utilizați formula MS EXCEL:

Beta*(-LN(RAND()))^(1/alfa)

Funcția RAND() generează de la 0 la 1, care corespunde doar intervalului de modificare a probabilității (vezi mai jos). exemplu fișă de fișier Generare).

Acum având o matrice de numere aleatoare generate cu parametrii de distribuție dați alfași beta(să fie 200 dintre ei), să estimăm parametrii de distribuție.

Estimarea parametrilor alfași beta se poate face folosind regresia liniară. Pentru aceasta, este necesar să aduceți Funcția de distribuție Weibull la forma unei drepte obişnuite dată de ecuaţia Y=aX+b. Pentru a face acest lucru, vom face următoarele transformări:

Compararea expresiei

cu ecuația de linie dreaptă Y=ax+b obținem că:

Y se potrivește cu partea stângă a expresiei,
X - corespunde lui ln(x),
parametru de distribuție beta corespunde coeficientului A, care este responsabil pentru panta dreptei față de axa x.
expresia –beta*ln(alfa) corespunde coeficientului b (ordonata punctului de intersecție cu axa Oy).

De fapt, am construit practic (parcela de probabilitate) pentru Distribuții Weibull: dacă ln(x), reprezentat de-a lungul axei x, se află aproximativ de-a lungul unei linii drepte, atunci aceasta va însemna că valorile eșantionului sunt luate din Distribuții Weibull. Rămâne să modificați axa Oy folosind formula =LN(-LN(1-Ui)), unde Ui=(i-0,5)/200 și i=1; 2; ...; 200.

Rețineți că -LN(1-Ui) este funcția de distribuție inversă cu parametrii alfa=1 și beta=1. Aveam nevoie de al doilea logaritm, pentru că abscisa arată nu x-ul în sine, ci ln(x).

Notă: Pentru că forma Distribuții Weibull depinde în esență de parametrii săi, apoi în loc de alfa=1 și beta=1 pentru funcție inversă utilizare mai bună estimări punctuale ale acestor parametri obtinut pe baza de mostre. Vedeți mai jos cum să calculați estimările alfa și beta.

LA exemplu de fișier pe foaia Generare corespondența Graficul probabilistic.

Folosind funcția SLOPE(), calculăm panta curbei rezultate (coeficientul dreptei A, Engleză pantă), care servește ca o estimare a parametrului beta.

Funcția INTERCEPT() va returna ordonata punctului de intersecție cu Oy (coeficientul dreptei b). Expresia =EXP(-b/beta) servește ca evaluare a parametrului alfa.

De asemenea, puteți compara probabilitate densitate model de distribuţie şi distribuţie cu parametrii obţinuţi ca urmare a estimării.

După cum puteți vedea din diagrama de mai sus, potrivirea este, de asemenea, destul de bună.

SFAT: Pentru că numerele aleatoare sunt generate folosind funcția RAND(), apoi apăsând tasta F9, puteți obține unul nou de fiecare dată prelevarea de probeși, în consecință, o nouă estimare a parametrilor.

SFAT: Puteți citi despre alte distribuții ale MS EXCEL în articol.

Această distribuție este empirică, obținută ca urmare a studierii unei clase largi de distribuții ale duratei de viață. Experiența în funcționarea a foarte multe dispozitive electronice și a unei cantități semnificative de echipamente electromecanice arată că acestea se caracterizează prin trei tipuri de dependențe ale intensității defecțiunilor în timp, corespunzătoare a trei perioade din viața acestor dispozitive.

Aceste trei tipuri de dependențe ale ratei de eșec în timp pot fi obținute folosind distribuția Weibull cu doi parametri pentru descrierea probabilistică a timpului aleator până la eșec.Conform acestei distribuții, densitatea de probabilitate a momentului de defecțiune.

unde  - parametru de formă (determinat prin selecție ca urmare a prelucrării datelor experimentale,  > 0);  - parametrul de scară,

Rata de eșec este determinată de expresie

(3.1)

Probabilitate timpul de funcționare

(3.2)

și timp mediu până la eșec

(3.3)

Rețineți că pentru parametrul = 1, distribuția Weibull devine exponențială, iar pentru = 2, devine distribuția Rayleigh.

La 1, rata de cedare scade monoton (perioada de rodare), iar la 1 crește monoton (perioada de uzură), vezi fig. 3.1. Prin urmare, prin selectarea parametrului , se poate obține, pe fiecare dintre cele trei secțiuni, o astfel de curbă teoretică  (t), care coincide destul de strâns cu curba experimentală, iar apoi calculul indicatorilor de fiabilitate necesari poate fi realizate pe baza unei regularităţi cunoscute.

Distribuția Weibull este suficient de apropiată pentru un număr de obiecte mecanice (de exemplu, rulmenți cu bile), poate fi utilizată pentru testarea accelerată a obiectelor într-un mod forțat

3. Distribuția exponențială. Este folosit mai des decât alte distribuții, deoarece este tipic pentru obiectele complexe constând din multe elemente cu distribuții de timp de funcționare. Cu o rată de eșec constantă oferă formule de calcul simple. După cum sa menționat, distribuția exponențială a probabilității de funcționare fără defecțiuni este un caz special al distribuției Weibull, când parametrul de formă  = 1. Această distribuție este un parametru, adică un parametru  = const este suficient pentru a scrie expresia calculată. Pentru această lege, afirmația inversă este de asemenea adevărată: dacă rata de eșec este constantă, atunci probabilitatea de funcționare fără defecțiuni în funcție de timp se supune legii exponențiale:

Timpul mediu de funcționare fără defecțiuni conform legii exponențiale de distribuție a intervalului de funcționare fără defecțiuni este exprimat prin formula:

(3.5)

Înlocuind valoarea  din expresie cu valoarea 1 / T 1,

obține . (3,6)

Astfel, cunoscând timpul mediu de funcționare fără defecțiuni T 1 (sau rata constantă de defecțiune ), în cazul unei distribuții exponențiale, este posibil să se afle probabilitatea de funcționare fără defecțiuni pentru intervalul de timp din momentul în care obiectul este pornit la orice moment dat t.

4. Distribuția Rayleigh

Densitatea de probabilitate din legea lui Rayleigh (vezi Fig. 3.4) are următoarea formă



unde  este parametrul distribuției Rayleigh (egal cu modul acestei distribuții). Nu trebuie confundat cu abaterea standard:

Rata de eșec este:

(3.7)

O trăsătură caracteristică a distribuției Rayleigh este linia dreaptă a graficului (t), începând de la origine.

Probabilitatea de funcționare fără eșec a obiectului în acest caz este determinată de expresie

(3.8)

MTBF

(3.9)

5. Distribuție normală trunchiată. O distribuție derivată dintr-o constrângere normală (gaussiană) la valori pozitive.

Legea distribuției normale este caracterizată de o densitate de probabilitate a formei

unde m x ,  x -, respectiv, așteptarea matematică și abaterea standard a variabilei aleatoare x.

Atunci când se analizează fiabilitatea instalațiilor electrice sub forma unei variabile aleatorii, pe lângă timp, apar adesea valorile curentului, tensiunii electrice și alte argumente. Legea normală este o lege cu doi parametri, pentru a scrie pe care trebuie să le cunoașteți m x și  x.

Probabilitatea de funcționare fără defecțiuni este determinată de formula

(3.10)

iar rata de eșec – conform formulei

Pe fig. 3.5 prezintă curbele  (t), P (t) şi  (t) pentru cazul  t  m t, caracteristice elementelor utilizate în sistemele de control automat.

4. Distribuția gamma. Distribuția Poisson și distribuția gamma sunt considerate în relație, deoarece ambele caracterizează aceleași procese. Doar în primul caz, eșecurile sunt considerate ca o variabilă, iar în al doilea, timpul. Pentru distribuția gama
în– timpul mediu dintre defecțiuni;

A- numărul de defecțiuni; G( A) este funcția gamma egală cu
, când A-1 este un număr pozitiv.

O alegere rezonabilă a tipului de distribuție practică a timpului până la eșec necesită un număr mare de defecțiuni cu o explicație a proceselor fizice care au loc în obiecte înainte de defecțiune.

În elementele extrem de fiabile ale instalațiilor electrice, în timpul testelor de funcționare sau de fiabilitate, doar o mică parte din obiectele disponibile inițial eșuează. Prin urmare, valoarea caracteristicilor numerice găsite ca rezultat al prelucrării datelor experimentale depinde puternic de tipul de distribuție așteptată a timpului până la eșec. După cum se arată în diferite legi ale timpului până la eșec, valorile timpului mediu până la eșec, calculate din aceeași sursă de date, pot diferi de sute de ori. Prin urmare, problema alegerii unui model teoretic pentru distribuția timpului până la eșec ar trebui să i se acorde o atenție deosebită cu dovezi adecvate a aproximării distribuțiilor teoretice și experimentale.

Distribuție Weibull (model de legătură slabă)

Necesitatea practică de a ține cont de variabilitatea ratei de eșec ne permite să concluzionăm că condițiile care conduc la distribuțiile principale ale teoriei fiabilității (exponențial, normal, log-normal etc.) indică caracterul nerezonabil al utilizării lor pentru analizarea fiabilitatea lămpilor generatoare de mare putere, klystronii, magnetronii, lămpile cu val de călătorie și alte elemente ale sistemelor de control, care, în cazul general, se caracterizează prin îmbătrânire cu o rată de uzură variabilă, nu sunt uniforme în calitate inițială.

În 1939, matematicianul și inginerul suedez W. Weibull (1887-1979), analizând defecțiunile cauzate de uzura rulmenților cu bile, a propus o funcție de distribuție convenabilă pentru descrierea durabilității materialelor, menționând: „Se pare că singura modalitate practică de a realiza succesul este alegerea unei funcții simple, testarea empirică a acesteia și apoi alegerea sa finală, dacă nu există nimic mai bun.

Fără să ne oprim asupra evaluării validității acestor cuvinte în prezent, observăm că Weibull a ales o funcție de distribuție a probabilității cu doi parametri ca funcție simplă:

Unde T, s sunt parametrii de scară și, respectiv, de formă.

De la mijlocul anilor 1950. interesul pentru distribuția Weibull este în creștere, deoarece se dovedește a fi un model bun pentru a descrie fiabilitatea dispozitivelor complexe. Această lege se dovedește a fi cea mai potrivită pentru analiza duratei de funcționare fără defecțiuni a dispozitivelor cu microunde cu electrovacuum de mare putere.

B.V. Gnedenko a stabilit că distribuția Weibull este o distribuție asimptotică de al treilea tip pentru valorile minime ale secvenței cantități independente. Dovedit proprietate caracteristică Legea Weibull: dacă t| = min (X v X 2, X p) respectă distribuția Weibull și variabilele aleatoare X ( , X 2 ,..., Xn sunt independente și egal distribuite, atunci se supun și ei acestei legi. Multe dispozitive conțin un număr semnificativ de elemente omogene care se află în aceleași condiții de funcționare. Dacă elementele care se repetă sunt decisive în raport cu timpul de funcționare al dispozitivului, atunci se formează o schemă care duce la distribuția Weibull. Defecțiunea dispozitivului este considerată ca rezultat al oricăruia dintre parametrii dincolo de toleranța stabilită. Se poate presupune că modificările acestor parametri sunt procese aleatoare slab cuplate. Atunci, dacă m este durabilitatea conform parametrului /-lea, atunci resursa în ansamblu este definită ca m = min (t r t 2 , ..., t l).

Funcția de fiabilitate pentru distribuția Weibull este în general determinată de trei parametri și are forma: