CAPITOLUL I.

NOȚIUNI DE BAZĂ.

§unsprezece. UNGHIURI ADJACENTE ȘI VERTICALE.

1. Colțuri adiacente.

Dacă continuăm partea unui colț dincolo de vârful său, vom obține două colțuri (Fig. 72): / Un soare și / SVD, în care o parte BC este comună, iar celelalte două AB și BD formează o linie dreaptă.

Două unghiuri care au o latură în comun și celelalte două formează o linie dreaptă se numesc unghiuri adiacente.

Unghiurile adiacente se pot obține și în acest fel: dacă desenăm o rază dintr-un punct de pe o linie dreaptă (nu se află pe o dreaptă dată), atunci obținem unghiuri adiacente.
De exemplu, / ADF și / FDВ - colțuri adiacente (Fig. 73).

Colțurile adiacente pot avea o mare varietate de poziții (Fig. 74).

Unghiurile adiacente se adună la un unghi drept, deci umma a două unghiuri adiacente este 2d.

Prin urmare, un unghi drept poate fi definit ca un unghi egal cu unghiul său adiacent.

Cunoscând valoarea unuia dintre unghiurile adiacente, putem afla valoarea celuilalt unghi adiacent.

De exemplu, dacă unul dintre unghiurile adiacente este 3/5 d, atunci al doilea unghi va fi egal cu:

2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.

2. Unghiuri verticale.

Dacă extindem laturile unui unghi dincolo de vârful său, obținem unghiuri verticale. În desenul 75, unghiurile EOF și AOC sunt verticale; unghiurile AOE și COF sunt de asemenea verticale.

Două unghiuri se numesc verticale dacă laturile unui unghi sunt prelungiri ale laturilor celuilalt unghi.

Lăsa / 1 = 7 / 8 d(Fig. 76). Adiacent acestuia / 2 va fi egal cu 2 d- 7 / 8 d, adică 1 1/8 d.

În același mod, puteți calcula cu ce sunt egale / 3 și / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Fig. 77).

Vedem asta / 1 = / 3 și / 2 = / 4.

Puteți rezolva mai multe probleme de aceeași problemă și de fiecare dată obțineți același rezultat: unghiurile verticale sunt egale între ele.

Cu toate acestea, pentru a vă asigura că unghiurile verticale sunt întotdeauna egale între ele, nu este suficient să luați în considerare exemple numerice individuale, deoarece concluziile trase din exemple particulare pot fi uneori eronate.

Este necesar să se verifice validitatea proprietății unghiurilor verticale prin raționament, prin demonstrație.

Dovada poate fi efectuată după cum urmează (Fig. 78):

/ un +/ c = 2d;
/ b+/ c = 2d;

(deoarece suma unghiurilor adiacente este 2 d).

/ un +/ c = / b+/ c

(deoarece partea stângă a acestei egalități este egală cu 2 d, iar partea sa dreaptă este, de asemenea, egală cu 2 d).

Această egalitate include același unghi Cu.

Daca suntem din valori egale scădeți în mod egal, atunci va rămâne în mod egal. Rezultatul va fi: / A = / b, adică unghiurile verticale sunt egale între ele.

Când luăm în considerare problema unghiurilor verticale, am explicat mai întâi care unghiuri sunt numite verticale, adică am dat definiție colțuri verticale.

Apoi am făcut o judecată (afirmație) despre egalitatea unghiurilor verticale și ne-am convins de validitatea acestei judecăți prin demonstrație. Se numesc astfel de hotărâri, a căror validitate trebuie dovedită teoreme. Astfel, în această secțiune am dat definiția unghiurilor verticale și am enunțat și demonstrat o teoremă despre proprietatea acestora.

În viitor, atunci când studiem geometria, va trebui să ne întâlnim constant cu definiții și dovezi ale teoremelor.

3. Suma unghiurilor care au un vârf comun.

Pe desenul 79 / 1, / 2, / 3 și / 4 sunt situate pe aceeași parte a unei linii drepte și au un vârf comun pe această linie dreaptă. În concluzie, aceste unghiuri formează un unghi drept, adică.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

Pe desenul 80 / 1, / 2, / 3, / 4 și / 5 au un vârf comun. Suma acestor unghiuri este unghi complet, adică / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Exerciții.

1. Unul dintre unghiurile adiacente este 0,72 d. Calculați unghiul format de bisectoarele acestor unghiuri adiacente.

2. Demonstrați că bisectoarele a două unghiuri adiacente formează un unghi drept.

3. Demonstrați că dacă două unghiuri sunt egale, atunci și unghiurile lor adiacente sunt egale.

4. Câte perechi de colțuri adiacente sunt în desenul 81?

5. Poate o pereche de unghiuri adiacente să fie formată din două unghiuri ascuțite? din două colțuri obtuze? din unghiuri drepte și obtuze? dintr-un unghi drept si ascutit?

6. Dacă unul dintre unghiurile adiacente este drept, atunci ce se poate spune despre valoarea unghiului adiacent acestuia?

7. Dacă la intersecția a două drepte există un unghi drept, atunci ce se poate spune despre mărimea celorlalte trei unghiuri?

Geometria este o știință cu multe fațete. Ea dezvoltă logica, imaginația și inteligența. Desigur, din cauza complexității sale și a numărului mare de teoreme și axiome, școlarilor nu le place întotdeauna. În plus, este nevoie să-și dovedească în mod constant concluziile folosind standarde și reguli general acceptate.

Unghiurile adiacente și verticale sunt parte integrantă a geometriei. Cu siguranță mulți școlari le adoră pur și simplu pentru că proprietățile lor sunt clare și ușor de demonstrat.

Formarea colțurilor

Orice unghi se formează prin intersecția a două drepte sau prin trasarea a două raze dintr-un punct. Ele pot fi numite fie o literă, fie trei, care desemnează succesiv punctele de construcție ale colțului.

Unghiurile sunt măsurate în grade și pot fi numite diferit (în funcție de valoarea lor). Deci, există un unghi drept, acut, obtuz și desfășurat. Fiecare dintre nume corespunde unei anumite măsurători de grad sau intervalului acesteia.

Un unghi ascuțit este un unghi a cărui măsură nu depășește 90 de grade.

Un unghi obtuz este un unghi mai mare de 90 de grade.

Un unghi se numește drept când măsura lui este de 90.

În cazul în care este format dintr-o linie dreaptă continuă, iar gradul său este 180, se numește desfășurat.

Unghiurile care au o latură comună, a cărei a doua latură se continuă între ele, se numesc adiacente. Ele pot fi fie ascuțite, fie contondente. Intersecția dreptei formează unghiuri adiacente. Proprietățile lor sunt după cum urmează:

1. Suma acestor unghiuri va fi egală cu 180 de grade (există o teoremă care demonstrează acest lucru). Prin urmare, unul dintre ele poate fi ușor de calculat dacă celălalt este cunoscut.
2. Din primul punct rezultă că unghiurile adiacente nu pot fi formate din două unghiuri obtuze sau două unghiuri acute.

Datorită acestor proprietăți, se poate calcula întotdeauna măsura gradului unui unghi având în vedere valoarea altui unghi, sau cel puțin raportul dintre ele.

Unghiuri verticale

Unghiurile ale căror laturi sunt o continuare una a celeilalte se numesc verticale. Oricare dintre soiurile lor poate acționa ca o astfel de pereche. Unghiurile verticale sunt întotdeauna egale între ele.

Ele se formează atunci când liniile se intersectează. Împreună cu acestea, colțurile adiacente sunt întotdeauna prezente. Un unghi poate fi atât adiacent pentru unul, cât și vertical pentru celălalt.

Când traversați o linie arbitrară, sunt luate în considerare și mai multe tipuri de unghiuri. O astfel de linie se numește secantă și formează unghiurile corespunzătoare, unilaterale și încrucișate. Sunt egali unul cu altul. Ele pot fi vizualizate în lumina proprietăților pe care le au unghiurile verticale și adiacente.

Astfel, subiectul colțurilor pare a fi destul de simplu și de înțeles. Toate proprietățile lor sunt ușor de reținut și de dovedit. Rezolvarea problemelor nu este dificilă atâta timp cât unghiurile corespund unei valori numerice. Deja mai departe, când începe studiul păcatului și cosului, va trebui să memorezi multe formule complexe, concluziile și consecințele acestora. Până atunci, vă puteți bucura de puzzle-uri ușoare în care trebuie să găsiți colțuri adiacente.

Unghiuri în care o parte este comună, iar celelalte laturi se află pe aceeași linie dreaptă (în figură, unghiurile 1 și 2 sunt adiacente). Orez. la art. Colțuri adiacente... Marea Enciclopedie Sovietică

COLTURI ADJACENTE- unghiuri care au un vârf comun și o latură comună, iar alte două laturi ale acestora se află pe aceeași linie dreaptă ... Marea Enciclopedie Politehnică

Vezi unghiul... Dicţionar enciclopedic mare

UNGHIURI ADJACENTE, două unghiuri a căror sumă este 180°. Fiecare dintre aceste colțuri îl completează pe celălalt într-un unghi complet... Dicționar enciclopedic științific și tehnic

Vezi Unghi. * * * COLTURI ADJACENTE COLTURI ADJACENTE, vezi Colt (vezi COLT) … Dicţionar enciclopedic

- (Unghiuri adiacente) cele care au un vârf comun și o latură comună. În cea mai mare parte, acest nume se referă la astfel de unghiuri S., dintre care celelalte două laturi se află în direcții opuse ale unei linii drepte trasate prin vârf... Dicţionar Enciclopedic F.A. Brockhaus și I.A. Efron

Vezi unghiul... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

Cele două linii se intersectează, creând o pereche de unghiuri verticale. O pereche este formată din unghiuri A și B, cealaltă din C și D. În geometrie, două unghiuri se numesc verticale dacă sunt create prin intersecția a două ... Wikipedia

O pereche de unghiuri complementare care se completează până la 90 de grade Un unghi complementar este o pereche de unghiuri care se completează până la 90 de grade. Dacă două unghiuri complementare sunt adiacente (adică au un vârf comun și sunt separate doar ... ... Wikipedia

O pereche de unghiuri complementare care se completează până la 90 de grade Unghiurile complementare sunt o pereche de unghiuri care se completează până la 90 de grade. Dacă două unghiuri suplimentare sunt c ... Wikipedia

Cărți

• Despre dovada în geometrie, Fetisov A.I. Odată, chiar la început an scolar A trebuit să aud o conversație între două fete. Cel mai mare dintre ei s-a mutat în clasa a șasea, cel mai mic - în a cincea. Fetele și-au împărtășit impresiile despre lecții,...
• Geometrie. clasa a 7-a. Caiet complex pentru controlul cunoștințelor, I. S. Markova, S. P. Babenko. Manualul prezintă materiale de control și măsurare (KMI) în geometrie pentru efectuarea controlului calitativ curent, tematic și final al cunoștințelor elevilor din clasa a VII-a. Conținutul ghidului...

Două unghiuri sunt numite adiacente dacă au o latură în comun, iar celelalte laturi ale acestor unghiuri sunt raze complementare. În figura 20, unghiurile AOB și BOC sunt adiacente.

Suma unghiurilor adiacente este de 180°

Teorema 1. Suma unghiurilor adiacente este de 180°.

Dovada. Fasciculul OB (vezi Fig. 1) trece între laturile unghiului dezvoltat. De aceea ∠ AOB + ∠ BOC = 180°.

Din teorema 1 rezultă că dacă două unghiuri sunt egale, atunci unghiurile adiacente lor sunt egale.

Unghiurile verticale sunt egale

Două unghiuri se numesc verticale dacă laturile unui unghi sunt raze complementare ale laturilor celuilalt. Unghiurile AOB și COD, BOD și AOC, formate la intersecția a două drepte, sunt verticale (Fig. 2).

Teorema 2. Unghiurile verticale sunt egale.

Dovada. Luați în considerare unghiurile verticale AOB și COD (vezi Fig. 2). Unghiul BOD este adiacent fiecărui unghi AOB și COD. Prin teorema 1, ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Prin urmare, concluzionăm că ∠ AOB = ∠ COD.

Corolarul 1. Un unghi adiacent unui unghi drept este un unghi drept.

Luați în considerare două linii drepte care se intersectează AC și BD (Fig. 3). Ele formează patru colțuri. Dacă unul dintre ele este drept (unghiul 1 în Fig. 3), atunci și celelalte unghiuri sunt drepte (unghiurile 1 și 2, 1 și 4 sunt adiacente, unghiurile 1 și 3 sunt verticale). În acest caz, se spune că aceste drepte se intersectează în unghi drept și se numesc perpendiculare (sau reciproc perpendiculare). Perpendicularitatea dreptelor AC și BD se notează astfel: AC ⊥ BD.

Bisectoarea perpendiculară a unui segment este o dreaptă perpendiculară pe acest segment și care trece prin punctul său de mijloc.

AN - perpendicular pe linie

Luați în considerare o dreaptă a și un punct A care nu se află pe ea (Fig. 4). Conectați punctul A cu un segment de punctul H cu o dreaptă a. Un segment AH se numește perpendiculară trasată din punctul A pe linia a dacă dreptele AN și a sunt perpendiculare. Punctul H se numește baza perpendicularei.

Pătrat de desen

Următoarea teoremă este adevărată.

Teorema 3. Din orice punct care nu se află pe o dreaptă, se poate trasa o perpendiculară pe această dreaptă și, în plus, doar una.

Pentru a desena o perpendiculară de la un punct la o linie dreaptă din desen, se folosește un pătrat de desen (Fig. 5).

Cometariu. Enunțul teoremei constă de obicei din două părți. O parte vorbește despre ceea ce este dat. Această parte se numește condiția teoremei. Cealaltă parte vorbește despre ceea ce trebuie dovedit. Această parte se numește concluzia teoremei. De exemplu, condiția teoremei 2 este unghiurile verticale; concluzie - aceste unghiuri sunt egale.

Orice teoremă poate fi exprimată în detaliu în cuvinte, astfel încât starea sa va începe cu cuvântul „dacă”, iar concluzia cu cuvântul „atunci”. De exemplu, teorema 2 poate fi formulată în detaliu după cum urmează: „Dacă două unghiuri sunt verticale, atunci ele sunt egale”.

Exemplul 1 Unul dintre unghiurile adiacente este de 44°. Cu ce ​​este egal celălalt?

Soluţie. Notați măsura gradului unui alt unghi cu x, apoi conform teoremei 1.
44° + x = 180°.
Rezolvând ecuația rezultată, aflăm că x \u003d 136 °. Prin urmare, celălalt unghi este de 136°.

Exemplul 2 Fie ca unghiul COD din figura 21 să fie de 45°. Care sunt unghiurile AOB și AOC?

Soluţie. Unghiurile COD și AOB sunt verticale, prin urmare, după teorema 1.2, ele sunt egale, adică ∠ AOB = 45°. Unghiul AOC este adiacent unghiului COD, prin urmare, prin teorema 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Exemplul 3 Găsiți unghiuri adiacente dacă unul dintre ele este de 3 ori celălalt.

Soluţie. Notați măsura gradului unghiului mai mic cu x. Atunci gradul de măsurare a unghiului mai mare va fi Zx. Deoarece suma unghiurilor adiacente este de 180° (Teorema 1), atunci x + 3x = 180°, de unde x = 45°.
Deci unghiurile adiacente sunt 45° și 135°.

Exemplul 4 Suma a două unghiuri verticale este de 100°. Aflați valoarea fiecăruia dintre cele patru unghiuri.

Soluţie. Fie că figura 2 corespunde condiției problemei.Unghiurile verticale COD față de AOB sunt egale (Teorema 2), ceea ce înseamnă că gradele lor sunt de asemenea egale. Prin urmare, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (suma lor este 100° după condiție). Unghiul BOD (de asemenea unghiul AOC) este adiacent unghiului COD și, prin urmare, prin teorema 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Intrebarea 1. Ce unghiuri se numesc adiacente?
Răspuns. Două unghiuri sunt numite adiacente dacă au o latură în comun, iar celelalte laturi ale acestor unghiuri sunt semilinii complementare.
În figura 31, colțurile (a 1 b) și (a 2 b) sunt adiacente. Au o latură comună b, iar laturile a 1 și a 2 sunt semilinii suplimentare.

Intrebarea 2. Demonstrați că suma unghiurilor adiacente este de 180°.
Răspuns. Teorema 2.1. Suma unghiurilor adiacente este de 180°.
Dovada. Fie ca unghiul (a 1 b) și unghiul (a 2 b) să primească unghiuri adiacente (vezi Fig. 31). Grinda b trece între laturile a 1 și a 2 ale unghiului dezvoltat. Prin urmare, suma unghiurilor (a 1 b) și (a 2 b) este egală cu unghiul dezvoltat, adică 180 °. Q.E.D.

Întrebarea 3. Demonstrați că dacă două unghiuri sunt egale, atunci unghiurile adiacente lor sunt și ele egale.
Răspuns.

Din teoremă 2.1 Rezultă că dacă două unghiuri sunt egale, atunci unghiurile adiacente lor sunt egale.
Să presupunem că unghiurile (a 1 b) și (c 1 d) sunt egale. Trebuie să demonstrăm că unghiurile (a 2 b) și (c 2 d) sunt de asemenea egale.
Suma unghiurilor adiacente este de 180°. De aici rezultă că a 1 b + a 2 b = 180° și c 1 d + c 2 d = 180°. Prin urmare, a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b și c 2 d \u003d 180 ° - c 1 d. Deoarece unghiurile (a 1 b) și (c 1 d) sunt egale, obținem că a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b \u003d c 2 d. Prin proprietatea tranzitivității semnului egal rezultă că a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Întrebarea 4. Ce unghi se numește drept (acut, obtuz)?
Răspuns. Un unghi egal cu 90° se numește unghi drept.
Un unghi mai mic de 90° se numește unghi ascuțit.
Un unghi mai mare de 90° și mai mic de 180° se numește unghi obtuz.

Întrebarea 5. Demonstrați că un unghi adiacent unui unghi drept este un unghi drept.
Răspuns. Din teorema privind suma unghiurilor adiacente rezultă că unghiul adiacent unui unghi drept este un unghi drept: x + 90° = 180°, x= 180° - 90°, x = 90°.

Întrebarea 6. Care sunt unghiurile verticale?
Răspuns. Două unghiuri se numesc verticale dacă laturile unui unghi sunt semiliniile complementare ale laturilor celuilalt.

Întrebarea 7. Demonstrați că unghiurile verticale sunt egale.
Răspuns. Teorema 2.2. Unghiurile verticale sunt egale.
Dovada. Fie (a 1 b 1) și (a 2 b 2) unghiuri verticale (Fig. 34). Colțul (a 1 b 2) este adiacent colțului (a 1 b 1) și colțului (a 2 b 2). De aici, prin teorema asupra sumei unghiurilor adiacente, concluzionăm că fiecare dintre unghiurile (a 1 b 1) și (a 2 b 2) completează unghiul (a 1 b 2) până la 180 °, adică. unghiurile (a 1 b 1) și (a 2 b 2) sunt egale. Q.E.D.

Întrebarea 8. Demonstrați că dacă la intersecția a două drepte unul dintre unghiuri este un unghi drept, atunci și celelalte trei unghiuri sunt drepte.
Răspuns. Să presupunem că liniile AB și CD se intersectează în punctul O. Să presupunem că unghiul AOD este de 90°. Deoarece suma unghiurilor adiacente este de 180°, obținem că AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. Unghiul COB este vertical față de unghiul AOD, deci sunt egali. Adică unghiul COB = 90°. COA este verticală față de BOD, deci sunt egale. Adică unghiul BOD = 90°. Astfel, toate unghiurile sunt egale cu 90 °, adică sunt în regulă. Q.E.D.

Întrebarea 9. Ce drepte se numesc perpendiculare? Ce semn este folosit pentru a indica perpendicularitatea dreptelor?
Răspuns. Două drepte se numesc perpendiculare dacă se intersectează în unghi drept.
Perpendicularitatea dreptelor se notează cu \(\perp\). Intrarea \(a\perp b\) spune: „Linia a este perpendiculară pe dreapta b”.

Întrebarea 10. Demonstrați că prin orice punct al unei linii se poate trage o dreaptă perpendiculară pe acesta și numai una.
Răspuns. Teorema 2.3. Prin fiecare linie, puteți desena o linie perpendiculară pe ea și numai una.
Dovada. Fie a o linie dată și A - punct dat pe ea. Se notează cu a 1 una dintre semilinii prin dreapta a cu punctul de plecare A (Fig. 38). Lăsați deoparte de semilinia a 1 unghiul (a 1 b 1) egal cu 90 °. Atunci linia care conține raza b 1 va fi perpendiculară pe dreapta a.

Să presupunem că există o altă dreaptă care trece de asemenea prin punctul A și este perpendiculară pe dreapta a. Notăm cu c 1 semilinia acestei drepte situată în același semiplan cu raza b 1 .
Unghiurile (a 1 b 1) și (a 1 c 1), egale cu 90° fiecare, sunt așezate într-un semiplan de la semi-linia a 1 . Dar din semilinia a 1, doar un unghi egal cu 90 ° poate fi pus deoparte în acest semiplan. Prin urmare, nu poate exista o altă dreaptă care să treacă prin punctul A și perpendiculară pe dreapta a. Teorema a fost demonstrată.

Întrebarea 11. Ce este o perpendiculară pe o dreaptă?
Răspuns. Perpendicular pe o dreaptă dată este un segment de dreaptă perpendicular pe cel dat, care are unul dintre capete în punctul lor de intersecție. Acest capăt al segmentului se numește bază perpendicular.

Întrebarea 12. Explicați ce este dovada prin contradicție.
Răspuns. Metoda de demonstrare pe care am folosit-o în teorema 2.3 se numește demonstrație prin contradicție. Acest mod de demonstrare constă în aceea că facem mai întâi o presupunere opusă a ceea ce este afirmată de teoremă. Apoi, raționând, bazându-ne pe axiomele și teoremele dovedite, ajungem la o concluzie care contrazice fie condiția teoremei, fie una dintre axiome, fie teorema demonstrată anterior. Pe această bază, concluzionăm că presupunerea noastră a fost greșită, ceea ce înseamnă că afirmația teoremei este adevărată.

Întrebarea 13. Ce este bisectoarea unghiului?
Răspuns. Bisectoarea unui unghi este o rază care provine de la vârful unghiului, trece între laturile sale și împarte unghiul la jumătate.