(Yazının sonundaki 06/04/2017 tarihli ek bölüme dikkat ediniz.)

Muhasebe ve kontrol! 40 yaşın üzerindekiler, ülkemizde sosyalizm ve komünizmi inşa etme döneminden bu sloganı iyi hatırlamalıdır.

Ancak köklü bir muhasebe olmadan, toplumun herhangi bir sosyo-ekonomik oluşumunda ne ülkenin, ne bölgenin, ne işletmenin ne de hanenin etkin işleyişi mümkün değildir! Faaliyet ve geliştirme için tahminlerin ve planların hazırlanması için ilk verilere ihtiyaç vardır. Onları nereye götürmeli? Sadece bir güvenilir kaynak seninönceki dönemlerin istatistiksel muhasebe verileri.

Faaliyetlerinin sonuçlarını dikkate almak, bilgi toplamak ve kaydetmek, verileri işlemek ve analiz etmek, gelecekte doğru kararlar vermek için analiz sonuçlarını uygulamak, bence aklı başında her insan gerekir. birikimden başka bir şey değildir ve rasyonel kullanım onun hayat deneyimi. Önemli verilerin kaydını tutmazsanız, belirli bir süre zamanla onları unutacak ve tekrar bu konularla uğraşmaya başlayarak, ilk uğraştığınız zaman yaptığınız hataları tekrar yapacaksınız.

“5 yıl önce bu tür ürünlerden ayda 1000 adet ürettiğimizi hatırlıyorum ve şimdi 700'ü bile zor toplayabiliyoruz!” İstatistikleri açıyoruz ve 5 yıl önce 500 adet bile yapılmadığını görüyoruz...

“Aracınızın bir kilometresinin maliyeti ne kadardır? tüm maliyet?" İstatistikleri açıyoruz - 6 ruble / km. İş gezisi - 107 ruble. Bir buçuk kattan fazla taksiden (180 ruble) daha ucuz. Ve bir taksinin daha ucuz olduğu zamanlar vardı ...

“50 m yüksekliğinde köşeli bir iletişim kulesi için metal yapıların üretilmesi ne kadar sürer?” İstatistikleri açıyoruz - ve 5 dakika içinde cevap hazır ...

“Bir apartman dairesinde bir odayı yenilemek ne kadara mal olacak?” Eski rekorları yükseltiriz, geçmiş yıllarda enflasyon için bir düzeltme yaparız, en son malzemeleri piyasa fiyatından %10 daha ucuza aldığımızı hesaba katarız ve - tahmini maliyeti zaten biliyoruz ...

Kayıtlarınızın tutulması profesyonel aktivite, patronun sorusuna her zaman cevap vermeye hazır olacaksınız: “Ne zaman!!!???”. Hanehalkı kaydını tutmak, bugünden fazladan para kazanmak veya zorunlu olmayan harcamaları azaltmak için uygun önlemleri alarak gelecekteki büyük satın alımları, tatilleri ve diğer harcamaları planlamayı kolaylaştırır.

Bu yazıda, gelecek dönemleri tahmin etmede daha fazla kullanım için toplanan istatistiksel verilerin Excel'de nasıl işlenebileceğini göstermek için basit bir örnek kullanacağım.

Bir analitik fonksiyon ile istatistiksel verilerin Excel'de yaklaşıklığı.

Üretim sahası, sac ve profil metal ürünlerinden yapı metal yapıları üretmektedir. Site istikrarlı çalışıyor, siparişler aynı tipte, işçi sayısı biraz dalgalanıyor. Önceki 12 aya ait ürünlerin üretimine ve bu zaman dilimlerinde gruplara göre işlenen haddelenmiş metal miktarına ilişkin veriler bulunmaktadır: levhalar, I-kirişler, kanallar, köşebentler, yuvarlak borular, dikdörtgen kesitler, yuvarlak haddelenmiş ürünler. İlk verilerin ön analizinden sonra, metal yapıların toplam aylık çıktısının, siparişlerdeki açıların sayısına önemli ölçüde bağlı olduğu varsayımı ortaya çıktı. Bu varsayımı kontrol edelim.

Her şeyden önce, yaklaşıklık hakkında birkaç kelime. Bir yasa arayacağız - analitik bir işlev, yani bir işlev denklem tarafından verilen, diğerlerinden daha iyi olan, metal yapıların toplam çıktısının tamamlanan siparişlerdeki köşebentlerin sayısına bağımlılığını açıklar. Bu yaklaşıklıktır ve bulunan denklem, bir tablo şeklinde verilen orijinal fonksiyon için yaklaşıklık fonksiyonu olarak adlandırılır.

1. Excel'i açıyoruz ve kağıda istatistik verileri içeren bir tablo yerleştiriyoruz.

2. Ardından, X ekseni boyunca argüman değerlerini ayarladığımız bir dağılım grafiği oluşturuyor ve biçimlendiriyoruz - ton cinsinden işlenmiş köşe sayısı. Y ekseninde, orijinal işlevin değerlerini çiziyoruz - tablo tarafından verilen metal yapıların aylık toplam çıktısı.

3. Fareyi grafikteki herhangi bir noktanın üzerine getirin ve bağlam menüsünü çağırmak için sağ tıklayın (iyi arkadaşlarımdan birinin dediği gibi, bilmediğiniz bir programda çalışırken, ne yapacağınızı bilmiyorsanız, doğru -daha sık tıklayın ...). Açılır menüde "Trend çizgisi ekle ..." seçeneğini seçin.

4. Görünen "Trend çizgisi" penceresinde, "Tür" sekmesinde "Doğrusal" seçeneğini seçin.

6. Grafikte, tablo bağımlılığımıza yaklaşan düz bir çizgi belirdi.

Çizginin kendisine ek olarak, bu çizginin denklemini görüyoruz ve en önemlisi, R 2 parametresinin değerini görüyoruz - yaklaşıklık güvenilirliğinin büyüklüğü! Değeri 1'e ne kadar yakınsa, seçilen fonksiyon tablo verisine o kadar doğru yaklaşır!

7. Doğrusal bir eğilim çizgisi oluşturduğumuz gibi, güç, logaritmik, üstel ve polinom yaklaşımlarını kullanarak eğilim çizgileri oluşturuyoruz.

Seçilen tüm fonksiyonların ikinci dereceden en iyi polinomu verilerimize yaklaşır, maksimum güvenilirlik katsayısına sahiptir R 2 .

Ancak, sizi uyarmak istiyorum! Daha yüksek dereceli polinomlar alırsanız, muhtemelen daha da iyi sonuçlar alırsınız, ancak eğriler karmaşık görünecektir…. Burada bir fonksiyon aradığımızı anlamak önemlidir. fiziksel anlam. Ne anlama geliyor? Bu, yalnızca dikkate alınan X değerleri aralığında değil, aynı zamanda ötesinde de yeterli sonuçlar verecek, yani şu soruya cevap verecek yaklaşık bir fonksiyona ihtiyacımız olduğu anlamına gelir: Ayda işlenen açılar 45 tondan az ve 168 tondan fazladır! Bu nedenle, yüksek dereceli polinomlara kapılmanızı ve bir parabol (ikinci dereceden polinom) dikkatlice seçmenizi önermiyorum!

Bu nedenle, yalnızca tablo verilerini X = 45 ... 168 değerleri aralığında iyi bir şekilde enterpolasyon yapmakla kalmayıp, aynı zamanda bu aralığın dışında yeterli ekstrapolasyona izin veren bir fonksiyon seçmemiz gerekiyor. Bu durumda logaritmik bir fonksiyon seçiyorum, ancak en basiti olarak doğrusal olanı seçebilirsiniz. İncelenen örnekte, excel'de doğrusal bir yaklaşım seçerken, hatalar logaritmik olanı seçerken olduğundan daha büyük olacaktır, ancak çok fazla olmayacaktır.

8. Logaritmik fonksiyon hariç tüm trend çizgilerini grafik alanından kaldırıyoruz. Bunu yapmak için gereksiz satırlara sağ tıklayın ve açılır içerik menüsünden "Temizle" yi seçin.

9. Son olarak, tablo veri noktalarına hata çubukları ekliyoruz. Bunu yapmak için, grafikteki noktalardan herhangi birine sağ tıklayın ve içerik menüsünden "Format of data series ..." seçeneğini seçin ve aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi "Y-hataları" sekmesindeki verileri yapılandırın.

10. Daha sonra herhangi bir hata aralığı satırına sağ tıklıyoruz, içerik menüsünden "Hata çubuklarının biçimi ..." seçeneğini seçiyoruz ve "Görünüm" sekmesindeki "Hata çubuklarının biçimi" penceresinde, rengi ve kalınlığı ayarlıyoruz. çizgilerden.

Diğer tüm grafik nesneleri aynı şekilde biçimlendirilir.mükemmel!

Grafiğin nihai sonucu aşağıdaki ekran görüntüsünde sunulmaktadır.

Sonuçlar.

Önceki tüm eylemlerin sonucu, y=-172.01*ln (x)+1188.2 yaklaşık işlevi için elde edilen formüldü. Bunu ve aylık iş setindeki köşe sayısını bilerek, ay için toplam metal yapı üretimini tahmin etmek yüksek bir olasılıkla (±% 4 - hata çubuklarına bakınız) mümkündür! Örneğin, aylık planda 140 ton açı varsa, diğer her şey eşit olduğunda toplam çıktı büyük olasılıkla 338 ± 14 ton olacaktır.

Yaklaşımın güvenilirliğini artırmak için çok sayıda istatistiksel veri olmalıdır. On iki çift değer yeterli değil.

Uygulamadan, güvenilirlik katsayısı R 2 >0.87 olan bir yaklaşık fonksiyon bulmanın iyi bir sonuç olarak kabul edilmesi gerektiğini söyleyeceğim. Mükemmel sonuç - R 2 >0.94'te.

Pratikte, en önemli belirleyici faktörden birini (örneğimizde, bir ayda geri dönüştürülen virajların kütlesi) ayırt etmek zor olabilir, ancak denerseniz, her zaman belirli bir görevde bulabilirsiniz! Elbette, aylık toplam çıktı, oran belirleyicilerin ve diğer uzmanların dikkate alması gereken önemli işçilik maliyetlerini gerektiren yüzlerce faktöre bağlıdır. Sadece sonuç yine de yaklaşık olacaktır! Yani çok daha ucuz matematiksel modelleme varken maliyeti karşılamaya değer mi?

Bu yazıda istatistiksel verilerin toplanması, işlenmesi ve pratik kullanımı olarak adlandırılan buzdağının sadece görünen ucuna değindim. Başarılı olsam da olmasam da bu konuya ilginizi artırıyorum, makalenin arama motorlarındaki yorumlarından ve puanlarından ders almayı umuyorum.

Bir değişkenin fonksiyonunun yaklaşıklığı konusuna değinilen, yaşamın farklı alanlarında geniş bir pratik uygulamaya sahiptir. Ancak fonksiyona yaklaşma probleminin çözümü çok daha büyük bir uygulamaya sahiptir. birkaç bağımsız değişkenler…. Aşağıdaki blog yazılarında bu ve daha fazlasını okuyun.

Abone olmak her makalenin sonunda yer alan pencerede veya sayfanın üst kısmındaki pencerede makalelerin duyurularına ulaşabilirsiniz.

Unutma onaylamak linke tıklayarak üyelik belirtilen postada size gelecek bir mektupta (bir klasörde gelebilir) « İstenmeyen e-posta » )!!!

Yorumlarınızı ilgiyle okuyacağım, sevgili okuyucular! Yazmak!

not (06/04/2017)

Basit bir denklemle tablo verilerinin son derece hassas ve güzel bir şekilde değiştirilmesi.

Elde edilen yaklaşıklık doğruluğundan memnun değilsiniz (R 2<0,95) или вид и набор функций, предлагаемые MS Excel?

Yaklaşık yüksek dereceli polinomun ifadesinin boyutları ve çizgisinin şekli göze hoş gelmiyor mu?

Tablo verilerinize uymanın daha doğru ve kompakt bir sonucu için ve tek değişkenli bir fonksiyonla yüksek hassasiyetli yaklaşıklık problemlerini çözmek için basit bir teknik öğrenmek için " " sayfasına bakın.

Önerilen eylem algoritmasını kullanırken, en yüksek yaklaşım doğruluğunu sağlayan çok kompakt bir fonksiyon bulundu: R 2 =0.9963!!!

Doğrusal Olmayan Fonksiyon Yaklaşımı

x 0/12 /6 /4 /3 5/12 /2

y 0,5 0,483 0,433 0,354 0,25 0,129 0

Fonksiyonu bölme aralığı eşit olduğundan, yaklaşık olarak fonksiyonun karşılık gelen bölümlerinin aşağıdaki eğim katsayılarını hesaplarız:

1. Yaklaşım fonksiyonunun segmentlerini oluşturmak için yapı taşları

Zaman fonksiyonunun oluşumu

Aralığı değiştir:

Döngüsel yeniden başlatma süresi: T = 1s

Şimdi fonksiyonu modelleyelim:

yaklaşıklık

Şekil 3.1 - Denklemi çözme şeması

Şekil 3.2 - Doğrusal olmayan bir fonksiyonun oluşumunun blok şeması

Böylece denklemin sol tarafı otomatik olarak oluşturulur. Bu durumda, denklemin sağ tarafının elemanları bilindiğinden ve Y1 girişlerine bağlanabildiğinden, geleneksel olarak en yüksek x// türevinin bilindiği kabul edilir (Şekil 3.1). İşlemsel yükselteç U3, bir +x sinyal çevirici görevi görür. x//'yi simüle etmek için, girişlere denklemin (3.2) sağ tarafını simüle eden sinyalleri uygulamak için gerekli olan devreye bir tane daha kapsayıcı amplifikatör eklemek gerekir.

Tüm değişkenlerin ölçekleri, mutlak değerin arkasındaki makine değişkeninin maksimum değerinin 10 V olduğu dikkate alınarak hesaplanır:

Mx = 10 / xmaks; Mx/ = 10 / x/maks; Mx// = 10 / x //maks;

Benim = 10 / ymaks. (3.3)

Problemin simülasyonu gerçek zamanlı yapıldığından zaman ölçeği Mt = T / tmax = 1'dir.

İletim katsayıları, entegre amplifikatörlerin her girişi için hesaplanır.

U1 amplifikatörü için transfer katsayıları formüllerin arkasındadır:

K11 = Mx/b/(MyMt); K12 = Mx/ a2 / (MxMt);

K13 = Mx/ a1 / (MxMt). (3.4)

U2 amplifikatörü için:

K21 = Mx/ / (Mx/ Mt), (3.5)

ve amplifikatör U3 için:

K31 = 1. (3.6)

Başlangıç ​​koşullarının gerilmeleri aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

ux/ (0) = Mx/ x/ (0) (-1); ux(0)= Mxx(0) (+1). (3.7)

Denklemin (3.2) sağ tarafı, lineer yaklaşımla verilen lineer olmayan bir fonksiyon ile temsil edilir. Bu durumda yaklaşıklık hatasının belirtilen değeri aşmadığının kontrol edilmesi gerekir. Doğrusal olmayan bir fonksiyonun oluşumunun blok şeması Şekil 3.2'de gösterilmiştir.

Devre şeması açıklaması

Zaman fonksiyonu (F) üretim birimi, sıfır başlangıç ​​koşulları ile bir (t oluşturmak için) veya iki seri bağlı (t2 oluşturmak için) amplifikatörler şeklinde yapılır.

Bu durumda, ilk entegratörün girişine U sinyali uygulandığında, çıkışında şunu elde ederiz:

u1(t)= - K11 = - K11Et. (3.8)

K11E=1 olarak ayarlandığında, u1(t)= t elde ederiz.

İkinci entegratörün çıktısında şunu elde ederiz:

u2(t)= K21 = K11K21Et2 / 2 (3.9)

K11K21E/2 = 1 olarak ayarlandığında, u2(t)= t2 elde ederiz.

Yaklaştırma fonksiyonunun segmentlerini oluşturmaya yönelik bloklar, girdi değeri t veya t2 zamanının bir fonksiyonu olan doğrusal olmayan fonksiyonların (DBNF) diyot blokları şeklinde uygulanır. DBNF'yi hesaplama ve oluşturma prosedürü burada verilmiştir.

Yaklaştırma fonksiyonunun segmentlerinin toplayıcısı (SAD), bir diferansiyel son amplifikatör olarak uygulanır.

Modelleme devresinin entegratörleri için başlangıç ​​koşulları, değişken yapıya sahip bir düğüm kullanılarak tanıtılır (Şekil 3.3). Bu şema iki modda çalışabilir:

a) entegrasyon - K anahtarının konum 1'deki konumu ile Bu durumda, devrenin ilk sinyali ideal bir entegratör denklemi ile yeterli doğrulukla tanımlanır:

u1(t)= - (1 / RC) . (3.10)

Bu mod, bir görev modellenirken kullanılır. Entegratörün R ve C parametrelerinin seçiminin doğruluğunu kontrol etmek için, zamanın bir fonksiyonu olarak entegratörün başlangıç ​​voltajının değerini ve izin verilen hata dahilinde faydalı entegrasyon süresini kontrol edin?

Entegratörün başlangıç ​​voltajının değeri

U(t)= - KYE (1 - e - T / [(Ky+1)RC) (3.11)

simülasyon süresi T sırasında, geri besleme döngüsü olmayan kazançlı Ky ile bir op-amp kullanarak giriş sinyali E entegre edilirken, makine değişkeninin (10 V) değerini aşmamalıdır.

Entegrasyon süresi

Ti \u003d 2RC (Ku + 1)? Uadd (3.12)

seçilen devre parametreleri için simülasyon süresi T'den az olmamalıdır.

b) K tuşu 2 konumuna getirildiğinde başlangıç ​​koşullarının ayarlanması gerçekleştirilir. Bu mod, modelleme devresini çözüm süreci için hazırlarken kullanılır. Bu durumda devrenin başlangıç ​​sinyali aşağıdaki denklemle tanımlanır:

u0(t)= - (R2 /R1) E (3.13)

burada u0(t) başlangıç ​​koşullarının değeridir.

Başlangıç ​​koşullarının oluşma süresini azaltmak ve güvenilir çalışmayı sağlamak için devre parametreleri şu koşulu sağlamalıdır: R1C1 = R2C.

Tam bir hesaplama şeması oluşturun. Bu durumda, alt bölüm 3.1'de verilen konvansiyonlar kullanılmalıdır.

Giriş ve kaynak verilerinin kapasitesini kullanarak, B1 ve B2 bloklarının şematik diyagramlarını oluşturun ve bunları PC bloğuna bağlayın.

Deney sırasındaki ölçümlerin bir sonucu olarak, bazı fonksiyonların tablo şeklinde bir ataması elde edilsin. f(x), iki coğrafi parametre arasındaki ilişkiyi ifade etmek:

Elbette enterpolasyon yöntemi uygulanarak bu bağımlılığı analitik olarak ifade eden bir formül bulmak mümkündür. Bununla birlikte, enterpolasyon düğümlerinde fonksiyonun elde edilen analitik spesifikasyonunun değerlerinin mevcut ampirik verilerle çakışması, çoğu zaman orijinal ve enterpolasyon fonksiyonlarının davranışının tüm gözlem aralığı boyunca çakışması anlamına gelmeyebilir. Ek olarak, coğrafi göstergelerin tablo bağımlılığı, her zaman belirli ve her zaman yeterince küçük olmayan ölçüm hatası olan çeşitli araçlarla yapılan ölçümlerin bir sonucu olarak elde edilir. Düğümlerdeki yaklaşma ve yaklaşma fonksiyonlarının değerlerinin tam olarak çakışması gerekliliği, eğer fonksiyonun değerleri ise daha da haksızdır. f(x),ölçümler sonucunda elde edilenler yaklaşık değerlerdir.

Tek değişkenli bir fonksiyona en baştan yaklaşma görevi, tüm gözlem aralığı boyunca orijinal fonksiyonun davranışının doğasını zorunlu olarak hesaba katar. Görev formülasyonu aşağıdaki gibidir. İşlev y= f(x) tablo (1) ile verilmiştir. Belirli bir türde bir işlev bulmak gerekir:

hangi noktalarda x 1 , x 2 , …, xn tabloya mümkün olduğunca yakın değerler alır y 1 , y 2 , …, y n .

Uygulamada, yaklaşık işlevin türü, çoğunlukla işlevin yaklaşık grafiğinin türü karşılaştırılarak belirlenir. y= f(x) araştırmacı tarafından bilinen, analitik olarak verilen fonksiyonların grafikleri ile (çoğunlukla temel fonksiyonlar basit formda). Yani, tablo (1)'e göre bir dağılım grafiği oluşturulmuştur. f(x), daha sonra noktaların konumunun doğasını mümkün olan en iyi şekilde yansıtan düzgün bir eğri çizilir. Bu şekilde elde edilen eğriye göre, yaklaşıklık fonksiyonunun formu niteliksel düzeyde kurulur.

Şekil 6'yı düşünün.

Şekil 6 üç durumu göstermektedir:

• Grafikte (a) ilişki X ve de doğrusala yakın; buradaki düz çizgi gözlem noktalarına yakındır ve ikincisi ondan yalnızca nispeten küçük rastgele etkilerin bir sonucu olarak sapar.
• Grafikte (b) değerler arasındaki gerçek ilişki X ve de doğrusal olmayan bir fonksiyonla tanımlanır ve hangi düz çizgiyi çizdiğimiz önemli değil, gözlem noktalarının ondan sapması önemli ve rastgele olmayacaktır. Aynı zamanda, parabolün çizilmiş dalı, nicelikler arasındaki ilişkinin doğasını oldukça iyi yansıtır.
• Grafik (c)'de değişkenler arasında açık bir ilişki vardır. X ve de eksik; ilişki formülünü ne seçersek seçelim, parametreleştirmenin sonuçları burada başarısız olacaktır. Özellikle, seçilen her iki çizgi, değişkenin beklenen değerleri hakkında sonuç çıkarmak için eşit derecede kötüdür. de değişken değerlere göre X.

İlk veriler tablosu için katı bir işlevsel bağımlılığın nadiren gözlemlendiğine dikkat edilmelidir, çünkü buna katılan miktarların her biri birçok rastgele faktöre bağlı olabilir. Ancak, formül (2) (ampirik formül veya regresyon denklemi olarak adlandırılır) deüzerinde X) ilginçtir çünkü fonksiyonun değerlerini bulmanızı sağlar f tablo dışı değerler için X, miktar ölçümlerinin sonuçlarını "düzeltmek" de, yani değişim aralığı boyunca X. Böyle bir yaklaşımın gerekçesi, sonuçta ortaya çıkan formülün pratik kullanışlılığı tarafından belirlenir.

Noktaların mevcut "bulut"u aracılığıyla, her zaman bu türdeki tüm çizgiler arasında belirli bir anlamda en iyisi olan, yani gözlem noktalarına "en yakın" olan yerleşik türden bir çizgi çizmeye çalışabilirsiniz. bütünlük. Bunu yapmak için önce bir doğrunun düzlemdeki belirli noktalar kümesine yakınlığı kavramını tanımlarız. Bu yakınlığın ölçüleri farklı olabilir. Bununla birlikte, herhangi bir makul ölçü, açıkça gözlem noktalarından söz konusu çizgiye olan mesafe ile ilgili olmalıdır (denklem tarafından verilir). y=F(x)).

Yaklaşık fonksiyonun olduğunu varsayalım. F(x) noktalarda x 1, x 2, ..., xnÖnemli olmak y 1 , y 2 , ..., y n. Çoğu zaman, bir yakınlık kriteri olarak, bağımlı değişkenin gözlemlerinin farklarının karelerinin toplamının minimumu kullanılır. ben ve regresyon denklemi ile hesaplanan teorik değerler y i. Burada kabul edilir ki ben ve x ben bilinen gözlemsel verilerdir ve F- bilinmeyen parametrelere sahip regresyon çizgisi denklemi (hesaplama formülleri aşağıda verilecektir). Bağımlı değişkenin gözlemlerinin kare sapmalarının toplamını istenen fonksiyonun değerlerinden en aza indiren yaklaşık işlevin parametrelerini tahmin etme yöntemi denir. en az kareler (LSM) veya En Küçük Kareler Yöntemi (LS).

Böylece, fonksiyona yaklaşma problemi fşimdi aşağıdaki gibi formüle edilebilir: fonksiyon için f tablo (1) tarafından verilen işlevi bulun FФ karelerinin toplamı en küçük olacak şekilde belirli bir biçimde.

Yaklaşık bir fonksiyon bulmak için bir yöntem düşünün. Genel görünümüç parametreli yaklaşık bir fonksiyon örneğinde:

(3)

İzin vermek F(x ben , a, b, c) = y ben , ben=1, 2, ..., n. Karşılık gelen değerlerin kare farklarının toplamı f ve F gibi görünecek:

Bu toplam F'nin bir fonksiyonudur (a, b, c)üç değişken (parametreler bir, b ve c). Sorun, minimumunu bulmaktır. Gerekli ekstremum koşulunu kullanıyoruz:

Bilinmeyen a, b, c parametrelerini belirlemek için bir sistem elde ediyoruz.

(5)

Parametrelere göre üç bilinmeyenli bu üç denklem sistemini çözdükten sonra a, b, c, istenen fonksiyonun özel formunu elde ederiz F(x, a, b, c). Ele alınan örnekten görülebileceği gibi, parametre sayısındaki bir değişiklik yaklaşımın özünün bozulmasına yol açmayacak, sadece sistem (5)'teki denklem sayısındaki bir değişiklikle ifade edilecektir.

Bulunan fonksiyonun değerlerinin olmasını beklemek doğaldır. F(x, a, b, c) noktalarda x 1, x 2, ..., xn, tablo değerlerinden farklı olacaktır y 1 , y 2 , ..., y n. Fark değerleri y ben -F(x ben ,a, b, c)=e ben (i=1, 2, ..., n)ölçülen değer sapmaları denir y formül (3) ile hesaplananlardan. Bulunan ampirik formül (2) için, orijinal tabloya (1) göre, bu nedenle, biri bulunabilir.

en küçük kareler yöntemine göre, belirli bir yaklaşıklık işlevi türü (ve bulunan parametre değerleri) için sapmaların karelerinin toplamı en küçük olmalıdır. Aynı tablo fonksiyonunun iki farklı yaklaşımından en küçük kareler yöntemi izlenerek, (4) toplamı en küçük değere sahip olanı en iyi olarak düşünülmelidir.

Deneysel uygulamada, dağılım grafiğinin doğasına bağlı olarak yaklaşık fonksiyonlar olarak f iki parametreli yaklaşım fonksiyonları sıklıkla kullanılır:

Açıkçası, yaklaşık işlevin biçimi oluşturulduğunda, sorun yalnızca parametrelerin değerlerini bulmaya indirgenir.

Pratik araştırmalarda en yaygın ampirik bağımlılıkları ele alalım.

3.3.1. Doğrusal fonksiyon (doğrusal regresyon). Bağımlılık analizi için başlangıç ​​noktası genellikle değişkenlerin doğrusal bağımlılığının değerlendirilmesidir. Bununla birlikte, en küçük kareler yöntemine göre "en iyi" düz çizginin her zaman var olduğu, ancak en iyisinin bile her zaman yeterince iyi olmadığı dikkate alınmalıdır. Gerçekte bağımlılık ise y=f(x) ikinci derecedendir, o zaman hiçbir doğrusal işlev onu yeterince tanımlayamaz, ancak tüm bu tür işlevler arasında mutlaka "en iyi" olanı vardır. miktarlar ise X ve de hiç alakası yok, ayrıca her zaman "en iyi" doğrusal işlevi de bulabiliriz. y=ax+b belirli bir gözlem kümesi için, ancak bu durumda, belirli değerler a ve b sadece değişkenlerin rastgele sapmaları ile belirlenir ve aynı genel popülasyondan farklı örnekler için kendileri büyük ölçüde değişecektir.

Şimdi lineer regresyon katsayılarını daha biçimsel olarak tahmin etme problemini ele alalım. arasındaki ilişkinin olduğunu varsayalım. x ve y doğrusaldır ve istenen yaklaşıklık fonksiyonu şu şekilde aranacaktır:

Parametrelere göre kısmi türevleri bulalım:

Elde edilen bağıntıları (5) biçimindeki sisteme yerleştirelim:

veya her denklemi n'ye bölerek:

Notasyonu tanıtalım:

(7)

Ardından son sistem şöyle görünecek:

(8)

Bu sistemin katsayıları M x , M y , M xy , M x 2 Her bir özel yaklaşım probleminde formül (7) kullanılarak kolayca hesaplanabilen sayılardır, burada x ben, y ben- tablodaki değerler (1). Çözüm sistemi (8), parametrelerin değerlerini elde ederiz a ve b, ve sonuç olarak, lineer fonksiyonun (6) özel formu.

Arzu edilen ampirik formül olarak doğrusal bir fonksiyon seçmek için gerekli bir koşul, orandır:

3.3.2. Kuadratik fonksiyon (kuadratik regresyon). Kare bir üç terimli şeklinde yaklaşık bir fonksiyon arayacağız:

Kısmi türevleri buluyoruz:

(5) şeklinde bir sistem oluşturalım:

Basit dönüşümlerden sonra, üç bilinmeyenli üç lineer denklem sistemi elde edilir. a, b, c. Sistemin katsayıları, doğrusal bir fonksiyon durumunda olduğu gibi, yalnızca tablodan (1) bilinen veriler aracılığıyla ifade edilir:

(10)

Burada (7) nolu notasyon, aynı zamanda

(10) sisteminin çözümü parametrelerin değerini verir. bir, b ve İle birlikte yaklaşıklık işlevi (9) için.

Formun tüm ifadeleri varsa ikinci dereceden regresyon uygulanır y 2 -2y 1 + y 0 , y 3 -2 y 2 + y 1 , y 4 -2 y 3 + y 2 vb. birbirinden biraz farklı.

3.3.3. Güç fonksiyonu (geometrik regresyon) Şimdi yaklaşık fonksiyonu şu şekilde bulalım:

(11)

Orijinal tabloda (1) argümanın değerlerinin ve fonksiyonun değerinin pozitif olduğunu varsayarsak, koşul altında eşitliğin logaritmasını (11) alıyoruz. a>0:

fonksiyon beri F fonksiyon için bir yaklaşımdır f, işlev lnF fonksiyon için yaklaşık olacak lnf. Yeni bir değişken tanıtalım u=lnx; sonra, (12)'den aşağıdaki gibi, lnF bir fonksiyonu olacak sen: Ф(u).

belirtmek

Şimdi eşitlik (12) şu şekli alır:

şunlar. problem, lineer bir formda yaklaşık bir fonksiyon bulmaya indirgendi. Pratikte, bir güç fonksiyonu şeklinde istenen yaklaşım fonksiyonunu bulmak için (yukarıda yapılan varsayımlar altında), aşağıdakileri yapmak gerekir:

1. bu tabloya göre (1), değerlerin logaritmasını alarak yeni bir tablo oluşturun. x ve y orijinal tabloda;

2. yeni tabloya göre parametreleri bulun ANCAK ve AT(14) formunun yaklaşık işlevi;

3. Notasyonu (13) kullanarak parametrelerin değerlerini bulun a ve m ve bunları ifade (11) ile değiştirin.

İstenen ampirik formül olarak bir güç fonksiyonunu seçmek için gerekli bir koşul, orandır:

3.3.4. üstel fonksiyon . Orijinal tablo (1), yaklaşık işlevi üstel bir işlev biçiminde aramanın tavsiye edilebileceği şekilde olsun:

Eşitliğin logaritmasını alalım (15):

(16)

(13) notasyonunu benimsedikten sonra (16)'yı şu şekilde yeniden yazıyoruz:

(17)

Bu nedenle, formdaki (15) yaklaşım fonksiyonunu bulmak için, orijinal tablodaki (1) fonksiyon değerlerinin logaritmasını almak ve bunları argümanın ilk değerleri ile birlikte göz önünde bulundurarak oluşturmak gerekir. yeni tablo için formun (17) yaklaşık bir fonksiyonu. Bunu takiben, notasyona (13) uygun olarak, istenen parametrelerin değerlerini elde etmek için kalır. a ve b ve bunları formül (15) ile değiştirin.

İstenen ampirik formül olarak üstel bir işlevi seçmek için gerekli bir koşul, orandır:

.

3.3.5. Kesirli doğrusal fonksiyon.Şu şekilde yaklaşık bir fonksiyon arayacağız:

(18)

Eşitlik (18) aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

Son eşitlikten, parametrelerin değerlerini bulmak için a ve b verilen tabloya (1) göre, argüman değerlerinin aynı kaldığı ve fonksiyon değerlerinin karşılıklılarla değiştirildiği yeni bir tablo oluşturmak gerekir, bundan sonra ortaya çıkan tablo için bir formun yaklaşık işlevi balta+b. Bulunan parametre değerleri a ve b formül (18) ile değiştirin.

Arzu edilen ampirik formül olarak lineer kesirli bir fonksiyon seçmek için gerekli bir koşul, ilişkidir:

.

3.3.6. Logaritmik fonksiyon. Yaklaşık fonksiyonun şöyle görünmesine izin verin:

Doğrusal bir fonksiyona geçmek için yerine koymanın yeterli olduğunu görmek kolaydır. lnx=u. Buradan değerleri bulmak için a ve b orijinal tablodaki (1) argümanın değerlerinin logaritmasını almak ve elde edilen değerleri fonksiyonun orijinal değerleri ile birlikte göz önünde bulundurarak, şeklinde yaklaşık bir fonksiyon bulmak gerekir. bu şekilde elde edilen yeni tablo için doğrusal bir tablo. oranlar a ve b bulunan fonksiyonun yerine, bunu formül (19) ile değiştirin.

İstenen ampirik formül olarak bir logaritmik işlevi seçmek için gerekli bir koşul, orandır:

.

3.3.7. Hiperbol. Tablo (1)'e göre oluşturulan dağılım grafiği hiperbolün bir dalını veriyorsa, yaklaşıklık fonksiyonu formda aranabilir.

Çeşitli tahmin yöntemleri arasında, yaklaşımı seçmemek imkansızdır. Onun yardımıyla, orijinal nesneleri daha basit olanlarla değiştirerek yaklaşık hesaplamalar yapabilir ve planlı göstergeleri hesaplayabilirsiniz. Excel'de, bu yöntemi tahmin ve analiz için kullanma olasılığı da vardır. Bu yöntemin yerleşik araçlarla belirtilen programda nasıl uygulanabileceğine bakalım.

Bu yöntemin adı şuradan gelmektedir. Latince kelime proxima - “en yakın” Bilinen göstergeleri basitleştirerek ve düzleştirerek, onları temeli olan bir trendde sıralayarak yaklaşıklıktır. Fakat Bu method sadece tahmin için değil, aynı zamanda mevcut sonuçların incelenmesi için de kullanılabilir. Sonuçta, yaklaşım aslında ilk verilerin basitleştirilmesidir ve basitleştirilmiş versiyonun incelenmesi daha kolaydır.

Excel'de yumuşatmanın yapıldığı ana araç, bir trend çizgisinin oluşturulmasıdır. Sonuç olarak, mevcut göstergeler temelinde, gelecek dönemler için fonksiyonun grafiği tamamlanıyor. Trend çizgisinin temel amacı, tahmin edebileceğiniz gibi, tahminler yapmak veya genel bir trend belirlemektir.

Ancak beş tür yaklaşımdan biri kullanılarak oluşturulabilir:

• Doğrusal;
• üstel;
• logaritmik;
• polinom;
• Güç.

Seçeneklerin her birini ayrı ayrı daha ayrıntılı olarak ele alalım.

Yöntem 1: Doğrusal Düzeltme

Her şeyden önce, doğrusal bir fonksiyon kullanarak, yaklaşımın en basit versiyonunu ele alalım. Sonraki seçenekleri düşünürken üzerinde durmayacağımız diğer yöntemlerin, yani çizim ve diğer bazı nüansların genel özelliklerini belirteceğimiz için, üzerinde daha ayrıntılı olarak duracağız.

Her şeyden önce, yumuşatma prosedürünü uygulayacağımız bir grafik oluşturalım. Bir grafik oluşturmak için, işletme tarafından üretilen bir birim çıktının maliyetinin ve belirli bir dönemde buna karşılık gelen karın aylık olarak gösterildiği bir tablo alalım. Grafik işlevi kuracağımız , kardaki artışın üretim maliyetindeki düşüşe bağımlılığını gösterecektir.

Bu durumda kullanılan yumuşatma aşağıdaki formülle açıklanmaktadır:

Bizim özel durumumuzda, formül aşağıdaki formu alır:

y=-0.1156x+72.255

Yaklaşım güvenilirliğinin değeri şuna eşittir: 0,9418 Bu, yumuşatmayı güvenilir olarak nitelendiren oldukça kabul edilebilir bir sonuçtur.

Yöntem 2: Üstel Yaklaşım

Şimdi Excel'deki üstel yaklaşım türüne bakalım.

Yumuşatma fonksiyonunun genel formu aşağıdaki gibidir:

nerede e temelidir doğal logaritma.

Bizim özel durumumuzda, formül aşağıdaki formu almıştır:

y=6282,7*e^(-0,012*x)

Yöntem 3: logaritmik yumuşatma

Şimdi logaritmik yaklaşım yöntemini düşünme sırası.

Genel olarak, yumuşatma formülü şöyle görünür:

nerede içinde doğal logaritmadır. Bu nedenle yöntemin adı.

Bizim durumumuzda, formül aşağıdaki formu alır:

y=-62.81ln(x)+404,96

Yöntem 4: Polinom Düzleştirme

Polinom yumuşatma yöntemini düşünmenin zamanı geldi.

Bu tür yumuşatmayı açıklayan formül aşağıdaki şekli almıştır:

y=8E-08x^6-0.0003x^5+0.3725x^4-269.33x^3+109525x^2-2E+07x+2E+09

Yöntem 5: güç yumuşatma

Sonuç olarak, Excel'deki güç yaklaşımı yöntemini düşünün.

Bu yöntem, fonksiyon verilerinin yoğun olarak değiştirildiği durumlarda etkin bir şekilde kullanılır. Bu seçeneğin, yalnızca işlev ve bağımsız değişkenin negatif veya sıfır değerleri almaması durumunda uygulanabilir olduğuna dikkat etmek önemlidir.

Bu yöntemi açıklayan genel formül aşağıdaki gibidir:

Bizim özel durumumuzda, şöyle görünür:

y = 6E+18x^(-6.512)

Gördüğünüz gibi, örnek için kullandığımız belirli verileri kullanırken, altıncı dereceden bir polinomla polinom yaklaşımı yöntemi en yüksek düzeyde güvenilirlik gösterdi ( 0,9844 ), en düşük güven seviyesi doğrusal yöntem (0,9418 ). Ancak bu, diğer örnekleri kullanırken aynı eğilimin olacağı anlamına gelmez. Hayır, yukarıdaki yöntemlerin verimlilik düzeyi, eğilim çizgisinin oluşturulacağı belirli işlev türüne bağlı olarak önemli ölçüde değişebilir. Bu nedenle, seçilen yöntem bu işlev için en verimli ise, bu, başka bir durumda da optimal olacağı anlamına gelmez.

Yukarıdaki önerilere dayanarak, durumunuz için hangi tür yaklaşımın uygun olduğunu hemen belirleyemezseniz, tüm yöntemleri denemek mantıklıdır. Trend çizgisini çizdikten ve güven seviyesini gördükten sonra en iyi seçeneği seçebilirsiniz.

Doğrusal olmayan elemanların akım-gerilim özellikleri için analitik ifadelere sahip olmak genellikle gereklidir. Doğrusal olmayan cihazlarda gerilimler ve akımlar arasındaki ilişkiyi yöneten fiziksel yasalar analitik olarak ifade edilmediğinden, bu ifadeler yalnızca CVC'yi yaklaşık olarak temsil edebilir.

Bir fonksiyonun, argümanında (bağımsız değişken) verilen değişim limitleri dahilinde, grafiksel olarak veya bir değerler tablosu ile verilen yaklaşık analitik temsili görevine yaklaşım denir. Bu durumda, ilk olarak, yaklaşıklık işlevinden, yani verilen bağımlılığın yaklaşık olarak temsil edildiği işlevden ve ikinci olarak, bu bağımlılığın "yakınlığını" değerlendirmek için kriter seçimi ve yaklaşık işlevin seçimi yapılır. BT.

Yaklaşan işlevler olarak, çoğu zaman cebirsel polinomlar, bazı kesirli rasyonel, üstel ve aşkın işlevler veya bir dizi doğrusal işlev (düz çizgi parçaları) kullanılır.

Doğrusal olmayan bir elemanın CVC'sinin i= eğlence (u) grafik olarak verilir, yani aralığın her noktasında tanımlanır umin≤ve≤U max , ve değişkenin tek değerli sürekli bir fonksiyonudur ve. O zaman akım-voltaj karakteristiğinin analitik temsili problemi bir yaklaşım problemi olarak düşünülebilir. verilen fonksiyonξ(х) seçilen yaklaşım fonksiyonu ile f(x).

Yakınlığın yakınlığı hakkında f(x) ve yaklaşık ξ( X) fonksiyonları veya başka bir deyişle, yaklaşıklık hatası, genellikle yaklaşıklık aralığında bu fonksiyonlar arasındaki farkın en büyük mutlak değeri ile değerlendirilir. a≤ X≤ b, yani boyut olarak

∆=maks‌‌│ f(x)- ξ( x)│

Çoğu zaman, yakınlık kriteri, yaklaşıklık aralığında belirtilen fonksiyonlar arasındaki farkın ortalama kare değeri olarak seçilir.

Bazen, iki fonksiyonun yakınlığı altında f( x) ve ξ( x) tesadüfü anlamak verilen nokta

x= Ho fonksiyonların kendileri ve P+1 türevleri.

Bir analitik fonksiyonu belirli bir fonksiyona yaklaştırmanın en yaygın yolu şudur: interpolasyon(seçilen noktaların yöntemi) fonksiyonları f( x) ve ξ( x) seçilen noktalarda ( enterpolasyon kötülükleri) X k , k= 0, 1, 2, ..., P.

Yaklaşım hatası ne kadar küçükse, yaklaşıklık fonksiyonuna dahil edilen değişken parametre sayısı o kadar fazla olur, yani, örneğin, yaklaşan polinomun derecesi ne kadar yüksekse veya doğru parçası sayısı ne kadar fazlaysa, yaklaşık lineer-kırık fonksiyonu içerir. . Aynı zamanda, doğal olarak, hem yaklaşım probleminin çözümünde hem de doğrusal olmayan devrenin sonraki analizinde hesaplamaların hacmi artar. Bu analizin basitliği, yaklaşıklık aralığı içindeki yaklaşık fonksiyonun özellikleri ile birlikte, yaklaşıklık fonksiyonunun tipini seçerken en önemli kriterlerden biridir.

Elektronik ve yarı iletken cihazların akım-voltaj özelliklerine yaklaşma problemlerinde, cihazların özelliklerinde numuneden numuneye önemli bir yayılma nedeniyle, kural olarak, çoğaltmalarının yüksek doğruluğu için çaba sarf etmek genellikle gerekli değildir ve bir kararsızlaştırıcı faktörlerin önemli etkisi, örneğin yarı iletken cihazlarda sıcaklık. Çoğu durumda, bağımlılığın genel ortalama karakterini "doğru" bir şekilde yeniden oluşturmak yeterlidir. i= f(sen) çalışma aralığı içinde. Lineer olmayan elemanlara sahip devreleri analitik olarak hesaplayabilmek için elemanların karakteristikleri için matematiksel ifadelere sahip olmak gerekir. Bu özelliklerin kendileri genellikle deneyseldir, yani. karşılık gelen elemanların ölçümleri sonucunda elde edilir ve daha sonra bu temelde referans (tipik) veriler oluşturulur. Matematikte belirli bir fonksiyonun matematiksel açıklaması için prosedüre bu fonksiyonun bir yaklaşımı denir. Bir dizi yaklaşım türü vardır: seçilen noktalara göre, Taylor'a göre, Chebyshev'e göre, vb. Son olarak, verilen bazı gereklilikler ile orijinal yaklaşım fonksiyonunu karşılayan matematiksel bir ifade elde etmek gerekir.

Düşünmek en basit yol: güç polinomu enterpolasyonunun seçili noktalarının veya düğümlerinin yöntemi.

Polinomun katsayılarını belirlemek gereklidir. Bunun için seçin (n+1) belirli bir fonksiyon üzerindeki noktalar ve bir denklem sistemi derlenir:

Bu sistemden katsayılar bulunur bir 0 , bir 1 , bir 2 , …, bir n.

Seçilen noktalarda, yaklaşıklık işlevi orijinal olanla çakışacak, diğer noktalarda farklılık gösterecektir (kuvvetli veya değil - güç polinomuna bağlıdır).

Üstel bir polinom kullanabilirsiniz:

İkinci yöntem: Taylor yaklaşımı yöntemi . Bu durumda, orijinal fonksiyonun yaklaşık olanla çakışacağı bir nokta seçilir, ancak türevlerin de bu noktada çakışması için ek bir koşul ayarlanır.

Butterworth Yaklaşımı: en basit polinom seçilir:

Bu durumda, maksimum sapmayı belirleyebilirsiniz. ε aralığın sonunda.

Chebyshev'e göre yaklaşıklık: bir güç yasasıdır, birkaç noktada bir eşleşme kurar ve yaklaşıklık fonksiyonunun orijinal olandan maksimum sapmasını en aza indirir. Fonksiyonların yaklaşımı teorisinde, polinomun en büyük mutlak sapmasının olduğu kanıtlanmıştır. f(x) derece P itibaren sürekli fonksiyon ξ( X) yaklaşıklık aralığında ise minimum düzeyde mümkün olacaktır. a≤ X≤ b fark

f( x) - ξ( X) daha az olmayan n + 2 kez art arda değişen limitini maksimum alır f(x) - ξ( X) = L > 0 ve en küçük f(x) - ξ( X) = -L değerler (Chebyshev'in kriteri).

Uygulamalı birçok problemde, yaklaşım fonksiyonunun parametreleri kullanıldığında, ortalama kare kök yakınlık kriteri ile polinom yaklaşımı kullanılır. f(x) yaklaşım aralığında minimizasyon koşulundan seçilir a≤ X≤ b fonksiyon sapmasının karesi f(x) verilen bir sürekli fonksiyonun ξ( X), yani koşuldan:

Λ= 1/b-a∫ bir [ f(x)- ξ( x)] 2 dx= dk. (7)

Ekstremite bulma kurallarına uygun olarak, problemin çözümü, fonksiyonun ilk kısmi türevlerini sıfıra eşitlemenin bir sonucu olarak oluşan bir lineer denklemler sistemini çözmeye indirgenir. Λ gerekli katsayıların her biri için bir k yaklaşık polinom f(x), yani denklemler

dΛ ∕da 0=0; dΛ ∕da 1=0; dΛ ∕da 2=0, . . . , dΛ ∕da n=0. (8)

Bu denklem sisteminin de benzersiz bir çözümü olduğu kanıtlanmıştır. En basit durumlarda analitik olarak ve genel durumda sayısal olarak bulunur.

Chebyshev, aşağıdaki eşitliğin maksimum sapmalar için geçerli olması gerektiğini belirledi:

Mühendislik pratiğinde, sözde parçalı doğrusal yaklaşım belirli bir eğrinin düz çizgilerin parçalarıyla açıklamasıdır.

Akım-voltaj karakteristiğinin doğrusallaştırılmış bölümlerinin her birinde, doğrusal olarak salınımları analiz etmenin tüm yöntemleri elektrik devreleri. Açıktır ki, bundan daha fazla doğrusallaştırılmış bölümler, verilen akım-voltaj karakteristiği bölünürse, daha doğru bir şekilde tahmin edilebilir ve devredeki salınımların analizi sırasında hesaplama miktarı o kadar büyük olur.

Doğrusal olmayan dirençli devrelerdeki salınımların analizinin birçok uygulamalı probleminde, yaklaşıklık aralığındaki yaklaşık volt-amper karakteristiği, iki veya üç düz çizgi parçası ile yeterli doğrulukla temsil edilir.

Çoğu durumda akım-voltaj özelliklerinin böyle bir yaklaşımı, doğrusal olmayan eleman üzerinde "küçük" büyüklük etkileri olan doğrusal olmayan dirençli bir devrede salınımların analizinin oldukça tatmin edici sonuçlarını verir, yani. doğrusal olmayan elemandaki akımlar, izin verilen maksimum sınırlar içinde değişir ben= 0 ila ben = ben maksimum