1. Bashkësi polinomesh P n (x) gradë jo më të larta n.

2. Shume nga n-sekuenca termash (me mbledhje termike dhe shumëzim me një skalar).

3 . Shumë veçori C [ a , b ] e vazhdueshme në [ a, b] dhe me mbledhje pikësore dhe shumëzim me një skalar.

4. Grupi i funksioneve të përcaktuara në [ a, b] dhe zhduket në një pikë të brendshme fikse c: f (c) = 0 dhe me veprime pikash të mbledhjes dhe shumëzimit me një skalar.

5. Bashkësia R + nëse x ⊕ y  x  y, ⊙x x  .

§tetë. Përkufizimi i nënhapësirës

Lëreni grupin Wështë një nëngrup i hapësirës lineare V (W  V) dhe të tilla që

a)  x, yW  x ⊕ yW;

b)  xW,    ⊙ xW.

Veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit këtu janë të njëjta si në hapësirë V(ato quhen të shkaktuara nga hapësira V).

Një turmë e tillë W quhet nënhapësirë ​​e hapësirës V.

7  . nënhapësirë W vetë është hapësirë.

◀ Për ta vërtetuar atë, mjafton të vërtetohet ekzistenca e një elementi asnjanës dhe një elementi të kundërt. Barazimet 0⊙ x=  dhe (–1)⊙ X = –X provoni atë që është e nevojshme.

Një nënhapësirë ​​e përbërë vetëm nga një element neutral () dhe një nënhapësirë ​​që përkon me vetë hapësirën V, quhen nënhapësira triviale të hapësirës V.

§9. Kombinimi linear i vektorëve. Hapësira lineare e një sistemi vektorësh

Lërini vektorët e 1 ,e 2 , …e n V dhe  1,  2 , …  n .

Vektor x=  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n = quajtur lineare kombinimi i vektorëve e 1 , e 2 , … , e n me koeficientët  1,  2 , …  n .

Nëse të gjithë koeficientët në një kombinim linear janë zero, atëherë kombinimi linear thirrur i parëndësishëm.

Shumë kombinime të mundshme lineare të vektorëve
quhet hapësirë ​​lineare ky sistem vektorësh dhe shënohet me:

ℒ(e 1 , e 2 , …, e n) = ℒ
.

8  . ℒ(e 1 , e 2 , …, e n

◀ Korrektësia e mbledhjes dhe shumëzimit me një skalar rrjedh nga fakti se ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) është bashkësia e të gjitha kombinimeve të mundshme lineare. Elementi neutral është një kombinim linear i parëndësishëm. Për element X=
elementi i kundërt është x =
. Përmbushen gjithashtu aksiomat që duhet të plotësojnë operacionet. Kështu, ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) është një hapësirë ​​lineare.

Çdo hapësirë ​​lineare përmban, në rastin e përgjithshëm, një numër të pafund hapësirash të tjera lineare (nënhapësira) - predha lineare

Në të ardhmen, ne do të përpiqemi t'u përgjigjemi pyetjeve të mëposhtme:

Kur predhat lineare sisteme të ndryshme vektorët përbëhen nga të njëjtët vektorë (d.m.th. përkojnë)?

2) Cili është numri minimal i vektorëve që përcakton të njëjtën hapësirë ​​lineare?

3) A është hapësira origjinale një hapësirë ​​lineare e një sistemi vektorësh?

§dhjetë. Sisteme të plota vektorësh

Nëse në hapësirë V ekziston një grup i kufizuar vektorësh
të tillë që, ℒ
 V, pastaj sistemi i vektorëve
quhet një sistem i plotë V, dhe hapësira thuhet se është me dimensione të fundme. Kështu, sistemi i vektorëve e 1 , e 2 , …, e n V quhet i plotë V sistemi, d.m.th. nëse

XV   1 ,  2 , …  n tillë që x=  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n .

Nëse në hapësirë V nuk ka një sistem të plotë të fundëm (dhe një sistem i plotë ekziston gjithmonë - për shembull, grupi i të gjithë vektorëve të hapësirës V), pastaj hapësira V quhet e pafundme.

9  . Nese nje
e plotë brenda V sistemi i vektorëve dhe y V, pastaj ( e 1 , e 2 , …, e n , y) është gjithashtu një sistem i plotë.

◀ Mjaftueshëm në kombinime lineare y marrë të barabartë me 0.

Le të jetë një sistem vektorësh nga një hapësirë ​​vektoriale V mbi fushë P.

Përkufizimi 2: Predha lineare L sistemeve Aështë bashkësia e të gjitha kombinimeve lineare të vektorëve të sistemit A. Emërtimi L(A).

Mund të tregohet se për çdo dy sisteme A dhe B,

A shprehur në mënyrë lineare nëpërmjet B nese dhe vetem nese . (një)

Aështë e barabartë me B nese dhe vetem nese L(A)=L(B). (2)

Prova rrjedh nga prona e mëparshme

3 Hapësira lineare e çdo sistemi vektorësh është një nënhapësirë ​​e hapësirës V.

Dëshmi

Merrni çdo dy vektorë dhe L(A), duke pasur zgjerimet e mëposhtme në vektorë nga A: . Le të kontrollojmë realizueshmërinë e kushteve 1) dhe 2) të kriterit:

Meqenëse është një kombinim linear i vektorëve të sistemit A.

Meqenëse është edhe një kombinim linear i vektorëve të sistemit A.

Konsideroni tani matricën. Predha lineare e rreshtave të matricës A quhet hapësira e rreshtave të matricës dhe shënohet L r (A). Mbështjellësi linear i kolonave të matricës A quhet hapësira e kolonës dhe shënohet L c (A). Vini re se për hapësirën e rreshtit dhe kolonës së matricës A janë nënhapësira të hapësirave të ndryshme aritmetike P n dhe pm përkatësisht. Duke përdorur deklaratën (2), mund të arrijmë në përfundimin e mëposhtëm:

Teorema 3: Nëse një matricë merret nga një tjetër nga një zinxhir transformimesh elementare, atëherë hapësirat e rreshtave të matricave të tilla përkojnë.

Shuma dhe kryqëzimi i nënhapësirave

Le L dhe M- dy nënhapësira të hapësirës R.

Shuma L+M quhet bashkësia e vektorëve x+y , ku x ∈L dhe y ∈M. Natyrisht, çdo kombinim linear i vektorëve nga L+M i takon L+M, Rrjedhimisht L+Mështë një nënhapësirë ​​e hapësirës R(mund të përkojë me hapësirën R).

kalimi L∩M nënhapësira L dhe Mështë bashkësia e vektorëve që njëkohësisht u përkasin nënhapësirave L dhe M(mund të përbëhet vetëm nga një vektor null).

Teorema 6.1. Shuma e dimensioneve të nënhapësirave arbitrare L dhe M hapësirë ​​lineare me dimensione të fundme Rështë e barabartë me dimensionin e shumës së këtyre nënhapësirave dhe dimensionin e kryqëzimit të këtyre nënhapësirave:

zbehtë L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Dëshmi. Shënoni F=L+M dhe G=L∩M. Le G g-nënhapësirë ​​dimensionale. Ne zgjedhim një bazë në të. Sepse G⊂L dhe G⊂M, pra baza G mund të shtohet në bazë L dhe në bazë M. Le të bazën e nënhapësirës L dhe le bazën e nënhapësirës M. Le të tregojmë se vektorët

(6.1) përbëjnë bazën F=L+M. Në mënyrë që vektorët (6.1) të formojnë bazën e hapësirës F ato duhet të jenë linearisht të pavarura dhe çdo vektor hapësinor F mund të përfaqësohet nga një kombinim linear i vektorëve (6.1).

Le të provojmë pavarësia lineare vektorë (6.1). Lëreni vektorin e hapësirës nule F përfaqësohet nga një kombinim linear i vektorëve (6.1) me disa koeficientë:

Ana e majtë e (6.3) është vektori i nënhapësirës L, dhe ana e djathtë është një vektor nënhapësirë M. Prandaj vektori

(6.4) i përket nënhapësirës G=L∩M. Nga ana tjetër, vektori v mund të përfaqësohet nga një kombinim linear i vektorëve bazë të nënhapësirës G:

(6.5) Nga ekuacionet (6.4) dhe (6.5) kemi:

Por vektorët janë baza e një nënhapësire M, pra janë linearisht të pavarur dhe . Pastaj (6.2) merr formën:

Për shkak të pavarësisë lineare të bazës së nënhapësirës L ne kemi:

Meqenëse të gjithë koeficientët në ekuacionin (6.2) rezultuan zero, vektorët

janë të pavarura në mënyrë lineare. Por çdo vektor z nga F(sipas përkufizimit të shumës së nënhapësirave) mund të përfaqësohet nga shuma x+y , ku x ∈ Ly ∈ M. Nga ana e saj x përfaqësohet nga një kombinim linear i vektorëve a y - një kombinim linear i vektorëve . Prandaj vektorët (6.10) gjenerojnë nënhapësirën F. Ne kemi gjetur se vektorët (6.10) përbëjnë një bazë F=L+M.

Studimi i bazave të nënhapësirave L dhe M dhe baza nënhapësirë F=L+M(6.10), kemi: zbehtë L=g+l, zbehtë M=g+m, zbehtë (L+M)=g+l+m. Rrjedhimisht:

dimL+dimM−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Shuma e drejtpërdrejtë e nënhapësirave

Përkufizimi 6.2. Hapësirë Fështë një shumë e drejtpërdrejtë e nënhapësirave L dhe M, nëse çdo vektor x hapësirë F mund të paraqitet vetëm si një shumë x=y+z , ku y ∈L dhe z ∈M.

Shuma direkte shënohet L⊕M. Ata thonë se nëse F=L⊕M, pastaj F zbërthehet në një shumë të drejtpërdrejtë të nënhapësirave të tij L dhe M.

Teorema 6.2. te n-hapësirë ​​dimensionale R ishte një shumë e drejtpërdrejtë e nënhapësirave L dhe M, mjafton që kryqëzimi L dhe M përmban vetëm elementin zero dhe se dimensioni i R është i barabartë me shumën e dimensioneve të nënhapësirave L dhe M.

Dëshmi. Le të zgjedhim një bazë në nënhapësirën L dhe një bazë në nënhapësirën M. Le ta vërtetojmë këtë

(6.11) është baza e hapësirës R. Nga hipoteza e teoremës, dimensioni i hapësirës R nështë e barabartë me shumën e nënhapësirave L dhe M (n=l+m). Mjafton të vërtetohet pavarësia lineare e elementeve (6.11). Lëreni vektorin e hapësirës nule R përfaqësohet nga një kombinim linear i vektorëve (6.11) me disa koeficientë:

(6.13) Meqenëse ana e majtë e (6.13) është një vektor nënhapësirë L, dhe ana e djathtë është vektori i nënhapësirës M dhe L∩M=0 , pastaj

(6.14) Por vektorë dhe janë baza të nënhapësirave L dhe M përkatësisht. Prandaj, ato janë linearisht të pavarura. Pastaj

(6.15) Kemi vërtetuar se (6.12) është e vlefshme vetëm në kushtin (6.15), dhe kjo dëshmon pavarësinë lineare të vektorëve (6.11). Prandaj ato formojnë një bazë në R.

Le të jetë x∈R. Ne e zgjerojmë atë për sa i përket bazës (6.11):

(6.16) Nga (6.16) kemi:

(6.18) Nga (6.17) dhe (6.18) rrjedh se çdo vektor nga R mund të paraqitet me shumën e vektorëve x 1 ∈L dhe x 2 ∈M. Mbetet për të vërtetuar se ky përfaqësim është unik. Le të ketë, përveç përfaqësimit (6.17), edhe paraqitjen e mëposhtme:

(6.19) Duke zbritur (6.19) nga (6.17), marrim

(6.20) Që nga , dhe L∩M=0 , pastaj dhe . Prandaj dhe . ■

Teorema 8.4 mbi dimensionin e shumës së nënhapësirave. Nëse dhe janë nënhapësira të një hapësire lineare me dimensione të fundme, atëherë dimensioni i shumës së nënhapësirave është i barabartë me shumën e dimensioneve të tyre pa dimensionin e kryqëzimit të tyre ( Formula e Grassmann-it):

Në të vërtetë, le të jetë baza e kryqëzimit . Le ta plotësojmë atë me një grup të renditur vektorësh deri në bazën e nënhapësirës dhe një grup të renditur vektorësh deri në bazën e nënhapësirës. Një shtesë e tillë është e mundur nga teorema 8.2. Nga këto tre grupe vektorësh, ne do të përpilojmë një grup të renditur vektorësh. Le të tregojmë se këta vektorë janë gjenerues të hapësirës. Në të vërtetë, çdo vektor i kësaj hapësire mund të përfaqësohet si një kombinim linear i vektorëve nga grupi i renditur

Rrjedhimisht,. Le të vërtetojmë se gjeneratorët janë linearisht të pavarur dhe për këtë arsye ata janë baza e hapësirës. Në të vërtetë, le të bëjmë një kombinim linear të këtyre vektorëve dhe ta barazojmë me vektorin zero: . Të gjithë koeficientët e këtij zgjerimi janë zero: nënhapësirat e një hapësire vektoriale me një formë bilineare janë bashkësia e të gjithë vektorëve ortogonalë ndaj secilit vektor nga . Ky grup është një nënhapësirë ​​vektoriale, e cila zakonisht shënohet me .

vektoriale(ose lineare) hapësirë- një strukturë matematikore, e cila është një grup elementësh, të quajtur vektorë, për të cilat përcaktohen veprimet e mbledhjes me njëri-tjetrin dhe shumëzimit me një numër - skalar. Këto operacione u nënshtrohen tetë aksiomave. Skalarët mund të jenë elementë të një fushe numrash reale, komplekse ose të çdo fushe tjetër. Një rast i veçantë i një hapësire të tillë është hapësira e zakonshme tredimensionale Euklidiane, vektorët e së cilës përdoren, për shembull, për të përfaqësuar forcat fizike. Duhet të theksohet se një vektor, si një element i një hapësire vektoriale, nuk duhet të specifikohet si një segment i drejtuar. Përgjithësimi i konceptit të "vektorit" në një element të një hapësire vektoriale të çdo natyre jo vetëm që nuk shkakton konfuzion të termave, por gjithashtu na lejon të kuptojmë apo edhe të parashikojmë një numër rezultatesh që janë të vlefshme për hapësirat e një natyre arbitrare. .

Hapësirat vektoriale janë objekt studimi në algjebër lineare. Një nga karakteristikat kryesore të një hapësire vektoriale është dimensioni i saj. Dimensioni është numri maksimal elemente të pavarura lineare të hapësirës, ​​domethënë duke iu drejtuar një interpretimi të përafërt gjeometrik, numri i drejtimeve të pashprehura përmes njëri-tjetrit vetëm përmes operacioneve të mbledhjes dhe shumëzimit me një skalar. Hapësira vektoriale mund të jetë e pajisur me struktura shtesë, të tilla si norma ose produkti me pika. Hapësira të tilla shfaqen natyrshëm në llogaritje, kryesisht si hapësira funksionesh me dimensione të pafundme (anglisht), ku vektorët janë funksionet . Shumë probleme të analizës kërkojnë gjetjen nëse një sekuencë vektorësh konvergjon në një vektor të caktuar. Shqyrtimi i pyetjeve të tilla është i mundur në hapësira vektoriale me strukturë shtesë, në shumicën e rasteve një topologji e përshtatshme, e cila lejon të përkufizohen konceptet e afërsisë dhe vazhdimësisë. Hapësira të tilla vektoriale topologjike, në veçanti hapësirat Banach dhe Hilbert, lejojnë studim më të thellë.

Punimet e para që parashikuan prezantimin e konceptit të një hapësire vektoriale datojnë në shekullin e 17-të. Ishte atëherë që gjeometria analitike, doktrina e matricave, sistemet e ekuacioneve lineare dhe vektorët Euklidianë morën zhvillimin e tyre.

Përkufizimi

Linear ose hapësirë ​​vektoriale V (F) (\displaystyle V\majtas(F\djathtas)) mbi fushë F (\displaystyle F)është një katërfish i renditur (V , F , + , ⋅) (\style ekrani (V,F,+,\cdot)), ku

• V (\displaystyle V)- një grup jo bosh elementësh të një natyre arbitrare, të cilat quhen vektorët;
• F (\displaystyle F)- një fushë, elementët e së cilës thirren skalarët;
• Operacioni i përcaktuar shtesat vektorët V × V → V (\stil ekrani V\ herë V\ deri në V), duke përputhur çdo çift elementësh x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y)) grupe V (\displaystyle V) V (\displaystyle V) duke i thirrur ata shuma dhe shënohet x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y));
• Operacioni i përcaktuar shumëzimi i vektorëve me skalorë F × V → V (\stil ekrani F\ herë V\ deri në V), e cila përputhet me çdo element λ (\displaystyle \lambda) fusha F (\displaystyle F) dhe çdo element x (\displaystyle \mathbf (x)) grupe V (\displaystyle V) elementi i vetëm i grupit V (\displaystyle V), shënohet λ ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x) ) ose λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x));

Hapësirat vektoriale të përcaktuara në të njëjtin grup elementësh, por mbi fusha të ndryshme do të jenë hapësira të ndryshme vektoriale (për shembull, grupi i çifteve numra realë R 2 (\displaystyle \mathbb (R) ^(2)) mund të jetë një hapësirë ​​vektoriale dydimensionale mbi fushën e numrave realë ose njëdimensionale - mbi fushën e numrave kompleksë).

Karakteristikat më të thjeshta

1. Hapësira vektoriale është një grup abelian nga mbledhja.
2. element neutral 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
3. 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0) ) për këdo.
4. Për këdo x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \në V) element i kundërt − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V)është i vetmi që rrjedh nga vetitë e grupit.
5. 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x) ) për këdo x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \në V).
6. (− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alfa \cdot (-\mathbf (x))=-( \alfa \mathbf (x))) për çdo dhe x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \në V).
7. α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alfa \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0) ) për këdo α ∈ F (\displaystyle \alfa \në F).

Përkufizime dhe veti të ngjashme

nënhapësirë

Përkufizimi algjebrik: Nënhapësirë ​​lineare ose nënhapësirë ​​vektorialeështë një nëngrup jo bosh K (\displaystyle K) hapësirë ​​lineare V (\displaystyle V) sikurse K (\displaystyle K)është në vetvete një hapësirë ​​lineare në lidhje me ato të përcaktuara në V (\displaystyle V) veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit me një skalar. Bashkësia e të gjitha nënhapësirave zakonisht shënohet si L a t (V) (\displaystyle \mathrm (Lat) (V)). Që një nënbashkësi të jetë një nënhapësirë, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që

Dy deklaratat e fundit janë ekuivalente me sa vijon:

Për çdo vektor x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \në K) vektoriale α x + β y (\displaystyle \alfa \mathbf (x) +\beta \mathbf (y) ) gjithashtu i përkiste K (\displaystyle K) për çdo α , β ∈ F (\displaystyle \alfa,\beta \në F).

Në veçanti, një hapësirë ​​vektoriale e përbërë nga vetëm një vektor zero është një nënhapësirë ​​e çdo hapësire; çdo hapësirë ​​është një nënhapësirë ​​më vete. Nënhapësirat që nuk përkojnë me këto dy quhen vet ose jo i parëndësishëm.

Vetitë e nënhapësirës

Kombinimet lineare

Shuma përfundimtare e pamjes

Kombinimi linear quhet:

Baza. Dimensioni

Vektorët x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n)) thirrur varur në mënyrë lineare, nëse ekziston një kombinim linear jo i parëndësishëm i tyre, vlera e të cilit është e barabartë me zero; kjo eshte

me disa koeficientë α 1 , α 2 , … , α n ∈ F , (\ stili i shfaqjes \alfa _(1),\alfa _(2),\lfa ,\alfa _(n)\në F,) dhe të paktën një nga koeficientët α i (\displaystyle \alfa _(i)) të ndryshme nga zero.

Përndryshe, këta vektorë quhen i pavarur në mënyrë lineare.

Ky përkufizim lejon përgjithësimin e mëposhtëm: një grup i pafund vektorësh nga V (\displaystyle V) thirrur varur në mënyrë lineare, nëse disa final nëngrupi i saj, dhe i pavarur në mënyrë lineare, nëse ndonjë final nëngrupi është linearisht i pavarur.

Karakteristikat e bazës:

Predha lineare

Predha lineare nënbashkësi X (\displaystyle X) hapësirë ​​lineare V (\displaystyle V)- kryqëzimi i të gjitha nënhapësirave V (\displaystyle V) që përmban X (\displaystyle X).

Predha lineare është një nënhapësirë V (\displaystyle V).

Guaska lineare quhet gjithashtu nënhapësirë ​​e krijuar X (\displaystyle X). Thuhet gjithashtu se shtrirja lineare V (X) (\style ekrani (\mathcal (V))(X))- hapësirë, i shtrirë shume nga X (\displaystyle X).

Artikulli përshkruan bazat e algjebrës lineare: hapësira lineare, vetitë e saj, koncepti i një baze, dimensionet e hapësirës, ​​shtrirja lineare, marrëdhënia midis hapësirave lineare dhe rangut të matricave.

hapësirë ​​lineare

Shume nga L thirrur hapësirë ​​lineare, nëse për të gjithë elementët e tij veprimet e mbledhjes së dy elementeve dhe shumëzimit të një elementi me një numër të kënaqshëm I grup Aksiomat e Weyl-it. Elementet e një hapësire lineare quhen vektorët. Ky është përkufizimi i plotë; më shkurt, mund të themi se një hapësirë ​​lineare është një grup elementësh për të cilët përcaktohen veprimet e mbledhjes së dy elementeve dhe shumëzimit të një elementi me një numër.

Aksiomat e Weyl-it.

Herman Weil sugjeroi që në gjeometri të kemi dy lloje objektesh ( vektorët dhe pikat), vetitë e të cilit përshkruhen nga aksiomat e mëposhtme, të cilat ishin baza e seksionit algjebër lineare. Aksiomat mund të ndahen lehtësisht në 3 grupe.

Grupi I

1. për çdo vektor x dhe y plotësohet barazia x+y=y+x;
2. për çdo vektor x, y dhe z, x+(y+z)=(x+y)+z;
3. ekziston një vektor o i tillë që për çdo vektor x barazia x + o = x është e vërtetë;
4. për çdo vektor X ekziston një vektor (-x) i tillë që x+(-x)=o;
5. për çdo vektor X zë vend barazia 1x=x;
6. për çdo vektor X dhe në dhe çdo numër λ, barazia λ( X+në)=λ X+λ në;
7. për çdo vektor X dhe çdo numër λ dhe μ kemi barazinë (λ+μ) X=λ X+μ X;
8. për çdo vektor X dhe çdo numër λ dhe μ, barazia λ(μ X)=(λμ) X;

Grupi II

Grupi I përcakton konceptin kombinim linear i vektorëve, varësia lineare dhe pavarësia lineare. Kjo na lejon të formulojmë dy aksioma të tjera:

1. ka n vektorë të pavarur linearisht;
2. çdo vektor (n+1) është i varur në mënyrë lineare.

Për planimetrinë n=2, për stereometrinë n=3.

Grupi III

Ky grup supozon se ekziston një operacion shumëzimi skalar që lidh një palë vektorësh X dhe në numri ( x, y). ku:

1. për çdo vektor X dhe në barazia vlen ( x, y)=(y, x);
2. për çdo vektor X , në dhe z barazia vlen ( x+y,z)=(x,z)+(y,z);
3. për çdo vektor X dhe në dhe çdo numër λ, barazia (λ x, y)=λ( x, y);
4. për çdo vektor x, pabarazia ( x, x)≥0, dhe ( x, x)=0 nëse dhe vetëm nëse X=0.

Vetitë e hapësirës lineare

Në pjesën më të madhe, vetitë e një hapësire lineare bazohen në aksiomat e Weyl-it:

1. Vektor rreth, ekzistenca e të cilit garantohet nga Aksioma 3, është përcaktuar në mënyrë unike;
2. Vektor(- X), ekzistenca e të cilit garantohet nga Aksioma 4, është përcaktuar në mënyrë unike;
3. Për çdo dy vektorë a dhe b që i përkasin hapësirës L, ekziston vektor i vetëm X, gjithashtu i përket hapësirës L, e cila është një zgjidhje e ekuacionit a+x=b dhe quhet diferenca vektoriale b-a.

Përkufizimi. Nëngrupi L' hapësirë ​​lineare L thirrur nënhapësirë ​​lineare hapësirë L, nëse është vetë një hapësirë ​​lineare në të cilën shuma e vektorëve dhe prodhimi i një vektori me një numër përcaktohen në të njëjtën mënyrë si në L.

Përkufizimi. Predha lineare L(x1, x2, x3, ..., xk) vektorë x1, x2, x3, dhe xkështë bashkësia e të gjitha kombinimeve lineare të këtyre vektorëve. Për hapësirën lineare, mund të themi se

-hapësira lineare është një nënhapësirë ​​lineare;

– hapësira lineare është nënhapësira lineare minimale që përmban vektorët x1, x2, x3, dhe xk.

Përkufizimi. Një hapësirë ​​lineare quhet n-dimensionale nëse plotëson grupin II të sistemit të aksiomave Weyl. Numri n quhet dimension hapësirë ​​lineare dhe shkruani dimL=n.

Bazaështë ndonjë sistem i porositur n vektorë linearisht të pavarur të hapësirës . Kuptimi i bazës është i tillë që vektorët që përbëjnë bazën mund të përdoren për të përshkruar çdo vektor në hapësirë.

Teorema.Çdo n vektor linearisht i pavarur në hapësirën L formojnë një bazë.

Izomorfizmi.

Përkufizimi. Hapësirat lineare L dhe L' quhen izomorfe nëse mund të vendoset një korrespodencë e tillë një me një ndërmjet elementeve të tyre x↔x', çfarë:

1. nëse x↔x', y↔y', pastaj x+y↔x’+y’;
2. nëse x↔x', pastaj λ x↔λ X'.

Kjo korrespondencë quhet izomorfizëm. Izomorfizmi na lejon të bëjmë pohimet e mëposhtme:

• nëse dy hapësira janë izomorfe, atëherë dimensionet e tyre janë të barabarta;
• çdo dy hapësira lineare mbi të njëjtën fushë dhe me të njëjtin dimension janë izomorfe.