Görev 1

$\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $ ve $\left\( çizgileri arasındaki açının kosinüsünü bulun \begin(dizi )(c) (x=2\cdot t-3) \\ (y=-t+1) \\ (z=3\cdot t+5) \end(dizi)\doğru.$.

Uzayda iki satır verilsin: $\frac(x-x_(1) )(m_(1) ) =\frac(y-y_(1) )(n_(1) ) =\frac(z-z_( 1 ) )(p_(1) ) $ ve $\frac(x-x_(2) )(m_(2) ) =\frac(y-y_(2) )(n_(2) ) =\frac(z - z_(2) )(p_(2) ) $. Uzayda rastgele bir nokta seçiyoruz ve içinden verilere paralel iki yardımcı çizgi çiziyoruz. Verilen çizgiler arasındaki açı, ikisinden herhangi biridir. bitişik köşeler yardımcı hatlardan oluşur. Çizgiler arasındaki açılardan birinin kosinüsü, iyi bilinen $\cos \phi =\frac(m_(1) \cdot m_(2) +n_(1) \cdot n_(2) + formülü kullanılarak bulunabilir. p_(1) \cdot p_( 2) )(\sqrt(m_(1)^(2) +n_(1)^(2) +p_(1)^(2) ) \cdot \sqrt(m_(2) )^(2) +n_( 2)^(2) +p_(2)^(2) ) ) $. $\cos \phi >0$ değeri ise, o zaman keskin köşe$\cos \phi ise satırlar arasında

İlk satırın kanonik denklemleri: $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $.

İkinci düz çizginin kanonik denklemleri parametrik olanlardan elde edilebilir:

\ \ \

Böylece, bu satırın kurallı denklemleri şöyledir: $\frac(x+3)(2) =\frac(y-1)(-1) =\frac(z-5)(3) $.

Hesaplıyoruz:

\[\cos \phi =\frac(5\cdot 2+\sol(-3\sağ)\cdot \sol(-1\sağ)+4\cdot 3)(\sqrt(5^(2) +\ sol(-3\sağ)^(2) +4^(2) ) \cdot \sqrt(2^(2) +\left(-1\sağ)^(2) +3^(2) ) ) = \frac(25)(\sqrt(50) \cdot \sqrt(14) ) \yaklaşık 0.9449.\]

Görev 2

İlk satır verilen $A\left(2,-4,-1\right)$ ve $B\left(-3,5,6\right)$ noktalarından, ikinci satır verilen noktalardan geçer $ C\sol (1,-2,8\sağ)$ ve $D\sol(6,7,-2\sağ)$. Bu çizgiler arasındaki mesafeyi bulun.

Bir doğru $AB$ ve $CD$ doğrularına dik olsun ve bunları sırasıyla $M$ ve $N$ noktalarında kessin. Bu koşullar altında, $MN$ segmentinin uzunluğu, $AB$ ve $CD$ satırları arasındaki mesafeye eşittir.

$\overline(AB)$ vektörünü oluşturuyoruz:

\[\overline(AB)=\left(-3-2\sağ)\cdot \bar(i)+\left(5-\left(-4\sağ)\sağ)\cdot \bar(j)+ \left(6-\left(-1\sağ)\sağ)\cdot \bar(k)=-5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)+7\cdot \bar(k ).\]

Doğrular arasındaki uzaklığı temsil eden doğru parçasının $AB$ doğrusu üzerindeki $M\left(x_(M) ,y_(M) ,z_(M) \right)$ noktasından geçmesine izin verin.

$\overline(AM)$ vektörünü oluşturuyoruz:

\[\overline(AM)=\left(x_(M) -2\sağ)\cdot \bar(i)+\left(y_(M) -\sol(-4\sağ)\sağ)\cdot \ bar(j)+\sol(z_(M) -\sol(-1\sağ)\sağ)\cdot \bar(k)=\] \[=\sol(x_(M) -2\sağ)\ cdot \bar(i)+\left(y_(M) +4\sağ)\cdot \bar(j)+\left(z_(M) +1\sağ)\cdot \bar(k).\]

$\overline(AB)$ ve $\overline(AM)$ vektörleri aynıdır, dolayısıyla eşdoğrusaldırlar.

$\overline(a)=x_(1) \cdot \overline(i)+y_(1) \cdot \overline(j)+z_(1) \cdot \overline(k)$ vektörlerinin ve $ \overline(b)=x_(2) \cdot \overline(i)+y_(2) \cdot \overline(j)+z_(2) \cdot \overline(k)$ doğrusaldır, sonra koordinatları orantılıdır, o zaman $\frac(x_((\it 2)) )((\it x)_((\it 1)) ) =\frac(y_((\it 2)) )((\it) y)_( (\it 1)) ) =\frac(z_((\it 2)) )((\it z)_((\it 1))) ) $.

$\frac(x_(M) -2)(-5) =\frac(y_(M) +4)(9) =\frac(z_(M) +1)(7) =m$, burada $m $ bölümün sonucudur.

Buradan şunu elde ederiz: $x_(M) -2=-5\cdot m$; $y_(M) +4=9\cdot m$; $z_(M) +1=7\cdot m$.

Son olarak, $M$ noktasının koordinatları için ifadeler elde ederiz:

$\overline(CD)$ vektörünü oluşturuyoruz:

\[\overline(CD)=\sol(6-1\sağ)\cdot \bar(i)+\sol(7-\sol(-2\sağ)\sağ)\cdot \bar(j)+\ sol(-2-8\sağ)\cdot \bar(k)=5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)-10\cdot \bar(k).\]

Satırlar arasındaki uzaklığı temsil eden doğru parçası $CD$ doğrusu üzerindeki $N\left(x_(N) ,y_(N) ,z_(N) \right)$ noktasından geçsin.

$\overline(CN)$ vektörünü oluşturuyoruz:

\[\overline(CN)=\left(x_(N) -1\sağ)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -\sol(-2\sağ)\sağ)\cdot \ bar(j)+\left(z_(N) -8\sağ)\cdot \bar(k)=\] \[=\left(x_(N) -1\sağ)\cdot \bar(i)+ \left(y_(N) +2\sağ)\cdot \bar(j)+\left(z_(N) -8\sağ)\cdot \bar(k).\]

$\overline(CD)$ ve $\overline(CN)$ vektörleri aynıdır, dolayısıyla eşdoğrusaldırlar. Doğrusal vektörlerin durumunu uygularız:

$\frac(x_(N) -1)(5) =\frac(y_(N) +2)(9) =\frac(z_(N) -8)(-10) =n$ burada $n $ bölünmesinin sonucudur.

Buradan şunu elde ederiz: $x_(N) -1=5\cdot n$; $y_(N) +2=9\cdot n$; $z_(N) -8=-10\cdot n$.

Son olarak, $N$ noktasının koordinatları için ifadeler elde ederiz:

$\overline(MN)$ vektörünü oluşturuyoruz:

\[\overline(MN)=\left(x_(N) -x_(M) \sağ)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -y_(M) \sağ)\cdot \bar (j)+\sol(z_(N) -z_(M) \sağ)\cdot \bar(k).\]

$M$ ve $N$ noktalarının koordinatları için ifadeleri değiştiriyoruz:

\[\overline(MN)=\left(1+5\cdot n-\left(2-5\cdot m\sağ)\sağ)\cdot \bar(i)+\] \[+\left(- 2+9\cdot n-\sol(-4+9\cdot m\sağ)\sağ)\cdot \bar(j)+\sol(8-10\cdot n-\sol(-1+7\cdot) m\sağ)\sağ)\cdot \bar(k).\]

Adımları tamamladıktan sonra şunları elde ederiz:

\[\overline(MN)=\left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)\cdot \bar(i)+\left(2+9\cdot n-9\cdot m\right )\cdot \bar(j)+\sol(9-10\cdot n-7\cdot m\sağ)\cdot \bar(k).\]

$AB$ ve $MN$ çizgileri dik olduğundan, karşılık gelen vektörlerin skaler çarpımı sıfıra eşittir, yani $\overline(AB)\cdot \overline(MN)=0$:

\[-5\cdot \left(-1+5\cdot n+5\cdot m\sağ)+9\cdot \left(2+9\cdot n-9\cdot m\sağ)+7\cdot \ sol(9-10\cdot n-7\cdot m\sağ)=0;\] \

Adımları tamamladıktan sonra, $m$ ve $n$'ı belirlemek için ilk denklemi elde ederiz: 155$\cdot m+14\cdot n=86$.

$CD$ ve $MN$ çizgileri dik olduğundan, karşılık gelen vektörlerin skaler çarpımı sıfıra eşittir, yani $\overline(CD)\cdot \overline(MN)=0$:

\ \[-5+25\cdot n+25\cdot m+18+81\cdot n-81\cdot m-90+100\cdot n+70\cdot m=0.\]

Adımları tamamladıktan sonra, $m$ ve $n$'ı belirlemek için ikinci denklemi elde ederiz: $14\cdot m+206\cdot n=77$.

$\left\(\begin(array)(c) (155\cdot m+14\cdot n=86) \\ (14\cdot m+206\ denklem sistemini çözerek $m$ ve $n$'ı bulun cdot n =77) \end(dizi)\sağ.$.

Cramer yöntemini uyguluyoruz:

\[\Delta =\left|\begin(dizi)(cc) (155) & (14) \\ (14) & (206) \end(dizi)\right|=31734; \] \[\Delta _(m) =\left|\begin(dizi)(cc) (86) & (14) \\ (77) & (206) \end(dizi)\sağ|=16638; \] \[\Delta _(n) =\left|\begin(dizi)(cc) (155) & (86) \\ (14) & (77) \end(dizi)\sağ|=10731;\ ]\

$M$ ve $N$ noktalarının koordinatlarını bulun:

\ \

Nihayet:

Son olarak, $\overline(MN)$ vektörünü yazıyoruz:

$\overline(MN)=\left(2.691-\left(-0.6215\right)\right)\cdot \bar(i)+\left(1.0438-0.7187\right)\cdot \bar (j)+\left (4,618-2,6701\sağ)\cdot \bar(k)$ veya $\overline(MN)=3,3125\cdot \bar(i)+0,3251\cdot \bar( j)+1.9479\cdot \bar(k)$.

$AB$ ve $CD$ satırları arasındaki mesafe, $\overline(MN)$:$d=\sqrt(3.3125^(2) +0.3251^(2) +1.9479^( 2) ) \ vektörünün uzunluğudur yaklaşık 3.8565$ lin. birimler

a. İki satır verilsin.Bu satırlar, Bölüm 1'de belirtildiği gibi, çeşitli pozitif ve negatif açılar keskin veya künt olabilir. Bu açılardan birini bilerek, diğerlerini kolayca bulabiliriz.

Bu arada, tüm bu açılar için tanjantın sayısal değeri aynıdır, fark sadece işarette olabilir.

Çizgilerin denklemleri. Sayılar, birinci ve ikinci çizgilerin yönlendirici vektörlerinin izdüşümleridir.Bu vektörler arasındaki açı, düz çizgilerin oluşturduğu açılardan birine eşittir. Bu nedenle, problem vektörler arasındaki açıyı belirlemeye indirgenir,

Basit olması açısından, bir dar pozitif açıyı anlamak için iki düz çizgi arasındaki bir açı üzerinde anlaşabiliriz (örneğin, Şekil 53'teki gibi).

O zaman bu açının tanjantı her zaman pozitif olacaktır. Bu nedenle, formül (1)'in sağ tarafında bir eksi işareti elde edilirse, onu atmalıyız, yani yalnızca mutlak değeri tutmalıyız.

Örnek. Çizgiler arasındaki açıyı belirleyin

Formül (1) ile elimizde

İle birlikte. Açının kenarlarından hangisinin başlangıcı ve hangisinin sonu olduğu belirtilirse, açının yönünü her zaman saat yönünün tersine sayarak, formül (1)'den daha fazlasını çıkarabiliriz. Şekilden kolayca görülebileceği gibi. 53 formülün (1) sağ tarafında elde edilen işaret, hangi açının - dar veya geniş - birinci ile ikinci çizgiyi oluşturduğunu gösterecektir.

(Gerçekten, Şekil 53'ten, birinci ve ikinci yön vektörleri arasındaki açının, çizgiler arasındaki istenen açıya eşit olduğunu veya ondan ±180° farklı olduğunu görüyoruz.)

d. Doğrular paralelse, yön vektörleri de paraleldir.İki vektörün paralellik koşulunu uygularsak, şunu elde ederiz!

Bu, iki doğrunun paralel olması için gerekli ve yeterli bir koşuldur.

Örnek. doğrudan

paralel çünkü

e. Doğrular dik ise, yön vektörleri de diktir. İki vektörün diklik koşulunu uygulayarak, iki çizginin diklik koşulunu elde ederiz, yani

Örnek. doğrudan

dik çünkü

Paralellik ve diklik koşullarıyla bağlantılı olarak aşağıdaki iki problemi çözeceğiz.

f. Bir noktadan geçen bir doğruya paralel bir doğru çizin

Karar böyle verilir. İstenen çizgi verilene paralel olduğundan, yönlendirici vektörü için verilen çizgininkiyle aynı olanı, yani A ve B projeksiyonlu bir vektörü alabiliriz. Ve sonra istenen çizginin denklemi yazılacaktır. şeklinde (§ 1)

Örnek. Bir doğruya paralel bir noktadan (1; 3) geçen bir doğrunun denklemi

sonraki olacak!

g. Verilen doğruya dik bir noktadan geçen bir doğru çizin

Burada, A projeksiyonlu bir vektörü yönlendirici vektör olarak almak artık uygun değildir, ancak ona dik bir vektör kazanmak gereklidir. Bu vektörün izdüşümleri, bu nedenle, her iki vektörün de dik olması koşuluna göre, yani koşula göre seçilmelidir.

Bu koşul sonsuz sayıda yerine getirilebilir, çünkü burada iki bilinmeyenli bir denklem var ama en kolay yol onu almaktır.O zaman istenen satırın denklemi formda yazılacaktır.

Örnek. Dik bir doğrudaki bir noktadan (-7; 2) geçen bir doğrunun denklemi

aşağıdaki olacak (ikinci formüle göre)!

h. Çizgilerin formun denklemleriyle verilmesi durumunda

bu denklemleri farklı şekilde yeniden yazarsak,

Köşe φ genel denklemler A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ve A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, aşağıdaki formülle hesaplanır:

Köşe φ iki düz çizgi arasında kanonik denklemler(x-x 1) / m 1 \u003d (y-y 1) / n 1 ve (x-x 2) / m 2 \u003d (y-y 2) / n 2, aşağıdaki formülle hesaplanır:

Noktadan çizgiye uzaklık

Uzaydaki her düzlem şu şekilde temsil edilebilir: Doğrusal Denklem aranan genel denklem uçak

Özel durumlar.

o Denklem (8)'de ise, düzlem orijinden geçer.

o (,) ile düzlem sırasıyla eksene(eksen, eksen) paraleldir.

o Düzlem (,) düzleme paralel olduğunda(düzlem, düzlem).

Çözüm: (7) kullanın

Cevap: düzlemin genel denklemi.

Örnek.

Oxyz dikdörtgen koordinat sistemindeki düzlem, düzlemin genel denklemi ile verilir. . Bu düzlemdeki tüm normal vektörlerin koordinatlarını yazın.

Düzlemin genel denklemindeki x, y ve z değişkenlerinin katsayılarının, o düzlemin normal vektörünün karşılık gelen koordinatları olduğunu biliyoruz. Bu nedenle, verilen düzlemin normal vektörü koordinatları vardır. Tüm normal vektörlerin kümesi olarak verilebilir.

Oxyz dikdörtgen koordinat sisteminde uzayda bir noktadan geçiyorsa bir düzlemin denklemini yazın , a bu düzlemin normal vektörüdür.

Bu soruna iki çözüm sunuyoruz.

Sahip olduğumuz durumdan. Bu verileri, noktadan geçen düzlemin genel denklemine yerleştiririz:

Oyz koordinat düzlemine paralel ve noktasından geçen bir düzlemin genel denklemini yazınız. .

Oyz koordinat düzlemine paralel olan bir düzlem, düzlemin genel bir eksik denklemi ile verilebilir. noktadan beri duruma göre düzleme aitse, bu noktanın koordinatları düzlemin denklemini sağlamalıdır, yani eşitlik doğru olmalıdır. Buradan buluyoruz. Böylece istenilen denklem formuna sahip olur.

Çözüm. Vektör ürünü, tanımı gereği 10.26, p ve q vektörlerine diktir. Bu nedenle istenilen düzleme diktir ve vektör normal vektörü olarak alınabilir. n vektörünün koordinatlarını bulun:

yani . (11.1) formülünü kullanarak, şunu elde ederiz:

Bu denklemdeki parantezleri açarak nihai cevaba ulaşıyoruz.

Cevap: .

Normal vektörü formda yeniden yazalım ve uzunluğunu bulalım:

Yukarıdakilere göre:

Cevap:

Paralel düzlemler aynı normal vektöre sahiptir. 1) Denklemden düzlemin normal vektörünü buluyoruz:.

2) Düzlemin denklemini noktaya ve normal vektöre göre oluştururuz:

Cevap:

Uzayda bir uçağın vektör denklemi

Uzayda bir düzlemin parametrik denklemi

Verilen bir vektöre dik olarak verilen bir noktadan geçen bir düzlemin denklemi

Üç boyutlu uzayda dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemi verilsin. Aşağıdaki problemi formüle edelim:

İçinden geçen bir düzlem için bir denklem yazın verilen nokta M(x 0, y 0, z 0) verilen vektöre dik n = ( A, B, C} .

Çözüm. İzin vermek P(x, y, z) uzayda keyfi bir noktadır. Nokta P uçağa aittir ancak ve ancak vektör milletvekili = {x − x 0, y − y 0, z − z 0) vektöre dik n = {A, B, C) (Şek. 1).

Bu vektörler için (n, milletvekili) = 0 koordinat biçiminde, şunu elde ederiz:

Bir düzlemin üç nokta ile denklemi

vektör biçiminde

koordinatlarda

Uzayda uçakların karşılıklı düzenlenmesi

– genel denklemler iki uçak. O zamanlar:

1) eğer , o zaman uçaklar çakışır;

2) eğer , o zaman düzlemler paraleldir;

3) ise veya , o zaman düzlemler kesişir ve denklem sistemi

(6)

verilen düzlemlerin kesişim doğrusunun denklemleridir.

Aşağıdaki satırlar için parametrik denklemler yazın:

Çözüm: Doğrular kanonik denklemlerle verilmiştir ve ilk aşamada doğruya ve yön vektörüne ait bir nokta bulunmalıdır.

a) Denklemlerden noktayı ve yön vektörünü kaldırın: . Başka bir nokta seçebilirsiniz (bunun nasıl yapılacağı yukarıda açıklanmıştır), ancak en belirgin olanı almak daha iyidir. Bu arada, hatalardan kaçınmak için her zaman koordinatlarını denklemlerde değiştirin.

Bu düz çizginin parametrik denklemlerini oluşturalım:

Parametrik denklemlerin rahatlığı, onların yardımıyla çizginin diğer noktalarını bulmanın çok kolay olmasıdır. Örneğin, koordinatları parametrenin değerine karşılık gelen bir nokta bulalım:

Böylece: b) Kanonik denklemleri göz önünde bulundurun . Burada nokta seçimi basit ama sinsidir: (koordinatları karıştırmamaya dikkat edin!!!). Kılavuz vektör nasıl çıkarılır? Bu düz çizginin neye paralel olduğunu tartışabilir veya basit bir biçimsel numara kullanabilirsiniz: orantı “y” ve “z” dir, bu yüzden yön vektörünü yazarız ve kalan boşluğa sıfır koyarız: .

Düz çizginin parametrik denklemlerini oluşturuyoruz:

c) Denklemleri formda yeniden yazalım, yani "Z" herhangi bir şey olabilir. Ve varsa, örneğin, izin verin. Dolayısıyla nokta bu doğruya aittir. Yön vektörünü bulmak için aşağıdaki biçimsel tekniği kullanırız: ilk denklemlerde "x" ve "y" vardır ve yön vektöründe bu yerlere yazarız sıfırlar: . Kalan yere koyduğumuz birim: . Bir yerine, sıfır dışında herhangi bir sayı yapacaktır.

Düz çizginin parametrik denklemlerini yazıyoruz:

Tanım.İki doğru y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 olarak verilirse, bu çizgiler arasındaki dar açı şu şekilde tanımlanacaktır.

k 1 = k 2 ise iki doğru paraleldir. k 1 = -1/ k 2 ise iki doğru diktir.

Teorem. Ax + Vy + C \u003d 0 ve A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 düz çizgileri, A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB katsayıları orantılı olduğunda paraleldir. Ayrıca С 1 = λС ise, çizgiler çakışır. İki doğrunun kesişme noktasının koordinatları, bu doğruların denklem sistemine bir çözüm olarak bulunur.

Belirli bir noktadan geçen bir doğrunun denklemi

Bu çizgiye dik

Tanım. M 1 (x 1, y 1) noktasından geçen ve y \u003d kx + b çizgisine dik olan çizgi, denklemle temsil edilir:

Noktadan çizgiye uzaklık

Teorem. Bir M(x 0, y 0) noktası verilirse, Ax + Vy + C \u003d 0 çizgisine olan mesafe şu şekilde tanımlanır:

.

Kanıt. M noktasından verilen doğruya bırakılan dikmenin tabanı M 1 (x 1, y 1) olsun. Sonra M ve M 1 noktaları arasındaki mesafe:

(1)

x 1 ve y 1 koordinatları denklem sistemine bir çözüm olarak bulunabilir:

Sistemin ikinci denklemi, içinden geçen düz bir çizginin denklemidir. verilen nokta M 0 verilen bir doğruya diktir. Sistemin ilk denklemini forma dönüştürürsek:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 ile + C = 0,

sonra çözerek şunları elde ederiz:

Bu ifadeleri denklem (1) ile değiştirerek şunu buluruz:

Teorem kanıtlanmıştır.

Örnek. Çizgiler arasındaki açıyı belirleyin: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p/4.

Örnek. 3x - 5y + 7 = 0 ve 10x + 6y - 3 = 0 doğrularının dik olduğunu gösterin.

Çözüm. Bulduğumuz: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, bu nedenle çizgiler diktir.

Örnek. A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) üçgeninin köşeleri verilmiştir. C noktasından çizilen yükseklik için denklemi bulun.

Çözüm. AB tarafının denklemini buluyoruz: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

İstenen yükseklik denklemi: Ax + By + C = 0 veya y = kx + b. k = . O zaman y = . Çünkü yükseklik C noktasından geçer, sonra koordinatları şu denklemi sağlar: nereden b = 17. Toplam: .

Cevap: 3x + 2y - 34 = 0.

Belirli bir noktadan belirli bir yönde geçen bir doğrunun denklemi. Verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemi. İki çizgi arasındaki açı. İki doğrunun paralellik ve diklik durumu. İki doğrunun kesişme noktasının belirlenmesi

1. Belirli bir noktadan geçen bir doğrunun denklemi A(x 1 , y 1) eğim tarafından belirlenen belirli bir yönde k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Bu denklem, bir noktadan geçen bir kalem çizgiyi tanımlar. A(x 1 , y 1), kirişin merkezi olarak adlandırılır.

2. İki noktadan geçen bir doğrunun denklemi: A(x 1 , y 1) ve B(x 2 , y 2) şöyle yazılır:

Verilen iki noktadan geçen bir doğrunun eğimi formülle belirlenir.

3. Düz çizgiler arasındaki açı A ve B ilk düz çizginin döndürülmesi gereken açıdır A bu çizgilerin kesişme noktası etrafında, ikinci çizgi ile çakışana kadar saat yönünün tersine B. Eğim denklemleri ile iki doğru verilirse

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

daha sonra aralarındaki açı formül tarafından belirlenir

Unutulmamalıdır ki, kesrin payında, birinci doğrunun eğimi, ikinci doğrunun eğiminden çıkarılır.

Düz bir çizginin denklemleri verilirse Genel görünüm

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

aralarındaki açı formül tarafından belirlenir

4. İki çizginin paralelliği için koşullar:

a) Doğrular denklem (4) ile eğimli olarak verilmişse, paralellikleri için gerekli ve yeterli koşul, eğimlerinin eşitliğidir:

k 1 = k 2 . (8)

b) Doğruların genel (6) biçimindeki denklemlerle verilmesi durumunda, paralellikleri için gerekli ve yeterli koşul, denklemlerinde karşılık gelen akım koordinatlarındaki katsayıların orantılı olmasıdır, yani.

5. İki çizginin dikliği için koşullar:

a) Doğruların denklem (4) ile eğimli olarak verilmesi durumunda, dik olmaları için gerekli ve yeterli koşul, eğim faktörleri büyüklük olarak karşılıklı ve işarette zıttır, yani.

Bu koşul formda da yazılabilir.

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Doğruların denklemleri genel (6) şeklinde verilmişse, dikliklerinin (gerekli ve yeterli) şartı eşitliği sağlamaktır.

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. İki doğrunun kesişme noktasının koordinatları, denklem sistemi (6) çözülerek bulunur. Doğrular (6) ancak ve ancak şu durumlarda kesişir:

1. Verilen l doğrusuna biri paralel diğeri dik olan M noktasından geçen doğruların denklemlerini yazınız.

UÇAKLAR ARASI AÇI

Sırasıyla denklemlerle verilen iki α 1 ve α 2 düzlemini ele alalım:

Altında açı iki düzlem arasında, bu düzlemlerin oluşturduğu dihedral açılardan birini kastediyoruz. Normal vektörler ile a1 ve a2 düzlemleri arasındaki açının, belirtilen bitişik dihedral açılardan birine eşit olduğu veya . Bu yüzden . Çünkü ve , sonra

.

Örnek. Uçaklar arasındaki açıyı belirleyin x+2y-3z+4=0 ve 2 x+3y+z+8=0.

İki düzlemin paralellik durumu.

İki düzlem α 1 ve α 2, ancak ve ancak normal vektörleri paralelse ve paralelse paraleldir ve dolayısıyla .

Dolayısıyla, iki düzlem birbirine paraleldir, ancak ve ancak karşılık gelen koordinatlardaki katsayılar orantılıysa:

veya

Düzlemlerin diklik durumu.

İki düzlemin dik olduğu, ancak ve ancak normal vektörleri dik ise ve dolayısıyla veya .

Böylece, .

Örnekler.

DOĞRUDAN UZAYDA.

VEKTÖR DENKLEM DOĞRUDAN.

PARAMETRİK DENKLEMLER DOĞRUDAN

Düz bir çizginin uzaydaki konumu, sabit noktalarından herhangi biri belirlenerek tamamen belirlenir. M 1 ve bu doğruya paralel bir vektör.

Bir doğruya paralel olan vektöre denir. yol gösterici bu çizginin vektörü.

Öyleyse düz olsun ben bir noktadan geçer M 1 (x 1 , y 1 , z 1) vektöre paralel düz bir çizgi üzerinde uzanmak .

Keyfi bir nokta düşünün M(x,y,z) düz bir çizgide. Şekilden de anlaşılacağı .

Vektörler ve eşdoğrusaldır, yani böyle bir sayı vardır. t, ne , çarpan nerede t noktanın konumuna bağlı olarak herhangi bir sayısal değer alabilir M düz bir çizgide. faktör t parametre denir. Noktaların yarıçap vektörlerini belirtmek M 1 ve M sırasıyla ve aracılığıyla, elde ederiz. Bu denklem denir vektör düz çizgi denklemi. Her parametre değerinin t bir noktanın yarıçap vektörüne karşılık gelir M düz bir çizgide yatmak.

Bu denklemi koordinat formunda yazıyoruz. Dikkat edin, ve buradan

Ortaya çıkan denklemler denir parametrik düz çizgi denklemleri.

Parametreyi değiştirirken t koordinatlar değişir x, y ve z ve nokta M düz bir çizgide hareket eder.

KANONİK DENKLEMLER DOĞRUDAN

İzin vermek M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - düz bir çizgi üzerinde uzanan bir nokta ben, ve yön vektörüdür. Yine, düz bir çizgi üzerinde keyfi bir nokta alın M(x,y,z) ve vektörü düşünün.

Vektörlerin ve eşdoğrusal oldukları açıktır, bu nedenle ilgili koordinatları orantılı olmalıdır, dolayısıyla

– kanonik düz çizgi denklemleri.

Açıklama 1. Doğrunun kanonik denklemlerinin, parametreyi ortadan kaldırarak parametrik denklemlerden elde edilebileceğini unutmayın. t. Gerçekten de, elde ettiğimiz parametrik denklemlerden veya .

Örnek. Düz bir çizginin denklemini yazın parametrik bir şekilde.

belirtmek , buradan x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Açıklama 2.Çizginin koordinat eksenlerinden birine, örneğin eksene dik olmasına izin verin. Öküz. O zaman çizginin yön vektörü diktir Öküz, Sonuç olarak, m=0. Sonuç olarak, düz çizginin parametrik denklemleri şu şekli alır:

Parametrenin denklemlerden çıkarılması t, şeklinde düz çizginin denklemlerini elde ederiz.

Ancak, bu durumda da, düz çizginin kanonik denklemlerini formda resmi olarak yazmayı kabul ediyoruz. . Bu nedenle, kesirlerden birinin paydası sıfır ise, bu, doğrunun ilgili koordinat eksenine dik olduğu anlamına gelir.

Benzer şekilde, kanonik denklemler eksenlere dik düz bir çizgiye karşılık gelir Öküz ve Oy veya paralel eksen Öz.

Örnekler.

GENEL DENKLEMLER İKİ UÇAĞIN KESİNTİSİ DOĞRUSU OLARAK DOĞRUDAN BİR DOĞRU

Uzaydaki her düz çizgiden sonsuz sayıda düzlem geçer. Herhangi ikisi, kesişen, onu uzayda tanımlar. Bu nedenle, birlikte düşünülen bu tür iki düzlemin denklemleri bu doğrunun denklemleridir.

Genel olarak, genel denklemler tarafından verilen herhangi iki paralel olmayan düzlem

kesişim çizgilerini belirleyin. Bu denklemler denir genel denklemler dümdüz.

Örnekler.

Denklemlerle verilen düz bir çizgi oluşturun

Bir doğru oluşturmak için herhangi iki noktasından birini bulmak yeterlidir. En kolay yol, doğrunun koordinat düzlemleriyle kesişme noktalarını seçmektir. Örneğin, düzlemle kesişme noktası xOy varsayarak, düz bir çizginin denklemlerinden elde ederiz z= 0:

Bu sistemi çözerek, noktayı buluyoruz M 1 (1;2;0).

Benzer şekilde, varsayarsak y= 0, doğrunun düzlemle kesişme noktasını elde ederiz. xOz:

Düz bir çizginin genel denklemlerinden, kanonik veya parametrik denklemlerine geçilebilir. Bunu yapmak için bir nokta bulmalısın M 1 çizgi üzerinde ve çizginin yön vektörü.

nokta koordinatları M 1 koordinatlardan birine keyfi bir değer vererek bu denklem sisteminden elde ederiz. Yön vektörünü bulmak için, bu vektörün her iki normal vektöre de dik olması gerektiğine dikkat edin. ve . Bu nedenle, doğrunun yön vektörü için ben alabilirsin vektör ürün normal vektörler:

.

Örnek. Doğrunun genel denklemlerini verin kanonik forma dönüştürülür.

Düz bir çizgi üzerinde bir nokta bulun. Bunu yapmak için, keyfi olarak koordinatlardan birini seçiyoruz, örneğin, y= 0 ve denklem sistemini çözün:

Çizgiyi tanımlayan düzlemlerin normal vektörlerinin koordinatları vardır. Bu nedenle, yön vektörü düz olacaktır.

. Sonuç olarak, ben: .

HAKLAR ARASINDAKİ AÇI

köşe uzaydaki düz çizgiler arasında, verilere paralel rastgele bir noktadan çizilen iki düz çizginin oluşturduğu bitişik açılardan herhangi birini arayacağız.

Uzayda iki doğru verilsin:

Açıkçası, çizgiler arasındaki φ açısı, yön vektörleri ile arasındaki açı olarak alınabilir. O zamandan beri, vektörler arasındaki açının kosinüs formülüne göre elde ederiz.