absorpsiyon teoremi iki biçimde yazılır - ayrık ve

sırasıyla bağlaç:

A + AB \u003d A (16)

A(A + B)=A (17)

İlk teoremi ispatlayalım. Parantez içindeki A harfini alalım:

ANCAK + AB \u003d A (1 + B)

Teorem (3)'e göre 1 + B = 1, bu nedenle

A(1 + B) = A 1 = A

İkinci teoremi kanıtlamak için parantezleri genişletiyoruz:

A(A + B) = A A + AB = A + AB

Sonuç, henüz ispatlanmış bir ifadedir.

Absorpsiyon teoreminin uygulanmasına ilişkin birkaç örneği ele alalım.

Boole formüllerinin sadeleştirilmesi.

yapıştırma teoremi ayrıca iki formu vardır - ayrık ve

konjonktival:

İlk teoremi ispatlayalım:

teorem (5) ve (4)'e göre

İkinci teoremi kanıtlamak için parantezleri açıyoruz:

Teorem (6)'ya göre, bu nedenle:

Absorpsiyon teoremine göre (16) A + AB \u003d A

Soğurma teoremi, yapıştırma teoremi gibi, sadeleştirme yapılırken uygulanır.

boole formülleri, örneğin:

De Morgan teoremi boole cebrinin üç temel işlemini birbirine bağlar

Ayrışma, bağlaç ve ters çevirme:

İlk teorem şu şekildedir: bir bağlacın tersine çevrilmesi bir ayrılmadır.

inversiyonlar. İkincisi, bir ayrılmanın tersine çevrilmesi, tersine çevrilmelerin birleşimidir. Morgan'ın teoremlerini, sol ve sağ taraflar için doğruluk tablolarını kullanarak kanıtlayabilirsiniz.

De Morgan'ın teoremi için de geçerlidir daha fazla değişkenler:

ders 5

ters çevir karmaşık ifadeler

De Morgan'ın teoremi sadece tekli bağlaçlar için geçerli değildir

veya ayrımlar, aynı zamanda daha karmaşık ifadeler için.

ifadesinin tersini bulalım. AB + CD'si , bağlaçların ayrılması olarak temsil edilir. Negatif işaretler sadece değişkenlerin üzerindeyse, tersine çevirme tamamlanmış sayılacaktır. Notasyonu tanıtalım: AB = X;

CD=Y sonra

(22) ifadesini bulun ve değiştirin:

Böylece:

Bağlaç biçiminde sunulan bir ifade düşünün:

(A + B) (C + D)

şeklinde tersini bulalım.

Notasyonu tanıtalım: A + B = X; C + D \u003d Y, sonra

Bunları bulun ve ifadede değiştirin

Böylece:

Karmaşık ifadeleri ters çevirirken aşağıdaki kuralı kullanabilirsiniz. Tersine çevirmeyi bulmak için, birleşim işaretlerini ayrılma işaretleriyle, ayırma işaretlerini de birleşim işaretleriyle değiştirmek ve her bir değişkenin üzerine ters çevirmeler koymak gerekir:

Boole işlevi kavramı

AT genel durumda, bir işlev (lat. işlev - performans, uyumluluk,

haritalama) belirli bir kuraldır (yasa), buna göre kümenin her bir elemanı x, bağımsız değişkenin aralığı nedir X, kümenin belirli bir elemanı atanır F,

bağımlı değişkenin değer aralığı olarak anlaşılan f . Boole fonksiyonları durumunda X=F = (0,1). İşlevin belirtildiği kural, herhangi bir Boole formülü olabilir, örneğin:

Sembol f burada A'nın argümanları gibi bir fonksiyon var, M.Ö, ikili değişken.

Bağımsız değişkenler bağımsız değişkenlerdir, herhangi bir değer alabilirler - 0 veya 1. f - bağımlı değişken. Anlamı tamamen değişkenlerin değerleri ve aralarındaki mantıksal bağlantılarla belirlenir.

ana özellik fonksiyon: değerini belirlemek için, genel olarak, bağlı olduğu tüm argümanların değerlerini bilmek gerekir. Örneğin, yukarıdaki işlev üç bağımsız değişken A'ya bağlıdır, VS. A=1 alırsak,

yani, sıfıra veya sıfıra eşit olmayan yeni bir ifade elde edilir.

birim. şimdi izin ver AT= 1. O zaman

yani, bu durumda, fonksiyonun sıfıra mı yoksa bire mi eşit olduğu bilinmiyor.

Son olarak, alalım İTİBAREN= 0. Sonra şunu elde ederiz: f = 0. Böylece, orijinal ifadede A = 1 alırsak, AT= 1, İTİBAREN = 0 ise, fonksiyon sıfır değeri alacaktır: f= 0.

Düşünmek değişken değerler kümesi kavramı .

Fonksiyonun bağlı olduğu tüm argümanlara belirli değerler atanırsa, o zaman bir dizi argüman değerinden bahseder.

sadece bir set olarak adlandırın. Argüman değerleri kümesi, sıfırlar ve birler dizisidir, örneğin, ilk hanenin ilk argümana, ikincinin ikinciye ve üçüncünün üçüncüye karşılık geldiği 110. Açıkçası, birinci, ikinci veya diyelim ki beşinci argümanın ne olduğu konusunda önceden anlaşmak gerekir. Bunu yapmak için harflerin alfabetik düzenini kullanmak uygundur.

örneğin, eğer

sonra Latin alfabesine göre ilk argüman R, ikinci -

Q,üçüncü - x, dördüncü - U. Ardından, argümanların değer kümesine göre kolaydır

fonksiyonunun değerini bulunuz. Örneğin 1001 kümesi verilsin.

kayıtlar, yani 1001 setinde verilen fonksiyon bire eşittir.

Argüman değerleri kümesinin küme olduğuna tekrar dikkat edin.

sıfırlar ve birler. İkili sayılar da sıfırlar ve birler kümeleridir.

Bu şu soruyu gündeme getiriyor - kümeler ikili olarak kabul edilebilir mi?

sayılar? Bu mümkündür ve çoğu durumda özellikle ikili dosya varsa çok uygundur.

sayıyı ondalık sayıya çevir. örneğin, eğer

A = 0, B = 1, C = 1, D = 0,

0 * 2 3 +1 * 2 2 +1 * 2 1 +0 * 2 0 = 4+2 = 6

yani, verilen küme ondalık olarak 6 sayısına sahiptir.

Argümanların değerlerini ondalık sayı ile bulmak istiyorsanız, o zaman

ters sırada hareket ederiz: önce ondalık sayıyı ikili sayıya çeviririz, sonra sola o kadar çok sıfır ekleriz ki toplam sayısı bit, argüman sayısına eşitti, bundan sonra argümanların değerlerini buluyoruz.

Örneğin, A argümanlarının değerlerini bulmamız gerekiyor, B, C, D, E, F 23 numaralı küme ile. Yöntemi kullanarak 23 sayısını ikili sisteme dönüştürüyoruz

ikiye bölerek:

Sonuç olarak 23 10 = 10111 2 elde ederiz. Bu beş basamaklı bir sayıdır ve toplamda

altı argüman vardır, bu nedenle sola bir sıfır yazılmalıdır:

23 10 = 010111 2 . Buradan şunu buluyoruz:

A = 0, B = 1, C = 0, D = 1, E = 1, F = 1.

Sayı biliniyorsa kaç küme vardır P argümanlar? Açıkçası, n-bitlik ikili sayılar olduğu kadar, yani 2 n

ders 6

Boole İşlevi Ayarlama

Bir yolunu zaten biliyoruz. Analitiktir, yani ikili değişkenleri ve mantıksal işlemleri kullanan matematiksel bir ifade biçimindedir. Buna ek olarak, en önemlisi tablo olan başka yollar da var. Tablo, olası tüm argüman değeri kümelerini listeler ve her küme için işlevin değeri belirtilir. Böyle bir tabloya yazışma (doğruluk) tablosu denir.

Fonksiyon örneğinde

Bunun için bir arama tablosunun nasıl oluşturulacağını bulalım.

İşlev üç bağımsız değişkene bağlıdır A, B, C. Bu nedenle tabloda

için üç sütun sağlayın argümanlar A,B,C ve f fonksiyonunun değerleri için bir sütun. A sütununun soluna başka bir sütun yerleştirmekte fayda var. Üç basamaklı ikili sayılar olarak düşünürsek, kümelere karşılık gelen ondalık sayıları yazacağız. Bu ondalık

sütun, tabloyla çalışmanın rahatlığı için tanıtıldı, bu nedenle prensipte,

ihmal edilebilir.

Tabloyu dolduruyoruz. LLC numarasının bulunduğu satır şunları okur:

A = B = C = 0.

Fonksiyonun değerini bu küme üzerinde tanımlayalım:

f sütununda 000 kümesi olan satıra sıfır yazıyoruz.

Sonraki set: 001, yani. e. A = B = 0, C = 1. Fonksiyonun değerini bulun

bu sette:

001 kümesinde, fonksiyon 1'e eşittir, bu nedenle f sütununda

sayı 001 birimi yazıyoruz.

Benzer şekilde diğer tüm kümelerdeki fonksiyonların değerlerini hesaplıyoruz ve

tüm tabloyu tamamlayın.

ilişkilendirme

x 1 (x 2 x 3) \u003d (x 1 x 2) x 3;

x 1 Ú (x 2 Ú x 3) \u003d (x 1 Ú x 2) Ú x 3.

değişebilirlik

x 1 x 2 = x 2 x 1

x 1 Ú x 2 = x 2 Ú x 1

Ayrılmaya göre bağlaçların dağılımı

x 1 (x 2 Ú x 3) \u003d x 1 x 2 Ú x 1 x 3.

Bağlaçlara göre ayrılmanın dağılımı

x 1 Ú(x 2 × x 3) = (x 1 Úx 2) × (x 1 Úx 3). *

Idempotency (totoloji)

iki kez hayır

Sabit özellikler

x & 1 = x; (evrensel küme yasaları)

x & 0 = 0; (sıfır set kanunları)

Kurallar (yasalar) de Morgan

Çelişki yasası (ilavelik)

Ortanın dışlanması yasası (ek)

Bütün bu formüllerin ispatları önemsizdir. Seçeneklerden biri, sol ve sağ bölümlerin doğruluk tablolarını oluşturmak ve bunları karşılaştırmaktır.

Yapıştırma kuralları

Temel bağlaçlar için yapıştırma kuralı, dağıtım yasasından, tamamlayıcılık yasasından ve evrensel küme yasasından kaynaklanır: iki bitişik bağlacın ayrılması, orijinal bağlaçların ortak bir parçası olan bir temel bağlaçla değiştirilebilir .

Temel toplamlar için yapıştırma kuralı, ikinci tür dağıtım yasasından, tamamlayıcılık yasasından ve sıfır küme yasasından çıkar: iki bitişik ayrımın birleşimi, orijinal ayrımların ortak bir parçası olan bir temel ayrılma ile değiştirilebilir. .

Absorpsiyon kuralı

İki temel ürünün toplamı için soğurma kuralı, birinci tür dağıtım yasasından ve evrensel küme yasalarından kaynaklanır: biri olan iki temel bağlacın ayrılması ayrılmaz parça diğeri, daha az işlenen içeren bir bağlaçla değiştirilebilir .

Temel toplamların çarpımı için soğurma kuralı, ikinci tür dağıtım yasasından ve sıfır küme yasalarından kaynaklanır: biri diğerinin bileşeni olan iki temel ayrımın birleşimi, daha az işlenene sahip bir temel ayrım ile değiştirilebilir.

dağıtım kuralı

Bu kural, yapıştırmanın ters eylemini tanımlar.

Temel bir ürünü, daha yüksek bir sıradaki temel ürünlerin mantıksal bir toplamına genişletme kuralı (r = n'ye kadar olan limitte, yani aşağıda tartışılacağı gibi, birliğin bileşenlerine kadar), evrensel kümenin yasalarından çıkar. , birinci tür dağıtım yasası ve üç aşamada gerçekleştirilir:

Geliştirilecek rütbe r'nin temel ürünü, faktör olarak tanıtılır. n-r birimleri, burada n, birim bileşenlerinin sırasıdır;

Her birim, orijinal temel üründe bulunmayan bazı değişkenlerin mantıksal toplamı ve bunun olumsuzlanması ile değiştirilir: x ben v `x ben = 1;

Tüm parantezler, birinci tür bir dağıtım yasası temelinde genişletilir; bu, r dereceli orijinal temel ürünün, 2 n-r birim bileşenlerinin mantıksal bir toplamına genişletilmesine yol açar.

Temel ürün genişletme kuralı, mantık cebiri (FAL) işlevlerini en aza indirmek için kullanılır.

Sıra r'nin temel bir toplamının, sıra n'nin (bileşen sıfır) temel toplamlarının bir ürününe genişletilmesi için kural, sıfır kümesi (6) yasalarına ve ikinci tür dağıtım yasasına (14) uyar ve şu şekilde gerçekleştirilir: üç aşama:

Genişletilebilir rank r toplamında, toplamalar olarak tanıtıyoruz n-r sıfırlar;

Her sıfır, ilk toplamda ve bunun olumsuzlanmasında mevcut olmayan bazı değişkenlerin mantıksal bir ürünü olarak temsil edilir: x ben·` x ben = 0;

Ortaya çıkan ifade, ikinci tür (14) dağıtım yasası temelinde, r sıralamasının ilk toplamı 2 n-r sıfır bileşenlerinin mantıksal bir ürününe açılacak şekilde dönüştürülür.

16. Eksiksiz bir sistem kavramı. Komple sistem örnekleri (kanıtlı)

Tanım. Mantık cebiri A'nın işlevler kümesine denir. komple sistem(P2'de) eğer mantık cebirinin herhangi bir fonksiyonu A üzerinde bir formülle ifade edilebilirse.

İşlev sistemi A=( f 1 , f 1 ,…, fm) tam olana denir temel.

Minimal bir temel, en az bir fonksiyonun kaldırılmasının gerekli olduğu bir temeldir. f1 Bu temeli oluşturan , işlevler sistemini dönüştürür (f 1 , f 1 ,…, fm) eksik.

Teorem. A = (∨, &, ) sistemi tamamlandı.

Kanıt. Mantık cebir fonksiyonu f özdeş olarak sıfır değilse, o zaman f, yalnızca ayrılma, bağlaç ve olumsuzlamayı içeren mükemmel bir ayırıcı normal form olarak ifade edilir. f ≡ 0 ise, o zaman f = x & x . Teorem kanıtlanmıştır.

Lemma. A sistemi tamamlanmışsa ve A sisteminin herhangi bir işlevi başka bir B sistemi üzerinden bir formülle ifade edilebiliyorsa, B de tam bir sistemdir.

Kanıt. Mantık cebiri f (x 1 , …, x n) ve iki fonksiyon sisteminin keyfi bir fonksiyonunu düşünün: A = (g 1 , g 2 , …) ve B = (h 1 , h 2 , …). A sistemi tam olduğu için f fonksiyonu bunun üzerinde bir formülle ifade edilebilir:

f (x 1 , …, x n) = ℑ

nerede g ben = ℜ ben

yani, f fonksiyonu şu şekilde temsil edilir:

f (x 1 , …, x n)=ℑ[ℜ1,ℜ2,...]

başka bir deyişle, B üzerinden bir formülle temsil edilebilir. Bu şekilde mantık cebirinin tüm fonksiyonlarını sayarak, B sisteminin de tamamlanmış olduğunu elde ederiz. Lemma kanıtlanmıştır.

Teorem. Aşağıdaki sistemler P 2'de tamamlanmıştır:

4) (&, ⊕ , 1) Zhegalkin temeli.

Kanıt.

1) A = (&, V, ) sisteminin tamamlandığı bilinmektedir (Teorem 3). Sistemin B = ( V, . Gerçekten de, de Morgan yasasından (x& y) = (x ∨ y) x & y = (x ∨ y) elde ettiğimizi gösterelim, yani bağlaç şu şekilde ifade edilir: ayırma ve olumsuzlama, A sisteminin tüm fonksiyonları B sistemi üzerinden formüllerle ifade edilir. Öngörüye göre B sistemi tamamlanmıştır.

2) 1. maddeye benzer: (x ∨ y) = x & y ⇔ x ∨ y =(x & y) ve Önerme 2, 2. maddenin doğruluğunu ima eder.

3) x | y=(x&y), x | x = x; x & y = (x | y) = (x | y) | (x | y) ve Lemma 2 ile sistem tamamlandı.

4) x = x ⊕1 ve Önerme 2'ye göre sistem tamamlanmıştır.

Teorem kanıtlanmıştır.

17. Zhegalkin cebiri. Operasyon özellikleri ve eksiksizliği

Zhegalkin bazında S4=(⊕,&,1) tanımlanan Boole fonksiyonları kümesine denir. Zhegalkin cebiri.

Temel özellikler.

1. değişebilirlik

h1⊕h2=h2⊕h1 h1&h2=h2&h1

2. çağrışım

h1⊕(h2⊕h3)=(h1⊕h2)⊕h3 h1&(h2&h3)=(h1&h2)&h3

3. DAĞILMA

h1&(h2⊕h3)=(h1&h2)⊕(h1&h3)

4. sabit özellikler

5. h⊕h=0 h&h=h
Beyan. Zhegalkin cebirinin işlemleri aracılığıyla, diğer tüm Boole fonksiyonları şu şekilde ifade edilebilir:

x→y=1⊕x⊕xy

x↓y=1⊕x⊕y⊕xy

18. Zhegalkin polinomu. İnşaat yöntemleri. Örnek.

Zhegalkin polinomu (polinom modulo 2) n değişkenler x 1 ,x 2 ... x n formun bir ifadesi olarak adlandırılır:

c 0 ⊕c 1 x 1 ⊕c 2 x 2 ⊕ ... ⊕c n x n ⊕c 12 x 1 x 2 ⊕ ... ⊕c 12 ... n x 1 x 2 ... x n ,

burada C k sabitleri 0 veya 1 değerlerini alabilir.

Zhegalkin polinomu bireysel değişkenlerin ürünlerini içermiyorsa, buna doğrusal (doğrusal fonksiyon) denir.

Örneğin, f=x⊕yz⊕xyz ve f 1 =1⊕x⊕y⊕z polinomlardır, ikincisi doğrusal bir fonksiyondur.

teorem. Her Boole işlevi, benzersiz bir şekilde bir Zhegalkin polinomu olarak temsil edilir.

Verilen bir fonksiyonun Zhegalkin polinomlarını oluşturmak için ana yöntemleri sunalım.

1. Belirsiz katsayılar yöntemi. P(x 1 ,x 2 ... x n) için gerekli Zhegalkin polinomu olsun. bu işlev f(x 1 ,x 2 ... x n). şeklinde yazıyoruz

P=c 0 ⊕c 1 x 1 ⊕c 2 x 2 ⊕ ... ⊕c n x n ⊕c 12 x 1 x 2 ⊕ ... ⊕c 12 ... n x 1 x 2 ... x n

C k katsayılarını bulalım. Bunu yapmak için, doğruluk tablosunun her satırından değişkenlere sırayla x 1 ,x 2 ... x n değerleri veriyoruz. Sonuç olarak, 2 n bilinmeyenli 2 n denklemli bir sistem elde ederiz. tek karar. Bunu çözerek, P(X 1 ,X 2 ... X n) polinomunun katsayılarını buluruz.

2. Formüllerin bir dizi bağlaç (,&) üzerinden dönüştürülmesine dayalı bir yöntem. Bazı formüller oluşturun F verilen f(X 1 ,X 2 ... X n) fonksiyonunu gerçekleştiren bağlantılar (,&) kümesi üzerinde. Daha sonra A formunun alt formüllerini her yerde A⊕1 ile değiştiririz, parantezleri dağılım yasasını kullanarak açarız (özellik 3'e bakınız) ve sonra özellik 4 ve 5'i uygularız.

Örnek. f(X,Y)=X→Y fonksiyonunun Zhegalkin polinomunu oluşturun

Çözüm.
1. (belirsiz katsayılar yöntemi). Gerekli polinomu şu şekilde yazıyoruz:

P=c 0 ⊕c 1 x⊕c 2 y⊕c 12 xy

İmanın doğruluk tablosunu kullanarak şunu elde ederiz.

f(0,0)=P(0,0)=C 0 =1

f(0,1)=P(0,1)=C 0 ⊕C 2 =1

f(1,0)=P(1,0)=C 0 ⊕C 1 =0

f(1,1)=P(1,1)=C 0 ⊕C 1 ⊕C 2 ⊕C 12 =1

C 0 =1, C 1 =1, C 2 =0, C 12 =1

Bu nedenle: x→y=1⊕X⊕XY.

2. (Formülleri dönüştürme yöntemi.). elimizde: x→y=xvy=(xy)=(x(y⊕1)) ⊕1=1⊕x⊕xy
Zhegalkin cebirinin (diğer cebirlere kıyasla) avantajının, Boole fonksiyonlarının dönüşümlerini oldukça basit bir şekilde gerçekleştirmeyi mümkün kılan mantığın aritmetikleştirilmesi olduğuna dikkat edin. Boole cebri ile karşılaştırıldığında dezavantajı, formüllerin hantal olmasıdır.

Benzer bilgiler.

De Morgan'ın yasaları, İskoç matematikçi Augustus de Morgan tarafından mantıksal olumsuzlama kullanarak mantıksal işlem çiftlerini birbirine bağlayan mantıksal kurallardır.

Augustus de Morgan, klasik mantıkta aşağıdaki bağıntıların doğru olduğunu fark etti:

değil (A ve B) = (A değil) veya (B değil)

değil (A veya B) = (A değil) ve (B değil)

Bizim için daha tanıdık bir biçimde, bu oranlar aşağıdaki biçimde yazılabilir:

De Morgan yasaları aşağıdaki gibi formüle edilebilir:

Ben de Morgan kanunu:İki basit ifadenin ayrılığının olumsuzlanması, bu ifadelerin olumsuzlamalarının birleşimine eşdeğerdir.

II de Morgan yasası:İki basit ifadenin birleşiminin olumsuzlanması, bu ifadelerin olumsuzlarının ayrılmasına eşdeğerdir.

Belirli örnekler üzerinde de Morgan yasalarının uygulanmasını düşünün.

örnek 1 Formülü, karmaşık ifadelerin olumsuzlaması olmayacak şekilde dönüştürün.

İlk de Morgan yasasını kullanalım, şunu elde ederiz:

ikinci de Morgan yasasını basit B ve C ifadelerinin birleşiminin olumsuzlanmasına uygularsak, şunu elde ederiz:

,

böylece:

.

Sonuç olarak, bileşik önermelerin olumsuzlamalarının olmadığı ve tüm olumsuzlamaların yalnızca basit ifadelere atıfta bulunduğu eşdeğer bir ifade elde ettik.

Doğruluk tablolarını kullanarak çözümün geçerliliğini kontrol edebilirsiniz. Bunu yapmak için, orijinal ifade için doğruluk tabloları derliyoruz:

ve de Morgan yasaları kullanılarak gerçekleştirilen dönüşümler sonucunda elde edilen ifade için:

.

Tablo 1.

Tablolardan gördüğümüz gibi, orijinal mantıksal ifade ile de Morgan yasaları yardımıyla elde edilen mantıksal ifade eşdeğerdir. Bu, doğruluk tablolarında aynı değer kümelerini elde ettiğimiz gerçeğiyle kanıtlanır.

Formüller ve mantık yasaları

Bir giriş dersinde matematiksel mantığın temelleri, matematiğin bu bölümünün temel kavramlarıyla tanıştık ve şimdi konu doğal bir devam ediyor. Yeni teorik veya daha doğrusu teorik olmayan - ancak genel eğitim materyaline ek olarak, bekliyoruz pratik görevler, ve bu nedenle bu sayfaya bir arama motorundan geldiyseniz ve / veya materyal konusunda zayıfsanız, lütfen yukarıdaki bağlantıyı takip edin ve önceki makaleden başlayın. Ek olarak, uygulama için 5'e ihtiyacımız var. doğruluk tabloları mantıksal işlemler hangi ben şiddetle tavsiye ederim elle yeniden yaz.

UNUTMAYIN, YAZDIRMAYIN, yani, bir kez daha kağıda kendi elinizle kavrayın ve yeniden yazın - böylece gözlerinizin önünde olsunlar:

– tablo DEĞİL;
- tablo I;
– VEYA tablo;
- çıkarım tablosu;
- Denklik tablosu.

Bu çok önemli. Prensip olarak, onları numaralandırmak uygun olacaktır. "Tablo 1", "Tablo 2" vb., ancak bu yaklaşımdaki kusuru defalarca vurguladım - dedikleri gibi, bir kaynakta tablo ilk, diğerinde - yüz birinci olacak. Bu nedenle "doğal" isimler kullanacağız. Devam ediyoruz:

Aslında, mantıksal formül kavramına zaten aşinasınız. Bir standart vereceğim, ama oldukça esprili tanım: formüllerönerme cebirleri denir:

1) herhangi bir temel (basit) ifade;

2) eğer ve formüllerse, formüller de formun ifadeleridir.
.

Başka formül yok.

Özellikle formül, mantıksal çarpma gibi herhangi bir mantıksal işlemdir. İkinci noktaya dikkat edin - izin verir özyinelemeli keyfi olarak uzun bir formül "oluşturmanın" yolu. Çünkü formüllerdir, o zaman aynı zamanda bir formüldür; ve formüller olduğundan, o zaman - ayrıca bir formül, vb. Herhangi bir temel ifade (yine tanım gereği) formülü birden fazla kez girebilir.

formül olumsuzlukörneğin bir kayıttır - ve burada "cebirsel çöp" ile bariz bir analoji vardır, bu da sayıların eklenmesi mi yoksa çarpılması mı gerektiği açık değildir.

Mantıksal formül şu şekilde düşünülebilir: mantık işlevi. Aynı bağlacı fonksiyonel formda yazalım:

Bu durumda temel ifadeler, klasik mantıkta 2 değer alabilen argümanların (bağımsız değişkenler) rolünü de oynar: doğru veya Yanlış. Aşağıda, kolaylık olması için bazen basit ifadeler diyeceğim. değişkenler.

Mantıksal formülü (fonksiyonu) açıklayan tablo, daha önce de belirtildiği gibi, doğruluk şeması. Lütfen - tanıdık bir resim:

Doğruluk tablosunu oluşturma prensibi şu şekildedir: "girişte" listelemeniz gerekir tüm olası kombinasyonlar temel önermelerin (argümanların) kabul edebileceği doğrular ve yalanlar. Bu durumda, formül iki ifade içerir ve bu tür dört kombinasyonun olduğunu bulmak kolaydır. “Çıkışta”, tüm formülün (fonksiyon) karşılık gelen mantıksal değerlerini alıyoruz.

Buradaki “çıkış” ın “tek adımda” olduğunu söylemeliyim, ancak genel durumda mantıksal formül daha karmaşık. Ve bu tür "zor durumlarda" gözlemlemek gerekir mantıksal işlemlerin yürütme sırası:

- önce olumsuzlama yapılır;
- ikincisi - bağlaç;
- o zaman - ayrılma;
- o zaman ima ;
- ve son olarak, en düşük önceliğin eşdeğeri vardır.

Bu nedenle, örneğin, giriş, önce mantıksal çarpma ve ardından - mantıksal toplama gerçekleştirmeniz gerektiğini ima eder:. Tıpkı "sıradan" cebirde olduğu gibi - "önce çarparız, sonra toplarız."

Eylemlerin sırası olağan şekilde değiştirilebilir - parantezler:
- burada, her şeyden önce, ayırma ve ancak o zaman daha “güçlü” bir işlem yapılır.

Muhtemelen herkes anlar, ama her ihtimale karşı bir itfaiyeci: ve bu iki farklı formüller! (hem resmi hem de esasen)

Formül için bir doğruluk tablosu yapalım. Bu formül iki temel ifade içerir ve “girişte” olası tüm bir ve sıfır kombinasyonlarını listelememiz gerekir. Karışıklık ve tutarsızlıkları önlemek için kombinasyonları listelemeyi kabul ediyoruz kesinlikle bu sırayla (aslında en başından beri fiili kullanıyorum):

Formül iki mantıksal işlem içerir ve önceliklerine göre, her şeyden önce gerçekleştirmeniz gerekir. olumsuzlama ifadeler. Pekala, "pe" sütununu reddediyoruz - birimleri sıfıra ve sıfırları birimlere dönüştürüyoruz:

İkinci adımda, sütunlara bakarız ve onlara uygularız. VEYA operasyon. Biraz ileriye baktığımda, ayrılmanın geçirilebilir olduğunu söyleyeceğim. (ve aynı şey), ve bu nedenle sütunlar normal sırayla - soldan sağa - analiz edilebilir. Mantıksal toplama yaparken aşağıdaki uygulamalı akıl yürütmeyi kullanmak uygundur: “İki sıfır varsa sıfır koyarız, en az bir birim varsa bir koyarız”:

Doğruluk tablosu oluşturulur. Ve şimdi eski güzel imayı hatırlayalım:

…dikkatle-dikkatle… son sütunlara bakın…. Önerme cebirinde bu tür formüllere denir. eşdeğer veya birebir aynı:

(üç yatay çizgi kimlik simgesidir)

Dersin 1. bölümünde, imayı temel mantıksal işlemlerle ifade edeceğime söz verdim ve sözün gerçekleşmesi çok uzun sürmedi! İsteyenler ima içine anlamlı anlamlar koyabilirler. (örneğin, "Yağmur yağıyorsa dışarısı nemlidir") ve eşdeğer ifadeyi bağımsız olarak analiz edin.

formüle edelim genel tanım: iki formül denir eşdeğer (özdeş), bu değişken formüllerde yer alan herhangi bir değer kümesi için aynı değerleri alıyorlarsa (temel ifadeler). Bunu da söylüyorlar "Eğer doğruluk tabloları aynıysa formüller eşdeğerdir", ama bu cümleyi pek sevmiyorum.

1. Egzersiz

Formül için bir doğruluk tablosu yapın ve bildiğiniz kimliğin doğru olduğundan emin olun.

Sorunu çözmek için prosedürü tekrarlayalım:

1) Formül iki değişken içerdiğinden, toplamda 4 olası sıfır ve bir kümesi olacaktır. Bunları yukarıda belirtilen sırayla yazıyoruz.

2) Çıkarımlar bağlaçlardan “zayıftır”, ancak parantez içinde bulunurlar. Aşağıdaki uygulamalı akıl yürütmeyi kullanmak uygun olsa da, sütunu dolduruyoruz: “birden sıfır geliyorsa, diğer tüm durumlarda sıfır koyarız - bir”. Ardından, çıkarım için sütunu doldurun ve aynı zamanda, Dikkat!– sütunlar ve “sağdan sola” analiz edilmelidir!

3) Ve son aşamada, son sütunu doldurun. Ve burada şöyle tartışmak uygun: “Sütunlarda iki tane varsa, diğer tüm durumlarda bir tane koyarız - sıfır”.

Ve son olarak doğruluk tablosunu kontrol ediyoruz. denklikler .

Önerme Cebirinin Temel Denklikleri

İkisiyle yeni tanıştık ama mesele elbette bunlarla sınırlı değil. Oldukça fazla sayıda kimlik var ve bunların en önemlilerini ve en ünlülerini sıralayacağım:

Birleşimin değişebilirliği ve ayrılmanın değişebilirliği

değişebilirlik bir permütasyondur:

1. sınıf kurallarından tanıdık: “Faktörlerin (terimlerin) yeniden düzenlenmesinden, ürün (toplam) değişmez”. Ancak, bu özelliğin görünen tüm basitliği için, her zaman doğru olmaktan uzaktır, özellikle değişmeli değildir. matris çarpımı (genel olarak yeniden düzenlenemezler), a vektörlerin çapraz çarpımı- anti-değişmeli olarak (vektörlerin permütasyonu bir işaret değişikliği gerektirir).

Ayrıca burada yine matematiksel mantığın formalizmini vurgulamak istiyorum. Yani, örneğin, ifadeler "Öğrenci sınavı geçti ve içti" ve "Öğrenci içti ve sınavı geçti" içerik açısından farklıdır, ancak biçimsel hakikat açısından ayırt edilemez. ... Her birimiz bu tür öğrencileri tanıyoruz ve etik nedenlerden dolayı belirli isimler vermeyeceğiz =)

Mantıksal çarpma ve toplamanın ilişkilendirilebilirliği

Veya “okul tarzı” bir çağrışımsal özellik ise:

Dağıtım Özellikleri

Lütfen 2. durumda "parantezleri açmak" hakkında konuşmanın yanlış olacağını, bir anlamda burada bir "kurgu" olduğunu unutmayın - sonuçta, tamamen kaldırılabilirler: çarpma daha güçlü bir işlemdir.

Ve yine, bu görünüşte "sıradan" özellikler, tüm cebirsel sistemlerde tatmin olmaktan uzaktır ve dahası, kanıt gerektirir. (çok yakında bahsedeceğiz). Bu arada, ikinci dağılım yasası bizim “sıradan” cebirimizde bile geçerli değildir. Ve gerçekten:

İktidarsızlık yasası

Ne yapmalı, Latince....

Sağlıklı bir psişenin sadece bir ilkesi: “Ben ve ben benim”, “Ben veya ben de benim” =)

Ve işte bazı benzer kimlikler:

...peki, hatta kapattığım bir şey ... böylece yarın bir doktora ile uyanabilirsin =)

Çifte olumsuzlama yasası

Pekala, burada Rus diliyle ilgili örnek zaten kendini gösteriyor - herkes iki parçacığın “değil”in “evet” anlamına geldiğini çok iyi biliyor. Ve inkarın duygusal rengini arttırmak için genellikle üç “değil” kullanılır:
- küçücük bir kanıtla bile işe yaradı!

Absorpsiyon yasaları

- Erkek miydi? =)

Doğru kimlikte, parantezler atlanabilir.

De Morgan'ın yasaları

sıkı bir öğretmen varsayalım (kimin adını da biliyorsun :)) eğer bir sınav koyar - Öğrenci 1. soruyu yanıtladı ve – Öğrenci 2. soruyu cevapladı. Daha sonra bunu belirten açıklama Öğrenci olumsuzluk sınavı geçti, ifadeye eşdeğer olacaktır - Öğrenci olumsuzluk 1. soruyu cevapladım veya 2. soruya.

Yukarıda belirtildiği gibi, eşdeğerlikler, standart olarak doğruluk tabloları kullanılarak gerçekleştirilen ispata tabidir. Aslında, ima ve eşdeğerliği ifade eden eşdeğerlikleri zaten kanıtladık ve şimdi bu sorunu çözme tekniğini düzeltmenin zamanı geldi.

Kimliğini kanıtlayalım. Tek bir ifade içerdiğinden, “girişte” yalnızca iki seçenek mümkündür: bir veya sıfır. Ardından, tek bir sütun atayarak onlara uygularız. kural VE:

Sonuç olarak, "çıktıda", gerçeği ifadenin gerçeğiyle örtüşen bir formül elde edilir. Denklik kanıtlanmıştır.

Evet, bu kanıt ilkel (ve birisi bunun "aptalca" olduğunu söyleyecektir), ama tipik bir matematik mantık öğretmeni onun için ruhunu sallayacak. Bu nedenle, bu kadar basit şeyler bile küçümsenmemelidir.

Şimdi, örneğin, de Morgan yasasının geçerliliğinden emin olalım.

Öncelikle sol taraf için bir doğruluk tablosu oluşturalım. Ayrışma parantez içinde olduğu için, öncelikle bunu gerçekleştiririz, ardından sütunu olumsuzlarız:

Ardından, sağ taraf için bir doğruluk tablosu derliyoruz. Burada da her şey şeffaf - her şeyden önce daha “güçlü” negatifler yapıyoruz, sonra sütunlara uyguluyoruz kural VE:

Sonuçlar eşleşti, böylece kimlik kanıtlandı.

Herhangi bir denklik şu şekilde temsil edilebilir: aynı doğru formül. Demek oluyor HERHANGİ bir başlangıç ​​sıfır ve bir kümesi İÇİN"çıktıda" kesinlikle birlik elde edilir. Ve bunun çok basit bir açıklaması var: doğruluk tabloları ve çakıştığına göre, o zaman, elbette, eşdeğerdirler.Örneğin, sadece ispatlanmış de Morgan özdeşliğinin sol ve sağ kısımlarını denklikle birleştirelim:

Veya daha kompakt bir şekilde:

Görev 2

Aşağıdaki denklikleri kanıtlayın:

b)

Dersin sonunda kısa çözüm. Tembel olmayalım! Yalnızca doğruluk tabloları oluşturmaya değil, aynı zamanda Açıkça sonuçları formüle edin. Geçenlerde belirttiğim gibi, basit şeyleri ihmal etmek çok, çok pahalı olabilir!

Mantık yasalarını tanımaya devam ediyoruz!

Evet, kesinlikle doğru - onlarla zaten güçlü ve ana ile çalışıyoruz:

Doğru de , denir aynı doğru formül veya mantık yasası.

Denklikten aynı doğru formüle önceden gerekçelendirilmiş geçiş sayesinde, yukarıda sıralanan tüm özdeşlikler mantık yasalarıdır.

Değer alan formül Yalan de içerdiği değişkenlerin herhangi bir değer kümesi, denir aynı şekilde yanlış formül veya çelişki.

Eski Yunanlılardan imzalı bir çelişki örneği:
Hiçbir ifade aynı anda hem doğru hem de yanlış olamaz.

Kanıt önemsizdir:

“Çıktı” yalnızca sıfır aldı, bu nedenle formül gerçekten özdeş yanlış.

Bununla birlikte, herhangi bir çelişki aynı zamanda bir mantık yasasıdır, özellikle:

Bu kadar geniş bir konuyu tek bir makalede ele almak imkansız ve bu nedenle kendimi sadece birkaç yasayla sınırlayacağım:

Dışlanan ortanın yasası

- klasik mantıkta herhangi bir ifade doğru veya yanlıştır ve üçüncü bir yol yoktur. “Olmak ya da olmamak” – işte bütün mesele bu.

Kendi doğruluk tablonuzu yapın ve öyle olduğundan emin olun. aynı şekilde doğru formül.

kontrpozisyon yasası

Özünü tartıştığımızda bu yasa aktif olarak abartıldı. gerekli kondisyon, hatırlamak: “Yağmur sırasında dışarısı nemliyse, dışarısı kuruysa kesinlikle yağmur yağmamıştır”.

Ayrıca bu yasadan, eğer adil ise dümdüz teorem, sonra bazen denilen ifade karşısında teorem.

Eğer doğruysa tersi teorem, o zaman çelişki yasası sayesinde, teorem de geçerlidir, ters ters:

Ve anlamlı örneklerimize geri dönelim: ifadeler için - sayı 4'e tam bölünür, - sayı 2'ye tam bölünür adil dümdüz ve karşısında teoremler, ancak yanlış tersi ve ters ters teoremler. Pisagor teoreminin "yetişkin" formülasyonu için, 4 "yön"ün tümü doğrudur.

tasım yasası

Ayrıca türün bir klasiği: "Bütün meşeler ağaçtır, bütün ağaçlar bitkidir, dolayısıyla bütün meşeler bitkidir".

Pekala, burada tekrar matematiksel mantığın formalizmine dikkat çekmek istiyorum: eğer katı Öğretmenimiz belirli bir Öğrencinin meşe olduğunu düşünüyorsa, o zaman biçimsel bir bakış açısından, bu Öğrenci kesinlikle bir bitkidir =) ... bunu bir düşünün, gayri resmi olandan da olabilir = )

Formül için bir doğruluk tablosu yapalım. Mantıksal işlemlerin önceliğine göre aşağıdaki algoritmaya bağlıyız:

1) çıkarımları gerçekleştirin ve . Genel olarak konuşursak, 3. çıkarımı hemen uygulayabilirsiniz, ancak onunla daha uygundur. (ve izin verildi!) biraz sonra anla

2) sütunlara uygula kural VE;

3) şimdi çalıştırıyoruz;

4) ve son adımda, imayı sütunlara uygulayın ve .

İşaret ve orta parmaklarınızla işlemi kontrol etmekten çekinmeyin :))


Son sütundan, yorum yapmadan her şeyin açık olduğunu düşünüyorum:
, kanıtlanacaktı.

Görev 3

Aşağıdaki formülün bir mantık yasası olup olmadığını öğrenin:

Dersin sonunda kısa çözüm. Evet ve neredeyse unutuyordum - ilk sıfır ve bir kümelerini kıyas yasasının ispatında olduğu gibi tam olarak aynı sırada listeleyelim. Elbette çizgiler yeniden düzenlenebilir, ancak bu benim çözümümle uzlaşmayı çok zorlaştıracak.

Boole Formüllerini Dönüştürme

"Mantıksal" amaçlarına ek olarak, eşdeğerlikler, formülleri dönüştürmek ve basitleştirmek için yaygın olarak kullanılır. Kabaca söylemek gerekirse, kimliğin bir parçası bir başkasıyla değiştirilebilir. Örneğin, mantıksal bir formülde bir parçaya rastlarsanız, o zaman, idempotency yasasına göre, onun yerine basitçe yazabilirsiniz (ve yapmalısınız). Görüyorsanız, absorpsiyon yasasına göre gösterimi basitleştirin. Ve benzeri.

Ayrıca, bir tane daha var önemli şey: özdeşlikler yalnızca temel önermeler için değil, aynı zamanda keyfi formüller için de geçerlidir. Örneğin:

, nerede (istediğiniz kadar karmaşık) formüller.

Örneğin, karmaşık çıkarımı dönüştürelim. (1. kimlik):

Ayrıca, parantez için "karmaşık" de Morgan yasasını uygularız, oysa operasyonların önceliği nedeniyle yasadır. :

Parantezler kaldırılabilir, çünkü içeride daha "güçlü" bir bağlaç var:

Değişebilirlik ile, genel olarak, her şey basittir - hiçbir şey belirlemenize bile gerek yoktur ... ruhuma bir şey tasım kanunu batırdı :))

Böylece, yasa daha karmaşık bir biçimde yeniden yazılabilir:

“Meşe, ağaç, bitki” mantıksal zincirini yüksek sesle söyleyin ve yasanın maddi anlamının, sonuçların yeniden düzenlenmesinden hiç değişmediğini anlayacaksınız. Bu ifadeler daha orijinal hale geldi mi.

Eğitim olarak formülü sadeleştiriyoruz.

Nereden başlamalı? Her şeyden önce, eylemlerin sırasını anlamak için: burada olumsuzlama, ifadeyle “biraz daha zayıf” bir bağlaçla “sabitlenen” bütün bir parantez için uygulanır. Özünde, önümüzde iki faktörün mantıksal ürünü var: . Kalan iki işlemden çıkarım en düşük önceliğe sahiptir ve bu nedenle formülün tamamı aşağıdaki yapıya sahiptir: .

Kural olarak, ilk adımda (adımlarda) denklik ve imadan kurtulun (Eğer öylelerse) ve formülü üç temel mantıksal işleme indirgeyin. Ne söyleyebilirim…. Mantıken.

(1) Kimliği kullanıyoruz . Ve bizim durumumuzda.

Bunu genellikle parantezlerle "sökme" takip eder. Önce tüm çözüm, sonra yorumlar. "Tereyağı" almamak için "olağan" eşitlik simgelerini kullanacağım:

(2) De Morgan yasasını dış parantezlere uygularız, burada .

Kümeler üzerinde düşünülen işlemler, sayılar cebirinin iyi bilinen temel yasalarını anımsatan belirli yasalara tabidir. Bu, adı tanımlar cebir ayarla Mantıksal araştırmasını cebir ve mantık arasında bir analoji fikrine dayandıran İngiliz matematikçi John Boole'un adıyla ilişkilendirilen, genellikle Boole küme cebiri olarak adlandırılan .

Rastgele A, B ve C kümeleri için aşağıdaki özdeşlikler doğrudur (Tablo 3.1):

Tablo 3.1

Kümelerin cebirinin kesişim () ve birleşim () işlemleriyle ilgili yasaları, dualite ilkesine tabidir: eğer herhangi bir yasada tüm kesişim işaretleri birlik işaretleri ile değiştirilir ve tüm birlik işaretleri kesişme işaretleridir. , evrenin işareti (U) boş bir kümenin işareti (Ø) ile değiştirilir ve boş işareti - evrenin işareti, sonra tekrar doğru kimliği elde ederiz. Örneğin (bu ilkeden dolayı), aşağıdakilerden kaynaklanır, vb.

3.1. Euler-Venn diyagramlarını kullanarak kimliklerin doğruluğunu kontrol etme

Küme cebirinin tüm yasaları, Euler-Venn diyagramları kullanılarak görsel olarak temsil edilebilir ve kanıtlanabilir. Bunun için ihtiyacınız olan:

Karşılık gelen diyagramı çizin ve denklemin sol tarafındaki tüm kümeleri gölgelendirin.

Başka bir diyagram çizin ve aynısını denklemin sağ tarafı için yapın.

Bu özdeşlik, ancak ve ancak aynı alan her iki diyagramda da gölgeliyse doğrudur.

Açıklama 3.1. Kesişen iki daire, tüm evrensel seti dört bölgeye ayırır (bkz. Şekil 3.1)

Açıklama 3.2. Kesişen üç daire, tüm evrensel seti sekiz bölgeye ayırır (bkz. Şekil 3.2):

Açıklama 3.2.Çeşitli örneklerin koşullarını yazarken, genellikle notasyon kullanılır:

 - ...'den şu şekildedir ...;

 - ancak ve ancak...

Görev 3.1 . Küme cebir ifadelerini basitleştirin:

Çözüm.

Bir görev 3 .2 . Kimlikleri kanıtlayın:

(AB)\B = A\B;

A(BC) = A\(A\B)(A\C).

Çözüm.

Görev 3.3 . Aşağıdaki bağıntıları iki şekilde kanıtlayın: diyagramları kullanarak ve kümelerin eşitliğinin tanımını kullanarak.

Çözüm.

2. Kümelerin eşitliğinin tanımıyla ispat.

Tanım olarak, aşağıdaki ilişkiler aynı anda sağlanırsa X ve Y kümeleri eşittir: XY ve YX.

önce bunu gösterelim
. İzin vermek X kümenin keyfi bir elemanıdır
, yani X
. Demek oluyor XU ve X
. Bu nedenle şu şekildedir: XA veya XB. Eğer bir X o zaman XĀ, yani
. Eğer XB, o zaman
, bu şu anlama gelir
. Böylece, kümenin her elemanı.
. aynı zamanda kümenin bir elemanıdır
Yani

Şimdi tersini kanıtlıyoruz, yani
. İzin vermek
. Eğer bir XĀ, o zaman XU ve XA, yani XAB. Bu nedenle şu şekildedir:
. Eğer
, sonra XU ve XB. Anlamına geliyor, XAB, yani
. Buna göre kümenin her elemanı
aynı zamanda kümenin bir elemanıdır
, yani
.

Anlamına geliyor,
, kanıtlanacaktı.

A(BC) = (AB)(AC);

1. Diyagramlı ispat:

İzin vermek XA(BC). O zamanlar XA ve XBC. Eğer bir XB, o zaman X Söylenenlerle çelişmeyen AB, yani X(AB)(AC). Eğer XC, sonra XAC. Sonuç olarak, X(AB)(AC). Böylece, A(BC)  (AB)(AC.

şimdi izin ver X (AB)(AC). Eğer bir XAB, daha sonra XA ve XB. Bu nedenle şu şekildedir: XA ve XВС, yani XA(BC). Eğer XAC, sonra XA ve XC. Bu nedenle şu şekildedir: XA ve XВС, yani XA(BC). Böylece, (AB)(AC) A(BC). Bu nedenle, A(BC) = (AB)(AC). Q.E.D.

Yeterliliği ispatlarken АВ= elde ettik. С olduğu açıktır, bu nedenle ilişki kanıtlanmıştır. İspatta en genel durum dikkate alındı. Bununla birlikte, diyagramlar oluştururken hala bazı seçenekler vardır. Örneğin, eşitlik durumu AB \u003d C veya
, boş kümeler durumu vb. Tüm olası seçenekleri hesaba katmanın zor olduğu açıktır. Bu nedenle, diyagramları kullanarak ilişkilerin ispatının her zaman doğru olmadığına inanılmaktadır.

2. Kümelerin eşitliğinin tanımıyla ispat.

İhtiyaç. ABC ve eleman olsun XA. Bu durumda A kümesinin bir elemanının aynı zamanda kümenin bir elemanı olacağını gösterelim.
.

İki durumu düşünün: Xİçinde veya
.

Eğer bir XB, o zaman XABC, yani XC ve sonuç olarak,
.

Eğer
, sonra ve
. İhtiyaç kanıtlanmıştır.

şimdi izin ver
ve XAB. elemanı olduğunu gösterelim. X ayrıca C kümesinin bir elemanı olacaktır.

Eğer bir XAB, daha sonra XA ve XB. Çünkü
, anlamına geliyor XC. Yeterliliği kanıtlanmıştır.

1. Diyagramlı ispat:

2. Kümelerin eşitliğinin tanımıyla ispat.

AB olsun. Öğeyi düşünün XB (veya
). Benzer şekilde: XA (veya XĀ). Yani kümenin her elemanı aynı zamanda Ā kümesinin bir elemanıdır. Ve eğer durum bu olabilir
. Q.E.D.

Görev 3.4. Belirtilen alanları sembolik olarak ifade edin ve elde edilen ifadeleri basitleştirin.

Çözüm.

Aranan alan iki izole bölümden oluşmaktadır. Onlara yukarı ve aşağı diyelim. Gösterdikleri küme şu şekilde tanımlanabilir:

M = ( x xA ve Xİçinde ve XC veya XC ve XA ve XB).

Kümelerdeki işlemlerin tanımından şunu elde ederiz:

M = ((AB)\C)(C\A\B).

Bu ifadeyi temel işlemleri - toplama, birleştirme ve kesişme - kullanarak yazalım:

Bu ifadeyi basitleştirmek imkansızdır, çünkü her karakterin bir tekrarı var. Bu, bu formülün en basit şeklidir.

Bu alan, A\B\C ve ABC kümelerinin birleşimi olarak düşünülebilir. Tanım olarak, M = ( x xA ve xİçinde ve XC veya XA ve Xİçinde ve XC). Basitleştirelim:

Bağımsız çözüm için görevler.

1. Basitleştirin:

2. Diyagramları, küme cebiri yasalarını ve kümelerin eşitliğinin tanımını kullanarak kanıtlayın:

(AB)\B = A\B;

A(BC) = A\(A\B)(A\C);

AB \u003d AB  A \u003d B;

A \ B \u003d   AB \u003d A.

3. Herhangi bir A için eşitliği sağlayan bir X kümesi olup olmadığını öğrenin:

AX \u003d A; (cevap );