Metoda grafică. Planul de coordonate (x;y)

Ecuațiile cu un parametru provoacă dificultăți logice serioase. Fiecare astfel de ecuație este în esență o prescurtare pentru o familie de ecuații. Este clar că este imposibil să notăm fiecare ecuație dintr-o familie infinită, dar, cu toate acestea, fiecare dintre ele trebuie rezolvată. Cel mai simplu mod de a face acest lucru este reprezentarea grafică a dependenței unei variabile de un parametru.

În plan, funcția definește o familie de curbe în funcție de un parametru. Ne va interesa ce transformare a planului poate fi folosită pentru a trece la alte curbe ale familiei (vezi , , , , , , ).

Transfer paralel

Exemplu. Pentru fiecare valoare a parametrului, determinați numărul de soluții ale ecuației.

Soluţie. Să construim un grafic al funcției.

Considera. Această linie este paralelă cu axa x.

Răspuns. Dacă, atunci nu există soluții;

dacă, atunci 3 soluții;

dacă, atunci 2 soluții;

dacă, 4 soluții.

Întoarce-te

Trebuie remarcat imediat că alegerea unei familii de curbe nu este uniformă (spre deosebire de problemele în sine), sau mai degrabă, este aceeași: în toate problemele - linii drepte. În plus, centrul de rotație aparține liniei.

Exemplu. Pentru ce valori ale parametrului ecuația are o soluție unică?

Soluţie. Să luăm în considerare funcția și. Graficul celei de-a doua funcții este un semicerc centrat într-un punct cu coordonate și rază =1 (Fig. 2).

Arc AB.

Toate razele care trec între OA și OB se intersectează într-un punct, iar OB și OM se intersectează într-un punct (tangentă). Coeficienții unghiulari OA și, respectiv, OB sunt egali. Pantă tangenta este egala. Este ușor de găsit din sistem

Astfel, familiile directe au un singur punct comun la cu un arc.

Răspuns. .

Exemplu. Pentru care ecuație are o soluție?

Soluţie. Să luăm în considerare o funcție. Examinând-o pentru monotonitate, aflăm că crește pe interval și scade pe. Punct - este punctul maxim.

O funcție este o familie de drepte care trec printr-un punct. Să ne întoarcem la Figura 2. Graficul funcției este arcul AB. Liniile care vor fi între liniile OA și OB satisfac condiția problemei. Coeficientul de pantă al dreptei OA este un număr, iar OB este .

Răspuns. Când ecuația are 1 soluție;

pentru alte valori ale parametrului, nu există soluții.

Omotezia. Compresie la o linie dreaptă

Exemplu. Găsiți toate valorile parametrului, pentru fiecare dintre ele ecuația are exact 8 soluții.

Soluţie. Avem. Să luăm în considerare o funcție. Prima dintre ele definește o familie de semicercuri centrate într-un punct cu coordonate, a doua familie de drepte paralele cu axa x.

Numărul de rădăcini va corespunde cu numărul 8 atunci când raza semicercului este mai mare și mai mică, adică. Rețineți că există.

Răspuns. sau.

Metoda grafică. Planul de coordonate (x;a)

În general, ecuațiile, care conțin un parametru, nu sunt prevăzute cu niciun sistem de soluții clar, proiectat metodic. Acestea sau alte valori ale parametrului trebuie căutate prin atingere, prin enumerare, rezolvând un număr mare de ecuații intermediare. O astfel de abordare nu asigură întotdeauna succesul în găsirea tuturor valorilor parametrului pentru care ecuația nu are soluții, are una, două sau mai multe soluții. Adesea, unele dintre valorile parametrilor se pierd sau apar valori suplimentare. Pentru acestea din urmă, trebuie efectuat un studiu special, care poate fi destul de dificil.

Luați în considerare o metodă care simplifică munca de rezolvare a ecuațiilor cu un parametru. Metoda este următoarea

1. Dintr-o ecuație cu o variabilă Xși parametru A exprimă parametrul în funcție de X: .

2. În planul de coordonate X O A construiți un grafic al funcției.

3. Luați în considerare liniile și selectați acele intervale ale axei O A, pe care aceste drepte îndeplinesc următoarele condiții: a) nu intersectează graficul funcției, b) intersectează graficul funcției într-un punct, c) în două puncte, d) în trei puncte și așa mai departe.

4. Dacă sarcina este de a găsi valorile X, apoi ne exprimăm X prin A pentru fiecare dintre intervalele găsite ale valorii A separat.

Vederea parametrului ca o variabilă egală este reflectată în metode grafice. Astfel, există un plan de coordonate. S-ar părea că un detaliu atât de nesemnificativ precum respingerea denumirii tradiționale a planului de coordonate cu litere Xși y defineste una dintre cele mai bune practici rezolvarea problemelor cu parametrii.

Metoda descrisă este foarte clară. În plus, aproape toate conceptele de bază ale cursului de algebră și începuturile analizei își găsesc aplicare în el. Este implicat întregul set de cunoștințe legate de studiul funcției: aplicarea derivatei pentru determinarea punctelor extreme, găsirea limitei funcției, asimptote etc.. etc. (vezi , , ).

Exemplu. La ce valori ale parametrului ecuația are două rădăcini?

Soluţie. Trecem la sistemul echivalent

Graficul arată că atunci când ecuația are 2 rădăcini.

Răspuns. Când ecuația are două rădăcini.

Exemplu. Găsiți mulțimea tuturor numerelor, pentru fiecare dintre care ecuația are doar două rădăcini diferite.

Soluţie. Să rescriem această ecuație în următoarea formă:

Acum este important să nu ratați asta și - rădăcinile ecuației originale sunt furnizate doar. Să acordăm atenție faptului că este mai convenabil să construiți un grafic pe planul de coordonate. În figura 5, graficul dorit este unirea liniilor continue. Aici răspunsul este „citește” prin linii verticale.

Răspuns. La, sau, sau.

Orice ecuație de gradul I în raport cu coordonatele x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3,1)

definește un plan și invers: orice plan poate fi reprezentat prin ecuația (3.1), care se numește ecuația plană.

Vector n(A, B, C) ortogonală la plan se numește vector normal avioane. În ecuația (3.1), coeficienții A, B, C nu sunt egali cu 0 în același timp.

Cazuri speciale ecuații (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - planul trece prin origine.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - planul este paralel cu axa Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - planul trece prin axa Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - planul este paralel cu planul Oyz.

Ecuații plane de coordonate: x = 0, y = 0, z = 0.

O linie dreaptă în spațiu poate fi dată:

1) ca o linie de intersecție a două plane, adică sistem de ecuații:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3,2)

2) cele două puncte ale sale M 1 (x 1, y 1, z 1) și M 2 (x 2, y 2, z 2), apoi dreapta care trece prin ele este dată de ecuațiile:

= ; (3.3)

3) punctul M 1 (x 1 , y 1 , z 1) care îi aparține și vectorul A(m, n, p), s coliniar. Apoi linia dreaptă este determinată de ecuațiile:

. (3.4)

Se numesc ecuațiile (3.4). ecuații canonice ale dreptei.

Vector A numit vector de ghidare drept.

Le obținem parametrice echivalând fiecare dintre relațiile (3.4) cu parametrul t:

x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + pt. (3,5)

Rezolvarea sistemului (3.2) ca sistem ecuatii lineare relativ necunoscut Xși y, ajungem la ecuațiile dreptei în proiecții sau la ecuații reduse în linie dreaptă:

x = mz + a, y = nz + b. (3,6)

Din ecuațiile (3.6) se poate trece la ecuațiile canonice, constatând z din fiecare ecuație și echivalând valorile rezultate:

Se poate trece de la ecuațiile generale (3.2) la ecuațiile canonice într-un alt mod, dacă găsim un punct al acestei linii și ghidul ei. n= [n 1 , n 2], unde n 1 (A1, B1, C1) şi n 2 (A 2 , B 2 , C 2) - vectori normali ai planurilor date. Dacă unul dintre numitori m,n sau Rîn ecuațiile (3.4) se dovedește a fi egal cu zero, atunci numărătorul fracției corespunzătoare trebuie setat egal cu zero, adică. sistem

echivalează cu un sistem ; o astfel de linie este perpendiculară pe axa x.

Sistem este echivalent cu sistemul x = x 1 , y = y 1 ; linia dreaptă este paralelă cu axa Oz.

Exemplul 1.15. Scrieți ecuația planului, știind că punctul A (1, -1,3) servește ca bază a perpendicularei trase de la origine la acest plan.

Soluţie. După starea problemei, vectorul OA(1,-1,3) este un vector normal al planului, atunci ecuația sa poate fi scrisă ca
x-y+3z+D=0. Înlocuind coordonatele punctului A(1,-1,3) aparținând planului, găsim D: 1-(-1)+3×3+D = 0 , D = -11. Deci x-y+3z-11=0.

Exemplul 1.16. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin axa Oz și formează un unghi de 60 de grade cu planul 2x+y-z-7=0.

Soluţie. Planul care trece prin axa Oz este dat de ecuația Ax+By=0, unde A și B nu dispar în același timp. Să nu B nu
este 0, A/Bx+y=0. Conform formulei pentru cosinusul unghiului dintre două plane

Hotărând ecuație pătratică 3m 2 + 8m - 3 = 0, găsiți-i rădăcinile
m 1 = 1/3, m 2 = -3, din care obținem două plane 1/3x+y = 0 și -3x+y = 0.

Exemplul 1.17. Inventa ecuații canonice Drept:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Soluţie. Ecuațiile canonice ale dreptei au forma:

Unde m, n, p- coordonatele vectorului de direcție al dreptei, x1, y1, z1- coordonatele oricărui punct aparținând dreptei. Linia dreaptă este definită ca linia de intersecție a două plane. Pentru a găsi un punct aparținând unei drepte, se fixează una dintre coordonate (cel mai ușor este să punem, de exemplu, x=0) și sistemul rezultat se rezolvă ca un sistem de ecuații liniare cu două necunoscute. Deci, fie x=0, atunci y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, de unde y=-1, z=1. Am găsit coordonatele punctului M (x 1, y 1, z 1) aparținând acestei drepte: M (0,-1,1). Vectorul de direcție al unei drepte este ușor de găsit, cunoscând vectorii normali ai planurilor originale n 1 (5,1,1) și n 2(2,3,-2). Apoi

Ecuațiile canonice ale dreptei sunt: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Exemplul 1.18. În fasciculul definit de planele 2x-y+5z-3=0 și x+y+2z+1=0, găsiți două plane perpendiculare, dintre care unul trece prin punctul M(1,0,1).

Soluţie. Ecuația fasciculului definit de aceste plane este u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0, unde u și v nu dispar în același timp. Rescriem ecuația fasciculului după cum urmează:

(2u + v)x + (- u + v)y + (5u + 2v)z - 3u + v = 0.

Pentru a selecta un plan care trece prin punctul M din fascicul, înlocuim coordonatele punctului M în ecuația fasciculului. Primim:

(2u+v)×1 + (-u + v) ×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, sau v = - u.

Apoi găsim ecuația planului care conține M prin înlocuirea v = - u în ecuația fasciculului:

u(2x-y +5z - 3) - u(x + y +2z +1) = 0.

pentru că u ¹0 (altfel v=0, iar asta contrazice definiția unui fascicul), atunci avem ecuația planului x-2y+3z-4=0. Al doilea plan aparținând fasciculului trebuie să fie perpendicular pe acesta. Scriem condiția pentru ortogonalitatea planurilor:

(2u + v) ×1 + (v - u) ×(-2) + (5u +2v)×3 = 0, sau v = - 19/5u.

Prin urmare, ecuația celui de-al doilea plan are forma:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 sau 9x +24y + 13z + 34 = 0.

Ecuațiile canonice ale unei linii drepte în spațiu sunt ecuații care definesc o dreaptă care trece printr-un punct dat în mod coliniar către un vector de direcție.

Fie dat un punct și un vector direcție. Un punct arbitrar se află pe o dreaptă l numai dacă vectorii și sunt coliniari, adică îndeplinesc condiția:

Ecuațiile de mai sus sunt ecuațiile canonice ale dreptei.

Numerele m , nși p sunt proiecții ale vectorului direcție pe axele de coordonate. Deoarece vectorul este diferit de zero, atunci toate numerele m , nși p nu poate fi zero în același timp. Dar unul sau două dintre ele pot fi zero. În geometria analitică, de exemplu, este permisă următoarea notație:

ceea ce înseamnă că proiecţiile vectorului pe axe Oiși Oz sunt egale cu zero. Prin urmare, atât vectorul cât și linia dreaptă dată de ecuațiile canonice sunt perpendiculare pe axele Oiși Oz, adică avioane yOz .

Exemplul 1 Alcătuiți ecuații ale unei drepte în spațiu perpendicular pe un plan şi trecând prin punctul de intersecţie a acestui plan cu axa Oz .

Soluţie. Aflați punctul de intersecție al planului dat cu axa Oz. Deoarece orice punct de pe axă Oz, are coordonatele , apoi, stabilind ecuația dată avion x=y= 0, obținem 4 z- 8 = 0 sau z= 2 . Prin urmare, punctul de intersecție al planului dat cu axa Oz are coordonatele (0; 0; 2) . Deoarece linia dorită este perpendiculară pe plan, este paralelă cu vectorul său normal. Prin urmare, vectorul normal poate servi ca vector de direcție al dreptei avion dat.

Acum scriem ecuațiile dorite ale dreptei care trece prin punct A= (0; 0; 2) în direcția vectorului :

Ecuațiile unei drepte care trece prin două puncte date

O linie dreaptă poate fi definită prin două puncte aflate pe ea și În acest caz, vectorul de direcție al dreptei poate fi vectorul . Atunci ecuațiile canonice ale dreptei iau forma

Ecuațiile de mai sus definesc o linie dreaptă care trece prin doi puncte date.

Exemplul 2 Scrieți ecuația unei drepte în spațiu care trece prin punctele și .

Soluţie. Scriem ecuațiile dorite ale dreptei în forma dată mai sus în referința teoretică:

Deoarece , atunci linia dorită este perpendiculară pe axă Oi .

Drept ca o linie de intersecție a planelor

O linie dreaptă în spațiu poate fi definită ca o linie de intersecție a două plane neparalele și, adică, ca o mulțime de puncte care satisfac un sistem de două ecuații liniare

Ecuațiile sistemului sunt numite și ecuații generale ale unei linii drepte în spațiu.

Exemplul 3 Alcătuiți ecuații canonice ale unei drepte în spațiul dat de ecuații generale

Soluţie. Pentru a scrie ecuațiile canonice ale unei linii drepte sau, ceea ce este același, ecuația unei linii drepte care trece prin două puncte date, trebuie să găsiți coordonatele oricăror două puncte de pe linia dreaptă. Ele pot fi punctele de intersecție ale unei linii drepte cu oricare două plane de coordonate, de exemplu yOzși xOz .

Punct de intersecție a unei drepte cu un plan yOz are o abscisă X= 0 . Prin urmare, presupunând în acest sistem de ecuații X= 0 , obținem un sistem cu două variabile:

Decizia ei y = 2 , z= 6 împreună cu X= 0 definește un punct A(0; 2; 6) din linia dorită. Presupunând atunci în sistemul dat de ecuații y= 0, obținem sistemul

Decizia ei X = -2 , z= 0 împreună cu y= 0 definește un punct B(-2; 0; 0) intersecția unei drepte cu un plan xOz .

Acum scriem ecuațiile unei drepte care trece prin puncte A(0; 2; 6) și B (-2; 0; 0) :

sau după împărțirea numitorilor la -2:

Să considerăm un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz în spațiu.

ecuația suprafeței este o astfel de ecuație F(x,y,z)=0, care este satisfăcută de coordonatele fiecărui punct situat pe suprafață și nu este satisfăcută de coordonatele punctelor care nu se află pe suprafață.

De exemplu, o sferă este locul punctelor echidistante de un punct, numit centrul sferei. Deci toate punctele satisfac ecuația
se află pe o sferă centrată în punctul O(0.0.0) și raza R (Fig.1).

Coordonatele oricărui punct care nu se află pe sfera dată nu satisfac această ecuație.

Linie în spațiu poate fi considerată drept linia de intersecție a două suprafețe. Deci, în figura 1, intersecția sferei cu planul Oxy este un cerc centrat în punctul O și raza R.

Cea mai simplă suprafață este avion, cea mai simplă linie din spațiu este Drept.

2. Avion în spațiu.

2.1. Ecuația unui plan față de un punct și un vector normal.

În sistemul de coordonate Oxyz, luați în considerare planul (Fig.2). Poziția sa este determinată prin setarea vectorului perpendicular pe acest plan și un punct fix
culcat în acest plan. Vector
perpendicular pe plan
numit vector normal(vector normal). Considerăm un punct arbitrar M(x,y,z) al planului . Vector
apartament
va fi perpendicular pe vectorul normal Folosind condiția de ortogonalitate vectorială
obținem ecuația: unde

Ecuația ( 2.2.1 )

se numește ecuația unui plan față de un punct și un vector normal.

Dacă în ecuația (2.1.1) deschidem parantezele și rearanjam termenii, atunci obținem ecuația sau Ax + By + Cz + D = 0, unde

D=
.

2.2. Ecuația generală a planului.

Ecuația Ax + By + Cz + D = 0 ( 2.2.1 )

se numește ecuația generală a planului, unde
este un vector normal.

Să luăm în considerare cazuri particulare ale acestei ecuații.

1).D = 0. Ecuația are forma: Ax + By + Cz = 0. Un astfel de plan trece prin origine. Vectorul ei normal

2). C \u003d 0: Ax + By + D \u003d 0
planul este paralel cu axa oz (Fig.3).

3). B = 0: Ax + Cz + D = 0
planul este paralel cu axa oy (Fig.4).

patru). A = 0: Prin + Cz + D = 0

planul este paralel cu axa bou (Fig.5).

5). C=D=0: Ax+By=0
planul trece prin axa oz (Fig.6).

6).B = D = 0: Ax + Cz = 0
planul trece prin axa oy (Fig. 7).

7). A = D = 0: Prin + Cz = 0
planul trece prin axa bou (Fig. 8).

8).A = B = 0: Cz + D = 0

||oz
planul este paralel cu planul Oxy (Fig. 9).

9). B=C=0: Ax+D=0

||bou
avion

P paralel cu planul Oyz (Fig. 10).

10).A = C = 0: Prin + D = 0

||oy
planul este paralel cu planul Oxz (Fig.11).

Exemplul 1 Scrieți o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct
perpendicular pe vector
Aflați punctele de intersecție ale acestui plan cu axele de coordonate.

Soluţie. Prin formula (2.1.1) avem

2x - y + 3z + 3 = 0.

Pentru a găsi intersecția acestui plan cu axa ox, substituim în ecuația rezultată y = 0, z = 0. Avem 2x + 3 = 0; x \u003d - 1,5.

Punctul de intersecție a planului dorit cu axa boi are coordonatele:

Aflați intersecția planului cu axa y. Pentru aceasta luăm x = 0; z = 0. Avem

– y + 3 = 0 y = 3. Deci,

Pentru a găsi punctul de intersecție cu axa oz, luăm x = 0; y=0
3z + 3 = 0
z = – 1. Deci,

Răspuns: 2x – y + 3z + 3 = 0,
,
,
.

Exemplul 2 Explorați planurile date de ecuațiile:

A). 3x – y + 2z = 0

b). 2x + z - 1 = 0

în). – y + 5 = 0

Soluţie. A). Avion dat trece prin origine (D = 0) și are un vector normal

b). În ecuație
coeficientul B = 0. Prin urmare,
Planul este paralel cu axa y.

în). În ecuația - y + 5 = 0, coeficienții A = 0, C = 0. Deci

Planul este paralel cu planul oxz.

G). Ecuația x = 0 definește planul oyz, deoarece la B = 0, C = 0 planul este paralel cu planul oyz, iar din condiția D = 0 rezultă că planul trece prin origine.

Exemplul 3 Scrieți o ecuație pentru planul care trece prin punctul A(2,3,1) și perpendicular pe vector
unde B(1,0, –1), C(–2,2,0).

Soluţie. Să găsim vectorul

Vector
este un vector normal al planului dorit care trece prin punctul A(2,3,1). Prin formula (2.1.1) avem:

– 3x + 2y + z + 6 – 6 – 1 = 0
– 3x + 2y + z – 1 = 0 3x - 2y - z + 1 = 0.

Răspuns: 3x - 2y - z + 1 = 0.

2.3. Ecuația unui plan care trece prin trei puncte.

Trei puncte care nu se află pe aceeași linie dreaptă definesc un singur plan (vezi Fig. 12). Lăsați punctele să nu se afle pe o singură linie dreaptă. Pentru a scrie ecuația planului, trebuie să cunoașteți un punct al planului și vectorul normal. Punctele aflate pe plan sunt cunoscute:
Puteți lua orice. Pentru a găsi un vector normal, folosim definiția produsului vectorial al vectorilor. Lăsa
Atunci, prin urmare,
Cunoscând coordonatele punctului
și vector normal găsim ecuația planului folosind formula (2.1.1).

Într-un alt mod, ecuația unui plan care trece prin trei puncte date poate fi obținută folosind condiția de coplanaritate a trei vectori. Într-adevăr, vectorii
unde M(x,y,z) este un punct arbitrar al planului dorit, sunt coplanare (vezi Fig.13). Prin urmare, lor produs mixt este 0:

Aplicând formula produsului mixt sub formă de coordonate, obținem:

(2.3.1)

Exemplul 1 Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin puncte

Soluţie. Prin formula (2.3.1) avem

Extinderea determinantului, obținem:

Planul rezultat este paralel cu axa oy. Vectorul ei normal

Răspuns: x + z - 4 = 0.

2.4. Unghiul dintre două linii.

Două plane, care se intersectează, formează patru unghiuri diedrice egale în perechi (vezi Fig. 14). Unul dintre unghiurile diedrice este egal cu unghiul dintre vectorii normali ai acestor plane.

Să fie date avioanele:

Vectorii lor normali au coordonatele:

Din algebra vectorială se știe că
sau

(2.4.1)

Exemplu: Aflați unghiul dintre plane:

Soluţie: Aflați coordonatele vectorilor normali: Prin formula (2.4.1) avem:

Unul dintre unghiurile diedrice obţinute la intersecţia acestor plane este egal cu
Puteți găsi și al doilea colț:

Răspuns:

2.5. Condiția de paralelism a două plane.

Să fie date două planuri:

și

Dacă aceste plane sunt paralele, atunci vectorii lor normali

coliniare (vezi Fig. 15).

Dacă vectorii sunt coliniari, atunci coordonatele lor respective sunt proporționale:

(2.5.1 )

Este adevărat și invers: dacă vectorii normali ai planelor sunt coliniari, atunci planurile sunt paralele.

Exemplul 1 Care dintre următoarele plane sunt paralele:

Soluţie: A). Să scriem coordonatele vectorilor normali.

Să verificăm coliniaritatea lor:

De aici rezultă că

b). Să scriem coordonatele

Să verificăm coliniaritatea:

Vectori
nu coliniare, plane
nu sunt paralele.

Exemplul 2 Scrieți o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct

M(2, 3, –2) paralel cu planul

Soluţie: Planul dorit este paralel cu planul dat. Prin urmare, vectorul normal al planului poate fi luat ca vector normal al planului dorit.
Aplicând ecuația (2.1.1), obținem:

Răspuns:
.

Exemplul 3 Determinați pentru care a și b planele sunt paralele:

Soluţie: Scriem coordonatele vectorilor normali:

Deoarece planele sunt paralele, vectorii
coliniar. După condiție (2.5.1)
Prin urmare b = – 2; a = 3.

Răspuns: a = 3; b = -2.

2.6. Condiția de perpendicularitate a două plane.

Dacă avionul
sunt perpendiculare, apoi vectorii lor normali
sunt de asemenea perpendiculare (vezi Fig. 16). Rezultă că produsul lor scalar este egal cu zero, adică.
sau in coordonate:

Aceasta este condiția ca două planuri să fie perpendiculare. Afirmația inversă este de asemenea adevărată, adică dacă condiția (2.6.1) este îndeplinită, atunci vectorii
Prin urmare,