Bir daireye teğetin özelliğini formüle edin. Teğet çizgisi. Eşit kirişlerle daraltılmış yaylar üzerine teorem

Tanım. Bir daireye teğet, daire ile tam olarak bir ortak noktası olan düzlemde düz bir çizgidir.

Burada bir çift örnek var:

Merkezli daire Ö düz bir çizgiye dokunur ben noktada A

Herhangi bir yerden MÇemberin dışına tam olarak iki teğet çizilebilir

tanjant arasındaki fark ben, sekant M.Ö ve doğrudan mçemberle ortak noktası olmayan

Bu son olabilir, ancak uygulama sadece tanımı ezberlemenin yeterli olmadığını gösteriyor - çizimlerdeki teğetleri görmeyi, özelliklerini bilmeyi ve ayrıca gerçek problemleri çözerken bu özellikleri nasıl kullanacağınızı öğrenmeniz gerekiyor. . Bugün tüm bunlarla ilgileneceğiz.

Teğetlerin temel özellikleri

Herhangi bir sorunu çözmek için dört temel özelliği bilmeniz gerekir. İkisi herhangi bir referans kitabında / ders kitabında açıklanmıştır, ancak son ikisi bir şekilde unutulur, ancak boşuna.

1. Bir noktadan çizilen teğet parçaları eşittir

Biraz daha yukarıda, bir M noktasından çizilen iki teğetten bahsetmiştik. Yani:

Bir noktadan çizilen çembere teğetlerin parçaları eşittir.

Segmentler AM ve BM eşit

2. Teğet, temas noktasına çizilen yarıçapa diktir

Yukarıdaki resme tekrar bakalım. Yarıçapları çizelim AE ve OB, bundan sonra açıları buluyoruz OAM ve OBM- dümdüz.

Teğet noktasına çizilen yarıçap, teğete diktir.

Bu gerçek, herhangi bir problemde kanıt olmadan kullanılabilir:

Teğet noktasına çizilen yarıçaplar teğetlere diktir

Bu arada, not: bir segment çizerseniz OM, sonra iki eşit üçgen elde ederiz: OAM ve OBM.

3. Teğet ve sekant arasındaki ilişki

Ancak bu daha ciddi bir gerçektir ve çoğu okul çocuğu bunu bilmiyor. Aynı ortak noktadan geçen bir teğet ve bir kesen düşünün M. Doğal olarak, sekant bize iki segment verecektir: dairenin içi (segment M.Ö- buna akor da denir) ve dış (buna denir - dış kısım MC).

Tüm sekantın dış kısmı ile çarpımı, teğet segmentinin karesine eşittir.

Sekant ve tanjant arasındaki ilişki

4. Teğet ve kiriş arasındaki açı

Karmaşık sorunları çözmek için sıklıkla kullanılan daha da gelişmiş bir gerçek. Gemiye almanızı şiddetle tavsiye ederim.

Teğet ile kiriş arasındaki açı, bu kirişe göre çizilen açıya eşittir.

nokta nereden geliyor B? Gerçek problemlerde, genellikle durumun bir yerinde "açılır". Bu nedenle, çizimlerde bu konfigürasyonu tanımayı öğrenmek önemlidir.

Bazen hala geçerli :)

Bir daireye teğet kavramı

Dairenin düz çizgiye göre üç olası karşılıklı konumu vardır:

Dairenin merkezinden çizgiye olan mesafe yarıçaptan daha azsa, çizginin daireyle iki kesişme noktası vardır.

Dairenin merkezinden çizgiye olan mesafe yarıçapa eşitse, çizginin daireyle iki kesişme noktası vardır.

Dairenin merkezinden düz çizgiye olan mesafe yarıçaptan büyükse, düz çizginin daire ile iki kesişme noktası vardır.

Şimdi bir çembere teğet çizgi kavramını tanıtıyoruz.

tanım 1

Bir daireye teğet, kendisiyle bir kesişme noktası olan düz bir çizgidir.

Çemberin ve teğetin ortak noktasına teğet noktası denir (Şekil 1).

Şekil 1. Bir daireye teğet

Çembere teğet kavramı ile ilgili teoremler

Teorem 1

Teğet özellik teoremi: Çemberin teğeti, teğet noktasına çizilen yarıçapa diktir.

Kanıt.

$O$ merkezli bir daire düşünün. $A$ noktasında $a$ tanjantını çizelim. $OA=r$ (Şekil 2).

$a\bot r$ olduğunu kanıtlayalım

Teoremi "çelişkiyle" yöntemiyle kanıtlayacağız. $a$ tanjantının çemberin yarıçapına dik olmadığını varsayalım.

Şekil 2. Teorem 1'in Çizimi

Yani, $OA$ bir teğete eğiktir. $a$ doğrusuna dik olan her zaman aynı doğrunun eğiminden küçük olduğundan, dairenin merkezinden doğruya olan uzaklık yarıçaptan küçüktür. Bildiğimiz gibi, bu durumda doğrunun çemberle iki kesişme noktası vardır. Hangi bir teğet tanımıyla çelişir.

Bu nedenle, teğet dairenin yarıçapına diktir.

Teorem kanıtlanmıştır.

Teorem 2

Tanjant özellik teoreminin tersi: Bir dairenin yarıçapının ucundan geçen doğru yarıçapa dik ise bu doğru bu daireye teğettir.

Kanıt.

Problemin durumuna göre yarıçap, çemberin merkezinden verilen doğruya çizilen bir diktir. Bu nedenle, dairenin merkezinden düz çizgiye olan mesafe, yarıçapın uzunluğuna eşittir. Bildiğimiz gibi, bu durumda dairenin bu doğru ile sadece bir kesişme noktası vardır. Tanım 1'e göre, verilen doğrunun çembere teğet olduğunu anlarız.

Teorem kanıtlanmıştır.

Teorem 3

Çembere bir noktadan çizilen teğetlerin parçaları eşittir ve bu noktadan geçen doğru ile çemberin merkezinden geçen doğruya eşit açı yapar.

Kanıt.

$O$ merkezli bir çember olsun. $A$ noktasından (tüm çemberler üzerinde yer alan) iki farklı teğet çizilir. Sırasıyla $B$ ve $C$ temas noktasından (Şekil 3).

$\angle BAO=\angle CAO$ ve $AB=AC$ olduğunu kanıtlayalım.

Şekil 3. Teorem 3'ün Çizimi

Teorem 1'e göre, elimizde:

Bu nedenle, $ABO$ ve $ACO$ üçgenleri dik üçgenlerdir. $OB=OC=r$ ve hipotenüs $OA$ ortak olduğundan, bu üçgenler hipotenüs ve bacakta eşittir.

Böylece $\angle BAO=\angle CAO$ ve $AB=AC$ elde ederiz.

Teorem kanıtlanmıştır.

Bir daireye teğet kavramı üzerine bir görev örneği

örnek 1

$O$ merkezli ve $r=3\ cm$ yarıçaplı bir daire verildi. $AC$ tanjantının $C$ teğet noktası vardır. $AO=4\cm$. $AC$ bulun.

Çözüm.

İlk olarak, şekildeki her şeyi gösterelim (Şekil 4).

Şekil 4

$AC$ bir tanjant ve $OC$ bir yarıçap olduğundan, Teorem 1'e göre $\angle ACO=(90)^(()^\circ )$ elde ederiz. $ACO$ üçgeninin dikdörtgen olduğu ortaya çıktı, bu da Pisagor teoremine göre şu anlama gelir:

\[(AC)^2=(AO)^2+r^2\] \[(AC)^2=16+9\] \[(AC)^2=25\] \

\[(\Büyük(\text(Merkezi ve Yazılı Açılar)))\]

Tanımlar

Merkez açı, köşesi dairenin merkezinde bulunan bir açıdır.

Yazılı bir açı, köşesi daire üzerinde bulunan bir açıdır.

Bir dairenin yayının derece ölçüsü, üzerine oturan merkez açının derece ölçüsüdür.

teorem

Bir yazılı açının ölçüsü, kestiği yayın ölçüsünün yarısıdır.

Kanıt

Kanıtlamayı iki aşamada gerçekleştireceğiz: ilk olarak, yazılı açının kenarlarından birinin bir çap içerdiği durum için ifadenin geçerliliğini kanıtlıyoruz. $B$ noktası yazılı açının $ABC$ tepe noktası ve $BC$ dairenin çapı olsun:

$AOB$ üçgeni ikizkenardır, $AO = OB$ , $\angle AOC$ dıştadır, o zaman $\Açı AOC = \Açı OAB + \Açı ABO = 2\ABC açısı$, nerede $\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)$.

Şimdi keyfi bir yazılı açı $ABC$ düşünün. Yazılı açının tepe noktasından daire çapını $BD$ çizin. İki durum mümkündür:

1) çap, açıyı iki açıya böler $\angle ABD, \angle CBD$ (ki bu teoremlerin her biri için yukarıda kanıtlandığı gibi doğrudur, dolayısıyla bunların toplamı olan orijinal açı için de geçerlidir) iki ve bu nedenle, yaslandıkları yayların toplamının yarısına, yani yaslandığı yayın yarısına eşittir). Pirinç. bir.

2) çap, açıyı iki açıya bölmedi, o zaman iki yeni yazılı açımız var $\angle ABD, \angle CBD$ , hangi tarafı çapı içerir, bu nedenle, teorem onlar için doğrudur, o zaman orijinal açı için de geçerlidir (bu, bu iki açının farkına eşittir, yani üzerinde durduğu yayların yarı farkına eşittir, yani üzerinde durduğu yayın yarısına eşittir). dinlenir). Pirinç. 2.

Sonuçlar

1. Aynı yaya göre yazılı açılar eşittir.

2. Yarım daireye dayalı bir yazılı açı dik açıdır.

3. Bir iç açı, aynı yaya göre merkez açının yarısına eşittir.

\[(\Büyük(\text(Çembere teğet)))\]

Tanımlar

Üç tip var göreceli konum düz çizgi ve daire:

1) $a$ doğrusu çemberi iki noktada kesiyor. Böyle bir çizgiye sekant denir. Bu durumda, dairenin merkezinden düz çizgiye $d$ uzaklığı, dairenin yarıçapından $R$ küçüktür (Şekil 3).

2) $b$ doğrusu çemberi bir noktada kesiyor. Böyle bir düz çizgiye teğet denir ve ortak noktalarına $B$ teğet noktası denir. Bu durumda $d=R$ (Şekil 4).

teorem

1. Çemberin teğeti, temas noktasına çizilen yarıçapa diktir.

2. Doğru, çemberin yarıçapının ucundan geçiyorsa ve bu yarıçapa dik ise çembere teğettir.

Sonuçlar

Bir noktadan çembere çizilen teğetlerin parçaları eşittir.

Kanıt

$K$ noktasından daireye iki teğet $KA$ ve $KB$ çizin:

Yani $OA\perp KA, OB\perp KB$ yarıçap olarak. Sağ üçgenler $\triangle KAO$ ve $\triangle KBO$ bacak ve hipotenüs açısından eşittir, dolayısıyla $KA=KB$ .

Sonuçlar

$O$ çemberinin merkezi, aynı $K$ noktasından çizilen iki teğetin oluşturduğu $AKB$ açısının açıortayı üzerindedir.

\[(\Large(\text(Açılarla ilgili teoremler)))\]

Sekantlar arasındaki açı ile ilgili teorem

Aynı noktadan çizilen iki kesen arasındaki açı, kestikleri daha büyük ve daha küçük yayların derece ölçülerinin yarısına eşittir.

Kanıt

$M$ şekilde gösterildiği gibi iki sekantın çizildiği bir nokta olsun:

bunu gösterelim $\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))$.

$\angle DAB$, $MAD$ üçgeninin dış köşesidir, o zaman $\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA$, nerede $\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA$, ancak $\angle DAB$ ve $\angle MDA$ açıları yazılır, o zaman $\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))$, kanıtlanacaktı.

Kesişen akorlar arasındaki açı teoremi

Kesişen iki kiriş arasındaki açı, kestikleri yayların derece ölçülerinin toplamının yarısına eşittir: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

Kanıt

$\angle BMA = \angle CMD$ dikey olarak.

$AMD$ üçgeninden : $\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)$.

Fakat $\ AMD açısı = 180^\circ - \açı CMD$, nereden sonuca varıyoruz \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ gülümse\üzer(CD)).\]

Bir kiriş ve bir teğet arasındaki açı ile ilgili teorem

Teğet noktasından geçen kiriş ile teğet arasındaki açı, kiriş tarafından çıkarılan yayın derece ölçüsünün yarısına eşittir.

Kanıt

$a$ doğrusu daireye $A$ noktasında temas etsin, $AB$ bu dairenin kirişi olsun, $O$ merkezi olsun. $OB$ içeren doğrunun $M$ noktasında $a$ ile kesişmesine izin verin. bunu kanıtlayalım $\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)$.

$\angle OAB = \alpha$ belirtin. $OA$ ve $OB$ yarıçap olduğundan, $OA = OB$ ve $\angle OBA = \angle OAB = \alpha$. Böylece, $\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)$.

$OA$ teğet noktasına çizilen yarıçap olduğundan, o zaman $OA\perp a$ , yani $\angle OAM = 90^\circ$ , bu nedenle, $\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)$.

Eşit kirişlerle daraltılmış yaylar üzerine teorem

Eşit kirişler, eşit yayları, daha küçük yarım daireleri temsil eder.

Ve tam tersi: eşit yaylar, eşit kirişler tarafından daraltılır.

Kanıt

1) $AB=CD$ olsun. Yayın daha küçük yarım dairelerinin olduğunu kanıtlayalım.

Üç tarafta, bu nedenle $\angle AOB=\angle COD$ . Ama o zamandan beri $\açı AOB, \açı KOD$ - merkezi köşeler yaylara dayalı $\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)$ sırasıyla $\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)$.

2) Eğer $\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)$, sonra $\üçgen AOB=\üçgen KOİ$ iki kenar boyunca $AO=BO=CO=DO$ ve aralarındaki açı $\angle AOB=\angle COD$ . Bu nedenle, $AB=CD$ .

teorem

Bir yarıçap bir kirişi ikiye bölüyorsa, ona diktir.

Bunun tersi de doğrudur: yarıçap kirişe dik ise, kesişme noktası onu ikiye böler.

Kanıt

1) $AN=NB$ olsun. $OQ\perp AB$ olduğunu ispatlayalım.

$\triangle AOB$ düşünün: ikizkenardır, çünkü $OA=OB$ – daire yarıçapı. Çünkü $ON$ tabana çizilen medyandır, o zaman aynı zamanda yüksekliktir, dolayısıyla $ON\perp AB$ .

2) $OQ\perp AB$ olsun. $AN=NB$ olduğunu ispatlayalım.

Benzer şekilde, $\triangle AOB$ ikizkenardır, $ON$ yüksekliktir, dolayısıyla $ON$ medyandır. Bu nedenle, $AN=NB$ .

\[(\Large(\text(Segmentlerin uzunlukları ile ilgili teoremler)))\]

Akor bölümlerinin çarpımı üzerine teorem

Bir dairenin iki kirişi kesişiyorsa, bir kirişin bölümlerinin çarpımı, diğer kirişin bölümlerinin çarpımına eşittir.

Kanıt

$AB$ ve $CD$ akorları $E$ noktasında kesişsin.

$ADE$ ve $CBE$ üçgenlerini düşünün. Bu üçgenlerde, $1$ ve $2$ açıları eşittir, çünkü bunlar yazılıdır ve aynı yaya $BD$ ve $3$ ve $4$ açılarına dayanır. dikey olarak eşittir. $ADE$ ve $CBE$ üçgenleri benzerdir (ilk üçgen benzerlik kriterine göre).

O zamanlar $\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)$, nereden $AE\cdot BE = CE\cdot DE$ .

Tanjant ve sekant teoremi

Bir teğet parçasının karesi, kesen ve dış kısmının çarpımına eşittir.

Kanıt

Teğetin $M$ noktasından geçmesine ve $A$ noktasındaki daireye dokunmasına izin verin. Kesen $M$ noktasından geçsin ve daireyi $B$ ve $C$ noktalarında kessin, böylece $MB)< MC$ . Покажем, что $MB\cdot MC = MA^2$ .

$MBA$ ve $MCA$ üçgenlerini göz önünde bulundurun: $\angle M$ geneldir, $\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)$. Teğet ve sekant arasındaki açı teoremine göre, $\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA$. Böylece, $MBA$ ve $MCA$ üçgenleri iki açıdan benzerdir.

$MBA$ ve $MCA$ üçgenlerinin benzerliğinden şunu elde ederiz: $\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)$$MB\cdot MC = MA^2$ ile eşdeğerdir.

Sonuçlar

$O$ noktasından çizilen kesenin çarpımı ve dış kısmı, $O$ noktasından çizilen kesenin seçimine bağlı değildir.

Düz bir çizgi ve bir dairenin karşılıklı düzenlenmesi durumlarını hatırlayalım.

O merkezli ve r yarıçaplı bir daire verildi. P çizgisi, merkezden çizgiye olan mesafe, yani dikey OM, d'ye eşittir.

Dava 1- dairenin merkezinden düz çizgiye olan mesafe dairenin yarıçapından daha azdır:

d mesafesinin r çemberinin yarıçapından küçük olduğu durumda, doğrunun ve çemberin sadece iki ortak noktası olduğunu kanıtladık (Şekil 1).

Pirinç. 1. Vaka 1 çizimi

ikinci durum- dairenin merkezinden düz çizgiye olan mesafe, dairenin yarıçapına eşittir:

Bu durumda ortak noktanın benzersiz olduğunu kanıtladık (Şekil 2).

Pirinç. 2. Vaka 2 çizimi

Durum 3- dairenin merkezinden düz çizgiye olan mesafe dairenin yarıçapından daha büyüktür:

Bu durumda çember ve doğrunun ortak noktalarının olmadığını kanıtladık (Şekil 3).

Pirinç. 3. Vaka 3 çizimi

Bu derste, doğru ve çemberin tek bir ortak noktaya sahip olduğu ikinci durumla ilgileniyoruz.

Tanım:

Bir daire ile tek bir ortak noktası olan bir doğruya daireye teğet denir, ortak bir noktaya doğru ile daire arasındaki temas noktası denir.

Düz çizgi p bir teğettir, A noktası temas noktasıdır (Şekil 4).

Pirinç. 4. teğet

teorem:

Çemberin teğeti, temas noktasına çizilen yarıçapa diktir (Şekil 5).

Pirinç. 5. Teoremin gösterimi

Kanıt:

Aksine, OA p düz çizgisine dik olmasın. Bu durumda, O noktasından çemberin merkezinden doğruya olan uzaklık olacak olan p doğrusuna dik açıyı bırakalım:

Bir dik üçgenden, hipotenüsün OH'nin OA ayağından daha küçük olduğunu söyleyebiliriz, yani çizgi ve dairenin iki ortak noktası vardır, p çizgisi bir sekanttır. Böylece, teoremin kanıtlandığı anlamına gelen bir çelişki elde ettik.

Pirinç. 6. Teoremin gösterimi

Ters teoremi de doğrudur.

teorem:

Bir daire üzerinde bulunan bir yarıçapın ucundan geçen bir doğru, bu yarıçapa dik ise, bu bir teğettir.

Kanıt:

Doğru, yarıçapa dik olduğundan, OA mesafesi, doğrudan dairenin merkezine olan mesafedir ve yarıçapa eşittir: . Yani ve bu durumda, daha önce tartıştığımız gibi, çizgi ve dairenin tek ortak noktası vardır - bu A noktasıdır, dolayısıyla p çizgisi tanım gereği daireye teğettir (Şekil 7).

Pirinç. 7. Teoremin gösterimi

Doğrudan ve ters teoremler aşağıdaki gibi birleştirilebilir (Şekil 8):

O merkezli, p düz çizgisi, OA yarıçaplı bir daire verildiğinde

Pirinç. 8. Teoremin gösterimi

teorem:

Bir doğru, ancak ve ancak temas noktasına çizilen yarıçap ona dik ise, bir daireye teğettir.

Bu teorem, eğer çizgi teğet ise, o zaman temas noktasına çizilen yarıçapın ona dik olduğu ve bunun tersi, OA ve p'nin dikliğinden p'nin teğet olduğu, yani çizgi ve daire olduğu anlamına gelir. tek bir ortak nokta var.

Çembere aynı noktadan çizilen iki teğet düşünün.

teorem:

Bir noktadan çizilen çembere teğet parçaları eşittir ve bu noktadan ve çemberin merkezinden çizilen düz bir çizgi ile eşit açılar yaparlar.

Verilen bir daire, O merkezi, A noktası dairenin dışında. A noktasından iki teğet çizilir, B ve C noktaları teğet noktalardır. Bunu ve 3 ve 4 açılarının eşit olduğunu kanıtlamak gerekir.

Pirinç. 9. Teoremin gösterimi

Kanıt:

Kanıt, üçgenlerin eşitliğine dayanmaktadır. . Üçgenlerin eşitliğini açıklayınız. Temas noktasına çizilen yarıçap teğete dik olduğu için dikdörtgendirler. Bu nedenle, açılar ve açıları doğru ve eşittir. OB ve OS bacakları dairenin yarıçapı olduğu için eşittir. Hipotenüs AO - yaygın.

Böylece üçgenler, bacak ve hipotenüsün eşitliği açısından eşittir. Buradan AB ve AC bacaklarının da eşit olduğu açıktır. Ayrıca, eşit kenarların karşısındaki açılar eşittir, yani açılar ve , eşittir.

Teorem kanıtlanmıştır.

Böylece, bir daireye teğet kavramı ile tanıştık, bir sonraki derste bir dairenin yayının derece ölçüsünü ele alacağız.

bibliyografya

Aleksandrov A.D. vb. Geometri 8. Sınıf. - E.: Eğitim, 2006.
Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri 8. - M.: Aydınlanma, 2011.
Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri 8. sınıf. - E.: VENTANA-GRAF, 2009.

Univer.omsk.su ().
Oldskola1.narod.ru ().
School6.aviel.ru ().

Ev ödevi

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. ve diğerleri, Geometry 7-9, no 634-637, s. 168.

puan $x_0\in \mathbb(R)$ , ve içinde türevlenebilir: $f \in \matematik(D)(x_0)$ . Bir fonksiyonun grafiğine teğet $f$ noktada $x_0$ denklem tarafından verilen doğrusal bir fonksiyonun grafiği olarak adlandırılır. $y = f(x_0) + f"(x_0)(x-x_0),\quad x\in \mathbb(R)$ .

eğer fonksiyon

f

noktada var

x_0

sonsuz türev

f"(x_0) = \pm\infty,

o zaman bu noktadaki teğet çizgi denklem tarafından verilen dikey çizgidir.

x = x_0.

Yorum

Teğet doğrunun grafiğinin noktadan geçtiği tanımdan doğrudan çıkar. $(x_0,f(x_0))$ . Köşe $\alfa$ eğriye teğet ile x ekseni arasındaki denklemi sağlar

$\operatöradı(tg)\,\alpha = f"(x_0)=k,$

nerede $\operatöradı(tg)$ teğet anlamına gelir ve $\operatöradı (k)$ - teğet eğim katsayısı. Bir noktada türev $x_0$ eşittir açısal katsayı fonksiyonun grafiğine teğet $y = f(x)$ bu noktada.

Bir sekantın sınırlayıcı konumu olarak teğet

İzin vermek $f\kolon U(x_0) \to \R$ ve $x_1\in U(x_0).$ Sonra noktalardan geçen düz bir çizgi $(x_0,f(x_0))$ ve $(x_1,f(x_1))$ denklem tarafından verilen

$y = f(x_0) + \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0)(x-x_0).$

Bu çizgi noktadan geçer $(x_0,f(x_0))$ herkes için $x_1\in U(x_0),$ ve eğim açısı $\alfa(x_1)$ denklemi sağlar

$\operatöradı(tg)\,\alpha(x_1) = \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0).$

Fonksiyonun türevinin varlığından dolayı $f$ noktada $x_0,$ sınırına kadar geçen $x_1\to x_0,$ bir sınır olduğunu anladık

$\lim\limits_(x_1 \to x_0) \operatöradı(tg)\,\alpha(x_1) = f"(x_0),$

ve ark tanjantının sürekliliği ve sınır açısı nedeniyle

$\alpha = \operatöradı(arctg)\,f"(x_0).$

Bir noktadan geçen bir çizgi $(x_0,f(x_0))$ ve tatmin edici bir limit eğim açısına sahip olmak $\operatöradı(tg)\,\alpha = f"(x_0),$ teğet denklemi ile verilir:

$y \u003d f (x_0) + f "(x_0) (x-x_0).$

daireye teğet

Çemberle bir ortak noktası olan ve çemberle aynı düzlemde bulunan doğruya çemberin teğeti denir.

Özellikleri

Çemberin teğeti, temas noktasına çizilen yarıçapa diktir.
Çembere bir noktadan çizilen teğetlerin parçaları eşittir ve bu noktadan geçen doğru ile çemberin merkezinden geçen doğru ile eşit açı yapar.
Birim yarıçaplı bir çembere çizilen teğetin parçasının, teğet noktası ile çemberin merkezinden çizilen ışın ile teğetin kesişme noktası arasında alınan parçasının uzunluğu, bu ışın arasındaki açının tanjantıdır. ve dairenin merkezinden teğet noktasına kadar olan yön. Latince "Tangenler". teğetler- "teğet".

Varyasyonlar ve Genellemeler

Tek taraflı yarı teğetler

Doğru türev varsa $f"_+(x_0)< \infty,$ sonra sağ yarı tanjant fonksiyonun grafiğine $f$ noktada $x_0$ ışın denilen

y = f(x_0) + f"_+(x_0)(x - x_0),\quad x \geqslant x_0.

sol türev varsa $f"_-(x_0)< \infty,$ sonra sol yarı tanjant fonksiyonun grafiğine $f$ noktada $x_0$ ışın denilen

y = f(x_0) + f"_-(x_0)(x - x_0),\quad x \leqslant x_0.

Sonsuz doğru türev varsa $f"_+(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ $f$ noktada $x_0$ ışın denilen

x = x_0, \;  y \geqslant f(x_0)\;  (y\leqslant f(x_0)).

Sonsuz bir sol türev varsa $f"_-(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ sonra fonksiyonun grafiğine sağ yarı teğet $f$ noktada $x_0$ ışın denilen

x = x_0, \;  y \leqslant f(x_0)\;  (y\geqslant f(x_0)).

Ayrıca bakınız

Normal, çift normal

"Tanjant Çizgisi" makalesi hakkında bir inceleme yazın

Edebiyat

Toponogov V.A. Eğrilerin ve yüzeylerin diferansiyel geometrisi. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135.
// Brockhaus ve Efron Ansiklopedik Sözlüğü: 86 ciltte (82 cilt ve 4 ek). - St.Petersburg. , 1890-1907.

Teğet çizgiyi karakterize eden bir alıntı

- Yerlerde! - Pierre'in etrafında toplanan askerlere genç bir subay bağırdı. Görünüşe göre bu genç subay, görevini birinci veya ikinci kez yerine getirdi ve bu nedenle hem askerlere hem de komutana özel bir farklılık ve tekdüzelikle davrandı.
Topların ve tüfeklerin düzensiz ateşlenmesi, özellikle Bagration'ın flaşlarının olduğu solda, tüm sahada yoğunlaştı, ancak Pierre'in bulunduğu yerden gelen atışların dumanı nedeniyle hiçbir şey görmek neredeyse imkansızdı. Dahası, pilde olan bir aile (diğerlerinden ayrılmış) çemberinin olduğu gibi, Pierre'in tüm dikkatini nasıl çektiğine dair gözlemler. Savaş alanının görüntü ve seslerinin yarattığı bilinçsizce neşeli ilk heyecanının yerini, özellikle çayırda yatan bu yalnız askeri gördükten sonra, şimdi başka bir duygu aldı. Şimdi hendeğin yamacına oturmuş, etrafındaki yüzleri izliyordu.
Saat ona doğru, yirmi kişi bataryadan çoktan taşınmıştı; iki silah kırıldı, gittikçe daha fazla mermi bataryaya çarptı ve uçtu, vızıldayarak ve ıslık çalarak, uzun menzilli mermiler. Ancak pili kullananlar bunu fark etmemiş gibiydi; neşeli sohbetler ve şakalar her taraftan duyuldu.
-Çinenko! - asker yaklaşan ıslık bombasına bağırdı. - Burada değil! Piyadeye! - bir başkası gülerek ekledi, el bombasının uçtuğunu ve kapağın saflarına çarptığını fark etti.
- Ne arkadaş? - uçan güllenin altında çömelmiş köylüye başka bir asker güldü.
Birkaç asker surda toplanmış, ileride neler olduğuna bakıyorlardı.
"Ve zinciri çıkardılar, görüyorsun, geri döndüler" dediler, şaftı işaret ederek.
Eski astsubay onlara, "İşinize bakın," diye bağırdı. - Geri döndüler, yani iş var. - Ve astsubay, askerlerden birini omzundan tutarak onu diziyle itti. Kahkaha duyuldu.
- Beşinci silaha geçin! diye bağırdı bir yandan.
Silah değiştirenlerin neşeli çığlıkları, “Birlikte, daha dostane bir şekilde burlatskide” duyuldu.
Kızıl suratlı şakacı dişlerini göstererek Pierre'e “Evet, neredeyse efendimizin şapkasını düşürüyordum” dedi. "Ah, beceriksiz," diye sitem edercesine, bir adamın tekerleğine ve bacağına düşen topa ekledi.
- Sizi tilkiler! bir diğeri, yaralılar için bataryaya giren kıvranan milislere güldü.
- Al lezzetli yulaf lapası değil mi? Ah, kargalar, sallandı! - Bacağı kopmuş bir askerin önünde tereddüt eden milislere bağırdılar.
"Onun gibi bir şey küçüğüm," diye taklit etti köylüler. - Tutkudan hoşlanmazlar.
Pierre, isabet eden her atıştan sonra, her kayıptan sonra genel bir canlanmanın nasıl daha da alevlendiğini fark etti.
İlerleyen bir gök gürültüsü bulutundan olduğu gibi, tüm bu insanların yüzlerinde giderek daha parlak ve daha parlak parladı (sanki ne olup bittiğine karşı) gizli, alev alev yanan şimşekler.
Pierre savaş alanında ileriye bakmadı ve orada neler olduğunu bilmekle ilgilenmiyordu: ruhunda aynı şekilde (hissettiği) alevlenen bu, giderek daha fazla yanan ateşi düşünmeye tamamen daldı.
Saat onda, çalıların arasında ve Kamenka Nehri boyunca bataryanın önünde olan piyade askerleri geri çekildi. Bataryadan, yaralıları silahlarında taşıyarak nasıl geriye doğru koştukları görülüyordu. Bir general, maiyetiyle birlikte tümseğe girdi ve albayla konuştuktan sonra, Pierre'e öfkeyle bakarak tekrar aşağı indi ve bataryanın arkasında duran piyade muhafazasının atışlara daha az maruz kalması için uzanmasını emretti. Bunu takiben, piyade saflarında, pilin sağında bir davul, komuta sesleri duyuldu ve pilden piyade saflarının nasıl ilerlediği açıktı.
Pierre şaftın üzerinden baktı. Özellikle bir yüz dikkatini çekti. Solgun genç yüzlü bir subaydı, elinde indirilmiş bir kılıçla geriye doğru yürüyen ve huzursuzca etrafına bakınan bir subaydı.
Piyade askerlerinin safları dumanın içinde kayboldu, uzun çığlıkları ve sık sık silah atışları duyuldu. Birkaç dakika sonra oradan yaralılar ve sedyeler geçti. Mermiler bataryaya daha sık çarpmaya başladı. Birkaç kişi kirli yatıyordu. Topların yakınında askerler daha yoğun ve daha canlı hareket ettiler. Artık kimse Pierre'e dikkat etmiyordu. Bir veya iki kez yolda olduğu için öfkeyle bağırdı. Kıdemli subay, kaşlarını çatarak büyük, hızlı adımlarla bir silahtan diğerine geçti. Genç subay daha da kızardı, askerlere daha da gayretle emir verdi. Askerler ateş ettiler, döndüler, yüklediler ve yoğun bir gösterişle işlerini yaptılar. Yaylar üzerindeymiş gibi yol boyunca zıpladılar.