Xayrli kun, do'stlar!

Uzoq vaqt davomida men sizga ushbu loyihamiz haqida gapirib bermoqchi edim, lekin negadir qo'llar yetib bormadi. Va bu erda mo''jiza! Qo'llar keldi! Shunday qilib, loyiha "Atrofimizdagi ko'pburchaklar" deb nomlanadi. Siz taxmin qilganingizdek, bu qizim Aleksandra bilan 4-sinfda bajargan matematik ishimiz.

Biz ishga ijodiy yondashdik va ishonchimiz komilki, bizning matematik ijodimiz siz uchun tezislar, loyihalar yoki tadqiqot ishlarini tayyorlashda foydali bo'lishi mumkin.

Biz asarga shunday nom berdik: “Matematik triller. Poligon ovchisi »

Va endi men sizga to'liq matnni barcha fotosuratlar bilan birga keltiraman. Hikoya ushbu ilmiy ish muallifining birinchi shaxsida aytiladi.

Ishning maqsadi: ko'pburchaklarni atrofimizdagi dunyoda amaliy qo'llash.

Muammoli savol: ko'pburchaklar hayotimizda qanday joyni egallaydi?

Bolaligimizdan beri biz har xil turdagi ko'pburchaklar bilan tanishmiz, lekin biz ularni atrofimizdagi dunyoda qanchalik tez-tez uchratamiz, biz qandaydir tarzda o'ylamaymiz.

Men kundalik hayotda tanish bo'lgan narsalarni diqqat bilan ko'rib chiqishga va atrofimizdagi ob'ektlarda matematika darslarida o'rganilgan ko'pburchaklarni topishga qaror qildim.

Bir kuni men uzun og'ir o'lchagich bilan tishlarigacha qurollanib, ko'pburchaklar uchun ovga chiqdim.

Uzoqqa borish shart emas edi. Men ularni uyda qidirdim.

Oshxona eshigi oldiga bordim va irodamni bir mushtga yig'ib, chiroqni yoqdim! Va… Oh dahshat!!! Men yuzlab ko'pburchak, o'tkir va to'mtoq, shuningdek, mutlaqo to'g'ridan-to'g'ri qarashlarni his qildim. Ular hamma joyda edi! Ular ikkilanmasdan menga qarab turishardi! Ular mening hukmdorimdan qo‘rqishmagan! Ular hatto yashirishga harakat qilishmadi! Bu oshxona emas! Bu haqiqiy ko'pburchak shohlik! Yuzlab ko'pburchaklar devorlarga o'tirdi (devor qog'ozi naqshidagi to'rtburchaklar). Ularni sanashga ham botinolmadim.

Shiftga yopishgan eng ayyor (ship plitalari to'rtburchaklar shaklida). Ular menga yuqoridan shubha bilan qarashdi.

Va eng mag'rur bo'lganlar idishlarga kirishdi ... va hatto ularga aylandi (idishlardagi bezak va idishlarning shakli har xil turdagi ko'pburchaklar bilan ifodalanadi).

Endi men bilaman, ko'pburchaklar köfte qoliplarini yaxshi ko'radilar (chuchvara qolipida olti burchaklar ko'rinadi).

Ular nima yeyayotganimni kuzatadilar. Va hatto mening mushukim nima yeydi (oziq-ovqat qutilarining chekkalari to'rtburchaklar shaklida).

Men dahshatga tushib, oshxonadan sakrab chiqib, dahlizga chiqdim. Va to'satdan men ko'rdim ... ko'pburchaklardan biri mening to'tiqushlarimni qo'lga kiritdi (qafas to'rtburchaklar, uchburchaklar va to'rtburchaklar shaklidagi elementlardan iborat).

Bu beadab haykalchalar hatto bolani ham ayamadi (konstruktor elementlari). Kichkina ukam xavf-xatardan bexabar, ishtiyoq bilan ular bilan o‘ynadi.

Mening sevimli buvim, to'xtamasdan, dunyoda nima sodir bo'layotganini ko'rsatadigan boshqa ko'pburchakka qaradi (televizor ekrani to'rtburchak).

Va birdan o'tkir g'ichirlagan ovoz eshitildi! “Bu nima?” deb o‘yladim hayratda. Va bu ko'pburchak shohlikning yana bir vakili (uyali telefon to'rtburchaklar parallelepiped shakliga ega) javondan ovoz berdi.

Men hech bo'lmaganda u erda yashirinishni umid qilib, bolalar bog'chasiga yugurdim ... Lekin muvaffaqiyatga erishmadim.

Yorqin, quvnoq ko'pburchaklar, quvnoq kulib, bizning pardalarimizda (geometrik mato naqsh) chayqalib ketdi. “Yiqilib qolasan!”, deb o‘yladim va stolimga qaradim...

Men buni qilmasligim kerak edi ... Mening stolimda ikkita murakkab ko'pburchak nimadir haqida gaplashardi. Biri ko'k, ikkinchisi qizil ... (chiroqlarning plafondlari uchburchaklar va to'rtburchaklar birikmasi sifatida ko'rib chiqilishi mumkin).

Va ularning yonida ko'pburchakli kichkina bolalar ohista kulishdi (qalamlarning chetlari to'rtburchaklar, poydevori esa olti burchakli).

Bu kvartira emas! Bu ko'pburchaklar uyasi!!! Bu yerda ularning uyasi bor!

Ular hatto biz bilan Yangi yilni nishonlashdi (ko'plab Rojdestvo bezaklarining shakli turli xil poligonlarning kombinatsiyasi)! Va biz bilmas edik ...

Ulardan hech qayerga yashirinib bo‘lmasligini angladim. Hatto Misrda ham (piramidalarning yuzlari uchburchak, asoslari to'rtburchaklar)!

Xulosa. Bu dunyo ko'pburchaklarga tegishli! Va biz u bilan kelishib olishimiz kerak. Va bu ko'pburchak mavjudotlar bilan uyg'unlikda yashashni o'rganing.

Mana bizda shunday noodatiy loyiha bor. Buning yordamida kundalikda Sasha yana beshtasini oldi.

U Power Point dasturida slaydlar ko'rinishida tayyorlangan va nafaqat matematika darsida, balki maktabda o'tkazilgan "Fan va ijod" tanlovida ham taqdim etilgan va u diplom bilan taqdirlangan.

Bizning blogimizda siz boshqa matematik loyihalarni topasiz:

Bugun hammasi shu!

Sizga qiziqarli ijodiy vazifalar tilaymiz!

Agar dunyoda faqat bitta shakl, masalan, to'rtburchak kabi shakl bo'lsa, nima bo'lar edi? Ba'zi narsalar umuman o'zgarmas edi: eshiklar, yuk tirkamalari, futbol maydonchalari - barchasi bir xil ko'rinadi. Lekin eshik tutqichlari haqida nima deyish mumkin? Ular biroz g'alati bo'lar edi. Avtomobil g'ildiraklari haqida nima deyish mumkin? Bu samarasiz bo'lar edi. Futbol haqida nima deyish mumkin? Tasavvur qilish ham qiyin. Yaxshiyamki, dunyo turli xil shakllarga to'la. Ular tabiatda mavjudmi? Ha, va ularning ko'pi bor.

Ko'pburchak nima?

Shakl ko'pburchak bo'lishi uchun ma'lum shartlar kerak. Birinchidan, ko'p tomonlar va burchaklar bo'lishi kerak. Bundan tashqari, u yopiq shakl bo'lishi kerak. barcha tomonlari va burchaklari teng bo'lgan figuradir. Shunga ko'ra, noto'g'ri uchun ular biroz deformatsiyalangan bo'lishi mumkin.

Muntazam ko'pburchaklar turlari

Muntazam ko‘pburchakning minimal tomonlari qancha bo‘lishi mumkin? Bitta chiziqning ko'p tomoni bo'lishi mumkin emas. Ikki tomon ham uchrasha olmaydi va yopiq shakl hosil qiladi. Va uchta tomon mumkin - shuning uchun siz uchburchak olasiz. Va biz barcha tomonlari va burchaklari teng bo'lgan muntazam ko'pburchaklar haqida gapirayotganimiz sababli, biz nazarda tutamiz

Agar siz yana bir tomonni qo'shsangiz, kvadrat olasiz. Tomonlari teng bo'lmagan to'rtburchak muntazam ko'pburchak bo'lishi mumkinmi? Yo'q, bu raqam to'rtburchaklar deb ataladi. Agar siz beshinchi tomonni qo'shsangiz, siz beshburchak olasiz. Shunga ko'ra, olti burchakli, etti burchakli, sakkizburchak va boshqalar mavjud.

Elementar geometriya

Ko'pburchaklar turli xil: ochiq, yopiq va o'z-o'zidan kesishadi. Elementar geometriyada ko‘pburchak yassi figura bo‘lib, u yopiq poliliniya yoki kontur ko‘rinishidagi to‘g‘ri chiziq segmentlarining chekli zanjiri bilan chegaralangan. Bu segmentlar uning qirralari yoki yon tomonlari, ikki qirrasi birlashadigan nuqtalar esa uning uchlari va burchaklaridir. Ko'pburchakning ichki qismi ba'zan uning tanasi deb ataladi.

Tabiatda va inson hayotida ko'p yuzli

Ko'pgina tirik shakllar beshburchak naqshlarda ko'p bo'lsa-da, mineral dunyo ikki, uch, to'rt va olti karra simmetriyani qo'llab-quvvatlaydi. Olti burchakli - maksimal tizimli samaradorlikni ta'minlaydigan zich shakl. Bu molekulalar va kristallar sohasida juda keng tarqalgan bo'lib, ularda beshburchak shakllar deyarli topilmaydi. Steroidlar, xolesterin, benzol, C va D vitaminlari, aspirin, shakar, grafit - bularning barchasi olti karra simmetriyaning namoyonidir. Muntazam ko'pburchaklar tabiatda qayerda uchraydi? Eng mashhur olti burchakli arxitektura asalarilar, ari va shoxlar tomonidan yaratilgan.

Oltita suv molekulasi har bir qor kristalining yadrosini tashkil qiladi. Qor parchasi shunday yasaladi. Pashsha ko'zining qirralari zich joylashgan olti burchakli joylashuvni hosil qiladi. Tabiatda yana qanday muntazam ko'pburchaklar mavjud? Bular suv va olmos kristallari, bazalt ustunlari, ko'zdagi epiteliya hujayralari, ba'zi o'simlik hujayralari va boshqalar. Shunday qilib, tabiat tomonidan yaratilgan jonli va jonsiz ko'pburchaklar inson hayotida juda ko'p son va xilma-xillikda mavjud.

Olti burchaklilarning mashhurligining sababi nimada?

Qor parchalari, organik molekulalar, kvarts kristallari va ustunli bazaltlar olti burchakli. Buning sababi ularning o'ziga xos simmetriyasidir. Eng yorqin misol - ko'plab chuqurchalar, uning olti burchakli tuzilishi bo'sh joy etishmasligini kamaytiradi, chunki butun sirt juda oqilona ishlatiladi. Nima uchun bir xil hujayralarga bo'linadi? Asalarilar o'z ehtiyojlari uchun, jumladan, asal saqlash va tuxum qo'yish uchun ishlatish uchun tabiatda muntazam ko'pburchaklar yaratadilar. Nima uchun tabiat olti burchakni afzal ko'radi? Bu savolga javobni elementar matematika berish mumkin.

• Uchburchaklar. Tomoni taxminan 7,35 mm bo'lgan 428 ta teng qirrali uchburchakni oling. Ularning umumiy uzunligi 3 * 7,35 mm * 428/2 = 47,2 sm.
• To'rtburchaklar. Taxminan 4,84 mm bo'lgan 428 kvadratni oling, ularning umumiy uzunligi 4 * 4,84 m * 428/2 = 41,4 sm.
• Olti burchakli. Va nihoyat, tomoni 3 mm bo'lgan 428 ta olti burchakni oling, ularning umumiy uzunligi 6 * 3 mm * 428/2 = 38,5 sm.

Bu olti burchaklilarning g'alabasi aniq. Aynan shu shakl bo'sh joyni maksimal darajada kamaytirishga yordam beradi va kichikroq maydonda iloji boricha ko'proq raqamlarni joylashtirishga imkon beradi. Asalarilar o'zlarining amber nektarlarini saqlaydigan chuqurchalar aniq muhandislik mo''jizasi, mukammal olti burchakli kesmaga ega bo'lgan prizma shaklidagi hujayralar to'plamidir. Mum devorlari juda aniq qalinlikda qilingan, hujayralar g'azablangan asal tushishiga yo'l qo'ymaslik uchun ehtiyotkorlik bilan egilgan va butun struktura erning magnit maydoniga to'g'ri keladi. Ajablanarlisi shundaki, asalarilar bir vaqtning o'zida harakatlarini muvofiqlashtirib ishlaydi.

Nega olti burchakli? Bu oddiy geometriya

Agar siz bir xil shakl va o'lchamdagi hujayralarni butun tekislikni to'ldirish uchun bir-biriga qo'ymoqchi bo'lsangiz, unda faqat uchta oddiy shakl (barcha tomonlari va bir xil burchaklari bilan) ishlaydi: teng qirrali uchburchaklar, kvadratlar va olti burchaklar. Ulardan olti burchakli hujayralar bir xil maydondagi uchburchaklar yoki kvadratlarga nisbatan eng kichik umumiy devor uzunligini talab qiladi.

Shunday qilib, asalarilarning olti burchakli tanlovi mantiqiy. 18-asrda olim Charlz Darvin olti burchakli chuqurchalar "mehnat va mumni tejash uchun mutlaqo ideal" ekanligini ta'kidladi. Uning fikricha, tabiiy tanlanish asalarilarga ushbu mum xonalarini yaratish instinktini beradi, bu boshqa shakllarga qaraganda kamroq energiya va vaqt talab qiladigan afzalliklarga ega.

Tabiatdagi ko'pburchaklarga misollar

Ba'zi hasharotlarning murakkab ko'zlari olti burchakli shaklga o'ralgan bo'lib, bu erda har bir yuz uzun ingichka retinal hujayra bilan bog'langan linzadir. Biologik hujayralar klasterlari tomonidan hosil bo'lgan tuzilmalar ko'pincha sovunli suvdagi pufakchalar bilan bir xil qoidalar bilan boshqariladigan shakllarga ega. Ko'z yuzining mikroskopik tuzilishi eng yaxshi misollardan biridir. Har bir fasetda to'rtta fotosensitiv hujayralar to'plami mavjud bo'lib, ular to'rtta oddiy pufakchalar klasteri bilan bir xil shaklga ega.

Ushbu sovun plyonkasi qoidalari va qabariq shakllarini nima belgilaydi? Tabiat asalarilardan ko'ra iqtisod haqida ko'proq qayg'uradi. Pufakchalar va sovun plyonkalari suvdan (sovun qo'shilgan holda) hosil bo'ladi va sirt tarangligi suyuqlikning sirtini iloji boricha kamroq maydonni beradigan tarzda tortadi. Shuning uchun tomchilar tushganda sharsimon (ko'p yoki kamroq) bo'ladi: sharning sirt maydoni bir xil hajmdagi boshqa shakllarga qaraganda kamroq. Mum varag'ida xuddi shu sababga ko'ra suv tomchilari kichik boncuklar ichiga tortiladi.

Ushbu sirt tarangligi pufakchali raf va ko'pikli modellarni tushuntiradi. Ko'pik eng kichik umumiy sirt tarangligiga ega bo'lgan strukturani qidiradi, bu esa eng kichik devor maydonini ta'minlaydi. Sovun plyonkalarining geometriyasi mexanik kuchlarning o'zaro ta'siri bilan bog'liq bo'lsa-da, u ko'pikning shakli qanday bo'lishini aytmaydi. Oddiy ko'pik turli shakl va o'lchamdagi ko'pburchak hujayralarni o'z ichiga oladi. Agar siz diqqat bilan qarasangiz, tabiatdagi oddiy ko'pburchaklar unchalik to'g'ri emas. Ularning qirralari kamdan-kam hollarda mukammal tekis bo'ladi.

To'g'ri pufakchalar

Keling, barcha pufakchalar bir xil o'lchamdagi "mukammal" ko'pikni yaratishingiz mumkin deb faraz qilaylik. Qabariq devorining umumiy maydonini iloji boricha kichikroq qiladigan mukammal hujayra shakli nima. Bu ko'p yillar davomida muhokama qilingan va uzoq vaqt davomida ideal hujayra shakli kvadrat va olti burchakli tomonlari bo'lgan 14 qirrali ko'pburchak ekanligiga ishonishgan.

1993 yilda sakkiz xil hujayra shaklining takrorlanuvchi guruhidan iborat bo'lgan ancha tejamkor, ammo kamroq tartibli tuzilma topildi. Ushbu murakkab model 2008 yilgi Pekin Olimpiadasi vaqtida suzish stadionining ko'pikli dizayni uchun ilhom manbai sifatida ishlatilgan.

Ko'pikda hujayra hosil bo'lish qoidalari tirik hujayralarda kuzatiladigan ba'zi naqshlarni ham nazorat qiladi. Yassi pufak kabi olti burchakli o'ramni ko'rsatadigan nafaqat chivinning murakkab ko'zlari. Har bir alohida linza ichidagi yorug'likka sezgir hujayralar ham xuddi sovun pufakchalari kabi ko'rinadigan klasterlarga to'planadi.

Tabiatdagi ko'pburchaklar dunyosi

O'simliklardan tortib kalamushlargacha bo'lgan ko'plab turdagi organizmlarning hujayralarida bu mikroskopik tuzilmalarga ega membranalar mavjud. Ular nima uchun ekanligini hech kim bilmaydi, lekin ular shunchalik keng tarqalganki, ularning foydali roli bor deb taxmin qilish adolatli. Ehtimol, ular o'zaro aralashuvlardan qochib, bir biokimyoviy jarayonni boshqasidan ajratib turadilar.

Yoki, ehtimol, bu katta ishchi tekislikni yaratishning samarali usulidir, chunki ko'plab biokimyoviy jarayonlar membranalar yuzasida sodir bo'ladi, bu erda fermentlar va boshqa faol molekulalar joylashtirilishi mumkin. Tabiatdagi ko'pburchakning vazifasi qanday bo'lishidan qat'iy nazar, murakkab genetik ko'rsatmalar yaratish bilan bezovta qilmang, chunki fizika qonunlari buni siz uchun qiladi.

Ba'zi kapalaklarning qanotli tarozilari bor, unda chitin deb ataladigan qattiq materialning tartibli labirintlari mavjud. Oddiy tizmalardan va qanot yuzasidagi boshqa tuzilmalardan sakrab chiqadigan yorug'lik to'lqinlarining ta'siri ba'zi to'lqin uzunliklarining (ya'ni, ba'zi ranglarning) so'nishiga olib keladi, boshqalari esa bir-birini mustahkamlaydi. Shunday qilib, ko'pburchak struktura hayvon rangini ishlab chiqarish uchun ajoyib vositani taklif qiladi.

Qattiq mineraldan tartibli tarmoqlar yaratish uchun ba'zi organizmlar yumshoq, egiluvchan membranalardan mog'or hosil qiladi va keyin qattiq materialni o'zaro kirib boradigan tarmoqlardan birida kristallashtiradi. Dengiz sichqonchasi deb nomlanuvchi g'ayrioddiy xitin umurtqalari ichidagi bo'sh mikroskopik kanallarning chuqurchalar tuzilishi bu sochga o'xshash tuzilmalarni yorug'lik yo'nalishiga qarab qizildan ko'k-yashil rangga o'zgartirib, yorug'likni boshqaradigan tabiiy optik tolalarga aylantiradi. Ushbu rang o'zgarishi yirtqichlardan qo'rqish uchun xizmat qilishi mumkin.

Tabiat yaxshiroq biladi

O'simlik va hayvonot dunyosi yovvoyi tabiatdagi ko'pburchaklar, shuningdek, toshlar va minerallarning jonsiz dunyosi bilan to'la. Sof evolyutsion nuqtai nazardan, olti burchakli struktura energiyani optimallashtirishda etakchi hisoblanadi. Aniq afzalliklarga qo'shimcha ravishda (joyni tejash), ko'p qirrali to'rlar ko'p sonli yuzlarni ta'minlaydi, shuning uchun qo'shnilar soni ko'payadi, bu butun tuzilishga foydali ta'sir ko'rsatadi. Buning yakuniy natijasi shundaki, ma'lumotlar tezroq tarqaladi. Nega tabiatda muntazam olti burchakli va tartibsiz yulduzli ko‘pburchaklar keng tarqalgan? Balki juda zarurdir. Tabiat yaxshiroq biladi, u yaxshi biladi.

Inson butun ongli faoliyati davomida ko'pburchaklarga qiziqish bildiradi - ikki yoshli boladan yog'och kublar bilan o'ynagandan etuk matematikgacha. Muntazam va yarim muntazam jismlarning ba'zilari tabiatda kristallar, boshqalari esa faqat elektron mikroskop bilan ko'rish mumkin bo'lgan viruslar shaklida uchraydi. Ko'pburchak nima? Bu savolga javob berish uchun geometriyaning o'zi ba'zan fazo va fazoviy figuralar - ikki o'lchovli va uch o'lchovli fan sifatida ta'riflanishini eslaylik. Ikki o'lchovli figurani tekislikning bir qismini chegaralovchi chiziq segmentlari to'plami sifatida aniqlash mumkin. Bunday tekis figuraga ko'pburchak deyiladi. Bundan kelib chiqadiki, ko'pburchak uch o'lchovli fazoning bir qismini chegaralovchi ko'pburchaklar to'plami sifatida belgilanishi mumkin. Ko'pburchakni tashkil etuvchi ko'pburchaklar uning yuzlari deb ataladi.

Qadim zamonlardan beri olimlarni "ideal" yoki muntazam ko'pburchaklar, ya'ni tomonlari va burchaklari teng bo'lgan ko'pburchaklar qiziqtiradi. Teng tomonli uchburchakni eng oddiy muntazam ko'pburchak deb hisoblash mumkin, chunki u tekislikning bir qismini cheklay oladigan eng kichik tomonlarga ega. Bizni qiziqtirgan muntazam ko'pburchaklarning umumiy rasmi teng qirrali uchburchak bilan bir qatorda quyidagilardan iborat: kvadrat (to'rt tomon), beshburchak (besh tomon), olti burchakli (olti tomon), sakkizburchak (sakkiz tomon), dekagon (o'n tomon) va boshqalar. Shubhasiz, nazariy jihatdan muntazam ko'pburchakning tomonlari soniga cheklovlar yo'q, ya'ni muntazam ko'pburchaklar soni cheksizdir.

Muntazam ko'pburchak nima? Bunday ko'pburchak muntazam deyiladi, agar uning barcha yuzlari bir-biriga teng bo'lsa (yoki matematikada odatdagidek kongruent) va shu bilan birga muntazam ko'pburchaklar. Qancha muntazam ko‘pburchaklar mavjud? Bir qarashda, bu savolga javob juda oddiy - qancha muntazam ko'pburchaklar mavjud bo'lsa, ya'ni birinchi qarashda siz oddiy ko'pburchak yaratishingiz mumkin, uning tomonlari har qanday muntazam ko'pburchak bo'lishi mumkin. Biroq, unday emas. Evklid elementlarida muntazam ko'pburchaklar soni juda cheklanganligi va yuzlari faqat uchta turdagi muntazam ko'pburchaklar: uchburchaklar, kvadratlar va beshburchaklar bo'lishi mumkin bo'lgan faqat beshta muntazam ko'pburchaklar mavjudligi qat'iy isbotlangan. Ushbu muntazam ko'pburchaklar Platonik qattiq jismlar deb ataladi. Birinchisi - tetraedr. Uning yuzlari to'rtta teng qirrali uchburchakdir. Tetraedr Platonik qattiq jismlar orasida eng kam sonli yuzlarga ega va tekis muntazam uchburchakning uch o'lchovli analogi bo'lib, u muntazam ko'pburchaklar orasida eng kam tomonlarga ega. "Tetraedr" so'zi yunoncha "tetra" - to'rt va "edra" - asos so'zlaridan kelib chiqqan. Bu uchburchak piramida. Keyingi tana olti burchakli, kub deb ham ataladi. Oltita yuzli olti yuzi bor, ular kvadratdir. Oktaedrning yuzlari muntazam uchburchaklar bo'lib, ularning oktaedrdagi soni sakkizta. Keyingi eng katta yuzlar soni dodekadrdir. Uning yuzlari beshburchak bo'lib, ularning dodekaedrdagi soni o'n ikkitadir. Ikosaedr beshta Platonik qattiq jismni yopadi. Uning yuzlari muntazam uchburchaklar bo'lib, ularning soni yigirmata.

Mening ishimda qavariq ko'pburchaklarning asosiy ta'riflari va xususiyatlari ko'rib chiqiladi. Faqat beshta muntazam polihedra mavjudligi isbotlangan. Stereometriya masalalarida eng ko'p uchraydigan muntazam n burchakli piramida va muntazam tetraedr uchun munosabatlar batafsil ko'rib chiqiladi. Maqolada stereometriyaning ba'zi bo'limlarini o'rganishda foydalanish mumkin bo'lgan katta miqdordagi analitik va illyustrativ materiallar keltirilgan.

Platon tadqiqotlari

Platon juda qiziqarli nazariyani yaratdi. U barcha narsalar qurilgan to'rtta "asosiy element" (er, suv, havo va olov) atomlari muntazam ko'p yuzli shaklga ega bo'lishini taklif qildi: tetraedr - olov, oltitali (kub) - yer, an oktaedr - havo, ikosahedr - suv. Beshinchi ko'pburchak - dodekaedr - "Buyuk aql" yoki "Koinot uyg'unligi" ni ramziy qildi. Osonlik bilan bir-biriga aylanadigan uchta elementning zarralari, ya'ni olov, havo va suv bir xil figuralardan - muntazam uchburchaklardan iborat bo'lib chiqdi. Ulardan sezilarli darajada farq qiladigan er esa boshqa turdagi zarralardan - kublardan, aniqrog'i kvadratlardan iborat. Platon barcha o'zgarishlarni uchburchaklar yordamida juda aniq tushuntirdi. Noqonuniy tartibsizlikda havoning ikki zarrasi olov zarrasi bilan, ya'ni ikkita oktaedr tetraedr bilan uchrashadi. Ikkita oktaedr jami o'n oltita uchburchak yuzga ega, tetraedrda to'rtta. Hammasi yigirma. Yigirmatadan bitta ikosahedr osongina hosil bo'ladi va bu suv zarrasi.

Aflotun kosmologiyasi ikosahedral-dodekaedr deb ataluvchi ta’limotning asosiga aylandi, u o‘shandan beri butun insoniyat ilm-fanida qizil ipdek o‘tib ketgan. Bu ta’limotning mohiyati shundaki, dodekadr va ikosahedr kosmosdan tortib to mikrodunyogacha bo‘lgan barcha ko‘rinishlarida tabiatning tipik shakllari hisoblanadi.

Oddiy ko'p yuzli

Muntazam polihedralar qadim zamonlardan beri olimlar, quruvchilar, me'morlar va boshqa ko'plab odamlarning e'tiborini tortdi. Ularni bu ko'pburchaklarning go'zalligi, mukammalligi, uyg'unligi hayratda qoldirdi. Pifagorchilar bu ko'p yuzlilarni ilohiy deb bilishgan va dunyoning mohiyati haqidagi falsafiy asarlarida ulardan foydalanganlar. Evklidning mashhur "Boshlanishlari" ning oxirgi, 13-kitobi muntazam ko'pburchaklarga bag'ishlangan.

Yana takror aytamizki, qavariq ko'pburchak muntazam deyiladi, agar uning yuzlari teng muntazam ko'pburchaklar bo'lsa va har bir tepada bir xil miqdordagi yuzlar yaqinlashsa.

Eng oddiy bunday muntazam ko'pburchak "uchburchakli piramida bo'lib, uning yuzlari muntazam uchburchaklardir. Uning har bir uchida uchta yuz birlashadi. To'rtta yuzga ega bo'lgan bu ko'p yuzli ham tetraedr deb ataladi, bu yunoncha "to'rt yuzli" degan ma'noni anglatadi. .

Ba'zan tetraedr ixtiyoriy piramida deb ham ataladi. Shuning uchun, biz oddiy ko'pburchak haqida gapiradigan bo'lsak, biz aytamiz - oddiy tetraedr.

Yuzlari muntazam uchburchaklar bo'lgan va har bir cho'qqisida to'rtta yuzi birlashuvchi, yuzasi sakkizta muntazam uchburchakdan iborat bo'lgan ko'pburchak oktaedr deyiladi.

Har bir uchida beshta muntazam uchburchaklar birlashadigan, yuzasi yigirmata muntazam uchburchakdan tashkil topgan ko‘pburchak ikosahedr deyiladi.

E'tibor bering, beshdan ortiq muntazam uchburchaklar qavariq ko'pburchakning uchlarida birlasha olmasligi sababli, yuzlari muntazam uchburchaklar bo'lgan boshqa muntazam ko'pburchaklar mavjud emas.

Xuddi shunday, faqat uchta kvadrat qavariq ko'pburchakning uchlarida birlashishi mumkinligi sababli, kubdan tashqari yuzlari kvadratlarga ega bo'lgan boshqa muntazam ko'pburchaklar mavjud emas. Kubning olti tomoni bor va shuning uchun olti burchakli deyiladi.

Yuzlari muntazam beshburchaklar bo'lgan va har bir uchida uchta yuzi yaqinlashadigan ko'pburchak. Uning yuzasi o'n ikkita muntazam beshburchakdan iborat bo'lib, u dodekaedr deb ataladi.

Tomonlari beshdan ortiq boʻlgan muntazam koʻpburchaklar qavariq Koʻpburchakning uchlarida yaqinlasha olmagani uchun boshqa muntazam koʻpyoqlamalar yoʻq va shuning uchun faqat beshta muntazam koʻpburchaklar mavjud: tetraedr, geksahedr (kub), oktaedr, dodekaedr, ikosahedr.

Muntazam polihedralarning nomlari Gretsiyadan keladi. Yunoncha so'zma-so'z tarjimada "tetraedr", "oktaedr", "geksahedr", "dodekaedr", "ikosahedr": "tetraedr", "oktaedr", "geksahedr" degan ma'noni anglatadi. dodekaedr, dodekaedr. Evklid elementlarining 13-kitobi bu go'zal jismlarga bag'ishlangan. Ular Platonning jismlari deb ham ataladi, chunki ular Aflotunning olam tuzilishi haqidagi falsafiy kontseptsiyasida muhim o'rin tutgan.

Endi esa bu raqamlar bilan bog'liq qancha xossalar, lemmalar va teoremalarni ko'rib chiqamiz.

Barcha tekis va barcha ikki burchakli burchaklar teng bo'lgan cho'qqisi S bo'lgan ko'p burchakli burchakni ko'rib chiqaylik. Biz uning chetlarida A1, A2, An nuqtalarini tanlaymiz, shunda SA1 = SA2 = SAn bo'ladi. U holda A1, A2, An nuqtalari bir tekislikda yotadi va muntazam n-burchakning uchlari hisoblanadi.

Isbot.

Har qanday ketma-ket nuqtalar bir tekislikda yotishini isbotlaylik. A1, A2, A3 va A4 ketma-ket to'rtta nuqtani ko'rib chiqing. SA1 A2 A3 va SA2 A3 A4 piramidalari tengdir, chunki ular SA2 va SA3 qirralarini (albatta, turli xil piramidalarning qirralari olinadi) va bu qirralarning ikkiburchak burchaklarini birlashtirish orqali birlashtirilishi mumkin. Xuddi shunday, SA1 A3A4 va SA1 A2 A4 piramidalari teng ekanligini ko'rsatish mumkin, chunki ularning barcha qirralari teng. Bu tenglikni anglatadi

Oxirgi tenglikdan kelib chiqadiki, A1A2A3A4 piramidasining hajmi nolga teng, ya'ni bu to'rtta nuqta bir tekislikda yotadi. Demak, barcha n nuqta bir tekislikda yotadi va A1 A2 An n-burchakda barcha tomonlar va burchaklar tengdir. Demak, bu to'g'ri va lemma isbotlangan.

Oddiy ko'pburchaklarning ko'pi bilan besh xil turi borligini isbotlaylik.

Isbot.

Muntazam ko'pburchakning ta'rifidan kelib chiqadiki, faqat uchburchaklar, to'rtburchaklar va beshburchaklar uning yuzlari bo'lishi mumkin. Darhaqiqat, masalan, yuzlar muntazam olti burchakli bo'lishi mumkin emasligini isbotlaylik. Muntazam ko'pburchakning ta'rifiga ko'ra, uning har bir uchida kamida uchta yuz birlashishi kerak. Biroq, muntazam olti burchakli burchaklar 120 ° ga teng. Ma'lum bo'lishicha, qavariq ko'pburchak burchakning uchta tekis burchaklarining yig'indisi 360 ° ga teng, bu mumkin emas, chunki bu yig'indi har doim 360 ° dan kichik. Bundan tashqari, muntazam ko'pburchakning yuzlari ko'p tomonli ko'pburchaklar bo'lishi mumkin emas.

Muntazam ko‘pburchak cho‘qqisida nechta yuz birlashishi mumkinligini aniqlaylik. Agar uning barcha yuzlari muntazam uchburchaklar bo'lsa, unda har bir cho'qqiga beshdan ortiq uchburchak tutashib bo'lmaydi, chunki aks holda bu cho'qqidagi tekislik burchaklarining yig'indisi kamida 360 ° ni tashkil qiladi, biz ko'rganimizdek, bu mumkin emas. Shunday qilib, agar muntazam ko'pburchakning barcha yuzlari muntazam uchburchaklar bo'lsa, unda har bir uchga uchta, to'rt yoki beshta uchburchak tutashadi. Shunga o'xshash mulohaza yuritish orqali biz yuzlari muntazam to'rtburchaklar va beshburchaklar bo'lgan muntazam ko'pburchakning har bir uchida uchta qirrasi birlashishiga ishonch hosil qilamiz.

Endi chekka uzunligi o'zgarmas bo'lgan ma'lum turdagi faqat bitta ko'pburchak mavjudligini isbotlaymiz. Masalan, barcha yuzlar oddiy beshburchaklar bo'lgan holatni ko'rib chiqaylik. Buning teskarisini tasavvur qiling: ikkita ko'pburchak bo'lsin, ularning hammasi yuzlari a tomoni bilan muntazam beshburchaklar va har bir ko'pburchakdagi barcha ikkiburchak burchaklar bir-biriga teng. E'tibor bering, bitta ko'pburchakning barcha ikkiburchak burchaklari boshqa ko'pburchakning ikki tomonlama burchaklariga teng bo'lishi shart emas: buni biz hozir isbotlaymiz.

Ko'rsatib o'tganimizdek, har bir ko'pburchakning har bir tepasidan uchta qirrasi chiqadi. AB, AC va AD qirralari bir ko‘pburchakning A cho‘qqisidan, A1B1, A1C1 va A1D1 qirralari ikkinchisining A1 cho‘qqisidan chiqsin. ABCD va A1B1C1D1 muntazam uchburchak piramidalardir, chunki ular A va A1 cho'qqilaridan teng qirralarga ega va bu uchlarida tekis burchaklar mavjud.

Bundan kelib chiqadiki, bitta ko'pburchakning ikki tomonlama burchaklari ikkinchisining ikki tomonlama burchaklariga teng. Demak, agar biz ABCD va A1B1C1D1 piramidalarini birlashtirsak, u holda ko'pburchaklarning o'zlari ham mos keladi. Demak, agar yuzlari a tomoni bo'lgan muntazam beshburchaklar bo'lgan muntazam ko'pburchak mavjud bo'lsa, unda bunday ko'pburchak noyobdir.

Boshqa ko'pburchaklar ham xuddi shunday ko'rib chiqiladi. Agar barcha yuzlar uchburchak bo'lsa va har bir tepaga to'rt yoki beshta uchburchak tutashgan bo'lsa, Lemma 2. va beshburchakdan foydalanish kerak. Teorema isbotlangan.

E'tibor bering, bu teorema muntazam ko'p yuzlilarning aniq besh turi borligini anglatmaydi. Teorema faqat bunday turlarning ko'pi bilan beshta ekanligini ta'kidlaydi va endi biz ko'pburchaklarning barcha besh turini taqdim etish orqali haqiqatan ham beshta tur borligini isbotlashimiz kerak.

Muntazam n-burchakli piramida

Oddiy n-burchakli piramidani ko'rib chiqing. Ushbu ko'pburchak ko'pincha stereometrik masalalarda uchraydi va shuning uchun uning xususiyatlarini batafsilroq va chuqurroq o'rganish katta qiziqish uyg'otadi. Bundan tashqari, bizning muntazam ko'pburchaklarimizdan biri - tetraedr - bu.

SA1A2 An muntazam n burchakli piramida bo'lsin. Keling, quyidagi belgini kiritamiz:

a - yon qovurg'aning asos tekisligiga moyillik burchagi;

b - asosdagi ikki burchakli burchak;

g - tepadagi tekis burchak;

d - lateral chetidagi dihedral burchak.

O piramida asosining markazi, B A1A2 chetining o'rtasi, D A1A3 va OA2 segmentlarining kesishish nuqtasi, C SA2 yon chekkasidagi nuqta A1CSA2, E segmentlarning kesishish nuqtasi bo'lsin. SB va A1C, K - A1A3 va OV segmentlarining kesishish nuqtasi. A1OA2= bo'lsin. Ko'rsatish oson

Shuningdek, biz piramidaning balandligini H orqali, apotemni - m orqali, yon chetini - l orqali, poydevorning yon tomonini - a orqali va r va R orqali - poydevorga yozilgan va tasvirlangan doiralarning radiuslarini belgilaymiz. uning atrofida.

Quyida muntazam n burchakli piramidaning a, b, g, d burchaklari orasidagi munosabatlar teorema shaklida tuzilgan.

muntazam tetraedr

Uning xossalari

Oldingi bo'limda olingan munosabatlarni muntazam tetraedrga qo'llash bizga ikkinchisi uchun bir qator qiziqarli munosabatlarni olish imkonini beradi. Ushbu bo'limda biz ushbu aniq holat uchun olingan formulalarni taqdim etamiz va qo'shimcha ravishda biz muntazam tetraedrning ba'zi xususiyatlari uchun ifodalarni topamiz, masalan, hajm, umumiy sirt maydoni va boshqalar.

Oldingi bo'limning belgilaridan so'ng, chekka uzunligi a bo'lgan oddiy tetraedr SA1A2A3ni ko'rib chiqing. Biz uning burchaklari uchun yozuvni bir xil qoldiramiz va ularni hisoblaymiz.

Muntazam uchburchakda balandlik uzunligi teng. Bu uchburchak muntazam bo'lgani uchun uning balandligi ham bissektrisa, ham medianadir. Ma'lumki, medianlar kesishish nuqtasiga 2: 1 nisbatda bo'linadi, yuqoridan hisoblanadi. Medianlarning kesishish nuqtasini topish oson. Tetraedr muntazam bo'lganligi sababli, bu nuqta O nuqtasi bo'ladi - A1A2A3 muntazam uchburchakning markazi. S nuqtadan tushgan muntazam tetraedrning balandligi asosi ham O nuqtaga proyeksiya qiladi. Demak,. Muntazam SA1A2 uchburchakda tetraedr apotemasining uzunligi teng. D SBO uchun Pifagor teoremasini qo'llaymiz:. Bu yerdan.

Shunday qilib, muntazam tetraedrning balandligi teng.

Tetraedr asosining maydoni - muntazam uchburchak:

Shunday qilib, muntazam tetraedrning hajmi:

Tetraedrning umumiy yuzasi uning asosining maydonidan to'rt baravar katta.

Muntazam tetraedr uchun yon yuzidagi dihedral burchak, shubhasiz, yon yuzning tayanch tekisligiga moyillik burchagiga teng:

Muntazam tetraedrning uchidagi tekislik burchagi teng.

Yon qovurg'aning taglik tekisligiga moyillik burchagini quyidagilardan topish mumkin:

Muntazam tetraedr uchun chizilgan sharning radiusini tetraedrning hajmi va umumiy yuzasiga bog'liq bo'lgan taniqli formuladan topish mumkin (ikkinchi formula shar bo'lishi mumkin bo'lgan har qanday ko'pburchak uchun amal qiladi. yozilgan). Bizning holatda, bizda bor

Cheklangan sharning radiusini toping. Muntazam tetraedr atrofida o'ralgan sharning markazi uning balandligida yotadi, chunki u asos tekisligiga perpendikulyar bo'lgan SO chiziq bo'lib, uning markazidan o'tadi va bu chiziq asosning barcha cho'qqilaridan teng masofada joylashgan nuqtani o'z ichiga olishi kerak. tetraedrdan. Bu O1 nuqta bo'lsin, keyin O1S=O1A2=R. Bizda ... bor. Pifagor teoremasini BA2O1 va BO1O uchburchaklarga tadbiq qilaylik:

R = 3r, r + R = H ekanligini unutmang.

Hisoblash qiziq, ya'ni tasvirlangan sharning markazidan muntazam tetraedrning cheti ko'rinadigan burchak. Keling, topamiz:

Bu bizga kimyo kursidan tanish bo'lgan qiymat: bu metan molekulasidagi C-H aloqalari orasidagi burchakdir, uni tajribada juda aniq o'lchash mumkin, chunki CH4 molekulasida bitta vodorod atomi ham yo'q. har qanday narsa bilan aniq ajratilgan bo'lsa, bu molekula muntazam tetraedr shakliga ega deb taxmin qilish oqilona. Bu fakt elektron mikroskop yordamida olingan metan molekulasining fotosuratlari bilan tasdiqlangan.

Oddiy olti burchakli (kub)

Yuz turi Kvadrat

Yuzlar soni 6

Qovurg'alar soni 12

Tepaliklar soni 8

Yassi burchak 90 o

Yassi burchaklar yig'indisi 270 o

Simmetriya markazi bormi Ha (diagonallarning kesishish nuqtasi)

Simmetriya o'qlari soni 9

Simmetriya tekisliklari soni 9

Muntazam oktaedr

Yuzlar soni 8

Qovurg'alar soni 12

Tepaliklar soni 6

Yassi burchak 60o

Tepadagi tekis burchaklar soni 4

Yassi burchaklar yig'indisi 240o

Simmetriya o'qi bormi Ha

Muntazam oktaedrning mavjudligi

ABCD kvadratini ko'rib chiqing va uning ustiga, xuddi poydevorda bo'lgani kabi, uning tekisligining ikkala tomoniga yon qirralari kvadratning yon tomonlariga teng bo'lgan to'rtburchaklar piramidalar quring. Olingan ko'pburchak oktaedr bo'ladi.

Buni isbotlash uchun barcha dihedral burchaklar teng ekanligini tekshirish biz uchun qoladi. Darhaqiqat, O ABCD kvadratining markazi bo'lsin. O nuqtani bizning ko'pburchakning barcha uchlari bilan bog'lab, biz umumiy uchi O bo'lgan sakkizta uchburchak piramidani olamiz. Ulardan birini ko'rib chiqaylik, masalan, ABEO. AO = BO = EO va bundan tashqari, bu qirralarning juft perpendikulyar. ABEO piramidasi muntazamdir, chunki uning asosi ABE muntazam uchburchakdir. Demak, asosdagi barcha ikki burchakli burchaklar tengdir. Xuddi shunday, cho'qqisi O nuqtada joylashgan sakkizta piramida va asoslari - ABCDEG oktaedrining yuzlari muntazamdir va bundan tashqari, bir-biriga tengdir. Bu shuni anglatadiki, bu oktaedrning barcha dihedral burchaklari tengdir, chunki ularning har biri piramidalarning har birining tagidagi dihedral burchakdan ikki baravar ko'pdir.

*Geksaedr (kub) va oktaedr bilan bog'liq qiziqarli faktga e'tibor bering. Kubning 6 ta yuzi, 12 ta qirrasi va 8 ta choʻqqisi boʻlsa, oktaedrning 8 ta yuzi, 12 ta tomoni va 6 ta choʻqqisi bor. Ya'ni, bir ko'pburchakning yuzlari soni ikkinchisining uchlari soniga teng va aksincha. Kub va olti burchakli bir-biriga ikkilik deyiladi. Bu, shuningdek, agar siz kubni olib, uning yuzlarining markazlarida uchlari bo'lgan ko'pburchak qursangiz, osongina ko'rib turganingizdek, siz oktaedrga ega bo'lishingizda namoyon bo'ladi. Buning teskarisi ham to'g'ri - oktaedr yuzlarining markazlari kubning uchlari bo'lib xizmat qiladi. Bu oktaedr va kubning dualligi.

Oddiy tetraedr yuzlarining markazlarini oladigan bo'lsak, yana oddiy tetraedrni olishimizni tushunish oson. Shunday qilib, tetraedr o'zi uchun dualdir. *

Oddiy ikosaedr

Yuz ko'rinishi To'g'ri uchburchak

Yuzlar soni 20

Qovurg'alar soni 30

Tepaliklar soni 12

Yassi burchak 60 o

Tepadagi tekis burchaklar soni 5

Yassi burchaklar yig'indisi 300 o

Simmetriya markazi bormi Ha

Simmetriya o'qlari soni Bir nechta

Simmetriya tekisliklari soni Bir nechta

Muntazam ikosahedrning mavjudligi

Muntazam ko'pburchak mavjud bo'lib, uning barcha yuzlari muntazam uchburchaklar bo'lib, har bir tepadan 5 ta qirralar chiqadi. Bu koʻpburchakning 20 ta yuzi, 30 ta qirralari, 12 ta choʻqqisi bor va ikosahedr (icosi - yigirma) deyiladi.

Isbot

1-qirrali ABCDEG oktaedrini ko‘rib chiqaylik. Uning AE, BE, CE, DE, AB va BC chetlarida mos ravishda M, K, N, Q, L va P nuqtalarni tanlang, shunda AM = EK = CN = EQ = bo‘lsin. BL = BP = x. Biz x ni shunday tanlaymizki, bu nuqtalarni bog'laydigan barcha segmentlar bir-biriga teng bo'lsin.

Ko'rinib turibdiki, buning uchun KM = KQ tengligini bajarish kifoya. Biroq, KEQ oyoqlari KE va EQ bo'lgan teng yonli to'g'ri burchakli uchburchak bo'lgani uchun. MEK uchburchagi uchun kosinus teoremasini yozamiz, unda:

Bu yerdan. 1 dan katta bo'lgan ikkinchi ildiz mos kelmaydi. Shu tarzda x ni tanlab, biz kerakli ko'pburchakni quramiz. Tetraedr markaziga nisbatan K, L, P, N, Q va M nuqtalarga simmetrik bo'lgan yana oltita nuqtani tanlaymiz va ularni mos ravishda K1, L1, P1, N1, Q1 va M1 deb belgilaymiz. K, L, P, N, Q, M, K1, L1, P1, N1, Q1 va M1 cho'qqilari bo'lgan natijada ko'pburchak istalgan ko'rinishdir. Uning barcha yuzlari muntazam uchburchaklar bo'lib, har bir tepadan beshta qirrasi chiqadi. Endi uning barcha ikki burchakli burchaklari bir-biriga teng ekanligini isbotlaylik.

Buning uchun biz qurilgan yigirma hedrning barcha uchlari oktaedr markazi O nuqtadan teng masofada joylashganligini, ya'ni ular markaz O bo'lgan shar yuzasida joylashganligini ta'kidlaymiz. Bundan tashqari, biz davom etamiz. xuddi muntazam oktaedr mavjudligini isbotlashda bo'lgani kabi. Yigirma-hedrning barcha uchlarini O nuqta bilan tutashtiramiz. Xuddi shu tarzda asoslari qurilgan ko‘pburchakning yuzlari bo‘lgan uchburchak piramidalarning tengligini isbotlaymiz va barcha ikki burchakli burchaklarning tengligini isbotlaymiz. yigirma hedronning kattaligi bu teng uchburchak piramidalar poydevoridagi burchaklardan ikki baravar katta. Demak, barcha ikki burchakli burchaklar teng, ya'ni hosil bo'lgan ko'pburchak muntazamdir. U ikosahedr deb ataladi.

Oddiy dodekaedr

Pentagon yuzining ko'rinishi (oddiy beshburchak)

Yuzlar soni 12

Qovurg'alar soni 30

Tepaliklar soni 20

Yassi burchak 108 o

Tepadagi tekis burchaklar soni 3

Yassi burchaklar yig'indisi 324 o

Simmetriya markazi bormi ha

Simmetriya o'qlari soni Bir nechta

Simmetriya tekisliklari soni Bir nechta

Muntazam dodekaedrning mavjudligi

Muntazam ko'pburchak mavjud bo'lib, uning barcha yuzlari muntazam beshburchaklar va har bir tepadan 3 ta qirralar chiqadi. Bu koʻpburchakning 12 ta yuzi, 30 ta qirrasi va 20 ta choʻqqisi bor va u dodekadr (dodeka — oʻn ikki) deb ataladi.

Isbot.

Ko'rib turganingizdek, biz hozir mavjudligini isbotlashga urinayotgan ko'pburchakning yuzlari va cho'qqilari soni ikosadrning uchlari va yuzlari soniga teng. Shunday qilib, agar biz ushbu teoremada ko'rsatilgan ko'pburchakning mavjudligini isbotlasak, u albatta ikosahedrga ikkilik bo'lib chiqadi. Kub va oktaedr misolida biz qo'sh figuralarning birining uchlari ikkinchisining yuzlarining markazlarida yotish xususiyatiga ega ekanligini ko'rdik. Bu ushbu teoremani isbotlash g'oyasiga olib keladi.

Ikosaedrni oling va uning yuzlari markazlarida uchlari bo'lgan ko'pburchakni ko'rib chiqing. Ko'rinib turibdiki, ikosahedrning umumiy cho'qqisi bo'lgan beshta yuzining markazlari bir tekislikda yotadi va muntazam beshburchakning uchlari bo'lib xizmat qiladi (bu lemmani isbotlashda ishlatilganiga o'xshash tarzda tekshirilishi mumkin). ). Demak, ikosahedrning har bir uchi yuzlari muntazam beshburchaklar bo'lgan va barcha ikki burchakli burchaklar teng bo'lgan yangi ko'pburchakning yuziga to'g'ri keladi. Bu shuni anglatadiki, yangi ko'pburchakning bir xil cho'qqisidan chiqadigan har qanday uchta qirrani muntazam uchburchak piramidaning yon qirralari deb hisoblash mumkin va barcha hosil bo'lgan piramidalar tengdir (ularning o'rtasida teng yon qirralar va tekis burchaklar mavjud, ular muntazam uchburchak piramidaning burchaklari).beshburchak). Yuqorida aytilganlardan kelib chiqadiki, hosil bo'lgan ko'pburchak muntazam va 12 ta yuz, 30 qirra va 20 cho'qqiga ega. Bunday ko'pburchak dodekadr deb ataladi.

Shunday qilib, uch o'lchovli fazoda oddiy ko'p yuzlilarning faqat besh turi mavjud. Biz ularning shaklini aniqladik va barcha ko'pburchaklarning ularning dubllari borligini aniqladik. Kub oktaedrga dual va aksincha. Ikosaedrdan dodekadrga va aksincha. Tetraedr o'zi uchun ikkitadir.

Muntazam ko‘pburchaklar uchun Eyler formulasi

Shunday qilib, aniq beshta muntazam ko'pburchak borligi aniqlandi. Va ulardagi qirralarning, yuzlarning, cho'qqilarning sonini qanday aniqlash mumkin? Kenarlari kam bo'lgan ko'pburchaklar uchun buni qilish qiyin emas, lekin, masalan, ikosahedr uchun bunday ma'lumotni qanday olish mumkin? Mashhur matematik L. Eyler har qanday ko‘pburchakning uchlari /V/, yuzlari /G/ va qirralari /R/ sonini bog‘lovchi V+G-R=2 formulasini oldi. Ushbu formulaning soddaligi shundaki, u masofa yoki burchaklar bilan hech qanday aloqasi yo'q. Muntazam ko'pburchakning qirralari, uchlari va yuzlari sonini aniqlash uchun biz birinchi navbatda k \u003d 2y - xy + 2x sonini topamiz, bu erda x - bir yuzga tegishli qirralarning soni, y - yaqinlashuvchi yuzlar soni bir tepada. Muntazam ko‘pburchakning yuzlari, uchlari va qirralari sonini topish uchun formulalardan foydalanamiz. Shundan so'ng, oddiy ko'pburchaklar elementlari haqida ma'lumot beruvchi jadvalni to'ldirish oson:

Nom cho'qqilari (V) Qirralar (P) Yuzlar (D) Formula

Tetraedr 4 6 4 4-6+4=2

Olti yuzli (Kub) 8 12 6 8-12+6=2

Oktaedr 6 12 8 6-12+8=2

Ikosaedr 12 30 20 12-30+20=2

Dodekaedr 20 30 12 20-30+12=2

II bob: Hayotdagi muntazam ko'pburchaklar

Kosmos va Yer

Koinotning, shu jumladan bizning sayyoramizning tuzilishi haqida ko'pburchaklar bilan bog'liq ko'plab faraz va nazariyalar mavjud. Quyida ulardan ba'zilari keltirilgan.

I. Kepler tomonidan dunyoning uyg'un tuzilishi tizimida muntazam ko'pburchaklar muhim o'rin egallagan. Uyg'unlik, go'zallik va koinotning matematik jihatdan muntazam tuzilishiga bo'lgan bir xil e'tiqod I. Keplerni beshta muntazam ko'pburchaklar mavjud bo'lganligi sababli ularga faqat oltita sayyora mos keladi, degan fikrga olib keldi. Uning fikricha, sayyoralarning sharlari ularda yozilgan Platonik qattiq jismlar bilan o'zaro bog'langan. Har bir muntazam ko'pburchak uchun chizilgan va chegaralangan sharlarning markazlari bir-biriga to'g'ri kelganligi sababli, butun model yagona markazga ega bo'lib, unda Quyosh joylashgan bo'ladi.

Ulkan hisoblash ishlarini bajarib, 1596 yilda I. Kepler o'z kashfiyotining natijalarini "Olam siri" kitobida e'lon qildi. U kubni Saturn orbitasi sferasiga, kubga - Yupiter sferasiga, Yupiter sferasiga - tetraedrga yozadi va shunga o'xshash tarzda bir-biriga Mars sferasi - dodekaedr, Yer sferasi mos keladi. - ikosahedr, Venera sferasi - oktaedr, Merkuriy sferasi. Koinotning siri ochiq ko'rinadi.

Bugungi kunda sayyoralar orasidagi masofalar hech qanday ko'pburchak bilan bog'liq emas deb aytish mumkin. Ammo, ehtimol, I.Keplerning «Olam sirlari», «Dunyo garmoniyasi»siz muntazam ko‘pburchaklarsiz I.Keplerning uchta mashhur qonuni bo‘lmagan bo‘lardi, ular harakatni tavsiflashda muhim rol o‘ynaydi. sayyoralar.

Bu ajoyib jismlarni yana qayerda ko'rish mumkin? Asrimiz boshidagi nemis biologi E.Gekkelning “Tabiatdagi shakllarning go‘zalligi” nomli juda chiroyli kitobida quyidagi satrlarni o‘qish mumkin: “Tabiat o‘z bag‘rida bitmas-tuganmas hayratlanarli mavjudotlarni oziqlantiradi. go'zallik va xilma-xillikda inson san'ati tomonidan yaratilgan barcha shakllardan ustundir." Bu kitobdagi tabiat ijodlari go'zal va simmetrikdir. Bu tabiiy uyg'unlikning ajralmas xususiyatidir. Ammo bu erda siz bir hujayrali organizmlarni ham ko'rishingiz mumkin - feodarii, ularning shakli ikosahedrni aniq uzatadi. Bunday tabiiy geometriyaga nima sabab bo'ldi? Ehtimol, yuzlari bir xil bo'lgan barcha ko'pburchaklar tufayli, bu eng katta hajm va eng kichik sirt maydoniga ega bo'lgan ikosahedrdir. Bu geometrik xususiyat dengiz mikroorganizmiga suv ustunining bosimini engishga yordam beradi.

Shunisi qiziqki, aynan ikosahedr biologlarning viruslarning shakli haqidagi bahslarida diqqat markazida bo'lgan. Virus ilgari o'ylangandek, mukammal yumaloq bo'lishi mumkin emas. Uning shaklini o'rnatish uchun ular turli xil ko'pburchaklarni oldilar, ularga nurni virusga atomlar oqimi bilan bir xil burchak ostida yo'naltirdilar. Ma'lum bo'lishicha, faqat bitta ko'pburchak aynan bir xil soyani - ikosahedrni beradi. Uning yuqorida aytib o'tilgan geometrik xususiyatlari genetik ma'lumotni saqlashga imkon beradi. Oddiy ko'pburchaklar eng foydali raqamlardir. Va tabiat bundan foydalanadi. Bizga tanish bo'lgan ba'zi moddalarning kristallari muntazam ko'pburchaklar shaklida bo'ladi. Shunday qilib, kub natriy xlorid kristallari shaklini uzatadi NaCl, alyuminiy-kaliy alumining monokristali (KAlSO4) 2 12H2O oktaedr shakliga ega, oltingugurt piritining kristalli FeS dodekadr shakliga ega, antimon sulfati natriydir. tetraedr, bor ikosahedr. Muntazam polihedralar ba'zi kimyoviy moddalarning kristall panjaralari shaklini aniqlaydi. Bu fikrni quyidagi muammo bilan tasvirlaymiz.

Vazifa. CH4 metan molekulasining modeli oddiy tetraedr shakliga ega bo'lib, to'rtta uchida vodorod atomlari va markazda uglerod atomi joylashgan. Ikki CH-bog' orasidagi bog'lanish burchagini aniqlang.

Yechim. Muntazam tetraedrning oltita teng qirrasi bo'lganligi sababli, uning yuzlarining diagonallari oddiy tetraedrning qirralari bo'ladigan kubni tanlash mumkin. Kubning markazi ham tetraedrning markazidir, chunki tetraedrning to'rtta uchi ham kubning uchlari bo'lib, ular atrofida tasvirlangan shar bir tekislikda yotmaydigan to'rtta nuqta bilan noyob tarzda aniqlanadi. Ikki CH aloqasi orasidagi kerakli burchak j AOS burchagiga teng. AOC uchburchagi teng yon tomonli. Demak, bu yerda a kubning tomoni, d tetraedrning yon yuzi yoki chetining diagonalining uzunligi. Demak, qaerdan = 54,73561O va j = 109,47O

Erning shakli haqidagi savol doimo qadimgi davr olimlarining ongida edi. Va Yerning sharsimon shakli haqidagi faraz tasdiqlangach, Yerning shakli dodekaedr degan fikr paydo bo'ldi. Shunday qilib, Platon allaqachon yozgan: "Agar siz unga yuqoridan qarasangiz, er 12 bo'lak teridan tikilgan to'pga o'xshaydi". Platonning bu gipotezasi fiziklar, matematiklar va geologlarning asarlarida keyingi ilmiy rivojlanishni topdi. Shunday qilib, frantsuz geologi de Beamont va mashhur matematik Puankare Yerning shakli deformatsiyalangan dodekaedr deb hisoblashgan.

Yana bir gipoteza mavjud. Uning ma'nosi shundaki, Yer ikosahedr shakliga ega. Globusda ikkita parallel olinadi - 30o shimol va janubiy kenglik. Ularning har biridan yarim sharning qutbigacha bo'lgan masofa 60o, ular orasida ham 60o. Ushbu parallellarning shimolida nuqtalar to'liq doiraning 1/5 qismi yoki 72o orqali belgilanadi: 32o, 104o va 176o meridianlari bilan kesishgan joyda. d. va 40o va 112o z. e) janubiy parallelda nuqtalar meridianlar bilan kesishgan nuqtalarda belgilangan: 68o va 140o dyuymlar orasidagi aniq o'rtadan o'tadi. va 4o, 76o va 148o z. e) 30o s paralleldagi besh nuqta. sh. , beshta - 30o S parallel bo'yicha. sh. va Yerning ikkita qutbi va ko'pburchakning 12 uchini tashkil qiladi.

Rossiyalik geolog S. Kislitsin ham Yerning o'n ikki yuzli shakli haqida fikr bildirdi. U 400-500 million yil avval dodekaedral geosfera geoikosaedrga aylangan deb faraz qildi. Biroq, bunday o'tish to'liq va to'liq bo'lmagan bo'lib chiqdi, buning natijasida geododekaedr ikosahedr tuzilishiga kiritilgan. So'nggi yillarda Yerning ikosahedral-dodekaedr shakli haqidagi gipoteza sinovdan o'tkazildi. Buning uchun olimlar dodekadrning o'qini globus o'qi bilan tenglashtirdilar va bu ko'pburchakni uning atrofida aylantirib, uning qirralari er qobig'idagi ulkan buzilishlarga (masalan, O'rta Atlantika bilan) to'g'ri kelishiga e'tibor qaratdilar. suv osti tizmasi). Keyin ikosahedrni ko'pburchak sifatida olib, uning qirralari er qobig'ining kichikroq bo'linishlari (tizmalar, yoriqlar va boshqalar) bilan mos kelishini aniqladilar. Bu kuzatishlar yer qobig‘ining tektonik tuzilishi dodekadr va ikosahedr shakllariga o‘xshash degan farazni tasdiqlaydi.

Gipotetik geokristalning tugunlari, go'yo, sayyoradagi ma'lum anomaliyalarning markazlari: ular o'z ichiga dunyoning barcha ekstremal atmosfera bosimi markazlarini, bo'ronlar kelib chiqadigan hududlarni o'z ichiga oladi; ikosahedrning tugunlaridan birida (Gabonda) 1,7 milliard yil oldin ishlayotgan "tabiiy atom reaktori" topildi. Gigant foydali qazilma konlari (masalan, Tyumen neft koni), hayvonot dunyosi anomaliyalari (Baykal ko'li), insoniyat madaniyati rivojlanish markazlari (Qadimgi Misr, proto-Hind sivilizatsiyasi Moxenjo-Daro, Shimoliy Mo'g'uliston va boshqalar). ko'pburchaklarning ko'p tugunlari bilan chegaralangan.

Yana bitta taxmin bor. Pifagor, Platon, I. Keplerning muntazam ko'pburchaklarning dunyoning uyg'un tuzilishi bilan bog'liqligi haqidagi g'oyalari bizning davrimizda qiziqarli ilmiy farazda o'z davomini topdi, uning mualliflari (80-yillarning boshlarida) Moskva muhandislari. V. Makarov va V. Morozov. Ular Yerning yadrosi sayyorada sodir bo'layotgan barcha tabiiy jarayonlarning rivojlanishiga ta'sir qiluvchi o'sib borayotgan kristalning shakli va xususiyatlariga ega, deb hisoblashadi. Ushbu kristallning nurlari, to'g'rirog'i, uning kuch maydoni Yerning ikosahedral-dodekaedral tuzilishini aniqlaydi, bu o'zini er qobig'ida, go'yo globusda yozilgan muntazam ko'pburchaklarning proektsiyalari paydo bo'lishida namoyon qiladi: ikosahedr va dodekaedr. Mualliflar tomonidan tugunlar deb ataladigan 62 ta tepa va qirralarning o'rta nuqtalari ba'zi tushunarsiz hodisalarni tushuntirishga imkon beradigan bir qator o'ziga xos xususiyatlarga ega.

Erni keyingi o'rganish, ehtimol, bu go'zal ilmiy farazga munosabatni aniqlaydi, bunda muntazam ko'pburchaklar muhim o'rin tutadi.

Muntazam polihedralar bilan bog'liq yana bir savol tug'iladi: ular orasida bo'shliqlar bo'lmasligi uchun ular bilan bo'sh joyni to'ldirish mumkinmi? Bu oddiy ko'pburchaklarga o'xshashlik tufayli yuzaga keladi, ularning ba'zilari tekislikni to'ldirishi mumkin. Ma'lum bo'lishicha, siz bo'sh joyni faqat bitta oddiy ko'pburchak kub yordamida to'ldirishingiz mumkin. Bo'shliqni rombsimon dodekaedrlar bilan ham to'ldirish mumkin. Buni tushunish uchun siz muammoni hal qilishingiz kerak.

Vazifa. Fazoviy "xoch" ni tashkil etuvchi etti kub yordamida rombsimon dodekaedr quring va ular bo'shliqni to'ldirishi mumkinligini ko'rsating.

Yechim. Kublar bo'sh joyni to'ldirishi mumkin. Kubik panjaraning bir qismini ko'rib chiqing. Biz o'rta kubni tegmasdan qoldiramiz va "chegaralash" kublarning har birida biz olti juft qarama-qarshi qirralarning barchasi orqali tekisliklarni chizamiz. Bunday holda, "atrofdagi" kublar oltita teng piramidaga bo'linadi, asoslari kvadrat va yon qirralari kub diagonalining yarmiga teng. Tegilgan kubga tutashgan piramidalar ikkinchisi bilan birga rombsimon dodekaedrni hosil qiladi. Bundan ko'rinib turibdiki, butun bo'shliqni rombsimon dodekaedrlar bilan to'ldirish mumkin. Natijada, biz rombsimon dodekaedrning hajmi qirrasi dodekaedr yuzining kichikroq diagonaliga to'g'ri keladigan kub hajmining ikki barobariga teng ekanligini aniqlaymiz.

Ushbu muammoni hal qilib, biz rombik dodekaedrlarga keldik. Qizig'i shundaki, bo'shliqni bo'shliqlarsiz to'ldiradigan ari hujayralari ham ideal geometrik shakllardir. Asalarilar hujayrasining yuqori qismi rombsimon dodekaedrning bir qismidir.

1525 yilda Dyurer risola yozdi, unda u beshta oddiy ko'pburchakni taqdim etdi, ularning sirtlari yaxshi istiqbolli modellar bo'lib xizmat qiladi.

Shunday qilib, muntazam polihedralar bizga olimlarning dunyo uyg'unligi siriga yaqinlashishga urinishlarini ochib berdi va geometriyaning chidab bo'lmas jozibadorligini ko'rsatdi.

Muntazam ko'p yuzli va oltin nisbat

Uyg'onish davrida haykaltaroshlar, me'morlar va rassomlar muntazam ko'p yuzli shakllarga katta qiziqish bildirishdi. Masalan, Leonardo da Vinchi ko'pburchaklar nazariyasini yaxshi ko'rardi va ularni ko'pincha o'z rasmlarida tasvirlardi. U o'zining do'sti rohib Luka Paciolining (1445 - 1514) "Ilohiy nisbat to'g'risida" kitobini muntazam va yarim muntazam ko'pburchaklar tasvirlari bilan tasvirlagan.

1509 yilda Venetsiyada Luka Pacioli "Ilohiy nisbat to'g'risida" kitobini nashr etdi. Pacioli beshta Platonik qattiq jismda - muntazam ko'pburchaklar (tetraedr, kub, oktaedr, ikosahedr va dodekaedr) "ilohiy nisbat" ning o'n uchta ko'rinishida topilgan. "O'n ikkinchi, deyarli g'ayritabiiy mulk to'g'risida" bobida u muntazam ikosahedrni ko'rib chiqadi. Ikosaedrning har bir uchida beshta uchburchaklar birlashib, muntazam beshburchak hosil qiladi. Agar siz ikosahedrning har qanday ikkita qarama-qarshi chetini bir-biriga bog'lasangiz, siz to'rtburchakka ega bo'lasiz, uning katta tomoni kichikroq bilan bog'liq, chunki tomonlarning yig'indisi kattaroqdir.

Shunday qilib, oltin nisbat, qadimgi olimlarning fikriga ko'ra, koinotning asosini tashkil etadigan beshta muntazam ko'p yuzli geometriyada namoyon bo'ladi.

Buyuk rassomlarning rasmlarida Platonning qattiq jismlarining geometriyasi

Uyg'onish davrining mashhur rassomi, geometriyani ham yaxshi ko'radigan A. Dyurer edi. Uning mashhur "Melanxoliya" gravyurasida oldingi o'rinda dodekaedr tasvirlangan.

Rassom Salvador Dalining "So'nggi kechki ovqat" kartinasi tasvirini ko'rib chiqing. Rasmning oldingi qismida ulkan shaffof dodekaedr fonida Masih shogirdlari bilan tasvirlangan.

Kristallar tabiiy ko'pburchaklardir

Ko'pburchaklarning ko'p shakllari insonning o'zi tomonidan emas, balki tabiat tomonidan kristallar shaklida ixtiro qilingan.

Ko'pincha odamlar kristallarning ajoyib, yorqin ko'pburchaklariga qarab, ularni inson tomonidan emas, balki tabiat tomonidan yaratilganiga ishonishmaydi. Shuning uchun kristallar haqida juda ko'p ajoyib xalq ertaklari tug'ildi.

Qiziqarli yozma materiallar saqlanib qolgan, masalan, sirli kuchlar qimmatbaho toshlarga tegishli bo'lgan maxsus marosimlar va afsunlar bilan toshni davolash usullari tavsifini o'z ichiga olgan "Ebers papirusi".

Anor kristalli baxt keltiradi, deb ishonishgan. U rombsimon dodekaedr (ba'zan rombsimon yoki rombsimon dodekaedr deb ataladi) shakliga ega - yuzlari o'n ikkita teng rombdan iborat.

Granat uchun dodekadli kristallar shunchalik xoski, bunday ko'pburchakning shakli hatto garnetohedr deb ham atalgan.

Granat asosiy tosh hosil qiluvchi minerallardan biridir. Skarnlar deb ataladigan granat jinslaridan tashkil topgan ulkan jinslar mavjud. Biroq, qimmatbaho, chiroyli rangli va shaffof toshlar keng tarqalgan emas. Shunga qaramay, arxeologlar aynan granat - qon-qizil piropni eng qadimiy bezak deb bilishadi, chunki u Evropada qadimgi neolit ​​davrida zamonaviy Chexiya va Slovakiya hududida topilgan va u hozirda juda mashhur.

Garnet, ya'ni rombododekaedr ko'p yuzli qadim zamonlardan beri ma'lum bo'lganligi uning nomining kelib chiqish tarixi bilan baholanishi mumkin, bu qadimgi yunoncha "qizil bo'yoq" degan ma'noni anglatadi. Shu bilan birga, bu nom qizil rang bilan bog'liq edi - garnetlarning eng keng tarqalgan rangi.

Garnet qimmatbaho toshlarni biluvchilar tomonidan juda qadrlanadi. U birinchi darajali zargarlik buyumlarini yasashda ishlatiladi, granat uni kiygan ayollarga oldindan ko'rish sovg'asini etkazish qobiliyatiga ega va ulardan og'ir fikrlarni haydab chiqaradi, shu bilan birga u erkaklarni zo'ravon o'limdan himoya qiladi.

Grenadalar vaziyatning g'ayrioddiyligini, odamlar harakatlarining ekssentrikligini ta'kidlaydi, ularning his-tuyg'ularining pokligi va yuksakligini ta'kidlaydi.

Bu YANVAR oyida tug'ilgan odamlar uchun talisman toshidir.

Shakli yaxshi o'rganilgan va muntazam, yarim muntazam va yulduz shaklidagi polihedralarni ifodalovchi toshlarni ko'rib chiqing.

Pirit o'z nomini yunoncha pyros so'zidan oladi, ya'ni olov. Unga zarba uchqunni keltirib chiqaradi, qadimgi davrlarda pirit bo'laklari chaqmoq tosh bo'lib xizmat qilgan. Yuzlardagi ko'zgu porlashi piritni boshqa sulfidlardan ajratib turadi. Sayqallangan pirit yanada yorqinroq porlaydi. Sayqallangan piritdan yasalgan nometall arxeologlar tomonidan inklarning qabrlaridan topilgan. Shuning uchun, pirit ham shunday noyob nomga ega - Inkalarning toshi. Oltin to'lqini epidemiyalari paytida, kvarts tomiridagi pirit spangles, yuvish idishidagi nam qumda bir nechta issiq boshga aylandi. Hozir ham yangi toshni sevuvchilar piritni oltin bilan xato qilishadi.

Ammo, keling, yaxshilab ko'rib chiqaylik, maqolni tinglang: "Yaltiroqning hammasi oltin emas!" piritning rangi guruch sariqdir. Pirit kristallarining qirralari kuchli metall porlashi bilan quyiladi. ? bu yerda tanaffusda yorqinlik xiralashgan.

Piritning qattiqligi 6-6,5 ni tashkil qiladi, shishani osongina tirnaydi. Bu sulfidlar sinfidagi eng qattiq mineraldir.

Va shunga qaramay, piritning ko'rinishidagi eng xarakterli narsa kristallarning shaklidir. Ko'pincha bu kubdir. Yoriqlar bo'ylab joylashgan eng kichik kublardan tortib, qovurg'a balandligi 5 sm, 15 sm va hatto 30 sm bo'lgan kublargacha! magnetit.Pirit uchun ular juda kam uchraydi.Ammo pirit bir xil nomli shaklni shaxsan hayratda qoldirishga imkon beradi - pentagondodecaedr."Penta" beshta, bu shaklning barcha yuzlari besh qirrali va "dodeca" - o'nlab. - jami o'n ikkita. Piritning bu shakli shunchalik xoski, qadimgi kunlarda hatto "piritoedr" nomini olgan.

kassetit

Kassiterit - qalayning asosiy rudasi bo'lgan porloq, mo'rt jigarrang mineral. Shakli juda esda qolarli - baland tetraedral, yuqorida va pastda o'tkir piramidalar, o'rtada esa - qisqa ustun, shuningdek, qirrali. Ko'rinishidan ancha farq qiladigan kassiterit kristallari kvarts tomirlarida o'sadi. Chukchi yarim orolida Iultin koni mavjud bo'lib, u erda ajoyib kassiterit kristallari bo'lgan tomirlar qadimdan mashhur bo'lgan.

Galena metallga o'xshaydi va uni rudada sezmaslik mumkin emas. U darhol kuchli metall nashrida va og'irlikni beradi. Galena deyarli har doim kumush kublar (yoki parallelepipedlar). Va bu butun kristallar bo'lishi shart emas. Galena kub shaklida mukammal dekoltega ega. Bu shuni anglatadiki, u shaklsiz bo'laklarga emas, balki toza kumushrang yaltiroq kubiklarga bo'linadi. Uning tabiiy kristallari oktaedr yoki kuboktaedrga o'xshaydi. Galena ham shunday xususiyat bilan ajralib turadi: bu mineral yumshoq va kimyoviy jihatdan juda chidamli emas.

ZIRKONIY

"Zirkon" - forscha "shoh" va "qurol" - oltin rang so'zlaridan.

Zirkonyum 1789/0 yilda qimmatbaho Seylon sirkonida topilgan. Bu elementning kashfiyotchisi M. Klaportdir. Ajoyib shaffof va yorqin porloq tsirkonlar antik davrda mashhur bo'lgan. Bu tosh Osiyoda juda qadrlangan.

Yadro reaktorlarida tsirkoniy novda qobiqlari va boshqa strukturaviy detallar paydo bo‘lishidan oldin kimyogarlar va metallurglar qattiq mehnat qilishlari kerak edi.

Shunday qilib, sirkon samarali marvarid - to'q sariq, somon sariq, ko'k - ko'k, yashil - olmosdek porlaydi va o'ynaydi.

Zirkonlar ko'pincha xarakterli oqlangan shakldagi kichik muntazam kristallar bilan ifodalanadi. Ularning kristall panjarasining motivi va shunga mos ravishda kristallarning shakli simmetriyaning to'rtinchi o'qiga bo'ysunadi. Zirkon kristallari tetragonal singoniyaga tegishli. Ular to'rtburchaklar kesimda. Kristalning o'zi esa tetragonal prizmadan (ba'zan u chetlari bo'ylab ikkinchi shunga o'xshash prizma bilan o'ralgan) va prizmani ikkala uchida to'ldiradigan tetragonal bipiramidadan iborat.

Uchlarida ikkita dipiramida bo'lgan kristallar yanada ajoyib: biri tepada, ikkinchisi esa faqat prizma va yuqori piramida orasidagi qirralarni xiralashtiradi.

Tuz kristallari kub shakliga ega, muz kristallari va tosh kristall (kvars) har ikki tomondan silliqlangan qalamga o'xshaydi, ya'ni ular olti burchakli prizma shakliga ega bo'lib, uning asosida olti burchakli piramidalar joylashgan.

Olmos ko'pincha oktaedr, ba'zan kub va hatto kuboktaedr shaklida uchraydi.

Tasvirni ikkiga bo'lgan Islandiya shpiti qiya parallelepiped shakliga ega.

Qiziqarli

Boshqa barcha muntazam polihedralarni kubdan transformatsiyalar orqali olish mumkin.

Tuxumning bo'linishi jarayonida dastlab to'rt hujayradan iborat tetraedr, so'ngra oktaedr, kub va nihoyat gastrulaning dodekaedr-ikosahedral tuzilishi hosil bo'ladi.

Va nihoyat, ehtimol, eng muhimi, hayotning genetik kodining DNK tuzilishi aylanadigan dodekadrning to'rt o'lchovli (vaqt o'qi bo'ylab) siljishidir!

Muntazam ko'pburchaklar omad keltiradi, deb ishonilgan. Shuning uchun, nafaqat kub shaklida, balki boshqa barcha shakllarda suyaklar mavjud edi. Masalan, dodekaedr shaklidagi suyak d12 deb nomlangan.

Nemis matematigi Avgust Ferdinand Möbius o'zining "Ko'p yuzlilar hajmi to'g'risida" asarida aql bovar qilmaydigan xususiyatga ega bo'lgan geometrik sirtni tasvirlab berdi: uning faqat bir tomoni bor! Agar siz qog'oz chizig'ining uchlarini yopishtirsangiz, avval ulardan birini 180 gradusga aylantirsangiz, biz Mobius tasmasi yoki chizig'ini olamiz. O'ralgan lentani 2 rangga bo'yashga harakat qiling - biri tashqi tomondan, ikkinchisi ichki tomondan. Siz muvaffaqiyat qozonolmaysiz! Biroq, boshqa tomondan, Möbius chizig'ida sudralib yurgan chumoli qarama-qarshi tomonga o'tish uchun uning chetidan sudralishi shart emas.

"Doimiy qavariq ko'pburchaklar juda kam, - deb ta'kidlagan edi Lyuis Kerroll, "ammo bu otryad, juda kam sonli, ajoyib beshlik, ilm-fanning eng tubiga chuqur kirib borishga muvaffaq bo'ldi. »

Bu misollarning barchasi Platon intuitsiyasining ajoyib tushunchasini tasdiqlaydi.

Xulosa

Taqdim etilgan ish quyidagilarni ko'rib chiqadi:

Qavariq ko'p yuzlilarning ta'rifi;

Qavariq ko‘pyoqlamalarning asosiy xossalari, jumladan, berilgan ko‘pburchakning uchlari, qirralari va yuzlari soniga oid Eyler teoremasi;

Muntazam ko'pburchakning ta'rifi, faqat beshta muntazam ko'pburchak mavjudligi isbotlangan;

Muntazam ko'pburchakning ajralmas qismi bo'lgan muntazam n burchakli piramidaning xarakterli burchaklari orasidagi munosabatlar batafsil ko'rib chiqiladi;

Muntazam tetraedrning ba'zi xususiyatlari, masalan, hajm, sirt maydoni va boshqalar batafsil ko'rib chiqiladi.

Qo'shimchalarda qavariq ko'p yuzlilarning asosiy xossalari va ushbu maqolada keltirilgan boshqa teoremalarning dalillari mavjud. Yuqoridagi teoremalar va munosabatlar stereometriyadagi ko'plab muammolarni hal qilishda foydali bo'lishi mumkin. Ishdan ma'lumotnoma va illyustrativ material sifatida stereometriyaning ayrim mavzularini o'rganishda foydalanish mumkin.

Ko'pburchaklar bizni hamma joyda o'rab oladi: bolalar kubiklari, mebellar, me'moriy inshootlar va boshqalar. Kundalik hayotda biz ularni deyarli sezmay qoldik, lekin hamma uchun tanish bo'lgan ob'ektlar tarixini bilish juda qiziq, ayniqsa bu juda hayajonli bo'lsa.

Russkix Egor, Tarasov Dmitriy

Atrofimizdagi dunyo shakllar dunyosi, u juda xilma-xil va hayratlanarli. Bizni turli xil uy-ro'zg'or buyumlari o'rab oladi. Ushbu mavzuni o'rganib chiqqanimizdan so'ng, biz haqiqatan ham ko'pburchaklar bizni hamma joyda o'rab turganini va hayotning turli sohalarida mavjudligini ko'rdik.

Yuklab oling:

Ko‘rib chiqish:

https://accounts.google.com

Slayd sarlavhalari:

Muntazam ko'pburchaklar

Ajoyib ko'pburchak

Yulduzli ko'pburchaklar

Tabiatdagi ko'pburchaklar

Tabiatdagi ko'pburchaklar

E'tiboringiz uchun rahmat!

Ko‘rib chiqish:

Taqdimotlarni oldindan ko‘rishdan foydalanish uchun Google hisobini (hisobini) yarating va tizimga kiring: https://accounts.google.com

Slayd sarlavhalari:

Fanda va hayotning ba'zi boshqa sohalarida muntazam poligonlar Loyiha mualliflari: ruslarning 8-sinf o'quvchilari Egor Tarasov Dmitriy. Ilmiy rahbar: matematika o‘qituvchisi Raxmanqulova E.R.

Muammoli savol. Ko'pburchaklar hayotimizda qanday rol o'ynaydi? Tadqiqot ob'ekti: ko'pburchaklar. Tadqiqot predmeti: ko'pburchaklarni atrofimizdagi dunyoda amaliy qo'llash.

Maqsad: ushbu mavzu bo'yicha bilimlarni tizimlashtirish va ko'pburchaklar va ularni amaliy qo'llash haqida yangi ma'lumotlarni olish. Vazifalar: 1. Mavzu bo'yicha adabiyotlarni o'rganish. 2. Muntazam ko‘pburchaklarning bizni o‘rab turgan dunyoda amaliy qo‘llanilishini ko‘rsating.

Tadqiqot usullari: 1. Ilmiy (adabiyotshunoslik); 2. Tadqiqot. Gipoteza: Ko'pburchaklar inson atrofida go'zallikni yaratadi.

Muntazam ko'pburchaklar

Sehrli kvadrat 4 9 2 3 5 7 8 1 6

Ajoyib ko'pburchak

Yulduzli ko'pburchaklar

Tabiatdagi poligonlar P3: P4: P6 = 1: 0,877: 0,816

Tabiatdagi ko'pburchaklar

Tabiatdagi ko'pburchaklar

Atrofimizdagi poligonlar Parket

Xulosa Geometriyasiz hech narsa bo'lmaydi, bizni o'rab turgan hamma narsa geometrik shakllardir. Ammo biz bunga e'tibor berishni unutamiz.

Xulosa Atrofimizdagi dunyo - bu shakllar dunyosi, u juda xilma-xil va hayratlanarli. Bizni turli xil uy-ro'zg'or buyumlari o'rab oladi. Ushbu mavzuni o'rganib chiqqanimizdan so'ng, biz haqiqatan ham ko'pburchaklar bizni hamma joyda o'rab turganini va hayotning turli sohalarida mavjudligini ko'rdik.

E'tiboringiz uchun rahmat!

Ko‘rib chiqish:

Taqdimotlarni oldindan ko‘rishdan foydalanish uchun Google hisobini (hisobini) yarating va tizimga kiring:

"Ko'pburchaklar" - "Ko'pburchaklar" mavzusida mustaqil ishlash uchun material O'yin uchun vazifalar. Uchburchak (teng qirrali). singan chiziq. Qavariq bo'lmagan. Kompilyator. Soloninkina T.V. Ko'pburchak bilan chegaralangan tekislikning oxirgi qismi. Qavariq beshburchak chizing. Pentagon. Muntazam ko'pburchaklar. Mutaxassis 2.

"Ko'pburchak maydonini o'lchash" - Yangi narsalarni o'rganish. 1. Shaklning maydoni qanday o'lchanadi? – Hudud tushunchasi hammaga hayotiy tajribadan ma’lum. Abu-r-Rayxon al-Buruniy. 3. Darsning maqsadi: Bugundan boshlab biz turli geometrik shakllarning maydonlarini hisoblashni o'rganamiz. Ko'pincha biz eshitamiz: "bizning kvartiramizning maydoni 63 m2." Cherevina Oksana Nikolaevna

"Raqamlar geometriyasi sohalari" - Maydonlari teng bo'lgan raqamlar teng deyiladi. H.S=(a?b):2. To'rtburchak, uchburchak, parallelogramm. C.S=a?b. D. O'qituvchi: Ivniaminova L.A. Raqamlar sohalari. A. B. b. Mualliflar: Zyryanova N. Jafarova A 8b sinf.

"Doimiy ko'pburchak" - Xulosa 1. Muntazam ko'pburchaklar. Asosiy formulalar. R. To‘g‘ri burchakli uchburchak. Natija 2. Muntazam ko'pburchak atrofida aylana. r. Oqibatlari. Muntazam ko'pburchak ichiga chizilgan doira. Oddiy olti burchakli. A. Formulalarni qo'llash. Har qanday oddiy ko'pburchakda siz aylana yozishingiz mumkin, bundan tashqari, faqat bitta.

"Parallelogramma" - Paralelogramma. Agar to'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari juft bo'lib teng bo'lsa, to'rtburchak parallelogramm bo'ladi. To'rtburchakning ikki tomoni teng va parallel bo'lsa. Paralelogramma nima? Paralelogrammaning xususiyatlari. Paralelogrammada qarama-qarshi tomonlar va qarama-qarshi burchaklar tengdir. Paralelogrammaning diagonallari kesishish nuqtasi bilan ikkiga bo'linadi.

"Romb kvadrat to'rtburchak" - "To'rtburchaklar" mavzusi bo'yicha masalalar yechish. A. Tekshirish testiga javoblar. Toping: MD + DN. Romb. Darsning maqsadi: “To'rtburchaklar” mavzusidagi nazariy materialni mustahkamlash. Nazariy mustaqil ish + (ha), - (yo'q) belgilarini qo'yib, jadvalni to'ldiring. Nazariy mustaqil ishlarga to‘g‘ri javoblar.

Mavzu bo'yicha jami 19 ta taqdimot mavjud