Ehtimollik hodisa - bu ma'lum bir hodisani qo'llab-quvvatlaydigan elementar natijalar sonining ushbu voqea sodir bo'lishi mumkin bo'lgan tajribaning barcha teng darajada mumkin bo'lgan natijalari soniga nisbati. A hodisaning ehtimoli P(A) bilan belgilanadi (bu erda P birinchi harf Fransuzcha so'z ehtimollik - ehtimollik). Ta'rifga ko'ra
(1.2.1)
bu yerda A hodisaga mos keladigan elementar natijalar soni; - hodisalarning to'liq guruhini tashkil etuvchi tajribaning barcha teng darajada mumkin bo'lgan elementar natijalarining soni.
Ehtimollikning bunday ta'rifi klassik deb ataladi. U ehtimollar nazariyasi rivojlanishining dastlabki bosqichida paydo bo'lgan.

Hodisa ehtimoli quyidagi xususiyatlarga ega:
1. Muayyan hodisaning ehtimoli birga teng. Keling, ma'lum bir voqeani harf bilan belgilaylik. Shuning uchun ma'lum bir hodisa uchun
(1.2.2)
2. Mumkin bo'lmagan hodisaning ehtimoli nolga teng. Biz imkonsiz hodisani harf bilan belgilaymiz. Shuning uchun imkonsiz hodisa uchun
(1.2.3)
3. Tasodifiy hodisaning ehtimoli birdan kichik musbat son sifatida ifodalanadi. Chunki tengsizliklar , yoki tasodifiy hodisa uchun qanoatlansa, keyin
(1.2.4)
4. Har qanday hodisaning ehtimoli tengsizliklarni qanoatlantiradi
(1.2.5)
Bu (1.2.2) -(1.2.4) munosabatlaridan kelib chiqadi.

1-misol Bir urnada bir xil o'lchamdagi va og'irlikdagi 10 ta shar bor, ulardan 4 tasi qizil va 6 tasi ko'k. To'pdan bitta to'p olinadi. Chizilgan to'pning ko'k bo'lish ehtimoli qanday?

Yechim. "Chizilgan to'p ko'k bo'lib chiqdi" hodisasi A harfi bilan belgilanadi. Ushbu sinov 10 ta teng mumkin bo'lgan elementar natijalarga ega, ulardan 6 tasi A hodisasiga yordam beradi. (1.2.1) formulaga muvofiq, biz olamiz.

2-misol 1 dan 30 gacha bo'lgan barcha natural sonlar bir xil kartochkalarga yoziladi va urnaga joylashtiriladi. Kartalarni yaxshilab aralashtirgandan so'ng, bitta karta urnadan chiqariladi. Chizilgan kartadagi raqam 5 ga karrali bo'lish ehtimoli qanday?

Yechim.“Olingan kartadagi raqam 5 ga karrali” hodisasini A bilan belgilang. Ushbu testda 30 ta teng mumkin bo'lgan elementar natijalar mavjud bo'lib, ulardan 6 tasi A hodisasini qo'llab-quvvatlaydi (5, 10, 15, 20, 25, 30 raqamlari). Demak,

3-misol Ikkita zar tashlanadi, yuqori yuzlardagi ballar yig'indisi hisoblanadi. Kublarning yuqori yuzlari jami 9 ballga ega bo'lishidan iborat bo'lgan B hodisasining ehtimolini toping.

Yechim. Ushbu sinovda 6 2 = 36 teng mumkin bo'lgan elementar natijalar mavjud. B hodisasi 4 ta natija bilan ma'qullanadi: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), shuning uchun

4-misol. 10 dan oshmaydigan natural son tasodifiy tanlanadi.Bu sonning tub bo‘lish ehtimoli qanday?

Yechim.“Tanlangan son tub” hodisasini C harfi bilan belgilang. Bunda n = 10, m = 4 (2, 3, 5, 7 tub sonlar). Shuning uchun, kerakli ehtimollik

5-misol Ikkita simmetrik tanga tashlangan. Ikkala tanganing yuqori tomonida raqamlar bo'lishi ehtimoli qanday?

Yechim.“Har bir tanganing yuqori tomonida raqam bor edi” hodisasini D harfi bilan belgilaymiz. Ushbu testda 4 ta teng darajada mumkin bo'lgan elementar natijalar mavjud: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (G, C yozuvi birinchi tangada gerb, ikkinchisida raqam borligini bildiradi). D hodisasi bitta elementar natija (C, C) tomonidan ma'qullanadi. m = 1 bo'lgani uchun, n = 4, u holda

6-misol Tasodifiy tanlangan ikki xonali sondagi raqamlar bir xil bo'lish ehtimoli qanday?

Yechim. Ikki xonali sonlar - 10 dan 99 gacha bo'lgan raqamlar; jami 90 ta shunday raqamlar mavjud.9 ta raqam bir xil raqamlarga ega (bular 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 raqamlari). Chunki bu holda m = 9, n = 90, u holda
,
Bu erda A - "bir xil raqamlarga ega bo'lgan raqam" hodisasi.

7-misol So'zning harflaridan differensial bitta harf tasodifiy tanlanadi. Bu harfning bo'lish ehtimoli qanday: a) unli b) undosh c) harf h?

Yechim. Differensial so'zda 12 ta harf mavjud bo'lib, shundan 5 tasi unli, 7 tasi undosh. Xatlar h bu so'z yo'q. Hodisalarni belgilaymiz: A - "unli", B - "undosh", C - "harf h". Qulay elementar natijalar soni: - A hodisasi uchun, - B hodisasi uchun, - C hodisasi uchun. n \u003d 12 dan beri, keyin
, Va .

8-misol Ikkita zar tashlanadi, har bir zarning yuqori yuzidagi ochkolar soni qayd etiladi. Ikkala zarning ham bir xil ballga ega bo'lish ehtimolini toping.

Yechim. Bu hodisani A harfi bilan belgilaylik. A hodisasi 6 ta elementar natija bilan yoqlanadi: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). Hammasi bo'lib hodisalarning to'liq guruhini tashkil etuvchi teng darajada mumkin bo'lgan elementar natijalar mavjud, bu holda n=6 2 =36. Shunday qilib, kerakli ehtimollik

9-misol Kitob 300 sahifadan iborat. Tasodifiy ochilgan sahifaning 5 ga karrali tartib raqamiga ega bo'lish ehtimoli qanday?

Yechim. Masalaning shartlaridan kelib chiqadiki, hodisalarning to’liq guruhini tashkil etuvchi barcha teng mumkin bo’lgan elementar natijalardan n=300 ta bo’ladi.Ulardan m=60 ko’rsatilgan hodisaning ro’y berishiga yordam beradi. Darhaqiqat, 5 ga karrali son 5k ko'rinishga ega bo'ladi, bu erda k natural son va , bu erdan . Demak,
, bu erda A - "sahifa" hodisasi 5 ga karrali tartib raqamiga ega.

10-misol. Ikkita zar tashlanadi, yuqori yuzlardagi ballar yig'indisi hisoblanadi. Jami 7 yoki 8 ball olish ehtimoli qanday?

Yechim. Hodisalarni belgilaymiz: A - "7 ball tushib ketdi", B - "8 ball tushdi". A hodisasi 6 ta elementar natija bilan yoqlanadi: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) va B hodisasi - tomonidan 5 ta natija: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Barcha teng darajada mumkin bo'lgan elementar natijalardan n = 6 2 = 36 ta mavjud.Demak, Va .

Demak, P(A)>P(B), ya’ni jami 7 ball olish, jami 8 ball olishdan ko‘ra ko‘proq ehtimoliy hodisadir.

Vazifalar

1. 30 dan oshmaydigan natural son tasodifiy tanlanadi.Bu sonning 3 ga karrali bo‘lish ehtimoli qanday?
2. urna ichida a qizil va b bir xil o'lchamdagi va og'irlikdagi ko'k sharlar. Ushbu urnadan tasodifiy olingan to'pning ko'k bo'lish ehtimoli qanday?
3. 30 dan oshmaydigan son tasodifiy tanlanadi.Bu son zo ning bo‘luvchisi bo‘lish ehtimoli qanday?
4. Urun ichida A ko'k va b bir xil o'lchamdagi va og'irlikdagi qizil to'plar. Ushbu urnadan bitta to'p chiqariladi va chetga qo'yiladi. Bu to'p qizil. Keyin urnadan yana bir to'p chiqariladi. Ikkinchi to'pning ham qizil bo'lish ehtimolini toping.
5. 50 dan oshmaydigan natural son tasodifiy tanlanadi.Bu sonning tub bo‘lish ehtimoli qanday?
6. Uchta zar tashlanadi, yuqori yuzlardagi ballar yig'indisi hisoblanadi. Jami 9 yoki 10 ball olish ehtimoli qanday?
7. Uchta zar tashlanadi, tushgan ballar yig'indisi hisoblanadi. Jami 11 (A hodisasi) yoki 12 ball (B hodisasi) olish ehtimoli qanday?

Javoblar

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - jami 9 ball olish ehtimoli; p 2 \u003d 27/216 - jami 10 ball olish ehtimoli; p2 > p1 7 . P (A) = 27/216, P (B) = 25/216, P (A) > P (B).

Savollar

1. Hodisa yuzaga kelish ehtimoli nima deyiladi?
2. Muayyan hodisaning ehtimoli qanday?
3. Mumkin bo'lmagan hodisaning ehtimoli qanday?
4. Tasodifiy hodisaning ehtimollik chegaralari qanday?
5. Har qanday hodisaning ehtimollik chegarasi qanday?
6. Ehtimolning qanday ta’rifi klassik deyiladi?

Ehtimollik ma'lum miqdordagi takrorlanishlar bilan hodisaning yuzaga kelishi mumkinligini ko'rsatadi. Bu mumkin bo'lgan hodisalarning umumiy soniga bo'lingan bir yoki bir nechta natijalar bilan mumkin bo'lgan natijalar soni. Bir nechta hodisalarning ehtimoli muammoni alohida ehtimollarga bo'lish va keyin bu ehtimollarni ko'paytirish yo'li bilan hisoblanadi.

Qadamlar

Bitta tasodifiy hodisaning ehtimoli

1. O'zaro eksklyuziv natijalarga ega tadbirni tanlang. Ehtimollik faqat ko'rib chiqilayotgan voqea sodir bo'lgan yoki sodir bo'lmagan taqdirdagina hisoblanishi mumkin. Bir vaqtning o'zida biron bir hodisa va teskari natijani olish mumkin emas. Bunday hodisalarga misol qilib, o'yinda 5 ball olish yoki poygada ma'lum bir otni yutishdir. Beshta keladi yoki yo'q; ma'lum bir ot birinchi bo'lib keladi yoki yo'q.

   • Misol uchun, bunday hodisaning ehtimolini hisoblash mumkin emas: matritsaning bir rulosida 5 va 6 bir vaqtning o'zida aylanadi.

2. Barcha mumkin bo'lgan hodisalar va natijalarni aniqlang. Faraz qilaylik, 6 ta raqamdan iborat zar tashlanganda uchta turning paydo bo'lish ehtimolini aniqlashimiz kerak. "Uch xil" - bu hodisa va biz 6 ta raqamdan istalgani kelishi mumkinligini bilganimiz uchun, mumkin bo'lgan natijalar soni oltitaga teng. Shunday qilib, biz bilamizki, bu holatda 6 ta mumkin bo'lgan natija va biz ehtimolini aniqlamoqchi bo'lgan bitta hodisa mavjud. Quyida yana ikkita misol keltirilgan.

   • 1-misol. Bunday holda, hodisa "dam olish kuniga to'g'ri keladigan kunni tanlash" va mumkin bo'lgan natijalar soni haftaning kunlarining soniga teng, ya'ni etti.
   • 2-misol. Hodisa "qizil to'pni chizish" bo'lib, mumkin bo'lgan natijalar soni to'plarning umumiy soniga teng, ya'ni yigirma.

3. Hodisalar sonini mumkin bo'lgan natijalar soniga bo'ling. Shu tarzda siz bitta hodisaning ehtimolini aniqlaysiz. Agar biz 3 ta o'lim holatini ko'rib chiqsak, hodisalar soni 1 ta (uchtasi o'limning faqat bir tomonida) va umumiy natijalar soni 6 ga teng. Natijada 1/6 nisbat, 0,166 yoki 16,6%. Yuqoridagi ikkita misol uchun hodisa ehtimoli quyidagicha topiladi:

   • 1-misol. Dam olish kuniga to'g'ri keladigan kunni tasodifiy tanlash ehtimoli qanday? Hodisalar soni 2 ta, chunki bir haftada ikki dam olish kuni bor va natijalarning umumiy soni 7. Shunday qilib, ehtimollik 2/7 ga teng. Olingan natijani 0,285 yoki 28,5% sifatida ham yozish mumkin.
   • 2-misol. Bir qutida 4 ta ko'k, 5 ta qizil va 11 ta oq shar bor. Agar siz qutidan tasodifiy to'pni tortib olsangiz, uning qizil bo'lish ehtimoli qanday? Hodisalar soni 5 ta, chunki qutida 5 ta qizil to'p bor va natijalarning umumiy soni 20 ta. Ehtimolni toping: 5/20 = 1/4. Olingan natija 0,25 yoki 25% sifatida ham yozilishi mumkin.

4. Barcha mumkin bo'lgan hodisalarning ehtimolini qo'shing va jami 1 ekanligini tekshiring. Barcha mumkin bo'lgan hodisalarning umumiy ehtimoli 1 yoki 100% bo'lishi kerak. Agar siz 100% ni topa olmasangiz, ehtimol siz xatoga yo'l qo'ygansiz va bir yoki bir nechta mumkin bo'lgan voqealarni o'tkazib yuborgansiz. Hisob-kitoblaringizni tekshiring va barcha mumkin bo'lgan natijalarni hisobga olganingizga ishonch hosil qiling.

   • Masalan, matritsani dumalashda 3 ga aylanish ehtimoli 1/6 ga teng. Bu holda, qolgan beshtadan boshqa har qanday raqamning tushib qolish ehtimoli ham 1/6 ga teng. Natijada, biz 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6, ya'ni 100% ni olamiz.
   • Agar, masalan, matritsadagi 4 raqamini unutib qo'ysangiz, ehtimollarni qo'shish sizga faqat 5/6 yoki 83% beradi, bu bittaga teng emas va xatoni ko'rsatadi.

5. Mumkin bo'lmagan natija ehtimolini 0 bilan ifodalang. Bu berilgan voqea sodir bo'lishi mumkin emasligini va uning ehtimoli 0 ga teng ekanligini bildiradi. Shunday qilib, imkonsiz hodisalarni hisobga olishingiz mumkin.

   • Misol uchun, agar siz Pasxa 2020 yilda dushanba kuniga to'g'ri kelishi ehtimolini hisoblasangiz, siz 0 ga erishasiz, chunki Pasxa har doim yakshanba kuni nishonlanadi.

   Bir nechta tasodifiy hodisalarning ehtimoli

   1. Mustaqil hodisalarni ko'rib chiqayotganda, har bir ehtimolni alohida hisoblang. Hodisalarning ehtimoli nima ekanligini aniqlaganingizdan so'ng, ularni alohida hisoblash mumkin. Aytaylik, biz 5 bilan ketma-ket ikki marta matritsani dumalab olish ehtimolini bilmoqchimiz. Bilamizki, bitta beshlikni aylantirish ehtimoli 1/6, ikkinchi beshlikni dumalash ehtimoli ham 1/6. Birinchi natija ikkinchisiga bog'liq emas.

      • Beshlikdan iborat bir nechta rulon chaqiriladi Yo'q bog'liq hodisalar , chunki birinchi marta sodir bo'lgan narsa ikkinchi hodisaga ta'sir qilmaydi.

   2. Bog'liq hodisalar ehtimolini hisoblashda oldingi natijalarning ta'sirini ko'rib chiqing. Agar birinchi hodisa ikkinchi natija ehtimoliga ta'sir etsa, ehtimollikni hisoblash deyiladi bog'liq hodisalar. Misol uchun, agar siz 52 ta kartadan ikkita kartani tanlasangiz, birinchi karta chizilganidan so'ng, pastki kartaning tarkibi o'zgaradi, bu ikkinchi kartani tanlashga ta'sir qiladi. Ikki bog'liq hodisaning ikkinchi ehtimolini hisoblash uchun, ikkinchi hodisaning ehtimolini hisoblashda mumkin bo'lgan natijalar sonidan 1 ni ayiring.

      • 1-misol. Quyidagi voqeani ko'rib chiqing: Ikkita karta tasodifiy ravishda palubadan birin-ketin chiqariladi. Ikkala kartada klub kostyumi bo'lish ehtimoli qanday? Birinchi kartada klub kostyumi bo'lish ehtimoli 13/52 yoki 1/4 ni tashkil qiladi, chunki palubada bir xil kostyumning 13 ta kartasi mavjud.
        • Shundan so'ng, ikkinchi kartaning klub kostyumi bo'lish ehtimoli 12/51 ni tashkil qiladi, chunki endi bitta klub kartasi yo'q. Buning sababi, birinchi hodisa ikkinchisiga ta'sir qiladi. Agar siz 3 ta klubni chizib, uni qaytarib qo'ymasangiz, palubada bitta karta kamroq bo'ladi (52 o'rniga 51).
      • 2-misol. Bir qutida 4 ta ko'k, 5 ta qizil va 11 ta oq shar bor. Agar tasodifiy uchta to'p chizilgan bo'lsa, birinchisi qizil, ikkinchisi ko'k va uchinchisi oq bo'lish ehtimoli qanday?
        • Birinchi to'pning qizil bo'lishi ehtimoli 5/20 yoki 1/4. Ikkinchi to'pning ko'k bo'lishi ehtimoli 4/19, chunki qutida bitta kam to'p qolgan, ammo baribir 4 ko'k to'p. Nihoyat, uchinchi to'pning oq bo'lish ehtimoli 11/18, chunki biz allaqachon ikkita to'pni chizganmiz.

   3. Har bir alohida hodisaning ehtimolini ko'paytiring. Mustaqil yoki bog'liq hodisalar bilan shug'ullanayotganligingizdan, shuningdek, natijalar sonidan (2, 3 yoki hatto 10 ta bo'lishi mumkin) qat'i nazar, siz barcha ko'rib chiqilayotgan hodisalarning ehtimolliklarini bir-biriga ko'paytirish orqali umumiy ehtimollikni hisoblashingiz mumkin. . Natijada, siz quyidagi bir nechta hodisalarning ehtimolini olasiz birma-bir. Masalan, vazifa Zarni ketma-ket ikki marta 5 bilan tashlash ehtimolini toping.. Bu ikkita mustaqil hodisa bo'lib, ularning har birining ehtimoli 1/6 ga teng. Shunday qilib, ikkala hodisaning ehtimoli 1/6 x 1/6 = 1/36, ya'ni 0,027 yoki 2,7% ni tashkil qiladi.

      • 1-misol. Pastki qismdan tasodifiy ikkita karta birin-ketin chiqariladi. Ikkala kartada klub kostyumi bo'lish ehtimoli qanday? Birinchi hodisaning ehtimoli 13/52. Ikkinchi hodisaning ehtimoli 12/51. Biz umumiy ehtimollikni topamiz: 13/52 x 12/51 = 12/204 = 1/17, ya'ni 0,058 yoki 5,8%.
      • 2-misol. Bir qutida 4 ta ko'k, 5 ta qizil va 11 ta oq shar bor. Agar qutidan ketma-ket uchta to'p tasodifiy ravishda chiqarilsa, birinchisi qizil, ikkinchisi ko'k va uchinchisi oq bo'lish ehtimoli qanday? Birinchi hodisaning ehtimoli 5/20. Ikkinchi hodisaning ehtimoli 4/19. Uchinchi hodisaning ehtimoli 11/18. Shunday qilib, umumiy ehtimollik 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0,032 yoki 3,2% ni tashkil qiladi.

Har qanday tasodifiy hodisaning yuzaga kelish ehtimolini baholashda bizni qiziqtirgan hodisaning yuzaga kelish ehtimoli (voqea ehtimoli) boshqa hodisalar qanday rivojlanishiga bog'liqmi yoki yo'qligini oldindan yaxshi tasavvur qilish juda muhimdir. Klassik sxema bo'lsa, barcha natijalar bir xil ehtimolga ega bo'lsa, biz o'zimizni qiziqtirgan individual hodisaning ehtimollik qiymatlarini allaqachon taxmin qilishimiz mumkin. Agar hodisa bir nechta elementar natijalarning murakkab to'plami bo'lsa ham, biz buni qila olamiz. Va agar bir nechta tasodifiy hodisalar bir vaqtning o'zida yoki ketma-ket sodir bo'lsa? Bu bizni qiziqtirgan voqea ehtimoliga qanday ta'sir qiladi? Agar men zarbni bir necha marta aylantirsam-u, oltilikni olishni istasam va har doim omadim yo'q bo'lsa, bu mening garovimni oshirishim kerakligini anglatadimi, chunki ehtimollar nazariyasiga ko'ra, menga omad kulib boqadimi? Afsuski, ehtimollik nazariyasi hech narsa aytmaydi. Na zarlar, na kartalar, na tangalar bizga oxirgi marta ko'rsatganlarini eslay olmaydi. Ularga umuman farqi yo'q, birinchi martami yoki o'ninchi marta bugun taqdirimni sinab ko'ryapman. Har safar yana dumalaganimda, men faqat bitta narsani bilaman: bu safar yana "oltita" ni aylantirish ehtimoli oltidan bir. Albatta, bu menga kerak bo'lgan raqam hech qachon tushib ketmaydi degani emas. Bu shuni anglatadiki, mening birinchi va boshqa o'ramdan keyin yo'qotishim - mustaqil hodisalar. A va B hodisalar, agar ulardan birining amalga oshishi boshqa hodisaning ehtimoliga hech qanday ta'sir ko'rsatmasa, mustaqil deyiladi. Masalan, ikkita qurolning birinchisi bilan nishonga tegish ehtimoli boshqa qurol nishonga tegishiga bog'liq emas, shuning uchun "birinchi qurol nishonga tegdi" va "ikkinchi qurol nishonga tegdi" hodisalari mustaqildir. Agar ikkita A va V hodisa mustaqil bo'lib, ularning har birining ehtimoli ma'lum bo'lsa, u holda ikkala A hodisaning ham, B hodisaning ham (AB bilan belgilanadi) bir vaqtning o'zida sodir bo'lish ehtimolini quyidagi teorema yordamida hisoblash mumkin.

Mustaqil hodisalar uchun ehtimollarni ko'paytirish teoremasi

P(AB) = P(A)*P(B) ikkita mustaqil hodisaning bir vaqtning o’zida sodir bo’lish ehtimoli shu hodisalarning ehtimollik ko’paytmasiga teng.

1-misol. Birinchi va ikkinchi qurollarni otishda nishonga tegish ehtimoli mos ravishda teng: p 1 = 0,7; p2 = 0,8. Ikkala qurolning bir vaqtning o'zida bitta voleybol bilan urish ehtimolini toping.

Yuqorida aytib o'tganimizdek, A (birinchi qurol bilan urilgan) va B (ikkinchi qurol bilan urilgan) hodisalari mustaqil, ya'ni. P(AB)=P(A)*P(B)=p1*p2=0,56. Boshlovchi voqealar mustaqil bo'lmasa, bizning hisob-kitoblarimiz bilan nima sodir bo'ladi? Oldingi misolni biroz o'zgartiramiz.

2-misol Musobaqadagi ikkita otishma nishonga otadi, agar ulardan biri aniq otsa, raqib asabiylasha boshlaydi va natijalari yomonlashadi. Ushbu kundalik vaziyatni qanday qilib matematik muammoga aylantirish va uni hal qilish yo'llarini belgilash mumkin? Ikki stsenariyni qandaydir tarzda ajratish, aslida ikkita stsenariy, ikki xil vazifani tuzish kerakligi intuitiv ravishda aniq. Birinchi holda, agar raqib o'tkazib yuborsa, stsenariy asabiy sportchi uchun qulay bo'ladi va uning aniqligi yuqori bo'ladi. Ikkinchi holda, agar raqib o'z imkoniyatini munosib ravishda amalga oshirgan bo'lsa, ikkinchi sportchining nishonga urish ehtimoli kamayadi. Hodisalar rivojlanishining mumkin bo'lgan stsenariylarini (ular ko'pincha gipoteza deb ataladi) ajratish uchun biz ko'pincha "ehtimollar daraxti" sxemasidan foydalanamiz. Ushbu diagramma qaror daraxtiga o'xshaydi, ehtimol siz u bilan shug'ullanishingiz kerak edi. Har bir filial alohida stsenariydir, faqat endi u shartli ehtimollik deb ataladigan o'z qiymatiga ega (q 1 , q 2 , q 1 -1, q 2 -1).

Bu sxema ketma-ket tasodifiy hodisalarni tahlil qilish uchun juda qulaydir. Yana bir muhim savolga aniqlik kiritish kerak: ehtimolliklarning dastlabki qiymatlari real vaziyatlarda qayerdan keladi? Axir, ehtimollik nazariyasi bir xil tangalar va zarlar bilan ishlamaydi, shunday emasmi? Odatda bu taxminlar statistik ma'lumotlardan olinadi va statistika mavjud bo'lmaganda, biz o'z tadqiqotimizni o'tkazamiz. Va biz buni ko'pincha ma'lumot to'plashdan emas, balki bizga qanday ma'lumotlar kerakligi haqidagi savoldan boshlashimiz kerak.

3-misol 100 000 aholisi bo'lgan shaharda, bo'yalgan sochlar uchun konditsioner kabi yangi keraksiz mahsulot uchun bozor hajmini taxmin qilishimiz kerak, deylik. Keling, "ehtimollar daraxti" sxemasini ko'rib chiqaylik. Bunday holda, har bir "filial" bo'yicha ehtimollik qiymatini taxminan taxmin qilishimiz kerak. Shunday qilib, bozor sig'imi bo'yicha bizning taxminlarimiz:

1) shahar aholisining 50% ayollar;

2) barcha ayollarning atigi 30% sochlarini tez-tez bo'yashadi,

3) ulardan faqat 10% bo'yalgan sochlar uchun balzalardan foydalanadi,

4) ulardan faqat 10% yangi mahsulotni sinab ko'rish uchun jasorat to'play oladi,

5) Ularning 70% odatda hamma narsani bizdan emas, balki raqobatchilarimizdan sotib oladi.

Ehtimollarni ko'paytirish qonuniga ko'ra, bizni qiziqtirgan hodisaning ehtimolini aniqlaymiz A \u003d (shahar aholisi bizdan bu yangi balzamni sotib oladi) \u003d 0,00045. Ushbu ehtimollik qiymatini shahar aholisi soniga ko'paytiring. Natijada, bizda bor-yo‘g‘i 45 nafar potentsial xaridor bor va bu mahsulotning bir flakon bir necha oy davom etishini hisobga olsak, savdo unchalik jonli emas. Shunga qaramay, bizning baholashlarimizdan foyda bor. Birinchidan, biz turli xil biznes g'oyalarning prognozlarini solishtirishimiz mumkin, ular diagrammalarda turli xil "vilkalar" bo'ladi va, albatta, ehtimollik qiymatlari ham boshqacha bo'ladi. Ikkinchidan, yuqorida aytganimizdek, tasodifiy qiymat U tasodifiy deyilmaydi, chunki u hech narsaga bog'liq emas. Faqat uning aniq ma'nosi oldindan ma'lum emas. Biz bilamizki, xaridorlarning o'rtacha sonini ko'paytirish mumkin (masalan, yangi mahsulotni reklama qilish orqali). Demak, ehtimollar taqsimoti bizga unchalik to'g'ri kelmaydigan "vilkalar" ga, biz ta'sir qila oladigan omillarga e'tibor qaratish mantiqan. Iste'molchilarning xatti-harakatlarini o'rganishning boshqa miqdoriy misolini ko'rib chiqing.

3-misol Oziq-ovqat bozoriga kuniga o‘rtacha 10 ming kishi tashrif buyuradi. Bozor mehmonining sut paviloniga kirishi ehtimoli 1/2 ga teng. Ma’lumki, mazkur pavilyonda kuniga o‘rtacha 500 kg turli mahsulotlar sotiladi. Pavilyonda o'rtacha xaridning og'irligi atigi 100 g ekanligi haqida bahslashish mumkinmi?

Munozara.

Albatta yo'q. Ko'rinib turibdiki, pavilyonga kirganlarning hammasi ham u erda biror narsa sotib ololmagan.

Diagrammada ko'rsatilganidek, o'rtacha xarid vazni haqidagi savolga javob berish uchun biz savolga javob topishimiz kerak, pavilyonga kirgan odam u erda biror narsa sotib olish ehtimoli qanday. Agar bizning ixtiyorimizda bunday ma'lumotlar bo'lmasa, lekin bizga kerak bo'lsa, pavilyonga tashrif buyuruvchilarni biroz vaqt kuzatganimizdan so'ng ularni o'zimiz olishimiz kerak bo'ladi. Kuzatishlarimiz shuni ko'rsatadiki, pavilyonga tashrif buyuruvchilarning faqat beshdan bir qismi nimadir sotib oladi, deylik. Ushbu hisob-kitoblarni biz olishimiz bilanoq, vazifa allaqachon oddiy bo'ladi. Bozorga kelgan 10 000 kishidan 5 000 tasi sut mahsulotlari paviloniga boradi, bor-yo'g'i 1000 ta xarid bo'ladi.O'rtacha xarid vazni 500 gramm. Shunisi qiziqki, nima sodir bo'layotgani haqida to'liq tasavvur hosil qilish uchun shartli "tarmoqlanish" mantig'i bizning fikrlashimizning har bir bosqichida xuddi "konkret" vaziyat bilan ishlayotgandek aniq belgilanishi kerak, lekin bu emas. ehtimolliklar bilan.

O'z-o'zini tekshirish uchun topshiriqlar.

1. Ovqatlansin elektr zanjiri, n ta ketma-ket bog'langan elementlardan iborat bo'lib, ularning har biri boshqalardan mustaqil ishlaydi. Har bir elementning ishdan chiqishi p ehtimolligi ma'lum. Sxemaning butun kesimining to'g'ri ishlash ehtimolini aniqlang (A hodisasi).

2. Talaba 25 ta imtihon savolidan 20 tasini biladi. Talaba imtihon oluvchi tomonidan berilgan uchta savolni bilish ehtimolini toping.

3. Ishlab chiqarish to'rtta ketma-ket bosqichdan iborat bo'lib, ularning har biri keyingi oy davomida ishdan chiqish ehtimoli mos ravishda p 1, p 2, p 3 va p 4 bo'lgan uskunalarni boshqaradi. Uskunaning nosozligi tufayli bir oy ichida ishlab chiqarishning to‘xtab qolmasligi ehtimolini toping.

Iqtisodiyotda, shuningdek, inson faoliyatining boshqa sohalarida yoki tabiatda biz doimo aniq bashorat qilib bo'lmaydigan hodisalar bilan shug'ullanishimiz kerak. Shunday qilib, tovarlarni sotish hajmi sezilarli darajada farq qilishi mumkin bo'lgan talabga va hisobga olish deyarli mumkin bo'lmagan bir qator boshqa omillarga bog'liq. Shu sababli, ishlab chiqarish va sotishni tashkil etishda bunday faoliyat natijalarini yoki o'zining oldingi tajribasi yoki boshqa odamlarning shunga o'xshash tajribasi yoki sezgi asosida bashorat qilish kerak, bu ham asosan eksperimental ma'lumotlarga asoslanadi.

Ko'rib chiqilayotgan voqeani qandaydir tarzda baholash uchun ushbu hodisa qayd etilgan shartlarni hisobga olish yoki maxsus tashkil qilish kerak.

Ko'rib chiqilayotgan hodisani aniqlash uchun muayyan shartlar yoki harakatlarni amalga oshirish deyiladi tajriba yoki tajriba.

Tadbir deyiladi tasodifiy agar tajriba natijasida u sodir bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin.

Tadbir deyiladi haqiqiy, bu tajriba natijasida, albatta, paydo bo'lsa, va imkonsiz agar bu tajribada ko'rinmasa.

Misol uchun, 30-noyabr kuni Moskvada qor yog'ishi tasodifiy hodisa. Kundalik quyosh chiqishini ma'lum bir hodisa deb hisoblash mumkin. Ekvatorda qor yog'ishi mumkin bo'lmagan hodisa sifatida qaralishi mumkin.

Ehtimollar nazariyasining asosiy muammolaridan biri voqea sodir bo'lish ehtimolining miqdoriy o'lchovini aniqlash muammosidir.

Hodisalar algebrasi

Hodisalarni bir xil tajribada birgalikda kuzatish mumkin bo'lmasa, ular mos kelmaydigan deb ataladi. Shunday qilib, bir vaqtning o'zida sotiladigan bitta do'konda ikkita va uchta mashinaning mavjudligi ikkita mos kelmaydigan hodisadir.

so'm hodisalar - bu hodisalardan kamida bittasining sodir bo'lishidan iborat hodisa

Hodisalar yig'indisiga misol sifatida do'konda ikkita mahsulotdan kamida bittasi mavjudligini ko'rsatish mumkin.

ish hodisalar bu barcha hodisalarning bir vaqtning o'zida sodir bo'lishidan iborat hodisa deyiladi

Do'konda bir vaqtning o'zida ikkita tovarning paydo bo'lishidan iborat bo'lgan voqea hodisalarning mahsulidir: - bir mahsulotning ko'rinishi, - boshqa mahsulotning ko'rinishi.

Voqealar hodisalarning to'liq guruhini tashkil qiladi, agar ulardan kamida bittasi tajribada sodir bo'lsa.

Misol. Portda kemalar uchun ikkita to'xtash joyi mavjud. Uchta hodisani ko'rib chiqish mumkin: - to'xtash joylarida kemalarning yo'qligi, - to'xtash joylaridan birida bitta kemaning mavjudligi, - ikkita to'xtash joyida ikkita kemaning mavjudligi. Ushbu uchta hodisa to'liq hodisalar guruhini tashkil qiladi.

Qarama-qarshi to'liq guruhni tashkil etuvchi ikkita noyob mumkin bo'lgan hodisa deyiladi.

Qarama-qarshi bo'lgan hodisalardan biri bilan belgilansa, qarama-qarshi hodisa odatda bilan belgilanadi.

Hodisa ehtimolining klassik va statistik ta'riflari

Bir xil darajada mumkin bo'lgan sinov natijalarining (tajribalarning) har biri elementar natija deb ataladi. Ular odatda harflar bilan belgilanadi. Masalan, zar tashlanadi. Yon tomonlardagi nuqtalar soniga ko'ra oltita elementar natija bo'lishi mumkin.

Elementar natijalardan siz murakkabroq hodisani yaratishingiz mumkin. Shunday qilib, juft sonli nuqtalar hodisasi uchta natija bilan aniqlanadi: 2, 4, 6.

Ko'rib chiqilayotgan hodisaning yuzaga kelish ehtimolining miqdoriy o'lchovi ehtimollikdir.

Ko'pchilik keng foydalanish hodisa ehtimolining ikkita ta'rifini oldi: klassik Va statistik.

Ehtimollikning klassik ta'rifi qulay natija tushunchasi bilan bog'liq.

Chiqish deyiladi qulay bu hodisa, agar uning sodir bo'lishi ushbu hodisaning sodir bo'lishiga olib keladigan bo'lsa.

Berilgan misolda ko'rib chiqilayotgan hodisa tushirilgan chekkadagi nuqtalarning juft soni bo'lib, uchta qulay natijaga ega. Bunday holda, general
mumkin bo'lgan natijalar soni. Shunday qilib, bu erda siz hodisa ehtimolining klassik ta'rifidan foydalanishingiz mumkin.

Klassik ta'rif qulay natijalar sonining mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soniga nisbatiga tengdir

voqea ehtimoli qayerda , hodisa uchun qulay natijalar soni, bu umumiy soni mumkin bo'lgan natijalar.

Ko'rib chiqilgan misolda

Ehtimollikning statistik ta'rifi tajribalarda hodisaning nisbiy chastotasi tushunchasi bilan bog'liq.

Hodisa sodir bo'lishining nisbiy chastotasi formula bo'yicha hisoblanadi

qayerda - bir qator tajribalar (sinovlar)da hodisaning sodir bo'lish soni.

Statistik ta'rif. Hodisa ehtimoli - bu tajribalar sonining cheksiz ko'payishi bilan nisbiy chastota barqarorlashtirilgan (o'rnatilgan) soni.

Amaliy masalalarda nisbiy chastota hodisaning etarli darajada ehtimoli sifatida qabul qilinadi katta raqamlar testlar.

Hodisa ehtimolining ushbu ta'riflaridan ko'rinib turibdiki, tengsizlik doimo amal qiladi

(1.1) formula asosida hodisa ehtimolini aniqlash uchun qulay natijalar sonini va mumkin bo'lgan natijalarning umumiy sonini topish uchun ko'pincha kombinatorik formulalar qo'llaniladi.

Ko'p odamlar ko'proq yoki kamroq tasodifiy hodisalarni hisoblash mumkinmi, deb o'ylashlari dargumon. Gapirmoqda oddiy so'zlar bilan, keyingi safar o'limning qaysi tomoni tushib ketishini bilish haqiqatga mos keladimi. Aynan mana shu savolni ikki buyuk olim berishgan, ular ehtimollar nazariyasi kabi fanga asos solgan, bu fanda hodisa ehtimoli ancha keng oʻrganiladi.

Kelib chiqishi

Agar siz ehtimollik nazariyasi kabi tushunchaga ta'rif berishga harakat qilsangiz, siz quyidagilarni olasiz: bu tasodifiy hodisalarning doimiyligini o'rganadigan matematikaning bo'limlaridan biridir. Albatta, bu kontseptsiya haqiqatan ham butun mohiyatni ochib bermaydi, shuning uchun uni batafsilroq ko'rib chiqish kerak.

Men nazariyani yaratuvchilardan boshlamoqchiman. Yuqorida aytib o'tilganidek, ulardan ikkitasi bor edi va ular birinchilardan bo'lib, formulalar va matematik hisoblar yordamida hodisaning natijasini hisoblashga harakat qilishdi. Umuman olganda, bu fanning boshlanishi o'rta asrlarda paydo bo'lgan. O'sha paytda turli mutafakkirlar va olimlar qimor o'yinlarini, masalan, ruletka, zar va hokazolarni tahlil qilishga harakat qilishdi va shu bilan ma'lum bir raqamning tushishi naqshini va foizini aniqladilar. XVII asrda yuqorida tilga olingan olimlar tomonidan asos solingan.

Avvaliga ularning ishini bu sohadagi ulkan yutuqlarga bog‘lab bo‘lmasdi, chunki ular qilgan hamma narsa shunchaki empirik faktlar bo‘lib, tajribalar formuladan foydalanmasdan vizual tarzda amalga oshirilgan. Vaqt o'tishi bilan zar otishni kuzatish natijasida paydo bo'lgan ajoyib natijalarga erishildi. Aynan shu vosita birinchi tushunarli formulalarni olishga yordam berdi.

Hamfikr odamlar

“Ehtimollar nazariyasi” (hodisa ehtimoli aynan shu fanda yoritilgan) mavzuni o‘rganish jarayonida Kristian Gyuygens kabi shaxsni tilga olmaslik mumkin emas. Bu odam juda qiziq. U, yuqorida keltirilgan olimlar singari, tasodifiy hodisalarning qonuniyatlarini matematik formulalar shaklida olishga harakat qildi. Shunisi e'tiborga loyiqki, u buni Paskal va Fermat bilan birga qilmagan, ya'ni uning barcha asarlari hech qanday tarzda bu aqllar bilan kesishmagan. Gyuygens olib chiqdi

Qizig'i shundaki, uning ishi kashfiyotchilarning ish natijalaridan ancha oldin, aniqrog'i, yigirma yil oldin paydo bo'lgan. Belgilangan tushunchalar orasida eng mashhurlari:

• tasodifning kattaligi sifatidagi ehtimollik tushunchasi;
• diskret holatlar uchun matematik kutish;
• ehtimollarni ko'paytirish va qo'shish teoremalari.

Muammoni o'rganishga kimning ham katta hissa qo'shganini eslamaslik ham mumkin emas. Hech kimdan mustaqil ravishda o'z testlarini o'tkazib, u qonunni isbotlashga muvaffaq bo'ldi katta raqamlar. O'z navbatida, XIX asr boshlarida ishlagan olimlar Puasson va Laplas asl teoremalarni isbotlay oldilar. Aynan shu paytdan boshlab ehtimollar nazariyasi kuzatishlar jarayonida xatolarni tahlil qilish uchun qo'llanila boshlandi. yon o'tish bu fan rus olimlari, to'g'rirog'i Markov, Chebishev va Dyapunovlar ham qila olmadilar. Buyuk daholar qilgan ishlardan kelib chiqib, bu fanni matematikaning bir tarmog‘i sifatida mustahkamladilar. Bu raqamlar XIX asrning oxirida allaqachon ishlagan va ularning hissasi tufayli quyidagi hodisalar mavjud:

• katta sonlar qonuni;
• Markov zanjirlari nazariyasi;
• markaziy chegara teoremasi.

Shunday qilib, fanning tug'ilish tarixi va unga ta'sir ko'rsatgan asosiy odamlar bilan hamma narsa ko'proq yoki kamroq aniq. Endi barcha faktlarni aniqlashtirish vaqti keldi.

Asosiy tushunchalar

Qonunlar va teoremalarga murojaat qilishdan oldin, ehtimollik nazariyasining asosiy tushunchalarini o'rganishga arziydi. Unda asosiy rolni voqea egallaydi. Bu mavzu juda katta, ammo usiz hamma narsani tushunish mumkin bo'lmaydi.

Ehtimollar nazariyasidagi hodisa - bu tajriba natijalarining har qanday to'plamidir. Ushbu hodisa haqida juda ko'p tushunchalar mavjud emas. Xullas, bu sohada ishlagan olim Lotman bu holatda gaplashamiz nima bo'lganligi haqida, garchi bu sodir bo'lmagan bo'lsa ham.

Tasodifiy hodisalar (ehtimollik nazariyasi ularga alohida e'tibor beradi) - bu sodir bo'lish qobiliyatiga ega bo'lgan mutlaqo har qanday hodisani nazarda tutadigan tushuncha. Yoki, aksincha, bu stsenariy ko'p shartlar bajarilganda sodir bo'lmasligi mumkin. Shuni ham bilish kerakki, bu sodir bo'lgan hodisalarning butun hajmini qamrab oladigan tasodifiy hodisalar. Ehtimollar nazariyasi barcha shartlar doimiy ravishda takrorlanishi mumkinligini ko'rsatadi. Aynan ularning xatti-harakatlari "tajriba" yoki "sinov" deb nomlangan.

Muayyan hodisa - bu berilgan testda 100% sodir bo'ladigan hodisa. Shunga ko'ra, imkonsiz voqea sodir bo'lmaydigan voqeadir.

Bir juft harakatlar birikmasi (shartli ravishda A va B hollari) bir vaqtning o'zida sodir bo'ladigan hodisadir. Ular AB sifatida belgilanadi.

A va B hodisa juftlarining yig'indisi C ga teng, boshqacha qilib aytganda, agar ulardan kamida bittasi ro'y bersa (A yoki B), u holda C olinadi.Tasvirlangan hodisaning formulasi quyidagicha yoziladi: C \u003d A + B.

Ehtimollar nazariyasidagi ajratilgan hodisalar bu ikki holat bir-birini istisno qilishini anglatadi. Ular hech qachon bir vaqtning o'zida sodir bo'lolmaydi. Ehtimollar nazariyasidagi qo'shma hodisalar ularning antipodidir. Bu shuni anglatadiki, agar A sodir bo'lgan bo'lsa, u hech qanday tarzda B ga to'sqinlik qilmaydi.

Qarama-qarshi hodisalar (ehtimollar nazariyasi ular bilan batafsil ko'rib chiqiladi) tushunish oson. Taqqoslashda ular bilan shug'ullanish yaxshidir. Ular ehtimollik nazariyasidagi mos kelmaydigan hodisalar bilan deyarli bir xil. Ammo ularning farqi shundaki, har qanday holatda ham ko'p hodisalardan biri sodir bo'lishi kerak.

Teng ehtimolli hodisalar - takrorlanish ehtimoli teng bo'lgan harakatlar. Aniqroq bo'lishi uchun biz tanga otilishini tasavvur qilishimiz mumkin: uning bir tomonining yo'qolishi boshqa tomondan tushish ehtimoli teng.

Qulay hodisani misol bilan ko'rish osonroq. Aytaylik, B epizod va A epizodlari bor. Birinchisi, toq sonning ko'rinishi bilan matritsaning rulosi, ikkinchisi - beshinchi raqamning matritsada ko'rinishi. Keyin ma'lum bo'ladiki, A B.

Ehtimollar nazariyasidagi mustaqil hodisalar faqat ikki yoki undan ortiq holatlarga prognoz qilinadi va har qanday harakatning boshqasidan mustaqilligini bildiradi. Masalan, A - tanga otishda quyruqlarni tushirish va B - kemadan jek olish. Ular ehtimollar nazariyasida mustaqil hodisalardir. Shu nuqtada, bu aniqroq bo'ldi.

Ehtimollar nazariyasidagi qaram hodisalar ham faqat ularning to'plami uchun joizdir. Ular birining ikkinchisiga bog'liqligini bildiradi, ya'ni B hodisasi faqat A sodir bo'lgan yoki aksincha, bu B uchun asosiy shart bo'lganida sodir bo'lmagan bo'lishi mumkin.

Bir komponentdan iborat tasodifiy tajriba natijasi elementar hodisalardir. Ehtimollar nazariyasi bu faqat bir marta sodir bo'lgan hodisa ekanligini tushuntiradi.

Asosiy formulalar

Demak, yuqorida “hodisa”, “ehtimollar nazariyasi” tushunchalari ko‘rib chiqildi, bu fanning asosiy atamalarining ta’rifi ham berildi. Endi muhim formulalar bilan bevosita tanishish vaqti keldi. Bu iboralar ehtimollar nazariyasi kabi murakkab mavzudagi barcha asosiy tushunchalarni matematik jihatdan tasdiqlaydi. Bu erda voqea ehtimoli ham katta rol o'ynaydi.

Asosiylaridan boshlash yaxshidir.Va ularga o'tishdan oldin, bu nima ekanligini ko'rib chiqishga arziydi.

Kombinatorika birinchi navbatda matematikaning bir bo'limi bo'lib, u juda ko'p sonlarni o'rganish bilan shug'ullanadi, shuningdek, raqamlarning o'zlari va ularning elementlari, turli xil ma'lumotlar va boshqalarni o'rganish bilan shug'ullanadi, bu esa bir qator kombinatsiyalarning paydo bo'lishiga olib keladi. Ehtimollar nazariyasidan tashqari, bu soha statistika, informatika va kriptografiya uchun muhimdir.

Shunday qilib, endi siz formulalarning o'zlari va ularning ta'rifi taqdimotiga o'tishingiz mumkin.

Ulardan birinchisi almashtirishlar sonining ifodasi bo'ladi, u quyidagicha ko'rinadi:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Tenglama faqat elementlarning tartibida farq qilsagina amal qiladi.

Endi joylashtirish formulasi ko'rib chiqiladi, u quyidagicha ko'rinadi:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Bu ifoda nafaqat elementning tartibiga, balki uning tarkibiga ham tegishli.

Kombinatorikadan uchinchi tenglama va u ham oxirgisi kombinatsiyalar soni formulasi deb ataladi:

C_n^m = n! : ((n - m))! :m!

Kombinatsiya navbati bilan tartiblanmagan tanlov deb ataladi va bu qoida ularga tegishli.

Kombinatorika formulalarini aniqlash oson bo'lib chiqdi, endi biz ehtimolliklarning klassik ta'rifiga o'tishimiz mumkin. Bu ifoda quyidagicha ko'rinadi:

Bu formulada m - A hodisasi uchun qulay shartlar soni, n - mutlaqo barcha teng va elementar natijalar soni.

Ko'p sonli iboralar mavjud, maqola ularning barchasini qamrab olmaydi, lekin ulardan eng muhimi, masalan, voqealar yig'indisining ehtimoli kabi:

P(A + B) = P(A) + P(B) - bu teorema faqat mos kelmaydigan hodisalarni qo'shish uchun;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - va bu faqat mos keladiganlarni qo'shish uchun.

Hodisalarni keltirib chiqarish ehtimoli:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - bu teorema mustaqil hodisalar uchun;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - va bu qaramlar uchun.

Voqea formulasi ro'yxatni tugatadi. Ehtimollar nazariyasi Bayes teoremasi haqida gapirib beradi, u quyidagicha ko'rinadi:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

Ushbu formulada H 1, H 2, …, H n gipotezalarning to'liq guruhidir.

Misollar

Agar siz matematikaning biron bir sohasini diqqat bilan o'rgansangiz, u mashqlarsiz va namunali echimlarsiz to'liq bo'lmaydi. Ehtimollar nazariyasi ham shunday: hodisalar, misollar bu erda ilmiy hisob-kitoblarni tasdiqlovchi ajralmas komponentdir.

O'zgartirishlar soni uchun formula

Aytaylik, kartalar to'plamida nominal qiymatidan boshlab o'ttizta karta bor. Keyingi savol. Bir va ikkita nominal qiymatiga ega bo'lgan kartalar bir-birining yonida bo'lmasligi uchun palubalarni yig'ishning nechta usuli bor?

Vazifa qo'yildi, endi uni hal qilishga o'tamiz. Avval siz o'ttiz elementning almashtirish sonini aniqlashingiz kerak, buning uchun biz yuqoridagi formulani olamiz, P_30 = 30 bo'ladi!.

Ushbu qoidaga asoslanib, biz pastki qavatni turli yo'llar bilan katlamaning qancha variantlari borligini bilib olamiz, ammo ulardan birinchi va ikkinchi kartalar keyingisini olib tashlashimiz kerak. Buning uchun birinchisi ikkinchisidan yuqori bo'lgan variantdan boshlaylik. Ma'lum bo'lishicha, birinchi karta yigirma to'qqizta o'rinni egallashi mumkin - birinchidan yigirma to'qqizinchigacha, ikkinchi karta esa ikkinchidan o'ttizinchigacha, u bir juft karta uchun faqat yigirma to'qqizta o'rinni egallaydi. O'z navbatida, qolganlari yigirma sakkizta o'rinni egallashi mumkin va har qanday tartibda. Ya'ni, yigirma sakkizta kartani almashtirish uchun P_28 = 28 yigirma sakkizta variant mavjud!

Natijada, agar birinchi karta ikkinchisidan yuqori bo'lsa, yechimni ko'rib chiqsak, 29 ⋅ 28 qo'shimcha imkoniyatlar mavjud! = 29!

Xuddi shu usuldan foydalanib, birinchi karta ikkinchisining ostida bo'lgan holat uchun ortiqcha variantlar sonini hisoblashingiz kerak. Bundan tashqari, 29 ⋅ 28 chiqadi! = 29!

Bundan kelib chiqadiki, 2 ⋅ 29! qo'shimcha variant bor, shu bilan birga paluba qurish uchun 30 ta zarur usul mavjud! - 2 ⋅ 29!. Faqat hisoblash uchun qoladi.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Endi siz barcha raqamlarni birdan yigirma to'qqizgacha ko'paytirishingiz kerak va oxirida hamma narsani 28 ga ko'paytirishingiz kerak. Javob: 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Misol yechim. Joylashtirish raqami uchun formula

Ushbu muammoda siz o'n besh jildni bitta javonga qo'yishning qancha usullari borligini, lekin jami o'ttiz jild bo'lishi sharti bilan bilib olishingiz kerak.

Ushbu muammoni hal qilish avvalgisiga qaraganda biroz sodda. Ma'lum bo'lgan formuladan foydalanib, o'n beshta o'ttiz jilddan tartiblarning umumiy sonini hisoblash kerak.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 720703

Javob, mos ravishda, 202,843,204,931,727,360,000 ga teng bo'ladi.

Keling, vazifani biroz qiyinroq hal qilaylik. Bitta javonda faqat o'n besh jild bo'lishi mumkin bo'lsa, ikkita kitob javonida o'ttizta kitobni joylashtirishning qancha usullari borligini bilib olishingiz kerak.

Yechimni boshlashdan oldin, men aniqlik kiritmoqchimanki, ba'zi muammolar bir necha usul bilan hal qilinadi, shuning uchun buning ikkita usuli bor, lekin ikkalasida ham bir xil formuladan foydalaniladi.

Ushbu muammoda siz avvalgisidan javob olishingiz mumkin, chunki u erda biz javonni o'n beshta kitob bilan necha marta turli yo'llar bilan to'ldirishingiz mumkinligini hisoblab chiqdik. A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16 bo'lib chiqdi.

Biz ikkinchi javonni almashtirish formulasi bo'yicha hisoblaymiz, chunki unda o'n beshta kitob joylashtirilgan, faqat o'n beshtasi qolgan. Biz P_15 = 15 formulasidan foydalanamiz!.

Ma'lum bo'lishicha, jami A_30^15 ⋅ P_15 yo'llari bo'ladi, lekin bundan tashqari, o'ttizdan o'n oltigacha bo'lgan barcha raqamlarning ko'paytmasini birdan o'n beshgacha bo'lgan sonlar ko'paytmasiga ko'paytirish kerak bo'ladi, natijada birdan o'ttizgacha bo'lgan barcha raqamlarning ko'paytmasi olinadi, ya'ni javob 30 ga teng!

Ammo bu muammoni boshqa yo'l bilan hal qilish mumkin - osonroq. Buning uchun siz o'ttizta kitob uchun bitta javon borligini tasavvur qilishingiz mumkin. Ularning barchasi shu tekislikka joylashtirilgan, ammo shart ikkita javon bo'lishini talab qilganligi sababli, biz bitta uzunni yarmini kesib tashladik, har biri ikkita o'n beshta bo'lib chiqadi. Bundan ma'lum bo'ladiki, joylashtirish variantlari P_30 = 30 bo'lishi mumkin!.

Misol yechim. Kombinatsiyalangan raqam uchun formula

Endi biz kombinatorikadan uchinchi masala variantini ko'rib chiqamiz. O'n beshta kitobni tartibga solishning qancha usullari borligini bilib olishingiz kerak, agar siz o'ttizta mutlaqo bir xil kitobdan tanlashingiz kerak bo'lsa.

Yechim uchun, albatta, kombinatsiyalar soni formulasi qo'llaniladi. Shartdan ma'lum bo'ladiki, bir xil o'n besh kitobning tartibi muhim emas. Shuning uchun, dastlab siz o'n beshdan o'ttizta kitobning umumiy sonini bilib olishingiz kerak.

C_30^15 = 30! : ((30-15)) ! : 15 ! = 155 117 520

Ana xolos. Ushbu formuladan foydalanib, eng qisqa vaqt ichida bunday muammoni hal qilish mumkin edi, javob mos ravishda 155 117 520 ni tashkil qiladi.

Misol yechim. Ehtimollikning klassik ta'rifi

Yuqoridagi formuladan foydalanib, oddiy masalada javob topishingiz mumkin. Ammo bu harakatlarni vizual ravishda ko'rish va kuzatishga yordam beradi.

Muammo shundaki, urnada o'nta mutlaqo bir xil to'p bor. Ulardan to'rttasi sariq, oltitasi ko'k. Idishdan bitta to'p olinadi. Siz ko'k rangga ega bo'lish ehtimolini topishingiz kerak.

Muammoni hal qilish uchun ko'k to'pni olishni A hodisasi sifatida belgilash kerak. Bu tajriba o'nta natijaga ega bo'lishi mumkin, bu esa, o'z navbatida, elementar va bir xil ehtimolga ega. Shu bilan birga, o'ndan oltitasi A hodisasi uchun qulaydir. Biz formuladan foydalanib hal qilamiz:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Ushbu formulani qo'llash orqali biz ko'k to'pni olish ehtimoli 0,6 ekanligini aniqladik.

Misol yechim. Hodisalar yig'indisining ehtimoli

Endi hodisalar yig'indisining ehtimoli formulasi yordamida yechilgan variant taqdim etiladi. Shunday qilib, ikkita quti borligini hisobga olsak, birinchisida bitta kulrang va beshta oq sharlar, ikkinchisida sakkizta kulrang va to'rtta oq sharlar mavjud. Natijada, ulardan biri birinchi va ikkinchi qutilardan olingan. Chiqarilgan to'plarning kulrang va oq bo'lishi ehtimoli qanday ekanligini aniqlash kerak.

Ushbu muammoni hal qilish uchun voqealarni belgilash kerak.

• Shunday qilib, A - birinchi qutidan kulrang to'pni oling: P (A) = 1/6.
• A '- ular birinchi qutidan ham oq to'pni olishdi: P (A ") \u003d 5/6.
• B - kulrang to'p allaqachon ikkinchi qutidan chiqarilgan: P (B) = 2/3.
• B' - ikkinchi qutidan kulrang to'pni olishdi: P (B") = 1/3.

Muammoning shartiga ko'ra, hodisalardan biri sodir bo'lishi kerak: AB 'yoki A'B. Formuladan foydalanib, biz olamiz: P (AB") = 1/18, P (A" B) = 10/18.

Endi ehtimollikni ko'paytirish formulasi qo'llanildi. Keyinchalik, javobni bilish uchun ularni qo'shish uchun tenglamani qo'llashingiz kerak:

P = P (AB" + A" B) = P (AB") + P (A" B) = 11/18.

Shunday qilib, formuladan foydalanib, siz shunga o'xshash muammolarni hal qilishingiz mumkin.

Natija

Maqolada voqea ehtimoli hal qiluvchi rol o'ynaydigan "Ehtimollar nazariyasi" mavzusi haqida ma'lumot berilgan. Albatta, hamma narsa hisobga olinmadi, lekin taqdim etilgan matnga asoslanib, matematikaning ushbu bo'limi bilan nazariy jihatdan tanishish mumkin. Ko'rib chiqilayotgan fan nafaqat professional ishda, balki ishda ham foydali bo'lishi mumkin Kundalik hayot. Uning yordami bilan siz har qanday hodisaning har qanday imkoniyatini hisoblashingiz mumkin.

Matnda, shuningdek, ehtimollik nazariyasi fan sifatida shakllanish tarixidagi muhim sanalar va unga asarlari sarmoya qilingan odamlarning ismlari to'g'risida to'xtalib o'tgan. Shunday qilib, insonning qiziquvchanligi odamlarning hatto tasodifiy hodisalarni ham hisoblashni o'rganishiga olib keldi. Bir paytlar ular shunchaki qiziqqan edilar, ammo bugun hamma bu haqda biladi. Va hech kim bizni kelajakda nima kutayotganini, ko'rib chiqilayotgan nazariya bilan bog'liq yana qanday ajoyib kashfiyotlar qilishini aytmaydi. Ammo bir narsa aniq - tadqiqot to'xtamaydi!