Cu un segment de lungime unitară, matematicienii antici știau deja: cunoșteau, de exemplu, incomensurabilitatea diagonalei și a laturii pătratului, ceea ce este echivalent cu iraționalitatea numărului.

Iraționale sunt:

Exemple de dovezi de iraționalitate

Rădăcina lui 2

Presupunem contrariul: este rațional, adică este reprezentat ca o fracție ireductibilă, unde și sunt numere întregi. Să punem la pătrat presupusa egalitate:

Din aceasta rezultă că chiar, deci, chiar și . Lasă unde întregul. Apoi

Prin urmare, chiar, deci, chiar și . Am obținut că și suntem pari, ceea ce contrazice ireductibilitatea fracției . Deci presupunerea inițială a fost greșită și - ir Numar rational.

Logaritmul binar al numărului 3

Presupunem contrariul: este rațional, adică este reprezentat ca o fracție, unde și sunt numere întregi. Din moment ce , și poate fi considerat pozitiv. Apoi

Dar e clar, e ciudat. Primim o contradicție.

e

Poveste

Conceptul de numere iraționale a fost adoptat implicit de matematicienii indieni în secolul al VII-lea î.Hr., când Manawa (c. 750 î.Hr. - c. 690 î.Hr.) a constatat că rădăcini pătrate unele numere naturale, cum ar fi 2 și 61, nu pot fi exprimate în mod explicit.

Prima dovadă a existenței numerelor iraționale este de obicei atribuită lui Hippasus din Metapontus (c. 500 î.Hr.), un pitagoreean care a găsit această dovadă studiind lungimile laturilor unei pentagrame. Pe vremea pitagoreenilor, se credea că există o singură unitate de lungime, suficient de mică și indivizibilă, care este un număr întreg de ori inclus în orice segment. Cu toate acestea, Hippasus a susținut că nu există o singură unitate de lungime, deoarece presupunerea existenței sale duce la o contradicție. El a arătat că, dacă ipotenuza unui triunghi dreptunghic isoscel conține un număr întreg de segmente unitare, atunci acest număr trebuie să fie atât par, cât și impar în același timp. Dovada arăta astfel:

• Raportul dintre lungimea ipotenuzei și lungimea catetei unui triunghi dreptunghic isoscel poate fi exprimat ca A:b, Unde Ași b selectat ca cel mai mic posibil.
• Conform teoremei lui Pitagora: A² = 2 b².
• pentru că A² chiar, A trebuie să fie par (deoarece pătratul unui număr impar ar fi impar).
• Pentru că A:b ireductibil b trebuie să fie ciudat.
• pentru că A chiar, denotă A = 2y.
• Apoi A² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², prin urmare b este chiar, atunci b chiar.
• S-a dovedit însă că b ciudat. Contradicţie.

Matematicienii greci au numit acest raport de cantități incomensurabile alogos(inexprimabil), dar conform legendelor, lui Hippasus nu i s-a acordat respectul cuvenit. Există o legendă conform căreia Hippasus a făcut descoperirea în timpul unei călătorii pe mare și a fost aruncat peste bord de alți pitagoreici „pentru a crea un element al universului, care neagă doctrina conform căreia toate entitățile din univers pot fi reduse la numere întregi și rapoartele lor. " Descoperirea lui Hippasus a pus o problemă serioasă pentru matematica pitagoreică, distrugând ipoteza de bază că numerele și obiectele geometrice sunt una și inseparabile.

Vezi si

Note

Ce numere sunt iraționale? număr irațional nu este un număr real rațional, adică nu poate fi reprezentat ca o fracție (ca un raport de două numere întregi), unde m este un număr întreg, n- numar natural . număr irațional poate fi reprezentat ca un infinit neperiodic zecimal.

număr irațional nu poate fi exact. Doar în formatul 3.333333…. De exemplu, rădăcina pătrată a lui doi - este un număr irațional.

Care este numărul irațional? Număr irațional(spre deosebire de cele raționale) se numește fracție neperiodică zecimală infinită.

Multe numere iraționale deseori notat cu o literă latină majusculă cu caractere aldine fără umbrire. Acea.:

Acestea. mulţimea numerelor iraţionale este diferenţa dintre mulţimile numerelor reale şi raţionale.

Proprietățile numerelor iraționale.

• Suma a 2 numere iraționale nenegative poate fi un număr rațional.
• Numerele iraționale definesc secțiunile Dedekind din mulțimea numerelor raționale, din clasa inferioară care nu au un numar mare, și nu există unul mai mic în cel de sus.
• Fiecare număr transcendental real este un număr irațional.
• Toate numere irationale sunt fie algebrice, fie transcendentale.
• Mulțimea numerelor iraționale este peste tot densă pe linia numerică: între fiecare pereche de numere există un număr irațional.
• Ordinea în mulțimea numerelor iraționale este izomorfă cu ordinea în mulțimea numerelor reale transcendentale.
• Mulțimea numerelor iraționale este infinită, este o mulțime din categoria a 2-a.
• Rezultatul fiecărei operații aritmetice asupra numerelor raționale (cu excepția împărțirii cu 0) este un număr rațional. Rezultatul operațiilor aritmetice asupra numerelor iraționale poate fi fie un număr rațional, fie un număr irațional.
• Suma unui număr rațional și a unui număr irațional va fi întotdeauna un număr irațional.
• Suma numerelor iraționale poate fi un număr rațional. De exemplu, lăsa X irațional, atunci y=x*(-1) de asemenea irațional; x+y=0, si numarul 0 rațional (dacă, de exemplu, adunăm rădăcina oricărui grad de 7 și minus rădăcina aceluiași grad de șapte, obținem un număr rațional 0).

Numere iraționale, exemple.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ

Și și-au tras rădăcinile din cuvânt latin„raport”, care înseamnă „motiv”. Pe baza traducerii literale:

• Un număr rațional este un „număr rezonabil”.
• Un număr irațional, respectiv, este un „număr nerezonabil”.

Conceptul general de număr rațional

Un număr rațional este unul care poate fi scris astfel:

1. Fracție pozitivă obișnuită.
2. Fracție ordinară negativă.
3. Zero (0) ca număr.

Cu alte cuvinte, următoarele definiții se vor potrivi unui număr rațional:

• Orice număr natural este în mod inerent rațional, deoarece orice număr natural poate fi reprezentat ca o fracție obișnuită.
• Orice număr întreg, inclusiv numărul zero, deoarece orice număr întreg poate fi scris atât ca o fracție ordinară pozitivă, ca o fracție ordinară negativă, cât și ca număr zero.
• Orice fracție obișnuită și nu contează aici dacă este pozitivă sau negativă, de asemenea, se apropie direct de definiția unui număr rațional.
• De asemenea, în definiție este inclus număr mixt, o fracție zecimală finită sau o fracție periodică infinită.

Exemple de numere raționale

Luați în considerare exemple de numere raționale:

• Numere naturale - „4”, „202”, „200”.
• Numerele întregi - „-36”, „0”, „42”.
• Fracții ordinare.

Din exemplele de mai sus, este clar că numerele raționale pot fi atât pozitive, cât și negative. Desigur, numărul 0 (zero), care este și un număr rațional, în același timp, nu aparține categoriei unui număr pozitiv sau negativ.

Prin urmare, aș dori să reamintesc program de educație generală folosind următoarea definiție: „Numere raționale” sunt acele numere care pot fi scrise ca o fracție x / y, unde x (numărătorul) este un număr întreg și y (numitorul) este un număr natural.

Conceptul general și definiția unui număr irațional

Pe lângă „numerele raționale” mai cunoaștem și așa-numitele „numere iraționale”. Să încercăm pe scurt să definim aceste numere.

Chiar și matematicienii antici, dorind să calculeze diagonala unui pătrat de-a lungul laturilor sale, au aflat despre existența unui număr irațional.
Pe baza definiției numerelor raționale, puteți construi un lanț logic și puteți defini un număr irațional.
Deci, de fapt, acele numere reale care nu sunt raționale sunt, în mod elementar, numere iraționale.
Fracțiile zecimale, care exprimă numere iraționale, nu sunt periodice și infinite.

Exemple de număr irațional

Luați în considerare pentru claritate un mic exemplu de număr irațional. După cum am înțeles deja, fracțiile zecimale neperiodice infinite sunt numite iraționale, de exemplu:

• Numărul „-5.020020002 ... (se vede clar că doi sunt despărțiți printr-o succesiune de unu, doi, trei, etc. zerouri)
• Numărul „7.040044000444 ... (aici este clar că numărul de patru și numărul de zerouri crește cu unul de fiecare dată într-un lanț).
• Toata lumea număr cunoscut Pi (3,1415...). Da, da - este și irațional.

În general, toate numerele reale sunt atât raționale, cât și iraționale. vorbind în cuvinte simple, un număr irațional nu poate fi reprezentat ca o fracție ordinară x / y.

Concluzie generală și scurtă comparație între numere

Am considerat fiecare număr separat, diferența dintre un număr rațional și unul irațional rămâne:

1. Un număr irațional apare la luarea rădăcinii pătrate, la împărțirea unui cerc la un diametru și așa mai departe.
2. Un număr rațional reprezintă o fracție obișnuită.

Încheiem articolul nostru cu câteva definiții:

• O operație aritmetică efectuată pe un număr rațional, altul decât împărțirea la 0 (zero), în rezultat final va duce și la un număr rațional.
• Rezultatul final, atunci când se efectuează o operație aritmetică pe un număr irațional, poate duce atât la o valoare rațională, cât și la o valoare irațională.
• Dacă ambele numere iau parte la operația aritmetică (cu excepția împărțirii sau înmulțirii cu zero), atunci rezultatul ne va da un număr irațional.

Un număr irațional poate fi reprezentat ca o fracție neperiodică infinită. Mulțimea numerelor iraționale se notează cu $I$ și este egală cu: $I=R / Q$ .

De exemplu. Numerele iraționale sunt:

Operații pe numere iraționale

Pe mulțimea numerelor iraționale se pot introduce patru operații aritmetice de bază: adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea; dar pentru niciuna dintre operaţiile enumerate mulţimea numerelor iraţionale nu are proprietatea de închidere. De exemplu, suma a două numere iraționale poate fi un număr rațional.

De exemplu. Găsiți suma a două numere iraționale $0,1010010001 \ldots$ și $0,0101101110 \ldots$ . Primul dintre aceste numere este format dintr-o succesiune de unu, despărțite respectiv de un zero, două zerouri, trei zerouri etc., al doilea - printr-o succesiune de zerouri, între care unul, doi, trei, etc. sunt puse:

$$0,1010010001 \ldots+0,0101101110 \ldots=0,111111=0,(1)=\frac(1)(9)$$

Astfel, suma a două numere iraționale date este numărul $\frac(1)(9)$ , care este rațional.

Exemplu

Exercițiu. Demonstrați că numărul $\sqrt(3)$ este irațional.

Dovada. Vom folosi metoda probei prin contradicție. Să presupunem că $\sqrt(3)$ este un număr rațional, adică poate fi reprezentat ca o fracție $\sqrt(3)=\frac(m)(n)$ , unde $m$ și $n$ sunt numere naturale coprime numere.

Punem la patrat ambele părți ale egalității, obținem

$$3=\frac(m^(2))(n^(2)) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=m^(2)$$

Numărul 3$\cdot n^(2)$ este divizibil cu 3. Prin urmare $m^(2)$ și deci $m$ este divizibil cu 3. Punând $m=3 \cdot k$, egalitatea $3 \cdot n^ (2)=m^(2)$ poate fi scris ca

$$3 \cdot n^(2)=(3 \cdot k)^(2) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=9 \cdot k^(2) \Leftrightarrow n^(2)=3 \cdot k^(2)$$

Din ultima egalitate rezultă că $n^(2)$ și $n$ sunt divizibile cu 3, deci fracția $\frac(m)(n)$ poate fi redusă cu 3. Dar prin presupunere, fracția $\ frac(m)( n)$ este ireductibil. Contradicția rezultată demonstrează că numărul $\sqrt(3)$ nu poate fi reprezentat ca o fracție $\frac(m)(n)$ și, prin urmare, este irațional.

Q.E.D.

și π

Astfel, mulțimea numerelor iraționale este diferența I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ) mulţimi de numere reale şi raţionale.

Existența numerelor iraționale, mai precis a segmentelor care sunt incomensurabile cu un segment de unitate de lungime, era deja cunoscută de matematicienii antici: ei cunoșteau, de exemplu, incomensurabilitatea diagonalei și a laturii pătratului, ceea ce este echivalent cu iraționalitatea. a numărului 2 (\displaystyle (\sqrt (2))).

Proprietăți

• Suma a două numere iraționale pozitive poate fi un număr rațional.
• Numerele iraționale definesc secțiunile Dedekind din mulțimea numerelor raționale care nu au cel mai mare număr în clasa inferioară și nici cel mai mic număr în clasa superioară.
• Mulțimea numerelor iraționale este peste tot densă pe linia reală: între oricare două numere diferite există un număr irațional.
• Ordinea în mulțimea numerelor iraționale este izomorfă cu ordinea în mulțimea numerelor reale transcendentale. [ ]

Numerele algebrice și transcendentale

Fiecare număr irațional este fie algebric, fie transcendental. Mulțimea numerelor algebrice este o mulțime numărabilă. Deoarece mulțimea numerelor reale este nenumărabilă, mulțimea numerelor iraționale este nenumărabilă.

Mulțimea numerelor iraționale este o mulțime din a doua categorie.

Să punem la pătrat presupusa egalitate:

Poveste

Antichitate

Conceptul de numere iraționale a fost adoptat implicit de matematicienii indieni în secolul al VII-lea î.Hr., când Manawa (cca. 750-690 î.Hr.) a constatat că rădăcinile pătrate ale unor numere naturale, precum 2 și 61, nu puteau fi exprimate în mod explicit [ ] .

Prima dovadă a existenței numerelor iraționale, sau mai degrabă existența unor segmente incomensurabile, este de obicei atribuită lui Hippasus pitagoreian din Metapontus (cca. 470 î.Hr.). Pe vremea pitagoreenilor, se credea că există o singură unitate de lungime, suficient de mică și indivizibilă, care este un număr întreg de ori inclus în orice segment. ] .

Nu există date exacte despre iraționalitatea cărui număr a fost dovedit de Hippasus. Potrivit legendei, l-a găsit în timp ce studia lungimile laturilor pentagramei. Prin urmare, este rezonabil să presupunem că acesta a fost raportul de aur, deoarece acesta este raportul dintre diagonală și latura într-un pentagon obișnuit.

Matematicienii greci au numit acest raport de cantități incomensurabile alogos(inexprimabil), dar conform legendelor, lui Hippasus nu i s-a acordat respectul cuvenit. Există o legendă conform căreia Hippasus a făcut descoperirea în timpul unei călătorii pe mare și a fost aruncat peste bord de alți pitagoreici „pentru a crea un element al universului, care neagă doctrina conform căreia toate entitățile din univers pot fi reduse la numere întregi și rapoartele lor. " Descoperirea lui Hippasus a pus o problemă serioasă pentru matematica pitagoreică, distrugând ipoteza de bază că numerele și obiectele geometrice sunt una și inseparabile.

Mai târziu, Eudoxus din Cnidus (410 sau 408 î.Hr. - 355 sau 347 î.Hr.) a dezvoltat o teorie a proporțiilor care a luat în considerare atât relațiile raționale, cât și cele iraționale. Aceasta a servit drept bază pentru înțelegerea esenței fundamentale a numerelor iraționale. Valoarea a început să fie considerată nu ca un număr, ci ca o desemnare a unor entități, precum segmente de linie, unghiuri, zone, volume, intervale de timp - entități care se pot schimba continuu (în sensul modern al cuvântului). Magnitudinele s-au opus numerelor care se pot schimba doar „sărind” de la un număr la altul, cum ar fi de la 4 la 5. Numerele sunt formate din cea mai mică cantitate indivizibilă, în timp ce mărimile pot fi reduse la infinit.

Deoarece nicio valoare cantitativă nu a fost comparată cu o cantitate, Eudoxus a fost capabil să acopere atât cantități comensurabile, cât și incomensurabile, definind o fracție ca raport a două cantități și proporție ca egalitatea a două fracții. Prin eliminarea valorilor cantitative (numerele) din ecuații, a evitat capcana de a fi nevoit să numească o cantitate irațională număr. Teoria lui Eudoxus a permis matematicienilor greci să facă progrese incredibile în geometrie, oferindu-le rațiunea necesară pentru a lucra cu cantități incomensurabile. A zecea carte a „Începuturilor” de Euclid este dedicată clasificării cantităților iraționale.

Evul mediu

Evul Mediu a fost marcat de adoptarea unor concepte precum zero, numere negative, numere întregi și numere fracționale, mai întâi de către matematicienii indieni, apoi de către matematicienii chinezi. Mai târziu s-au alăturat matematicienii arabi, care au fost primii care au considerat numerele negative drept obiecte algebrice (împreună cu drepturi egale cu numerele pozitive), ceea ce a permis dezvoltarea disciplinei numită acum algebră.

Matematicienii arabi au combinat conceptele grecești antice de „număr” și „valoare” într-o singură idee, mai generală, a numerelor reale. Ei au criticat ideile lui Euclid despre relații, spre deosebire de aceasta, au dezvoltat teoria relațiilor de cantități arbitrare și au extins conceptul de număr la relații. cantități continue. În comentariile sale la Cartea 10 din Elementele lui Euclid, matematicianul persan Al Mahani (c. 800 d.Hr.) a explorat și a clasificat numerele iraționale pătratice (numerele formei) și numerele iraționale cubice mai generale. El a dat o definiție a mărimilor raționale și iraționale, pe care le-a numit numere iraționale. A operat cu ușurință aceste obiecte, dar a raționat ca obiecte separate, de exemplu:

Spre deosebire de conceptul lui Euclid conform căruia cantitățile sunt în primul rând segmente de linie, Al Mahani a considerat că numerele întregi și fracțiile sunt cantități raționale, iar rădăcinile pătrate și cube ca fiind iraționale. El a introdus, de asemenea, o abordare aritmetică a mulțimii numerelor iraționale, deoarece el a fost cel care a arătat iraționalitatea următoarelor mărimi:

Matematicianul egiptean Abu Kamil (cca. 850 d.Hr. - circa 930 d.Hr.) a fost primul care a considerat acceptabil să accepte numerele iraționale ca soluție ecuații pătratice sau coeficienți în ecuații - în principal sub formă de rădăcini pătrate sau cubice, precum și rădăcini a patra. În secolul al X-lea, matematicianul irakian Al Hashimy a oferit dovezi generale (mai degrabă decât demonstrații geometrice vizuale) ale iraționalității produsului, a coeficientului și a rezultatelor altor transformări matematice ale numerelor iraționale și raționale. Al Khazin (900 CE - 971 CE) oferă următoarea definiție a cantității raționale și iraționale:

Multe dintre aceste idei au fost adoptate ulterior de matematicienii europeni după traducerea textelor arabe în latină în secolul al XII-lea. Al Hassar, un matematician arab din Magreb, specializat în legile moștenirii islamice, a introdus notația matematică simbolică modernă pentru fracții în secolul al XII-lea, separând numărătorul și numitorul cu o bară orizontală. Aceeași notație a apărut apoi în lucrările lui Fibonacci în secolul al XIII-lea. În secolele XIV-XVI. Madhava de la Sangamagrama și reprezentanți ai Școlii de Astronomie și Matematică din Kerala au investigat serii infinite care converg către unele numere iraționale, de exemplu către π, și au arătat, de asemenea, iraționalitatea unora. funcții trigonometrice. Jestadeva a raportat aceste rezultate în cartea „Yuktibhaza”. (demonstrând în același timp existența numerelor transcendentale), regândind astfel lucrarea lui Euclid privind clasificarea numerelor iraționale. Pe această temă au fost publicate lucrări în 1872

Fracțiile continuate, strâns legate de numerele iraționale (fracția continuă care reprezintă un număr dat este infinită dacă și numai dacă numărul este irațional), au fost investigate pentru prima dată de Cataldi în 1613, apoi au atras din nou atenția în lucrarea lui Euler, iar în începutul XIX secolul - în lucrările lui Lagrange. Dirichlet a avut, de asemenea, o contribuție semnificativă la dezvoltarea teoriei fracțiilor continue. În 1761, Lambert a arătat folosind fracții continue că π (\displaystyle \pi ) nu este un număr rațional și, de asemenea, asta e x (\displaystyle e^(x))și tg ⁡ x (\displaystyle \operatorname (tg) x) sunt iraționale pentru orice rațional diferit de zero x (\displaystyle x). Deși dovada lui Lambert poate fi numită incompletă, este în general considerată a fi destul de riguroasă, mai ales având în vedere momentul în care a fost scrisă. Legendre în 1794, după ce a introdus funcția Bessel-Clifford, a arătat că π 2 (\displaystyle \pi ^(2)) irațional, de unde iraționalitate π (\displaystyle \pi ) urmează trivial (un număr rațional la pătrat ar da un număr rațional).

Existența numerelor transcendentale a fost dovedită de Liouville în 1844-1851. Mai târziu, Georg Cantor (1873) și-a arătat existența folosind o metodă diferită și a demonstrat că orice interval al seriei reale conține infinit de numere transcendentale. Charles Hermite a dovedit în 1873 că e transcendent, iar Ferdinand Lindemann în 1882, pe baza acestui rezultat, a arătat transcendența π (\displaystyle \pi ) Literatură