Unghiul dintre vectori

Pentru a introduce conceptul de produs încrucișat a doi vectori, trebuie să ne ocupăm mai întâi de un astfel de concept precum unghiul dintre acești vectori.

Să ne dăm doi vectori $\overline(α)$ și $\overline(β)$. Să luăm un punct $O$ din spațiu și să lăsăm deoparte vectorii $\overline(α)=\overline(OA)$ și $\overline(β)=\overline(OB)$ din el, apoi unghiul $AOB $ se va numi unghi între acești vectori (Fig. 1).

Notație: $∠(\overline(α),\overline(β))$

Conceptul de produs încrucișat al vectorilor și formula de găsire

Definiția 1

Produsul vectorial al doi vectori este un vector perpendicular pe ambii vectori dați, iar lungimea lui va fi egală cu produsul lungimilor acestor vectori cu sinusul unghiului dintre acești vectori, iar acest vector cu doi inițiali are același orientare ca sistem de coordonate carteziene.

Notație: $\overline(α)х\overline(β)$.

Matematic arata cam asa:

1. $|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
2. $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
3. $(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ și $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ sunt aceeași orientată (Fig. 2)

Evident, produsul exterior al vectorilor va fi egal cu vectorul zero în două cazuri:

1. Dacă lungimea unuia sau a ambilor vectori este zero.
2. Dacă unghiul dintre acești vectori este egal cu $180^\circ$ sau $0^\circ$ (pentru că în acest caz sinusul este egal cu zero).

Pentru a vedea clar cum se găsește produsul încrucișat al vectorilor, luați în considerare următoarele exemple de soluție.

Exemplul 1

Aflați lungimea vectorului $\overline(δ)$, care va fi rezultatul produsului încrucișat al vectorilor, cu coordonatele $\overline(α)=(0,4,0)$ și $\overline(β) =(3,0,0 )$.

Soluţie.

Să descriem acești vectori în spațiul de coordonate carteziene (Fig. 3):

Figura 3. Vectorii în spațiul de coordonate carteziene. Autor24 - schimb online de lucrări ale studenților

Vedem că acești vectori se află pe axele $Ox$ și, respectiv, $Oy$. Prin urmare, unghiul dintre ele va fi egal cu $90^\circ$. Să aflăm lungimile acestor vectori:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Apoi, prin Definiția 1, obținem modulul $|\overline(δ)|$

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Răspuns: $12$.

Calculul produsului încrucișat prin coordonatele vectorilor

Definiția 1 implică imediat o modalitate de a găsi produsul încrucișat pentru doi vectori. Deoarece un vector, pe lângă o valoare, are și o direcție, este imposibil să-l găsim doar folosind o valoare scalară. Dar, pe lângă aceasta, există o altă modalitate de a găsi vectorii pe care ni le-au dat folosind coordonatele.

Să ni se dea vectorii $\overline(α)$ și $\overline(β)$, care vor avea coordonatele $(α_1,α_2,α_3)$ și, respectiv, $(β_1,β_2,β_3)$. Apoi vectorul produsului încrucișat (și anume coordonatele sale) poate fi găsit prin următoarea formulă:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

În caz contrar, extinzând determinantul, obținem următoarele coordonate

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Exemplul 2

Găsiți vectorul produsului încrucișat al vectorilor coliniari $\overline(α)$ și $\overline(β)$ cu coordonatele $(0,3,3)$ și $(-1,2,6)$.

Soluţie.

Să folosim formula de mai sus. obține

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k) )=(12,-3,3)$

Răspuns: $(12,-3,3)$.

Proprietăți ale produsului încrucișat al vectorilor

Pentru trei vectori amestecați arbitrar $\overline(α)$, $\overline(β)$ și $\overline(γ)$, precum și $r∈R$, sunt valabile următoarele proprietăți:

Exemplul 3

Găsiți aria unui paralelogram ale cărui vârfuri au coordonatele $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ și $(3,8,0) $.

Soluţie.

Mai întâi, desenați acest paralelogram în spațiul de coordonate (Fig. 5):

Figura 5. Paralelogram în spațiul de coordonate. Autor24 - schimb online de lucrări ale studenților

Vedem că cele două laturi ale acestui paralelogram sunt construite folosind vectori coliniari cu coordonatele $\overline(α)=(3,0,0)$ și $\overline(β)=(0,8,0)$. Folosind a patra proprietate, obținem:

$S=|\overline(α)x\overline(β)|$

Găsiți vectorul $\overline(α)х\overline(β)$:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

prin urmare

$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$

Înainte de a da conceptul de produs vectorial, să ne întoarcem la întrebarea orientării triplului ordonat al vectorilor a → , b → , c → în spațiul tridimensional.

Pentru început, să lăsăm deoparte vectorii a → , b → , c → dintr-un punct. Orientarea triplei a → , b → , c → este dreapta sau stânga, în funcție de direcția vectorului c → . Din direcția în care se face cea mai scurtă întoarcere de la vectorul a → la b → de la capătul vectorului c → , se va determina forma triplul a → , b → , c →.

Dacă cea mai scurtă rotație este în sens invers acelor de ceasornic, atunci triplul vectorilor a → , b → , c → se numește dreapta daca in sensul acelor de ceasornic - stânga.

În continuare, luăm doi vectori necoliniari a → și b → . Să amânăm atunci vectorii A B → = a → și A C → = b → din punctul A. Să construim un vector A D → = c → , care este simultan perpendicular atât pe A B → cât și pe A C → . Astfel, atunci când construim vectorul A D → = c →, putem face două lucruri, dându-i fie o direcție, fie invers (vezi ilustrația).

Trio-ul ordonat de vectori a → , b → , c → poate fi, după cum am aflat, dreapta sau stânga în funcție de direcția vectorului.

Din cele de mai sus, putem introduce definiția unui produs vectorial. Această definiție este dat pentru doi vectori definiți într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional.

Definiția 1

Produsul vectorial al doi vectori a → și b → vom numi un astfel de vector dat într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional astfel încât:

• dacă vectorii a → și b → sunt coliniari, va fi zero;
• va fi perpendicular atât pe vectorul a →​​ cât și pe vectorul b → adică. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• lungimea sa este determinată de formula: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• tripletul vectorilor a → , b → , c → are aceeași orientare ca și sistemul de coordonate dat.

Produsul încrucișat al vectorilor a → și b → are următoarea notație: a → × b → .

Coordonatele încrucișate ale produsului

Deoarece orice vector are anumite coordonate în sistemul de coordonate, este posibil să introduceți o a doua definiție a produsului încrucișat, care vă va permite să găsiți coordonatele sale din coordonatele date ale vectorilor.

Definiția 2

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional produs vectorial al doi vectori a → = (a x ; a y ; a z) și b → = (b x ; b y ; b z) numiți vectorul c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , unde i → , j → , k → sunt vectori de coordonate.

Produsul vectorial poate fi reprezentat ca determinant matrice pătrată de ordinul trei, unde prima linie sunt vectorii i → , j → , k → , a doua linie conține coordonatele vectorului a → , iar a treia linie conține coordonatele vectorului b → într-o coordonată dreptunghiulară dată sistem, acest determinant de matrice arată astfel: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Expandând acest determinant peste elementele primului rând, obținem egalitatea: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = a → × b → = ( a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Proprietăți încrucișate ale produsului

Se știe că produsul vectorial în coordonate este reprezentat ca determinant al matricei c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , apoi pe bază proprietățile determinante ale matricei următoarele proprietăți ale produsului vectorial:

1. anticomutatie a → × b → = - b → × a → ;
2. distributivitatea a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → sau a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. asociativitatea λ a → × b → = λ a → × b → sau a → × (λ b →) = λ a → × b → , unde λ este un număr real arbitrar.

Aceste proprietăți nu au dovezi complicate.

De exemplu, putem demonstra proprietatea de anticomutativitate a unui produs vectorial.

Dovada anticomutativității

Prin definiție, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z și b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Și dacă două rânduri ale matricei sunt schimbate, atunci valoarea determinantului matricei ar trebui să se schimbe la opus, prin urmare, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , care și demonstrează anticomutativitatea produsului vectorial.

Produs vectorial - Exemple și soluții

În cele mai multe cazuri, există trei tipuri de sarcini.

În problemele de primul tip, lungimile a doi vectori și unghiul dintre ei sunt de obicei date, dar trebuie să găsiți lungimea produsului încrucișat. În acest caz, utilizați următoarea formulă c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Exemplul 1

Aflați lungimea produsului încrucișat al vectorilor a → și b → dacă a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 este cunoscută.

Soluţie

Folosind definiția lungimii produsului vectorial al vectorilor a → și b →, rezolvăm această problemă: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Răspuns: 15 2 2 .

Sarcinile de al doilea tip au o legătură cu coordonatele vectorilor, conțin un produs vectorial, lungimea acestuia etc. sunt căutate prin coordonatele cunoscute ale vectorilor dați a → = (a x ; a y ; a z) și b → = (b x ; b y ; b z) .

Pentru acest tip de sarcină, puteți rezolva o mulțime de opțiuni pentru sarcini. De exemplu, nu coordonatele vectorilor a → și b → , ci expansiunile lor în vectori de coordonate de forma b → = b x i → + b y j → + b z k → și c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , sau vectorii a → și b → pot fi dați de coordonatele lor punctele de început și de sfârșit.

Luați în considerare următoarele exemple.

Exemplul 2

Doi vectori sunt stabiliți într-un sistem de coordonate dreptunghiular a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Găsiți produsul lor vectorial.

Soluţie

Conform celei de-a doua definiții, găsim produsul încrucișat a doi vectori în coordonate date: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Dacă scriem produsul încrucișat în termenii determinantului matricei, atunci soluția acest exemplu arată astfel: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Răspuns: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Exemplul 3

Aflați lungimea produsului încrucișat al vectorilor i → - j → și i → + j → + k → , unde i → , j → , k → - orte ale unui sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare.

Soluţie

Mai întâi, să găsim coordonatele produsului vectorial dat i → - j → × i → + j → + k → în sistemul de coordonate dreptunghiular dat.

Se știe că vectorii i → - j → și i → + j → + k → au coordonatele (1 ; - 1 ; 0) și respectiv (1 ; 1 ; 1). Aflați lungimea produsului vectorial folosind determinantul matricei, atunci avem i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Prin urmare, produsul vectorial i → - j → × i → + j → + k → are coordonate (- 1 ; - 1 ; 2) în sistemul de coordonate dat.

Găsim lungimea produsului vectorial prin formula (vezi secțiunea privind găsirea lungimii vectorului): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Răspuns: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Exemplul 4

Coordonatele a trei puncte A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) ​​​​, C (1 , 4 , 2) sunt date într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare. Găsiți un vector perpendicular pe A B → și A C → în același timp.

Soluţie

Vectorii A B → și A C → au următoarele coordonate (- 1 ; 2 ; 2) și respectiv (0 ; 4 ; 1). După ce am găsit produsul vectorial al vectorilor A B → și A C → , este evident că acesta este un vector perpendicular prin definiție atât pe A B → cât și pe A C → , adică este soluția problemei noastre. Găsiți-l A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Răspuns: - 6 i → + j → - 4 k → . este unul dintre vectorii perpendiculari.

Problemele de al treilea tip sunt concentrate pe utilizarea proprietăților produsului vectorial al vectorilor. După aplicarea acesteia, vom obține o soluție la problema dată.

Exemplul 5

Vectorii a → și b → sunt perpendiculari și lungimile lor sunt 3 și respectiv 4. Aflați lungimea produsului încrucișat 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Soluţie

Prin proprietatea de distributivitate a produsului vectorial, putem scrie 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Prin proprietatea asociativității, scoatem coeficienții numerici dincolo de semnul produselor vectoriale din ultima expresie: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Produsele vectoriale a → × a → și b → × b → sunt egale cu 0, deoarece a → × a → = a → a → sin 0 = 0 și b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , atunci 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Din anticomutativitatea produsului vectorial rezultă - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Folosind proprietățile produsului vectorial, obținem egalitatea 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Prin condiție, vectorii a → și b → sunt perpendiculari, adică unghiul dintre ei este egal cu π 2 . Acum rămâne doar să înlocuim valorile găsite în formulele corespunzătoare: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Răspuns: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Lungimea produsului încrucișat al vectorilor prin definiție este a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Deoarece este deja cunoscut (de la curs şcolar) că aria unui triunghi este jumătate din produsul lungimilor celor două laturi ale sale înmulțit cu sinusul unghiului dintre laturile date. Prin urmare, lungimea produsului vectorial este egală cu aria unui paralelogram - un triunghi dublat, și anume produsul laturilor sub formă de vectori a → și b → , îndepărtați dintr-un punct, de sinus. a unghiului dintre ele sin ∠ a → , b → .

Asta e sens geometric produs vectorial.

Semnificația fizică a produsului vectorial

În mecanică, una dintre ramurile fizicii, datorită produsului vectorial, puteți determina momentul de forță relativ la un punct din spațiu.

Definiția 3

Sub momentul forței F → , aplicat punctului B , relativ la punctul A vom înțelege următorul produs vectorial A B → × F → .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

În această lecție, ne vom uita la alte două operații cu vectori: produs încrucișat al vectorilorși produs mixt al vectorilor (link imediat pentru cei care au nevoie). E în regulă, se întâmplă uneori ca pentru fericire deplină, pe lângă produs scalar al vectorilor, este nevoie din ce în ce mai mult. Așa este dependența de vectori. Se poate avea impresia că intrăm în jungla geometriei analitice. Nu este adevarat. În această secțiune a matematicii superioare, în general există puține lemne de foc, cu excepția poate suficient pentru Pinocchio. De fapt, materialul este foarte comun și simplu - cu greu mai dificil decât același produs scalar, chiar și vor fi mai puține sarcini tipice. Principalul lucru în geometria analitică, așa cum mulți vor vedea sau au văzut deja, este A NU GREȘI CALCULELE. Repetați ca o vrajă și veți fi fericit =)

Dacă vectorii scânteie undeva departe, ca fulgerul la orizont, nu contează, începe cu lecția Vectori pentru manechine pentru a restaura sau a răscumpăra cunostinte de baza despre vectori. Cititorii mai pregătiți se pot familiariza cu informațiile în mod selectiv, am încercat să colectez cea mai completă colecție de exemple care se găsesc adesea în munca practica

Ce te va face fericit? Când eram mică, puteam jongla cu două și chiar trei bile. A mers bine. Acum nu este nevoie să jonglam deloc, deoarece vom lua în considerare numai vectori spațiali, iar vectorii plati cu două coordonate vor fi lăsați afară. De ce? Așa s-au născut aceste acțiuni - vectorul și produsul mixt al vectorilor sunt definite și funcționează în spațiul tridimensional. Deja mai ușor!

În această operație, în același mod ca și în produsul scalar, doi vectori. Să fie litere nepieritoare.

Acțiunea în sine notatîn felul următor: . Există și alte opțiuni, dar sunt obișnuit să desemnez produsul încrucișat al vectorilor în acest fel, între paranteze drepte cu o cruce.

Și imediat întrebare: dacă în produs scalar al vectorilor sunt implicați doi vectori și aici se înmulțesc și doi vectori, atunci Care este diferența? O diferență clară, în primul rând, în REZULTAT:

Rezultatul produsului scalar al vectorilor este un NUMĂR:

Rezultatul produsului încrucișat al vectorilor este un VECTOR: , adică înmulțim vectorii și obținem din nou un vector. Club închis. De fapt, de aici și numele operațiunii. În diverse literaturi educaționale, denumirile pot varia, de asemenea, voi folosi litera .

Definiţia cross product

Mai întâi va fi o definiție cu o imagine, apoi comentarii.

Definiție: produs încrucișat necoliniare vectori, luate în această ordine, se numește VECTOR, lungime care este numeric egală cu aria paralelogramului, construit pe acești vectori; vector ortogonală la vectori, și este îndreptată astfel încât baza să aibă o orientare corectă:

Analizăm definiția după oase, sunt o mulțime de lucruri interesante!

Deci, putem evidenția următoarele puncte semnificative:

1) Vectori sursă, indicați prin săgeți roșii, prin definiție nu coliniare. Va fi potrivit să luăm în considerare cazul vectorilor coliniari puțin mai târziu.

2) Vectorii luați într-o ordine strictă: – „a” se înmulțește cu „fi”, nu „fi” la „a”. Rezultatul înmulțirii vectoriale este VECTOR , care este notat cu albastru. Dacă vectorii sunt înmulțiți în ordine inversă, atunci obținem un vector egal în lungime și opus în direcție (culoare purpurie). Adică egalitatea .

3) Acum să ne familiarizăm cu semnificația geometrică a produsului vectorial. Acesta este un punct foarte important! LUNGIMEA vectorului albastru (și, prin urmare, a vectorului purpuriu ) este numeric egală cu AREA paralelogramului construit pe vectorii . În figură, acest paralelogram este umbrit în negru.

Notă : desenul este schematic și, desigur, lungimea nominală a produsului încrucișat nu este egală cu aria paralelogramului.

Reamintim una dintre formulele geometrice: aria unui paralelogram este egală cu produsul laturilor adiacente și sinusul unghiului dintre ele. Prin urmare, pe baza celor de mai sus, formula pentru calcularea LUNGIMEI unui produs vectorial este valabilă:

Subliniez că în formulă vorbim despre LUNGIMEA vectorului, și nu despre vectorul în sine. Ce sens practic? Și semnificația este de așa natură încât în ​​problemele de geometrie analitică, aria unui paralelogram este adesea găsită prin conceptul de produs vectorial:

Obținem a doua formulă importantă. Diagonala paralelogramului (linia punctată roșie) îl împarte în două triunghiuri egale. Prin urmare, aria unui triunghi construit pe vectori (umbrire roșie) poate fi găsită prin formula:

4) Un fapt la fel de important este că vectorul este ortogonal cu vectorii , adică . Desigur, vectorul direcționat opus (săgeata purpurie) este, de asemenea, ortogonal cu vectorii originali.

5) Vectorul este îndreptat astfel încât bază Are dreapta orientare. Într-o lecție despre trecerea la o nouă bază Am vorbit în detaliu despre orientarea planului, iar acum ne vom da seama care este orientarea spațiului. Îți voi explica pe degete mana dreapta. Combinați mental degetul arătător cu vector şi degetul mijlociu cu vector . Degetul inelar și degetul mic apăsați în palmă. Ca urmare deget mare- produsul vectorial va căuta în sus. Aceasta este baza orientată spre dreapta (este în figură). Acum schimbați vectorii ( degetele arătător și mijlociu) în unele locuri, ca rezultat, degetul mare se va întoarce, iar produsul vectorial va privi deja în jos. Aceasta este, de asemenea, o bază orientată spre dreapta. Poate aveți o întrebare: ce bază are o orientare spre stânga? „Atribuiți” aceleași degete mâna stângă vectori și obțineți baza stângă și orientarea spațiului stâng (în acest caz, degetul mare va fi situat în direcția vectorului inferior). Figurat vorbind, aceste baze „întorc” sau orientează spațiul în direcții diferite. Și acest concept nu ar trebui considerat ceva exagerat sau abstract - de exemplu, cea mai obișnuită oglindă schimbă orientarea spațiului și, dacă „trageți obiectul reflectat din oglindă”, atunci, în general, nu va fi posibil să combinați-l cu „originalul”. Apropo, aduceți trei degete la oglindă și analizați reflexia ;-)

... cât de bine este despre care știi acum orientat spre dreapta si stanga baze, deoarece afirmațiile unor lectori despre schimbarea de orientare sunt groaznice =)

Produs vectorial al vectorilor coliniari

Definiția a fost elaborată în detaliu, rămâne de aflat ce se întâmplă când vectorii sunt coliniari. Dacă vectorii sunt coliniari, atunci ei pot fi plasați pe o linie dreaptă și paralelogramul nostru se „pliază” într-o singură linie dreaptă. Zona de astfel de, așa cum spun matematicienii, degenerat paralelogramul este zero. Același lucru rezultă din formula - sinusul lui zero sau 180 de grade este egal cu zero, ceea ce înseamnă că aria este zero

Astfel, dacă , atunci și . Vă rugăm să rețineți că produsul încrucișat în sine este egal cu vectorul zero, dar în practică acest lucru este adesea neglijat și scris că este, de asemenea, egal cu zero.

caz special este produsul încrucișat al unui vector și al lui însuși:

Folosind produsul încrucișat, puteți verifica coliniaritatea vectorilor tridimensionali și vom analiza și această problemă, printre altele.

Pentru a rezolva exemple practice, poate fi necesar tabel trigonometric pentru a afla valorile sinusurilor din ea.

Ei bine, hai să pornim un foc:

Exemplul 1

a) Aflați lungimea produsului vectorial al vectorilor dacă

b) Aflați aria unui paralelogram construit pe vectori dacă

Soluţie: Nu, aceasta nu este o greșeală de tipar, am făcut în mod intenționat datele inițiale din elementele de stare la fel. Pentru că designul soluțiilor va fi diferit!

a) După condiție, se cere să se constate lungime vector (produs vectorial). Conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

Deoarece a fost întrebat despre lungime, atunci în răspuns indicăm dimensiunea - unități.

b) După condiţie se cere să se constate pătrat paralelogram construit pe vectori . Aria acestui paralelogram este numeric egală cu lungimea produsului încrucișat:

Răspuns:

Vă rugăm să rețineți că în răspunsul despre produsul vectorial nu se vorbește deloc, despre care am fost întrebați zona figurii, respectiv, dimensiunea este unități pătrate.

Ne uităm mereu la CE trebuie găsit de condiție și, pe baza acesteia, formulăm clar Răspuns. Poate părea literalism, dar există destui literaliști printre profesori, iar sarcina cu șanse mari va fi returnată pentru revizuire. Deși aceasta nu este o problemă deosebit de tensionată - dacă răspunsul este incorect, atunci avem impresia că persoana nu înțelege lucruri simple și/sau nu a aprofundat esența sarcinii. Acest moment trebuie ținut mereu sub control, rezolvând orice problemă la matematică superioară, dar și la alte materii.

Unde s-a dus litera mare „en”? În principiu, ar putea fi în plus lipit de soluție, dar pentru a scurta înregistrarea, nu am făcut-o. Sper că toată lumea înțelege asta și este denumirea aceluiași lucru.

Un exemplu popular pentru o soluție do-it-yourself:

Exemplul 2

Găsiți aria unui triunghi construit pe vectori dacă

Formula pentru găsirea ariei unui triunghi prin produsul vectorial este dată în comentariile la definiție. Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

În practică, sarcina este într-adevăr foarte comună, triunghiurile pot fi în general torturate.

Pentru a rezolva alte probleme, avem nevoie de:

Proprietăți ale produsului încrucișat al vectorilor

Am luat în considerare deja unele proprietăți ale produsului vectorial, totuși, le voi include în această listă.

Pentru vectorii arbitrari și un număr arbitrar, următoarele proprietăți sunt adevărate:

1) În alte surse de informații, acest articol nu este de obicei distins în proprietăți, dar este foarte important în termeni practici. Asa ca lasa sa fie.

2) - mai sus se discută și proprietatea, uneori se numește anticomutativitatea. Cu alte cuvinte, ordinea vectorilor contează.

3) - combinație sau asociativ legile produselor vectoriale. Constantele sunt ușor scoase din limitele produsului vectorial. Serios, ce fac ei acolo?

4) - distributie sau distributie legile produselor vectoriale. Nici cu deschiderea consolelor nu sunt probleme.

Ca o demonstrație, luați în considerare un exemplu scurt:

Exemplul 3

Găsiți dacă

Soluţie: Prin condiție, este din nou necesar să se găsească lungimea produsului vectorial. Să ne pictăm miniatura:

(1) Conform legilor asociative, scoatem constantele dincolo de limitele produsului vectorial.

(2) Scoatem constanta din modul, în timp ce modulul „mâncă” semnul minus. Lungimea nu poate fi negativă.

(3) Ceea ce urmează este clar.

Răspuns:

Este timpul să aruncăm lemne pe foc:

Exemplul 4

Calculați aria unui triunghi construit pe vectori dacă

Soluţie: Găsiți aria unui triunghi folosind formula . Problema este că vectorii „ce” și „te” sunt ei înșiși reprezentați ca sume de vectori. Algoritmul de aici este standard și amintește oarecum de exemplele nr. 3 și 4 ale lecției. Produsul punctual al vectorilor. Să o împărțim în trei pași pentru claritate:

1) La primul pas, exprimăm produsul vectorial prin produsul vectorial, de fapt, exprimă vectorul în termeni de vector. Nu există încă niciun cuvânt despre lungime!

(1) Înlocuim expresiile vectorilor .

(2) Folosind legi distributive, deschideți parantezele după regula înmulțirii polinoamelor.

(3) Folosind legile asociative, scoatem toate constantele dincolo de produsele vectoriale. Cu puțină experiență, acțiunile 2 și 3 pot fi efectuate simultan.

(4) Primul și ultimul termen sunt egali cu zero (vector zero) datorită proprietății plăcute . În al doilea termen, folosim proprietatea de anticomutativitate a produsului vectorial:

(5) Prezentăm termeni similari.

Ca rezultat, vectorul s-a dovedit a fi exprimat printr-un vector, care era ceea ce trebuia să fie realizat:

2) La a doua etapă, găsim lungimea produsului vectorial de care avem nevoie. Această acțiune amintește de exemplul 3:

3) Găsiți aria triunghiului dorit:

Pașii 2-3 ai soluției ar putea fi aranjați într-o singură linie.

Răspuns:

Problema luată în considerare este destul de comună în munca de control, iată un exemplu pentru o soluție de tip do-it-yourself:

Exemplul 5

Găsiți dacă

Soluție scurtă și răspuns la sfârșitul lecției. Să vedem cât de atent ai fost când ai studiat exemplele anterioare ;-)

Produsul încrucișat al vectorilor în coordonate

Formula este foarte simplă: scriem vectorii de coordonate în linia de sus a determinantului, „împachetăm” coordonatele vectorilor în a doua și a treia linie și punem în ordine strictă- mai întâi, coordonatele vectorului „ve”, apoi coordonatele vectorului „dublu-ve”. Dacă vectorii trebuie înmulțiți într-o ordine diferită, atunci liniile ar trebui, de asemenea, schimbate:

Exemplul 10

Verificați dacă următorii vectori spațiali sunt coliniari:
A)
b)

Soluţie: Testul se bazează pe una dintre afirmațiile din această lecție: dacă vectorii sunt coliniari, atunci produsul lor încrucișat este zero (vector zero): .

a) Găsiți produsul vectorial:

Deci vectorii nu sunt coliniari.

b) Găsiți produsul vectorial:

Răspuns: a) nu este coliniar, b)

Iată, probabil, toate informațiile de bază despre produsul vectorial al vectorilor.

Aceasta sectiune nu va fi foarte mare, deoarece există puține probleme în care se utilizează produsul mixt al vectorilor. De fapt, totul se va baza pe definiție, sens geometric și câteva formule de lucru.

Produsul mixt al vectorilor este produsul a trei vectori:

Așa s-au aliniat ca un tren și așteaptă, nu pot aștepta până vor fi calculate.

În primul rând, definiția și imaginea:

Definiție: produs amestecat necoplanare vectori, luate în această ordine, se numește volumul paralelipipedului, construit pe acești vectori, echipat cu un semn „+” dacă baza este dreapta și un semn „-” dacă baza este stângă.

Hai să facem desenul. Liniile invizibile pentru noi sunt trasate de o linie punctată:

Să ne aprofundăm în definiție:

2) Vectorii luați într-o anumită ordine, adică permutarea vectorilor în produs, după cum ați putea ghici, nu este fără consecințe.

3) Înainte de a comenta semnificația geometrică, voi remarca faptul evident: produsul mixt al vectorilor este un NUMĂR: . În literatura educațională, designul poate fi oarecum diferit, am folosit pentru a desemna un produs mixt prin, iar rezultatul calculelor cu litera „pe”.

Prin definitie produsul amestecat este volumul paralelipipedului, construit pe vectori (figura este desenată cu vectori roșii și linii negre). Adică, numărul este egal cu volumul paralelipipedului dat.

Notă : Desenul este schematic.

4) Să nu ne mai chinuim cu conceptul de orientare a bazei și a spațiului. Semnificația părții finale este că se poate adăuga un semn minus la volum. Cu cuvinte simple, produsul amestecat poate fi negativ: .

Formula de calcul a volumului unui paralelipiped construit pe vectori rezultă direct din definiție.

Vom folosi tabelul de produse încrucișate vectorii i,j Regatul Unit:

dacă direcția căii celei mai scurte de la primul vector la al doilea coincide cu direcția săgeții, atunci produsul este egal cu al treilea vector, dacă nu se potrivește, al treilea vector este luat cu semnul minus.

Fie dați doi vectori a=axi +ayj +azk și b =bxi +byj +bzk. Să găsim produsul vectorial al acestor vectori înmulțindu-i ca polinoame (în funcție de proprietățile produsului vectorial):
Formula rezultată poate fi scrisă și mai scurt: întrucât partea dreaptă a egalității (7.1) corespunde expansiunii determinantului de ordinul trei în ceea ce privește elementele primului rând.Egalitatea (7.2) este ușor de reținut.

7.4. Unele aplicații ale produsului încrucișat

Stabilirea coliniarității vectorilor.
Aflarea ariei unui paralelogram și a unui triunghi

Conform definiției produsului încrucișat al vectorilor a și b | a xb | = |a| * |b |sing , adică S perechi = |a x b |. Și, prin urmare, DS \u003d 1/2 | a x b |.

Determinarea momentului de forță în jurul unui punct

Fie aplicată o forță F = AB în punctul A și fie O oarecare punct din spațiu Din fizică se știe că momentul forței F față de punctul O este vectorul M, care trece prin punctul O și:

1) perpendicular pe planul care trece prin punctele O, A, B;

2) este numeric egal cu produsul forței și umărul 3) formează un triplu drept cu vectorii OA și A B.

Deci, M=OA x F. Aflarea vitezei liniare de rotație

Viteza v punctul M corp solid, care se rotește cu o viteză unghiulară w în jurul unei axe fixe, este determinată de formula Euler v \u003d w x r, unde r \u003d OM, unde O este un punct fix al axei (vezi Fig. 21).

Unghiul dintre vectori

Din definiția produsului scalar a doi vectori rezultă că, dacă vectorii și sunt dați de coordonatele și , atunci formula (1.6.3.1) poate fi scrisă ca:

Aria unui paralelogram construit pe vectori

Sarcinile de măsurare a lungimii segmentelor, distanțelor dintre puncte, suprafețelor și volumelor corpurilor aparțin unei clase importante de probleme care se numesc în mod obișnuit metrice. În secțiunea anterioară, am învățat cum să folosim algebra vectorială pentru a calcula lungimile liniilor și distanțele dintre puncte. Acum vom găsi modalități de a calcula suprafețele și volumele. Algebra vectorială ne permite să stabilim și să rezolvăm probleme similare numai pentru cazuri destul de simple. Sunt necesare metode de analiză pentru a calcula suprafețele arbitrare și volumele corpurilor arbitrare. Dar metodele de analiză, la rândul lor, se bazează în esență pe rezultatele pe care le oferă algebra vectorială.

Pentru a rezolva problema, am ales o cale destul de lungă și dificilă, sugerată de Gilbert Strang, asociată cu numeroase transformări geometrice și calcule algebrice minuțioase. Am ales acest drum în ciuda faptului că există și alte abordări care duc la obiectiv mai repede pentru că ni s-a părut direct și firesc. Calea directă în știință nu este întotdeauna cea mai ușoară. Oamenii sofisticați știu despre acest lucru și preferă ocolurile, dar dacă nu încerci să mergi drept, atunci poți rămâne ignorant de unele dintre subtilitățile teoriei.

Pe calea pe care am ales-o, apar în mod natural concepte precum orientarea spațiului, determinantul, vectorul și produsele mixte. Mai ales clar, ca la microscop, se manifestă semnificația geometrică a determinantului și proprietățile acestuia. În mod tradițional, conceptul de determinant este introdus în teoria sistemelor de ecuații liniare, dar pentru rezolvarea unor astfel de sisteme determinantul este aproape inutil. Semnificația geometrică a determinantului este esențială pentru algebra vectorială și tensorială.

Acum să avem răbdare și să începem cu cele mai simple și mai înțelese cazuri.

1. Vectorii sunt orientați de-a lungul axelor de coordonate ale sistemului de coordonate carteziene.

Fie vectorul a să fie îndreptat de-a lungul axei x, iar vectorul b de-a lungul axei y. Pe fig. 21 prezintă patru opțiuni diferite pentru aranjarea vectorilor în raport cu axele de coordonate.

Vectorii a și b sub formă de coordonate: unde a și b reprezintă modulul vectorului corespunzător și este semnul coordonatei vectorului.

Deoarece vectorii sunt ortogonali, paralelogramele construite pe ei sunt dreptunghiuri. Zonele lor sunt pur și simplu produsul laturilor lor. Să exprimăm aceste produse în termeni de coordonatele vectorilor pentru toate cele patru cazuri.

Toate cele patru formule pentru calcularea ariei sunt aceleași, cu excepția semnului. Ai putea doar să închizi ochii și să scrii, ceea ce este în toate cazurile. Cu toate acestea, o altă posibilitate se dovedește a fi mai productivă: de a da semnului un sens. Să ne uităm îndeaproape la Fig. 21. În cazurile în care rotirea vectorului la vector se realizează în sensul acelor de ceasornic. În acele cazuri în care suntem forțați să folosim semnul minus în formulă, rotația vectorului la vector se efectuează în sens invers acelor de ceasornic. Această observație face posibilă relația semnului din expresiile pentru zonă de orientarea planului.

Aria dreptunghiului construit pe vectorii a și b cu semnul plus sau minus va fi considerată aria orientată, în timp ce semnul va fi asociat cu orientarea dată de vectori. Pentru o zonă orientată, putem scrie o singură formulă pentru toate cele patru cazuri luate în considerare: . Se introduce semnul liniei „vectorale” deasupra literei S pentru a distinge zona obișnuită, care este întotdeauna pozitivă, de cea orientată.

În acest caz, este evident că aceiași vectori, luați într-o ordine diferită, determină orientarea opusă, deci, . Doar că zona va continua să fie notată cu litera S și, prin urmare, .

Acum că, la ceea ce pare a fi prețul extinderii conceptului de zonă, am obținut o expresie generală, cititorul atent va spune că nu am luat în considerare toate posibilitățile. Într-adevăr, în plus față de cele patru opțiuni pentru localizarea vectorilor prezentati în Fig. 21, mai sunt patru (Fig. 22) Să scriem din nou vectorii și sub forma de coordonate: Să exprimăm ariile în termeni de coordonatele vectorilor. patru.. Semnele din noile expresii nu s-au schimbat, dar, din păcate, orientarea s-a schimbat în raport cu cele patru cazuri anterioare. Prin urmare, pentru zona orientată, suntem forțați să scriem: . Deși speranța unei simplități ingenioase nu era justificată, totuși, putem scrie o expresie generală pentru toate cele patru cazuri.

Adică, aria orientată a unui dreptunghi construit pe vectori, ca și pe laturi, este egală cu determinantul, compus din coordonatele vectorilor, ca din coloane.

Considerăm că cititorul este familiarizat cu teoria determinanților, prin urmare, nu ne oprim asupra acestui concept în detaliu. Cu toate acestea, oferim definițiile adecvate pentru a schimba accentul și a arăta că acest concept poate fi ajuns din considerații pur geometrice. , , - forme diferite de desemnare pentru același concept - determinantul, compus din coordonatele vectorilor, ca din coloane. Egalitatea poate fi luată ca definiție pentru cazul bidimensional.

2. Vectorul b nu este paralel cu axa x; vectorul a/ este un vector arbitrar.

Pentru a reduce acest caz la cele deja cunoscute, avem în vedere câteva transformări geometrice ale unui paralelogram construit pe vectori și (Fig. . produse mixte ale vectorilor și proprietățile sale).