Probabilitetet P(H i) të hipotezave H i quhen probabilitete a priori - probabilitetet para eksperimenteve.
Probabilitetet P(A/H i) quhen probabilitete a posteriori - probabilitetet e hipotezave H i të rafinuara si rezultat i eksperimentit.

Shembulli #1. Pajisja mund të montohet nga pjesë të cilësisë së lartë dhe nga pjesë të cilësisë së zakonshme. Rreth 40% e pajisjeve janë montuar nga pjesë të cilësisë së lartë. Nëse pajisja është montuar nga pjesë me cilësi të lartë, besueshmëria e saj (probabiliteti koha e funksionimit) me kalimin e kohës t është 0,95; nëse nga pjesët me cilësi të zakonshme - besueshmëria e tij është 0.7. Pajisja u testua për kohën t dhe funksionoi pa të meta. Gjeni probabilitetin që ai të jetë i montuar nga pjesë të cilësisë së lartë.
Zgjidhje. Dy hipoteza janë të mundshme: H 1 - pajisja është mbledhur nga pjesë me cilësi të lartë; H 2 - pajisja është mbledhur nga pjesë të cilësisë së zakonshme. Probabilitetet e këtyre hipotezave para eksperimentit: P(H 1) = 0.4, P(H 2) = 0.6. Si rezultat i eksperimentit, u vu re ngjarja A - pajisja funksionoi në mënyrë të përsosur për kohën t. Probabilitetet e kushtëzuara të kësaj ngjarje sipas hipotezave H 1 dhe H 2 janë: P(A|H 1) = 0,95; P(A|H 2) = 0,7. Duke përdorur formulën (12), gjejmë probabilitetin e hipotezës H 1 pas eksperimentit:

Shembulli #2. Dy gjuajtës qëllojnë në mënyrë të pavarur në të njëjtin objektiv, secili qëllon nga një gjuajtje. Probabiliteti për të goditur objektivin për gjuajtësin e parë është 0.8, për të dytin 0.4. Pas të shtënave, në objektiv është gjetur një vrimë. Duke supozuar se dy gjuajtës nuk mund të godasin të njëjtën pikë, gjeni probabilitetin që gjuajtësi i parë të godasë objektivin.
Zgjidhje. Le të jetë ngjarja A një vrimë e gjetur në objektiv pas gjuajtjes. Para fillimit të të shtënave, hipotezat janë të mundshme:
H 1 - as gjuajtësi i parë dhe as i dyti nuk do të godasë, probabiliteti i kësaj hipoteze: P(H 1) = 0.2 0.6 = 0.12.
H 2 - të dy gjuajtësit do të godasin, P(H 2) = 0,8 0,4 = 0,32.
H 3 - gjuajtësi i parë do të godasë, dhe i dyti nuk do të godasë, P(H 3) = 0,8 0,6 = 0,48.
H 4 - gjuajtësi i parë nuk do të godasë, por i dyti do të godasë, P (H 4) = 0,2 0,4 = 0,08.
Probabilitetet e kushtëzuara të ngjarjes A sipas këtyre hipotezave janë:

Pas përvojës, hipotezat H 1 dhe H 2 bëhen të pamundura, dhe probabilitetet e hipotezave H 3 dhe H 4
do të jetë e barabartë:

Shembulli #3. Në dyqanin e montimit, një motor elektrik është i lidhur me pajisjen. Motorët elektrikë furnizohen nga tre prodhues. Në magazinë gjenden përkatësisht 19.6 dhe 11 elektromotor të impianteve të përmendura, të cilët mund të punojnë pa dështim deri në fund të periudhës së garancisë, përkatësisht me probabilitete 0.85, 0.76 dhe 0.71. Punëtori merr rastësisht një motor dhe e monton në pajisje. Gjeni probabilitetin që motori elektrik, i montuar dhe duke punuar pa dështuar deri në fund të periudhës së garancisë, të jetë furnizuar nga prodhuesi i parë, i dytë ose i tretë, përkatësisht.
Zgjidhje. Testi i parë është zgjedhja e motorit elektrik, i dyti është funksionimi i motorit elektrik gjatë periudhës së garancisë. Merrni parasysh ngjarjet e mëposhtme:
A - motori elektrik punon pa të meta deri në fund të periudhës së garancisë;
H 1 - montuesi do të marrë motorin nga produktet e fabrikës së parë;
H 2 - montuesi do të marrë motorin nga produktet e fabrikës së dytë;
H 3 - montuesi do të marrë motorin nga produktet e fabrikës së tretë.
Probabiliteti i ngjarjes A llogaritet me formulë probabilitet të plotë:

Probabilitetet e kushtëzuara janë të specifikuara në deklaratën e problemit:

Le të gjejmë probabilitetet

Shembulli #4. Probabilitetet që gjatë funksionimit të sistemit, i cili përbëhet nga tre elementë, të dështojnë elementët me numrat 1, 2 dhe 3, lidhen si 3: 2: 5. Probabilitetet e zbulimit të dështimeve të këtyre elementeve janë përkatësisht 0,95; 0.9 dhe 0.6.

b) Në kushtet e kësaj detyre është konstatuar një dështim gjatë funksionimit të sistemit. Cili element ka më shumë gjasa të dështojë?

Zgjidhje.
Le të jetë A një ngjarje dështimi. Le të prezantojmë një sistem hipotezash H1 - dështim i elementit të parë, H2 - dështim i elementit të dytë, H3 - dështim i elementit të tretë.
Ne gjejmë probabilitetet e hipotezave:
P(H1) = 3/(3+2+5) = 0,3
P(H2) = 2/(3+2+5) = 0,2
P(H3) = 5/(3+2+5) = 0,5

Sipas kushtit të problemit, probabilitetet e kushtëzuara të ngjarjes A janë:
P(A|H1) = 0.95, P(A|H2) = 0.9, P(A|H3) = 0.6

a) Gjeni probabilitetin e zbulimit të një dështimi në sistem.
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 0.3*0.95 + 0.2*0.9 + 0.5 *0,6 = 0,765

b) Në kushtet e kësaj detyre është konstatuar një dështim gjatë funksionimit të sistemit. Cili element ka më shumë gjasa të dështojë?
P1 = P(H1)*P(A|H1)/ P(A) = 0,3*0,95 / 0,765 = 0,373
P2 = P(H2)*P(A|H2)/ P(A) = 0,2*0,9 / 0,765 = 0,235
P3 = P(H3)*P(A|H3)/ P(A) = 0,5*0,6 / 0,765 = 0,392

Probabiliteti maksimal i elementit të tretë.

Teori e shkurtër

Nëse një ngjarje ndodh vetëm nëse ndodh një nga ngjarjet që formojnë një grup të plotë ngjarjesh të papajtueshme, atëherë ajo është e barabartë me shumën e produkteve të probabiliteteve të secilës prej ngjarjeve dhe portofolin përkatës të probabilitetit të kushtëzuar.

Në këtë rast, ngjarjet quhen hipoteza, dhe probabilitetet quhen apriori. Kjo formulë quhet formula e probabilitetit total.

Formula e Bayes përdoret në zgjidhjen e problemeve praktike, kur ka ndodhur një ngjarje që shfaqet së bashku me ndonjë nga ngjarjet që formojnë një grup të plotë ngjarjesh dhe kërkohet të kryhet një rivlerësim sasior i probabiliteteve të hipotezave. Probabilitetet a priori (para përvojës) janë të njohura. Kërkohet llogaritja e probabiliteteve a posteriori (pas përvojës), d.m.th. Në thelb, ju duhet të gjeni probabilitetet e kushtëzuara. Formula e Bayes duket si kjo:

Faqja tjetër trajton problemin në .

Shembull i zgjidhjes së problemit

Kushti i detyrës 1

Në fabrikë, makinat 1, 2 dhe 3 prodhojnë përkatësisht 20%, 35% dhe 45% të të gjitha pjesëve. Në produktet e tyre, defekti është përkatësisht 6%, 4%, 2%. Sa është probabiliteti që një artikull i zgjedhur rastësisht të jetë me defekt? Sa është probabiliteti që është prodhuar: a) nga makina 1; b) makina 2; c) makina 3?

Zgjidhja e problemit 1

Shënoni me rastin kur produkti standard doli të ishte me defekt.

Një ngjarje mund të ndodhë vetëm nëse ndodh një nga tre ngjarjet:

Produkti prodhohet në makinën 1;

Produkti prodhohet në makinën 2;

Produkti prodhohet në makinën 3;

Le të shkruajmë probabilitetet e kushtëzuara:

Formula e probabilitetit total

Nëse një ngjarje mund të ndodhë vetëm kur ndodh një nga ngjarjet që formojnë një grup të plotë ngjarjesh të papajtueshme, atëherë probabiliteti i ngjarjes llogaritet me formulën

Duke përdorur formulën e probabilitetit total, gjejmë probabilitetin e një ngjarjeje:

Formula e Bayes

Formula e Bayes ju lejon të "riorganizoni shkakun dhe efektin": sipas fakt i njohur ngjarje për të llogaritur probabilitetin që është shkaktuar nga një shkak i caktuar.

Probabiliteti që një artikull me defekt është prodhuar në makinën 1:

Probabiliteti që një artikull me defekt është prodhuar në makinën 2:

Probabiliteti që një artikull me defekt është prodhuar në makinën 3:

Kushti i detyrës 2

Grupi përbëhet nga 1 student ekselentë, 5 studentë të mirë dhe 14 studentë mediokër. Një nxënës i shkëlqyer i përgjigjet 5 dhe 4 me probabilitet të barabartë, një student i mirë i përgjigjet 5, 4 dhe 3 me probabilitet të barabartë dhe një student mediokër përgjigjet 4,3 dhe 2 me probabilitet të barabartë. Një nxënës i përzgjedhur rastësisht u përgjigj 4. Sa është probabiliteti që të quhet një student mediokër?

Zgjidhja e problemit 2

Hipotezat dhe probabilitetet e kushtëzuara

Hipotezat e mëposhtme janë të mundshme:

Studenti i shkëlqyer u përgjigj;

U përgjigj mirë;

– u përgjigj studenti mediokër;

Lëreni që ngjarja-nxënësi të marrë 4.

Përgjigje:

Çmimi ndikohet fuqishëm nga urgjenca e vendimit (nga ditë në disa orë). Ndihma online në provim/test kryhet me takim.

Aplikacioni mund të lihet direkt në chat, duke hequr më parë gjendjen e detyrave dhe duke ju informuar për afatet për zgjidhjen e tij. Koha e përgjigjes është disa minuta.

Objektiv: për të formuar aftësi për zgjidhjen e problemeve në teorinë e probabilitetit duke përdorur formulën e probabilitetit total dhe formulën e Bayes.

Formula e probabilitetit total

Probabiliteti i ngjarjes POR, e cila mund të ndodhë vetëm nëse ndodh një nga ngjarjet e papajtueshme B x, B 2,..., B n, formimi i një grupi të plotë është i barabartë me shumën e produkteve të probabiliteteve të secilës prej këtyre ngjarjeve dhe probabilitetin përkatës të kushtëzuar të ngjarjes A:

Kjo formulë quhet formula e probabilitetit total.

Probabiliteti i hipotezave. Formula e Bayes

Lëreni ngjarjen POR mund të ndodhë nëse ndodh një nga ngjarjet e papajtueshme B b B 2,...,B p, duke formuar një grup të plotë. Meqenëse nuk dihet paraprakisht se cila nga këto ngjarje do të ndodhë, ato quhen hipoteza. Probabiliteti për të ndodhur një ngjarje POR përcaktohet nga formula e probabilitetit total:

Supozoni se është kryer një test, si rezultat i të cilit ka ndodhur një ngjarje POR. Kërkohet të përcaktohet se si kanë ndryshuar (për faktin se ngjarja POR tashmë të ardhur) probabilitetet e hipotezave. Probabilitetet e kushtëzuara të hipotezave gjenden me formulë

Në këtë formulë, indeksi / = 1.2

Kjo formulë quhet formula e Bayes (sipas matematikanit anglez që e nxori atë; botuar në 1764). Formula Bayes ju lejon të rivlerësoni probabilitetet e hipotezave pasi rezultati i testit të bëhet i njohur, si rezultat i të cilit u shfaq ngjarja POR.

Detyra 1. Impianti prodhon një lloj të caktuar të pjesës, secila pjesë ka një defekt me probabilitet 0.05. Pjesa kontrollohet nga një inspektor; zbulon një defekt me probabilitet 0.97 dhe nëse nuk konstatohet defekt, e kalon pjesën në produktin e përfunduar. Përveç kësaj, inspektori mund të refuzojë gabimisht një pjesë që nuk ka defekt; probabiliteti për këtë është 0.01. Gjeni probabilitetet e ngjarjeve të mëposhtme: A - pjesa do të refuzohet; B - pjesa do të refuzohet, por gabimisht; C - pjesa do të kalohet në produktin e përfunduar me një defekt.

Zgjidhje

Le të shënojmë hipotezat:

H= (një pjesë standarde do të dërgohet për inspektim);

H= (një pjesë jo standarde do të dërgohet për inspektim).

Ngjarje A =(pjesa do të refuzohet).

Nga gjendja e problemit gjejmë probabilitetet

P H (A) = 0,01; Pfi (A) = 0,97.

Sipas formulës së probabilitetit total, marrim

Probabiliteti që një pjesë të refuzohet gabimisht është

Le të gjejmë probabilitetin që pjesa të kapërcehet në produktin e përfunduar me një defekt:

Përgjigje:

Detyra 2. Produkti kontrollohet për standarditet nga një nga tre ekspertët e mallrave. Probabiliteti që produkti të arrijë te tregtari i parë është 0,25, tek i dyti - 0,26 dhe tek i treti - 0,49. Probabiliteti që produkti të njihet si standard nga tregtari i parë është 0,95, nga i dyti - 0,98, nga i treti - 0,97. Gjeni probabilitetin që produkti standard të kontrollohet nga inspektori i dytë.

Zgjidhje

Le të shënojmë ngjarjet:

L. =(produkti për verifikim do t'i shkojë /-të menaxherit të mallrave); / = 1, 2, 3;

B =(produkti do të njihet si standard).

Sipas gjendjes së problemit, probabilitetet janë të njohura:

Ne gjithashtu i dimë probabilitetet e kushtëzuara

Duke përdorur formulën Bayes, gjejmë probabilitetin që produkti standard të kontrollohet nga kontrolluesi i dytë:

Përgjigje:“0.263.

Një detyrë 3. Dy makina prodhojnë pjesë që shkojnë në një transportues të përbashkët. Probabiliteti për të marrë një pjesë jo standarde në makinën e parë është 0.06, dhe në të dytën - 0.09. Performanca e makinës së dytë është dy herë më e lartë se e para. Një pjesë jo standarde është marrë nga transportuesi. Gjeni probabilitetin që kjo pjesë të prodhohet nga makina e dytë.

Zgjidhje

Le të shënojmë ngjarjet:

A. =(pjesa e marrë nga linja e montimit prodhohet nga makina i-th); / = 1,2;

AT= (pjesa e marrë do të jetë jo standarde).

Ne gjithashtu i dimë probabilitetet e kushtëzuara

Duke përdorur formulën e probabilitetit total, gjejmë

Duke përdorur formulën Bayes, gjejmë probabilitetin që pjesa jo standarde e marrë të prodhohet nga automati i dytë:

Përgjigje: 0,75.

Detyra 4.Është testuar një pajisje, e përbërë nga dy nyje, besueshmëria e të cilave është përkatësisht 0.8 dhe 0.9. Nyjet dështojnë në mënyrë të pavarur nga njëra-tjetra. Pajisja dështoi. Gjeni, duke marrë parasysh këtë, probabilitetet e hipotezave:

• a) vetëm nyja e parë është e gabuar;
• b) vetëm nyja e dytë është e gabuar;
• c) të dy nyjet janë të gabuara.

Zgjidhje

Le të shënojmë ngjarjet:

D = (nyja e 7-të nuk do të dështojë); i = 1,2;

D - ngjarjet përkatëse të kundërta;

POR= (gjatë testit, pajisja do të dështojë).

Nga kushti i problemës fitojmë: P(D) = 0,8; P(L 2) = 0,9.

Nga vetia e probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta

Ngjarje PORështë e barabartë me shumën e produkteve ngjarje të pavarura

Duke përdorur teoremën e mbledhjes për probabilitetet e ngjarjeve të papajtueshme dhe teoremën për shumëzimin e probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura, marrim

Tani gjejmë probabilitetet e hipotezave:

Përgjigje:

Detyra 5. Në fabrikë, bulonat bëhen në tre makina, të cilat prodhojnë përkatësisht 25%, 30% dhe 45% të numrit të përgjithshëm të bulonave. Në prodhimin e makinerisë defekti është përkatësisht 4%, 3% dhe 2%. Sa është probabiliteti që një rrufe në qiell, e marrë rastësisht nga një produkt në hyrje, të jetë me defekt?

Zgjidhje

Le të shënojmë ngjarjet:

4 = (një rrufe i marrë rastësisht është bërë në makinën i-të); i = 1, 2, 3;

AT= (një rrufe i marrë rastësisht do të jetë me defekt).

Nga gjendja e problemit, duke përdorur formulën klasike të probabilitetit, gjejmë probabilitetet e hipotezave:

Gjithashtu, duke përdorur formulën klasike të probabilitetit, gjejmë probabilitetet e kushtëzuara:

Duke përdorur formulën e probabilitetit total, gjejmë

Përgjigje: 0,028.

Detyra 6. Qarku elektronik i përket njërës prej tre grupeve me një probabilitet prej 0.25; 0,5 dhe 0,25. Probabiliteti që qarku të funksionojë përtej periudhës së garancisë për secilën nga palët, përkatësisht, është 0.1; 0.2 dhe 0.4. Gjeni probabilitetin që një qark i zgjedhur rastësisht të funksionojë përtej periudhës së garancisë.

Zgjidhje

Le të shënojmë ngjarjet:

4 \u003d (skema e marrë rastësisht nga partia r-të); i = 1, 2, 3;

AT= (një qark i marrë rastësisht do të funksionojë përtej periudhës së garancisë).

Sipas gjendjes së problemit, probabilitetet e hipotezave janë të njohura:

Ne gjithashtu i dimë probabilitetet e kushtëzuara:

Duke përdorur formulën e probabilitetit total, gjejmë

Përgjigje: 0,225.

Detyra 7. Pajisja përmban dy blloqe, shërbimi i secilit prej të cilave është i nevojshëm për funksionimin e pajisjes. Probabilitetet e funksionimit pa dështim për këto blloqe janë përkatësisht 0.99 dhe 0.97. Pajisja është jashtë funksionit. Përcaktoni probabilitetin që të dy njësitë të dështojnë.

Zgjidhje

Le të shënojmë ngjarjet:

D = ( z bllok do të dështojë); i = 1,2;

POR= (pajisja do të dështojë).

Nga kushti i problemës, sipas vetive të probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta, fitojmë: DD) = 1-0,99 = 0,01; DD) = 1-0,97 = 0,03.

Ngjarje POR ndodh vetëm kur të paktën një nga ngjarjet D ose A 2. Prandaj, kjo ngjarje është e barabartë me shumën e ngjarjeve POR= D + POR 2 .

Nga teorema e mbledhjes për probabilitetet e ngjarjeve të përbashkëta, marrim

Duke përdorur formulën Bayes, gjejmë probabilitetin që pajisja të dështojë për shkak të dështimit të të dy blloqeve.

Përgjigje:

Detyrat për zgjidhje të pavarur Detyra 1. Në magazinën e studios televizive ka 70% të kineskopëve të prodhuar nga uzina nr. 1; kineskopët e mbetur janë prodhuar nga fabrika nr. 2. Probabiliteti që kineskopi të mos dështojë gjatë periudhës së garancisë është 0,8 për kineskopët e impiantit nr. 1 dhe 0,7 për kineskopët e impiantit nr. 2. Kineskopi e ka kaluar periudhën e garancisë. Gjeni probabilitetin që është prodhuar nga impianti numër 2.

Detyra 2. Pjesët nga tre makina automatike vijnë në montim. Dihet që makina e parë jep 0,3% të defekteve, e dyta - 0,2%, e 3-ta - 0,4%. Gjeni probabilitetin e marrjes së një pjese të dëmtuar për montim, nëse nga makina e parë janë marrë 1000 pjesë, nga e dyta 2000 dhe nga e treta 2500 pjesë.

Detyra 3. Dy makina prodhojnë pjesë identike. Probabiliteti që një pjesë e prodhuar në makinën e parë të jetë standarde është 0.8, dhe në të dytën - 0.9. Performanca e makinës së dytë është tre herë më e madhe se e para. Gjeni probabilitetin që pjesa standarde të merret në mënyrë të rastësishme nga transportuesi, i cili merr pjesë nga të dy makinat.

Detyra 4. Kreu i kompanisë vendosi të përdorë shërbimet e dy prej tre kompanive të transportit. Probabiliteti i dorëzimit të parakohshëm të mallrave për firmën e parë, të dytë dhe të tretë janë përkatësisht 0.05; 0.1 dhe 0.07. Duke krahasuar këto të dhëna me të dhënat për sigurinë e transportit të mallrave, menaxheri arriti në përfundimin se zgjedhja ishte e drejtë dhe vendosi ta bënte atë me short. Gjeni mundësinë që ngarkesa e dërguar të dorëzohet në kohë.

Detyra 5. Pajisja përmban dy blloqe, shërbimi i secilit prej të cilave është i nevojshëm për funksionimin e pajisjes. Probabilitetet e funksionimit pa dështim për këto blloqe janë përkatësisht 0.99 dhe 0.97. Pajisja është jashtë funksionit. Përcaktoni probabilitetin që njësia e dytë të dështojë.

Një detyrë 6. Dyqani i montimit merr pjesë nga tre makina. Makina e parë jep 3% të martesës, e dyta - 1% dhe e treta - 2%. Përcaktoni probabilitetin që një pjesë jo e dëmtuar të futet në montim nëse janë marrë përkatësisht 500, 200, 300 pjesë nga secila makinë.

Detyra 7. Magazina pranon produktet e tre firmave. Për më tepër, prodhimi i firmës së parë është 20%, e dyta - 46% dhe e treta - 34%. Dihet gjithashtu se përqindja mesatare e produkteve jo standarde për firmën e parë është 5%, për të dytën - 2% dhe për të tretën - 1%. Gjeni probabilitetin që një produkt i zgjedhur rastësisht të jetë prodhuar nga kompania e dytë nëse rezulton të jetë standard.

Detyra 8. Martesa në prodhimin e bimës për shkak të një defekti aështë 5%, dhe ndër të refuzuarit në bazë të a produkteve në 10% të rasteve ka një defekt R. Dhe në produkte pa defekte a, defekt R ndodh në 1% të rasteve. Gjeni probabilitetin për të hasur në një defekt R në të gjitha produktet.

Detyra 9. Kompania ka 10 makina të reja dhe 5 të vjetra që më parë ishin në riparim. Probabiliteti i funksionimit të duhur për një makinë të re është 0.94, për një të vjetër - 0.91. Gjeni probabilitetin që një makinë e zgjedhur rastësisht të funksionojë siç duhet.

Detyra 10. Dy sensorë dërgojnë sinjale në një kanal të përbashkët komunikimi, dhe i pari prej tyre dërgon dy herë më shumë sinjale se i dyti. Probabiliteti i marrjes së një sinjali të shtrembëruar nga sensori i parë është 0.01, nga i dyti - 0.03. Sa është probabiliteti për të marrë një sinjal të shtrembëruar në një kanal të përbashkët komunikimi?

Detyra 11. Janë pesë tufa produktesh: tre tufa me 8 copë, nga të cilat 6 janë standarde dhe 2 jo standarde, dhe dy grupe me 10 copë, nga të cilat 7 janë standarde dhe 3 janë jo standarde. Një nga grupet zgjidhet në mënyrë të rastësishme dhe një detaj është marrë nga kjo grumbull. Përcaktoni probabilitetin që pjesa e zgjedhur të jetë standarde.

Detyra 12. Montuesi merr mesatarisht 50% të pjesëve nga impianti i parë, 30% nga impianti i dytë dhe 20% nga impianti i tretë. Probabiliteti që pjesa e fabrikës së parë të jetë e cilësisë së shkëlqyer është 0.7; për pjesët e bimëve të dytë dhe të tretë, përkatësisht, 0.8 dhe 0.9. Pjesa e marrë rastësisht doli të ishte e një cilësie të shkëlqyer. Gjeni probabilitetin që pjesa të jetë bërë nga fabrika e parë.

Detyra 13. Kontrolli doganor i veturave kryhet nga dy inspektorë. Mesatarisht, nga 100 makina, 45 kalojnë nga inspektori i parë. Probabiliteti që gjatë kontrollit të mos ndalohet një makinë që respekton rregullat doganore është 0,95 për inspektorin e parë dhe 0,85 për të dytin. Gjeni probabilitetin që një makinë që përputhet me rregullat doganore nuk do të ndalohet.

Detyra 14. Pjesët e nevojshme për montimin e pajisjes vijnë nga dy makina automatike, performanca e të cilave është e njëjtë. Llogaritni probabilitetin që një pjesë standarde të hyjë në montim nëse një nga automatet jep një shkelje mesatare prej 3% të standardit, dhe e dyta - 2%.

Detyra 15. Trajneri i peshëngritjes llogariti se për të marrë kredite ekipore në këtë kategori peshë, një sportist duhet të shtyjë një shtangë 200 kg. Një vend në ekip pretendojnë Ivanov, Petrov dhe Sidorov. Ivanov gjatë stërvitjes u përpoq të ngrejë një peshë të tillë në 7 raste, dhe ngriti në 3 prej tyre. Petrov ngriti 6 herë nga 13, dhe Sidorov ka një shans 35% për të trajtuar me sukses shtangën. Trajneri zgjedh rastësisht një atlet për ekipin.

• a) Gjeni probabilitetin që atleti i përzgjedhur të sjellë pikët e ekipit.
• b) Skuadra nuk mori asnjë pikë. Gjeni probabilitetin që Sidorov foli.

Detyra 16. Ka 12 topa të kuq dhe 6 blu në një kuti të bardhë. Në të zezë - 15 topa të kuq dhe 10 blu. Hidhe një zare. Nëse numri i pikëve është shumëfish i 3, atëherë një top merret rastësisht nga kutia e bardhë. Nëse ndonjë numër tjetër pikësh bie jashtë, atëherë një top merret rastësisht nga kutia e zezë. Sa është probabiliteti që të shfaqet një top i kuq?

Detyra 17. Dy kuti përmbajnë tuba radio. Kutia e parë përmban 12 llamba, nga të cilat 1 është jo standarde; në të dytin ka 10 llamba, 1 prej të cilave është jo standarde. Një llambë u mor rastësisht nga kutia e parë dhe u transferua në të dytën. Gjeni probabilitetin që një llambë e nxjerrë në mënyrë të rastësishme nga kutia e dytë të jetë jo standarde.

Detyra 18. Një top i bardhë hidhet në një urnë që përmban dy topa, pas së cilës një top tërhiqet rastësisht. Gjeni probabilitetin që topi i tërhequr të jetë i bardhë nëse të gjitha supozimet e mundshme për përbërjen fillestare të topave (sipas ngjyrës) janë po aq të mundshme.

Detyra 19. Një pjesë standarde hidhet në një kuti që përmban 3 pjesë identike dhe më pas një pjesë vizatohet në mënyrë të rastësishme. Gjeni probabilitetin që një pjesë standarde të vizatohet nëse të gjitha supozimet e mundshme për numrin e pjesëve standarde fillimisht në kuti janë po aq të mundshme.

Detyra 20. Për të përmirësuar cilësinë e komunikimit radio, përdoren dy radio marrës. Probabiliteti për të marrë një sinjal nga çdo marrës është 0.8, dhe këto ngjarje (marrja e sinjalit nga marrësi) janë të pavarura. Përcaktoni probabilitetin e marrjes së një sinjali nëse probabiliteti i funksionimit pa dështim gjatë një sesioni radio komunikimi për çdo marrës është 0.9.

Gjatë nxjerrjes së formulës së probabilitetit total, u supozua se ngjarja POR, probabiliteti i të cilit do të përcaktohej, mund të ndodhte me një nga ngjarjet H 1 , N 2 , ... , H n, duke formuar një grup të plotë ngjarjesh të papajtueshme në çift. Probabilitetet e këtyre ngjarjeve (hipotezave) ishin të njohura paraprakisht. Le të supozojmë se është kryer një eksperiment, si rezultat i të cilit ngjarja POR ka ardhur. Kjo informacion shtese ju lejon të rivlerësoni probabilitetet e hipotezave H i , duke llogaritur P(H i /A).

ose, duke përdorur formulën e probabilitetit total, marrim

Kjo formulë quhet formula e Bayes ose teorema e hipotezës. Formula Bayes ju lejon të "rishikoni" probabilitetet e hipotezave pasi rezultati i eksperimentit të bëhet i njohur, si rezultat i të cilit u shfaq ngjarja POR.

Probabilitetet Р(Н i) janë probabilitetet apriori të hipotezave (ato janë llogaritur para eksperimentit). Probabilitetet P(H i /A) janë probabilitetet a posteriori të hipotezave (ato llogariten pas eksperimentit). Formula Bayes ju lejon të llogaritni probabilitetet e pasme nga probabilitetet e tyre të mëparshme dhe nga probabilitetet e kushtëzuara të ngjarjes POR.

Shembull. Dihet se 5% e të gjithë meshkujve dhe 0.25% e të gjitha femrave janë të verbër. Një person i përzgjedhur rastësisht sipas numrit të kartës mjekësore vuan nga verbëria e ngjyrave. Sa është probabiliteti që të jetë mashkull?

Zgjidhje. Ngjarje POR Personi është i verbër nga ngjyra. Hapësira e ngjarjeve elementare për eksperimentin - një person zgjidhet nga numri i kartës mjekësore - Ω = ( H 1 , N 2 ) përbëhet nga 2 ngjarje:

H 1 - zgjidhet një burrë,

H 2 - zgjidhet një grua.

Këto ngjarje mund të zgjidhen si hipoteza.

Sipas kushtit të problemit (zgjedhja e rastësishme), probabilitetet e këtyre ngjarjeve janë të njëjta dhe të barabarta me P(H 1 ) = 0.5; P(H 2 ) = 0.5.

Në këtë rast, probabilitetet e kushtëzuara që një person vuan nga verbëria e ngjyrave janë të barabarta, përkatësisht:

P(A/N 1 ) = 0.05 = 1/20; P(A/N 2 ) = 0.0025 = 1/400.

Meqenëse dihet që personi i përzgjedhur është i verbër nga ngjyra, d.m.th., ngjarja ka ndodhur, ne përdorim formulën Bayes për të rivlerësuar hipotezën e parë:

Shembull. Ka tre kuti identike. Kutia e parë përmban 20 topa të bardhë, kutia e dytë përmban 10 topa të bardhë dhe 10 topa të zinj dhe kutia e tretë përmban 20 topa të zinj. Një top i bardhë nxirret nga një kuti e zgjedhur rastësisht. Llogaritni probabilitetin që topi të jetë tërhequr nga kutia e parë.

Zgjidhje. Shënoni me POR ngjarje - shfaqja e një topi të bardhë. Mund të bëhen tre supozime (hipoteza) në lidhje me zgjedhjen e kutisë: H 1 ,H 2 , H 3 - përzgjedhja e kutive të parë, të dytë dhe të tretë, përkatësisht.

Meqenëse zgjedhja e cilësdo prej kutive është po aq e mundshme, probabilitetet e hipotezave janë të njëjta:

P(H 1 )=P(H 2 )=P(H 3 )= 1/3.

Sipas gjendjes së problemit, probabiliteti për të nxjerrë një top të bardhë nga kutia e parë

Probabiliteti për të nxjerrë një top të bardhë nga kutia e dytë

Probabiliteti për të nxjerrë një top të bardhë nga kutia e tretë

Ne gjejmë probabilitetin e dëshiruar duke përdorur formulën Bayes:

Përsëritja e testeve. Formula e Bernulit.

Ka n prova, në secilën prej të cilave ngjarja A mund të ndodhë ose jo, dhe probabiliteti i ngjarjes A në çdo provë individuale është konstante, d.m.th. nuk ndryshon nga përvoja në përvojë. Ne tashmë e dimë se si të gjejmë probabilitetin e një ngjarje A në një eksperiment.

Me interes të veçantë është probabiliteti i shfaqjes së një numri të caktuar herë (m herë) të ngjarjes A në n eksperimente. probleme të tilla zgjidhen lehtësisht nëse testet janë të pavarura.

Def. Quhen disa teste i pavarur në lidhje me ngjarjen A nëse probabiliteti i ngjarjes A në secilën prej tyre nuk varet nga rezultatet e eksperimenteve të tjera.

Probabiliteti P n (m) i ndodhjes së ngjarjes A saktësisht m herë (nuk ndodh n-m herë, ngjarje ) në këto n prova. Ngjarja A shfaqet në një sërë sekuencash m herë).

Formula e Bernulit.

Formulat e mëposhtme janë të dukshme:

P n (m më pak k herë në n prova.

P n (m>k) = P n (k+1) + P n (k+2) +…+ P n (n) - probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A më shumë k herë në n prova.1) n = 8, m = 4, p = q = ½,

Formula e Bayes

Teorema e Bayes- një nga teoremat kryesore të teorisë elementare të probabilitetit, e cila përcakton probabilitetin që një ngjarje të ndodhë në kushtet kur vetëm disa informacione të pjesshme rreth ngjarjeve dihen bazuar në vëzhgimet. Sipas formulës Bayes, është e mundur të rillogaritet më saktë probabiliteti, duke marrë parasysh informacionin e njohur më parë dhe të dhënat nga vëzhgimet e reja.

"Kuptimi fizik" dhe terminologjia

Formula e Bayes ju lejon të "rirregulloni shkakun dhe efektin": duke pasur parasysh faktin e njohur të një ngjarjeje, llogaritni probabilitetin që ajo të jetë shkaktuar nga një shkak i caktuar.

Zakonisht quhen ngjarje që pasqyrojnë veprimin e "shkaqeve" në këtë rast hipoteza, sepse ata janë i supozuar ngjarjet që çuan në të. Probabiliteti i pakushtëzuar i vlefshmërisë së një hipoteze quhet A priori(Sa e mundshme është shkaku? përgjithësisht), dhe e kushtëzuar - duke marrë parasysh faktin e ngjarjes - a posteriori(Sa e mundshme është shkaku? rezultoi se merrte parasysh të dhënat e ngjarjes).

Pasoja

Një pasojë e rëndësishme e formulës Bayes është formula për probabilitetin total të një ngjarjeje në varësi të disa hipoteza të paqëndrueshme ( dhe vetëm prej tyre!).

Derivimi i formulës

Nëse një ngjarje varet vetëm nga shkaqet A i, atëherë nëse ka ndodhur, do të thotë se medoemos kanë ndodhur disa nga arsyet, d.m.th.

Me formulën Bayes

transferimi P(B) në të djathtë, marrim shprehjen e dëshiruar.

Metoda e filtrimit të spamit

Një metodë e bazuar në teoremën e Bayes është aplikuar me sukses në filtrimin e spamit.

Përshkrim

Kur stërvitni filtrin, për secilën fjalë të hasur me shkronja, llogaritet dhe ruhet "pesha" e saj - probabiliteti që një shkronjë me këtë fjalë të jetë e padëshiruar (në rastin më të thjeshtë, sipas përkufizimit klasik të probabilitetit: "shfaqjet në spam / paraqitjet e gjithçkaje”).

Kur kontrolloni një letër të sapoardhur, probabiliteti që ajo të jetë e padëshiruar llogaritet duke përdorur formulën e mësipërme për një grup hipotezash. Në këtë rast, "hipoteza" janë fjalë, dhe për secilën fjalë "besueshmëria e hipotezës" -% e kësaj fjale në shkronjë, dhe "varësia e ngjarjes nga hipoteza" P(B | A i) - llogaritur më parë "pesha" e fjalës. Domethënë, "pesha" e shkronjës në këtë rast nuk është gjë tjetër veçse "pesha" mesatare e të gjitha fjalëve të saj.

Një letër klasifikohet si "spam" ose "jo-spam" nëse "pesha" e saj tejkalon një shirit të caktuar të vendosur nga përdoruesi (zakonisht merret 60-80%). Pasi të merret një vendim për një letër, "peshat" për fjalët e përfshira në të përditësohen në bazën e të dhënave.

Karakteristike

Kjo metodë është e thjeshtë (algoritmet janë elementare), e përshtatshme (ju lejon të bëni pa "lista të zeza" dhe truke të ngjashme artificiale), efektive (pas trajnimit në një mostër mjaft të madhe, ajo ndërpret deri në 95-97% të spamit, dhe në rast të ndonjë gabimi mund të trajnohet më tej). Në përgjithësi, ekzistojnë të gjitha indikacionet për përdorimin e tij të gjerë, gjë që ndodh në praktikë - pothuajse të gjithë filtrat modernë të spamit janë ndërtuar mbi bazën e tij.

Megjithatë, metoda ka gjithashtu një pengesë thelbësore: ajo bazuar në supozimin, çfarë disa fjalë janë më të zakonshme në mesazhe të padëshiruara, ndërsa të tjerat janë më të zakonshme në emailet e rregullta, dhe është joefikas nëse ky supozim është i rremë. Sidoqoftë, siç tregon praktika, edhe një person nuk është në gjendje të përcaktojë një spam të tillë "me sy" - vetëm pasi të ketë lexuar letrën dhe të kuptojë kuptimin e saj.

Një tjetër disavantazh, jo thelbësor, i lidhur me zbatimin - metoda funksionon vetëm me tekst. Duke ditur për këtë kufizim, spammers filluan të vendosnin informacione reklamuese në foto, ndërsa teksti në letër ose mungon ose nuk ka kuptim. Përkundër kësaj, duhet të përdoren ose mjetet e njohjes së tekstit (procedurë "e shtrenjtë", përdoret vetëm kur emergjente), ose metoda të vjetra filtrimi - "lista të zeza" dhe shprehje të rregullta (pasi shkronja të tilla shpesh kanë një formë stereotipe).

Shiko gjithashtu

Shënime

Lidhjet

Letërsia

• Byrd Kivi. Teorema e Rev. Bayes. // Revista Computerra, 24 gusht 2001
• Paul Graham. Një plan për spam. // Uebfaqja personale e Paul Graham.

Fondacioni Wikimedia. 2010 .

Shihni se çfarë është "formula Bayes" në fjalorë të tjerë:

Një formulë që duket si: ku a1, A2, ..., An janë ngjarje të papajtueshme, Skema e përgjithshme për zbatimin e F. në. g.: nëse ngjarja B mund të ndodhë në zbërthim. kushtet në të cilat bëhen n hipoteza A1, A2, ..., An me probabilitete P (A1), ... të njohura para eksperimentit, ... ... Enciklopedia Gjeologjike

Ju lejon të llogaritni probabilitetin e një ngjarje me interes përmes probabiliteteve të kushtëzuara të kësaj ngjarjeje, duke supozuar hipoteza të caktuara, si dhe probabilitetet e këtyre hipotezave. Formulimi Le të jepet një hapësirë ​​probabiliteti dhe një grup i plotë në çifte ... ... Wikipedia

Ju lejon të llogaritni probabilitetin e një ngjarje me interes përmes probabiliteteve të kushtëzuara të kësaj ngjarjeje, duke supozuar hipoteza të caktuara, si dhe probabilitetet e këtyre hipotezave. Formulimi Le të jepet një hapësirë ​​probabiliteti dhe një grup i plotë ngjarjesh, të tilla ... ... Wikipedia

- (ose formula e Bayes) është një nga teoremat kryesore të teorisë së probabilitetit, e cila ju lejon të përcaktoni probabilitetin që një ngjarje (hipotezë) të ketë ndodhur në prani të vetëm provave (të dhënave) indirekte që mund të jenë të pasakta ... Wikipedia

Teorema e Bayes është një nga teoremat kryesore të teorisë elementare të probabilitetit, e cila përcakton probabilitetin që një ngjarje të ndodhë në kushtet kur dihet vetëm disa informacione të pjesshme rreth ngjarjeve bazuar në vëzhgimet. Sipas formulës Bayes, ju mund të ... ... Wikipedia

Bayes, Thomas Thomas Bayes Reverend Thomas Bayes Data e lindjes: 1702 (1702) Vendi i lindjes ... Wikipedia

Thomas Bayes Reverend Thomas Bayes Data e lindjes: 1702 (1702) Vendi i lindjes: Londër ... Wikipedia

Konkluzioni Bayesian është një nga metodat e konkluzionit statistikor, në të cilin formula Bayes përdoret për të rafinuar vlerësimet probabilistike të së vërtetës së hipotezave kur mbërrijnë provat. Përdorimi i përditësimit Bayesian është veçanërisht i rëndësishëm në ... ... Wikipedia

Për të përmirësuar këtë artikull, është e dëshirueshme?: Gjeni dhe rregulloni në formën e fusnotave lidhje me burime autoritare që konfirmojnë atë që është shkruar. Duke vënë shënimet në fund të faqes, bëni tregues më të saktë të burimeve. Pere ... Wikipedia

A do të tradhtojnë të burgosurit njëri-tjetrin, duke ndjekur interesat e tyre egoiste, apo do të heshtin, duke minimizuar kështu afatin total? Dilema e të burgosurve (Eng. Prisoner's dilemma, emri "dilema" përdoret më rrallë ... Wikipedia

libra

• Teoria e probabilitetit dhe statistikat matematikore në problema. Më shumë se 360 ​​detyra dhe ushtrime, Borzykh D.A. Manuali i propozuar përmban detyra nivele të ndryshme vështirësitë. Megjithatë, theksi kryesor vihet në detyrat me kompleksitet mesatar. Kjo është bërë qëllimisht për të inkurajuar studentët të…