1. Ecuația parametrică a unei drepte

Fie dat un punct M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) pe o dreaptă și un vector s = (l ,m ,n ) situat pe

această linie (sau paralelă cu ea). Se mai numește vectorul s vector de ghidare drept.

Aceste condiții definesc în mod unic o linie dreaptă în spațiu. Să o găsim

ecuația. Luați un punct arbitrar M (x, y, z) pe linie. Este clar că vectorii

M 0 M (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) și s sunt coliniare.

Prin urmare, M 0 M = t s − este o ecuație vectorială a unei drepte.

În notația de coordonate, ultima ecuație are următoarea reprezentare parametrică

două unghiuri formate din două drepte, respectiv, paralele cu cea dată și care trec printr-un punct (ceea ce poate necesita translația paralelă a uneia dintre drepte).

Din definiție rezultă că unul dintre unghiuri este egal cu unghiul ϕ dintre

Dreptele sunt perpendiculare pe s 1 s 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0 .

4. Unghiul dintre o linie și un plan. Condițiile « » și « » direct și

avion

Fie ca dreapta L să fie dată de ecuația sa canonică x − l x 0 = y − m y 0 = z − n z 0 ,

iar planul P prin ecuație

Ax + By + Cz + D = 0.

Definiție. Unghiul dintre linia L

iar planul p se numeste colt ascutitîntre dreapta L şi proiecţia ei pe plan.

Din definiție (și figură) rezultă că unghiul necesar ϕ este suplimentar (până la unghi drept) la unghiul dintre vectorul normal n (A , B ,C ) si

vector de direcție s (l ,m ,n ) .

(. se ia pentru a obține un unghi ascuțit).

Dacă L Р, atunci s n (s, n) = 0

Acum, dacă înlocuim „t” găsit în ecuațiile parametrice ale dreptei, atunci vom găsi punctul de intersecție dorit

Una dintre principalele operații ale analizei matematice este operația de trecere la limită, care are loc în curs sub diferite forme. Începem cu cea mai simplă formă a operației de trecere la limită, bazată pe conceptul de limită a așa-numitei șiruri numerice. Aceasta va facilita introducerea unei alte forme foarte importante de trecere la operația limită, limita unei funcții. In cele ce urmeaza, constructiile de treceri la limita vor fi folosite in constructia calculului diferential si integral.



 Secvențe infinitezimale și infinit de mari

 Relația dintre secvențe infinit de mari și infinit de mici.

 Cele mai simple proprietăți ale secvențelor infinitezimale

 Limită de secvență.

 Proprietăţi ale secvenţelor convergente

 Operații aritmetice pe secvențe convergente

 Secvențe monotone

 Criteriul de convergență Cauchy

 Numărul e și ilustrația sa economică.

 Aplicarea limitelor în calculele economice

§ 1. Secvențe numerice și proprietăți simple

1. Conceptul de succesiune numerică. Operații aritmetice pe secvențe

Secvențele de numere sunt seturi infinite de numere. Exemple de secvențe sunt cunoscute de la școală:

1) succesiunea tuturor membrilor unei progresii aritmetice și geometrice infinite;

2) succesiune de perimetre regulate n-gonuri înscrise într-un cerc dat;

va fi numită secvența de numere (sau doar o secvență).

Numerele separate x 3 , x 5 , x n vor fi numite elemente sau membri ai succesiunii (1). Simbolul x n este numit membru comun sau al n-lea al acestei secvențe. Dând valoarea n = 1, 2, … în termenul comun x n obținem, respectiv, primul x 1 , al doilea x 2 și așa mai departe. membrii.

O secvență este considerată dată (vezi Def.) dacă este specificată o metodă pentru obținerea oricăruia dintre elementele sale. Adesea, o secvență este dată de o formulă pentru termenul comun al șirului.

Pentru a scurta notația, șirul (1) se scrie uneori ca

Structura termenului comun (formula sa) poate fi complexă. De exemplu,

Uneori succesiunea este dată de așa-numitul formule recurente, adică formule care vă permit să găsiți membrii ulterioare ai secvenței din cei anterioare cunoscuți.

Exemplu (numerele Fibonacci). Fie x 1 = x 2 = 1 și formula recurentă x n = x n − 1 + x n − 2 pentru n = 3, 4, … este dată. Atunci avem șirul 1, 1,

2, 3, 5, 8, ... (numerele lui Leonardo din Pisa, supranumit Fibonacci). Geometric, o secvență numerică poate fi reprezentată pe un număr

axă sub forma unei succesiuni de puncte ale căror coordonate sunt egale cu cele corespunzătoare

membrii corespunzători ai secvenței. De exemplu, ( x n ) = 1 n .

Curs № 8-9 Fundamentele analizei matematice prof. Dymkov M.P. 66

Considerăm împreună cu șirul ( x n ) o altă secvență ( y n ): y 1 , y 2 , y ,n (2).

Definiție. Suma (diferența, produsul, coeficientul) secvenței

valorile ( xn ) și ( yn ) se numește o secvență ( zn ) ai cărei membri sunt

Produsul unei secvențe ( xn ) și un număr c R este o secvență ( c xn ) .

Definiție. Secvența ( xn ) se numește mărginită

de sus (de jos), dacă există un număr real M (m) astfel încât fiecare element al acestei secvențe xn satisface inegalul

xn ≤ M (xn ≥ m) . O secvență se numește mărginită dacă este mărginită atât deasupra cât și sub m ≤ xn ≤ M . Se numește șirul xn

este nemărginit dacă pentru un număr pozitiv A (arbitrar de mare) exista cel putin un element al secvenței xn , satisface

care dă inegalitatea xn > A.

( x n ) = ( 1n ) 0 ≤ x n ≤ 1.

( x n ) = ( n ) − este mărginită de jos de 1, dar este nemărginită.

( x n ) = ( − n ) − mărginit de sus (–1), dar și nemărginit.

Definiție. Se numește șirul ( x n ). infinitezimal,

dacă pentru orice număr real pozitiv ε (oricât de mic este luat) există un număr N , care depinde, în general, de ε , (N = N (ε )) astfel încât pentru tot n ≥ N inegalitatea x n< ε .

Exemplu. ( x n ) = 1 n .

Definiție. Se numește șirul ( xn ). durere nesfârșită-

nu dacă pentru un număr real pozitiv A (indiferent cât de mare este acesta) există un număr N (N = N(A)) astfel încât pentru toți n ≥ N

se obţine inegalitatea xn > A.

Asigurați-vă că citiți acest paragraf! Ecuații parametrice, desigur, nu alfa și omega ale geometriei spațiale, ci furnica lucrătoare a multor sarcini. Mai mult, acest tip de ecuații este adesea aplicat pe neașteptate, și aș spune, elegant.

Dacă punctul aparținând dreptei și vectorul direcție al acestei drepte sunt cunoscute, atunci ecuațiile parametrice ale acestei drepte sunt date de sistemul:

Am vorbit despre însuși conceptul de ecuații parametrice în lecții Ecuația unei drepte pe un planși Derivată a unei funcții definite parametric.

Totul este mai simplu decât un nap aburit, așa că trebuie să condimentezi sarcina:

Exemplul 7

Soluţie: Dreptele sunt date prin ecuații canonice și la prima etapă ar trebui să găsim un punct aparținând dreptei și vectorului său de direcție.

a) Îndepărtați vectorul punct și direcția din ecuații: . Puteți alege un alt punct (cum să faceți acest lucru este descris mai sus), dar este mai bine să luați cel mai evident. Apropo, pentru a evita greșelile, înlocuiți întotdeauna coordonatele sale în ecuații.

Să compunem ecuațiile parametrice ale acestei drepte:

Comoditatea ecuațiilor parametrice este că, cu ajutorul lor, este foarte ușor să găsiți alte puncte ale dreptei. De exemplu, să găsim un punct ale cărui coordonate, să zicem, corespund valorii parametrului:

În acest fel:

b) Se consideră ecuațiile canonice . Alegerea unui punct aici este simplă, dar insidioasă: (ai grijă să nu amesteci coordonatele!!!). Cum să scoți un vector de ghidare? Puteți argumenta cu ce este paralelă această linie dreaptă sau puteți folosi un truc formal simplu: proporția este „y” și „z”, așa că scriem vectorul de direcție și punem zero în spațiul rămas: .

Compunem ecuațiile parametrice ale dreptei:

c) Să rescriem ecuațiile sub forma , adică „Z” poate fi orice. Și dacă există, atunci să fie, de exemplu, . Astfel, punctul aparține acestei linii. Pentru a găsi vectorul direcție, folosim următoarea tehnică formală: în ecuațiile inițiale sunt „x” și „y”, iar în vectorul direcție în aceste locuri scriem zerouri: . În locul rămas punem unitate: . În loc de unul, orice număr, cu excepția zero, va fi potrivit.

Scriem ecuațiile parametrice ale dreptei:

Pentru antrenament:

Exemplul 8

Scrieți ecuații parametrice pentru următoarele linii:

Soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției. Răspunsurile tale pot diferi ușor de răspunsurile mele, adevărul este că ecuațiile parametrice pot fi scrise în mai multe moduri. Este important ca vectorii dvs. de direcție și ai mei să fie coliniari și că punctul dvs. „se potrivește” cu ecuațiile mele (bine, sau invers, punctul meu cu ecuațiile voastre).

Cum altfel poți defini o linie dreaptă în spațiu? Aș dori să vin cu ceva cu vectorul normal. Cu toate acestea, numărul nu va funcționa, pentru o linie de spațiu, vectorii normali pot arăta în direcții complet diferite.

O altă metodă a fost deja menționată în lecție Ecuația plană iar la începutul acestui articol.

unghiul dintre planuri

Să considerăm două plane α 1 și α 2 date, respectiv, de ecuațiile:

Sub colţîntre două plane înţelegem unul dintre unghiurile diedrice formate de aceste plane. Este evident că unghiul dintre vectorii normali și planurile α 1 și α 2 este egal cu unul dintre unghiurile diedrice adiacente indicate sau . De aceea . pentru că și , apoi

.

Exemplu. Determinați unghiul dintre plane X+2y-3z+4=0 și 2 X+3y+z+8=0.

Condiția de paralelism a două plane.

Două plane α 1 și α 2 sunt paralele dacă și numai dacă vectorii lor normali și sunt paraleli și, prin urmare .

Deci, două plane sunt paralele unul cu celălalt dacă și numai dacă coeficienții la coordonatele corespunzătoare sunt proporționali:

sau

Condiția de perpendicularitate a planurilor.

Este clar că două plane sunt perpendiculare dacă și numai dacă vectorii lor normali sunt perpendiculari și, prin urmare, sau .

În acest fel, .

Exemple.

DIRECT ÎN SPAȚIU.

ECUAȚIA VECTORALĂ DIRECT.

ECUATII PARAMETRICE DIRECT

Poziția unei linii drepte în spațiu este complet determinată prin specificarea oricăruia dintre punctele sale fixe M 1 și un vector paralel cu această dreaptă.

Un vector paralel cu o dreaptă se numește îndrumător vectorul acestei linii.

Așa că lasă dreapta l trece printr-un punct M 1 (X 1 , y 1 , z 1) situat pe o dreaptă paralelă cu vectorul .

Luați în considerare un punct arbitrar M(x,y,z) pe o linie dreaptă. Din figură se poate observa că .

Vectorii și sunt coliniari, deci există un astfel de număr t, ce , unde este multiplicatorul t poate lua orice valoare numerică în funcție de poziția punctului M pe o linie dreaptă. Factor t se numește parametru. Indicarea vectorilor de rază ai punctelor M 1 și M respectiv, prin și , obținem . Această ecuație se numește vector ecuație în linie dreaptă. Arată că fiecare parametru este valoarea t corespunde vectorului raza unui punct M culcat pe o linie dreaptă.

Scriem această ecuație sub formă de coordonate. Observa asta , si de aici

Ecuațiile rezultate se numesc parametrice ecuații în linie dreaptă.

La modificarea parametrului t se schimbă coordonatele X, yși zși punct M se mișcă în linie dreaptă.

ECUATII CANONICE DIRECT

Lăsa M 1 (X 1 , y 1 , z 1) - un punct situat pe o linie dreaptă l, și este vectorul său de direcție. Din nou, luați un punct arbitrar pe o linie dreaptă M(x,y,z)și luați în considerare vectorul .

Este clar că vectorii și sunt coliniari, deci coordonatele lor respective trebuie să fie proporționale, prin urmare

– canonic ecuații în linie dreaptă.

Observație 1. Rețineți că ecuațiile canonice ale dreptei pot fi obținute din ecuațiile parametrice prin eliminarea parametrului t. Într-adevăr, din ecuațiile parametrice obținem sau .

Exemplu. Scrieți ecuația unei drepte într-un mod parametric.

Denota , prin urmare X = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Observația 2. Fie linia perpendiculară pe una dintre axele de coordonate, de exemplu, axa Bou. Atunci vectorul direcție al dreptei este perpendicular Bou, Prin urmare, m=0. În consecință, ecuațiile parametrice ale dreptei iau forma

Eliminarea parametrului din ecuații t, obținem ecuațiile dreptei în forma

Totuși, și în acest caz, suntem de acord să scriem formal ecuațiile canonice ale dreptei în formă . Astfel, dacă numitorul uneia dintre fracții este zero, atunci aceasta înseamnă că linia este perpendiculară pe axa de coordonate corespunzătoare.

În mod similar, ecuațiile canonice corespunde unei drepte perpendiculare pe axele Bouși Oi sau axa paralela Oz.

Exemple.

ECUAȚII GENERALE O LINIE DIRECTĂ CA O LINIE DE INTERCEPȚIE A DOUA PLANURI

Prin fiecare linie dreaptă din spațiu trece un număr infinit de plane. Oricare două dintre ele, intersectându-se, îl definesc în spațiu. Prin urmare, ecuațiile oricăror două astfel de planuri, considerate împreună, sunt ecuațiile acestei drepte.

În general, oricare două plane neparalele date de ecuațiile generale

determinați linia lor de intersecție. Aceste ecuații se numesc ecuații generale Drept.

Exemple.

Construiți o dreaptă dată de ecuații

Pentru a construi o dreaptă, este suficient să găsiți oricare dintre punctele sale. Cel mai simplu mod este să alegeți punctele de intersecție ale dreptei cu planurile de coordonate. De exemplu, punctul de intersecție cu planul xOy obţinem din ecuaţiile unei drepte, presupunând z= 0:

Rezolvând acest sistem, găsim ideea M 1 (1;2;0).

În mod similar, presupunând y= 0, obținem punctul de intersecție al dreptei cu planul xOz:

Din ecuațiile generale ale unei linii drepte, se poate trece la ecuațiile ei canonice sau parametrice. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un punct M 1 pe linie și vectorul de direcție al dreptei.

Coordonatele punctului M 1 obținem din acest sistem de ecuații, dând uneia dintre coordonate o valoare arbitrară. Pentru a găsi vectorul direcție, rețineți că acest vector trebuie să fie perpendicular pe ambii vectori normali și . Prin urmare, pentru vectorul direcție al dreptei l poți să iei produs vectorial vectori normali:

.

Exemplu. Conduce ecuații generale Drept la forma canonică.

Găsiți un punct pe o dreaptă. Pentru a face acest lucru, alegem în mod arbitrar una dintre coordonate, de exemplu, y= 0 și rezolvați sistemul de ecuații:

Vectorii normali ai planurilor care definesc dreapta au coordonate Prin urmare, vectorul direcție va fi drept

. Prin urmare, l: .

unghiul dintre drepturi

colţîntre liniile din spațiu vom numi oricare dintre colțurile adiacente, format din două drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Să fie date două drepte în spațiu:

Evident, unghiul φ dintre linii poate fi luat ca unghi între vectorii lor de direcție și . Deoarece , atunci conform formulei pentru cosinusul unghiului dintre vectori obținem

Linia dreaptă împreună cu punctul sunt elemente importante ale geometriei, cu ajutorul cărora se construiesc multe figuri în spațiu și în plan. Acest articol discută în detaliu parametrii și relația acestuia cu alte tipuri de ecuații pentru acest element geometric.

Linie dreaptă și ecuații pentru a o descrie

O linie dreaptă în geometrie este o colecție de puncte care conectează arbitrare două puncte din spațiu printr-un segment cu lungimea cea mai mică. Acest segment face parte dintr-o linie dreaptă. Orice alte curbe care leagă două puncte fixe în spațiu vor avea o lungime mare, deci nu sunt linii drepte.

Imaginea de mai sus prezintă două puncte negre. Linia albastră care le leagă este dreaptă, iar linia roșie este curbă. Evident, linia roșie dintre punctele negre este mai lungă decât cea albastră.

Există mai multe tipuri de ecuații de linie dreaptă care pot fi folosite pentru a descrie o linie dreaptă în spațiul tridimensional sau în spațiul bidimensional. Mai jos sunt denumirile acestor ecuații:

• vector;
• parametrice;
• pe segmente;
• simetric sau canonic;
• tip general.

În acest articol, vom lua în considerare ecuația parametrică a unei linii drepte, dar o vom deriva din cea vectorială. De asemenea, vom arăta relația dintre ecuațiile parametrice și simetrice sau canonice.

ecuație vectorială

Este clar că toate tipurile de ecuații de mai sus pentru elementul geometric considerat sunt interconectate. Cu toate acestea, ecuația vectorială este de bază pentru toate acestea, deoarece rezultă direct din definiția unei linii drepte. Să luăm în considerare modul în care este introdus în geometrie.

Să presupunem că ni se dă un punct în spațiul P(x 0 ; y 0 ; z 0). Se știe că acest punct aparține dreptei. Câte linii pot fi trase prin el? Set infinit. Prin urmare, pentru a putea desena o singură linie dreaptă, este necesar să setați direcția acesteia din urmă. Direcția, după cum știți, este determinată de vector. Să-l notăm v¯(a; b; c), unde simbolurile dintre paranteze sunt coordonatele sale. Pentru fiecare punct Q(x; y; z), care se află pe dreapta luată în considerare, putem scrie egalitatea:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α × (a; b; c)

Aici simbolul α este un parametru care ia absolut orice valoare reală (înmulțirea unui vector cu un număr nu poate decât să-și schimbe modulul sau direcția în sens opus). Această egalitate se numește ecuație vectorială pentru o linie dreaptă în spațiul tridimensional. Schimbând parametrul α, obținem toate punctele (x; y; z) care formează această dreaptă.

Vectorul v¯(a; b; c) din ecuație se numește vector de direcție. O linie dreaptă nu are o direcție anume, iar lungimea ei este infinită. Aceste fapte înseamnă că orice vector obţinut din v¯ prin înmulţirea cu numar real, va fi, de asemenea, un ghid pentru linia dreaptă.

În ceea ce privește punctul P(x 0; y 0; z 0), în loc de acesta, un punct arbitrar poate fi înlocuit în ecuație, care se află pe o dreaptă, iar aceasta din urmă nu se va schimba.

Figura de mai sus prezintă o linie dreaptă (linie albastră) care este definită în spațiu printr-un vector de direcție (segment de linie roșie).

Nu este dificil să se obțină o egalitate similară pentru cazul bidimensional. Folosind un raționament similar, ajungem la expresia:

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)

Vedem că este complet la fel cu cel precedent, sunt folosite doar două coordonate în loc de trei pentru a specifica puncte și vectori.

Ecuație parametrică

În primul rând, obținem o ecuație parametrică a unei linii drepte în spațiu. Mai sus, când s-a scris egalitatea vectorială, s-a menționat deja despre parametrul care este prezent în acesta. Pentru a obține o ecuație parametrică, este suficient să extindeți cea vectorială. Primim:

x = x 0 + α × a;

y = y0 + α × b;

z = z 0 + α × c

Mulțimea acestor trei egalități liniare, fiecare având o coordonată variabilă și un parametru α, este de obicei numită ecuația parametrică a unei linii drepte în spațiu. De fapt, nu am făcut nimic nou, ci pur și simplu am înregistrat în mod explicit sensul expresiei vectoriale corespunzătoare. Notăm un singur punct: numărul α, deși este arbitrar, este același pentru toate cele trei egalități. De exemplu, dacă α \u003d -1,5 pentru prima egalitate, atunci aceeași valoare ar trebui înlocuită în a doua și a treia egalitate atunci când se determină coordonatele punctului.

Ecuația parametrică a unei linii drepte pe un plan este similară cu cea pentru cazul spațial. Este scris ca:

x = x 0 + α × a;

y = y0 + α × b

Astfel, pentru a compune o ecuație parametrică a unei linii drepte, ar trebui să scrieți ecuația vectorială pentru aceasta într-o formă explicită.

Obținerea ecuației canonice

După cum sa menționat mai sus, toate ecuațiile care definesc o linie dreaptă în spațiu și pe un plan sunt obținute una din cealaltă. Să arătăm cum să obținem o linie dreaptă canonică dintr-o ecuație parametrică. Pentru cazul spațial avem:

x = x 0 + α × a;

y = y0 + α × b;

z = z 0 + α × c

Să exprimăm parametrul în fiecare egalitate:

α \u003d (x - x 0) / a;

α \u003d (y - y 0) / b;

α \u003d (z - z 0) / c

Deoarece părțile din stânga sunt aceleași, atunci părțile din dreapta ale egalităților sunt, de asemenea, egale între ele:

(x - x 0) / a = (y - y 0) / b = (z - z 0) / c

Aceasta este ecuația canonică pentru o linie dreaptă în spațiu. Valoarea numitorului din fiecare expresie este coordonata corespunzătoare.Valorile din numărător care se scad din fiecare variabilă sunt coordonatele unui punct de pe acea dreaptă.

Ecuația corespunzătoare pentru cazul de pe plan ia forma:

(x - x 0) / a = (y - y 0) / b

Ecuația unei drepte prin 2 puncte

Se știe că două puncte fixe, atât în ​​plan, cât și în spațiu, definesc în mod unic o linie dreaptă. Să presupunem că sunt date următoarele două puncte din plan:

Cum se scrie ecuația unei linii drepte prin ele? Primul pas este definirea unui vector de direcție. Coordonatele sale sunt următoarele:

PQ¯(x 2 - x 1 ; y 2 ​​​​- y 1)

Acum puteți scrie ecuația în oricare dintre cele trei forme care au fost discutate în paragrafele de mai sus. De exemplu, ecuația parametrică a unei linii drepte ia forma:

x \u003d x 1 + α × (x 2 - x 1);

y \u003d y 1 + α × (y 2 - y 1)

În formă canonică, îl puteți rescrie astfel:

(x - x 1) / (x 2 - x 1) = (y - y 1) / (y 2 - y 1)

Se poate observa că ecuația canonică include coordonatele ambelor puncte, iar aceste puncte pot fi modificate la numărător. Deci, ultima ecuație poate fi rescrisă după cum urmează:

(x - x 2) / (x 2 - x 1) = (y - y 2) / (y 2 - y 1)

Toate expresiile scrise se numesc ecuații ale unei linii drepte prin 2 puncte.

Problema cu trei puncte

Sunt date coordonatele următoarelor trei puncte:

Este necesar să se determine dacă aceste puncte se află sau nu pe aceeași linie.

Această problemă ar trebui rezolvată după cum urmează: mai întâi, întocmește o ecuație a unei linii drepte pentru oricare două puncte, apoi înlocuiește coordonatele celui de-al treilea în ea și verifică dacă îndeplinesc egalitatea rezultată.

Compunem o ecuație în termeni de M și N în formă parametrică. Pentru aceasta aplicam formula obtinuta in paragraful de mai sus, pe care o generalizam la cazul tridimensional. Avem:

x = 5 + α × (-3);

y = 3 + α × (-1);

z = -1 + α × 1

Acum să substituim coordonatele punctului K în aceste expresii și să găsim valoarea parametrului alfa care le corespunde. Primim:

1 = 5 + α × (-3) => α = 4/3;

1 = 3 + α × (-1) => α = 4;

5 = -1 + α × 1 => α = -4

Am aflat că toate cele trei egalități vor fi valabile dacă fiecare dintre ele ia o valoare diferită a parametrului α. Acest din urmă fapt contrazice condiția ecuației parametrice a unei linii drepte, în care α trebuie să fie egală pentru toate ecuațiile. Aceasta înseamnă că punctul K nu aparține dreptei MN, ceea ce înseamnă că toate cele trei puncte nu se află pe aceeași dreaptă.

Problema liniilor paralele

Două ecuații de drepte sunt date în formă parametrică. Acestea sunt prezentate mai jos:

x = -1 + 5 × α;

x = 2 - 6 × λ;

y = 4 - 3,6 × λ

Este necesar să se determine dacă liniile sunt paralele. Cea mai ușoară modalitate de a determina paralelismul a două linii este utilizarea coordonatele vectorilor de direcție. A se intoarce catre formula generala ecuație parametrică în spațiul bidimensional, obținem că vectorii de direcție ai fiecărei drepte vor avea coordonate:

Doi vectori sunt paraleli dacă unul dintre ei poate fi obținut prin înmulțirea celuilalt cu un anumit număr. Împărțim coordonatele vectorilor în perechi, obținem:

Înseamnă că:

v 2 ¯ = -1,2 × v 1 ¯

Vectorii de direcție v 2 ¯ și v 1 ¯ sunt paraleli, ceea ce înseamnă că dreptele din enunțul problemei sunt și ele paralele.

Să verificăm dacă nu sunt aceeași linie. Pentru a face acest lucru, trebuie să înlocuiți coordonatele oricărui punct din ecuație cu altul. Luați punctul (-1; 3), înlocuiți-l în ecuație pentru a doua dreaptă:

1 = 2 - 6 × λ => λ = 1/2;

3 \u003d 4 - 3,6 × λ => λ ≈ 0,28

Adică liniile sunt diferite.

Problema perpendicularității liniilor

Sunt date ecuațiile a două drepte:

x = 2 + 6 × λ;

y = -2 - 4 × λ

Aceste drepte sunt perpendiculare?

Două drepte vor fi perpendiculare dacă produsul scalar al vectorilor lor de direcție este zero. Să scriem acești vectori:

Să găsim produsul lor scalar:

(v 1 ¯ × v 2 ¯) = 2 × 6 + 3 × (-4) = 12 - 12 = 0

Astfel, am aflat că dreptele considerate sunt perpendiculare. Sunt prezentate în imaginea de mai sus.

O ecuaţie care, în afară de valoare necunoscută mai conține și o altă valoare suplimentară care poate lua diferite valori dintr-o zonă, numită parametrice. Această mărime suplimentară din ecuație se numește parametru. De fapt, cu fiecare ecuație parametrică pot fi scrise multe ecuații. Vom lua în considerare modulul unei ecuații parametrice și soluția ecuațiilor parametrice simple.

Sarcina 1 Rezolvați ecuații în raport cu $x$
A) $x + a = 7$
B) $2x + 8a = 4$
C) $x + a = 2a – x$
D) $ax = 5$
E) $a – x ​​​​= x + b$
F) $ax = 3a$

Soluţie:

A) $x + a = 7 \Leftrightarrow x = 7 – a$, adică s-a găsit soluția acestei ecuații.
Pentru diferite valori ale parametrilor, soluțiile sunt $x = 7 – a$

B) $2x + 8a = 4 \Leftrightarrow 2x = 4 - 8a \Leftrightarrow x = 2 – 4a$

C) $x + a = 2a – x ​​​​\Leftrightarrow x + x = 2a – a \Leftrightarrow 2x = a \Leftrightarrow x = \frac(a)(2)$

D) $ax = 5$, când a este diferit de 0 putem împărți ambele părți la a și obținem $x = 5$
Dacă $a = 0$ obținem o ecuație ca $0.x = 5$ care nu are soluție;

E) $a – x ​​​​= x + b \Leftrightarrow a – b = x + x \Leftrightarrow 2x = a – b \Leftrightarrow x = \frac(a-b)(2)$

F) Când a = 0, ecuația ax = 3a este 0.x = 0
Prin urmare, orice x este o soluție. Dacă a este diferit de 0 atunci
$ax = 3a \Leftrightarrow x = \frac(3a)(a) \Leftrightarrow x = 3$

Sarcina 2 Dacă a este un parametru, rezolvați ecuația:
A) $(a + 1)x = 2a + 3$
B) $2a + x = ax + 4$
C) $a^2x – x = a$
D) $a^2x + x = a$

Soluţie:

A) Dacă $a + 1$ este diferit de 0, adică $a \neq -1$,
atunci $x = \frac(2a+3)(a+1)$;
dacă $a + 1 = 0$, adică. $a = - 1$
ecuația devine $0\cdot x = (2)\cdot(-1) + 3 \Leftrightarrow$
$0\cdot x = 1$, care nu are soluție;

B) $2a + x = ax + 4 \Leftrightarrow$
$x – ax = 4 - 2a \Leftrightarrow$
$(1 – a)\cdot x = 2(2 – a)$
Dacă $(1 – a) \neq 0$, atunci un $\neq 1$; decizia va
$x = \frac(2(2 - a))((1 - a))$;
Dacă $a = 1$ ecuația devine $0\cdot x = 2(2 - 1) \Leftrightarrow$
$0\cdot x = 2$, care nu are soluție

C) $a^2x – x = a \Leftrightarrow$
$x(a^2 -1) = a \Săgeată la stânga$
$(a - 1)(a + 1)x = a$
Dacă $a - 1 \neq 0$ și $a + 1 \neq 0$, adică $a \neq 1, -1$,
soluția este $x = \frac(a)((a - 1)(a + 1))$
Dacă $a = 1$ sau $a = -1$, ecuația devine este $0\cdot x = \pm 1$, care nu are soluție

D) $a^2x + x = a \Leftrightarrow$
$(a^2 + 1)x = a$
În acest caz $a^2 + 1 \neq 0$ pentru orice $a$ deoarece este suma unui număr pozitiv (1) și a unui număr negativ
$(a^2 \geq 0)$ deci $x = \frac(a)(a^2 + 1)$

Sarcina 3 Dacă a și b sunt parametri, rezolvați ecuațiile:
A) $ax + b = 0$
B) $ax + 2b = x$
C) $(b - 1)y = 1 - a$
D) $(b^2 + 1)y = a + 2$

Soluţie:

A) $ax + b = 0 \Leftrightarrow ax = -b$
Dacă $a \neq 0$ atunci soluția este $x = -\frac(b)(a)$.
Dacă $a = 0, b \neq 0$, ecuația devine $0\cdot x = -b$ și nu are soluție.
Dacă $a = 0$ și $b = 0$, ecuația devine $0\cdot x = 0$ și orice $x$ este o soluție;

B) $ax + 2b = x \Leftrightarrow ax – x = -2b \Leftrightarrow (a - 1)x = -2b$
Dacă $a - 1 \neq 0$, adică. $a \neq 1$, soluția este $x = -\frac(2b)(a-1)$
Dacă $a - 1 = 0$, adică $a = 1$, și $b \neq 0$, ecuația devine $0\cdot x = - 2b$ și nu are soluție

C) Dacă $b - 1 \neq 0$, adică $b \neq 1$,
solutia este $y = \frac(1-a)(b-1)$
Dacă $b - 1 = 0$, adică $b = 1$, dar $1 este un \neq 0$,
adică $a \neq 1$, ecuația devine $0\cdot y = 1 – a$ și nu are soluție.
Dacă $b = 1$ și $a = 1$ ecuația devine $0\cdot y = 0$ și orice $y$ este o soluție

D) $b^2 + 1 \neq 0$ pentru orice $b$ (de ce?), deci
$y = \frac(a+2)(b^2)$ este soluția ecuației.

Problema $4$ Pentru ce valori de $x$ următoarele expresii au semnificații egale:
A) $5x + a$ și $3ax + 4$
B) $2x - 2$ și $4x + 5a$

Soluţie:

Pentru a obține aceleași valori, trebuie să găsim soluții la ecuații
$5x + a = 3ax + 4$ și $2x – 2 = 4x + 5a$

A) $5x + a = 3ax + 4 \Leftrightarrow$
$5x - 3ax = 4 – o \Leftrightarrow$
$(5 - 3a)x = 4 - a$
Dacă $5 - 3a \neq 0$, adică $a \neq \frac(5)(3)$, soluțiile sunt $x = \frac(4-a)(5-3a)$
Dacă $5 - 3a = 0$, i.e. $a = \frac(5)(3)$, ecuația devine $0\cdot x = 4 – \frac(5)(3) \Leftrightarrow$
$0\cdot x = \frac(7)(3)$, care nu are soluție

B) $2x - 2 = 4x + 5a \Leftrightarrow$
$-2 - 5a = 4x - 2x \Leftrightarrow$
$2x = - 2 - 5a \Leftrightarrow$
$x = -\frac(2+5a)(2)$

Sarcina 5
A) $|ax + 2| = 4$
B) $|2x + 1| = 3a$
C) $|ax + 2a| = 3$

Soluţie:

A) $|ax + 2| = 4 \Leftrightarrow ax + 2 = 4$ sau $ax + 2 = -4 \Leftrightarrow$
$ax = 2$ sau $ax = - 6$
Dacă $a \neq 0$, ecuațiile devin $x = \frac(2)(a)$ sau $x = -\frac(6)(a)$
Dacă $a = 0$, ecuația nu are soluție

B) Dacă $a Dacă $a > 0$, aceasta este echivalentă cu $2x + 1 = 3a$
sau $2x + 1 = -3a \Leftrightarrow 2x = 3a - 1 \Leftrightarrow x = \frac(3a-1)(2)$ sau
$2x = -3a - 1 \Leftrightarrow x = \frac(3a-1)(2) = -\frac(3a-1)(2)$

C) $|ax + 2a| = 3 \Leftrightarrow ax + 2a = 3$ sau $ax + 2a = - 3$,
și găsim $ax = 3 - 2a$ sau $ax = -3 - 2a$
Dacă a = 0 atunci nu există soluții dacă $a \neq 0$
soluțiile sunt: ​​$x = \frac(3-2a)(a)$ și $x = -\frac(3+2a)(a)$

Sarcina 6 Rezolvați ecuația $2 - x = 2b - 2ax$, unde a și b sunt parametri reali. Aflați pentru ce valori ale ecuației are un număr natural ca soluție dacă $b = 7$

Soluţie:

Reprezentăm această ecuație în următoarea formă: $(2a - 1)x = 2(b - 1)$
Sunt posibile următoarele opțiuni:
Dacă $2a - 1 \neq 0$, adică $a \neq \frac(1)(2)$, ecuația are o soluție unică
$x = \frac(2(b-1))(2a-1)$
Dacă $a = \frac(1)(2)$ și $b = 1$, ecuația devine $0\cdot x = 0$ și orice $x$ este o soluție
Dacă $a = \frac(1)(2)$ și $b \neq 1$, obținem $0\cdot x = 2(b - 1)$, unde $2(b - 1) \neq 0$
În acest caz, ecuația nu are soluție.
Dacă $b = 7$ și $a \neq \frac(1)(2)$ este singura solutie
$x = \frac(2(7-1))(2a-1) = \frac(12)(2a-1)$
Dacă a este un număr întreg, atunci $2a - 1$ este, de asemenea, un număr întreg și soluția este
$x = \frac(12)(2a-1)$ este un număr natural când
$2a - 1$ este un divizor pozitiv pentru $12$.
Pentru ca a să fie un număr întreg, divizorul lui $12$ trebuie să fie impar. Dar numai $1$ și $3$ sunt numere impare pozitive divizibile cu 12
Prin urmare, $2a - 1 = 3 \Leftrightarrow a = 2$ sau $2a - 1 = 1 \Leftrightarrow$
$a = 1 a = 2$ sau $2a - 1 = 1 \Săgeată stânga la dreapta a = 1$

Sarcina 7 Rezolvați ecuația $|ax - 2 – a| = 4$, unde a este un parametru. Aflați pentru ce valori ale a rădăcinile ecuației sunt numere întregi negative.

Soluţie:

Din definiția modulului obținem
$|ax - 2 – x| = 4 \Leftrightarrow ax - 2 - x = 4$ sau $ax - 2 - x = - 4$
Din prima egalitate obținem $x(a - 1) - 2 = 4 \Leftrightarrow$
$(a - 1)x = 4 + 2 \Leftrightarrow (a - 1)x = 6$
Din a doua egalitate obținem $(a - 1)x = -2$
Dacă $a - 1 = 0$, adică. $a = 1$, ultima ecuație nu are soluție.
Dacă $a \neq 1$ aflăm că $x = \frac(6)(a-1)$ sau $x = -\frac(2)(a-1)$
Pentru ca aceste rădăcini să fie numere întregi negative, trebuie să respecte următoarele:
Pentru primul, $a - 1$ trebuie să fie un divizor negativ de 6, iar pentru al doilea, un divizor pozitiv de 2
Atunci $a - 1 = -1; -2; -3; - 6$ sau $a - 1 = 1; 2$
Se obține $a - 1 = -1 \Leftrightarrow a = 0; a - 1 = -2 \Leftrightarrow$
$a = -1; a - 1 = -3 \Leftrightarrow a = -2; a - 1 = -6 \Leftrightarrow a = -5$
sau $a - 1 = 1 \Leftrightarrow a = 2; a - 1 = 2 \Leftrightarrow a = 3$
Atunci $a = -5; -2; -unu; 0; 2; 3$ sunt soluții la problemă.

Sarcina 8 Rezolvați ecuația:
A) $3ax - a = 1 - x$, unde a este un parametru;
B) $2ax + b = 2 + x$ unde a și b sunt parametri

Soluţie:

A) $3ax + x = 1 + a \Leftrightarrow (3a + 1)x = 1 + a$.
Dacă $3a + 1 \neq 0$, adică $a \neq -11 /3 /3$ , există o soluție
$x = \frac(1+a)(3a+1)$
Dacă $a = -\frac(1)(3)$ ecuația devine $0\cdot x = \frac(1.1)(3)$, care nu are soluție.

B) $2ax – x = 2 – b \Leftrightarrow (2a - 1)x = 2 – b$
Dacă $2a - 1 \neq 0$, adică $a \neq \frac(1)(2), x = \frac(2-b)(2a-1)$ este soluția.
Dacă $a = \frac(1)(2)$ ecuația devine $0.x = 2 – b$
Atunci dacă $b = 2$, orice x este o soluție, dacă $b \neq 2$, ecuația nu are soluție.

Sarcina 9 Având în vedere ecuația $6(kx - 6) + 24 = 5kx$ , unde k este un număr întreg. Găsiți pentru ce valori ale lui k ecuația:
A) are rădăcina $-\frac(4)(3)$
B) nu are soluție;
C) are o rădăcină ca număr natural.

Soluţie:

Rescrie ecuația ca $6kx - 36 + 24 = 5kx \Leftrightarrow kx = 12$

A) Dacă $x = -\frac(4)(3)$, pentru k obținem ecuația $-\frac(4)(3k) = 12 \Leftrightarrow k = - 9$

B) Ecuația $kx = 12$ nu are soluție când $k = 0$

C) Când $k \neq 0$ este rădăcina $x = \frac(12)(k)$ și este un număr natural, dacă k este un întreg pozitiv divizibil cu 12, i.e. $k = 1, 2, 3, 4, 6, 12$

Sarcina 10 Rezolvați ecuația:
A) $2ax + 1 = x + a$, unde a este un parametru;
B) $2ax + 1 = x + b$, unde a și b sunt parametri.

Soluţie:

A) $2ax + 1 = x + a \Leftrightarrow 2ax – x = a - 1 \Leftrightarrow$
$(2a - 1)x = a - 1$
Dacă $2a - 1 \neq 0$, adică $a \neq \frac(1)(2)$, singura soluție a ecuației este
$x = \frac(a-1)(2a-1)$
Dacă $2a - 1 = 0$, adică $a = \frac(1)(2)$, ecuația devine
$0.x = \frac(1)(2)- 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac(1)(2)$, care nu are soluție

B) $2ax + 1 = x + b \Leftrightarrow$
$2ax – x = b - 1 \Leftrightarrow$
$(2a - 1)x = b - 1$
Dacă $2a - 1 \neq 0$, adică $a \neq \frac(1)(2)$, soluția este
$x = \frac(b-1)(2a-1)$
Dacă $a = \frac(1)(2)$, ecuația este echivalentă cu $0.x = b - 1$
Dacă b = 1 orice x este o soluție, dacă $b \neq 1$ atunci nu există nicio soluție.

Sarcina 11 Este dată ecuația $3(ax - 4) + 4 = 2ax$, unde parametrul este un număr întreg. Aflați pentru ce valori ale ecuației are drept rădăcini:
A) $\stânga(-\frac(2)(3)\dreapta)$
B) un număr întreg
C) număr natural

Soluţie:

A) Dacă $x = -\frac(2)(3)$ este o soluție a ecuației, atunci trebuie să fie adevărată
$3\left + 4 = 2a\left(-\frac(2)(3)\right) \Leftrightarrow$
$-2a - 12 + 4 = -\frac(4a)(3) \Leftrightarrow$
$\frac(4a)(3) - 2a = 8 \Leftrightarrow \frac(4a-6a)(3) = 8 \Leftrightarrow$
$-\frac(2a)(3) = 8 \Leftrightarrow a = -12$

B) $3(ax - 4) + 4 = 2ax \Leftrightarrow 3ax - 2ax = 12 - 4 \Leftrightarrow ax = 8$
Dacă $a \neq 0$ soluția este $x = \frac(8)(a)$, este un număr întreg, dacă a este un divizibil cu $8$.
De aceea; $±2; ±4; ±8$
Dacă $a=0$, ecuația nu are soluție

C) Pentru a obține un număr natural (întreg pozitiv) pentru această soluție $x=\frac(8)(a)$ numărul ar trebui să fie: $a=1, 2, 4, 8$

Sarcina 12 Este dată ecuația $2 – x = 2b – 2ax$, unde $a$ și $b$ sunt parametri. Aflați pentru ce valori ale ecuației are soluții sub forma unui număr natural dacă $b = 7$

Soluţie:

Inlocuim $b = 7$ in ecuatie si obtinem $2 – x = 2,7 - 2ax \Leftrightarrow$
$2ax – x = 14 – 2 \Leftrightarrow (2a - 1)x = 12$
Dacă $2a -1 \neq 0$, adică $a \neq \frac(1)(2)$, ecuația devine
$x = \frac(12)(2a-1)$ și va fi un număr natural dacă numitorul $2a - 1$ este un divizibil pozitiv $12$ și pe lângă faptul că este un număr întreg, este necesar ca $2a - 1$ era un număr impar.
Deci $2a - 1$ poate fi $1$ sau $3$
De la $2a - 1 = 1 \Leftrightarrow 2a = 2 \Leftrightarrow a = 1$ și $2a - 1 = 3$
$\Leftrightarrow 2a = 4 \Leftrightarrow a = 2$

Sarcina 13 Având în vedere o funcție $f(x) = (3a - 1)x - 2a + 1$, unde a este un parametru. Găsiți pentru ce valori ale unui graficul funcției:
A) traversează axa x;
B) traversează axa x

Soluţie:

Pentru ca graficul funcției să traverseze axa x, este necesar ca
$(3a - 1)\cdot x -2a + 1 = 0$ a avut o soluție și nu a avut nicio soluție pentru neîncrucișarea axei x.
Din ecuație obținem $(3a - 1)x = 2a - 1$
Dacă $3a - 1 \neq 0$, adică $a \neq \frac(1)(3)$, ecuația are soluții
$x = \frac(2a-1)(3a-1)$, deci graficul funcției traversează axa x.
Dacă $a = \frac(1)(3)$, obținem $0.x = \frac(2)(3) - 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac(1)(3)$, care nu au solutii.
Prin urmare, dacă $a = \frac(1)(3)$, graficul funcției nu traversează axa x.

Sarcina 14 Rezolvați ecuația parametrică:
A) $|x -2| = a$
B) $|ax -1| = 3$
C) $|ax - 1| = a - 2 dolari

Soluţie:

A) Dacă $a 0$ obținem:
$|x - 2| = a \Leftrightarrow x - 2 = a$ sau $x - 2 = -a$
De la $x - 2 = a \Rightarrow x = a + 2$, iar de la
$x - 2 = -a \Rightarrow x = 2 – a$
Dacă $a = 0$ atunci $x - 2 = 0$ sau $x = 2$

B) $|ax - 1| = 3 \Leftrightarrow ax - 1 = 3$ sau $ax - 1 = -3$
de unde $ax = 4$ sau $ax = - 2$
Dacă $a \neq 0$ soluțiile sunt: ​​$x = \frac(4)(a)$ sau $x = -\frac(2)(a)$
Dacă $a = 0$, nu există nicio soluție aici

C) Dacă $a - 2 Dacă $a - 2 > 0$, i.e. $a > 2$ primim
$|ax - 1| = a - 2 \Leftrightarrow ax - 1 = a - 2$ sau $ax - 1 = 2 – a$
Deci obținem $ax = a - 1$ sau $ax = 3 – a$
Deoarece $a > 2, a \neq 0$, prin urmare
$x = \frac(a-1)(a)$ sau $x = \frac(3-a)(a)$.
Dacă $a = 2$, ecuațiile sunt echivalente
$2x - 1 = 0 \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac(1)(2)$

Sarcina 15 Aflați pentru ce valori ale parametrului m (a), cele două ecuații sunt echivalente:
A) $\frac(x+m)(2) = 1 – m$ și $(-x - 1) ^2 - 1 = x^2$
B) $\frac(x+m)(2) = 1 - m$ și $\frac(x-m)(3) = 1 - 2m$
C) $|3 – x| + x^2 -5x + 3 = 0$ și $ax + 2a = 1 + x$ dacă $x > 3$

Soluţie:

A) Să rezolvăm a doua ecuație. Să o scriem sub forma:
$(-x - 1)^2 - 1 = x^2 \Leftrightarrow$
$[(-1)(x + 1) ]^2 - 1 = x^2 \Leftrightarrow$
$x^2 ​​+ 2x + 1 - 1 = x^2 \Săgeată la stânga$
$2x = 0 \Leftrightarrow x = 0$
Pentru primul îl primim
$\frac(x+m)(2) = 1 – m \Leftrightarrow x + m = 2 - 2m \Leftrightarrow x = 2 - 3m$
Aceste două ecuații sunt echivalente dacă au aceleași rădăcini, adică.
$2 - 3m = 0 \Leftrightarrow$ $m = \frac(2)(3)$

B) Pentru prima ecuație, soluția este $x = 2 - 3m$ și pentru a doua obținem
$x – m = 3 - 6m \Leftrightarrow$ $x = 3 – 5m$
Au aceleași rădăcini când
$2 - 3m = 3 - 5m \Leftrightarrow 5m - 3m = 3 - 2 \Leftrightarrow 2m = 1 \Leftrightarrow m = \frac(1)(2)$

C) Deoarece $x > 3, 3 – x $|3 – x| = -(3 - x) = x - $3
Prima ecuație va arăta astfel: $x - 3 + x^2 – 5x + 3 = 0 \Leftrightarrow$
$x^2 ​​​​- 4x – 0 \Leftrightarrow x(x - 4) = 0 \Leftrightarrow$
$x = 0$ sau $x = 4$
Cu condiția ca $x > 3$, deci doar $x = 4$ este o soluție. Pentru a doua ecuație, obținem
$ax – x = 1 - 2a \Leftrightarrow (a - 1)x = 1 - 2a$
Dacă $a - 1 = 0$ nu există soluție (De ce?), dacă $a - 1 \neq 0$, adică. $a \neq 1$, există o soluție
$x = \frac(1-2a)(a-1)$ Aceste două ecuații sunt egale dacă $4 = \frac(1-2a)(a-1) \Leftrightarrow$ $4(a - 1) = 1 - 2a \ Leftrightarrow 4a + 2a = 1 + 4 \Leftrightarrow 6a = 5 \Leftrightarrow a = \frac(5)(6)$