Lema 1 : Nëse në një matricë me madhësi n n të paktën një rresht (kolona) është i barabartë me zero, atëherë rreshtat (kolonat) e matricës varen në mënyrë lineare.

Dëshmi: Lëreni rreshtin e parë të jetë i pavlefshëm, atëherë

ku a 10. Kjo është ajo që kërkohej.

Përkufizimi: Quhet një matricë, elementët e së cilës nën diagonalen kryesore janë të barabartë me zero trekëndësh:

dhe ij = 0, i>j.

Lema 2: Përcaktori i një matrice trekëndore është i barabartë me produktin e elementeve të diagonales kryesore.

Prova është e lehtë për t'u kryer me induksion në dimensionin e matricës.

Teorema rreth pavarësia lineare vektorët.

a)Nevoja: varur në mënyrë lineare D=0 .

Dëshmi: Le të varen në mënyrë lineare, j=,

dmth ekziston një j, jo të gjitha janë të barabarta me zero, j= ,çfarë a 1 A 1 + a 2 A 2 + ... a n A n = , A j - kolonat e matricës POR. Le të, për shembull, një n ¹0.

Ne kemi a j * = a j / a n , j £ n-1a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 * A n -1 + A n = .

Le të zëvendësojmë kolonën e fundit të matricës POR në

A n * \u003d a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 A n -1 + A n \u003d.

Sipas vetive të përcaktorit të provuar më sipër (nuk ndryshon nëse një kolonë tjetër i shtohet ndonjë kolone në matricë, shumëzuar me një numër), përcaktori i matricës së re është i barabartë me përcaktuesin e asaj origjinale. Por në matricën e re, një kolonë është zero, që do të thotë se duke zgjeruar përcaktorin në këtë kolonë, marrim D=0, Q.E.D.

b)Përshtatshmëria: matrica e madhësisë n nme rreshta linearisht të pavarurështë gjithmonë e mundur të reduktohet në formë trekëndore me ndihmën e shndërrimeve që nuk e ndryshojnë vlerën absolute të përcaktorit. Në këtë rast, pavarësia e rreshtave të matricës origjinale nënkupton që përcaktori i saj nuk është i barabartë me zero.

1. Nëse në matricën e madhësisë n n me element rreshtash të pavarur linearisht një 11është e barabartë me zero, pastaj kolona me elementin dhe 1 j ¹ 0. Sipas Lemës 1, një element i tillë ekziston. Në këtë rast, përcaktori i matricës së transformuar mund të ndryshojë nga përcaktori i matricës origjinale vetëm në shenjë.

2. Nga rreshtat me numra i>1 zbres rreshtin e parë të shumëzuar me thyesën a i 1 / a 11. Në të njëjtën kohë, në kolonën e parë të rreshtave me numra i>1 do të fitohen elemente nule.

3. Le të fillojmë llogaritjen e përcaktorit të matricës që rezulton duke e zgjeruar atë në kolonën e parë. Meqenëse të gjithë elementët në të, përveç të parës, janë të barabartë me zero,

D e re = a 11 e re (-1) 1+1 D 11 e re,

ku d 11 e reështë përcaktues i një matrice më të vogël.

Më pas, për të llogaritur përcaktorin D11 përsëritni hapat 1, 2, 3 derisa përcaktori i fundit të jetë përcaktuesi i matricës së madhësisë 1 1. Meqenëse pika 1 ndryshon vetëm shenjën e përcaktorit të matricës së transformuar, dhe pika 2 nuk e ndryshon fare vlerën e përcaktorit, atëherë, deri në një shenjë, përfundimisht do të marrim përcaktorin e matricës origjinale. Në këtë rast, meqenëse, për shkak të pavarësisë lineare të rreshtave të matricës origjinale, pika 1 është gjithmonë e realizueshme, të gjithë elementët e diagonales kryesore do të rezultojnë të jenë jo zero. Kështu, përcaktori përfundimtar sipas algoritmit të mësipërm është i barabartë me produktin e elementeve jozero në diagonalen kryesore. Prandaj, përcaktori i matricës origjinale nuk është i barabartë me zero. Q.E.D.

Shtojca 2

Më poshtë jepen disa kritere për varësinë lineare dhe, në përputhje me rrethanat, pavarësinë lineare të sistemeve të vektorëve.

Teorema. (Një kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për varësinë lineare të vektorëve.)

Një sistem vektorësh është i varur nëse dhe vetëm nëse njëri nga vektorët e sistemit shprehet në mënyrë lineare në termat e të tjerëve të këtij sistemi.

Dëshmi. Nevoja. Le të jetë sistemi i varur në mënyrë lineare. Pastaj, sipas definicionit, ai paraqet vektorin null në një mënyrë jo të parëndësishme, d.m.th. ekziston një kombinim jo i parëndësishëm i këtij sistemi vektorësh të barabartë me vektorin zero:

ku të paktën njëri nga koeficientët e këtij kombinimi linear nuk është i barabartë me zero. Le , .

Pjesëtoni të dyja pjesët e barazisë së mëparshme me këtë koeficient jozero (d.m.th. shumëzoni me:

Shënoni: , ku .

ato. njëri nga vektorët e sistemit shprehet në mënyrë lineare në termat e të tjerëve të këtij sistemi etj.

Përshtatshmëria. Le të shprehet një nga vektorët e sistemit në mënyrë lineare në terma të vektorëve të tjerë të këtij sistemi:

Le ta zhvendosim vektorin në të djathtë të kësaj barazie:

Meqenëse koeficienti i vektorit është , atëherë kemi një paraqitje jo të parëndësishme të zeros nga sistemi i vektorëve, që do të thotë se ky sistem vektorësh është i varur në mënyrë lineare, etj.

Teorema është vërtetuar.

Pasoja.

1. Një sistem vektorësh në një hapësirë ​​vektoriale është linearisht i pavarur nëse dhe vetëm nëse asnjë nga vektorët e sistemit nuk shprehet në mënyrë lineare në terma të vektorëve të tjerë të këtij sistemi.

2. Një sistem vektorësh që përmban një vektor zero ose dy vektorë të barabartë është i varur në mënyrë lineare.

Dëshmi.

1) Domosdoshmëri. Le të jetë sistemi i pavarur në mënyrë lineare. Supozoni të kundërtën dhe ekziston një vektor sistemi që shprehet në mënyrë lineare përmes vektorëve të tjerë të këtij sistemi. Pastaj, sipas teoremës, sistemi është i varur në mënyrë lineare dhe arrijmë në një kontradiktë.

Përshtatshmëria. Asnjë nga vektorët e sistemit të mos shprehet me të tjerët. Le të supozojmë të kundërtën. Le të jetë sistemi i varur në mënyrë lineare, por më pas nga teorema del se ekziston një vektor sistemi që shprehet në mënyrë lineare përmes vektorëve të tjerë të këtij sistemi dhe përsëri vijmë në një kontradiktë.

2a) Le të përmbajë sistemi një vektor zero. Supozojmë për definicion se vektori :. Pastaj barazia

ato. njëri nga vektorët e sistemit shprehet në mënyrë lineare në terma të vektorëve të tjerë të këtij sistemi. Nga teorema del se një sistem i tillë vektorësh është i varur në mënyrë lineare, kështu me radhë.

Vini re se ky fakt mund të vërtetohet drejtpërdrejt nga një sistem i varur linear vektorësh.

Meqenëse , barazia e mëposhtme është e qartë

Ky është një paraqitje jo e parëndësishme e vektorit zero, që do të thotë se sistemi është i varur në mënyrë lineare.

2b) Le të ketë sistemi dy vektorë të barabartë. Lëreni për. Pastaj barazia

Ato. vektori i parë shprehet në mënyrë lineare në terma të vektorëve të tjerë të të njëjtit sistem. Nga teorema del se këtë sistem varur në mënyrë lineare etj.

Ngjashëm me atë të mëparshmin, ky pohim mund të vërtetohet drejtpërdrejt edhe nga përkufizimi i një sistemi të varur linear, atëherë ky sistem paraqet vektorin zero në mënyrë jo të parëndësishme.

prej nga vijon varësia lineare e sistemit .

Teorema është vërtetuar.

Pasoja. Një sistem i përbërë nga një vektor është linearisht i pavarur nëse dhe vetëm nëse ky vektor është jozero.

Funksionet thirren i pavarur në mënyrë lineare, nëse

(lejohet vetëm një kombinim linear i parëndësishëm i funksioneve, i cili është identikisht i barabartë me zero). Në ndryshim nga pavarësia lineare e vektorëve, këtu identiteti i kombinimit linear është zero, dhe jo barazi. Kjo është e kuptueshme, pasi barazia e kombinimit linear me zero duhet të plotësohet për çdo vlerë të argumentit.

Funksionet thirren varur në mënyrë lineare, nëse ekziston një grup konstantesh jo zero (jo të gjitha konstantet janë të barabarta me zero) i tillë që (ekziston një kombinim linear jo i parëndësishëm i funksioneve që është identikisht i barabartë me zero).

Teorema.Që funksionet të jenë linearisht të varur, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ndonjëri prej tyre të shprehet në mënyrë lineare në termat e pjesës tjetër (të përfaqësuar si kombinim linear i tyre).

Vërtetoni vetë këtë teoremë, vërtetohet në të njëjtën mënyrë si teorema e ngjashme nga varësia lineare e vektorëve.

Përcaktori i Vronskit.

Përcaktori Wronsky për funksionet prezantohet si një përcaktues, kolonat e së cilës janë derivatet e këtyre funksioneve nga zero (vetë funksionet) në rendin n-1.

.

Teorema. Nëse funksionet varur në mënyrë lineare, pra

Dëshmi. Që nga funksionet janë të varura në mënyrë lineare, atëherë njëri prej tyre shprehet në mënyrë lineare në termat e pjesës tjetër, për shembull,

Identiteti mund të diferencohet, pra

Pastaj kolona e parë e përcaktorit Wronsky shprehet në mënyrë lineare në terma të kolonave të mbetura, kështu që përcaktorja Wronsky është identike e barabartë me zero.

Teorema.Për të zgjidhur homogjenin linear ekuacioni diferencial Rendi i n-të janë të varur linearisht, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që.

Dëshmi. Domosdoshmëria rrjedh nga teorema e mëparshme.

Përshtatshmëria. Le të rregullojmë një pikë. Meqenëse , atëherë kolonat e përcaktorit të llogaritur në këtë pikë janë vektorë të varur linearisht.

, që marrëdhëniet

Meqenëse një kombinim linear i zgjidhjeve të një lineare ekuacioni homogjenështë zgjidhja e saj, atëherë mund të prezantojmë një zgjidhje të formës

Një kombinim linear i zgjidhjeve me koeficientë të njëjtë.

Vini re se për këtë zgjidhje plotëson zero kushtet fillestare, kjo rrjedh nga sistemi i ekuacioneve të shkruar më sipër. Por zgjidhja e parëndësishme e një ekuacioni linear homogjen plotëson gjithashtu të njëjtat kushte fillestare zero. Prandaj, nga teorema e Cauchy-t rrjedh se zgjidhja e paraqitur është identike e barabartë me atë të parëndësishme, prandaj,

pra zgjidhjet janë të varura në mënyrë lineare.

Pasoja.Nëse përcaktorja Wronsky, e ndërtuar mbi zgjidhjet e një ekuacioni homogjen linear, zhduket të paktën në një pikë, atëherë ajo është identike e barabartë me zero.

Dëshmi. Nëse , atëherë zgjidhjet janë të varura linearisht, pra, .

Teorema.1. Për varësinë lineare të zgjidhjeve është e nevojshme dhe e mjaftueshme(ose ).

2. Për pavarësinë lineare të zgjidhjeve është e nevojshme dhe e mjaftueshme.

Dëshmi. Pohimi i parë rrjedh nga teorema e provuar më sipër dhe nga përfundimi. Pohimi i dytë vërtetohet lehtësisht me kontradiktë.

Lërini zgjidhjet të jenë linearisht të pavarura. Nëse , atëherë zgjidhjet janë të varura në mënyrë lineare. Kontradikta. Rrjedhimisht, .

Le . Nëse zgjidhjet janë të varura në mënyrë lineare, atëherë , pra, një kontradiktë. Prandaj, zgjidhjet janë linearisht të pavarura.

Pasoja.Zhdukja e përcaktorit Wronsky të paktën në një pikë është një kriter për varësinë lineare të zgjidhjeve të një ekuacioni linear homogjen.

Diferenca e përcaktorit Wronsky nga zero është një kriter për pavarësinë lineare të zgjidhjeve të një ekuacioni linear homogjen.

Teorema.Dimensioni i hapësirës së zgjidhjeve të një ekuacioni linear homogjen të rendit të n-të është i barabartë me n.

Dëshmi.

a) Le të tregojmë se ka n zgjidhje të pavarura lineare të një ekuacioni diferencial linear homogjen të rendit të n-të. Konsideroni Zgjidhjet , duke plotësuar kushtet fillestare të mëposhtme:

...........................................................

Zgjidhje të tilla ekzistojnë. Në të vërtetë, nga teorema e Cauchy përmes pikës kalon lakoren e vetme integrale - zgjidhjen. Përmes pikës e kalon zgjidhjen përmes pikës

- zgjidhje, përmes një pike - zgjidhje.

Këto zgjidhje janë linearisht të pavarura, pasi .

b) Le të tregojmë se çdo zgjidhje e një ekuacioni homogjen linear shprehet në mënyrë lineare në terma të këtyre zgjidhjeve (është kombinimi linear i tyre).

Le të shqyrtojmë dy zgjidhje. Një zgjidhje arbitrare me kushte fillestare . Raport i drejtë

Konceptet e varësisë lineare dhe pavarësisë së një sistemi vektorësh janë shumë të rëndësishëm në studimin e algjebrës vektoriale, pasi konceptet e dimensionit dhe bazës së hapësirës bazohen në to. Në këtë artikull, ne do të japim përkufizime, do të shqyrtojmë vetitë e varësisë dhe pavarësisë lineare dhe do të marrim një algoritëm për studimin e një sistemi vektorësh në varësia lineare Le t'i hedhim një vështrim shembujve në detaje.

Navigimi i faqes.

Përcaktimi i varësisë lineare dhe pavarësisë lineare të një sistemi vektorësh.

Konsideroni një grup vektorësh p n-dimensionale, shënojini si më poshtë. Hartoni një kombinim linear të këtyre vektorëve dhe numrave arbitrarë (reale ose komplekse): . Bazuar në përkufizimin e veprimeve mbi vektorët n-dimensionale, si dhe në vetitë e veprimeve të mbledhjes së vektorëve dhe shumëzimit të një vektori me një numër, mund të argumentohet se kombinimi linear i regjistruar është një vektor n-dimensional, d.m.th. .

Kështu arritëm në përkufizimin e varësisë lineare të sistemit të vektorëve.

Përkufizimi.

Nëse një kombinim linear mund të jetë një vektor zero kur është midis numrave ka të paktën një tjetër përveç zeros, atëherë quhet sistemi i vektorëve varur në mënyrë lineare.

Përkufizimi.

Nëse kombinimi linear është një vektor null vetëm kur të gjithë numrat janë të barabartë me zero, atëherë quhet sistemi i vektorëve i pavarur në mënyrë lineare.

Vetitë e varësisë dhe pavarësisë lineare.

Bazuar në këto përkufizime, ne formulojmë dhe vërtetojmë vetitë e varësisë lineare dhe pavarësisë lineare të një sistemi vektorësh.

Nëse disa vektorë i shtohen një sistemi vektorësh të varur linearisht, atëherë sistemi që rezulton do të jetë i varur linearisht.

Dëshmi.

Meqenëse sistemi i vektorëve është i varur në mënyrë lineare, barazia është e mundur nëse ka të paktën një numër jozero nga numrat . Le .

Le të shtojmë më shumë vektorë në sistemin origjinal të vektorëve , dhe ne marrim sistemin. Që dhe , atëherë kombinimi linear i vektorëve të këtij sistemi të formës

është një vektor null, dhe . Prandaj, sistemi që rezulton i vektorëve është i varur në mënyrë lineare.

Nëse disa vektorë përjashtohen nga një sistem linearisht i pavarur vektorësh, atëherë sistemi që rezulton do të jetë linearisht i pavarur.

Dëshmi.

Supozojmë se sistemi që rezulton është i varur në mënyrë lineare. Duke shtuar të gjithë vektorët e hedhur poshtë këtij sistemi vektorësh, marrim sistemin origjinal të vektorëve. Sipas kushtit, ai është linearisht i pavarur dhe për shkak të vetive të mëparshme të varësisë lineare, duhet të jetë i varur linearisht. Kemi arritur në një kontradiktë, prandaj supozimi ynë është i gabuar.

Nëse një sistem vektorësh ka të paktën një vektor zero, atëherë një sistem i tillë është i varur në mënyrë lineare.

Dëshmi.

Le të jetë zero vektori në këtë sistem vektorësh. Supozoni se sistemi origjinal i vektorëve është linearisht i pavarur. Atëherë barazia vektoriale është e mundur vetëm kur . Megjithatë, nëse marrim ndonjë jo-zero, atëherë barazia do të vazhdojë të jetë e vlefshme, pasi . Prandaj, supozimi ynë është i gabuar dhe sistemi origjinal i vektorëve është i varur në mënyrë lineare.

Nëse një sistem vektorësh është i varur në mënyrë lineare, atëherë të paktën njëri prej vektorëve të tij shprehet në mënyrë lineare në terma të të tjerëve. Nëse sistemi i vektorëve është linearisht i pavarur, atëherë asnjë nga vektorët nuk mund të shprehet në terma të të tjerëve.

Dëshmi.

Le të provojmë fillimisht pohimin e parë.

Le të jetë sistemi i vektorëve të varur linearisht, atëherë ka të paktën një numër jozero dhe barazia është e vërtetë. Kjo barazi mund të zgjidhet në lidhje me , pasi , në këtë rast, ne kemi

Rrjedhimisht, vektori shprehet në mënyrë lineare në termat e vektorëve të mbetur të sistemit, gjë që duhej vërtetuar.

Tani vërtetojmë pohimin e dytë.

Meqenëse sistemi i vektorëve është linearisht i pavarur, barazia është e mundur vetëm për .

Supozoni se një vektor i sistemit është shprehur në mënyrë lineare në terma të të tjerëve. Le të jetë ky vektor , atëherë . Kjo barazi mund të rishkruhet si , në anën e majtë të tij ka një kombinim linear të vektorëve të sistemit, dhe koeficienti përballë vektorit është jo zero, gjë që tregon një varësi lineare të sistemit origjinal të vektorëve. Pra kemi ardhur në një kontradiktë, që do të thotë se prona është e provuar.

Një deklaratë e rëndësishme rrjedh nga dy vetitë e fundit:
nëse sistemi i vektorëve përmban vektorë dhe , ku është një numër arbitrar, atëherë ai është i varur në mënyrë lineare.

Studimi i sistemit të vektorëve për varësinë lineare.

Le të vendosim detyrën: duhet të vendosim një varësi lineare ose pavarësi lineare të sistemit të vektorëve.

Pyetja logjike është: "si ta zgjidhim atë?"

Diçka e dobishme nga pikëpamja praktike mund të nxirret nga përkufizimet dhe vetitë e mësipërme të varësisë dhe pavarësisë lineare të një sistemi vektorësh. Këto përkufizime dhe veti na lejojnë të krijojmë një varësi lineare të një sistemi vektorësh në rastet e mëposhtme:

Po në rastet e tjera, që janë shumicë?

Le të merremi me këtë.

Kujtoni formulimin e teoremës mbi rangun e një matrice, të cilën e cituam në artikull.

Teorema.

Le r është rangu i matricës A me rend p me n, . Le të jetë M minorja bazë e matricës A. Të gjitha rreshtat (të gjitha kolonat) të matricës A që nuk marrin pjesë në formimin e minorit bazë M shprehen në mënyrë lineare përmes rreshtave (kolonave) të matricës që gjenerojnë minorin bazë M .

Dhe tani le të shpjegojmë lidhjen e teoremës në rangun e një matrice me studimin e një sistemi vektorësh për një varësi lineare.

Le të bëjmë një matricë A, rreshtat e së cilës do të jenë vektorët e sistemit në studim:

Çfarë do të thotë pavarësia lineare e sistemit të vektorëve?

Nga vetia e katërt e pavarësisë lineare të një sistemi vektorësh, ne e dimë se asnjë nga vektorët e sistemit nuk mund të shprehet në terma të të tjerëve. Me fjalë të tjera, asnjë rresht i matricës A nuk do të shprehet në mënyrë lineare në terma të rreshtave të tjerë, prandaj, pavarësia lineare e sistemit të vektorëve do të jetë ekuivalente me kushtin Rank(A)=p.

Çfarë do të thotë varësia lineare e sistemit të vektorëve?

Gjithçka është shumë e thjeshtë: të paktën një rresht i matricës A do të shprehet në mënyrë lineare në termat e pjesës tjetër, prandaj, varësia lineare e sistemit të vektorëve do të jetë ekuivalente me kushtin Rank(A)

.