Geometri çok yönlü bir bilimdir. Mantık, hayal gücü ve zeka geliştirir. Tabii ki, karmaşıklığı ve çok sayıda teorem ve aksiyom nedeniyle, okul çocukları bundan her zaman hoşlanmazlar. Ayrıca, genel kabul görmüş standartları ve kuralları kullanarak sonuçlarını sürekli olarak kanıtlama ihtiyacı vardır.

Bitişik ve dikey açılar geometrinin ayrılmaz bir parçasıdır. Elbette birçok okul çocuğu, özelliklerinin açık ve kanıtlanması kolay olduğu için onlara tapıyor.

köşelerin oluşumu

Herhangi bir açı, iki çizginin kesişmesi veya bir noktadan iki ışın çekilmesiyle oluşturulur. Köşenin yapım noktalarını art arda belirten bir veya üç harf olarak adlandırılabilirler.

Açılar derece olarak ölçülür ve (değerlerine bağlı olarak) farklı şekilde çağrılabilir. Yani, keskin, geniş ve konuşlandırılmış bir dik açı var. İsimlerin her biri belirli bir derece ölçüsüne veya aralığına karşılık gelir.

Dar açı, ölçüsü 90 dereceyi geçmeyen bir açıdır.

Geniş açı, 90 dereceden büyük bir açıdır.

Ölçüsü 90 olan açıya sağ açı denir.

Sürekli bir düz çizgi ile oluşturulduğunda ve derece ölçüsü 180 olduğunda, konuşlandırılmış olarak adlandırılır.

İkinci kenarı birbirini devam ettiren ortak bir kenarı olan açılara komşu açılar denir. Keskin veya künt olabilirler. Çizginin kesişimi bitişik açıları oluşturur. Özellikleri aşağıdaki gibidir:

1. Bu tür açıların toplamı 180 dereceye eşit olacaktır (bunu kanıtlayan bir teorem vardır). Bu nedenle, biri biliniyorsa diğeri kolayca hesaplanabilir.
2. Birinci noktadan bitişik açıların iki geniş veya iki dar açı tarafından oluşturulamayacağı sonucu çıkar.

Bu özellikler sayesinde, başka bir açının değeri veya en azından aralarındaki oran verilen bir açının derece ölçüsü her zaman hesaplanabilir.

Dikey açılar

Kenarları birbirinin devamı olan açılara düşey denir. Çeşitlerinden herhangi biri böyle bir çift gibi davranabilir. Dikey açılar her zaman birbirine eşittir.

Çizgiler kesiştiğinde oluşurlar. Onlarla birlikte, bitişik köşeler her zaman mevcuttur. Bir açı hem biri için bitişik hem de diğeri için dikey olabilir.

Rastgele bir çizgiyi geçerken, birkaç başka açı türü de dikkate alınır. Böyle bir çizgiye kesen denir ve karşılık gelen, tek taraflı ve çapraz uzanan açıları oluşturur. Birbirlerine eşittirler. Dikey ve bitişik açıların sahip olduğu özellikler ışığında görülebilirler.

Böylece köşeler konusu oldukça basit ve anlaşılır görünmektedir. Tüm özelliklerinin hatırlanması ve kanıtlanması kolaydır. Açılar sayısal bir değere karşılık geldiği sürece problem çözmek zor değildir. Ayrıca, günah ve cos çalışması başladığında, birçok karmaşık formülü, bunların sonuçlarını ve sonuçlarını ezberlemeniz gerekecek. O zamana kadar, bitişik köşeleri bulmanız gereken kolay bulmacaların tadını çıkarabilirsiniz.

Geometri dersi çalışma sürecinde “açı”, “düşey açılar”, “komşu açılar” kavramlarına oldukça sık rastlanmaktadır. Terimlerin her birini anlamak, görevi anlamaya ve doğru şekilde çözmeye yardımcı olacaktır. Bitişik açılar nelerdir ve nasıl belirlenir?

Bitişik köşeler - kavramın tanımı

"Komşu açılar" terimi, ortak bir ışın tarafından oluşturulan iki açıyı ve aynı çizgi üzerinde uzanan iki ek yarım çizgiyi karakterize eder. Üç ışın da aynı noktadan geliyor. Ortak yarım çizgi aynı anda hem bir hem de ikinci açının kenarıdır.

Bitişik köşeler - temel özellikler

1. Bitişik açıların formülasyonuna dayanarak, bu tür açıların toplamının her zaman derece ölçüsü 180 ° olan bir düz açı oluşturduğunu görmek kolaydır:

• μ ve η komşu açılar ise, o zaman μ + η = 180°.
• Bitişik açılardan birinin (örneğin, μ) değerini bilerek, ikinci açının (η) derece ölçüsü η = 180° - μ ifadesini kullanarak kolayca hesaplanabilir.

2. Açıların bu özelliği şu sonucu çıkarmamızı sağlar: komşu olan bir açı dik açı, ayrıca düz olacaktır.

3. göz önüne alındığında trigonometrik fonksiyonlar(sin, cos, tg, ctg), bitişik açılar μ ve η için indirgeme formüllerine dayalı olarak, aşağıdakiler doğrudur:

• sinη = sin(180° - μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° - μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° - μ) = -tgμ,
• ctgη ​​​​= ctg(180° - μ) = -ctgμ.

Bitişik köşeler - örnekler

örnek 1

M, P, Q – ΔMPQ köşeleri olan bir üçgen verildi. ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM açılarına bitişik açıları bulun.

• Üçgenin her iki tarafını düz bir çizgi olarak uzatalım.
• Bitişik açıların birbirini bir düz açıyla tamamladığını bildiğimizde şunu buluruz:

∠QMP açısına bitişik ∠LMP,

∠MPQ açısına bitişik ∠SPQ,

∠PQM için bitişik açı ∠HQP'dir.

Örnek 2

Bitişik bir açının değeri 35°'dir. İkinci komşu açının derece ölçüsü nedir?

• Bitişik iki açı toplamı 180° yapar.
• ∠μ = 35° ise, komşu ∠η = 180° – 35° = 145°.

Örnek 3

Altlardan birinin derece ölçüsünün diğerinin derece ölçüsünden üç kat daha büyük olduğu biliniyorsa, bitişik açıların değerlerini belirleyin.

• Bir (daha küçük) açının değerini – ∠μ = λ ile gösterelim.
• O zaman problemin durumuna göre ikinci açının değeri ∠η = 3λ olacaktır.
• Bitişik açıların temel özelliğine göre, μ + η = 180° aşağıdaki gibidir

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Yani birinci açı ∠μ = λ = 45° ve ikinci açı ∠η = 3λ = 135°'dir.

Bitişik açıların temel özelliklerinin yanı sıra terminolojiye başvurma yeteneği, birçok geometrik problemin çözümüyle başa çıkmaya yardımcı olacaktır.

Soru 1. Hangi açılara bitişik denir?
Cevap. Bir kenarı ortak olan ve bu açıların diğer kenarları tamamlayıcı yarım doğrular olan iki açıya komşu denir.
Şekil 31'de (a 1 b) ve (a 2 b) köşeleri bitişiktir. Ortak bir b kenarına sahiptirler ve a 1 ve 2 kenarları ek yarım çizgilerdir.

Soru 2. Bitişik açıların toplamının 180° olduğunu kanıtlayın.
Cevap. Teorem 2.1. Komşu açıların toplamı 180°'dir.
Kanıt. Açıya (a 1 b) ve açıya (a 2 b) komşu açılar verilsin (bkz. Şekil 31). Kiriş b, geliştirilen açının a 1 ve a 2 kenarları arasından geçer. Bu nedenle, (a 1 b) ve (a 2 b) açılarının toplamı, geliştirilen açıya eşittir, yani. 180 °. Q.E.D.

Soru 3.İki açı birbirine eşitse, bitişik açıların da eşit olduğunu kanıtlayın.
Cevap.

teoremden 2.1 İki açı eşitse, onlara bitişik açılar eşittir.
(a 1 b) ve (c 1 d) açılarının eşit olduğunu varsayalım. (a 2 b) ve (c 2 d) açılarının da eşit olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.
Komşu açıların toplamı 180°'dir. Bundan a 1 b + a 2 b = 180° ve c 1 d + c 2 d = 180° çıkar. Dolayısıyla, a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b ve c 2 d \u003d 180 ° - c 1 d. (a 1 b) ve (c 1 d) açıları eşit olduğundan, a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b \u003d c 2 d elde ederiz. Eşittir işaretinin geçişlilik özelliğinden a 2 b = c 2 d çıkar. Q.E.D.

Soru 4. Hangi açıya doğru denir (dar, geniş)?
Cevap. 90° olan açıya dik açı denir.
90°den küçük açıya denir dar açı.
90°'den büyük ve 180°'den küçük olan açılara geniş açı denir.

Soru 5. Bir dik açıya komşu olan açının dik açı olduğunu kanıtlayın.
Cevap. Komşu açıların toplamına ilişkin teoremden, bir dik açıya bitişik açının bir dik açı olduğu sonucu çıkar: x + 90° = 180°, x= 180° - 90°, x = 90°.

Soru 6. Dikey açılar nelerdir?
Cevap. Bir açının kenarları diğerinin kenarlarının tamamlayıcı yarım çizgileri ise iki açı dikey olarak adlandırılır.

7. soru Dikey açıların eşit olduğunu kanıtlayın.
Cevap. Teorem 2.2. Dikey açılar eşittir.
Kanıt.(a 1 b 1) ve (a 2 b 2) dikey açılar verilsin (Şekil 34). Köşe (a 1 b 2) köşeye (a 1 b 1) ve köşeye (a 2 b 2) bitişiktir. Buradan, bitişik açıların toplamına ilişkin teorem ile, (a 1 b 1) ve (a 2 b 2) açılarının her birinin, (a 1 b 2) açısını 180 ° 'ye kadar tamamladığı sonucuna varıyoruz, yani. (a 1 b 1) ve (a 2 b 2) açıları eşittir. Q.E.D.

Soru 8.İki doğrunun kesiştiği noktada açılardan biri dik açıysa, diğer üç açının da dik olduğunu kanıtlayın.
Cevap. AB ve CD doğrularının O noktasında kesiştiğini varsayın. AOD açısının 90° olduğunu varsayın. Komşu açıların toplamı 180° olduğundan, AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90° elde ederiz. COB açısı AOD açısına diktir, yani eşittirler. Yani, COB açısı = 90°. COA, BOİ'ye dikeydir, dolayısıyla eşittirler. Yani BOİ açısı = 90°. Böylece, tüm açılar 90 ° 'ye eşittir, yani hepsi doğrudur. Q.E.D.

Soru 9. Hangi çizgilere dik denir? Çizgilerin dikliğini belirtmek için hangi işaret kullanılır?
Cevap. Dik açıyla kesişen iki doğruya dik denir.
Çizgilerin dikliği \(\perp\) ile gösterilir. \(a\perp b\) girdisi şöyledir: "a doğrusu b doğrusuna diktir".

Soru 10. Bir doğrunun herhangi bir noktasından ona dik ve sadece bir doğru çizilebileceğini kanıtlayın.
Cevap. Teorem 2.3. Her çizgi boyunca, ona dik ve sadece bir çizgi çizebilirsiniz.
Kanıt. a verilen bir doğru ve A - olsun verilen nokta onun üzerinde. Başlangıç ​​noktası A olan düz a çizgisinin yarım çizgilerinden birini 1 ile gösteriniz (Şek. 38). Yarım çizgiden a 1 açısını (a 1 b 1) 90 ° 'ye eşit olarak ayırın. O zaman b 1 ışınını içeren doğru a hattına dik olacaktır.

A noktasından geçen ve a doğrusuna dik olan başka bir doğru olduğunu varsayalım. b1 ışını ile aynı yarı düzlemde bulunan bu doğrunun yarım doğrusunu c1 ile gösteriniz.
Her biri 90° olan (a 1 b 1) ve (a 1 c 1) açıları, a 1 yarım doğrusundan bir yarım düzlemde düzenlenmiştir. Ancak yarım çizgiden a 1, bu yarım düzlemde sadece 90 ° 'ye eşit bir açı ayrılabilir. Bu nedenle, A noktasından geçen ve a doğrusuna dik olan başka bir doğru olamaz. Teorem kanıtlanmıştır.

Soru 11. Bir doğruya dik nedir?
Cevap. Belirli bir doğruya dik, uçlarından biri kesişme noktalarında olan, verilene dik olan bir doğru parçasıdır. Segmentin bu ucuna denir temel dik.

Soru 12.Çelişki ile ispatın ne olduğunu açıklayınız.
Cevap. Teorem 2.3'te kullandığımız ispat yöntemine çelişkili ispat denir. Bu ispat yolu, ilk önce teorem tarafından ifade edilenin tersi bir varsayımda bulunmamızdan ibarettir. Ardından, aksiyomlara ve kanıtlanmış teoremlere dayanarak, akıl yürüterek, teoremin koşuluyla veya aksiyomlardan biriyle veya daha önce kanıtlanmış teoremle çelişen bir sonuca varırız. Bu temelde, varsayımımızın yanlış olduğu sonucuna varırız, bu da teoremin iddiasının doğru olduğu anlamına gelir.

Soru 13. açıortay nedir?
Cevap. Bir açının açıortay, açının köşesinden gelen, kenarlarının arasından geçen ve açıyı ikiye bölen ışındır.

BÖLÜM I.

TEMEL KONSEPTLER.

§on bir. BAĞLANTILI VE DİKEY AÇILAR.

1. Bitişik köşeler.

Bir köşenin kenarına köşesinin ötesinde devam edersek, iki köşe elde ederiz (Şek. 72): / bir güneş ve / Bir BC tarafının ortak olduğu ve diğer iki AB ve BD'nin düz bir çizgi oluşturduğu SVD.

Bir kenarı ortak, diğer ikisi düz bir çizgi oluşturan iki açıya komşu açılar denir.

Bitişik açılar şu şekilde de elde edilebilir: Düz bir çizgi üzerindeki bir noktadan (belirli bir düz çizgi üzerinde olmayan) bir ışın çizersek, bitişik açıları elde ederiz.
Örneğin, / ADF ve / FDВ - bitişik köşeler (Şek. 73).

Bitişik köşeler çok çeşitli konumlara sahip olabilir (Şekil 74).

Bitişik açılar bir düz açıya eşittir, bu nedenle iki bitişik açının umması 2d.

Bu nedenle, bir dik açı, komşu açısına eşit bir açı olarak tanımlanabilir.

Bitişik açılardan birinin değerini bilerek, diğer komşu açının değerini bulabiliriz.

Örneğin, bitişik açılardan biri 3/5 ise d, o zaman ikinci açı şuna eşit olacaktır:

2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.

2. Dikey açılar.

Bir açının kenarlarını köşesinin ötesine uzatırsak, dikey açılar elde ederiz. 75 numaralı çizimde, EOF ve AOC açıları dikeydir; AOE ve COF açıları da dikeydir.

Bir açının kenarları diğer açının kenarlarının uzantıları ise iki açı dikey olarak adlandırılır.

İzin vermek / 1 = 7 / 8 d(Şek. 76). ona bitişik / 2, 2'ye eşit olacak d- 7 / 8 d, yani 1 1/8 d.

Aynı şekilde, neye eşit olduğunu hesaplayabilirsiniz. / 3 ve / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Şek. 77).

bunu görüyoruz / 1 = / 3 ve / 2 = / 4.

Aynı problemlerden birkaçını daha çözebilirsiniz ve her seferinde aynı sonucu elde edersiniz: dikey açılar birbirine eşittir.

Bununla birlikte, dikey açıların her zaman birbirine eşit olduğundan emin olmak için, belirli örneklerden çıkarılan sonuçlar bazen hatalı olabileceğinden, tek tek sayısal örnekleri dikkate almak yeterli değildir.

Düşey açıların özelliğinin geçerliliğini akıl yürüterek, ispatla doğrulamak gerekir.

Kanıt şu şekilde gerçekleştirilebilir (Şekil 78):

/ bir +/ c = 2d;
/ b +/ c = 2d;

(komşu açıların toplamı 2 olduğundan d).

/ bir +/ c = / b +/ c

(bu eşitliğin sol tarafı 2'ye eşit olduğundan d, ve sağ tarafı da 2'ye eşittir d).

Bu eşitlik aynı açıyı içerir İle birlikte.

eğer biz eşit değerler eşit olarak çıkarın, o zaman eşit kalacaktır. Sonuç: / a = / b, yani dikey açılar birbirine eşittir.

Düşey açılar konusunu ele alırken öncelikle hangi açılara düşey denildiğini açıkladık yani tanım dikey köşeler.

Sonra düşey açıların eşitliği hakkında bir hüküm (ifade) verdik ve bu hükmün doğruluğuna ispatla ikna olduk. Geçerliliği kanıtlanması gereken bu tür yargılara denir. teoremler. Böylece bu bölümde düşey açıların tanımını verdik ve ayrıca özellikleri ile ilgili bir teoremi ifade ettik ve kanıtladık.

Gelecekte geometri çalışırken sürekli olarak teoremlerin tanımları ve ispatları ile karşılaşmak zorunda kalacağız.

3. Köşeleri ortak olan açıların toplamı.

çizimde 79 / 1, / 2, / 3 ve / 4 düz bir çizginin aynı tarafında bulunur ve bu düz çizgi üzerinde ortak bir tepe noktasına sahiptir. Özetle, bu açılar bir düz açı oluşturur, yani.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

çizimde 80 / 1, / 2, / 3, / 4 ve / 5 ortak bir üst var. Bu açıların toplamı tam açı, yani / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Egzersizler.

1. Bitişik açılardan biri 0,72'dir. d. Bu bitişik açıların açıortaylarının oluşturduğu açıyı hesaplayın.

2. Bitişik iki açının açıortaylarının bir dik açı oluşturduğunu kanıtlayın.

3. İki açı eşitse, komşu açılarının da eşit olduğunu kanıtlayın.

4. 81 numaralı çizimde kaç çift bitişik köşe vardır?

5. Bir çift bitişik açı iki dar açıdan oluşabilir mi? iki geniş köşeden? dik ve geniş açılardan? dik ve dar açıdan mı?

6. Bitişik açılardan biri doğruysa, ona bitişik açının değeri hakkında ne söylenebilir?

7. İki doğrunun kesiştiği noktada bir dik açı varsa, diğer üç açının boyutu hakkında ne söylenebilir?

komşu açı nedir

Köşe- bu geometrik şekil(Şek. 1), bir O noktasından (köşenin tepe noktası) çıkan iki OA ve OB (köşenin kenarları) ışınlarından oluşur.

BAĞLANTILI KÖŞELER toplamı 180° olan iki açıdır. Bu açıların her biri diğerini tam bir açıyla tamamlar.

Bitişik köşeler- (Agles adjacets) ortak bir tepesi ve ortak bir tarafı olanlar. Ağırlıklı olarak, bu ad, diğer iki kenarı, içinden çizilen bir düz çizginin zıt yönlerinde bulunan bu tür açılara atıfta bulunur.

Bir kenarı ortak olan ve bu açıların diğer kenarları tamamlayıcı yarım doğrular olan iki açıya komşu denir.

pilav. 2

Şekil 2'de a1b ve a2b açıları bitişiktir. Ortak bir b kenarına sahiptirler ve a1, a2 kenarları ek yarım çizgilerdir.

pilav. 3

Şekil 3 AB doğrusunu göstermektedir, C noktası A ve B noktaları arasında yer almaktadır. D noktası AB doğrusu üzerinde olmayan bir noktadır. BCD ve ACD açılarının bitişik olduğu ortaya çıktı. Ortak bir CD kenarına sahiptirler ve CA ve CB kenarları, A, B noktaları başlangıç ​​noktası C ile ayrıldığından, AB çizgisinin ek yarım çizgileridir.

komşu açı teoremi

teorem: komşu açıların toplamı 180°

Kanıt:
A1b ve a2b açıları bitişiktir (bkz. Şekil 2) Kiriş b, düzleştirilmiş bir açının a1 ve a2 kenarları arasından geçer. Bu nedenle, a1b ve a2b açılarının toplamı doğru açıya eşittir, yani 180°. Teorem kanıtlanmıştır.

90° olan açıya dik açı denir. Bitişik açıların toplamına ilişkin teoremden, bir dik açıya bitişik açının da bir dik açı olduğu sonucu çıkar. 90°'den küçük açılara dar, 90°'den büyük açılara geniş açı denir. Bitişik açıların toplamı 180° olduğundan, dar açının bitişiğindeki açı geniş açıdır. Geniş açıya komşu olan açı dar açıdır.

Bitişik köşeler- bir kenarı ortak olan ve diğer kenarları aynı düz çizgide bulunan (çakışmayan) ortak bir köşeye sahip iki açı. Komşu açıların toplamı 180°'dir.

Tanım 1. Açı, ortak bir orijine sahip iki ışın tarafından sınırlanan bir düzlemin parçasıdır.

Tanım 1.1. Açı, bir nokta - açının tepe noktası - ve bu noktadan çıkan iki farklı yarım çizgiden - açının kenarlarından oluşan bir şekildir.
Örneğin, Şekil 1'deki BOS açısı, kesişen ilk iki çizgiyi düşünün. Çizgiler kesiştiğinde açılar oluşturur. Özel durumlar vardır:

Tanım 2. Bir açının kenarları bir doğrunun tümleyen yarım doğruları ise açıya doğru açı denir.

Tanım 3. Dik açı 90 derecelik bir açıdır.

Tanım 4. 90 dereceden küçük açılara dar açı denir.

Tanım 5. 90 dereceden büyük ve 180 dereceden küçük olan açılara geniş açı denir.
Kesişen çizgiler.

Tanım 6. Bir kenarı ortak, diğer kenarları aynı doğru üzerinde bulunan iki açıya komşu açı denir.

Tanım 7. Kenarları birbirine uzanan açılara düşey açılar denir.
Şekil 1:
bitişik: 1 ve 2; 2 ve 3; 3 ve 4; 4 ve 1
dikey: 1 ve 3; 2 ve 4
Teorem 1. Komşu açıların toplamı 180 derecedir.
Kanıt için, Şek. 4 bitişik köşe AOB ve BOS. Toplamları, geliştirilmiş AOC açısıdır. Bu nedenle, bu bitişik açıların toplamı 180 derecedir.

pilav. dört

Matematik ve müzik arasındaki ilişki

"Sanat ve bilim hakkında, karşılıklı bağlantıları ve çelişkileri hakkında düşünerek, matematik ve müziğin insan ruhunun en uç kutuplarında olduğu, bu iki antipodun bir kişinin tüm yaratıcı ruhsal etkinliğini sınırladığı ve belirlediği sonucuna vardım ve insanoğlunun bilim ve sanat alanında yarattığı her şey onların arasına yerleştirilmiştir."
G. Neuhaus
Sanatın matematikten çok soyut bir alan olduğu anlaşılıyor. Ancak, matematiğin bilimlerin en soyutu ve müziğin en soyut sanat formu olmasına rağmen, matematik ve müzik arasındaki bağlantı hem tarihsel hem de içsel olarak koşullanmıştır.
Ünsüz, kulağa hoş gelen bir telin sesini belirler.
Bu müzik sistemi, iki büyük bilim adamının adını taşıyan iki yasaya dayanıyordu - Pisagor ve Archytas. Bunlar yasalar:
1. İki sondaj dizisi, uzunlukları 10=1+2+3+4 üçgensel bir sayı oluşturan tamsayılar olarak ilişkiliyse ünsüzlüğü belirler. 1:2, 2:3, 3:4 gibi. Ayrıca, n sayısı n:(n+1) (n=1,2,3) ile ilişkili olarak ne kadar küçükse, elde edilen aralık o kadar ünsüzdür.
2. Bir sondaj dizisinin salınım frekansı w, uzunluğu l ile ters orantılıdır.
w = a:l,
a, karakterize eden bir katsayıdır fiziksel özellikler Teller.

Ayrıca dikkatinize iki matematikçi arasındaki bir anlaşmazlık hakkında komik bir parodi sunacağım =)

çevremizdeki geometri

Geometri hayatımızda önemli bir rol oynar. Etrafınıza baktığınızda çeşitli geometrik şekillerle çevrili olduğumuzu fark etmeniz zor olmayacaktır. Onlarla her yerde karşılaşıyoruz: sokakta, sınıfta, evde, parkta, spor salonunda, okul kafeteryasında, prensipte, nerede olursak olalım. Ancak bugünün dersinin konusu bitişik kömürlerdir. Öyleyse etrafa bakalım ve bu ortamda köşeleri bulmaya çalışalım. Pencereden dikkatlice bakarsanız, ağacın bazı dallarının bitişik köşeler oluşturduğunu ve kapıdaki bölmelerde birçok dikey köşe görebilirsiniz. Çevrede gördüğünüz komşu açılara örnek veriniz.

1. Egzersiz.

1. Masanın üzerinde bir kitap standında bir kitap var. Hangi açıyı oluşturur?
2. Ama öğrenci bir dizüstü bilgisayarda çalışıyor. Burada hangi açıyı görüyorsunuz?
3. Standdaki fotoğraf çerçevesinin açısı nedir?
4. Bitişik iki açının eşit olması mümkün müdür?

Görev 2.

Önünüzde geometrik bir figür var. Bu rakam nedir, adlandırın? Şimdi bu geometrik şekilde görebileceğiniz tüm bitişik açıları adlandırın.

Görev 3.

İşte bir çizim ve bir resmin görüntüsü. Onlara dikkatlice bakın ve resimde ne tür yakalamalar gördüğünüzü ve resimde hangi açıları gördüğünüzü söyleyin.

Problem çözme

1) Birbiriyle 1: 2 ve bitişik - 7: 5 olarak iki açı verilmiştir. Bu açıları bulmanız gerekiyor.
2) Bitişik açılardan birinin diğerinden 4 kat daha büyük olduğu bilinmektedir. komşu açılar nedir?
3) Birinin ikincisinden 10 derece daha büyük olması şartıyla bitişik açıları bulmak gerekir.

Daha önce öğrenilen materyalin tekrarı için matematiksel dikte

1) Bir resim çizin: a I b çizgileri A noktasında kesişir. Oluşturulan köşelerin en küçüğünü 1 sayısıyla ve kalan açıları sırasıyla 2,3,4 sayılarıyla işaretleyin; a - a1 ve a2 hattının ve b - b1 ve b2 hattının tamamlayıcı ışınları.
2) Tamamlanan çizimi kullanarak metindeki boşluklara gerekli değerleri ve açıklamaları girin:
a) açı 1 ve açı .... ilgili çünkü...
b) açı 1 ve açı .... dikey çünkü...
c) açı 1 = 60° ise, açı 2 = ..., çünkü ...
d) açı 1 = 60° ise, o zaman açı 3 = ..., çünkü ...

Sorunları çözmek:

1. 2 doğrunun kesişiminde oluşan 3 açının toplamı 100°'ye eşit olabilir mi? 370°?
2. Şekilde, tüm bitişik köşe çiftlerini bulun. Ve şimdi dikey köşeler. Bu açıları adlandırın.

3. Yanındaki açının üç katı olan bir açı bulmanız gerekiyor.
4. İki doğru birbirini kesiyor. Bu kesişim sonucunda dört köşe oluşmuştur. Aşağıdakilerin sağlanması koşuluyla, bunlardan herhangi birinin değerini belirleyin:

a) dört 84 ° 'den 2 açının toplamı;
b) 2 açısının farkı 45°;
c) bir açı ikinciden 4 kat daha azdır;
d) Bu açıların üçünün toplamı 290°'dir.

ders özeti

1. 2 doğrunun kesişiminde oluşan açıları yazınız?
2. Şekildeki tüm olası açı çiftlerini adlandırın ve türlerini belirleyin.

Ev ödevi:

1. Bitişik açılardan biri saniyeden 54 ° fazla olduğunda derece ölçülerinin oranını bulun.
2. Açılardan birinin kendisine komşu olan diğer 2 açının toplamına eşit olması şartıyla, 2 doğrunun kesiştiğinde oluşan açıları bulun.
3. Birinin açıortayı ikincinin kenarı ile ikinci açıdan 60 ° daha büyük olan bir açı oluşturduğunda bitişik açıları bulmak gerekir.
4. Komşu 2 açının farkı, bu iki açının toplamının üçte birine eşittir. 2 bitişik açının değerlerini belirleyin.
5. Komşu 2 açının farkı ve toplamı sırasıyla 1: 5 olarak ilişkilidir. Bitişik köşeleri bulun.
6. İki komşu arasındaki fark, toplamlarının %25'idir. 2 bitişik açının değerleri nasıl ilişkilidir? 2 bitişik açının değerlerini belirleyin.

Sorular:

1. açı nedir?
2. Köşe çeşitleri nelerdir?
3. Bitişik köşelerin özelliği nedir?

Konular > Matematik > Matematik 7. Sınıf