Sarcina 1

Aflați cosinusul unghiului dintre dreptele $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $ și $\left\( \begin(array )(c) (x=2\cdot t-3) \\ (y=-t+1) \\ (z=3\cdot t+5) \end(array)\right.$.

Să fie date două drepte în spațiu: $\frac(x-x_(1) )(m_(1) ) =\frac(y-y_(1) )(n_(1) ) =\frac(z-z_( 1 ) )(p_(1) ) $ și $\frac(x-x_(2) )(m_(2) ) =\frac(y-y_(2) )(n_(2) ) =\frac(z - z_(2) )(p_(2) ) $. Alegem un punct arbitrar din spațiu și trasăm două linii auxiliare prin el, paralele cu datele. Unghiul dintre liniile date este oricare dintre cele două colțurile adiacente format din linii auxiliare. Cosinusul unuia dintre unghiurile dintre drepte poate fi găsit folosind formula binecunoscută $\cos \phi =\frac(m_(1) \cdot m_(2) +n_(1) \cdot n_(2) + p_(1) \cdot p_( 2) )(\sqrt(m_(1)^(2) +n_(1)^(2) +p_(1)^(2) ) \cdot \sqrt(m_(2) )^(2) +n_( 2)^(2) +p_(2)^(2) ) ) $. Dacă valoarea $\cos \phi >0$, atunci colt ascutitîntre linii dacă $\cos \phi

Ecuații canonice ale primei linii: $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $.

Ecuațiile canonice ale celei de-a doua drepte pot fi obținute din cele parametrice:

\ \ \

Astfel, ecuațiile canonice ale acestei drepte sunt: ​​$\frac(x+3)(2) =\frac(y-1)(-1) =\frac(z-5)(3) $.

Calculam:

\[\cos \phi =\frac(5\cdot 2+\left(-3\right)\cdot \left(-1\right)+4\cdot 3)(\sqrt(5^(2) +\ stânga(-3\right)^(2) +4^(2) ) \cdot \sqrt(2^(2) +\left(-1\right)^(2) +3^(2) ) ) = \frac(25)(\sqrt(50) \cdot \sqrt(14) ) \aproximativ 0,9449.\]

Sarcina 2

Prima linie trece prin punctele date $A\left(2,-4,-1\right)$ și $B\left(-3,5,6\right)$, a doua linie trece prin punctele date $ C\left (1,-2,8\right)$ și $D\left(6,7,-2\right)$. Găsiți distanța dintre aceste linii.

Fie ca o dreaptă să fie perpendiculară pe liniile $AB$ și $CD$ și să le intersecteze în punctele $M$ și, respectiv, $N$. În aceste condiții, lungimea segmentului $MN$ este egală cu distanța dintre liniile $AB$ și $CD$.

Construim vectorul $\overline(AB)$:

\[\overline(AB)=\left(-3-2\right)\cdot \bar(i)+\left(5-\left(-4\right)\right)\cdot \bar(j)+ \left(6-\left(-1\right)\right)\cdot \bar(k)=-5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)+7\cdot \bar(k ).\]

Fie segmentul care reprezintă distanța dintre drepte să treacă prin punctul $M\left(x_(M) ,y_(M) ,z_(M) \right)$ pe dreapta $AB$.

Construim vectorul $\overline(AM)$:

\[\overline(AM)=\left(x_(M) -2\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(M) -\left(-4\right)\right)\cdot \ bar(j)+\stanga(z_(M) -\stanga(-1\dreapta)\dreapta)\cdot \bar(k)=\] \[=\stanga(x_(M) -2\dreapta)\ cdot \bar(i)+\left(y_(M) +4\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(M) +1\right)\cdot \bar(k).\]

Vectorii $\overline(AB)$ și $\overline(AM)$ sunt aceiași, prin urmare sunt coliniari.

Se știe că dacă vectorii $\overline(a)=x_(1) \cdot \overline(i)+y_(1) \cdot \overline(j)+z_(1) \cdot \overline(k)$ și $ \overline(b)=x_(2) \cdot \overline(i)+y_(2) \cdot \overline(j)+z_(2) \cdot \overline(k)$ sunt coliniare, atunci coordonatele lor sunt proporționale, atunci este $\frac(x_((\it 2)) )((\it x)_((\it 1)) ) =\frac(y_((\it 2)) )((\it 1)) ) y)_( (\it 1)) ) =\frac(z_((\it 2)) )((\it z)_((\it 1)) ) $.

$\frac(x_(M) -2)(-5) =\frac(y_(M) +4)(9) =\frac(z_(M) +1)(7) =m$, unde $m $ este rezultatul împărțirii.

De aici obținem: $x_(M) -2=-5\cdot m$; $y_(M) +4=9\cdot m$; $z_(M) +1=7\cdot m$.

În final, obținem expresii pentru coordonatele punctului $M$:

Construim vectorul $\overline(CD)$:

\[\overline(CD)=\left(6-1\right)\cdot \bar(i)+\left(7-\left(-2\right)\right)\cdot \bar(j)+\ stânga(-2-8\right)\cdot \bar(k)=5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)-10\cdot \bar(k).\]

Să treacă segmentul care reprezintă distanța dintre drepte prin punctul $N\left(x_(N) ,y_(N) ,z_(N) \right)$ pe linia $CD$.

Construim vectorul $\overline(CN)$:

\[\overline(CN)=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -\left(-2\right)\right)\cdot \ bar(j)+\left(z_(N) -8\right)\cdot \bar(k)=\] \[=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+ \left(y_(N) +2\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(N) -8\right)\cdot \bar(k).\]

Vectorii $\overline(CD)$ și $\overline(CN)$ sunt aceiași, prin urmare sunt coliniari. Aplicăm condiția vectorilor coliniari:

$\frac(x_(N) -1)(5) =\frac(y_(N) +2)(9) =\frac(z_(N) -8)(-10) =n$ unde $n $ este rezultatul diviziunii.

De aici obținem: $x_(N) -1=5\cdot n$; $y_(N) +2=9\cdot n$; $z_(N) -8=-10\cdot n$.

În final, obținem expresii pentru coordonatele punctului $N$:

Construim vectorul $\overline(MN)$:

\[\overline(MN)=\left(x_(N) -x_(M) \right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -y_(M) \right)\cdot \bar (j)+\stânga(z_(N) -z_(M) \dreapta)\cdot \bar(k).\]

Inlocuim expresiile pentru coordonatele punctelor $M$ si $N$:

\[\overline(MN)=\left(1+5\cdot n-\left(2-5\cdot m\right)\right)\cdot \bar(i)+\] \[+\left(- 2+9\cdot n-\left(-4+9\cdot m\right)\right)\cdot \bar(j)+\left(8-10\cdot n-\left(-1+7\cdot) m\dreapta)\dreapta)\cdot \bar(k).\]

După parcurgerea pașilor, obținem:

\[\overline(MN)=\left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)\cdot \bar(i)+\left(2+9\cdot n-9\cdot m\right) )\cdot \bar(j)+\left(9-10\cdot n-7\cdot m\right)\cdot \bar(k).\]

Deoarece dreptele $AB$ și $MN$ sunt perpendiculare, produsul scalar al vectorilor corespunzători este egal cu zero, adică $\overline(AB)\cdot \overline(MN)=0$:

\[-5\cdot \left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)+9\cdot \left(2+9\cdot n-9\cdot m\right)+7\cdot \ stânga(9-10\cdot n-7\cdot m\right)=0;\] \

După parcurgerea pașilor, obținem prima ecuație pentru determinarea $m$ și $n$: $155\cdot m+14\cdot n=86$.

Deoarece dreptele $CD$ și $MN$ sunt perpendiculare, produsul scalar al vectorilor corespunzători este egal cu zero, adică $\overline(CD)\cdot \overline(MN)=0$:

\ \[-5+25\cdot n+25\cdot m+18+81\cdot n-81\cdot m-90+100\cdot n+70\cdot m=0.\]

După parcurgerea pașilor, obținem a doua ecuație pentru determinarea $m$ și $n$: $14\cdot m+206\cdot n=77$.

Găsiți $m$ și $n$ rezolvând sistemul de ecuații $\left\(\begin(array)(c) (155\cdot m+14\cdot n=86) \\ (14\cdot m+206\ cdot n =77) \end(array)\right.$.

Aplicam metoda Cramer:

\[\Delta =\left|\begin(array)(cc) (155) & (14) \\ (14) & (206) \end(array)\right|=31734; \] \[\Delta _(m) =\left|\begin(array)(cc) (86) & (14) \\ (77) & (206) \end(array)\right|=16638; \] \[\Delta _(n) =\left|\begin(array)(cc) (155) & (86) \\ (14) & (77) \end(array)\right|=10731;\ ]\

Găsiți coordonatele punctelor $M$ și $N$:

\ \

In cele din urma:

În cele din urmă, scriem vectorul $\overline(MN)$:

$\overline(MN)=\left(2,691-\left(-0,6215\right)\right)\cdot \bar(i)+\left(1,0438-0,7187\right)\cdot \bar (j)+\left (4,618-2,6701\right)\cdot \bar(k)$ sau $\overline(MN)=3,3125\cdot \bar(i)+0,3251\cdot \bar(j)+1,9479\cdot \bar(k)$.

Distanța dintre liniile $AB$ și $CD$ este lungimea vectorului $\overline(MN)$:$d=\sqrt(3,3125^(2) +0,3251^(2) +1,9479^( 2) ) \ aproximativ 3,8565$ lin. unitati

A. Să fie date două linii. Aceste linii, așa cum sa indicat în capitolul 1, formează diferite și pozitive unghiuri negative care poate fi fie ascuțit, fie contondent. Cunoscând unul dintre aceste unghiuri, putem găsi cu ușurință oricare altul.

Apropo, pentru toate aceste unghiuri, valoarea numerică a tangentei este aceeași, diferența poate fi doar în semn

Ecuații de linii. Numerele sunt proiecțiile vectorilor de direcție ai primei și a doua linii.Unghiul dintre acești vectori este egal cu unul dintre unghiurile formate din drepte. Prin urmare, problema se reduce la determinarea unghiului dintre vectori, obținem

Pentru simplitate, putem conveni asupra unui unghi între două drepte pentru a înțelege un unghi pozitiv acut (ca, de exemplu, în Fig. 53).

Atunci tangenta acestui unghi va fi întotdeauna pozitivă. Astfel, dacă se obține un semn minus în partea dreaptă a formulei (1), atunci trebuie să-l renunțăm, adică să păstrăm doar valoarea absolută.

Exemplu. Determinați unghiul dintre linii

Prin formula (1) avem

Cu. Dacă se indică care dintre laturile unghiului este începutul și care este sfârșitul lui, atunci, numărând întotdeauna direcția unghiului în sens invers acelor de ceasornic, putem extrage ceva mai mult din formulele (1). După cum se vede ușor din fig. 53 semnul obținut în partea dreaptă a formulei (1) va indica care dintre ele - acut sau obtuz - unghiul formează a doua linie cu prima.

(Într-adevăr, din Fig. 53 vedem că unghiul dintre primul și al doilea vector de direcție este fie egal cu unghiul dorit dintre linii, fie diferă de acesta cu ±180°.)

d. Dacă dreptele sunt paralele, atunci vectorii lor de direcție sunt și ei paraleli.Aplicând condiția de paralelism a doi vectori, obținem!

Aceasta este o condiție necesară și suficientă pentru ca două linii să fie paralele.

Exemplu. Direct

sunt paralele deoarece

e. Dacă liniile sunt perpendiculare, atunci vectorii lor de direcție sunt și ei perpendiculari. Aplicând condiția de perpendicularitate a doi vectori, obținem condiția de perpendicularitate a două drepte și anume

Exemplu. Direct

perpendicular deoarece

În legătură cu condițiile de paralelism și perpendicularitate, vom rezolva următoarele două probleme.

f. Desenați o dreaptă paralelă cu o dreaptă dată printr-un punct

Decizia se ia asa. Deoarece linia dorită este paralelă cu cea dată, atunci pentru vectorul său de direcție îl putem lua pe aceeași cu cea a dreptei date, adică un vector cu proiecțiile A și B. Și atunci se va scrie ecuația dreptei dorite. sub forma (§ 1)

Exemplu. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct (1; 3) paralel cu o dreaptă

va fi urmatorul!

g. Desenați o dreaptă printr-un punct perpendicular pe dreapta dată

Aici, nu mai este potrivit să luăm un vector cu proiecțiile A și ca vector de direcție, dar este necesar să câștigăm un vector perpendicular pe acesta. Prin urmare, proiecțiile acestui vector trebuie alese în funcție de condiția ca ambii vectori să fie perpendiculari, adică în funcție de condiția

Această condiție poate fi îndeplinită într-un număr infinit de moduri, deoarece aici există o ecuație cu două necunoscute.Dar cel mai simplu mod este să o luați.Atunci ecuația liniei dorite se va scrie sub forma

Exemplu. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct (-7; 2) într-o dreaptă perpendiculară

va fi urmatoarea (conform celei de-a doua formule)!

h. În cazul în care liniile sunt date prin ecuații de forma

rescriind aceste ecuații în mod diferit, avem

Colţ φ ecuații generale A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 și A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, se calculează prin formula:

Colţ φ între două linii drepte ecuații canonice(x-x 1) / m 1 \u003d (y-y 1) / n 1 și (x-x 2) / m 2 \u003d (y-y 2) / n 2, se calculează prin formula:

Distanța de la punct la linie

Fiecare plan din spațiu poate fi reprezentat ca ecuație liniară numit ecuație generală avion

Cazuri speciale.

o Dacă în ecuația (8), atunci planul trece prin origine.

o Cu (,) planul este paralel cu axa(axa, respectiv axa).

o Când (,) planul este paralel cu planul (plan, plan).

Soluție: folosiți (7)

Răspuns: ecuația generală a planului.

Exemplu.

Planul din sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz este dat de ecuația generală a planului . Notați coordonatele tuturor vectorilor normali din acest plan.

Știm că coeficienții variabilelor x, y și z din ecuația generală a planului sunt coordonatele corespunzătoare ale vectorului normal al acelui plan. Prin urmare, vectorul normal al planului dat are coordonate. Mulțimea tuturor vectorilor normali poate fi dată ca.

Scrieți ecuația unui plan dacă într-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz în spațiu trece printr-un punct , A este vectorul normal al acestui plan.

Vă prezentăm două soluții la această problemă.

Din starea pe care o avem. Inlocuim aceste date in ecuatia generala a planului care trece prin punctul:

Scrieți ecuația generală pentru un plan paralel cu planul de coordonate Oyz și care trece prin punct .

Un plan care este paralel cu planul de coordonate Oyz poate fi dat de o ecuație generală incompletă a planului de forma . De la punctul aparține planului prin condiție, atunci coordonatele acestui punct trebuie să satisfacă ecuația planului, adică egalitatea trebuie să fie adevărată. De aici găsim. Astfel, ecuația dorită are forma.

Soluţie. Produsul vectorial, prin definiția 10.26, este ortogonal cu vectorii p și q. Prin urmare, este ortogonal cu planul dorit și vectorul poate fi luat ca vector normal. Aflați coordonatele vectorului n:

acesta este . Folosind formula (11.1), obținem

Deschizând parantezele din această ecuație, ajungem la răspunsul final.

Răspuns: .

Să rescriem vectorul normal în forma și să îi găsim lungimea:

Conform celor de mai sus:

Răspuns:

Planurile paralele au același vector normal. 1) Din ecuație găsim vectorul normal al planului:.

2) Compunem ecuația planului în funcție de punct și vectorul normal:

Răspuns:

Ecuația vectorială a unui plan în spațiu

Ecuația parametrică a unui plan în spațiu

Ecuația unui plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat

Fie dat un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiul tridimensional. Să formulăm următoarea problemă:

Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin punct dat M(X 0, y 0, z 0) perpendicular pe vectorul dat n = ( A, B, C} .

Soluţie. Lăsa P(X, y, z) este un punct arbitrar în spațiu. Punct P aparține planului dacă și numai dacă vectorul MP = {X − X 0, y − y 0, z − z 0) ortogonală cu vectorul n = {A, B, C) (Fig. 1).

După ce am scris condiția de ortogonalitate pentru acești vectori (n, MP) = 0 sub formă de coordonate, obținem:

Ecuația unui plan cu trei puncte

În formă vectorială

În coordonate

Dispunerea reciprocă a avioanelor în spațiu

– ecuații generale două avioane. Apoi:

1) dacă , atunci avioanele coincid;

2) dacă , atunci planurile sunt paralele;

3) dacă sau , atunci planele se intersectează și sistemul de ecuații

(6)

sunt ecuațiile dreptei de intersecție a planurilor date.

Scrieți ecuații parametrice pentru următoarele linii:

Soluţie: Dreptele sunt date prin ecuații canonice și la prima etapă ar trebui să găsim un punct aparținând dreptei și vectorului său de direcție.

a) Din ecuații se elimina punctul si vectorul directie: . Puteți alege un alt punct (cum să faceți acest lucru este descris mai sus), dar este mai bine să luați cel mai evident. Apropo, pentru a evita greșelile, înlocuiți întotdeauna coordonatele sale în ecuații.

Să compunem ecuațiile parametrice ale acestei drepte:

Comoditatea ecuațiilor parametrice este că, cu ajutorul lor, este foarte ușor să găsiți alte puncte ale dreptei. De exemplu, să găsim un punct ale cărui coordonate, să zicem, corespund valorii parametrului:

Astfel: b) Se consideră ecuaţiile canonice . Alegerea unui punct aici este simplă, dar insidioasă: (ai grijă să nu amesteci coordonatele!!!). Cum să scoți un vector de ghidare? Puteți argumenta cu ce este paralelă această linie dreaptă sau puteți folosi un truc formal simplu: proporția este „y” și „z”, așa că scriem vectorul de direcție și punem zero în spațiul rămas: .

Compunem ecuațiile parametrice ale dreptei:

c) Să rescriem ecuațiile sub forma , adică „Z” poate fi orice. Și dacă există, atunci să fie, de exemplu, . Astfel, punctul aparține acestei linii. Pentru a găsi vectorul direcție, folosim următoarea tehnică formală: în ecuațiile inițiale sunt „x” și „y”, iar în vectorul direcție în aceste locuri scriem zerouri: . În locul rămas punem unitate: . În loc de unul, orice număr, cu excepția zero, va fi potrivit.

Scriem ecuațiile parametrice ale dreptei:

Definiție. Dacă sunt date două drepte y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , atunci unghiul ascuțit dintre aceste drepte va fi definit ca

Două drepte sunt paralele dacă k 1 = k 2 . Două drepte sunt perpendiculare dacă k 1 = -1/ k 2 .

Teorema. Liniile drepte Ax + Vy + C \u003d 0 și A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sunt paralele atunci când coeficienții A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB sunt proporționali. Dacă și С 1 = λС, atunci liniile coincid. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte se găsesc ca soluție a sistemului de ecuații ale acestor drepte.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat

Perpendicular pe această linie

Definiție. Linia care trece prin punctul M 1 (x 1, y 1) și perpendiculară pe dreapta y \u003d kx + b este reprezentată de ecuația:

Distanța de la punct la linie

Teorema. Dacă este dat un punct M(x 0, y 0), atunci distanța până la linia Ax + Vy + C \u003d 0 este definită ca

.

Dovada. Fie punctul M 1 (x 1, y 1) să fie baza perpendicularei căzute de la punctul M la dreapta dată. Atunci distanța dintre punctele M și M 1:

(1)

Coordonatele x 1 și y 1 pot fi găsite ca soluție a sistemului de ecuații:

A doua ecuație a sistemului este ecuația unei linii drepte care trece prin punct dat M 0 este perpendiculară pe o dreaptă dată. Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

apoi, rezolvand, obtinem:

Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:

Teorema a fost demonstrată.

Exemplu. Să se determine unghiul dintre drepte: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Exemplu. Arătați că dreptele 3x - 5y + 7 = 0 și 10x + 6y - 3 = 0 sunt perpendiculare.

Soluţie. Găsim: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, prin urmare, liniile sunt perpendiculare.

Exemplu. Sunt date vârfurile triunghiului A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Găsiți ecuația pentru înălțimea desenată din vârful C.

Soluţie. Găsim ecuația laturii AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Ecuația de înălțime dorită este: Ax + By + C = 0 sau y = kx + b. k = . Atunci y = . pentru că înălțimea trece prin punctul C, apoi coordonatele sale satisfac această ecuație: de unde b = 17. Total: .

Răspuns: 3x + 2y - 34 = 0.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat într-o direcție dată. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date. Unghiul dintre două linii. Condiția de paralelism și perpendicularitate a două drepte. Determinarea punctului de intersecție a două drepte

1. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat A(X 1 , y 1) într-o direcție dată, determinată de pantă k,

y - y 1 = k(X - X 1). (1)

Această ecuație definește un creion de linii care trec printr-un punct A(X 1 , y 1), care se numește centrul fasciculului.

2. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte: A(X 1 , y 1) și B(X 2 , y 2) se scrie astfel:

Panta unei drepte care trece prin două puncte date este determinată de formula

3. Unghiul dintre liniile drepte Ași B este unghiul cu care trebuie rotită prima linie dreaptă Aîn jurul punctului de intersecție al acestor linii în sens invers acelor de ceasornic până când acesta coincide cu a doua linie B. Dacă două drepte sunt date prin ecuații de pante

y = k 1 X + B 1 ,

y = k 2 X + B 2 , (4)

atunci unghiul dintre ele este determinat de formula

Trebuie remarcat faptul că la numărătorul fracției, panta primei drepte este scăzută din panta celei de-a doua drepte.

Dacă ecuațiile unei linii drepte sunt date în vedere generala

A 1 X + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 X + B 2 y + C 2 = 0, (6)

unghiul dintre ele este determinat de formula

4. Condiții pentru paralelismul a două linii:

a) Dacă dreptele sunt date de ecuațiile (4) cu o pantă, atunci condiția necesară și suficientă pentru paralelismul lor este egalitatea pantelor lor:

k 1 = k 2 . (8)

b) Pentru cazul în care dreptele sunt date prin ecuații în forma generală (6), condiția necesară și suficientă pentru paralelismul lor este ca coeficienții la coordonatele curente corespunzătoare din ecuațiile lor să fie proporționali, i.e.

5. Condiții pentru perpendicularitatea a două drepte:

a) În cazul în care dreptele sunt date de ecuațiile (4) cu o pantă, condiția necesară și suficientă pentru perpendicularitatea lor este ca acestea factori de panta sunt reciproce ca mărime și opuse ca semn, adică

Această condiție poate fi scrisă și în formular

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Dacă ecuațiile dreptelor sunt date în forma generală (6), atunci condiția pentru perpendicularitatea lor (necesară și suficientă) este îndeplinirea egalității

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte se găsesc prin rezolvarea sistemului de ecuații (6). Liniile (6) se intersectează dacă și numai dacă

1. Scrieți ecuațiile dreptelor care trec prin punctul M, dintre care una este paralelă, iar cealaltă perpendiculară pe dreapta dată l.

unghiul dintre planuri

Să considerăm două plane α 1 și α 2 date, respectiv, de ecuațiile:

Sub unghiîntre două plane înţelegem unul dintre unghiurile diedrice formate de aceste plane. Este evident că unghiul dintre vectorii normali și planurile α 1 și α 2 este egal cu unul dintre unghiurile diedrice adiacente indicate sau . De aceea . pentru că și , apoi

.

Exemplu. Determinați unghiul dintre plane X+2y-3z+4=0 și 2 X+3y+z+8=0.

Condiția paralelismului a două plane.

Două plane α 1 și α 2 sunt paralele dacă și numai dacă vectorii lor normali și sunt paraleli și, prin urmare .

Deci, două plane sunt paralele unul cu celălalt dacă și numai dacă coeficienții la coordonatele corespunzătoare sunt proporționali:

sau

Condiția de perpendicularitate a planurilor.

Este clar că două plane sunt perpendiculare dacă și numai dacă vectorii lor normali sunt perpendiculari și, prin urmare, sau .

În acest fel, .

Exemple.

DIRECT ÎN SPAȚIU.

ECUAȚIA VECTORALĂ DIRECT.

ECUATII PARAMETRICE DIRECT

Poziția unei linii drepte în spațiu este complet determinată prin specificarea oricăruia dintre punctele sale fixe M 1 și un vector paralel cu această dreaptă.

Un vector paralel cu o dreaptă se numește îndrumare vectorul acestei linii.

Așa că lasă dreapta l trece printr-un punct M 1 (X 1 , y 1 , z 1) situat pe o dreaptă paralelă cu vectorul .

Luați în considerare un punct arbitrar M(x,y,z) pe o linie dreaptă. Din figură se poate observa că .

Vectorii și sunt coliniari, deci există un astfel de număr t, ce , unde este multiplicatorul t poate lua orice valoare numerică în funcție de poziția punctului M pe o linie dreaptă. Factor t se numește parametru. Indicarea vectorilor de rază ai punctelor M 1 și M respectiv, prin și , obținem . Această ecuație se numește vector ecuație în linie dreaptă. Arată că fiecare valoare parametru t corespunde vectorului raza unui punct M culcat pe o linie dreaptă.

Scriem această ecuație sub formă de coordonate. Observa asta , si de aici

Ecuațiile rezultate se numesc parametrice ecuații în linie dreaptă.

La modificarea parametrului t se schimbă coordonatele X, yși zși punct M se mișcă în linie dreaptă.

ECUATII CANONICE DIRECT

Lăsa M 1 (X 1 , y 1 , z 1) - un punct situat pe o linie dreaptă l, și este vectorul său de direcție. Din nou, luați un punct arbitrar pe o linie dreaptă M(x,y,z)și luați în considerare vectorul .

Este clar că vectorii și sunt coliniari, deci coordonatele lor respective trebuie să fie proporționale, prin urmare

– canonic ecuații în linie dreaptă.

Observație 1. Rețineți că ecuațiile canonice ale dreptei pot fi obținute din ecuațiile parametrice prin eliminarea parametrului t. Într-adevăr, din ecuațiile parametrice obținem sau .

Exemplu. Scrieți ecuația unei drepte într-un mod parametric.

Denota , prin urmare X = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Observația 2. Fie linia perpendiculară pe una dintre axele de coordonate, de exemplu, axa Bou. Atunci vectorul direcție al dreptei este perpendicular Bou, Prin urmare, m=0. În consecință, ecuațiile parametrice ale dreptei iau forma

Eliminarea parametrului din ecuații t, obținem ecuațiile dreptei în forma

Totuși, și în acest caz, suntem de acord să scriem formal ecuațiile canonice ale dreptei în formă . Astfel, dacă numitorul uneia dintre fracții este zero, atunci aceasta înseamnă că linia este perpendiculară pe axa de coordonate corespunzătoare.

În mod similar, ecuațiile canonice corespunde unei drepte perpendiculare pe axele Bouși Oi sau axa paralela Oz.

Exemple.

ECUAȚII GENERALE O LINIE DIRECTĂ CA O LINIE DE INTERCEPȚIE A DOUA PLANURI

Prin fiecare linie dreaptă din spațiu trece un număr infinit de plane. Oricare două dintre ele, intersectându-se, îl definesc în spațiu. Prin urmare, ecuațiile oricăror două astfel de planuri, considerate împreună, sunt ecuațiile acestei drepte.

În general, oricare două plane neparalele date de ecuațiile generale

determinați linia lor de intersecție. Aceste ecuații se numesc ecuații generale Drept.

Exemple.

Construiți o dreaptă dată de ecuații

Pentru a construi o dreaptă, este suficient să găsiți oricare dintre punctele sale. Cel mai simplu mod este să alegeți punctele de intersecție ale dreptei cu planurile de coordonate. De exemplu, punctul de intersecție cu planul xOy obţinem din ecuaţiile unei drepte, presupunând z= 0:

Rezolvând acest sistem, găsim ideea M 1 (1;2;0).

În mod similar, presupunând y= 0, obținem punctul de intersecție al dreptei cu planul xOz:

Din ecuațiile generale ale unei linii drepte, se poate trece la ecuațiile ei canonice sau parametrice. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un punct M 1 pe linie și vectorul de direcție al dreptei.

Coordonatele punctului M 1 obținem din acest sistem de ecuații, dând uneia dintre coordonate o valoare arbitrară. Pentru a găsi vectorul direcție, rețineți că acest vector trebuie să fie perpendicular pe ambii vectori normali și . Prin urmare, pentru vectorul direcție al dreptei l poți să iei produs vectorial vectori normali:

.

Exemplu. Dați ecuațiile generale ale dreptei la forma canonică.

Găsiți un punct pe o dreaptă. Pentru a face acest lucru, alegem în mod arbitrar una dintre coordonate, de exemplu, y= 0 și rezolvați sistemul de ecuații:

Vectorii normali ai planurilor care definesc dreapta au coordonate Prin urmare, vectorul direcție va fi drept

. Prin urmare, l: .

UNGHI ÎNTRE DREPTURI

colţîntre drepte în spațiu vom numi oricare dintre unghiurile adiacente formate din două drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Să fie date două drepte în spațiu:

Evident, unghiul φ dintre linii poate fi luat ca unghi între vectorii lor de direcție și . Deoarece , atunci conform formulei pentru cosinusul unghiului dintre vectori obținem