Bir teğetin karakteristik özelliği. Bir daireye teğet olan segmentlerde. Tanjant ve sekant teoremi

Kesitler, teğetler - tüm bunlar geometri derslerinde yüzlerce kez duyulabilirdi. Ancak okuldan mezuniyet biter, yıllar geçer ve tüm bu bilgiler unutulur. Ne hatırlanmalıdır?

Öz

"Bir daireye teğet" terimi muhtemelen herkese tanıdık geliyor. Ancak herkesin tanımını hızlı bir şekilde formüle etmesi pek olası değildir. Bu arada, bir teğet, onu yalnızca bir noktada kesen bir daire ile aynı düzlemde uzanan düz bir çizgidir. Bunların çok çeşitli olabilir, ancak hepsi aşağıda tartışılacak olan aynı özelliklere sahiptir. Tahmin edebileceğiniz gibi, temas noktası daire ve çizginin kesiştiği yerdir. Her durumda, birdir, ancak daha fazlası varsa, o zaman bir sekant olacaktır.

Keşif ve çalışma tarihi

Teğet kavramı antik çağda ortaya çıktı. Bu düz çizgilerin, önce bir daireye, daha sonra bir cetvel ve bir pergel yardımıyla elips, parabol ve hiperbollere yapımı, geometrinin gelişiminin ilk aşamalarında bile gerçekleştirildi. Tabii ki, tarih keşfedenin adını korumadı, ancak o zaman bile insanların bir daireye teğetin özelliklerinin oldukça farkında olduğu açıktır.

Modern zamanlarda, bu fenomene olan ilgi yeniden alevlendi - yeni eğrilerin keşfi ile birlikte bu kavramın yeni bir inceleme turu başladı. Böylece Galileo bir sikloid kavramını tanıttı ve Fermat ve Descartes ona bir teğet oluşturdu. Çemberlere gelince, bu alanda eskiler için hiçbir sır kalmamış gibi görünüyor.

Özellikleri

Kesişme noktasına çizilen yarıçap,

ana, ancak bir daireye teğetin sahip olduğu tek özellik değil. Bir diğer önemli özellik ise halihazırda iki düz çizgi içeriyor. Böylece, çemberin dışında kalan bir noktadan iki teğet çizilebilir ve bölümleri eşit olacaktır. Bu konuyla ilgili başka bir teorem daha vardır, ancak nadiren standart çerçevesinde geçilir. okul kursu, bazı sorunları çözmek için son derece uygun olmasına rağmen. Kulağa böyle geliyor. Çemberin dışında bulunan bir noktadan, ona bir teğet ve bir sekant çizilir. AB, AC ve AD segmentleri oluşturulur. A, çizgilerin kesişimi, B temas noktası, C ve D kesişme noktalarıdır. Bu durumda, aşağıdaki eşitlik geçerli olacaktır: Çembere teğetin uzunluğu, karesi, AC ve AD doğru parçalarının çarpımına eşit olacaktır.

Yukarıdakilerin önemli bir sonucu vardır. Çemberin her noktası için bir teğet oluşturabilirsiniz, ancak yalnızca bir tane. Bunun kanıtı oldukça basittir: Teorik olarak yarıçaptan onun üzerine bir dik açı bırakarak, oluşan üçgenin var olamayacağını öğreniriz. Bu da teğetin benzersiz olduğu anlamına gelir.

Bina

Geometrideki diğer görevler arasında, kural olarak değil, özel bir kategori vardır.

öğrenciler ve öğrenciler tarafından tercih edilmektedir. Bu kategorideki görevleri çözmek için sadece bir pusulaya ve bir cetvele ihtiyacınız var. Bunlar inşaat işleridir. Bir teğet oluşturmak için de yöntemler vardır.

Böylece, bir daire ve sınırlarının dışında kalan bir nokta verildi. Ve içlerinden bir teğet çizmek gerekiyor. Nasıl yapılır? Her şeyden önce, O çemberinin merkezi ile O çemberi arasına bir doğru parçası çizmeniz gerekir. verilen nokta. Ardından, bir pusula kullanarak ikiye bölün. Bunu yapmak için, yarıçapı ayarlamanız gerekir - orijinal dairenin merkezi ile verilen nokta arasındaki mesafenin yarısından biraz fazla. Bundan sonra, kesişen iki yay oluşturmanız gerekir. Ayrıca, pusulanın yarıçapının değiştirilmesine gerek yoktur ve dairenin her bir parçasının merkezi sırasıyla başlangıç noktası ve O olacaktır. Yayların kesişme noktaları, segmenti ikiye bölecek şekilde bağlanmalıdır. Pusulada bu mesafeye eşit bir yarıçap ayarlayın. Ardından, merkez kesişme noktasında olacak şekilde başka bir daire çizin. Hem başlangıç noktası hem de O üzerinde duracaktır.Bu durumda problemde verilen daire ile iki kesişme daha olacaktır. Bunlar, başlangıçta verilen nokta için temas noktaları olacaktır.

Doğuma yol açan daireye teğetlerin inşasıydı.

diferansiyel hesap. Bu konudaki ilk çalışma ünlü Alman matematikçi Leibniz tarafından yayınlandı. Kesirli ve irrasyonel değerlerden bağımsız olarak maksimum, minimum ve teğet bulma imkanı sağladı. Eh, şimdi diğer birçok hesaplama için de kullanılıyor.

Ayrıca çemberin tanjantı da geometrik anlamda teğet. Adı da buradan geliyor. Latince'den tercüme edilen tangens, "tanjant" anlamına gelir. Böylece, bu kavram sadece geometri ve diferansiyel hesap ile değil, aynı zamanda trigonometri ile de bağlantılıdır.

iki daire

Bir teğet her zaman sadece bir rakamı etkilemez. Bir daireye çok sayıda düz çizgi çizilebiliyorsa, neden tam tersi olmasın? Olabilmek. Ancak bu durumda görev ciddi şekilde karmaşıktır, çünkü iki dairenin teğeti herhangi bir noktadan geçmeyebilir ve tüm bu şekillerin göreli konumu çok farklı olabilir.

farklı.

Çeşitleri ve çeşitleri

Ne zaman Konuşuyoruz yaklaşık iki daire ve bir veya daha fazla düz çizgi, o zaman bunların teğet olduğu bilinse bile, tüm bu şekillerin birbirine göre nasıl yerleştirildiği hemen netleşmez. Buna dayanarak, birkaç çeşit var. Yani çemberlerin bir veya iki ortak noktası olabilir veya hiç olmayabilir. İlk durumda kesişecekler ve ikincisinde dokunacaklar. Ve burada iki çeşit var. Bir daire olduğu gibi ikinciye gömülüyse, dokunmaya dahili, değilse harici denir. Şekillerin göreceli konumlarını sadece çizime göre değil, aynı zamanda yarıçaplarının toplamı ve merkezleri arasındaki mesafe hakkında da bilgi sahibi olarak anlayabilirsiniz. Bu iki miktar eşitse, daireler birbirine dokunur. Birincisi daha büyükse kesişirler ve daha azsa ortak noktaları yoktur.

Düz çizgilerle aynı. Ortak noktaları olmayan herhangi iki çember için,

dört teğet oluşturun. İkisi rakamlar arasında kesişecek, bunlara iç denir. Birkaç kişi daha harici.

Bir ortak noktası olan dairelerden bahsediyorsak, görev büyük ölçüde basitleştirilmiştir. Gerçek şu ki, bu durumda herhangi bir karşılıklı düzenleme için yalnızca bir teğete sahip olacaklardır. Ve onların kesiştiği noktadan geçecek. Bu yüzden inşaat zorluğuna neden olmaz.

Şekillerin iki kesişme noktası varsa, onlar için hem bir hem de ikinci daireye teğet, ancak yalnızca dış olan düz bir çizgi oluşturulabilir. Bu sorunun çözümü, aşağıda tartışılacak olana benzer.

Problem çözme

Bu problem çözülebilse de, iki daireye hem iç hem de dış teğetlerin yapımı o kadar basit değildir. Gerçek şu ki, bunun için yardımcı bir figür kullanılıyor, bu yüzden bu yöntemi kendiniz düşünün.

oldukça sorunlu. Böylece, O1 ve O2 merkezleri ve yarıçapları farklı olan iki daire verilmiştir. Onlar için iki çift teğet oluşturmanız gerekir.

Her şeyden önce, daha büyük dairenin merkezine yakın bir yerde yardımcı bir tane oluşturmanız gerekir. Bu durumda, ilk iki rakamın yarıçapları arasındaki fark pusula üzerinde belirlenmelidir. Yardımcı daireye teğetler, daha küçük dairenin merkezinden oluşturulur. Bundan sonra, O1 ve O2'den, orijinal şekillerle kesişene kadar bu doğrulara dikler çizilir. Teğetin ana özelliğinden aşağıdaki gibi, her iki çember üzerinde de istenilen noktalar bulunur. Sorun çözüldü, en azından ilk kısmı.

İç teğetleri oluşturmak için pratik olarak çözmek gerekir.

benzer bir görev. Yine yardımcı bir şekle ihtiyacınız olacak, ancak bu sefer yarıçapı toplamına eşittir ilk. Teğetler, verilen çevrelerden birinin merkezinden ona inşa edilir. Çözümün daha sonraki seyri, önceki örnekten anlaşılabilir.

Bir daireye teğet, hatta iki veya daha fazla o kadar zor bir iş değil. Tabii ki, matematikçiler bu tür sorunları manuel olarak çözmeyi çoktan bıraktılar ve hesaplamaları özel programlara emanet ettiler. Ancak şimdi bunu kendiniz yapmanın gerekli olmadığını düşünmeyin, çünkü bir bilgisayar için bir görevi doğru bir şekilde formüle etmek için çok şey yapmanız ve anlamanız gerekir. Ne yazık ki, bilgi kontrolünün test formuna son geçişten sonra, inşaat görevlerinin öğrenciler için giderek daha fazla zorluğa neden olacağına dair korkular var.

Daha fazla daire için ortak teğet bulmaya gelince, aynı düzlemde olsalar bile bu her zaman mümkün değildir. Ancak bazı durumlarda böyle bir çizgi bulmak mümkündür.

Gerçek hayattan örnekler

Pratikte iki çembere ortak bir teğet ile karşılaşılır, ancak bu her zaman fark edilmez. Konveyörler, blok sistemleri, kasnak iletim kayışları, bir dikiş makinesindeki iplik gerginliği ve hatta sadece bir bisiklet zinciri - bunların hepsi hayattan örnekler. Bu yüzden geometrik problemlerin sadece teoride kaldığını düşünmeyin: mühendislik, fizik, inşaat ve diğer birçok alanda pratik uygulama bulurlar.

\[(\Büyük(\text(Merkezi ve Yazılı Açılar)))\]

Tanımlar

Merkez açı, köşesi dairenin merkezinde bulunan bir açıdır.

Yazılı bir açı, köşesi daire üzerinde bulunan bir açıdır.

Bir dairenin yayının derece ölçüsü, üzerine oturan merkez açının derece ölçüsüdür.

teorem

Bir yazılı açının ölçüsü, kestiği yayın ölçüsünün yarısıdır.

Kanıt

Kanıtlamayı iki aşamada gerçekleştireceğiz: ilk olarak, yazılı açının kenarlarından birinin bir çap içerdiği durum için ifadenin geçerliliğini kanıtlıyoruz. $B$ noktası yazılı açının $ABC$ tepe noktası ve $BC$ dairenin çapı olsun:

$AOB$ üçgeni ikizkenardır, $AO = OB$ , $\angle AOC$ dıştadır, o zaman $\Açı AOC = \Açı OAB + \Açı ABO = 2\ABC açısı$, nerede $\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)$.

Şimdi keyfi bir yazılı açı $ABC$ düşünün. Yazılı açının tepe noktasından daire çapını $BD$ çizin. İki durum mümkündür:

1) çap, açıyı iki açıya böler $\angle ABD, \angle CBD$ (ki bu teoremlerin her biri için yukarıda kanıtlandığı gibi doğrudur, dolayısıyla bunların toplamı olan orijinal açı için de geçerlidir) iki ve bu nedenle, yaslandıkları yayların toplamının yarısına, yani yaslandığı yayın yarısına eşittir). Pirinç. bir.

2) çap, açıyı iki açıya bölmedi, o zaman iki yeni yazılı açımız var $\angle ABD, \angle CBD$ , hangi tarafı çapı içerir, bu nedenle, teorem onlar için doğrudur, o zaman orijinal açı için de geçerlidir (bu, bu iki açının farkına eşittir, yani üzerinde durduğu yayların yarı farkına eşittir, yani üzerinde durduğu yayın yarısına eşittir). dinlenir). Pirinç. 2.

Sonuçlar

1. Aynı yaya göre yazılı açılar eşittir.

2. Yarım daireye dayalı bir yazılı açı dik açıdır.

3. Bir iç açı, aynı yaya göre merkez açının yarısına eşittir.

\[(\Büyük(\text(Çembere teğet)))\]

Tanımlar

Üç tip var göreceli konum düz çizgi ve daire:

1) $a$ doğrusu çemberi iki noktada kesiyor. Böyle bir çizgiye sekant denir. Bu durumda, dairenin merkezinden düz çizgiye $d$ uzaklığı, dairenin yarıçapından $R$ küçüktür (Şekil 3).

2) $b$ doğrusu çemberi bir noktada kesiyor. Böyle bir düz çizgiye teğet denir ve ortak noktalarına $B$ teğet noktası denir. Bu durumda $d=R$ (Şekil 4).

teorem

1. Çemberin teğeti, temas noktasına çizilen yarıçapa diktir.

2. Doğru, çemberin yarıçapının ucundan geçiyorsa ve bu yarıçapa dik ise çembere teğettir.

Sonuçlar

Bir noktadan çembere çizilen teğetlerin parçaları eşittir.

Kanıt

$K$ noktasından daireye iki teğet $KA$ ve $KB$ çizin:

Yani $OA\perp KA, OB\perp KB$ yarıçap olarak. Sağ üçgenler $\triangle KAO$ ve $\triangle KBO$ bacak ve hipotenüs açısından eşittir, dolayısıyla $KA=KB$ .

Sonuçlar

$O$ çemberinin merkezi, aynı $K$ noktasından çizilen iki teğetin oluşturduğu $AKB$ açısının açıortayı üzerindedir.

\[(\Large(\text(Açılarla ilgili teoremler)))\]

Sekantlar arasındaki açı ile ilgili teorem

Aynı noktadan çizilen iki kesen arasındaki açı, kestikleri daha büyük ve daha küçük yayların derece ölçülerinin yarısına eşittir.

Kanıt

$M$ şekilde gösterildiği gibi iki sekantın çizildiği bir nokta olsun:

bunu gösterelim $\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))$.

$\angle DAB$, $MAD$ üçgeninin dış köşesidir, o zaman $\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA$, nerede $\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA$, ancak $\angle DAB$ ve $\angle MDA$ açıları yazılır, o zaman $\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))$, kanıtlanacaktı.

Kesişen akorlar arasındaki açı teoremi

Kesişen iki kiriş arasındaki açı, kestikleri yayların derece ölçülerinin toplamının yarısına eşittir: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

Kanıt

$\angle BMA = \angle CMD$ dikey olarak.

$AMD$ üçgeninden : $\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)$.

Fakat $\ AMD açısı = 180^\circ - \açı CMD$, nereden sonuca varıyoruz \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ gülümse\üzer(CD)).\]

Bir kiriş ve bir teğet arasındaki açı ile ilgili teorem

Teğet noktasından geçen kiriş ile teğet arasındaki açı, kiriş tarafından çıkarılan yayın derece ölçüsünün yarısına eşittir.

Kanıt

$a$ doğrusu daireye $A$ noktasında temas etsin, $AB$ bu dairenin kirişi olsun, $O$ merkezi olsun. $OB$ içeren doğrunun $M$ noktasında $a$ ile kesişmesine izin verin. bunu kanıtlayalım $\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)$.

$\angle OAB = \alpha$ belirtin. $OA$ ve $OB$ yarıçap olduğundan, $OA = OB$ ve $\angle OBA = \angle OAB = \alpha$. Böylece, $\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)$.

$OA$ teğet noktasına çizilen yarıçap olduğundan, o zaman $OA\perp a$ , yani $\angle OAM = 90^\circ$ , bu nedenle, $\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)$.

Eşit kirişlerle daraltılmış yaylar üzerine teorem

Eşit akorlar eşit yaylar, daha küçük yarım daireler.

Ve tam tersi: eşit yaylar, eşit kirişler tarafından daraltılır.

Kanıt

1) $AB=CD$ olsun. Yayın daha küçük yarım dairelerinin olduğunu kanıtlayalım.

Üç tarafta, bu nedenle $\angle AOB=\angle COD$ . Ama o zamandan beri $\açı AOB, \açı KOD$ - merkezi köşeler yaylara dayalı $\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)$ sırasıyla $\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)$.

2) Eğer $\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)$, sonra $\üçgen AOB=\üçgen KOİ$ iki kenar boyunca $AO=BO=CO=DO$ ve aralarındaki açı $\angle AOB=\angle COD$ . Bu nedenle, $AB=CD$ .

teorem

Bir yarıçap bir kirişi ikiye bölüyorsa, ona diktir.

Bunun tersi de doğrudur: yarıçap kirişe dik ise, kesişme noktası onu ikiye böler.

Kanıt

1) $AN=NB$ olsun. $OQ\perp AB$ olduğunu ispatlayalım.

$\triangle AOB$ düşünün: ikizkenardır, çünkü $OA=OB$ – daire yarıçapı. Çünkü $ON$ tabana çizilen medyandır, o zaman aynı zamanda yüksekliktir, dolayısıyla $ON\perp AB$ .

2) $OQ\perp AB$ olsun. $AN=NB$ olduğunu ispatlayalım.

Benzer şekilde, $\triangle AOB$ ikizkenardır, $ON$ yüksekliktir, dolayısıyla $ON$ medyandır. Bu nedenle, $AN=NB$ .

\[(\Large(\text(Segmentlerin uzunlukları ile ilgili teoremler)))\]

Akor bölümlerinin çarpımı üzerine teorem

Bir dairenin iki kirişi kesişiyorsa, bir kirişin bölümlerinin çarpımı, diğer kirişin bölümlerinin çarpımına eşittir.

Kanıt

$AB$ ve $CD$ akorları $E$ noktasında kesişsin.

$ADE$ ve $CBE$ üçgenlerini düşünün. Bu üçgenlerde, $1$ ve $2$ açıları eşittir, çünkü bunlar yazılıdır ve aynı yaya $BD$ ve $3$ ve $4$ açılarına dayanır. dikey olarak eşittir. $ADE$ ve $CBE$ üçgenleri benzerdir (ilk üçgen benzerlik kriterine göre).

O zamanlar $\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)$, nereden $AE\cdot BE = CE\cdot DE$ .

Tanjant ve sekant teoremi

Bir teğet parçasının karesi, kesen ve dış kısmının çarpımına eşittir.

Kanıt

Teğetin $M$ noktasından geçmesine ve $A$ noktasındaki daireye dokunmasına izin verin. Kesen $M$ noktasından geçsin ve daireyi $B$ ve $C$ noktalarında kessin, böylece $MB)< MC$ . Покажем, что $MB\cdot MC = MA^2$ .

$MBA$ ve $MCA$ üçgenlerini göz önünde bulundurun: $\angle M$ geneldir, $\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)$. Teğet ve sekant arasındaki açı teoremine göre, $\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA$. Böylece, $MBA$ ve $MCA$ üçgenleri iki açıdan benzerdir.

$MBA$ ve $MCA$ üçgenlerinin benzerliğinden şunu elde ederiz: $\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)$$MB\cdot MC = MA^2$ ile eşdeğerdir.

Sonuçlar

$O$ noktasından çizilen kesenin çarpımı ve dış kısmı, $O$ noktasından çizilen kesenin seçimine bağlı değildir.

puan $x_0\in \mathbb(R)$ , ve içinde türevlenebilir: $f \in \matematik(D)(x_0)$ . Bir fonksiyonun grafiğine teğet $f$ noktada $x_0$ denklem tarafından verilen doğrusal bir fonksiyonun grafiği olarak adlandırılır. $y = f(x_0) + f"(x_0)(x-x_0),\quad x\in \mathbb(R)$ .

eğer fonksiyon

f

noktada var

x_0

sonsuz türev

f"(x_0) = \pm\infty,

o zaman bu noktadaki teğet çizgi denklem tarafından verilen dikey çizgidir.

x = x_0.

Yorum

Teğet doğrunun grafiğinin noktadan geçtiği tanımdan doğrudan çıkar. $(x_0,f(x_0))$ . Köşe $\alfa$ eğriye teğet ile x ekseni arasındaki denklemi sağlar

$\operatöradı(tg)\,\alpha = f"(x_0)=k,$

nerede $\operatöradı(tg)$ teğet anlamına gelir ve $\operatöradı (k)$ - teğet eğim katsayısı. Bir noktada türev $x_0$ eşittir açısal katsayı fonksiyonun grafiğine teğet $y = f(x)$ bu noktada.

Bir sekantın sınırlayıcı konumu olarak teğet

İzin vermek $f\kolon U(x_0) \to \R$ ve $x_1\in U(x_0).$ Sonra noktalardan geçen düz bir çizgi $(x_0,f(x_0))$ ve $(x_1,f(x_1))$ denklem tarafından verilen

$y = f(x_0) + \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0)(x-x_0).$

Bu çizgi noktadan geçer $(x_0,f(x_0))$ herkes için $x_1\in U(x_0),$ ve eğim açısı $\alfa(x_1)$ denklemi sağlar

$\operatöradı(tg)\,\alpha(x_1) = \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0).$

Fonksiyonun türevinin varlığından dolayı $f$ noktada $x_0,$ sınırına kadar geçen $x_1\to x_0,$ bir sınır olduğunu anladık

$\lim\limits_(x_1 \to x_0) \operatöradı(tg)\,\alpha(x_1) = f"(x_0),$

ve ark tanjantının sürekliliği ve sınır açısı nedeniyle

$\alpha = \operatöradı(arctg)\,f"(x_0).$

Bir noktadan geçen bir çizgi $(x_0,f(x_0))$ ve tatmin edici bir limit eğim açısına sahip olmak $\operatöradı(tg)\,\alpha = f"(x_0),$ teğet denklemi ile verilir:

$y \u003d f (x_0) + f "(x_0) (x-x_0).$

daireye teğet

Çemberle bir ortak noktası olan ve çemberle aynı düzlemde bulunan doğruya çemberin teğeti denir.

Özellikleri

Çemberin teğeti, temas noktasına çizilen yarıçapa diktir.
Çembere bir noktadan çizilen teğetlerin parçaları eşittir ve bu noktadan geçen doğru ile çemberin merkezinden geçen doğru ile eşit açı yapar.
Birim yarıçaplı bir çembere çizilen teğetin parçasının, teğet noktası ile çemberin merkezinden çizilen ışın ile teğetin kesişme noktası arasında alınan parçasının uzunluğu, bu ışın arasındaki açının tanjantıdır. ve dairenin merkezinden teğet noktasına kadar olan yön. Latince "Tangenler". teğetler- "teğet".

Varyasyonlar ve Genellemeler

Tek taraflı yarı teğetler

Doğru türev varsa $f"_+(x_0)< \infty,$ sonra sağ yarı tanjant fonksiyonun grafiğine $f$ noktada $x_0$ ışın denilen

y = f(x_0) + f"_+(x_0)(x - x_0),\quad x \geqslant x_0.

sol türev varsa $f"_-(x_0)< \infty,$ sonra sol yarı tanjant fonksiyonun grafiğine $f$ noktada $x_0$ ışın denilen

y = f(x_0) + f"_-(x_0)(x - x_0),\quad x \leqslant x_0.

Sonsuz doğru türev varsa $f"_+(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ $f$ noktada $x_0$ ışın denilen

x = x_0, \;  y \geqslant f(x_0)\;  (y\leqslant f(x_0)).

Sonsuz bir sol türev varsa $f"_-(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ sonra fonksiyonun grafiğine sağ yarı teğet $f$ noktada $x_0$ ışın denilen

x = x_0, \;  y \leqslant f(x_0)\;  (y\geqslant f(x_0)).

Ayrıca bakınız

Normal, çift normal

"Tanjant Çizgisi" makalesi hakkında bir inceleme yazın

Edebiyat

Toponogov V.A. Eğrilerin ve yüzeylerin diferansiyel geometrisi. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135.
// Brockhaus ve Efron Ansiklopedik Sözlüğü: 86 ciltte (82 cilt ve 4 ek). - St.Petersburg. , 1890-1907.

Teğet çizgiyi karakterize eden bir alıntı

- Yerlerde! - Pierre'in etrafında toplanan askerlere genç bir subay bağırdı. Görünüşe göre bu genç subay, görevini birinci veya ikinci kez yerine getirdi ve bu nedenle hem askerlere hem de komutana özel bir farklılık ve tekdüzelikle davrandı.
Topların ve tüfeklerin düzensiz ateşlenmesi, özellikle Bagration'ın flaşlarının olduğu solda, tüm sahada yoğunlaştı, ancak Pierre'in bulunduğu yerden gelen atışların dumanı nedeniyle hiçbir şey görmek neredeyse imkansızdı. Dahası, pilde olan bir aile (diğerlerinden ayrılmış) çemberinin olduğu gibi, Pierre'in tüm dikkatini nasıl çektiğine dair gözlemler. Savaş alanının görüntü ve seslerinin yarattığı bilinçsizce neşeli ilk heyecanının yerini, özellikle çayırda yatan bu yalnız askeri gördükten sonra, şimdi başka bir duygu aldı. Şimdi hendeğin yamacına oturmuş, etrafındaki yüzleri izliyordu.
Saat ona doğru, yirmi kişi bataryadan çoktan taşınmıştı; iki silah kırıldı, gittikçe daha fazla mermi bataryaya çarptı ve uçtu, vızıldayarak ve ıslık çalarak, uzun menzilli mermiler. Ancak pili kullananlar bunu fark etmemiş gibiydi; neşeli sohbetler ve şakalar her taraftan duyuldu.
-Çinenko! - asker yaklaşan ıslık bombasına bağırdı. - Burada değil! Piyadeye! - bir başkası gülerek ekledi, el bombasının uçtuğunu ve kapağın saflarına çarptığını fark etti.
- Ne arkadaş? - uçan güllenin altında çömelmiş köylüye başka bir asker güldü.
Birkaç asker surda toplanmış, ileride neler olduğuna bakıyorlardı.
"Ve zinciri çıkardılar, görüyorsun, geri döndüler" dediler, şaftı işaret ederek.
Eski astsubay onlara, "İşinize bakın," diye bağırdı. - Geri döndüler, yani iş var. - Ve astsubay, askerlerden birini omzundan tutarak onu diziyle itti. Kahkaha duyuldu.
- Beşinci silaha geçin! diye bağırdı bir yandan.
Silah değiştirenlerin neşeli çığlıkları, “Birlikte, daha dostane bir şekilde burlatskide” duyuldu.
Kızıl suratlı şakacı dişlerini göstererek Pierre'e “Evet, neredeyse efendimizin şapkasını düşürüyordum” dedi. "Ah, beceriksiz," diye sitem edercesine, bir adamın tekerleğine ve bacağına düşen topa ekledi.
- Sizi tilkiler! bir diğeri, yaralılar için bataryaya giren kıvranan milislere güldü.
- Al lezzetli yulaf lapası değil mi? Ah, kargalar, sallandı! - Bacağı kopmuş bir askerin önünde tereddüt eden milislere bağırdılar.
"Onun gibi bir şey küçüğüm," diye taklit etti köylüler. - Tutkudan hoşlanmazlar.
Pierre, isabet eden her atıştan sonra, her kayıptan sonra genel bir canlanmanın nasıl daha da alevlendiğini fark etti.
İlerleyen bir gök gürültüsü bulutundan olduğu gibi, tüm bu insanların yüzlerinde giderek daha parlak ve daha parlak parladı (sanki ne olup bittiğine karşı) gizli, alev alev yanan şimşekler.
Pierre savaş alanında ileriye bakmadı ve orada neler olduğunu bilmekle ilgilenmiyordu: ruhunda aynı şekilde (hissettiği) alevlenen bu, giderek daha fazla yanan ateşi düşünmeye tamamen daldı.
Saat onda, çalıların arasında ve Kamenka Nehri boyunca bataryanın önünde olan piyade askerleri geri çekildi. Bataryadan, yaralıları silahlarında taşıyarak nasıl geriye doğru koştukları görülüyordu. Bir general, maiyetiyle birlikte tümseğe girdi ve albayla konuştuktan sonra, Pierre'e öfkeyle bakarak tekrar aşağı indi ve bataryanın arkasında duran piyade muhafazasının atışlara daha az maruz kalması için uzanmasını emretti. Bunu takiben, piyade saflarında, pilin sağında bir davul, komuta sesleri duyuldu ve pilden piyade saflarının nasıl ilerlediği açıktı.
Pierre şaftın üzerinden baktı. Özellikle bir yüz dikkatini çekti. Solgun genç yüzlü bir subaydı, elinde indirilmiş bir kılıçla geriye doğru yürüyen ve huzursuzca etrafına bakınan bir subaydı.
Piyade askerlerinin safları dumanın içinde kayboldu, uzun çığlıkları ve sık sık silah atışları duyuldu. Birkaç dakika sonra oradan yaralılar ve sedyeler geçti. Mermiler bataryaya daha sık çarpmaya başladı. Birkaç kişi kirli yatıyordu. Topların yakınında askerler daha yoğun ve daha canlı hareket ettiler. Artık kimse Pierre'e dikkat etmiyordu. Bir veya iki kez yolda olduğu için öfkeyle bağırdı. Kıdemli subay, kaşlarını çatarak büyük, hızlı adımlarla bir silahtan diğerine geçti. Genç subay daha da kızardı, askerlere daha da gayretle emir verdi. Askerler ateş ettiler, döndüler, yüklediler ve yoğun bir gösterişle işlerini yaptılar. Yaylar üzerindeymiş gibi yol boyunca zıpladılar.

Çoğu zaman, matematik olimpiyatlarına başvuranlar, mezunlar ve katılımcılar için zorluklara neden olan geometrik problemlerdir. 2010 yılındaki USE istatistiklerine bakarsanız, katılımcıların yaklaşık %12'sinin C4 geometrik görevine başladığını ve katılımcıların sadece %0.2'sinin tam puan aldığını ve genel olarak görevin şu şekilde olduğunu görebilirsiniz. önerilenlerin en zoru.

Açıkçası, okul çocuklarına sorunları çözme biçimleri açısından güzel veya beklenmedik şeyleri ne kadar erken sunarsak, onların ilgisini çekme ve onları ciddi şekilde ve uzun süre cezbetme olasılıkları o kadar yüksek olur. Ancak, sistematik geometri çalışması yeni başladığında, 7. sınıf düzeyinde ilginç ve zor problemler bulmak ne kadar zor. Sadece üçgenlerin eşitliğinin işaretlerini, komşu ve üçgenin özelliklerini bilen matematikle ilgilenen bir öğrenciye neler sunulabilir? dikey açılar? Bununla birlikte, bir daireye teğet kavramını, daire ile bir ortak noktası olan düz bir çizgi olarak tanıtmak mümkündür; temas noktasına çizilen yarıçapın teğete dik olduğunu kabul edin. Tabii ki, sıfırdan dörde kadar çizilebilen iki dairenin ve bunlara ortak teğetlerin konumunun tüm olası durumlarını dikkate almaya değer. Aşağıda önerilen teoremleri kanıtlayarak, yedinci sınıf öğrencileri için görev setini önemli ölçüde genişletmek mümkündür. Aynı zamanda, yol boyunca, önemli veya sadece ilginç ve eğlenceli gerçekleri kanıtlayın. Ayrıca birçok ifade okul ders kitabında yer almadığından planimetri tekrarı yapılırken hem sınıfta hem de mezunlarla tartışılabilir. Bu gerçekler geçen akademik yılda alakalı olduğu ortaya çıktı. Birçok teşhis çalışması kendi başına çalıştığından KULLANIM işiçözümü için aşağıda ispatlanmış bir teğet parçasının özelliğini kullanmanın gerekli olduğu bir problem içeriyordu.

1 Çizilen bir daireye teğet parçaları
bir nokta eşittir (Şekil 1)

Teorem bu kadar, önce yedinci sınıfları tanıtabilirsiniz.
İspat sürecinde, dik üçgenlerin eşitlik işaretini kullandık, dairenin merkezinin açının açıortayı üzerinde olduğu sonucuna vardık. M.Ö..
Geçerken, bir açının açıortayının, açının kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan iç bölgesinin noktalarının geometrik yeri olduğunu hatırladık. Önemsiz bir sorunun çözümü, geometri çalışmasına yeni başlayanlar için bile erişilebilir olan bu gerçeklere dayanmaktadır.

1. Açıların açıortayları ANCAK, AT ve İTİBAREN dışbükey dörtgen ABCD bir noktada kesişir. Işınlar AB ve DC bir noktada kesişmek E ve ışınlar
güneş ve AD noktada F. Dışbükey olmayan bir dörtgen olduğunu kanıtlayın AECF karşılıklı kenarların uzunlukları toplamı eşittir.

Çözüm (Şekil 2).İzin vermek Ö bu açıortayların kesişme noktasıdır. O zamanlar Ö dörtgenin her tarafından eşit uzaklıkta ABCD, yani
bir dörtgen içine yazılmış bir dairenin merkezidir. teoreme göre 1 eşitlikler doğrudur: AR = AK, acil = EP, FT = FK. Sol ve sağ kısımları terim terim eklersek, doğru eşitliği elde ederiz:

(AR + acil) + FT = (AK +FK) + EP; AE + (FC + BT) = AF + (AB + bilgisayar). Çünkü ST = RS, sonra AE + FC = AF + AB, kanıtlanacaktı.

Çözümü için teoremi bilmenin yeterli olduğu alışılmadık bir formülasyona sahip bir problemi ele alalım. 1 .

2. var mı n kenarları ardışık olarak 1, 2, 3, ... olan gon n hangi daire yazılabilir?

Çözüm. şöyle diyelim n-gon var. ANCAK 1 ANCAK 2 =1, …, ANCAK n-1 ANCAK n= n– 1,ANCAK n ANCAK 1 = n. B 1 , …, B n karşılık gelen temas noktalarıdır. Daha sonra Teorem 1 ile A 1 B 1 = A 1 B n< 1, n – 1 < A n B n< n. Teğet segmentlerin özelliği ile A n B n= A n B n-1 . Fakat, A n B n-1< A n-1 ANCAK n= n- 1. çelişki. Bu nedenle, hayır n-sorunun durumunu karşılayan gon.

T2Çevresi çevrelenmiş bir dörtgenin karşılıklı kenarlarının toplamı
daireler eşittir (Şekil 3)

Okul çocukları, kural olarak, açıklanan dörtgenin bu özelliğini kolayca kanıtlar. Teoremi kanıtladıktan sonra 1 , bu bir eğitim egzersizidir. Bu gerçek genelleştirilebilir - sınırlandırılmış çift-genin kenarlarının toplamı, birinden alınır, eşittir. Örneğin, bir altıgen için ABCDEF Sağ: AB + CD + EF = BC + DE + FA.

3. Moskova Devlet Üniversitesi. bir dörtgende ABCD iki daire var: ilk daire kenarlara dokunuyor AB, M.Ö. ve AD, ve ikinci taraflar M.Ö., CD ve AD. yanlarda M.Ö ve AD puan alınır E ve F buna göre, segment EF her iki daireye ve dörtgenin çevresine dokunur ABEFüzerinde 2p dörtgenin çevresinden büyük ECDF. Bulmak AB, eğer cd=a.

Çözüm (Şekil 1). ABEF ve ECDF dörtgenleri, Teorem 2 Р ABEF = 2(AB + EF) ve Р ECDF = 2(CD + EF) tarafından koşula göre yazıldığından

P ABEF - P ECDF = 2(AB + EF) - 2(CD + EF) = 2p. AB-CD=p. AB = a + p.

Temel görev 1. doğrudan AB ve AC noktalardaki teğetlerdir AT ve İTİBAREN O noktasında ortalanmış bir daireye. İsteğe bağlı bir noktadan X yaylar güneş
segmentleri kesen bir daireye teğet çizilir AB ve AC noktalarda M ve R sırasıyla. Üçgenin çevresinin olduğunu kanıtlayın DEDİN ve açı MPA X noktasının seçimine bağlı değildir.

Çözüm (Şekil 5). Teorem 1'e göre MB = MX ve PC = RX. Yani üçgenin çevresi DEDİN bölümlerin toplamına eşit AB ve OLARAK. Veya bir üçgen için dış çembere çizilen çift teğet DEDİN . MOP açısının değeri, açının değerinin yarısı ile ölçülür. WOS, nokta seçimine bağlı olmayan X.

Referans görevi 2a. Kenarları olan bir üçgende bir, b ve c tarafa teğet yazılı daire AB ve nokta İLE. Bir segmentin uzunluğunu bulun AK.

Çözüm (Şekil 6). Birinci yöntem (cebirsel). İzin vermek AK \u003d AN \u003d x, sonra BK = BM = c - x, CM = CN = a - c + x. AC = AN + NC, o zaman için bir denklem yazabiliriz x: b \u003d x + (a - c + x). Neresi .

İkinci yöntem (geometrik). Şemaya dönelim. Birer birer alınan eşit teğet segmentleri, bir yarım çevre oluşturur.
üçgen. Kırmızı ve yeşil bir taraf oluşturuyor a. O zaman bizi ilgilendiren kısım x = p - bir. Elbette, elde edilen sonuçlar tutarlıdır.

Destekleyici görev 2b. Teğet parçasının uzunluğunu bulun ak, eğer İle kenar ile dış çemberin teğet noktasıdır AB Çözümü (Şekil 7). AK = AM = x, sonra BK = BN = c - x, CM = CN. denklemimiz var b + x = a + (c - x). Neresi . W Temel sorundan not edin 1 bunu takip eder CM = p ∆ ABC. b+x=p; x \u003d p - b. Elde edilen formüller aşağıdaki görevlerde kullanılır.

4. Bacakları olan bir dik üçgende yazılı dairenin yarıçapını bulun bir, b ve hipotenüs İle birlikte. Çözüm (Şekil 8). T nasıl OMCN- kare, o zaman yazılı dairenin yarıçapı, CN tanjantının parçasına eşittir. .

5. Üçgenin kenarı ile yazılı ve dış çemberlerin teğet noktalarının bu kenarın orta noktasına göre simetrik olduğunu kanıtlayın.

Çözüm (Şekil 9). AK'nin üçgen için dış çemberin tanjantının parçası olduğuna dikkat edin. ABC. Formül (2) ile . sanal makine- çizgi segmenti üçgen için teğet daire ABC. Formül (1)'e göre . AK = VM, ve bu, noktaların K ve M kenar ortasından eşit uzaklıkta AB, Q.E.D.

6. İki çembere iki ortak dış teğet ve bir iç teğet çizilir. İç teğet, dıştakilerle noktalarda kesişir. A, B ve noktalardaki dairelere dokunur 1 ve 1 . Kanıtla AA 1 \u003d BB 1.

Çözüm (Şekil 10). Dur ... Ama karar verecek ne var? Bu sadece önceki sorunun başka bir formülasyonu. Dairelerden birinin yazılı olduğu ve diğerinin bir üçgen için dış daire olduğu açıktır. ABC. Ve segmentler AA 1 ve BB 1 segmentlere karşılık gelir AK ve sanal makine görevler 5. için önerilen görev dikkat çekicidir. Tüm Rusya Olimpiyatı matematikte okul çocukları, böyle açık bir şekilde çözülür.

7. Beşgenin kenarları dolanma sırasına göre 5, 6, 10, 7, 8'dir.Bu beşgenin içine bir daire yazılamayacağını kanıtlayın.

Çözüm (Şekil 11). beşgen olduğunu varsayalım ABCDE bir daire çizebilirsiniz. Ayrıca, taraflar AB, M.Ö, CD, DE ve EA sırasıyla 5, 6, 10, 7 ve 8'e eşittir. F, G, H, M ve N. Segmentin uzunluğu olsun AF eşittir X.

O zamanlar sevgili = FD – AF = 5 – x = BG. GK = M.Ö – BG = = 6 – (5 – x) = 1 + x = CH. Ve benzeri: HD = DM = 9 – x; BEN = TR = x – 2, BİR = 10 – X.

Fakat, AF = BİR. yani 10 - X = X; X= 5. Ancak, teğetin segmenti AF eşit taraf olamaz AB. Ortaya çıkan çelişki, verilen bir beşgende bir dairenin yazılamayacağını kanıtlar.

8. Bir altıgen içine bir daire çizilir, yanları baypas sırasına göre 1, 2, 3, 4, 5'tir. Altıncı kenarın uzunluğunu bulun.

Çözüm. Tabii ki, teğet segmenti olarak belirtilebilir X, önceki problemde olduğu gibi bir denklem yazın ve bir cevap alın. Ancak, teoremin notunu kullanmak çok daha verimli ve etkilidir. 2 : Sınırlı altıgenin bir tarafından alınan kenarlarının toplamı eşittir.

O zaman 1 + 3 + 5 = 2 + 4 + X, nerede X- bilinmeyen altıncı taraf, X = 3.

9. Moskova Devlet Üniversitesi, 2003. Kimya Fakültesi, No. 6(6). bir beşgene ABCDE yazılı daire, R bu dairenin kenar ile temas noktası güneş. Segmentin uzunluğunu bulun BP, beşgenin tüm kenarlarının uzunluklarının olduğu biliniyorsa tüm sayılar, AB = 1, CD = 3.

Çözüm (şek.12). Tüm kenarların uzunlukları tamsayı olduğundan, doğru parçalarının uzunluklarının kesirli kısımları birbirine eşittir. BT, BP, DM, DN, AK ve AT. Sahibiz AT + televizyon= 1 ve bölümlerin uzunluklarının kesirli kısımları AT ve televizyon eşittir. Bu yalnızca şu durumlarda mümkündür: AT + televizyon= 0,5. teoreme göre 1 AG + BP.
Anlamına geliyor, BP= 0,5. koşul olduğunu unutmayın CD= 3 sahipsiz olduğu ortaya çıktı. Açıkçası, sorunun yazarları başka bir çözüm varsaydılar. Cevap: 0,5.

10. Bir dörtgende ABCD AD=DC, AB=3, BC=5.Üçgen içine yazılan daireler ABD ve MİA segmente dokunun BD noktalarda M ve N sırasıyla. Bir segmentin uzunluğunu bulun MN.

Çözüm (Şekil 13). MN = DN - DM.Üçgenler için formül (1)'e göre DBA ve DBC sırasıyla elimizde:

11. Bir dörtgende ABCD bir daire çizebilirsiniz. Üçgen içine yazılan daireler ABD ve MİA yarıçapı var R ve r sırasıyla. Bu çemberlerin merkezleri arasındaki uzaklığı bulunuz.

Çözüm (Şekil 13). Çünkü, koşula göre, dörtgen ABCD teoreme göre yazılı 2 sahibiz: AB + DC = AD + BC.Önceki sorunu çözme fikrini kullanalım. . Bu, dairelerin segment ile temas noktalarının DM kibrit. Çemberlerin merkezleri arasındaki uzaklık, yarıçapların toplamına eşittir. Cevap: R + r.

Aslında, koşulun bir dörtgende olduğu kanıtlanmıştır. ABCD koşula eşdeğer bir daire yazabilirsiniz - dışbükey bir dörtgende ABCDüçgenler içinde yazılı daireler ABC ve ADC birbirinize dokunun. Tersi doğrudur.

Birbiriyle çelişen bu iki ifadenin, bunun bir genellemesi sayılabilecek aşağıdaki problemde ispatlanması önerilmektedir.

12. Dışbükey bir dörtgende ABCD (pilav. on dört) üçgenlerle yazılmış daireler ABC ve ADC birbirinize dokunun. Üçgen içine yazılan dairelerin olduğunu kanıtlayın ABD ve bdc ayrıca birbirine dokunun.

13. Bir üçgende ABC taraflarla bir, b ve c tarafta güneş işaretli nokta D böylece üçgenlerde yazılı daireler ABD ve AKD segmente dokunun AD bir noktada. Bir segmentin uzunluğunu bulun BD.

Çözüm (Şekil 15). Üçgenler için formül (1) uyguluyoruz ADC ve adb, Hesaplanıyor DM iki

ortaya çıktı, D- yan temas noktası güneşüçgen içine alınmış daire ABC. Bunun tersi doğrudur: Bir üçgenin tepe noktası, karşı taraftaki yazılı dairenin teğet noktasına bağlanırsa, ortaya çıkan üçgenlerde yazılı daireler birbirine dokunur.

14. Merkezler Ö 1 , Ö 2 ve Ö 3 Aynı yarıçapa sahip kesişmeyen üç daire üçgenin köşelerinde bulunur. Noktalardan Ö 1 , Ö 2 , Ö 3, bu dairelere teğetler şekilde gösterildiği gibi çizilir.

Kesişen bu teğetlerin, kenarları kırmızı ve mavi renkli olan dışbükey bir altıgen oluşturduğu bilinmektedir. Kırmızı parçaların uzunluklarının toplamının mavi parçaların uzunluklarının toplamına eşit olduğunu kanıtlayın.

Çözüm (Şekil 16). Verilen dairelerin aynı yarıçaplara sahip olduğu gerçeğinin nasıl kullanılacağını anlamak önemlidir. Segmentlere dikkat edin BR ve DM eşittir, bu da dik üçgenlerin eşitliğinden çıkar Ö 1 BR ve Ö 2 BM. benzer şekilde DL = D.P., FN = FK. Eşitlikleri terim terim toplarız, sonra köşelerden çizilen aynı teğet parçalarını elde edilen toplamlardan çıkarırız. ANCAK, İTİBAREN, ve E altıgen ABCDEF: AR ve AK, CL ve SANTİMETRE, TR ve EP. İhtiyacımız olanı alıyoruz.

İşte Lise Öğrencileri için XII Uluslararası Matematik Turnuvası “A.N. Kolmogorov Hafıza Kupası”nda önerilen bir stereometri problemine bir örnek.

16. Beşgen bir piramit verildiğinde SA 1 A 2 A 3 A 4 A 5 . bir kapsam var w, piramidin tüm kenarlarına ve başka bir küreye dokunan 1 , tabanın her tarafına dokunan A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 ve yan kaburgaların uzantıları SA 1 , SA 2 , SA 3 , SA 4 , SA 5 tabanın üst kısımları için. Piramidin tepe noktasının tabanın köşelerinden eşit uzaklıkta olduğunu kanıtlayın. (Berlov S.L., Karpov D.V.)

Çözüm. Küre w'nin kürenin yüzlerinden herhangi birinin düzlemi ile kesişimi, yüzün yazılı çemberidir. w 1 küresinin yüzlerin her biriyle kesişimi SA ben bir ben+1 - teğeti kenara çevir bir ben bir ben+1 üçgen SA ben bir ben+1 ve diğer iki tarafın devamları. Yan uzatma ile w 1 temas noktasını belirtin SA ben vasıtasıyla ben. Referans problem 1 ile, biz buna sahibiz SBi = SBi +1 = p SAiAi+1, bu nedenle, piramidin tüm yan yüzlerinin çevreleri eşittir. Kenar ile w teğet noktasını belirtin SA ben vasıtasıyla ben. O zamanlar SC 1 = SC 2 = SC 3 = SC 4 = SC 5 = s,
çünkü teğetlerin parçaları eşittir. İzin vermek C ben bir ben = bir ben. O zamanlar p SAiAi +1 = s+bir ben +bir ben+1 ve çevrelerin eşitliğinden şu sonucu çıkar: a 1 = a 3 = a 5 = a 2 = a 4, nereden SA 1 = SA 2 = SA 3 = SA 4 = SA 5 .

17. KULLANMAK. Teşhis çalışması 8 Aralık 2009, С–4. dana yamuk ABCD, temelleri M.Ö.= 44,AD = 100, AB=CD= 35. Doğrulara teğet çember AD ve AC tarafa dokunur CD noktada K. Segmentin uzunluğunu bulun CK.VDC ve BDA, yana dokun BD noktalarda E ve F. Segmentin uzunluğunu bulun EF.

Çözüm. İki durum mümkündür (Şekil 20 ve Şekil 21). Formül (1)'i kullanarak bölümlerin uzunluklarını buluruz. DE ve D.F..

İlk durumda AD = 0,1AC, CD = 0,9AC. Saniyede - AD = 0,125AC, CD = 1,125AC. Verileri değiştiririz ve cevabı alırız: 4.6 veya 5.5.

Bağımsız çözüm için görevler /

1. Bir daire etrafında yazılı bir ikizkenar yamuğun çevresi 2r. Yamuğun köşegeninin daha büyük tabana izdüşümünü bulun. (1/2p)

2. Matematikte USE problemlerinin bankasını açın. 4. Üçgen içine yazılmış bir daireye ABC (şek. 22),üç teğet çizilir. Kesik üçgenlerin çevreleri 6, 8, 10'dur. Bu üçgenin çevresini bulunuz. (24)

3. Bir üçgenin içine ABC yazılı daire. MN-çembere teğet MО AC, NО BC, BC = 13, AC = 14, AB = 15. Bir üçgenin çevresini bulun MNC. (12)

4. Kenarı a olan bir karede yazılı bir daireye, iki kenarını kesen bir teğet çizilir. Kesilen üçgenin çevresini bulun. (a)

5. Kenarları olan bir beşgende bir daire yazılıdır. a, d, c, d ve e. Temas noktasının kenarı eşit olarak böldüğü parçaları bulun. a.

6. Kenarları 6, 10 ve 12 olan bir üçgenin içine bir daire çizilmiştir. Çembere iki büyük kenarı kesecek şekilde bir teğet çizilir. Kesilen üçgenin çevresini bulun. (16)

7. CDüçgenin medyanı ABC. Üçgen içine yazılan daireler AKD ve BCD, segmente dokunun CD noktalarda M ve N. Bulmak MN, eğer AC – güneş = 2. (1)

8. Bir üçgende ABC taraflarla bir, b ve c tarafta güneş işaretli nokta D. Üçgen içine yazılan dairelere ABD ve AKD, kesişen ortak bir teğet çizilir AD noktada M. Bir segmentin uzunluğunu bulun AM. (Uzunluk AM noktanın konumuna bağlı değildir D ve
eşittir ½ ( c + b - bir))

9. Bir dik üçgene bir yarıçap çemberi yazılmıştır a. Hipotenüse teğet çemberin yarıçapı ve bacakların uzantıları R. Hipotenüsün uzunluğunu bulun. ( R-a)

10. Bir üçgende ABC kenarların uzunlukları bilinmektedir: AB = İle birlikte, AC = b, güneş = a. Üçgenin içine yazılan bir daire bir kenara teğettir AB noktada 1'den. Dış çember, kenarın uzantısına teğettir. AB puan başına ANCAK noktada 2'den. Segmentin uzunluğunu belirleyin S 1 S 2. (b)

11. Üçgenin kenarlarının uzunluklarını, yarıçapı 3 cm olan yazılı dairenin 4 cm ve 3 cm'lik parçalara (bir dik üçgende 7, 24 ve 25 cm) bölündüğü şekilde bulun.

12. Soros Olimpiyatı 1996, 2. tur, 11. sınıf. verilen üçgen ABC, yanlarında noktaların işaretlendiği A 1, B 1, C 1. Üçgenlerde yazılı dairelerin yarıçapları AC 1 B 1 , BC 1 A 1 , CA 1 B 1 eşit r. Üçgen içine yazılmış bir dairenin yarıçapı A 1 B 1 C 1 eşittir R. Üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapını bulun ABC. (R +r).

Problemler 4-8, R. K. Gordin'in “Geometri” problem kitabından alınmıştır. Planimetri." Moskova. MTSNMO yayınevi. 2004.

Tanım. Bir daireye teğet, daire ile tam olarak bir ortak noktası olan düzlemde düz bir çizgidir.

Burada bir çift örnek var:

Merkezli daire Ö düz bir çizgiye dokunur ben noktada A

Herhangi bir yerden MÇemberin dışına tam olarak iki teğet çizilebilir

tanjant arasındaki fark ben, sekant M.Ö ve doğrudan mçemberle ortak noktası olmayan

Bu son olabilir, ancak uygulama sadece tanımı ezberlemenin yeterli olmadığını gösteriyor - çizimlerdeki teğetleri görmeyi, özelliklerini bilmeyi ve ayrıca gerçek problemleri çözerken bu özellikleri nasıl kullanacağınızı öğrenmeniz gerekiyor. . Bugün tüm bunlarla ilgileneceğiz.

Teğetlerin temel özellikleri

Herhangi bir sorunu çözmek için dört temel özelliği bilmeniz gerekir. İkisi herhangi bir referans kitabında / ders kitabında açıklanmıştır, ancak son ikisi bir şekilde unutulur, ancak boşuna.

1. Bir noktadan çizilen teğet parçaları eşittir

Biraz daha yukarıda, bir M noktasından çizilen iki teğetten bahsetmiştik. Yani:

Bir noktadan çizilen çembere teğetlerin parçaları eşittir.

Segmentler AM ve BM eşit

2. Teğet, temas noktasına çizilen yarıçapa diktir

Yukarıdaki resme tekrar bakalım. Yarıçapları çizelim AE ve OB, bundan sonra açıları buluyoruz OAM ve OBM- dümdüz.

Teğet noktasına çizilen yarıçap, teğete diktir.

Bu gerçek, herhangi bir problemde kanıt olmadan kullanılabilir:

Teğet noktasına çizilen yarıçaplar teğetlere diktir

Bu arada, not: bir segment çizerseniz OM, sonra iki eşit üçgen elde ederiz: OAM ve OBM.

3. Teğet ve sekant arasındaki ilişki

Ancak bu daha ciddi bir gerçektir ve çoğu okul çocuğu bunu bilmiyor. Aynı ortak noktadan geçen bir teğet ve bir kesen düşünün M. Doğal olarak, sekant bize iki segment verecektir: dairenin içi (segment M.Ö- buna akor da denir) ve dış (buna denir - dış kısım MC).

Tüm sekantın dış kısmı ile çarpımı, teğet segmentinin karesine eşittir.

Sekant ve tanjant arasındaki ilişki

4. Teğet ve kiriş arasındaki açı

Karmaşık sorunları çözmek için sıklıkla kullanılan daha da gelişmiş bir gerçek. Gemiye almanızı şiddetle tavsiye ederim.

Teğet ile kiriş arasındaki açı, bu kirişe göre çizilen açıya eşittir.

nokta nereden geliyor B? Gerçek problemlerde, genellikle durumun bir yerinde "açılır". Bu nedenle, çizimlerde bu konfigürasyonu tanımayı öğrenmek önemlidir.