Ligjet e kushtëzuara të shpërndarjes. Regresioni.

Përkufizimi. Ligji i shpërndarjes së kushtëzuar i njërit prej përbërësve njëdimensionale të një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale (X, Y) është ligji i shpërndarjes së tij, i llogaritur me kushtin që komponenti tjetër të marrë një vlerë të caktuar (ose të bjerë në një interval). Në leksionin e mëparshëm, u mor në konsideratë gjetja e shpërndarjeve të kushtëzuara për variabla diskrete të rastësishme. Ekzistojnë gjithashtu formula për probabilitetet e kushtëzuara:

Në rastin e ndryshoreve të rastësishme të vazhdueshme, është e nevojshme të përcaktohen densitetet e probabilitetit të shpërndarjeve të kushtëzuara j y (x) dhe j X (y). Për këtë qëllim, në formulat e mësipërme, ne do të zëvendësojmë probabilitetet e ngjarjeve me "elementet e probabilitetit" të tyre!

pas reduktimit me dx dhe dy marrim:

ato. dendësia e probabilitetit të kushtëzuar të njërit prej përbërësve njëdimensionale të një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale është e barabartë me raportin e densitetit të bashkimit të tij me densitetin e probabilitetit të komponentit tjetër. Këto raporte shkruhen në formë

quhen teorema (rregulla) e shumëzimit të densiteteve të shpërndarjes.

Dendësitë e kushtëzuara j y (x) dhe j X (y). kanë të gjitha vetitë e densitetit "të pakushtëzuar".

Kur studiojmë variablat e rastësishëm dydimensionale, marrim parasysh karakteristikat numerike komponentët njëdimensionale X dhe Y - pritjet dhe variancat matematikore. Për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme (X, Y), ato përcaktohen nga formula:

Krahas tyre merren parasysh edhe karakteristikat numerike të shpërndarjeve të kushtëzuara: pritjet matematikore të kushtëzuara M x (Y) dhe M y (X) dhe variancat e kushtëzuara D x (Y) dhe D Y (X). Këto karakteristika gjenden nga formulat e zakonshme të pritjes dhe variancës matematikore, në të cilat probabilitetet e kushtëzuara ose densitetet e probabilitetit të kushtëzuar përdoren në vend të probabiliteteve të ngjarjeve ose densiteteve të probabilitetit.

E kushtëzuar vlera e pritur ndryshorja e rastësishme Y në X = x, d.m.th. M x (Y), ekziston një funksion i x, i quajtur funksioni i regresionit ose thjesht regresioni Y në X. Në mënyrë të ngjashme, M Y (X) quhet funksion i regresionit ose thjesht regresion X në Y. Grafikët e këtyre funksioneve quhen përkatësisht vijat e regresionit (ose kurbat e regresionit) Y nga X ose X nga Y.

Variabla të rastësishme të varura dhe të pavarura.

Përkufizimi. Variablat e rastësishëm X dhe Y quhen të pavarur nëse funksioni i tyre i përbashkët i shpërndarjes F(x,y) paraqitet si produkt i funksioneve të shpërndarjes F 1 (x) dhe F 2 (y) të këtyre ndryshoreve të rastit, d.m.th.

Përndryshe, ndryshoret e rastësishme X dhe Y quhen të varura.

Duke e diferencuar barazinë dy herë në lidhje me argumentet x dhe y, marrim

ato. për ndryshoret e rastësishme të pavarura të vazhdueshme X dhe Y, dendësia e tyre e përbashkët j(x, y) është e barabartë me produktin e densitetit të probabilitetit j 1 (x) dhe j 2 (y) të këtyre ndryshoreve të rastit.

Deri më tani, ne kemi hasur në konceptin e një marrëdhënie funksionale midis ndryshoreve X dhe Y, kur secila vlerë e x në një variabël korrespondonte me një vlerë të përcaktuar rreptësisht në tjetrën. Për shembull, marrëdhënia midis dy ndryshoreve të rastësishme - numri i pjesëve të dështuara të pajisjeve për periudhë të caktuar koha dhe kostoja e tyre - funksionale.

Në përgjithësi, ndeshet një lloj tjetër varësie, më pak e ngurtë se varësia funksionale.

Përkufizimi. Marrëdhënia midis dy ndryshoreve të rastësishme quhet probabiliste (stokastike ose statistikore) nëse secila vlerë e njërës prej tyre korrespondon me një shpërndarje të caktuar (të kushtëzuar) të tjetrës.

Në rastin e një varësie probabiliste (stokastike), është e pamundur, duke ditur vlerën e njërës prej tyre, të përcaktohet me saktësi vlera e tjetrës, por mund të tregohet vetëm shpërndarja e sasisë tjetër. Për shembull, lidhja midis numrit të dështimeve të pajisjeve dhe kostos së mirëmbajtjes parandaluese të saj, peshës dhe gjatësisë së një personi, kohës së kaluar nga një nxënës i shkollës për të parë programe televizive dhe për të lexuar libra, etj. janë probabiliste (stokastike).

Në fig. 5.10 tregon shembuj të ndryshoreve të rastësishme të varura dhe të pavarura X dhe Y.

  Variabla të rastësishme të varura dhe të pavarura

 Kur studiohen sistemet e variablave të rastësishëm, gjithmonë duhet t'i kushtohet vëmendje shkallës dhe natyrës së varësisë së tyre. Kjo varësi mund të jetë pak a shumë e theksuar, pak a shumë e afërt. Në disa raste, marrëdhënia midis ndryshoreve të rastësishme mund të jetë aq e ngushtë sa, duke ditur vlerën e një ndryshoreje të rastësishme, mund të tregoni me saktësi vlerën e një tjetri. Në rastin tjetër ekstrem, varësia ndërmjet variablave të rastësishëm është aq e dobët dhe e largët, saqë ato praktikisht mund të konsiderohen të pavarura.
 Koncepti i variablave të rastësishëm të pavarur është një nga konceptet e rëndësishme të teorisë së probabilitetit.
 Një ndryshore e rastësishme \(Y\) thuhet se është e pavarur nga ndryshorja e rastësishme \(X\) nëse ligji i shpërndarjes së vlerës \(Y\) nuk varet nga vlera e vlerës \(X\).
 Për variabla të rastësishme të vazhdueshme, kushti që \(Y\) është i pavarur nga \(X\) mund të shkruhet si: $$f(y\mid x)=f_(2)(y)$$ për çdo \(y \).
 Në të kundërtën, nëse \(Y\) varet nga \(X\), atëherë $$f(y\mid x) \neq f_(2)(y)$$  Ne vërtetojmë se varësia ose pavarësia e ndryshoreve të rastit është gjithmonë e ndërsjellë: nëse vlera \(Y\) nuk varet nga \(X\), atëherë vlera \(X\) nuk varet nga \(Y\).
 Në të vërtetë, le të jetë \(Y\) e pavarur nga \(X\): $$f(y\mid x)=f_(2)(y)$$ kemi: $$f_(1)(x)f( y \mid x)=f_(2)(y)f(x\mid y)$$ prej nga, marrim: $$f_(1)(x)=f(x\mid y)$$ që do të ishte vërtetuar.
 Meqenëse varësia dhe pavarësia e variablave të rastit janë gjithmonë të ndërsjella, mund të japim një përkufizim të ri të variablave të rastësishëm të pavarur.
  Ndryshoret e rastësishme \(X\) dhe \(Y\) quhen të pavarura nëse ligji i shpërndarjes së secilës prej tyre nuk varet nga vlera e tjetrit. Përndryshe, thirren madhësitë \(X\) dhe \(Y\). i varur.
 Për variabla të rastësishme të vazhdueshme të pavarura, teorema e shumëzimit të ligjit të shpërndarjes merr formën: $$f(x, y)=f_(1)(x)f_(2)(y)$$ d.m.th. dendësia e shpërndarjes së një sistemi të rastësishëm të pavarur variabla është e barabartë me produktin e shpërndarjes së densitetit të sasive individuale të përfshira në sistem.
Shpesh, nga vetë forma e funksionit \(f(x, y)\) mund të konkludohet se variablat e rastësishëm \(X, Y\) janë të pavarura, domethënë nëse densiteti i shpërndarjes \(f(x, y) \) zbërthen në produkt dy funksione, njëri prej të cilëve varet vetëm nga \(x\), tjetri vetëm nga \(y\), atëherë ndryshoret e rastësishme janë të pavarura.
Shembulli 1 Dendësia e shpërndarjes së sistemit \((X, Y)\) ka formën: $$f(x, y)=\frac(1)(\pi ^(2)(x^(2)+y^( 2)+x ^(2)y^(2)+1))$$ Përcaktoni nëse variablat e rastësishëm \(X\) dhe \(Y\) janë të varura apo të pavarura.
Zgjidhje. Duke faktorizuar emëruesin, kemi: $$f(x, y)=\frac(1)(\pi (x^(2)+1))\frac(1)(\pi (y^(2)+1 ))$$ Nga fakti që funksioni \(f(x, y)\) është ndarë në një produkt të dy funksioneve, njëri prej të cilëve varet vetëm nga \(x\), dhe tjetri vetëm nga \(y\ ), konkludojmë se sasitë \(X\) dhe \(Y\) duhet të jenë të pavarura. Në të vërtetë, duke zbatuar formulat, kemi: $$f(x, y)=\frac(1)(\pi (x^(2)+1))\int_(-\infty)^(\infty)(\ frac(dy)(\pi (y^(2)+1)))=\frac(1)(\pi (x^(2)+1))$$ e ngjashme me $$f(x, y)= (\frac (1)(\pi (y^(2)+1)))$$ nga ku sigurohemi që $$f(x, y)=f_(1)(x)f_(2)(y) $$ dhe, pra, sasitë \(X\) dhe \(Y\) janë të pavarura.

Kur studiohen sistemet e variablave të rastësishëm, gjithmonë duhet t'i kushtohet vëmendje shkallës dhe natyrës së varësisë së tyre. Kjo varësi mund të jetë pak a shumë e afërt.

Koncepti i variablave të pavarur të rastësishëm është një nga konceptet e rëndësishme të teorisë së probabilitetit.

Përkufizimi 1. Vlera e rastësishme Y quhet i pavarur nga ndryshorja e rastit x, nëse ligji i shpërndarjes së sasisë Y nuk varet nga vlera e marrë nga vlera x.

Për variablat e rastësishme të vazhdueshme, kushti i pavarësisë Y nga X mund të shkruhet si:

Përkundrazi, nëse Y varet nga x, pastaj

Le ta vërtetojmë këtë varësia ose pavarësia e ndryshoreve të rastësishme është gjithmonë e ndërsjellë: nëse vlera Y nuk varet nga x, pastaj vlera X nuk varet nga Y.

Në të vërtetë, le Y nuk varet nga X, pastaj

Dendësia e shpërndarjes së përbashkët sipas (5.4.5) dhe (5.4.6) mund të shkruhet

nga ku marrim:

Q.E.D.

Meqenëse varësia dhe pavarësia e variablave të rastit janë gjithmonë të ndërsjella, është e mundur të jepet një përkufizim i ri i variablave të rastësishëm të pavarur.

Përkufizimi 2. variablat e rastësishëm X dhe Y quhen të pavarura nëse ligji i shpërndarjes së secilit prej tyre nuk varet nga ajo vlerë që merr tjetri. Përndryshe, vlerat X dhe Y thirrur i varur.

Për variablat e rastësishme të vazhdueshme të pavarura, teorema e shumëzimit të ligjit të shpërndarjes merr formën:

ato. dendësia e shpërndarjes së një sistemi të ndryshoreve të rastësishme të pavarura është e barabartë me produktin e densitetit të shpërndarjes së variablave individualë të përfshirë në sistem.

Le të ndalemi më në detaje në konceptet e rëndësishme të "varësisë" dhe "pavarësisë" së variablave të rastit.

Koncepti i "varësisë" së variablave të rastësishëm, të cilin ne përdorim në teorinë e probabilitetit, është disi i ndryshëm nga koncepti i zakonshëm i "varësisë" së variablave, të cilin e operojmë në matematikë. Në të vërtetë, zakonisht nën "varësinë" e sasive nënkuptojnë vetëm një lloj varësie - të plotë, të ngurtë, të ashtuquajtur. funksionale varësia. Dy sasi X dhe Y quhen funksionalisht të varur nëse, duke ditur vlerën e njërit prej tyre, mund të tregohet me saktësi vlera e tjetrit.

Në teorinë e probabilitetit, ne takohemi me një lloj tjetër, më të përgjithshëm, varësie - me probabilistike ose varësi "stokastike". Nëse vlera Y lidhur me vlerën X varësia probabiliste, pra, duke ditur vlerën x, nuk mund të specifikojë vlerën e saktë Y, dhe ju mund të specifikoni vetëm ligjin e shpërndarjes së tij, në varësi të vlerës që ka marrë vlera x.

Varësia probabilistike ndërmjet variablave të rastit është shumë e zakonshme në praktikë. Nëse variablat e rastësishëm X dhe Y janë në një varësi probabiliste, kjo nuk do të thotë se me një ndryshim në vlerë X magnitudë Y ndryshon në një mënyrë shumë të caktuar; do të thotë vetëm se me ndryshimin e vlerës X magnitudë Y ka tendencë të ndryshojë gjithashtu (për shembull, rritet ose ulet me rritjen x).

Konsideroni, për shembull, dy variabla të tillë të rastësishëm: X- rritja e një personi të marrë rastësisht, Y-- pesha e saj. Natyrisht, sasitë X dhe Y janë në një varësi të caktuar probabiliste; ajo shprehet në njerëzit e përgjithshëm me gjatësi më të madhe kanë më shumë peshë.

Dalloni ngjarjet e varura dhe ato të pavarura. Dy ngjarje quhen të pavarura nëse ndodhja e njërës prej tyre nuk ndryshon probabilitetin e shfaqjes së tjetrës. Për shembull, nëse në një punishte funksionojnë dy linja automatike, të cilat nuk janë të ndërlidhura sipas kushteve të prodhimit, atëherë ndalesat e këtyre linjave janë ngjarje të pavarura.

Quhen disa ngjarje kolektivisht të pavarur, nëse ndonjëra prej tyre nuk varet nga ndonjë ngjarje tjetër dhe nga ndonjë kombinim i të tjerave.

Ngjarjet quhen i varur, nëse njëri prej tyre ndikon në probabilitetin e shfaqjes së tjetrit. Për shembull, dy fabrika prodhuese janë të lidhura me një cikël të vetëm teknologjik. Atëherë probabiliteti i dështimit të njërit prej tyre varet nga gjendja e tjetrit. Probabiliteti i një ngjarje B, i llogaritur duke supozuar ndodhjen e një ngjarje tjetër A, quhet probabiliteti i kushtëzuar ngjarja B dhe shënohet me P(A|B).

Kushti për pavarësinë e ngjarjes B nga ngjarja A shkruhet si P(B|A)=P(B), dhe kushti për varësinë e saj si P(B|A)≠P(B).

Probabiliteti i një ngjarjeje në provat e Bernoulli. Formula Poisson.

Teste të përsëritura të pavarura, Provat e Bernoulli ose skema Bernoulli prova të tilla quhen nëse për çdo gjykim ka vetëm dy rezultate - ndodhja e ngjarjes A ose dhe probabiliteti i këtyre ngjarjeve mbetet i pandryshuar për të gjitha sprovat. Kjo skemë e thjeshtë testimi e rastësishme ka rëndësi të madhe në teorinë e probabilitetit.

Shumica shembull i famshëm Provat e Bernulit është një eksperiment me hedhjen e njëpasnjëshme të një monedhe të rregullt (simetrike dhe homogjene), ku ngjarja A është humbja, për shembull, e një "steme" ("bishtet").

Lëreni në disa përvoja probabiliteti i ngjarjes A është i barabartë me P(A)=p, atëherë , ku р+q=1. Le ta kryejmë eksperimentin n herë, duke supozuar se provat individuale janë të pavarura, që do të thotë se rezultati i ndonjërit prej tyre nuk lidhet me rezultatet e provave të mëparshme (ose të mëvonshme). Le të gjejmë probabilitetin e ndodhjes së ngjarjeve A saktësisht k herë, le të themi vetëm në k provat e para. Le të jetë një ngjarje që, në n prova, ngjarja A do të ndodhë saktësisht k herë në sprovat e para. Ngjarja mund të përfaqësohet si

Meqenëse ne supozuam se eksperimentet ishin të pavarura, atëherë

41)[faqe 2] Nëse e shtrojmë çështjen e ndodhjes së ngjarjes A k-herë në n prova në një renditje arbitrare, atëherë ngjarja mund të përfaqësohet si

Numri i termave të ndryshëm në anën e djathtë të kësaj barazie është i barabartë me numrin e provave nga n në k, kështu që probabiliteti i ngjarjeve që do të shënojmë është i barabartë me

Sekuenca e ngjarjeve formon një grup të plotë ngjarje të pavarura . Në të vërtetë, nga pavarësia e ngjarjeve, ne marrim

Dy ndryshore të rastësishme $X$ dhe $Y$ quhen të pavarura nëse ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme nuk ndryshon në varësi të vlerave të mundshme që merr ndryshorja tjetër e rastësishme. Kjo do të thotë, për çdo $x$ dhe $y$, ngjarjet $X=x$ dhe $Y=y$ janë të pavarura. Meqenëse ngjarjet $X=x$ dhe $Y=y$ janë të pavarura, atëherë nga teorema e produktit të probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\ djathtas)\djathtas)=P \majtas(X=x\djathtas)P\majtas(Y=y\djathtas)$.

Shembulli 1 . Lëreni variablin e rastësishëm $X$ të shprehë fitimet e parave nga biletat e një llotarie "Lotto Ruse", dhe ndryshorja e rastësishme $Y$ të shprehë fitimet e parave nga biletat e një llotarie tjetër "Çelësi i Artë". Natyrisht, variablat e rastësishëm $X,\ Y$ do të jenë të pavarura, pasi fitimet nga biletat e një llotarie nuk varen nga ligji i shpërndarjes së fitimeve nga biletat e një llotarie tjetër. Në rastin kur variablat e rastësishëm $X,\ Y$ do të shprehnin fitimet në të njëjtën llotari, atëherë, padyshim, këto variabla të rastit do të vareshin.

Shembulli 2 . Dy punëtorë punojnë në punishte të ndryshme dhe prodhojnë produkte të ndryshme që nuk kanë lidhje me njëra-tjetrën nga teknologjitë e prodhimit dhe lëndët e para të përdorura. Ligji i shpërndarjes së numrit të produkteve me defekt të prodhuara nga punëtori i parë për ndërrim ka formën e mëposhtme:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Numri i \ produkteve me defekt \ x & 0 & 1 \\
\hline
Probabiliteti & 0,8 & 0,2 \\
\hline
\fund (arresë)$

Numri i produkteve me defekt të prodhuara nga punëtori i dytë për ndërrim i nënshtrohet ligjit të mëposhtëm të shpërndarjes.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Numri i \ produkteve me defekt \ y & 0 & 1 \\
\hline
Probabiliteti & 0,7 & 0,3 \\
\hline
\fund (arresë)$

Le të gjejmë ligjin e shpërndarjes së numrit të produkteve me defekt të bëra nga dy punëtorë për ndërrim.

Le të jetë ndryshorja e rastësishme $X$ numri i artikujve me defekt të prodhuar nga punëtori i parë për ndërrim dhe $Y$ numri i artikujve me defekt të prodhuar nga punëtori i dytë për ndërrim. Sipas supozimit, variablat e rastësishëm $X,\ Y$ janë të pavarura.

Numri i artikujve me defekt të prodhuar nga dy punëtorë për ndërrim është një ndryshore e rastësishme $X+Y$. Vlerat e tij të mundshme janë 0, 1$ dhe 2$. Le të gjejmë probabilitetet me të cilat ndryshorja e rastësishme $X+Y$ merr vlerat e saj.

$P\majtas(X+Y=0\djathtas)=P\majtas(X=0,\ Y=0\djathtas)=P\majtas(X=0\djathtas)P\majtas(Y=0\djathtas) =0.8\cdot 0.7=0.56.$

$P\majtas(X+Y=1\djathtas)=P\majtas(X=0,\ Y=1\ ose\ X=1,\ Y=0\djathtas)=P\majtas(X=0\djathtas )P\majtas(Y=1\djathtas)+P\majtas(X=1\djathtas)P\majtas(Y=0\djathtas)=0,8\cdot 0,3+0,2\cdot 0,7 =0,38.$

$P\majtas(X+Y=2\djathtas)=P\majtas(X=1,\ Y=1\djathtas)=P\majtas(X=1\djathtas)P\majtas(Y=1\djathtas) =0.2\cdot 0.3=0.06.$

Pastaj ligji i shpërndarjes së numrit të produkteve me defekt të prodhuara nga dy punëtorë për ndërrim:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Numri i \ artikujve me defekt & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Probabiliteti & 0,56 & 0,38 & 0,06 \\
\hline
\fund (arresë)$

Në shembullin e mëparshëm, ne kryem një operacion mbi variablat e rastësishëm $X,\ Y$, domethënë, gjetëm shumën e tyre $X+Y$. Le të japim tani një përkufizim më rigoroz të veprimeve (mbledhje, diferencë, shumëzim) në ndryshore të rastësishme dhe të japim shembuj zgjidhjesh.

Përkufizimi 1. Produkti $kX$ i ndryshores së rastësishme $X$ nga vlerë konstante$k$ është një ndryshore e rastësishme që merr vlerat $kx_i$ me të njëjtat probabilitete $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \dots,\ n\djathtas)$.

Përkufizimi 2. Shuma (ndryshimi ose produkti) i ndryshoreve të rastësishme $X$ dhe $Y$ është një ndryshore e rastësishme që merr të gjitha vlerat e mundshme të formës $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ ose $x_i\cdot y_i$) , ku $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, me probabilitete $p_(ij)$ që ndryshorja e rastësishme $X$ të marrë vlerën $x_i$ dhe $Y$ vlerën $y_j$:

$$p_(ij)=P\majtas[\majtas(X=x_i\djathtas)\majtas(Y=y_j\djathtas)\djathtas].$$

Meqenëse variablat e rastësishëm $X,\ Y$ janë të pavarura, atëherë nga teorema e shumëzimit të probabilitetit për ngjarje të pavarura: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\right )= p_i\cdot p_j$.

Shembulli 3 . Variablat e pavarur të rastësishëm $X,\ Y$ jepen nga ligjet e tyre të shpërndarjes së probabilitetit.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.4 & 0.1 & 0.5 \\
\hline
\fund (arresë)$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0.3 & 0.7 \\
\hline
\fund (arresë)$

Le të hartojmë ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme $Z=2X+Y$. Shuma e ndryshoreve të rastësishme $X$ dhe $Y$, d.m.th. $X+Y$, është një variabël e rastësishme që merr të gjitha vlerat e mundshme të formës $x_i+y_j$, ku $i=1,\ 2,\ pika ,\ n$ , me probabilitete $p_(ij)$ që ndryshorja e rastësishme $X$ të marrë vlerën $x_i$ dhe $Y$ vlerën $y_j$: $p_(ij)=P\left[\left( X=x_i\djathtas )\majtas(Y=y_j\djathtas)\djathtas]$. Meqenëse variablat e rastësishëm $X,\ Y$ janë të pavarura, atëherë nga teorema e shumëzimit të probabilitetit për ngjarje të pavarura: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\right )= p_i\cdot p_j$.

Pra, ka ligjet e shpërndarjes për variablat e rastësishëm $2X$ dhe $Y$, respektivisht.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0.4 & 0.1 & 0.5 \\
\hline
\fund (arresë)$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0.3 & 0.7 \\
\hline
\fund (arresë)$

Për lehtësinë e gjetjes së të gjitha vlerave të shumës $Z=2X+Y$ dhe probabiliteteve të tyre, ne do të përpilojmë një tabelë ndihmëse, në secilën qelizë të së cilës do të vendosim në këndin e majtë vlerat e shumës $. Z=2X+Y$, dhe në këndin e djathtë - probabilitetet e këtyre vlerave janë marrë si rezultat i shumëzimit të probabiliteteve të vlerave përkatëse të variablave të rastësishëm $2X$ dhe $Y$.

Si rezultat, marrim shpërndarjen $Z=2X+Y$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0,12 & 0,28 & 0,03 & 0,07 & 0,15 & 0,35 \\
\hline
\fund (arresë)$