Tarqatishning shartli qonunlari. Regressiya.

Ta'rif. Ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning (X, Y) bir o'lchovli komponentlaridan birining shartli taqsimot qonuni uning taqsimot qonuni bo'lib, boshqa komponent ma'lum bir qiymatni olgan (yoki qandaydir intervalgacha tushib qolgan) sharti bilan hisoblanadi. Oldingi ma'ruzada diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun shartli taqsimotlarni topish ko'rib chiqildi. Shartli ehtimollar uchun formulalar ham mavjud:

Uzluksiz tasodifiy miqdorlarda j y (x) va j X (y) shartli taqsimotlarning ehtimollik zichliklarini aniqlash kerak. Shu maqsadda yuqoridagi formulalarda hodisalarning ehtimolliklarini ularning "ehtimollik elementlari" bilan almashtiramiz,!

dx va dy tomonidan qisqartirilgandan so'ng biz quyidagilarni olamiz:

bular. ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning bir o‘lchovli komponentlaridan birining shartli ehtimollik zichligi uning qo‘shma zichligining boshqa komponentning ehtimollik zichligiga nisbatiga teng. Bu nisbatlar shaklda yoziladi

taqsimot zichliklarini ko'paytirish teoremasi (qoidasi) deb ataladi.

Shartli zichliklar j y (x) va j X (y). "shartsiz" zichlikning barcha xususiyatlariga ega.

Ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchilarni o'rganishda biz ko'rib chiqamiz raqamli xususiyatlar bir o'lchovli komponentlar X va Y - matematik taxminlar va dispersiyalar. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi (X, Y) uchun ular quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:

Ular bilan bir qatorda shartli taqsimotlarning sonli xarakteristikalari ham ko'rib chiqiladi: shartli matematik taxminlar M x (Y) va M y (X) va shartli dispersiya D x (Y) va D Y (X). Bu xarakteristikalar matematik kutish va dispersiyaning odatiy formulalari orqali topiladi, ularda hodisa ehtimollari yoki ehtimollik zichligi o'rniga shartli ehtimollar yoki shartli ehtimollik zichligi qo'llaniladi.

Shartli kutilgan qiymat tasodifiy o'zgarmaydigan Y X = x da, ya'ni. M x (Y), x ning regressiya funktsiyasi yoki X da oddiy regressiya Y deb ataladigan funktsiyasi mavjud. Xuddi shunday, M Y (X) Y da regressiya funktsiyasi yoki oddiygina regressiya X deb ataladi. Bu funktsiyalarning grafiklari mos ravishda deyiladi. regressiya chiziqlari (yoki regressiya egri chiziqlari) Y ga X yoki X ga Y.

Bog'liq va mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar.

Ta'rif. X va Y tasodifiy o'zgaruvchilar, agar ularning qo'shma taqsimot funksiyasi F(x,y) ushbu tasodifiy o'zgaruvchilarning F 1 (x) va F 2 (y) taqsimot funktsiyalarining mahsuloti sifatida ifodalangan bo'lsa, mustaqil deyiladi, ya'ni.

Aks holda, X va Y tasodifiy o'zgaruvchilar bog'liq deb ataladi.

X va y argumentlariga nisbatan tenglikni ikki marta farqlab, biz hosil bo'lamiz

bular. mustaqil uzluksiz X va Y tasodifiy miqdorlar uchun ularning qo‘shma zichligi j(x, y) bu tasodifiy miqdorlarning j 1 (x) va j 2 (y) ehtimollik zichliklarining ko‘paytmasiga teng.

Shu paytgacha biz X va Y o'zgaruvchilari o'rtasidagi funksional bog'liqlik tushunchasiga duch keldik, bunda bir o'zgaruvchidagi x ning har bir qiymati ikkinchisida qat'iy belgilangan qiymatga to'g'ri keladi. Masalan, ikkita tasodifiy o'zgaruvchilar o'rtasidagi munosabat - muvaffaqiyatsiz bo'lgan uskunalar soni ma'lum davr vaqt va ularning narxi - funktsional.

Umuman olganda, funktsional bog'liqlikdan ko'ra qattiqroq bo'lgan boshqa turdagi qaramlikka duch keladi.

Ta'rif. Ikki tasodifiy o'zgaruvchi o'rtasidagi munosabatlar, agar ulardan birining har bir qiymati ikkinchisining ma'lum (shartli) taqsimotiga mos kelsa, ehtimollik (stokastik yoki statistik) deb ataladi.

Ehtimoliy (stokastik) qaramlik holatida, ulardan birining qiymatini bilib, ikkinchisining qiymatini aniq aniqlash mumkin emas, lekin siz faqat boshqa qiymatning taqsimlanishini ko'rsatishingiz mumkin. Masalan, asbob-uskunalarning nosozliklari soni va uning oldini olish xarajatlari, odamning vazni va bo'yi, maktab o'quvchisining televizor dasturlarini tomosha qilish va kitob o'qish uchun sarflagan vaqti va boshqalar o'rtasidagi bog'liqlik. probabilistik (stokastik).

Shaklda. 5.10 X va Y bog'liq va mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar misollarini ko'rsatadi.

  Bog'liq va mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar

 Tasodifiy o'zgaruvchilar tizimlarini o'rganishda doimo ularning bog'liqlik darajasi va tabiatiga e'tibor berish kerak. Bu qaramlik ko'p yoki kamroq ifodalanishi mumkin, ko'proq yoki kamroq yaqin. Ba'zi hollarda tasodifiy o'zgaruvchilar o'rtasidagi munosabatlar shu qadar yaqin bo'lishi mumkinki, bitta tasodifiy o'zgaruvchining qiymatini bilib, boshqasining qiymatini aniq ko'rsatishingiz mumkin. Boshqa ekstremal holatda, tasodifiy o'zgaruvchilar orasidagi bog'liqlik shunchalik zaif va uzoqdirki, ularni amalda mustaqil deb hisoblash mumkin.
 Mustaqil tasodifiy miqdorlar tushunchasi ehtimollar nazariyasining muhim tushunchalaridan biridir.
 A tasodifiy o'zgaruvchi \(Y\) tasodifiy o'zgaruvchiga \(X\) mustaqil deyiladi, agar \(Y\) qiymatning taqsimlanish qonuni \(X\) qiymatiga bog'liq bo'lmasa.
 Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun \(Y\) \(X\) dan mustaqil bo'lgan shartni quyidagicha yozish mumkin: $$f(y\mid x)=f_(2)(y)$$ har qanday \(y) uchun \).
 Aksincha, agar \(Y\) \(X\) ga bog'liq bo'lsa, $$f(y\mid x) \neq f_(2)(y)$$  Biz buni isbotlaymiz tasodifiy o'zgaruvchilarning bog'liqligi yoki mustaqilligi har doim o'zaro bo'ladi: agar \(Y\) qiymati \(X\) ga bog'liq bo'lmasa, \(X\) qiymati \(Y\) ga bog'liq emas.
 Haqiqatan ham, \(Y\) \(X\) dan mustaqil bo'lsin: $$f(y\mid x)=f_(2)(y)$$ bizda: $$f_(1)(x)f( y \mid x)=f_(2)(y)f(x\mid y)$$ qaerdan olamiz: $$f_(1)(x)=f(x\mid y)$$ isbotladi.
 Tasodifiy o'zgaruvchilarning bog'liqligi va mustaqilligi har doim o'zaro bo'lganligi sababli, biz mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilarga yangi ta'rif berishimiz mumkin.
 Tasodifiy o'zgaruvchilar \(X\) va \(Y\) mustaqil deyiladi, agar ularning har birining taqsimlanish qonuni ikkinchisining qiymatiga bog'liq bo'lmasa. Aks holda \(X\) va \(Y\) miqdorlar chaqiriladi qaram.
 Mustaqil uzluksiz tasodifiy oʻzgaruvchilar uchun taqsimot qonunining koʻpaytirish teoremasi tizimga kiritilgan alohida miqdorlarning taqsimot shaklini oladi.
Ko'pincha \(f(x, y)\) funktsiyasining o'ziga xos ko'rinishi bo'yicha \(X, Y\) tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil, ya'ni taqsimlanish zichligi \(f(x, y) bo'lsa) degan xulosaga kelish mumkin. \) mahsulotga ikkita funktsiyani ajratadi, ulardan biri faqat \(x\), ikkinchisi faqat \(y\) ga bog'liq, keyin tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil bo'ladi.
1-misol\((X, Y)\) tizimning taqsimlanish zichligi quyidagicha ko'rinishga ega: $$f(x, y)=\frac(1)(\pi ^(2)(x^(2)+y^() 2)+x ^(2)y^(2)+1))$$ \(X\) va \(Y\) tasodifiy oʻzgaruvchilar bogʻliq yoki mustaqil ekanligini aniqlang.
Yechim. Maxrajni koeffitsientga ajratsak, bizda: $$f(x, y)=\frac(1)(\pi (x^(2)+1))\frac(1)(\pi (y^(2)+1) ))$$ \(f(x, y)\) funksiyasi ikkita funksiya hosilasiga boʻlinganligidan, ulardan biri faqat \(x\), ikkinchisi esa faqat \(y\) ga bogʻliq. ), biz \(X\) va \(Y\) miqdorlar mustaqil bo'lishi kerak degan xulosaga kelamiz. Haqiqatan ham, formulalarni qo'llagan holda, bizda quyidagilar mavjud: $$f(x, y)=\frac(1)(\pi (x^(2)+1))\int_(-\infty)^(\infty)(\ frac( dy)(\pi (y^(2)+1)))=\frac(1)(\pi (x^(2)+1))$$ $$f(x, y)= (\frac (1)(\pi (y^(2)+1)))$$ buning uchun $$f(x, y)=f_(1)(x)f_(2)(y) ekanligiga ishonch hosil qilamiz. $$ va shuning uchun \(X\) va \(Y\) kattaliklar mustaqildir.

Tasodifiy o'zgaruvchilar tizimini o'rganishda doimo ularning bog'liqlik darajasi va tabiatiga e'tibor berish kerak. Bu qaramlik ko'proq yoki kamroq yaqin bo'lishi mumkin.

Mustaqil tasodifiy miqdorlar tushunchasi ehtimollik nazariyasining muhim tushunchalaridan biridir.

Ta'rif 1. Tasodifiy qiymat Y tasodifiy o'zgaruvchidan mustaqil deb ataladi x, miqdorning taqsimot qonuni bo'lsa Y qiymat tomonidan qabul qilingan qiymatga bog'liq emas x.

Uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun mustaqillik sharti Y dan X quyidagicha yozilishi mumkin:

Aksincha, agar Y ga bog'liq x, keyin

Keling, buni isbotlaylik Tasodifiy o'zgaruvchilarning bog'liqligi yoki mustaqilligi har doim o'zaro bo'ladi: qiymat bo'lsa Y ga bog'liq emas x, keyin qiymat X ga bog'liq emas Y.

Haqiqatan ham, ruxsat bering Y ga bog'liq emas X, keyin

(5.4.5) va (5.4.6) ga muvofiq qo'shma taqsimlash zichligi yozilishi mumkin

qayerdan olamiz:

Q.E.D.

Tasodifiy miqdorlarning bog'liqligi va mustaqilligi har doim o'zaro bo'lganligi sababli, mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilarga yangi ta'rif berish mumkin.

Ta'rif 2. tasodifiy o'zgaruvchilar X va Y mustaqil deyiladi, agar ularning har birining taqsimlanish qonuni ikkinchisi qanday qiymat olishiga bog'liq bo'lmasa. Aks holda, qiymatlar X va Y chaqirdi qaram.

Mustaqil uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun taqsimot qonunining ko'paytirish teoremasi quyidagi shaklni oladi:

bular. mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar tizimining taqsimlanish zichligi tizimga kiritilgan alohida o'zgaruvchilarning taqsimlanish zichliklari mahsulotiga teng.

Tasodifiy o‘zgaruvchilarning “bog‘liqligi” va “mustaqilligi” kabi muhim tushunchalarga batafsilroq to‘xtalib o‘tamiz.

Biz ehtimollar nazariyasida qo'llaydigan tasodifiy o'zgaruvchilarning "bog'liqligi" tushunchasi, biz matematikada amal qiladigan odatiy "bog'liqlik" tushunchasidan biroz farq qiladi. Darhaqiqat, odatda miqdorlarning "bog'liqligi" ostida ular faqat bir turdagi bog'liqlikni anglatadi - to'liq, qattiq, deb ataladigan. funktsional giyohvandlik. Ikki miqdor X va Y Agar ulardan birining qiymatini bilib, ikkinchisining qiymatini aniq ko'rsata olsa, ular funktsional jihatdan bog'liq deb ataladi.

Ehtimollar nazariyasida biz boshqa, umumiyroq, bog'liqlik turi bilan uchrashamiz ehtimollik yoki "stokastik" qaramlik. Qiymat bo'lsa Y qiymati bilan bog'liq X ehtimollik bog'liqligi, keyin, qiymatini bilish x, aniq qiymatni aniqlay olmaydi Y, va siz faqat qiymat qanday qiymat olganiga qarab, uning taqsimot qonunini belgilashingiz mumkin x.

Tasodifiy o'zgaruvchilar orasidagi ehtimollik bog'liqligi amaliyotda juda keng tarqalgan. Agar tasodifiy o'zgaruvchilar X va Y ehtimoliy bog'liqlikda bo'lsa, bu qiymatning o'zgarishi bilan degani emas X kattalik Y juda aniq tarzda o'zgarishlar; bu faqat qiymatning o'zgarishi bilan degan ma'noni anglatadi X kattalik Y ham oʻzgarishga moyil boʻladi (masalan, ortishi yoki kamayishi x).

Masalan, ikkita tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing: X- tasodifiy olingan odamning o'sishi, Y-- uning og'irligi. Shubhasiz, miqdorlar X va Y ma'lum bir ehtimollik bog'liqligida; da ifodalangan oddiy odamlar kattaroq bo'lsa, ko'proq vaznga ega bo'ladi.

Bog'liq va mustaqil hodisalarni farqlang. Ikki hodisa mustaqil deyiladi, agar ulardan birining sodir bo'lishi ikkinchisining paydo bo'lish ehtimolini o'zgartirmasa. Masalan, ishlab chiqarish sharoitlariga ko'ra o'zaro bog'lanmagan ikkita avtomatik liniyalar ustaxonada ishlayotgan bo'lsa, u holda bu liniyalarning to'xtash joylari mustaqil hodisalardir.

Bir nechta tadbirlar chaqiriladi jamoaviy mustaqil, agar ulardan birortasi boshqa biron bir hodisaga va boshqalarning har qanday kombinatsiyasiga bog'liq bo'lmasa.

Voqealar deyiladi qaram, agar ulardan biri ikkinchisining paydo bo'lish ehtimoliga ta'sir qilsa. Masalan, ikkita ishlab chiqarish korxonasi bitta texnologik sikl orqali bog'langan. Keyin ulardan birining ishlamay qolish ehtimoli boshqasining holatiga bog'liq. Boshqa bir hodisaning sodir bo'lishini hisobga olgan holda hisoblangan bir B hodisaning ehtimolligi deyiladi shartli ehtimollik B hodisasi va P(A|B) bilan belgilanadi.

B hodisaning A hodisadan mustaqillik sharti P(B|A)=P(B), bog’liqlik sharti esa P(B|A)≠P(B) shaklida yoziladi.

Bernoulli sinovlarida voqea ehtimoli. Puasson formulasi.

Takroriy mustaqil testlar, Bernoulli sinovlari yoki Bernoulli sxemasi har bir sinov uchun faqat ikkita natija bo'lsa, bunday sinovlar chaqiriladi - A hodisasining paydo bo'lishi yoki va bu hodisalarning ehtimoli barcha sinovlar uchun o'zgarishsiz qolsa. Ushbu oddiy tasodifiy test sxemasi mavjud katta ahamiyatga ega ehtimollik nazariyasida.

Ko'pchilik mashhur misol Bernoulli sinovlari - bu muntazam (simmetrik va bir hil) tangani ketma-ket uloqtirish bo'yicha tajriba, bunda A hodisasi, masalan, "gerb" ("dumlar") ning yo'qolishidir.

Qaysidir tajribada A hodisaning ehtimoli teng bo'lsin P(A)=p, u holda , bu erda r+q=1. Keling, alohida sinovlar mustaqil deb faraz qilib, tajribani n marta o'tkazamiz, ya'ni ularning birortasining natijasi oldingi (yoki keyingi) sinovlar natijalari bilan bog'liq emas. A hodisalarining ro'y berish ehtimolini aniq k marta topamiz, deylik faqat birinchi k sinovlarda. n ta sinovda A hodisasi birinchi sinovlarda aynan k marta sodir bo'ladigan hodisa bo'lsin. Hodisa sifatida ifodalanishi mumkin

Biz tajribalarni mustaqil deb hisoblaganimiz uchun

41)[2-sahifa] Agar n ta sinovda A hodisaning k marta sodir bo‘lishi haqidagi savolni ixtiyoriy tartibda qo‘ysak, hodisani quyidagicha ifodalash mumkin.

Ushbu tenglikning o'ng tomonidagi turli xil atamalar soni n dan k gacha bo'lgan sinovlar soniga teng, shuning uchun biz belgilaydigan hodisalarning ehtimoli tengdir.

Voqealarning ketma-ketligi to'liq guruhni tashkil qiladi mustaqil hodisalar . Darhaqiqat, biz voqealarning mustaqilligidan olamiz

Ikki tasodifiy o'zgaruvchilar $X$ va $Y$ mustaqil deb ataladi, agar bitta tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonuni boshqa tasodifiy o'zgaruvchi qanday qiymatlarni olishiga qarab o'zgarmasa. Ya'ni, har qanday $x$ va $y$ uchun $X=x$ va $Y=y$ hodisalari mustaqildir. $X=x$ va $Y=y$ hodisalar mustaqil boʻlganligi sababli, mustaqil hodisalar ehtimolliklari koʻpaytmasi teoremasi boʻyicha $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\) o'ng) \ o'ng) = P \ chap (X = x \ o'ng) P \ chap (Y = y \ o'ng) $.

1-misol . Tasodifiy o'zgaruvchi $X$ bitta "Rossiya Lotto" lotereyasi chiptalaridan tushgan pul yutuqlarini, $Y$ tasodifiy o'zgaruvchisi esa boshqa "Oltin kalit" lotereyasi chiptalaridagi pul yutuqlarini ifodalasin. Shubhasiz, $X,\ Y$ tasodifiy miqdorlari mustaqil bo'ladi, chunki bitta lotereya chiptalaridan yutuq boshqa lotereya chiptalaridan yutuqni taqsimlash qonuniga bog'liq emas. Agar tasodifiy o'zgaruvchilar $X, \ Y$ bir xil lotereyada yutuqni ifodalagan bo'lsa, bu tasodifiy o'zgaruvchilar bog'liq bo'lishi aniq.

2-misol . Ikki ishchi turli ustaxonalarda ishlaydi va ishlab chiqarish texnologiyalari va ishlatiladigan xom ashyo bilan bir-biriga bog'liq bo'lmagan turli xil mahsulotlar ishlab chiqaradi. Bir smenada birinchi ishchi tomonidan ishlab chiqarilgan nuqsonli mahsulotlar sonini taqsimlash qonuni quyidagi shaklga ega:

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
\ nosoz \ mahsulotlar \ x & 0 & 1 \\ soni
\hline
Ehtimollik & 0,8 & 0,2 \\
\hline
\end(massiv)$

Bir smenada ikkinchi ishchi tomonidan ishlab chiqarilgan nuqsonli mahsulotlar soni quyidagi taqsimlash qonuniga bo'ysunadi.

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
\ nosoz \ mahsulotlar \ y & 0 & 1 \\ soni
\hline
Ehtimollik & 0,7 & 0,3 \\
\hline
\end(massiv)$

Bir smenada ikki ishchi tomonidan ishlab chiqarilgan nuqsonli mahsulot sonini taqsimlash qonuni topilsin.

Tasodifiy miqdor $X$ bir smenada birinchi ishchi tomonidan ishlab chiqarilgan nuqsonli buyumlar soni va $Y$ ikkinchi ishchi tomonidan bir smenada ishlab chiqarilgan nuqsonli buyumlar soni bo'lsin. Taxminlarga ko'ra, $X,\Y$ tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqildir.

Bir smenada ikkita ishchi tomonidan ishlab chiqarilgan nuqsonli buyumlar soni tasodifiy o'zgaruvchan $X+Y$. Uning mumkin bo'lgan qiymatlari $0,\1$ va $2$. $X+Y$ tasodifiy o‘zgaruvchisi o‘z qiymatlarini olish ehtimolini topamiz.

$P\left(X+Y=0\o'ng)=P\chap(X=0,\Y=0\o'ng)=P\chap(X=0\o'ng)P\chap(Y=0\o'ng) =0,8\cdot 0,7=0,56.$

$P\left(X+Y=1\o'ng)=P\chap(X=0,\ Y=1\ yoki\ X=1,\ Y=0\o'ng)=P\chap(X=0\o'ng) )P\left(Y=1\o'ng)+P\chap(X=1\o'ng)P\chap(Y=0\o'ng)=0,8\cdot 0,3+0,2\cdot 0,7 =0,38.$

$P\left(X+Y=2\o'ng)=P\chap(X=1,\Y=1\o'ng)=P\chap(X=1\o'ng)P\chap(Y=1\o'ng) =0,2\cdot 0,3=0,06,$

Keyin smenada ikkita ishchi tomonidan ishlab chiqarilgan nuqsonli mahsulotlar sonini taqsimlash qonuni:

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
\ nosoz \ elementlar soni & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Ehtimollik & 0,56 & 0,38 & 0,06 \\
\hline
\end(massiv)$

Oldingi misolda biz $X,\ Y$ tasodifiy oʻzgaruvchilari ustida amal qildik, yaʼni ularning $X+Y$ yigʻindisini topdik. Endi tasodifiy o‘zgaruvchilar ustidagi amallarga (qo‘shish, ayirma, ko‘paytirish) yanada qat’iyroq ta’rif beramiz va yechimlarga misollar keltiramiz.

Ta'rif 1. $X$ tasodifiy o'zgaruvchining $kX$ mahsuloti doimiy qiymat$k$ tasodifiy oʻzgaruvchi boʻlib, $kx_i$ qiymatlarini bir xil ehtimolliklar bilan qabul qiladi $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \dots,\ n\right)$.

Ta'rif 2. $X$ va $Y$ tasodifiy oʻzgaruvchilar yigʻindisi (farq yoki mahsulot) tasodifiy oʻzgaruvchi boʻlib, $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ yoki $x_i\cdot y_i$) koʻrinishidagi barcha mumkin boʻlgan qiymatlarni oladi. , bu erda $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, $p_(ij)$ ehtimoli bilan $X$ tasodifiy oʻzgaruvchisi $x_i$ qiymatini va $Y$ $y_j$ qiymatini oladi:

$$p_(ij)=P\left[\left(X=x_i\o'ng)\chap(Y=y_j\o'ng)\o'ng].$$

$X,\ Y$ tasodifiy oʻzgaruvchilar mustaqil boʻlganligi sababli, mustaqil hodisalar uchun ehtimolliklarni koʻpaytirish teoremasi boʻyicha: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\right) )= p_i\cdot p_j$.

3-misol . Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar $X,\ Y$ o'zlarining ehtimollik taqsimot qonunlari bilan berilgan.

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i va 0,4, 0,1 va 0,5 \\
\hline
\end(massiv)$

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i va 0,3 va 0,7 \\
\hline
\end(massiv)$

$Z=2X+Y$ tasodifiy miqdorni taqsimlash qonunini tuzamiz. $X$ va $Y$ tasodifiy oʻzgaruvchilar yigʻindisi, yaʼni $X+Y$ tasodifiy oʻzgaruvchi boʻlib, $x_i+y_j$ koʻrinishidagi barcha mumkin boʻlgan qiymatlarni oladi, bunda $i=1,\2,\ nuqtalar ,\ n$ , $p_(ij)$ ehtimoli bilan $X$ tasodifiy oʻzgaruvchisi $x_i$ qiymatini va $Y$ $y_j$ qiymatini oladi: $p_(ij)=P\left[\left( X=x_i\o'ng )\chap(Y=y_j\o'ng)\o'ng]$. $X,\ Y$ tasodifiy oʻzgaruvchilar mustaqil boʻlganligi sababli, mustaqil hodisalar uchun ehtimolliklarni koʻpaytirish teoremasi boʻyicha: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\right) )= p_i\cdot p_j$.

Shunday qilib, $2X$ va $Y$ tasodifiy o'zgaruvchilar uchun taqsimlash qonunlari mavjud.

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i va 0,4, 0,1 va 0,5 \\
\hline
\end(massiv)$

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i va 0,3 va 0,7 \\
\hline
\end(massiv)$

$Z=2X+Y$ yig‘indisining barcha qiymatlarini va ularning ehtimolini topish qulayligi uchun biz yordamchi jadval tuzamiz, uning har bir katagiga chap burchakda $ summasining qiymatlarini joylashtiramiz. Z=2X+Y$, va o'ng burchakda - $2X$ va $Y$ tasodifiy o'zgaruvchilarning mos qiymatlari ehtimolini ko'paytirish natijasida olingan ushbu qiymatlarning ehtimolligi.

Natijada biz $Z=2X+Y$ taqsimotini olamiz:

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0,12 & 0,28 & 0,03 & 0,07 & 0,15 & 0,35 \\
\hline
\end(massiv)$