Konsideroni një problem të përhapur për llogaritjen e përafërt të vlerës së një funksioni duke përdorur një diferencial.

Këtu dhe më poshtë, ne do të fokusohemi në diferencialet e rendit të parë; për shkurtësi, ne shpesh do të themi vetëm "diferencial". Problemi i llogaritjeve të përafërta me ndihmën e një diferenciali ka një algoritëm të ngurtë zgjidhjeje dhe, për këtë arsye, nuk duhet të ketë ndonjë vështirësi të veçantë. E vetmja gjë është se ka gracka të vogla që gjithashtu do të pastrohen. Prandaj mos ngurroni të zhyteni me kokën e parë.

Përveç kësaj, seksioni përmban formula për gjetjen e gabimeve absolute dhe relative të llogaritjeve. Materiali është shumë i dobishëm, pasi gabimet duhet të llogariten edhe në probleme të tjera.

Për të zotëruar me sukses shembujt, duhet të jeni në gjendje të gjeni derivatet e funksioneve të paktën në një nivel mesatar, kështu që nëse diferencimi është plotësisht i gabuar, ju lutemi filloni me gjetja e derivatit në një pikë dhe me gjetja e diferencialit në një pikë. Nga mjetet teknike, do t'ju duhet një mikrollogaritës me të ndryshme funksionet matematikore. Mund të përdorni aftësitë e MS Excel, por në këtë rast është më pak i përshtatshëm.

Mësimi përbëhet nga dy pjesë:

– Llogaritjet e përafërta duke përdorur diferencialin e vlerës së një funksioni të një ndryshoreje në një pikë.

– Llogaritjet e përafërta duke përdorur diferencial total vlerat e një funksioni të dy ndryshoreve në një pikë.

Detyra në shqyrtim është e lidhur ngushtë me konceptin e një diferenciali, por meqenëse nuk kemi ende një mësim mbi kuptimin e një derivati ​​dhe një diferencial, ne do të kufizohemi në një shqyrtim formal të shembujve, gjë që është mjaft e mjaftueshme për të mësuar. si t'i zgjidhni ato.

Llogaritjet e përafërta duke përdorur diferencialin e një funksioni të një ndryshoreje

Në paragrafin e parë, funksioni i një ndryshoreje rregullon. Siç e dinë të gjithë, shënohet me y ose përmes f(x). Për këtë problem, është shumë më i përshtatshëm të përdoret shënimi i dytë. Le të kalojmë në një shembull popullor që ndodh shpesh në praktikë:

Shembulli 1

Zgjidhja: Ju lutemi kopjoni në fletore formulën e punës për llogaritjen e përafërt duke përdorur diferencialin:

Le të fillojmë, është e lehtë!

Hapi i parë është krijimi i një funksioni. Sipas kushtit, propozohet llogaritja e rrënjës kubike të numrit: , pra funksioni përkatës ka formën: .

Duhet të përdorim formulën për të gjetur një vlerë të përafërt.

Ne shikojmë ana e majte formulat dhe të vjen në mendje mendimi se numri 67 duhet të paraqitet si . Cila është mënyra më e lehtë për ta bërë këtë? Unë rekomandoj algoritmin e mëposhtëm: llogarisni këtë vlerë në një kalkulator:

- doli 4 me bisht, ky është një udhëzues i rëndësishëm për zgjidhjen.

Si x 0 zgjidhni një vlerë "të mirë", për të nxjerrë rrënjën. Natyrisht, kjo vlerë x 0 duhet të jetë sa më afër deri në 67.

Në këtë rast x 0 = 64. Në të vërtetë, .

Shënim: Kur me përzgjedhjex 0 problemi ende lind, thjesht shikoni vlerën e llogaritur (në këtë rast ), merrni pjesën e plotë më të afërt (në këtë rast 4) dhe ngrijeni atë në fuqinë e dëshiruar (në këtë rast ). Si rezultat, do të bëhet zgjedhja e dëshiruar. x 0 = 64.

Nese nje x 0 = 64, atëherë rritja e argumentit është: .

Pra, numri 67 përfaqësohet si një shumë

Së pari, ne llogarisim vlerën e funksionit në pikë x 0 = 64. Në fakt, kjo tashmë është bërë më herët:

Diferenciali në një pikë gjendet me formulën:

Ju gjithashtu mund ta kopjoni këtë formulë në fletoren tuaj.

Nga formula rrjedh se ju duhet të merrni derivatin e parë:

Dhe gjeni vlerën e saj në pikën x 0:

.

Në këtë mënyrë:

Gjithçka është gati! Sipas formulës:

Vlera e përafërt e gjetur është mjaft e afërt me vlerën 4.06154810045 të llogaritur duke përdorur një mikrollogaritës.

Përgjigje:

Shembulli 2

Llogaritni afërsisht , duke zëvendësuar rritjet e funksionit me diferencialin e tij.

Ky është një shembull bëjeni vetë. Një shembull i përafërt i përfundimit të punës dhe një përgjigje në fund të mësimit. Për fillestarët, unë rekomandoj që së pari të llogarisni vlerën e saktë në një mikrollogaritës në mënyrë që të kuptoni se çfarë numri duhet të merrni për x 0, dhe cila - për Δ x. Duhet të theksohet se Δ x në ky shembull do të jetë negative.

Disa mund të kenë një pyetje, pse është e nevojshme kjo detyrë, nëse mund të llogarisni gjithçka me qetësi dhe më saktë në një kalkulator? Jam dakord, detyra është marrëzi dhe naive. Por do të përpiqem ta justifikoj pak. Së pari, detyra ilustron kuptimin e diferencialit të funksionit. Së dyti, në kohët e lashta, kalkulatori ishte diçka si një helikopter personal në kohën tonë. Unë vetë pashë se si një kompjuter me madhësinë e një dhome u hodh nga një prej instituteve diku në vitet 1985-86 (amatorë radio me kaçavida vinin me vrap nga i gjithë qyteti dhe pas nja dy orësh mbeti vetëm rasti nga njësia ). Antike u gjetën gjithashtu në departamentin tonë të fizikës, megjithatë, në një madhësi më të vogël - diku në madhësinë e një tavoline. Kështu kanë vuajtur paraardhësit tanë me metodat e llogaritjeve të përafërta. Një karrocë me kuaj është gjithashtu një mjet transporti.

Në një mënyrë apo tjetër, problemi mbeti në kursin standard të matematikës së lartë dhe do të duhet të zgjidhet. Kjo është përgjigja kryesore për pyetjen tuaj =).

Shembulli 3

Llogaritni përafërsisht duke përdorur diferencialin vlerën e funksionit në pikën x= 1,97. Llogaritni një vlerë më të saktë të funksionit në një pikë x= 1,97 duke përdorur një mikrollogaritës, vlerësoni gabimet absolute dhe relative të llogaritjes.

Në fakt, kjo detyrë mund të riformulohet lehtësisht si më poshtë: “Llogaritni një vlerë të përafërt me një diferencial

Zgjidhja: Ne përdorim formulën e njohur:

Në këtë rast, një funksion i gatshëm është dhënë tashmë: . Edhe një herë, unë tërheq vëmendjen tuaj për faktin se për të caktuar një funksion, në vend të "lojë", është më i përshtatshëm për t'u përdorur f(x).

Kuptimi x= 1,97 duhet të përfaqësohet si x 0 = Δ x. Epo, këtu është më e lehtë, ne shohim që numri 1.97 është shumë afër "dyshit", kështu që lutet x 0 = 2. Dhe, prandaj: .

Llogaritni vlerën e funksionit në pikë x 0 = 2:

Duke përdorur formulën , ne llogarisim diferencialin në të njëjtën pikë.

Gjetja e derivatit të parë:

Dhe vlera e saj në pikën x 0 = 2:

Kështu, diferenciali në pikën:

Si rezultat, sipas formulës:

Pjesa e dytë e detyrës është gjetja e gabimit absolut dhe relativ të llogaritjeve.

Llogaritjet e përafërta duke përdorur diferencialin

Në këtë mësim, ne do të shohim një problem të zakonshëm për llogaritjen e përafërt të vlerës së një funksioni duke përdorur një diferencial. Këtu dhe më poshtë, ne do të fokusohemi në diferencialet e rendit të parë, për shkurtësi shpesh do të them vetëm "diferencial". Problemi i llogaritjeve të përafërta me ndihmën e një diferenciali ka një algoritëm të ngurtë zgjidhjeje dhe, për këtë arsye, nuk duhet të ketë ndonjë vështirësi të veçantë. E vetmja gjë është se ka gracka të vogla që gjithashtu do të pastrohen. Prandaj mos ngurroni të zhyteni me kokën e parë.

Përveç kësaj, faqja përmban formula për gjetjen e gabimeve absolute dhe relative të llogaritjes. Materiali është shumë i dobishëm, pasi gabimet duhet të llogariten edhe në probleme të tjera. Fizikantë, ku janë duartrokitjet tuaja? =)

Për të zotëruar me sukses shembujt, duhet të jeni në gjendje të gjeni derivatet e funksioneve të paktën në një nivel mesatar, kështu që nëse diferencimi është plotësisht i gabuar, ju lutemi filloni me mësimin Si të gjeni derivatin? Unë gjithashtu rekomandoj të lexoni artikullin Problemet më të thjeshta me një derivat, përkatësisht paragrafët për gjetjen e derivatit në një pikë dhe gjetja e diferencialit në një pikë. Nga mjetet teknike, do t'ju duhet një mikrollogaritës me funksione të ndryshme matematikore. Ju mund të përdorni Excel, por në këtë rast është më pak i përshtatshëm.

Punëtoria përbëhet nga dy pjesë:

– Llogaritjet e përafërta duke përdorur diferencialin e një funksioni të një ndryshoreje.

– Llogaritjet e përafërta duke përdorur diferencialin total të një funksioni me dy ndryshore.

Kush ka nevojë për çfarë. Në fakt, ishte e mundur të ndahej pasuria në dy grumbullime, për arsye se pika e dytë i referohet aplikimeve të funksioneve të disa variablave. Por çfarë të bëj, më pëlqejnë artikujt e gjatë.

Llogaritjet e përafërta
duke përdorur diferencialin e një funksioni të një ndryshoreje

Detyra në shqyrtim dhe e saj kuptimi gjeometrik trajtuar tashmë në mësim Çfarë është derivati? , dhe tani do të kufizohemi në një shqyrtim zyrtar të shembujve, i cili është mjaft i mjaftueshëm për të mësuar se si t'i zgjidhim ato.

Në paragrafin e parë, funksioni i një ndryshoreje rregullon. Siç e dinë të gjithë, shënohet përmes ose përmes. Për këtë problem, është shumë më i përshtatshëm të përdoret shënimi i dytë. Le të kalojmë në një shembull popullor që ndodh shpesh në praktikë:

Shembulli 1

Zgjidhja: Ju lutemi kopjoni në fletore formulën e punës për llogaritjen e përafërt duke përdorur diferencialin:

Le të fillojmë, është e lehtë!

Hapi i parë është krijimi i një funksioni. Sipas kushtit, propozohet llogaritja e rrënjës kubike të numrit: , pra funksioni përkatës ka formën: . Duhet të përdorim formulën për të gjetur një vlerë të përafërt.

Ne shikojmë ana e majte formulat dhe të vjen në mendje mendimi se numri 67 duhet të paraqitet si . Cila është mënyra më e lehtë për ta bërë këtë? Unë rekomandoj algoritmin e mëposhtëm: llogarisni këtë vlerë në një kalkulator:
- doli 4 me bisht, ky është një udhëzues i rëndësishëm për zgjidhjen.

Ndërsa zgjedhim vlerën "e mirë", për të nxjerrë rrënjën. Natyrisht, kjo vlerë duhet të jetë sa më afër deri në 67. Në këtë rast: . Vërtet: .

Shënim: Kur montimi është ende një problem, thjesht shikoni vlerën e llogaritur (në këtë rast ), merrni pjesën e plotë më të afërt (në këtë rast 4) dhe ngrijeni atë në fuqinë e dëshiruar (në këtë rast). Si rezultat, zgjedhja e dëshiruar do të bëhet: .

Nëse , atëherë rritja e argumentit: .

Pra, numri 67 përfaqësohet si një shumë

Së pari, ne llogarisim vlerën e funksionit në pikën . Në fakt, kjo tashmë është bërë më parë:

Diferenciali në një pikë gjendet me formulën:
Ju gjithashtu mund të kopjoni në fletoren tuaj.

Nga formula rrjedh se ju duhet të merrni derivatin e parë:

Dhe gjeni vlerën e saj në pikën:

Në këtë mënyrë:

Gjithçka është gati! Sipas formulës:

Vlera e përafërt e gjetur është mjaft afër vlerës llogaritet duke përdorur një mikrollogaritës.

Përgjigje:

Shembulli 2

Llogaritni afërsisht , duke zëvendësuar rritjet e funksionit me diferencialin e tij.

Ky është një shembull bëjeni vetë. Një shembull i përafërt i përfundimit të punës dhe një përgjigje në fund të mësimit. Për fillestarët, unë rekomandoj që së pari të llogarisni vlerën e saktë në një mikrollogaritës në mënyrë që të zbuloni se cilin numër duhet të merrni dhe cilin. Duhet të theksohet se në këtë shembull do të jetë negativ.

Disa mund të kenë një pyetje, pse është e nevojshme kjo detyrë, nëse mund të llogarisni gjithçka me qetësi dhe më saktë në një kalkulator? Jam dakord, detyra është marrëzi dhe naive. Por do të përpiqem ta justifikoj pak. Së pari, detyra ilustron kuptimin e diferencialit të funksionit. Së dyti, në kohët e lashta, kalkulatori ishte diçka si një helikopter personal në kohën tonë. Unë vetë pashë se si një kompjuter me madhësinë e një dhome u hodh nga instituti politeknik lokal diku në vitet 1985-86 (amatorë radio me kaçavida vinin me vrap nga i gjithë qyteti dhe pas nja dy orësh mbeti vetëm rasti nga njësia ). Antike u gjetën gjithashtu në departamentin tonë të fizikës, megjithatë, në një madhësi më të vogël - diku në madhësinë e një tavoline shkollore. Kështu kanë vuajtur paraardhësit tanë me metodat e llogaritjeve të përafërta. Një karrocë me kuaj është gjithashtu një mjet transporti.

Në një mënyrë apo tjetër, problemi mbeti në kursin standard të matematikës së lartë dhe do të duhet të zgjidhet. Kjo është përgjigjja kryesore për pyetjen tuaj =)

Shembulli 3

në pikën. Llogaritni një vlerë më të saktë të funksionit në një pikë duke përdorur një mikrollogaritës, vlerësoni gabimet absolute dhe relative të llogaritjes.

Në fakt, e njëjta detyrë, lehtë mund të riformulohet si më poshtë: “Llogaritni vlerën e përafërt me një diferencial

Zgjidhja: Ne përdorim formulën e njohur:
Në këtë rast, një funksion i gatshëm është dhënë tashmë: . Edhe një herë, unë tërheq vëmendjen tuaj për faktin se është më i përshtatshëm të përdoret në vend të "lojë" për të caktuar një funksion.

Vlera duhet të përfaqësohet si . Epo, këtu është më e lehtë, shohim që numri 1.97 është shumë afër "dyshit", kështu që sugjeron vetë. Dhe për këtë arsye: .

Duke përdorur formulën , ne llogarisim diferencialin në të njëjtën pikë.

Gjetja e derivatit të parë:

Dhe vlera e saj në pikë:

Kështu, diferenciali në pikën:

Si rezultat, sipas formulës:

Pjesa e dytë e detyrës është gjetja e gabimit absolut dhe relativ të llogaritjeve.

Gabim absolut dhe relativ i llogaritjeve

Gabim absolut i llogaritjes gjendet sipas formulës:

Shenja e modulit tregon se nuk na intereson se cila vlerë është më e madhe dhe cila është më e vogël. E rëndësishme, sa larg rezultati i përafërt devijoi nga vlera e saktë në një drejtim ose në një tjetër.

Gabim relativ i llogaritjes gjendet sipas formulës:
, ose, e njëjta gjë:

Gabimi relativ tregon me çfarë përqindje rezultati i përafërt ka devijuar nga vlera e saktë. Ekziston një version i formulës pa u shumëzuar me 100%, por në praktikë pothuajse gjithmonë e shoh versionin e mësipërm me përqindje.

Pas një sfondi të shkurtër, kthehemi te problemi ynë, në të cilin kemi llogaritur vlerën e përafërt të funksionit duke përdorur një diferencial.

Le të llogarisim vlerën e saktë të funksionit duke përdorur një mikrollogaritës:
, në mënyrë rigoroze, vlera është ende e përafërt, por ne do ta konsiderojmë të saktë. Detyra të tilla ndodhin.

Le të llogarisim gabimin absolut:

Le të llogarisim gabimin relativ:
, fitohen të mijtët e përqindjes, kështu që diferenciali dha vetëm një përafrim të madh.

Përgjigje: , gabim absolut i llogaritjes , gabim relativ i llogaritjes

Shembulli i mëposhtëm është për një zgjidhje të pavarur:

Shembulli 4

Llogaritni përafërsisht duke përdorur diferencialin vlerën e funksionit në pikën. Llogaritni një vlerë më të saktë të funksionit në një pikë të caktuar, vlerësoni gabimet absolute dhe relative të llogaritjes.

Një shembull i përafërt i përfundimit të punës dhe një përgjigje në fund të mësimit.

Shumë kanë vënë re se në të gjithë shembujt e shqyrtuar, rrënjët shfaqen. Kjo nuk është e rastësishme, në të shumtën e rasteve, në problemin në shqyrtim propozohen në të vërtetë funksionet me rrënjë.

Por për lexuesit e vuajtur, nxora një shembull të vogël me harkun:

Shembulli 5

Llogaritni përafërsisht duke përdorur diferencialin vlerën e funksionit në pikën

Ky është i shkurtër por shembull arsimor edhe për vendim të pavarur. Dhe pushova pak për të konsideruar një detyrë të veçantë me energji të përtërirë:

Shembulli 6

Llogaritni afërsisht duke përdorur diferencialin, rrumbullakoni rezultatin në dy shifra dhjetore.

Zgjidhja:Çfarë ka të re në detyrë? Sipas kushtit, kërkohet që rezultati të rrumbullakoset në dy shifra dhjetore. Por kjo nuk është çështja, problemi i rrumbullakosjes së shkollës, mendoj se nuk është i vështirë për ju. Çështja është se ne kemi një tangjente me një argument që shprehet në shkallë. Çfarë duhet të bëni kur ju kërkohet të zgjidhni një funksion trigonometrik me gradë? Për shembull, etj.

Algoritmi i zgjidhjes ruhet thelbësisht, domethënë është e nevojshme, si në shembujt e mëparshëm, të zbatohet formula

Shkruani funksionin e dukshëm

Vlera duhet të përfaqësohet si . Ndihma serioze do tabela e vlerave të funksioneve trigonometrike. Nga rruga, kushdo që nuk e ka shtypur, unë rekomandoj ta bëjë këtë, pasi do të duhet të shikoni atje gjatë gjithë kursit të studimit të matematikës së lartë.

Duke analizuar tabelën, vërejmë një vlerë "të mirë" të tangjentes, e cila është afër 47 gradë:

Në këtë mënyrë:

Pas analizave paraprake gradët duhet të shndërrohen në radianë. Po, dhe vetëm kaq!

Në këtë shembull, direkt nga tabela trigonometrike, mund ta zbuloni atë. Formula për konvertimin e shkallëve në radiane është: (Formulat mund të gjenden në të njëjtën tabelë).

Modeli i mëtejshëm:

Në këtë mënyrë: (në llogaritje përdorim vlerën ). Rezultati, siç kërkohet nga kushti, rrumbullakoset në dy shifra dhjetore.

Përgjigje:

Shembulli 7

Llogaritni afërsisht duke përdorur diferencialin, rrumbullakoni rezultatin në tre shifra dhjetore.

Ky është një shembull bëjeni vetë. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Siç mund ta shihni, asgjë e komplikuar, ne i përkthejmë shkallët në radianë dhe i përmbahemi algoritmit të zakonshëm të zgjidhjes.

Llogaritjet e përafërta
duke përdorur diferencialin total të një funksioni me dy ndryshore

Gjithçka do të jetë shumë, shumë e ngjashme, prandaj, nëse keni ardhur në këtë faqe me këtë detyrë të veçantë, atëherë ju rekomandoj që së pari të shikoni të paktën disa shembuj të paragrafit të mëparshëm.

Për të studiuar një paragraf, duhet të jeni në gjendje të gjeni derivatet e pjesshme të rendit të dytë, ku pa to. Në mësimin e mësipërm, shënova funksionin e dy ndryshoreve me shkronjën . Në lidhje me detyrën në shqyrtim, është më e përshtatshme të përdoret shënimi ekuivalent .

Ashtu si në rastin e një funksioni të një ndryshoreje, gjendja e problemit mund të formulohet në mënyra të ndryshme, dhe unë do të përpiqem të marr parasysh të gjitha formulimet e hasura.

Shembulli 8

Zgjidhja: Pavarësisht se si shkruhet kushti, në vetë zgjidhjen, për të përcaktuar funksionin, e përsëris, është më mirë të mos përdorni shkronjën "Z", por.

Dhe këtu është formula e punës:

Para nesh është në fakt motra e madhe e formulës së paragrafit të mëparshëm. Ndryshorja sapo u bë më e madhe. Çfarë mund të them unë vetë algoritmi i zgjidhjes do të jetë në thelb i njëjtë!

Sipas kushtit, kërkohet të gjendet vlera e përafërt e funksionit në pikën .

Le të paraqesim numrin 3.04 si . Vetë simite kërkon të hahet:
,

Le të paraqesim numrin 3.95 si . Radha ka ardhur në gjysmën e dytë të Kolobok:
,

Dhe mos shikoni të gjitha llojet e mashtrimeve të dhelprave, ekziston një Njeri i Gingerbread - ju duhet ta hani atë.

Le të llogarisim vlerën e funksionit në pikën:

Diferenciali i një funksioni në një pikë gjendet me formulën:

Nga formula rrjedh që ju duhet të gjeni derivatet e pjesshme të rendit të parë dhe llogaritni vlerat e tyre në pikën .

Le të llogarisim derivatet e pjesshme të rendit të parë në pikën:

Diferenciali total në pikën:

Kështu, sipas formulës, vlera e përafërt e funksionit në pikën:

Le të llogarisim vlerën e saktë të funksionit në pikën:

Kjo vlerë është absolutisht e saktë.

Gabimet llogariten duke përdorur formula standarde, të cilat tashmë janë diskutuar në këtë artikull.

Gabim absolut:

Gabim relativ:

Përgjigje:, gabim absolut: , gabim relativ:

Shembulli 9

Llogaritni vlerën e përafërt të një funksioni në një pikë duke përdorur një diferencial të plotë, vlerësoni gabimin absolut dhe relativ.

Ky është një shembull bëjeni vetë. Kushdo që ndalet më në detaje në këtë shembull, do t'i kushtojë vëmendje faktit që gabimet e llogaritjes rezultuan shumë, shumë të dukshme. Kjo ndodhi për këtë arsye: në problemin e propozuar, shtimet e argumenteve janë mjaft të mëdha: . Modeli i përgjithshëm është si më poshtë - sa më të mëdha të jenë këto rritje në vlerë absolute, aq më e ulët është saktësia e llogaritjeve. Kështu, për shembull, për një pikë të ngjashme, rritjet do të jenë të vogla: , dhe saktësia e llogaritjeve të përafërta do të jetë shumë e lartë.

Kjo veçori vlen edhe për rastin e një funksioni të një ndryshoreje (pjesa e parë e mësimit).

Shembulli 10

Zgjidhje: Ne e llogarisim këtë shprehje përafërsisht duke përdorur diferencialin total të një funksioni të dy variablave:

Dallimi nga Shembujt 8-9 është se së pari duhet të përpilojmë një funksion prej dy variablash: . Si është i përbërë funksioni, mendoj se është intuitivisht e qartë për të gjithë.

Vlera 4,9973 është afër "pesë", pra: , .
Vlera e 0.9919 është afër "një", prandaj supozojmë: , .

Le të llogarisim vlerën e funksionit në pikën:

Diferencën në një pikë e gjejmë me formulën:

Për ta bërë këtë, ne llogarisim derivatet e pjesshme të rendit të parë në pikën .

Derivatet këtu nuk janë më të thjeshtat, dhe duhet të keni kujdes:

;

.

Diferenciali total në pikën:

Kështu, vlera e përafërt e kësaj shprehjeje:

Le të llogarisim një vlerë më të saktë duke përdorur një mikrollogaritës: 2.998899527

Le të gjejmë gabimin relativ të llogaritjes:

Përgjigje: ,

Vetëm një ilustrim i sa më sipër, në problemin e konsideruar, shtimet e argumenteve janë shumë të vogla dhe gabimi doli të ishte fantastikisht i pakët.

Shembulli 11

Duke përdorur diferencialin total të një funksioni të dy ndryshoreve, llogaritni afërsisht vlerën e kësaj shprehjeje. Llogaritni të njëjtën shprehje duke përdorur një mikrollogaritës. Vlerësoni në përqindje gabimin relativ të llogaritjeve.

Ky është një shembull bëjeni vetë. Një shembull i përafërt i përfundimit në fund të mësimit.

Siç u përmend tashmë, mysafiri më i zakonshëm në këtë lloj detyre është një lloj rrënjë. Por herë pas here ka funksione të tjera. Dhe një shembull i fundit i thjeshtë për relaksim:

Shembulli 12

Duke përdorur diferencialin total të një funksioni me dy ndryshore, llogaritni afërsisht vlerën e funksionit nëse

Zgjidhja është më afër fundit të faqes. Edhe një herë, kushtojini vëmendje formulimit të detyrave të mësimit, në shembuj të ndryshëm në praktikë formulimi mund të jetë i ndryshëm, por kjo nuk ndryshon thelbësisht thelbin dhe algoritmin e zgjidhjes.

Të them të drejtën u lodha pak, sepse materiali ishte i mërzitshëm. Nuk ishte pedagogjike të thuash në fillim të artikullit, por tani është tashmë e mundur =) Në të vërtetë, problemet e matematikës llogaritëse zakonisht nuk janë shumë të vështira, jo shumë interesante, gjëja më e rëndësishme, ndoshta, është të mos bësh një gabim në llogaritjet e zakonshme.

Le të mos fshihen çelësat e kalkulatorit tuaj!

Zgjidhje dhe përgjigje:

Shembulli 2: Zgjidhja: Ne përdorim formulën:
Në këtë rast: , ,

Në këtë mënyrë:
Përgjigje:

Shembulli 4: Zgjidhja: Ne përdorim formulën:
Në këtë rast: , ,

Diferenciale funksionon në një pikë quhet kryesor, linear në lidhje me rritjen e argumentit
pjesë e rritjes së funksionit
, e barabartë me prodhimin e derivatit të funksionit në pikë për rritjen e ndryshores së pavarur:

.

Prandaj rritja e funksionit
ndryshe nga diferenciali i tij
në një vlerë infiniteminale dhe për vlera mjaft të vogla, mund të supozojmë
ose

Formula e mësipërme përdoret në llogaritjet e përafërta, dhe aq më pak
, aq më e saktë është formula.

Shembulli 3.1. Llogaritni përafërsisht

Zgjidhje. Merrni parasysh funksionin
. atë funksioni i fuqisë dhe derivati ​​i tij

Si ju duhet të merrni një numër që plotëson kushtet:

Kuptimi
të njohura ose mjaft të lehta për t'u llogaritur;

Numri duhet të jetë sa më afër 33.2 të jetë e mundur.

Në rastin tonë, këto kërkesa plotësohen nga numri = 32, për të cilën
= 2,
= 33,2 -32 = 1,2.

Duke aplikuar formulën, gjejmë numrin e kërkuar:

+
.

Shembulli 3.2. Gjeni kohën për dyfishimin e depozitës në bankë nëse norma e interesit bankar për vitin është 5% në vit.

Zgjidhje. Gjatë vitit, kontributi rritet me
herë, por për vite, kontributi do të rritet në
një herë. Tani duhet të zgjidhim ekuacionin:
=2. Duke marrë një logaritëm, arrijmë ku
. Ne marrim një formulë të përafërt për llogaritjen
. Duke supozuar
, Gjej
dhe në përputhje me formulën e përafërt. Në rastin tonë
dhe
. Nga këtu. Sepse
, gjejmë kohën e dyfishimit të kontributit
vjet.

Pyetje për vetë-ekzaminim

1. Përcaktoni diferencialin e një funksioni në një pikë.

2. Pse formula e përdorur për llogaritjet është e përafërt?

3. Cilat kushte duhet të plotësojë numri përfshihet në formulën e mësipërme?

Detyrat për punë të pavarur

Llogaritni vlerën e përafërt
, duke zëvendësuar në pikë
rritja e funksionit
diferencialin e tij.

Tabela 3.1

4 .Hetimi i funksioneve dhe ndërtimi i grafikëve të tyre

Nëse një funksion i një ndryshoreje jepet si formulë
, atëherë domeni i përkufizimit të tij është një grup i tillë vlerash të argumentit , mbi të cilin përcaktohen vlerat e funksionit.

Shembulli 4.1. Vlera e funksionit
përcaktohen vetëm për vlerat jo negative të shprehjes radikale:
. Prandaj, fusha e përcaktimit të funksionit është gjysmë-intervali, pasi vlera e funksionit trigonometrik
plotësojnë pabarazinë: -1
1.

Funksioni
thirrur madje, nëse për ndonjë vlerë nga fusha e përkufizimit të saj, barazia

,

dhe i çuditshëm, nëse relacioni tjetër është i vërtetë:
. Në raste të tjera, funksioni thirret funksionin pamje e përgjithshme.

Shembulli 4.4. Le
. Le të kontrollojmë: . Pra, ky funksion është i barabartë.

Për funksionin
drejtë. Prandaj ky funksion është i çuditshëm.

Shuma e funksioneve të mëparshme
është një funksion i përgjithshëm, pasi funksioni nuk është i barabartë me
dhe
.

Asimptotë grafiku i funksionit
quhet një drejtëz që ka vetinë që distanca nga pika ( ;
) i rrafshit në këtë vijë të drejtë priret në zero me një largim të pakufizuar të pikës grafike nga origjina. Ka asimptota vertikale (Fig. 4.1), horizontale (Fig. 4.2) dhe zhdrejtë (Fig. 4.3).

Oriz. 4.1. Orari

Oriz. 4.2. Orari

Oriz. 4.3. Orari

Asimptotat vertikale të një funksioni duhet të kërkohen ose në pikat e ndërprerjes së llojit të dytë (të paktën një nga kufijtë e njëanshëm të funksionit në pikë është i pafund ose nuk ekziston), ose në skajet e domenit të tij të përkufizimit
, nëse
janë numra përfundimtarë.

Nëse funksioni
është përcaktuar në vijën e plotë numerike dhe ka një kufi të fundëm
, ose
, atëherë drejtëza e dhënë nga ekuacioni
, është asimptota horizontale në të djathtë dhe vija e drejtë
është asimptota horizontale e majtë.

Nëse ka kufij

dhe
,

pastaj drejt
është asimptota e zhdrejtë e grafikut të funksionit. Asimptota e zhdrejtë mund të jetë gjithashtu e djathtë (
) ose mëngjarash (
).

Funksioni
quhet rritje në grup
, nëse për ndonjë
, sikurse >, vlen pabarazia e mëposhtme:
>
(duke u ulur nëse në të njëjtën kohë:
<
). Shume nga
në këtë rast quhet intervali i monotonitetit të funksionit.

Kushti i mëposhtëm i mjaftueshëm për monotoninë e një funksioni është i vërtetë: nëse derivati ​​i një funksioni të diferencueshëm brenda grupit
është pozitive (negative), atëherë funksioni po rritet (zvogëlohet) në këtë grup.

Shembulli 4.5. Jepet një funksion
. Gjeni intervalet e tij të rritjes dhe uljes.

Zgjidhje. Le të gjejmë derivatin e tij
. Është e qartë se >0 në >3 dhe <0 при<3. Отсюда функция убывает на интервале (
;3) dhe rritet me (3;
).

Pika quajtur një pikë maksimumi lokal (minimumi) funksione
, nëse në ndonjë lagje të pikës pabarazia
(
) . Vlera e funksionit në pikë thirrur maksimale (minimale). Maksimumi dhe minimumi i një funksioni kombinohen me një emër të përbashkët ekstreme funksione.

Në mënyrë për funksionin
kishte një ekstrem në atë pikë është e nevojshme që derivati ​​i tij në këtë pikë të jetë i barabartë me zero (
) ose nuk ekzistonte.

Quhen pikat ku derivati ​​i një funksioni është zero stacionare pikat e funksionit. Në një pikë të palëvizshme, nuk duhet të ketë domosdoshmërisht një ekstrem të funksionit. Për të gjetur ekstremin, është e nevojshme të hetohen gjithashtu pikat stacionare të funksionit, për shembull, duke përdorur kushte të mjaftueshme ekstreme.

E para prej tyre është se nëse, kur kalon nëpër një pikë të palëvizshme nga e majta në të djathtë, derivati ​​i një funksioni të diferencueshëm ndryshon shenjën nga plus në minus, pastaj arrihet një maksimum lokal në pikë. Nëse shenja ndryshon nga minus në plus, atëherë kjo është pika minimale e funksionit.

Nëse shenja e derivatit nuk ndryshon kur kalon në pikën në studim, atëherë nuk ka ekstrem në këtë pikë.

Kushti i dytë i mjaftueshëm për ekstremin e një funksioni në një pikë të palëvizshme përdor derivatin e dytë të funksionit: nëse
<0, тоështë pika maksimale, dhe nëse
>0, atëherë - pikë minimale. Në
=0 pyetja për llojin e ekstremit mbetet e hapur.

Funksioni
thirrur konveks (konkave)) në set
, nëse për çdo dy vlera
vlen pabarazia e mëposhtme:

.

Fig.4.4. Grafiku i një funksioni konveks

Nëse derivati ​​i dytë i një funksioni dy herë të diferencueshëm
pozitive (negative) brenda kompletit
, atëherë funksioni është konkav (konveks) në grup
.

Pika e lakimit të një grafiku të një funksioni të vazhdueshëm
quhet pika që ndan intervalet në të cilat funksioni është konveks dhe konkav.

Derivati ​​i dytë
funksion i dyfishtë i diferencueshëm në një pikë lakimi barazohet me zero, pra
= 0.

Nëse derivati ​​i dytë kur kalon nëpër ndonjë pikë ndryshon shenjën e saj, atëherë është pika e lakimit të grafikut të saj.

Kur studioni një funksion dhe vizatoni grafikun e tij, rekomandohet të përdorni skemën e mëposhtme:

Vlera e përafërt e rritjes së funksionit

Për rritje mjaft të vogla, funksioni është afërsisht i barabartë me diferencialin e tij, d.m.th. Dy » dy dhe, prandaj,

Shembulli 2 Gjeni vlerën e përafërt të rritjes së funksionit y= kur argumenti x ndryshon nga vlera x 0 =3 në x 1 =3.01.

Zgjidhje. Ne përdorim formulën (2.3). Për ta bërë këtë, ne llogarisim

X 1 - x 0 \u003d 3,01 - 3 \u003d 0,01, më pas

Bëj » .

Vlera e përafërt e një funksioni në një pikë

Në përputhje me përkufizimin e rritjes së funksionit y = f(x) në pikën x 0, kur argumenti Dx (Dx®0) rritet, Dy = f(x 0 + Dx) - f(x 0) dhe formula (3.3) mund të shkruhet

f(x 0 + Dx) » f(x 0) + . (3.4)

Raste të veçanta të formulës (3.4) janë shprehjet:

(1 + Dx) n » 1 + nDx (3.4a)

ln(1 + Dx) » Dx (3.4b)

sinDx » Dx (3.4v)

tgDx » Dx (3.4g)

Këtu, si më parë, supozohet se Dx®0.

Shembulli 3 Gjeni vlerën e përafërt të funksionit f (x) \u003d (3x -5) 5 në pikën x 1 \u003d 2.02.

Zgjidhje. Për llogaritjet, ne përdorim formulën (3.4). Le të paraqesim x 1 si x 1 = x 0 + Dx. Pastaj x 0 = 2, Dx = 0,02.

f(2.02)=f(2 + 0.02) » f(2) +

f(2) = (3 × 2 - 5) 5 = 1

15 × (3 × 2 - 5) 4 = 15

f(2,02) = (3 × 2,02 - 5) 5 » 1 + 15 × 0,02 = 1,3

Shembulli 4 Llogaritni (1.01) 5 , , ln(1.02), ln .

Zgjidhje

1. Le të përdorim formulën (3.4a). Për ta bërë këtë, ne përfaqësojmë (1.01) 5 si (1+0.01) 5.

Pastaj, duke supozuar Dx = 0.01, n = 5, marrim

(1,01) 5 = (1 + 0,01) 5 » 1 + 5 × 0,01 = 1,05.

2. Duke përfaqësuar në formën (1 - 0.006) 1/6, sipas (3.4a), marrim

(1 - 0,006) 1/6 "1 + .

3. Duke marrë parasysh që ln(1.02) = ln(1 + 0.02) dhe duke supozuar Dx=0.02, me formulën (3.4b) marrim

ln(1.02) = ln(1 + 0.02) » 0.02.

4. Në mënyrë të ngjashme

ln = ln (1 - 0,05) 1/5 = .

Gjeni rritje të përafërta të funksioneve

155. y = 2x 3 + 5 kur argumenti x ndryshon nga x 0 = 2 në x 1 = 2,001

156. y \u003d 3x 2 + 5x + 1 për x 0 \u003d 3 dhe Dx \u003d 0,001

157. y \u003d x 3 + x - 1 me x 0 \u003d 2 dhe Dx \u003d 0,01

158. y \u003d ln x në x 0 \u003d 10 dhe Dx \u003d 0,01

159. y \u003d x 2 - 2x me x 0 \u003d 3 dhe Dx \u003d 0,01

Gjeni vlerat e përafërta të funksioneve

160. y \u003d 2x 2 - x + 1 në x 1 \u003d 2,01

161. y \u003d x 2 + 3x + 1 në x 1 \u003d 3,02

162.y= në pikën x 1 = 1.1

163. y \u003d në pikën x 1 \u003d 3.032

164. y \u003d në pikën x 1 \u003d 3.97

165. y \u003d mëkat 2x në x 1 \u003d 0,015

Llogaritni përafërsisht

166. (1,025) 10 167. (9,06) 2 168.(1,012) 3

169. (9,95) 3 170. (1,005) 10 171. (0,975) 4

172. 173. 174.

175. 176. 177.

178 ln (1,003×e) 179 ln (1,05) 5 180 ln

181.ln0.98 182.ln 183.ln(e 2 ×0.97)

Eksplorimi i funksioneve dhe vizatimi

Shenjat e monotonitetit të një funksioni

Teorema 1 (kusht i domosdoshëm për rritjen (zvogëlimin) e funksioneve) . Nëse një funksion i diferencueshëm y = f(x), xн(a; b) rritet (zvogëlohet) në intervalin (a; b), atëherë për çdo x 0 н(a; b).

Teorema 2 (kusht i mjaftueshëm për rritjen (zvogëlimin) e funksioneve) . Nëse një funksion y = f(x), xн(a; b) ka një derivat pozitiv (negativ) në çdo pikë të intervalit (a; b), atëherë ky funksion rritet (zvogëlohet) në këtë interval.

Ekstremet e funksionit

Përkufizimi 1. Pika x 0 quhet pika maksimale (minimale) e funksionit y \u003d f (x) nëse për të gjitha x nga disa fqinjësi d të pikës x 0 pabarazia f (x)< f(x 0) (f(x) >f(x 0)) për x ¹ x 0 .

Teorema 3 (Ferma) (kusht i domosdoshëm për ekzistimin e një ekstremi) . Nëse pika x 0 është pika ekstreme e funksionit y = f(x) dhe ka një derivat në këtë pikë, atëherë

Teorema 4 (kushti i parë i mjaftueshëm për ekzistencën e një ekstremi) . Le të jetë funksioni y = f(x) i diferencueshëm në ndonjë fqinjësi d të pikës x 0 . Pastaj:

1) nëse derivati, kur kalon nëpër pikën x 0, ndryshon shenjën nga (+) në (-), atëherë x 0 është pika maksimale;

2) nëse derivati, kur kalon nëpër pikën x 0, ndryshon shenjën nga (-) në (+), atëherë x 0 është pika minimale;

3) nëse derivati ​​nuk ndryshon shenjë kur kalon në pikën x 0, atëherë në pikën x 0 funksioni nuk ka një ekstrem.

Përkufizimi 2. Quhen pikat në të cilat derivati ​​i një funksioni zhduket ose nuk ekziston pikat kritike të llojit të parë.

duke përdorur derivatin e parë

1. Gjeni domenin e përkufizimit D(f) të funksionit y = f(x).

2. Njehsoni derivatin e parë

3. Gjeni pika kritike të llojit të parë.

4. Vendosni pikat kritike në domenin D(f) të funksionit y = f(x) dhe përcaktoni shenjën e derivatit në intervalet në të cilat pikat kritike ndajnë domenin e funksionit.

5. Zgjidhni pikat maksimale dhe minimale të funksionit dhe llogaritni vlerat e funksionit në këto pika.

Shembulli 1 Hetoni funksionin y \u003d x 3 - 3x 2 për një ekstrem.

Zgjidhje. Në përputhje me algoritmin për gjetjen e ekstremit të një funksioni duke përdorur derivatin e parë, kemi:

1. D(f): xн(-¥; ¥).

2. .

3. 3x 2 - 6x = 0 z x = 0, x = 2 janë pika kritike të llojit të parë.

Derivati ​​kur kalon në pikën x = 0

ndryshon shenjën nga (+) në (-), pra është një pikë

Maksimumi. Kur kalon nëpër pikën x \u003d 2, ai ndryshon shenjën nga (-) në (+), prandaj kjo është pika minimale.

5. ymax = f(0) = 0 3 × 3 × 0 2 = 0.

Koordinatat maksimale (0; 0).

y min \u003d f (2) \u003d 2 3 - 3 × 2 2 \u003d -4.

Koordinatat minimale (2; -4).

Teorema 5 (kushti i dytë i mjaftueshëm për ekzistencën e një ekstremi) . Nëse funksioni y \u003d f (x) është i përcaktuar dhe dy herë i diferencueshëm në ndonjë fqinjësi të pikës x 0, dhe , atëherë në pikën x 0 funksioni f (x) ka një maksimum nëse dhe një minimum nëse .

Algoritmi për gjetjen e ekstremumit të një funksioni

duke përdorur derivatin e dytë

1. Gjeni domenin e përkufizimit D(f) të funksionit y = f(x).

2. Njehsoni derivatin e parë

208. f(x) = 209. f(x) =

210. f(x) = x (log x - 2) 211. f(x) = x log 2 x + x + 4

23. Koncepti i diferencialit të një funksioni. Vetitë. Zbatimi i diferencialit në përafrimth llogaritjet.

Koncepti i diferencialit të funksionit

Le të ketë funksioni y=ƒ(x) një derivat jozero në pikën x.

Më pas, sipas teoremës për lidhjen e një funksioni, kufirit të tij dhe një funksioni infinite vogël mund të shkruajmë ∆х+α ∆х.

Kështu, rritja e funksionit ∆у është shuma e dy termave ƒ "(х) ∆х dhe a ∆х, të cilët janë infinitimal në ∆x→0. Në këtë rast, termi i parë është një funksion pafundësisht i vogël i i njëjti rend me ∆х, pasi dhe termi i dytë është një funksion pafundësisht i vogël i rendit më të lartë se ∆x:

Prandaj, termi i parë ƒ "(x) ∆x quhet pjesa kryesore e rritjes funksionet ∆у.

funksioni diferencial y \u003d ƒ (x) në pikën x quhet pjesa kryesore e rritjes së saj, e barabartë me produktin e derivatit të funksionit dhe rritjen e argumentit, dhe shënohet dу (ose dƒ (x)):

dy=ƒ"(х) ∆х. (1)

Diferenciali dу quhet gjithashtu diferencial i rendit të parë. Le të gjejmë diferencialin e ndryshores së pavarur x, pra diferencialin e funksionit y=x.

Meqenëse y"=x"=1, atëherë, sipas formulës (1), kemi dy=dx=∆x, d.m.th., diferenciali i ndryshores së pavarur është i barabartë me shtimin e kësaj ndryshoreje: dx=∆x.

Prandaj, formula (1) mund të shkruhet si më poshtë:

dy \u003d ƒ "(x) dx, (2)

me fjalë të tjera, diferenciali i një funksioni është i barabartë me produktin e derivatit të këtij funksioni dhe diferencialin e ndryshores së pavarur.

Nga formula (2), vijon barazia dy / dx \u003d ƒ "(x). Tani përcaktimi

derivati ​​dy/dx mund të shihet si raport i diferencialeve dy dhe dx.

Diferencialeka vetitë kryesore të mëposhtme.

1. d(Me)=0.

2. d(u+w-v)=du+dw-dv.

3. d(uv)=du v+u dv.

d(Meu)=Med(u).

4. .

5. y= f(z), , ,

Forma e diferencialit është invariante (invariante): është gjithmonë e barabartë me produktin e derivatit të funksionit dhe diferencialit të argumentit, pavarësisht nëse argumenti është i thjeshtë apo kompleks.

Zbatimi i diferencialit në llogaritjet e përafërta

Siç dihet tashmë, rritja ∆у e funksionit y=ƒ(х) në pikën x mund të paraqitet si ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х, ku α→0 si ∆х→0, ose dy+α ∆x Duke hedhur poshtë α ∆x infiniteminale të rendit më të lartë se ∆x, marrim barazinë e përafërt

∆y≈dy, (3)

për më tepër, kjo barazi është sa më e saktë, aq më e vogël është ∆x.

Kjo barazi na lejon të llogarisim afërsisht rritjen e çdo funksioni të diferencueshëm me saktësi të madhe.

Diferenciali zakonisht gjendet shumë më i lehtë se rritja e funksionit, kështu që formula (3) përdoret gjerësisht në praktikën llogaritëse.

24. Funksioni antiderivativ dhe i pacaktuarintegrali.

KONCEPTI I NJË FUNKSIONI DERIVATIV DHE INTEGRALI I PAPAKTUAR

Funksioni F (X) quhet funksioni antiderivativ për këtë funksion f (X) (ose shkurtimisht, primitive këtë funksion f (X)) në një interval të caktuar, nëse në këtë interval . Shembull. Funksioni është antiderivativ i funksionit në të gjithë boshtin e numrave, pasi për cilindo X. Vini re se së bashku me funksionin antiderivativ for është çdo funksion i formës , ku NGA- një numër konstant arbitrar (kjo rrjedh nga fakti se derivati ​​i konstantës është i barabartë me zero). Kjo pronë vlen edhe në rastin e përgjithshëm.

Teorema 1. Nëse dhe janë dy antiderivat për funksionin f (X) në një interval, atëherë diferenca midis tyre në këtë interval është e barabartë me një numër konstant. Nga kjo teoremë del se nëse dihet ndonjë antiderivativ F (X) të këtij funksioni f (X), pastaj i gjithë grupi i antiderivativëve për f (X) shterohet nga funksionet F (X) + NGA. Shprehje F (X) + NGA, ku F (X) është antiderivati ​​i funksionit f (X) dhe NGAështë një konstante arbitrare, e quajtur integral i pacaktuar nga funksioni f (X) dhe shënohet me simbolin , dhe f (X) quhet integrand ; - integrand , X - variabli i integrimit ; ∫ - shenjë integrale e pacaktuar . Pra sipas definicionit nëse . Lind pyetja: për çdo funksione f (X) ka një antiderivativ dhe rrjedhimisht një integral të pacaktuar? Teorema 2. Nëse funksioni f (X) të vazhdueshme në [ a ; b], pastaj në këtë segment për funksionin f (X) ka një primitiv . Më poshtë do të flasim për antiderivatet vetëm për funksione të vazhdueshme. Prandaj, integralet e konsideruara më poshtë në këtë seksion ekzistojnë.

25. Vetitë e të pacaktuaritdheintegrale. Integrales nga funksionet elementare bazë.

Vetitë e integralit të pacaktuar

Në formulat e mëposhtme f dhe g- funksionet e ndryshueshme x, F- antiderivativ i funksionit f, a, k, C janë vlera konstante.







Integrale të funksioneve elementare

Lista e integraleve të funksioneve racionale

(antiderivati ​​i zeros është një konstante; në çdo varg integrimi, integrali i zeros është i barabartë me zero)

Lista e integraleve të funksioneve logaritmike

Lista e integraleve të funksioneve eksponenciale

Lista e integraleve të funksioneve irracionale

("logaritmi i gjatë")

lista e integraleve të funksioneve trigonometrike , lista e integraleve të funksioneve trigonometrike të anasjellta

26. Mënyra e zëvendësimeves variabël, Metoda e integrimit sipas pjesëve në integralin e pacaktuar.

Metoda e zëvendësimit të ndryshueshëm (metoda e zëvendësimit)

Metoda e integrimit të zëvendësimit konsiston në prezantimin e një variabli të ri integrimi (d.m.th., një zëvendësimi). Në këtë rast, integrali i dhënë reduktohet në një integral të ri, i cili është tabelor ose i reduktueshëm në të. Nuk ka metoda të përgjithshme për zgjedhjen e zëvendësimeve. Aftësia për të përcaktuar saktë zëvendësimin fitohet nga praktika.

Le të kërkohet për të llogaritur integralin Le të bëjmë një zëvendësim ku është një funksion që ka një derivat të vazhdueshëm.

Pastaj dhe bazuar në vetinë e pandryshueshmërisë së formulës për integrimin e integralit të pacaktuar, marrim formula e integrimit të zëvendësimit:

Integrimi sipas pjesëve

Integrimi sipas pjesëve - duke aplikuar formulën e mëposhtme për integrim:

Në veçanti, me ndihmën n-përplasje e kësaj formule, gjendet integrali

ku është një polinom i shkallës së th.

30. Vetitë e një integrali të caktuar. Formula Njuton-Leibniz.

Vetitë themelore të një integrali të caktuar

Vetitë e integralit të caktuar

Formula Njuton-Leibniz.

Lëreni funksionin f (x) është e vazhdueshme në intervalin e mbyllur [ a, b]. Nese nje F (x) - antiderivativ funksione f (x) në [ a, b], atëherë