BÖLÜM I.

TEMEL KONSEPTLER.

§on bir. BAĞLANTILI VE DİKEY AÇILAR.

1. Bitişik köşeler.

Bir köşenin kenarına köşesinin ötesinde devam edersek, iki köşe elde ederiz (Şek. 72): / bir güneş ve / Bir BC tarafının ortak olduğu ve diğer iki AB ve BD'nin düz bir çizgi oluşturduğu SVD.

Bir kenarı ortak, diğer ikisi düz bir çizgi oluşturan iki açıya komşu açılar denir.

Bitişik açılar şu şekilde de elde edilebilir: Düz bir çizgi üzerindeki bir noktadan (belirli bir düz çizgi üzerinde uzanmayan) bir ışın çizersek, bitişik açıları elde ederiz.
Örneğin, / ADF ve / FDВ - bitişik köşeler (Şek. 73).

Bitişik köşeler çok çeşitli konumlara sahip olabilir (Şekil 74).

Bitişik açılar bir düz açıya eşittir, bu nedenle iki bitişik açının umması 2d.

Bu nedenle, bir dik açı, komşu açısına eşit bir açı olarak tanımlanabilir.

Komşu açılardan birinin değerini bilerek, diğer komşu açının değerini bulabiliriz.

Örneğin, bitişik açılardan biri 3/5 ise d, o zaman ikinci açı şuna eşit olacaktır:

2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.

2. Dikey açılar.

Bir açının kenarlarını köşesinin ötesine uzatırsak, dikey açılar. 75 numaralı çizimde, EOF ve AOC açıları dikeydir; AOE ve COF açıları da dikeydir.

Bir açının kenarları diğer açının kenarlarının uzantıları ise iki açı dikey olarak adlandırılır.

İzin vermek / 1 = 7 / 8 d(Şek. 76). ona bitişik / 2, 2'ye eşit olacak d- 7 / 8 d, yani 1 1/8 d.

Aynı şekilde, neye eşit olduğunu hesaplayabilirsiniz. / 3 ve / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Şek. 77).

bunu görüyoruz / 1 = / 3 ve / 2 = / 4.

Aynı problemlerden birkaçını daha çözebilirsiniz ve her seferinde aynı sonucu elde edersiniz: dikey açılar birbirine eşittir.

Bununla birlikte, dikey açıların her zaman birbirine eşit olduğundan emin olmak için, belirli örneklerden çıkarılan sonuçlar bazen hatalı olabileceğinden, tek tek sayısal örnekleri dikkate almak yeterli değildir.

Düşey açıların özelliğinin geçerliliğini akıl yürüterek, ispatla doğrulamak gerekir.

Kanıt şu şekilde gerçekleştirilebilir (Şekil 78):

/ bir +/ c = 2d;
/ b +/ c = 2d;

(komşu açıların toplamı 2 olduğundan d).

/ bir +/ c = / b +/ c

(bu eşitliğin sol tarafı 2'ye eşit olduğundan d, ve sağ tarafı da 2'ye eşittir d).

Bu eşitlik aynı açıyı içerir İle birlikte.

eğer biz eşit değerler eşit olarak çıkarın, o zaman eşit kalacaktır. Sonuç: / a = / b, yani dikey açılar birbirine eşittir.

Düşey açılar konusunu ele alırken öncelikle hangi açılara düşey denildiğini açıkladık yani tanım dikey köşeler.

Sonra düşey açıların eşitliği hakkında bir hüküm (ifade) verdik ve bu hükmün doğruluğuna ispatla ikna olduk. Geçerliliği kanıtlanması gereken bu tür yargılara denir. teoremler. Böylece bu bölümde düşey açıların tanımını verdik ve ayrıca özellikleri ile ilgili bir teoremi ifade ettik ve kanıtladık.

Gelecekte geometri çalışırken sürekli olarak teoremlerin tanımları ve ispatları ile karşılaşmak zorunda kalacağız.

3. Köşeleri ortak olan açıların toplamı.

çizimde 79 / 1, / 2, / 3 ve / 4 düz bir çizginin aynı tarafında bulunur ve bu düz çizgi üzerinde ortak bir tepe noktasına sahiptir. Özetle, bu açılar bir düz açı oluşturur, yani.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

çizimde 80 / 1, / 2, / 3, / 4 ve / 5 ortak bir üst var. Bu açıların toplamı tam açı, yani / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Egzersizler.

1. Bitişik açılardan biri 0,72'dir. d. Bu bitişik açıların açıortaylarının oluşturduğu açıyı hesaplayın.

2. Bitişik iki açının açıortaylarının bir dik açı oluşturduğunu kanıtlayın.

3. İki açı eşitse, komşu açılarının da eşit olduğunu kanıtlayın.

4. 81 numaralı çizimde kaç çift bitişik köşe vardır?

5. Bir çift bitişik açı iki dar açıdan oluşabilir mi? iki geniş köşeden? dik ve geniş açılardan? dik ve dar açıdan mı?

6. Bitişik açılardan biri doğruysa, ona bitişik açının değeri hakkında ne söylenebilir?

7. İki doğrunun kesiştiği noktada bir dik açı varsa, diğer üç açının boyutu hakkında ne söylenebilir?

Geometri çok yönlü bir bilimdir. Mantık, hayal gücü ve zeka geliştirir. Tabii ki, karmaşıklığı ve çok sayıda teorem ve aksiyom nedeniyle, okul çocukları bundan her zaman hoşlanmazlar. Ayrıca, genel kabul görmüş standartları ve kuralları kullanarak sonuçlarını sürekli olarak kanıtlama ihtiyacı vardır.

Bitişik ve dikey açılar geometrinin ayrılmaz bir parçasıdır. Elbette birçok okul çocuğu, özelliklerinin açık ve kanıtlanması kolay olduğu için onlara tapıyor.

köşelerin oluşumu

Herhangi bir açı, iki çizginin kesişmesi veya bir noktadan iki ışın çekilmesiyle oluşturulur. Köşenin yapım noktalarını art arda belirten bir veya üç harf olarak adlandırılabilirler.

Açılar derece olarak ölçülür ve (değerlerine bağlı olarak) farklı şekilde çağrılabilir. Yani, keskin, geniş ve konuşlandırılmış bir dik açı var. İsimlerin her biri belirli bir derece ölçüsüne veya aralığına karşılık gelir.

Dar açı, ölçüsü 90 dereceyi geçmeyen bir açıdır.

Geniş açı, 90 dereceden büyük bir açıdır.

Ölçüsü 90 olan açıya sağ açı denir.

Sürekli bir düz çizgi ile oluşturulduğunda ve derece ölçüsü 180 olduğunda, konuşlandırılmış olarak adlandırılır.

İkinci kenarı birbirini devam ettiren ortak bir kenarı olan açılara komşu açılar denir. Keskin veya künt olabilirler. Çizginin kesişimi bitişik açıları oluşturur. Özellikleri aşağıdaki gibidir:

1. Bu tür açıların toplamı 180 dereceye eşit olacaktır (bunu kanıtlayan bir teorem vardır). Bu nedenle, biri biliniyorsa diğeri kolayca hesaplanabilir.
2. Birinci noktadan bitişik açıların iki geniş veya iki dar açı tarafından oluşturulamayacağı sonucu çıkar.

Bu özellikler sayesinde, başka bir açının değeri veya en azından aralarındaki oran verilen bir açının derece ölçüsü her zaman hesaplanabilir.

Dikey açılar

Kenarları birbirinin devamı olan açılara düşey denir. Çeşitlerinden herhangi biri böyle bir çift gibi davranabilir. Dikey açılar her zaman birbirine eşittir.

Çizgiler kesiştiğinde oluşurlar. Onlarla birlikte, bitişik köşeler her zaman mevcuttur. Bir açı hem biri için bitişik hem de diğeri için dikey olabilir.

Rastgele bir çizgiyi geçerken, birkaç başka açı türü de dikkate alınır. Böyle bir çizgiye kesen denir ve karşılık gelen, tek taraflı ve çapraz uzanan açıları oluşturur. Birbirlerine eşittirler. Dikey ve bitişik açıların sahip olduğu özellikler ışığında görülebilirler.

Böylece köşeler konusu oldukça basit ve anlaşılır görünmektedir. Tüm özelliklerinin hatırlanması ve kanıtlanması kolaydır. Açılar sayısal bir değere karşılık geldiği sürece problem çözmek zor değildir. Ayrıca, günah ve cos çalışması başladığında, birçok karmaşık formülü, bunların sonuçlarını ve sonuçlarını ezberlemeniz gerekecek. O zamana kadar, bitişik köşeleri bulmanız gereken kolay bulmacaların tadını çıkarabilirsiniz.

Bir kenarı ortak, diğer kenarları aynı doğru üzerinde bulunan açılar (şekilde 1 ve 2 açıları bitişiktir). Pirinç. sanata. Bitişik köşeler... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

BAĞLANTILI KÖŞELER- bir köşesi ve bir kenarı ortak olan ve diğer iki kenarı aynı doğru üzerinde bulunan açılar ... Büyük Politeknik Ansiklopedisi

Açıya Bakın... Büyük Ansiklopedik Sözlük

BARIŞIK AÇILAR, toplamları 180° olan iki açı. Bu köşelerin her biri diğerini tam bir açıyla tamamlıyor... Bilimsel ve teknik ansiklopedik sözlük

Bkz. Açı. * * * BİTİŞİ KÖŞELER BİTİŞİ KÖŞELER, bkz. Köşe (bkz. KÖŞE) … ansiklopedik sözlük

- (Birbirine bitişik açılar) ortak bir köşesi ve ortak bir kenarı olanlar. Çoğunlukla, bu ad, diğer iki kenarı, tepe noktasından çizilen bir düz çizginin zıt yönlerinde bulunan bu tür S. açılarına atıfta bulunur ... Ansiklopedik Sözlük F.A. Brockhaus ve I.A. efron

Açıya Bakın... Doğal bilim. ansiklopedik sözlük

İki çizgi kesişerek bir çift dikey açı oluşturur. Bir çift A ve B açılarından, diğeri C ve D açılarından oluşur. Geometride, iki açının kesişmesiyle oluşturulmuşlarsa iki açı dikey olarak adlandırılır ... Wikipedia

Birbirini 90 dereceye kadar tamamlayan açı çifti Tümler açı, birbirini 90 dereceye kadar tamamlayan açı çiftidir. İki tamamlayıcı açı bitişikse (yani, ortak bir köşeleri varsa ve yalnızca ayrılmışlarsa ... ... Wikipedia

Birbirini 90 dereceye kadar tamamlayan açılar Bütünler açılar, 90 dereceye kadar birbirini tamamlayan açılardır. İki ek açı c ise ... Wikipedia

Kitabın

• Geometride ispat üzerine, Fetisov A.I. Bir zamanlar, en başında okul yılıİki kızın konuşmasına kulak misafiri oldum. En büyüğü altıncı sınıfa, en küçüğü beşinci sınıfa taşındı. Kızlar derslerle ilgili izlenimlerini paylaştılar, ...
• Geometri. 7. sınıf. Bilgi kontrolü için karmaşık defter, I.S. Markova, S.P. Babenko. Kılavuz, 7. sınıf öğrencilerinin bilgilerinin güncel, tematik ve nihai kalite kontrolünü yürütmek için geometride kontrol ve ölçüm materyalleri (KMI) sunar. Kılavuzun içeriği…

Bir kenarı ortak olan ve bu açıların diğer kenarları tamamlayıcı ışınlar olan iki açıya komşu denir. Şekil 20'de AOB ve BOC açıları bitişiktir.

Komşu açıların toplamı 180°

Teorem 1. Komşu açıların toplamı 180°'dir.

Kanıt. OB ışını (bkz. Şekil 1) geliştirilen açının kenarları arasından geçer. Bu yüzden ∠ AOB + ∠ BOC = 180°.

Teorem 1'den, iki açı eşitse, onlara bitişik açıların da eşit olduğu sonucu çıkar.

Dikey açılar eşittir

Bir açının kenarları diğerinin kenarlarının tümleyen ışınları ise iki açı dikey olarak adlandırılır. İki düz çizginin kesişiminde oluşan AOB ve COD, BOİ ve AOC açıları dikeydir (Şekil 2).

Teorem 2. Dikey açılar eşittir.

Kanıt. AOB ve COD dikey açılarını göz önünde bulundurun (bkz. Şekil 2). BOİ açısı AOB ve COD açılarının her birine bitişiktir. Teorem 1'e göre, ∠ AOB + ∠ BOİ = 180°, ∠ KOİ + ∠ BOİ = 180°.

Dolayısıyla ∠ AOB = ∠ COD olduğu sonucuna varıyoruz.

Sonuç 1. Bir dik açıya bitişik bir açı, bir dik açıdır.

Kesişen iki AC ve BD doğrusunu ele alalım (Şekil 3). Dört köşe oluştururlar. Bunlardan biri dikse (Şekil 3'teki açı 1), diğer açılar da diktir (1 ve 2, 1 ve 4 açıları bitişik, 1 ve 3 açıları dikey). Bu durumda, bu doğruların dik açılarla kesiştiği söylenir ve dik (veya karşılıklı olarak dik) olarak adlandırılır. AC ve BD çizgilerinin dikliği şu şekilde gösterilir: AC ⊥ BD.

Bir doğru parçasının dik açıortayı, bu doğru parçasına dik olan ve orta noktasından geçen bir doğrudur.

AN - çizgiye dik

Bir a doğrusu ve üzerinde uzanmayan bir A noktası düşünün (Şek. 4). A noktasını bir doğru parçası ile H noktasına düz bir a ile bağlayın. AH doğru parçasına, AN ve a doğruları dik ise, A noktasından a doğrusuna çizilen dik denir. H noktasına dikin tabanı denir.

Kare çizim

Aşağıdaki teorem doğrudur.

Teorem 3. Bir doğru üzerinde olmayan herhangi bir noktadan bu doğruya bir dik ve dahası sadece bir tane çizilebilir.

Çizimde bir noktadan düz bir çizgiye dik çizmek için bir çizim karesi kullanılır (Şekil 5).

Yorum. Teoremin ifadesi genellikle iki bölümden oluşur. Bir kısım verilenlerden bahsediyor. Bu kısma teoremin koşulu denir. Diğer kısım, neyin kanıtlanması gerektiğinden bahsediyor. Bu kısma teoremin sonucu denir. Örneğin, Teorem 2'nin koşulu dikey açılardır; sonuç - bu açılar eşittir.

Herhangi bir teorem kelimelerle ayrıntılı olarak ifade edilebilir, böylece koşulu “if” kelimesiyle ve sonuç “o zaman” kelimesiyle başlar. Örneğin Teorem 2 ayrıntılı olarak şu şekilde ifade edilebilir: "İki açı dikey ise, eşittir."

örnek 1 Bitişik açılardan biri 44°'dir. Diğeri neye eşittir?

Çözüm. Başka bir açının derece ölçüsünü x ile, ardından Teorem 1'e göre gösterin.
44° + x = 180°.
Ortaya çıkan denklemi çözerek, x \u003d 136 ° buluyoruz. Bu nedenle, diğer açı 136°'dir.

Örnek 2Şekil 21'deki KOİ açısı 45° olsun. AOB ve AOC açıları nedir?

Çözüm. COD ve AOB açıları dikeydir, bu nedenle Teorem 1.2'ye göre eşittirler, yani ∠ AOB = 45°. AOC açısı COD açısına bitişiktir, dolayısıyla Teorem 1'e göre.
∠ AOC = 180° - ∠ KOİ = 180° - 45° = 135°.

Örnek 3 Biri diğerinin 3 katı ise komşu açıları bulun.

Çözüm. Daha küçük açının derece ölçüsünü x ile gösteriniz. O zaman daha büyük açının derece ölçüsü Zx olacaktır. Bitişik açıların toplamı 180° olduğundan (Teorem 1), x + 3x = 180°, buradan x = 45°.
Yani komşu açılar 45° ve 135°'dir.

Örnek 4İki dikey açının toplamı 100° dir. Dört açının her birinin değerini bulun.

Çözüm. Şekil 2 problemin durumuna karşılık gelsin COD ile AOB arasındaki dikey açılar eşittir (Teorem 2), bu da onların derece ölçülerinin de eşit olduğu anlamına gelir. Bu nedenle, ∠ KOİ = ∠ AOB = 50° (toplamları koşula göre 100°'dir). BOİ açısı (ayrıca AOC açısı) KOİ açısına bitişiktir ve bu nedenle Teorem 1'e göre
∠ BOİ = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Soru 1. Hangi açılara bitişik denir?
Cevap. Bir kenarı ortak olan ve bu açıların diğer kenarları tamamlayıcı yarım doğrular olan iki açıya komşu denir.
Şekil 31'de (a 1 b) ve (a 2 b) köşeleri bitişiktir. Ortak bir b kenarına sahiptirler ve a 1 ve 2 kenarları ek yarım çizgilerdir.

Soru 2. Bitişik açıların toplamının 180° olduğunu kanıtlayın.
Cevap. Teorem 2.1. Komşu açıların toplamı 180°'dir.
Kanıt. Açıya (a 1 b) ve açıya (a 2 b) komşu açılar verilsin (bkz. Şekil 31). Kiriş b, geliştirilen açının a 1 ve a 2 kenarları arasından geçer. Bu nedenle, (a 1 b) ve (a 2 b) açılarının toplamı, geliştirilen açıya eşittir, yani. 180 °. Q.E.D.

Soru 3.İki açı birbirine eşitse, bitişik açıların da eşit olduğunu kanıtlayın.
Cevap.

teoremden 2.1 İki açı eşitse, onlara bitişik açılar eşittir.
(a 1 b) ve (c 1 d) açılarının eşit olduğunu varsayalım. (a 2 b) ve (c 2 d) açılarının da eşit olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.
Komşu açıların toplamı 180°'dir. Bundan a 1 b + a 2 b = 180° ve c 1 d + c 2 d = 180° çıkar. Dolayısıyla, a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b ve c 2 d \u003d 180 ° - c 1 d. (a 1 b) ve (c 1 d) açıları eşit olduğundan, a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b \u003d c 2 d elde ederiz. Eşittir işaretinin geçişlilik özelliğinden a 2 b = c 2 d çıkar. Q.E.D.

Soru 4. Hangi açıya doğru denir (dar, geniş)?
Cevap. 90° olan açıya dik açı denir.
90°'den küçük açılara dar açı denir.
90°'den büyük ve 180°'den küçük olan açılara geniş açı denir.

Soru 5. Bir dik açıya komşu olan açının dik açı olduğunu kanıtlayın.
Cevap. Bitişik açıların toplamına ilişkin teoremden, bir dik açıya bitişik açının bir dik açı olduğu sonucu çıkar: x + 90° = 180°, x= 180° - 90°, x = 90°.

Soru 6. Dikey açılar nelerdir?
Cevap. Bir açının kenarları diğerinin kenarlarının tamamlayıcı yarım çizgileri ise iki açı dikey olarak adlandırılır.

7. soru Dikey açıların eşit olduğunu kanıtlayın.
Cevap. Teorem 2.2. Dikey açılar eşittir.
Kanıt.(a 1 b 1) ve (a 2 b 2) dikey açılar verilsin (Şekil 34). Köşe (a 1 b 2) köşeye (a 1 b 1) ve köşeye (a 2 b 2) bitişiktir. Buradan, bitişik açıların toplamına ilişkin teorem ile, (a 1 b 1) ve (a 2 b 2) açılarının her birinin, (a 1 b 2) açısını 180 ° 'ye kadar tamamladığı sonucuna varıyoruz, yani. (a 1 b 1) ve (a 2 b 2) açıları eşittir. Q.E.D.

Soru 8.İki doğrunun kesişim noktasında açılardan biri dik açıysa, diğer üç açının da dik olduğunu kanıtlayın.
Cevap. AB ve CD doğrularının O noktasında kesiştiğini varsayın. AOD açısının 90° olduğunu varsayın. Komşu açıların toplamı 180° olduğundan, AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90° elde ederiz. COB açısı AOD açısına diktir, yani eşittirler. Yani, COB açısı = 90°. COA, BOİ'ye dikeydir, dolayısıyla eşittirler. Yani BOİ açısı = 90°. Böylece, tüm açılar 90 ° 'ye eşittir, yani hepsi doğrudur. Q.E.D.

Soru 9. Hangi çizgilere dik denir? Çizgilerin dikliğini belirtmek için hangi işaret kullanılır?
Cevap. Dik açıyla kesişen iki doğruya dik denir.
Çizgilerin dikliği \(\perp\) ile gösterilir. \(a\perp b\) girdisi şöyledir: "a doğrusu b doğrusuna diktir".

Soru 10. Bir doğrunun herhangi bir noktasından ona dik ve sadece bir doğru çizilebileceğini kanıtlayın.
Cevap. Teorem 2.3. Her çizgi boyunca, ona dik ve sadece bir çizgi çizebilirsiniz.
Kanıt. a verilen bir doğru ve A - olsun verilen nokta onun üzerinde. Başlangıç ​​noktası A olan düz a çizgisinin yarım çizgilerinden birini 1 ile gösteriniz (Şek. 38). Yarım çizgiden a 1 açısını (a 1 b 1) 90 ° 'ye eşit olarak ayırın. O zaman b 1 ışınını içeren doğru a hattına dik olacaktır.

A noktasından geçen ve a doğrusuna dik olan başka bir doğru olduğunu varsayalım. b1 ışını ile aynı yarı düzlemde bulunan bu doğrunun yarım doğrusunu c1 ile gösteriniz.
Her biri 90° olan (a 1 b 1) ve (a 1 c 1) açıları, a 1 yarım doğrusundan bir yarım düzlemde düzenlenmiştir. Ancak yarım çizgiden a 1, bu yarım düzlemde sadece 90 ° 'ye eşit bir açı ayrılabilir. Bu nedenle, A noktasından geçen ve a doğrusuna dik olan başka bir doğru olamaz. Teorem kanıtlanmıştır.

Soru 11. Bir doğruya dik nedir?
Cevap. Belirli bir doğruya dik, uçlarından biri kesişme noktalarında olan, verilen doğruya dik olan bir doğru parçası. Segmentin bu ucuna denir temel dik.

Soru 12.Çelişki ile ispatın ne olduğunu açıklayınız.
Cevap. Teorem 2.3'te kullandığımız ispat yöntemine çelişkili ispat denir. Bu ispat yolu, ilk önce teorem tarafından ifade edilenin tersi bir varsayımda bulunmamızdan ibarettir. Ardından, aksiyomlara ve kanıtlanmış teoremlere dayanarak, akıl yürüterek, teoremin koşuluyla veya aksiyomlardan biriyle veya daha önce kanıtlanmış teoremle çelişen bir sonuca varırız. Bu temelde, varsayımımızın yanlış olduğu sonucuna varırız, bu da teoremin iddiasının doğru olduğu anlamına gelir.

Soru 13. açıortay nedir?
Cevap. Bir açının açıortay, açının köşesinden gelen, kenarlarının arasından geçen ve açıyı ikiye bölen bir ışındır.