Daire- belirli bir noktadan belirli bir mesafede bulunan düzlemin tüm noktalarından oluşan geometrik bir şekil.

Bu noktaya (O) denir. daire merkezi.
Daire yarıçapı merkezini daire üzerindeki bir noktaya bağlayan bir doğru parçası. Tüm yarıçaplar aynı uzunluğa sahiptir (tanım gereği).
akor Bir daire üzerinde iki noktayı birleştiren doğru parçası. Çemberin merkezinden geçen kirişe denir. çap. Bir dairenin merkezi, herhangi bir çapın orta noktasıdır.
Çember üzerindeki herhangi iki nokta onu iki parçaya böler. Bu parçaların her birine denir dairesel yay. ark denir yarım daire uçlarını birleştiren segment bir çap ise.
Birim yarım dairenin uzunluğu ile gösterilir π .
Uçları ortak olan iki dairesel yayın derece ölçülerinin toplamı 360º.
Düzlemin bir daire ile sınırlandırılmış kısmına denir. etrafında.
dairesel sektör- bir yay ile sınırlanmış bir daire parçası ve yayın uçlarını dairenin merkezine bağlayan iki yarıçap. Sektörü sınırlayan yaya denir sektör yayı.
Merkezi ortak olan iki çembere denir eş merkezli.
Dik açıyla kesişen iki çembere denir dikey.

Düz bir çizgi ve bir dairenin karşılıklı düzenlenmesi

1. Dairenin merkezinden düz çizgiye olan mesafe dairenin yarıçapından küçükse ( d) o zaman doğru ve dairenin iki ortak noktası vardır. Bu durumda, hat denir sekant daire ile ilgili olarak.
2. Dairenin merkezinden çizgiye olan uzaklık dairenin yarıçapına eşitse, bu durumda doğru ve dairenin tek bir ortak noktası vardır. Böyle bir çizgi denir daireye teğet, ve ortak noktalarına denir bir çizgi ve bir daire arasındaki temas noktası.
3. Çemberin merkezinden çizgiye olan mesafe dairenin yarıçapından büyükse, o zaman doğru ve daire ortak noktaları yok
.

Merkezi ve yazılı açılar

Orta köşe köşesi dairenin merkezinde olan açıdır.
yazılı açı Köşesi çember üzerinde olan ve kenarları çemberi kesen açı.

Yazılı açı teoremi

Yazılı bir açı, kestiği yayın yarısı ile ölçülür.

• Sonuç 1.
  Aynı yayı izleyen yazılı açılar eşittir.


• Sonuç 2.
  Yarım daireyi kesen bir yazılı açı dik açıdır.

Kesişen akorların bölümlerinin çarpımı üzerine teorem.

Bir dairenin iki kirişi kesişiyorsa, bir kirişin bölümlerinin çarpımı, diğer kirişin bölümlerinin çarpımına eşittir.

Temel Formüller

• Çevre:

• Yay uzunluğu:

• Çap:

• Yay uzunluğu:

• Bir dairenin alanı:

• Dairesel sektör alanı:

daire denklemi

• Dikdörtgen koordinat sisteminde, yarıçaplı bir daire denklemi r bir noktaya odaklanmış C(x o; y o) şu şekildedir:

• Orijinde merkezlenmiş r yarıçaplı bir dairenin denklemi:

Önce daire ile daire arasındaki farkı anlayalım. Bu farkı görmek için her iki rakamın da ne olduğunu düşünmek yeterlidir. Bu, düzlemde tek bir merkezi noktadan eşit uzaklıkta bulunan sonsuz sayıda noktadır. Ama eğer çember aynı zamanda iç uzaydan oluşuyorsa çembere ait değildir. Bir dairenin hem onu ​​çevreleyen bir daire (o-daire (g)ness) hem de dairenin içinde bulunan sayılamayan sayıda nokta olduğu ortaya çıktı.

Daire üzerinde bulunan herhangi bir L noktası için OL=R eşitliği geçerlidir. (OL parçasının uzunluğu, dairenin yarıçapına eşittir).

Bir çember üzerinde iki noktayı birleştiren doğru parçası akor.

Bir çemberin merkezinden doğrudan geçen bir akor, çap bu daire (D) . Çap şu formül kullanılarak hesaplanabilir: D=2R

çevre formülle hesaplanır: C=2\pi R

Bir dairenin alanı: S=\pi R^(2)

bir dairenin yayı iki noktası arasında bulunan kısmına denir. Bu iki nokta bir dairenin iki yayını tanımlar. Akor CD'si iki yaydan oluşur: CMD ve CLD. Aynı akorlar aynı yaylara karşılık gelir.

Orta köşe iki yarıçap arasındaki açıdır.

yay uzunluğu formül kullanılarak bulunabilir:

1. Derece kullanma: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Bir radyan ölçüsü kullanma: CD = \alpha R

Kordona dik olan çap, kirişi ve yaydığı yayları ikiye böler.

Dairenin AB ve CD kirişleri N noktasında kesişiyorsa, N noktası ile ayrılan kirişlerin parçalarının ürünleri birbirine eşittir.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

daireye teğet

Bir daireye teğet Bir daire ile ortak bir noktası olan düz bir çizgiyi çağırmak gelenekseldir.

Bir doğrunun iki ortak noktası varsa buna denir. sekant.

Temas noktasında bir yarıçap çizerseniz, daireye teğet olana dik olacaktır.

Bu noktadan çemberimize iki teğet çizelim. Teğetlerin parçalarının birbirine eşit olacağı ve dairenin merkezinin bu noktada tepe noktası ile açının ortaortayı üzerinde yer alacağı ortaya çıktı.

AC=CB

Şimdi noktamızdan çembere bir teğet ve bir sekant çiziyoruz. Teğet segmentinin uzunluğunun karesinin, tüm sekant segmentinin dış kısmı ile ürününe eşit olacağını elde ederiz.

AC^(2) = CD \cdot BC

Şu sonuca varabiliriz: birinci sekantın bir tamsayı parçasının dış kısmı ile çarpımı, ikinci sekantın bir tamsayı parçasının dış kısmı ile ürününe eşittir.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Bir dairedeki açılar

Merkez açının ve üzerinde durduğu yayın derece ölçüleri eşittir.

\açı KOİ = \cup CD = \alpha ^(\circ)

yazılı açı köşesi bir daire üzerinde olan ve kenarları kirişler içeren bir açıdır.

Bu yayın yarısına eşit olduğu için yayın boyutunu bilerek hesaplayabilirsiniz.

\açı AOB = 2 \açı ADB

Çapa göre, yazılı açı, düz.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Aynı yaya yaslanan yazılı açılar aynıdır.

Aynı kirişe dayanan yazılı açılar aynıdır veya toplamları 180^ (\circ)'ye eşittir.

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Aynı çember üzerinde, aynı açılara ve belirli bir tabana sahip üçgenlerin köşeleri vardır.

Köşesi daire içinde olan ve iki kiriş arasında bulunan bir açı, dairenin verilen ve dikey açıların içindeki yayların açısal büyüklüklerinin toplamının yarısına eşittir.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \sağ)

Köşesi dairenin dışında olan ve iki sekant arasında bulunan bir açı, bir dairenin açı içindeki yaylarının açısal büyüklüklerindeki farkın yarısına eşittir.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \sağ)

yazılı daire

yazılı daireçokgenin kenarlarına teğet bir dairedir.

Çokgenin açılarının açıortaylarının kesiştiği noktada merkezi bulunur.

Her poligonda bir daire yazılamaz.

Yazılı bir daireye sahip bir çokgenin alanı aşağıdaki formülle bulunur:

S = pr,

p çokgenin yarı çevresidir,

r, yazılı dairenin yarıçapıdır.

Yazılı dairenin yarıçapı şu şekildedir:

r = \frac(S)(p)

Çember dışbükey bir dörtgen içine yazılırsa, karşılıklı kenarların uzunluklarının toplamı aynı olacaktır. Ve bunun tersi: bir dışbükey dörtgen içinde bir daire çizilir, eğer içindeki karşılıklı kenarların uzunluklarının toplamları aynıysa.

AB+DC=AD+BC

Üçgenlerin herhangi birine bir daire çizmek mümkündür. Sadece bir tane. Şeklin iç açılarının açıortaylarının kesiştiği noktada, bu yazılı dairenin merkezi yer alacaktır.

Yazılı dairenin yarıçapı aşağıdaki formülle hesaplanır:

r = \frac(S)(p) ,

burada p = \frac(a + b + c)(2)

çevrelenmiş daire

Bir çokgenin her köşesinden bir daire geçiyorsa, böyle bir daireye denir. bir çokgenle çevrelenmiş.

Sınırlandırılmış dairenin merkezi, bu şeklin kenarlarının dik açıortaylarının kesişme noktasında olacaktır.

Yarıçap, çokgenin herhangi bir 3 köşesi tarafından tanımlanan bir üçgenin etrafını çevreleyen bir dairenin yarıçapı olarak hesaplanarak bulunabilir.

Şu koşul vardır: bir daire, ancak karşı açılarının toplamı 180^( \circ)'ye eşitse bir dörtgenin çevresine çizilebilir.

\açı A + \açı C = \açı B + \açı D = 180^ (\circ)

Herhangi bir üçgenin yanında bir daire ve sadece bir tane tanımlamak mümkündür. Böyle bir dairenin merkezi, üçgenin kenarlarının dik açıortaylarının kesiştiği noktada bulunacaktır.

Sınırlandırılmış dairenin yarıçapı aşağıdaki formüllerle hesaplanabilir:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4S)

a, b, c üçgenin kenar uzunluklarıdır,

S üçgenin alanıdır.

Ptolemy teoremi

Son olarak, Ptolemy'nin teoremini düşünün.

Ptolemy'nin teoremi, köşegenlerin çarpımının yazılı bir dörtgenin karşılıklı kenarlarının çarpımlarının toplamına özdeş olduğunu belirtir.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Bu makale, başarılı olmak için gereken minimum daire bilgilerini içerir. sınavı geçmek matematik.

çevre dairenin merkezi olarak adlandırılan belirli bir noktadan aynı uzaklıkta bulunan noktalar kümesi olarak adlandırılır.

Daire üzerinde bulunan herhangi bir nokta için eşitlik geçerlidir (Segmentin uzunluğu dairenin yarıçapına eşittir.

Bir çember üzerinde iki noktayı birleştiren doğru parçasına denir akor.

Çemberin merkezinden geçen kirişe denir. çap daireler () .

Çevre:

Bir dairenin alanı:

Bir dairenin yayı:

Çemberin iki noktası arasında kalan kısmına denir. yay çevreler. Bir daire üzerindeki iki nokta iki yay tanımlar. Akor iki yaydan oluşur: ve . eşit akorlar eşit yayları bir araya getirin.

İki yarıçap arasındaki açıya denir orta köşe :

Yayın uzunluğunu bulmak için oranı oluşturuyoruz:

a) açı derece olarak verilmiştir:

b) açı radyan cinsinden verilmiştir:

Akora dik çap , bu akoru ve çıkardığı yayları ikiye böler:

Eğer bir akorlar ve çemberler bir noktada kesişir , o zaman bir noktaya bölündükleri akor bölümlerinin ürünleri birbirine eşittir:

Bir daireye teğet.

Çemberle ortak bir noktası olan doğruya denir teğetçembere. Çemberle iki ortak noktası olan doğruya denir sekant.

Çemberin teğeti, teğet noktasına çizilen yarıçapa diktir.

Verilen bir noktadan çembere iki teğet çizilirse, teğet segmentler birbirine eşittir ve dairenin merkezi, bu noktada tepe noktası ile açının açıortayı üzerinde bulunur:

Verilen bir noktadan çembere bir teğet ve bir kesen çizilirse, o zaman teğet segmentinin uzunluğunun karesi, tüm sekant segmentinin dış kısmı ile ürününe eşittir :

Sonuçlar: Bir sekantın tüm parçasının dış parçası ile çarpımı, diğer sekantın tüm parçasının dış parçası ile ürününe eşittir.:

Bir daire içinde açılar.

Bir merkez açının derece ölçüsü, üzerinde durduğu yayın derece ölçüsüne eşittir:

Köşesi çember üzerinde olan ve kenarlarında kirişler bulunan açıya denir. yazılı açı . Yazılı bir açı, kestiği yayın yarısı ile ölçülür:

∠∠

Bir çapa dayalı bir yazılı açı, bir dik açıdır:

∠∠∠

Aynı yayı izleyen yazılı açılar :

Aynı kirişe karşılık gelen yazılı açılar eşittir veya toplamları eşittir

∠∠

Tabanı belirli ve açıları eşit olan üçgenlerin köşeleri aynı çember üzerindedir:

İki akor arasındaki açı (köşenin dairenin içinde olduğu açı), verilen açının içinde ve dikey açının içinde bulunan dairenin yaylarının açısal büyüklüklerinin toplamının yarısına eşittir.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

İki sekant arasındaki açı (köşesi dairenin dışında olan açı), açının içinde kalan dairenin yaylarının açısal büyüklüklerinin yarı farkına eşittir.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Yazılı daire.

Çember denir çokgen içine yazılmış yanlarına dokunursa. Yazılı dairenin merkezi çokgenin açıortaylarının kesişme noktasında bulunur.

Her çokgen bir daire içine yazılamaz.

Bir daire içeren bir çokgenin alanı formül kullanılarak bulunabilir

burada çokgenin yarı çevresi, yazılı dairenin yarıçapı.

Buradan yazılı daire yarıçapı eşittir

Dışbükey bir dörtgen içine bir daire çizilirse, karşılıklı kenarların uzunlukları toplamı . Tersine, bir dışbükey dörtgende karşılıklı kenarların uzunluklarının toplamı eşitse, o zaman dörtgende bir daire yazılabilir:

Herhangi bir üçgen bir daire ile yazılabilir ve sadece bir tane. Yazılı dairenin merkezi, üçgenin iç açılarının açıortaylarının kesişme noktasında bulunur.

Yazılı daire yarıçapı eşittir . Burada

sınırlandırılmış daire.

Çember denir bir çokgenle çevrelenmiş çokgenin tüm köşelerinden geçerse. Sınırlandırılmış dairenin merkezi, çokgenin kenarlarının dik açıortaylarının kesişme noktasında bulunur. Yarıçap, verilen çokgenin herhangi üç köşesi tarafından tanımlanan bir üçgenin çevrelediği bir dairenin yarıçapı olarak hesaplanır:

Bir daire, ancak ve ancak karşı açılarının toplamı şuna eşitse, bir dörtgen etrafında çevrelenebilir. .

Herhangi bir üçgenin yanında bir daireyi tanımlamak mümkündür, ayrıca sadece bir tane. Merkezi, üçgenin kenarlarının dik açıortaylarının kesişme noktasında bulunur:

Sınırlı çemberin yarıçapı formüllerle hesaplanır:

Üçgenin kenarlarının uzunluğu nerede, alanıdır.

Ptolemy teoremi

Yazılı bir dörtgende köşegenlerin çarpımı, karşı kenarlarının çarpımlarının toplamına eşittir:

Ders: Daire ve daire

Daire tüm noktaları merkezden aynı uzaklıkta olan kapalı bir eğridir.

AT Gündelik YaşamÇemberi bir kereden fazla gördünüz. Akrep ve saniye ibresi ile tanımlanan budur, jimnastik çemberinin sahip olduğu dairenin şeklidir.

Şimdi bir kağıda bir daire çizdiğinizi ve onu süslemek istediğinizi hayal edin.

Yani bir daire ile sınırlanan tüm dekore edilmiş alan bir dairedir.

Merkez, çember üzerindeki tüm noktalardan eşit uzaklıkta olan noktadır. Bir dairenin merkezi ve bir daire O harfi ile gösterilir.

Yarıçap, merkezden daireye (R) olan mesafedir.

Çap, çemberin (d) tüm noktalarını birleştiren merkezden geçen bir çizgidir. Ayrıca, çap iki yarıçapa eşittir: d = 2R.

Bir kiriş, bir daire üzerindeki herhangi iki noktayı birleştiren bir çizgi parçasıdır. Çap, bir akorun özel bir durumudur.

Bir dairenin çevresini bulmak için aşağıdaki formülü kullanın:

ben=2 πR

Lütfen çevrenin ve alanın yalnızca verilen dairenin yarıçapına bağlı olduğunu unutmayın.

Bir dairenin alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

S=πR2 .

"Pi" sayısına dikkatinizi çekmek istiyorum. Bu değer sadece daire kullanılarak bulundu. Bunu yapmak için uzunluğu iki yarıçapa bölündü ve böylece "Pi" sayısı elde edildi.

Daire iki yarıçaplı bazı parçalara bölünürse, bu tür parçalara sektörler denir. Her sektörün kendi derece ölçüsü vardır - üzerinde bulunduğu yayın derece ölçüsü.

Bir yayın uzunluğunu bulmak için aşağıdaki formülü kullanmalısınız:

2. Bir radyan ölçüsü kullanarak:

Bir açının köşesi dairenin merkezine dayanıyorsa ve ışınları daireyi kesiyorsa, böyle bir açıya merkez denir.

Bazı iki akor bir noktada kesişiyorsa, bölümleri orantılıdır:

Ve bir daire - geometrik şekiller, birbirine bağlı. bir sınır çoklu çizgisi var (eğri) daire,

Tanım. Daire, her noktası dairenin merkezi olarak adlandırılan bir noktadan eşit uzaklıkta olan kapalı bir eğridir.

Bir daire oluşturmak için, dairenin merkezi olarak alınan rastgele bir O noktası seçilir ve bir pusula kullanılarak kapalı bir çizgi çizilir.

Dairenin merkezinin O noktası daire üzerindeki rastgele noktalara bağlanırsa, elde edilen tüm bölümler birbirine eşit olacaktır ve bu tür bölümlere yarıçap denir, kısaltılmış Latince küçük veya büyük harf"er" ( r veya R). Çemberde ne kadar nokta varsa o kadar yarıçap vardır.

Çemberin iki noktasını birleştiren ve merkezinden geçen doğru parçasına çap denir. Çap iki oluşur yarıçap aynı düz çizgide yatmak. Çap, Latince küçük veya büyük harf "de" ile gösterilir ( d veya D).

Kural. Çap daire ikisine eşittir yarıçap.

d = 2r
D=2R

Çevre formülle hesaplanır ve dairenin yarıçapına (çapına) bağlıdır. Formül, bir dairenin çevresinin çapından kaç kez daha büyük olduğunu gösteren ¶ sayısını içerir. ¶ sayısının sonsuz sayıda ondalık basamağı vardır. Hesaplamalar için kabul edilir ¶ = 3.14.

Bir dairenin çevresi Latince büyük harf "ce" ile gösterilir ( C). Bir dairenin çevresi çapıyla orantılıdır. Bir dairenin çevresini yarıçapına ve çapına göre hesaplama formülleri:

C = ¶d
C = 2r

• Örnekler
• Verilen: d = 100 cm.
• Çevresi: C=3.14*100cm=314cm
• Verilen: d = 25 mm.
• Çevre: C=2*3.14*25=157mm

Çemberin sekantı ve çemberin yayı

Herhangi bir kesen (düz çizgi) daireyi iki noktada keser ve onu iki yaya böler. Bir dairenin yayının boyutu, merkez ile kesen arasındaki mesafeye bağlıdır ve daire ile kesenin birinci kesişme noktasından ikinciye kadar kapalı bir eğri boyunca ölçülür.

yaylar daireler bölünmüş sekant kesen çapla örtüşmüyorsa büyük ve küçük, kesen dairenin çapı boyunca geçiyorsa iki eşit yaya.

Kesen dairenin merkezinden geçerse, daire ile kesişme noktaları arasında bulunan segmenti dairenin çapı veya dairenin en büyük kirişidir.

Kesen dairenin merkezinden ne kadar uzak olursa, dairenin daha küçük yayının derece ölçüsü o kadar küçük ve daha fazlası - dairenin daha büyük yayı ve sekantın adı verilen segmenti akor, sekant dairenin merkezinden uzaklaştıkça azalır.

Tanım. Bir daire, bir dairenin içinde kalan bir düzlemin parçasıdır.

Bir dairenin merkezi, yarıçapı, çapı aynı zamanda ilgili dairenin merkezi, yarıçapı ve çapıdır.

Daire bir düzlemin parçası olduğundan, parametrelerinden biri alandır.

Kural. Bir dairenin alanı ( S) yarıçapın karesinin çarpımına eşittir ( r2) numarasına ¶.

• Örnekler
• Verilen: r = 100 cm
• Bir dairenin alanı:
• S \u003d 3.14 * 100 cm * 100 cm \u003d 31.400 cm 2 ≈ 3m 2
• Verilen: d = 50 mm
• Bir dairenin alanı:
• S \u003d ¼ * 3.14 * 50 mm * 50 mm \u003d 1 963 mm 2 ≈ 20 cm 2

Bir daire içinde iki yarıçap çizilirse farklı noktalar daire, daha sonra dairenin iki parçası oluşur, bunlara denir sektörler. Bir daire içinde bir kiriş çizilirse, düzlemin yay ile kiriş arasındaki kısmına denir. daire segmenti.