Materialul acestui articol este informația inițială despre numere irationale. În primul rând, vom da o definiție a numerelor iraționale și o vom explica. Iată câteva exemple de numere iraționale. În cele din urmă, să ne uităm la câteva abordări pentru a afla dacă un anumit număr este irațional sau nu.

Navigare în pagină.

Definiție și exemple de numere iraționale

În studiul fracțiilor zecimale, am luat în considerare separat fracțiile zecimale neperiodice infinite. Astfel de fracții apar în măsurarea zecimală a lungimilor segmentelor care sunt incomensurabile cu un singur segment. De asemenea, am observat că fracțiile zecimale neperiodice infinite nu pot fi convertite în fracții obișnuite (vezi conversia fracțiilor ordinare în zecimale și invers), prin urmare, aceste numere nu sunt numere raționale, ele reprezintă așa-numitele numere iraționale.

Așa că am ajuns la definirea numerelor iraționale.

Definiție.

Numerele care sunt în notație zecimală sunt infinite fracții zecimale nerecurente, sunt numite numere irationale.

Definiția sonoră permite să aducă exemple de numere iraționale. De exemplu, fracția zecimală neperiodică infinită 4,10110011100011110000... (numărul de unu și zero crește cu unul de fiecare dată) este ir Numar rational. Să dăm un alt exemplu de număr irațional: −22,353335333335 ... (numărul de triple care separă opt crește de fiecare dată cu două).

Trebuie remarcat faptul că numerele iraționale sunt destul de rare sub formă de fracții zecimale neperiodice infinite. De obicei se găsesc sub forma , etc., precum și sub forma unor litere special introduse. cu cel mai mult exemple celebre numerele iraționale într-o astfel de notație sunt rădăcina pătrată aritmetică a lui doi, numărul „pi” π=3,141592…, numărul e=2,718281… și numărul de aur.

Numere irationale poate fi definit și în termeni de numere reale, care combină numere raționale și iraționale.

Definiție.

Numere irationale- aceasta este numere reale, care nu sunt raționale.

Este acest număr irațional?

Când un număr este dat nu ca o fracție zecimală, ci ca o anumită rădăcină, logaritm etc., atunci în multe cazuri este destul de dificil să răspunzi la întrebarea dacă este irațional.

Fără îndoială, pentru a răspunde la întrebarea pusă, este foarte util să știm care numere nu sunt iraționale. Din definiția numerelor iraționale rezultă că numerele raționale nu sunt numere iraționale. Astfel, numerele iraționale NU sunt:

  • fracții zecimale periodice finite și infinite.

De asemenea, orice compoziție de numere raționale legate prin semne ale operațiilor aritmetice (+, −, ·, :) nu este un număr irațional. Acest lucru se datorează faptului că suma, diferența, produsul și câtul a două numere raționale este un număr rațional. De exemplu, valorile expresiilor și sunt numere raționale. Aici observăm că dacă în astfel de expresii printre numerele raționale există un singur număr irațional, atunci valoarea întregii expresii va fi un număr irațional. De exemplu, în expresie, numărul este irațional, iar restul numerelor sunt raționale, deci numărul irațional. Dacă ar fi un număr rațional, atunci raționalitatea numărului ar decurge din aceasta, dar nu este rațional.

Dacă expresia, căreia i se dă un număr, conține mai multe numere iraționale, semne rădăcină, logaritmi, funcții trigonometrice, numerele π, e etc., atunci se cere să se dovedească iraționalitatea sau raționalitatea unui număr dat în fiecare caz specific. Cu toate acestea, există o serie de rezultate deja obținute care pot fi utilizate. Să le enumerăm pe cele principale.

Se dovedește că o k-a rădăcină a unui întreg este un număr rațional numai dacă numărul de sub rădăcină este k-a putere a unui alt întreg, în alte cazuri o astfel de rădăcină definește un număr irațional. De exemplu, numerele și sunt iraționale, deoarece nu există un întreg al cărui pătrat este 7 și nu există un întreg a cărui creștere la puterea a cincea dă numărul 15. Și numerele și nu sunt iraționale, deoarece și .

Cât despre logaritmi, uneori se poate dovedi iraționalitatea lor prin contradicție. De exemplu, să demonstrăm că log 2 3 este un număr irațional.

Să presupunem că log 2 3 este un număr rațional, nu irațional, adică poate fi reprezentat ca o fracție obișnuită m/n . şi permiteţi-ne să scriem următorul lanţ de egalităţi: . Ultima egalitate este imposibilă, deoarece pe partea stângă numar impar, și chiar pe partea dreaptă. Așa că am ajuns la o contradicție, ceea ce înseamnă că presupunerea noastră s-a dovedit a fi greșită și asta demonstrează că log 2 3 este un număr irațional.

Rețineți că lna pentru orice rațional pozitiv și non-untar a este un număr irațional. De exemplu, și sunt numere iraționale.

Se dovedește, de asemenea, că numărul e a este irațional pentru orice a rațional diferit de zero și că numărul π z este irațional pentru orice număr întreg non-nul z. De exemplu, numerele sunt iraționale.

Numerele iraționale sunt și funcțiile trigonometrice sin , cos , tg și ctg pentru orice valoare rațională și diferită de zero a argumentului. De exemplu, sin1 , tg(−4) , cos5,7 , sunt numere iraționale.

Există și alte rezultate dovedite, dar ne vom limita la cele deja enumerate. De asemenea, trebuie spus că în demonstrarea rezultatelor de mai sus, teoria asociată cu numere algebriceși numere transcendente.

În concluzie, observăm că nu trebuie să tragem concluzii pripite despre iraționalitatea numerelor date. De exemplu, pare evident că un număr irațional într-un grad irațional este un număr irațional. Cu toate acestea, acest lucru nu este întotdeauna cazul. Ca o confirmare a faptului exprimat, vă prezentăm gradul. Se știe că - un număr irațional și, de asemenea, a demonstrat că - un număr irațional, dar - un număr rațional. De asemenea, puteți da exemple de numere iraționale, a căror sumă, diferența, produsul și coeficientul sunt numere raționale. Mai mult decât atât, raționalitatea sau iraționalitatea numerelor π+e , π−e , π e , π π , π e și multe altele nu a fost încă dovedită.

Bibliografie.

  • Matematica. Clasa a 6-a: manual. pentru învăţământul general instituții / [N. Ya. Vilenkin și alții]. - Ed. a 22-a, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
  • Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educaţie, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior şcoală, 1984.-351 p., ill.

Ce sunt numerele iraționale? De ce se numesc asa? Unde se folosesc si ce sunt? Puțini pot răspunde la aceste întrebări fără ezitare. Dar, de fapt, răspunsurile la ele sunt destul de simple, deși nu toată lumea are nevoie de ele și în situații foarte rare.

Esența și denumirea

Numerele iraționale sunt infinite neperiodice Necesitatea introducerii acestui concept se datorează faptului că, pentru rezolvarea unor noi probleme emergente, conceptele existente anterior de numere reale sau reale, întreg, naturale și rațional nu mai erau suficiente. De exemplu, pentru a calcula care este pătratul lui 2, trebuie să utilizați zecimale infinite nerecurente. În plus, multe dintre cele mai simple ecuații nu au nicio soluție fără a introduce conceptul de număr irațional.

Această mulțime este desemnată ca I. Și, după cum este deja clar, aceste valori nu pot fi reprezentate ca o fracție simplă, în numărătorul căreia va fi un număr întreg, iar la numitor -

Pentru prima dată, într-un fel sau altul, matematicienii indieni au întâlnit acest fenomen în secolul al VII-lea, când s-a descoperit că rădăcini pătrate unele dintre cantități nu pot fi precizate în mod explicit. Și prima dovadă a existenței unor astfel de numere este atribuită lui Hippasus Pitagora, care a făcut acest lucru în procesul de studiu a unui triunghi dreptunghic isoscel. O contribuție serioasă la studiul acestui set a fost adusă de alți oameni de știință care au trăit înaintea erei noastre. Introducerea conceptului de numere iraționale a condus la o revizuire a celor existente sistem matematic, motiv pentru care sunt atât de importante.

originea numelui

Dacă raportul în latină este „fracție”, „raport”, atunci prefixul „ir”
dă cuvântului sensul opus. Astfel, denumirea mulțimii acestor numere indică faptul că nu pot fi corelate cu un număr întreg sau fracționar, ele au un loc separat. Acest lucru rezultă din natura lor.

Locul în clasamentul general

Numerele iraționale, alături de cele raționale, aparțin grupului numerelor reale sau reale, care la rândul lor sunt complexe. Nu există submulțimi, cu toate acestea, există varietăți algebrice și transcendentale, care vor fi discutate mai jos.

Proprietăți

Deoarece numerele iraționale fac parte din mulțimea numerelor reale, le sunt aplicabile toate proprietățile lor care sunt studiate în aritmetică (se mai numesc și legi algebrice de bază).

a + b = b + a (comutativitate);

(a + b) + c = a + (b + c) (asociativitate);

a + (-a) = 0 (existența numărului opus);

ab = ba (legea deplasării);

(ab)c = a(bc) (distributivitate);

a(b+c) = ab + ac (legea distributivă);

a x 1/a = 1 (existența unui număr invers);

Comparația se realizează și în conformitate cu legile și principiile generale:

Dacă a > b și b > c, atunci a > c (tranzitivitatea relației) și. etc.

Desigur, toate numerele iraționale pot fi convertite folosind aritmetica de bază. Nu există reguli speciale pentru asta.

În plus, acțiunea axiomei lui Arhimede se extinde la numerele iraționale. Se spune că pentru oricare două mărimi a și b, afirmația este adevărată că, luând a ca termen de destule ori, este posibil să se depășească b.

Utilizare

În ciuda faptului că în viață obișnuită nu atât de des trebuie să ai de-a face cu ele, numerele iraționale nu pot fi numărate. Sunt multe, dar sunt aproape invizibile. Suntem înconjurați de numere iraționale peste tot. Exemplele familiare tuturor sunt pi, care este 3,1415926... sau e, care este în esență baza logaritmul natural, 2.718281828... În algebră, trigonometrie și geometrie, trebuie să le folosești tot timpul. Apropo, faimoasa semnificație a „secțiunii de aur”, adică raportul dintre partea mai mare și cea mai mică, și invers, de asemenea

aparține acestui set. Mai puțin cunoscut „argint” – de asemenea.

Pe linia numerică, ele sunt situate foarte dens, astfel încât între oricare două mărimi legate de mulțimea celor raționale apare neapărat una irațională.

Există încă multe probleme nerezolvate asociate cu acest set. Există criterii precum măsura iraționalității și normalitatea unui număr. Matematicienii continuă să examineze cele mai semnificative exemple pentru apartenența lor la un grup sau altul. De exemplu, se consideră că e este un număr normal, adică probabilitatea ca diferite cifre să apară în intrarea sa este aceeași. În ceea ce privește pi, cercetările sunt încă în desfășurare cu privire la acesta. O măsură a iraționalității este o valoare care arată cât de bine poate fi aproximat un anumit număr prin numere raționale.

Algebric și transcendental

După cum sa menționat deja, numerele iraționale sunt împărțite condiționat în algebrice și transcendentale. Condițional, deoarece, strict vorbind, această clasificare este folosită pentru a împărți mulțimea C.

Sub această denumire, sunt ascunse numerele complexe, care includ numere reale sau reale.

Deci, o valoare algebrică este o valoare care este rădăcina unui polinom care nu este identic egal cu zero. De exemplu, rădăcina pătrată a lui 2 ar fi în această categorie deoarece este soluția ecuației x 2 - 2 = 0.

Toate celelalte numere reale care nu îndeplinesc această condiție se numesc transcendentale. Această varietate include și cele mai faimoase și deja menționate exemple - numărul pi și baza logaritmului natural e.

Interesant este că nici unul, nici al doilea nu a fost inițial dedus de matematicieni în această calitate, iraționalitatea și transcendența lor au fost dovedite la mulți ani după descoperirea lor. Pentru pi, dovada a fost dată în 1882 și simplificată în 1894, ceea ce a pus capăt controversei de 2.500 de ani despre problema pătrarii cercului. Încă nu este pe deplin înțeles, așa că matematicienii moderni au la ce să lucreze. Apropo, primul calcul suficient de precis al acestei valori a fost efectuat de Arhimede. Înaintea lui, toate calculele erau prea aproximative.

Pentru e (numărul Euler sau Napier), o dovadă a transcendenței sale a fost găsită în 1873. Este folosit în rezolvarea ecuațiilor logaritmice.

Alte exemple includ valorile sinus, cosinus și tangente pentru orice valoare algebrică diferită de zero.

Setul de numere iraționale este de obicei notat cu o literă latină majusculă I (\displaystyle \mathbb (I) ) cu caractere aldine fără umplere. În acest fel: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), adică mulțimea numerelor iraționale este diferența dintre mulțimile numerelor reale și raționale.

Existența numerelor iraționale, mai precis a segmentelor care sunt incomensurabile cu un segment de unitate de lungime, era deja cunoscută de matematicienii antici: ei cunoșteau, de exemplu, incomensurabilitatea diagonalei și a laturii pătratului, ceea ce este echivalent cu iraționalitatea. a numărului.

YouTube enciclopedic

  • 1 / 5

    Iraționale sunt:

    Exemple de dovezi de iraționalitate

    Rădăcina lui 2

    Să spunem contrariul: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) rațional, adică reprezentat ca o fracție m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), Unde m (\displaystyle m) este un număr întreg și n (\displaystyle n)- numar natural .

    Să punem la pătrat presupusa egalitate:

    2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Săgeată la dreapta m^(2)=2n^(2)).

    Poveste

    Antichitate

    Conceptul de numere iraționale a fost adoptat implicit de matematicienii indieni în secolul al VII-lea î.Hr., când Manawa (c. 750 î.Hr. - c. 690 î.Hr.) a constatat că rădăcinile pătrate ale unor numere naturale, precum 2 și 61 nu pot fi exprimate în mod explicit [ ] .

    Prima dovadă a existenței numerelor iraționale este de obicei atribuită lui Hippasus din Metapontus (c. 500 î.Hr.), un pitagoreian. Pe vremea pitagoreenilor, se credea că există o singură unitate de lungime, suficient de mică și indivizibilă, care este un număr întreg de ori inclus în orice segment. ] .

    Nu există date exacte despre iraționalitatea cărui număr a fost dovedit de Hippasus. Potrivit legendei, el a găsit-o studiind lungimile laturilor pentagramei. Prin urmare, este rezonabil să presupunem că aceasta a fost raportul de aur [ ] .

    Matematicienii greci au numit acest raport de cantități incomensurabile alogos(inexprimabil), dar conform legendelor, lui Hippasus nu i s-a acordat respectul cuvenit. Există o legendă conform căreia Hippasus a făcut descoperirea în timpul unei călătorii pe mare și a fost aruncat peste bord de alți pitagoreici „pentru a crea un element al universului, care neagă doctrina conform căreia toate entitățile din univers pot fi reduse la numere întregi și rapoartele lor. " Descoperirea lui Hippasus a pus o problemă serioasă pentru matematica pitagoreică, distrugând ipoteza de bază că numerele și obiectele geometrice sunt una și inseparabile.

    Și și-au tras rădăcinile din cuvânt latin„raport”, care înseamnă „motiv”. Pe baza traducerii literale:

    • Un număr rațional este un „număr rezonabil”.
    • Un număr irațional, respectiv, este un „număr nerezonabil”.

    Conceptul general de număr rațional

    Un număr rațional este unul care poate fi scris astfel:

    1. Fracție pozitivă obișnuită.
    2. Fracție ordinară negativă.
    3. Zero (0) ca număr.

    Cu alte cuvinte, următoarele definiții se vor potrivi unui număr rațional:

    • Orice număr natural este în mod inerent rațional, deoarece orice număr natural poate fi reprezentat ca o fracție obișnuită.
    • Orice număr întreg, inclusiv numărul zero, deoarece orice număr întreg poate fi scris atât ca o fracție ordinară pozitivă, ca o fracție ordinară negativă, cât și ca număr zero.
    • Orice fracție obișnuită și nu contează aici dacă este pozitivă sau negativă, de asemenea, se apropie direct de definiția unui număr rațional.
    • De asemenea, în definiție este inclus număr mixt, finală zecimal sau o fracție periodică infinită.

    Exemple de numere raționale

    Luați în considerare exemple de numere raționale:

    • Numere naturale - „4”, „202”, „200”.
    • Numerele întregi - „-36”, „0”, „42”.
    • Fracții ordinare.

    Din exemplele de mai sus, este clar că numerele raționale pot fi atât pozitive, cât și negative. Desigur, numărul 0 (zero), care este și un număr rațional, în același timp, nu aparține categoriei unui număr pozitiv sau negativ.

    Prin urmare, aș dori să reamintesc program de educație generală folosind următoarea definiție: „Numere raționale” sunt acele numere care pot fi scrise ca o fracție x / y, unde x (numărătorul) este un număr întreg și y (numitorul) este un număr natural.

    Conceptul general și definiția unui număr irațional

    Pe lângă „numerele raționale” mai cunoaștem și așa-numitele „numere iraționale”. Să încercăm pe scurt să definim aceste numere.

    Chiar și matematicienii antici, dorind să calculeze diagonala unui pătrat de-a lungul laturilor sale, au aflat despre existența unui număr irațional.
    Pe baza definiției numerelor raționale, puteți construi un lanț logic și puteți defini un număr irațional.
    Deci, de fapt, acele numere reale care nu sunt raționale sunt, în mod elementar, numere iraționale.
    Fracțiile zecimale, care exprimă numere iraționale, nu sunt periodice și infinite.

    Exemple de număr irațional

    Luați în considerare pentru claritate un mic exemplu de număr irațional. După cum am înțeles deja, fracțiile zecimale neperiodice infinite sunt numite iraționale, de exemplu:

    • Numărul „-5.020020002 ... (se vede clar că doi sunt despărțiți printr-o succesiune de unu, doi, trei, etc. zerouri)
    • Numărul „7.040044000444 ... (aici este clar că numărul de patru și numărul de zerouri crește cu unul de fiecare dată într-un lanț).
    • Toata lumea număr cunoscut Pi (3,1415...). Da, da - este și irațional.

    În general, toate numerele reale sunt atât raționale, cât și iraționale. vorbind în cuvinte simple, un număr irațional nu poate fi reprezentat ca o fracție ordinară x / y.

    Concluzie generală și scurtă comparație între numere

    Am considerat fiecare număr separat, diferența dintre un număr rațional și unul irațional rămâne:

    1. Un număr irațional apare la luarea rădăcinii pătrate, la împărțirea unui cerc la un diametru și așa mai departe.
    2. Un număr rațional reprezintă o fracție obișnuită.

    Încheiem articolul nostru cu câteva definiții:

    • O operație aritmetică efectuată pe un număr rațional, altul decât împărțirea la 0 (zero), în rezultat final va duce și la un număr rațional.
    • Rezultatul final, atunci când se efectuează o operație aritmetică pe un număr irațional, poate duce atât la o valoare rațională, cât și la o valoare irațională.
    • Dacă ambele numere iau parte la operația aritmetică (cu excepția împărțirii sau înmulțirii cu zero), atunci rezultatul ne va da un număr irațional.

    Cu un segment de lungime unitară, matematicienii antici știau deja: cunoșteau, de exemplu, incomensurabilitatea diagonalei și a laturii pătratului, ceea ce este echivalent cu iraționalitatea numărului.

    Iraționale sunt:

    Exemple de dovezi de iraționalitate

    Rădăcina lui 2

    Presupunem contrariul: este rațional, adică este reprezentat ca o fracție ireductibilă, unde și sunt numere întregi. Să punem la pătrat presupusa egalitate:

    .

    Din aceasta rezultă că chiar, deci, chiar și . Lasă unde întregul. Apoi

    Prin urmare, chiar, deci, chiar și . Am obținut că și suntem pari, ceea ce contrazice ireductibilitatea fracției . Prin urmare, presupunerea inițială a fost greșită și este un număr irațional.

    Logaritmul binar al numărului 3

    Presupunem contrariul: este rațional, adică este reprezentat ca o fracție, unde și sunt numere întregi. Din moment ce , și poate fi considerat pozitiv. Apoi

    Dar e clar, e ciudat. Primim o contradicție.

    e

    Poveste

    Conceptul de numere iraționale a fost adoptat implicit de matematicienii indieni în secolul al VII-lea î.Hr., când Manawa (c. 750 î.Hr. - c. 690 î.Hr.) a constatat că rădăcinile pătrate ale unor numere naturale, precum 2 și 61, nu pot fi exprimate în mod explicit.

    Prima dovadă a existenței numerelor iraționale este de obicei atribuită lui Hippasus din Metapontus (c. 500 î.Hr.), un pitagoreean care a găsit această dovadă studiind lungimile laturilor unei pentagrame. Pe vremea pitagoreenilor, se credea că există o singură unitate de lungime, suficient de mică și indivizibilă, care este un număr întreg de ori inclus în orice segment. Cu toate acestea, Hippasus a susținut că nu există o singură unitate de lungime, deoarece presupunerea existenței sale duce la o contradicție. El a arătat că, dacă ipotenuza unui triunghi dreptunghic isoscel conține un număr întreg de segmente unitare, atunci acest număr trebuie să fie atât par, cât și impar în același timp. Dovada arăta astfel:

    • Raportul dintre lungimea ipotenuzei și lungimea catetei unui triunghi dreptunghic isoscel poate fi exprimat ca A:b, Unde Ași b selectat ca cel mai mic posibil.
    • Conform teoremei lui Pitagora: A² = 2 b².
    • pentru că A² chiar, A trebuie să fie par (deoarece pătratul unui număr impar ar fi impar).
    • Pentru că A:b ireductibil b trebuie să fie ciudat.
    • pentru că A chiar, denotă A = 2y.
    • Apoi A² = 4 y² = 2 b².
    • b² = 2 y², prin urmare b este chiar, atunci b chiar.
    • S-a dovedit însă că b ciudat. Contradicţie.

    Matematicienii greci au numit acest raport de cantități incomensurabile alogos(inexprimabil), dar conform legendelor, lui Hippasus nu i s-a acordat respectul cuvenit. Există o legendă conform căreia Hippasus a făcut descoperirea în timpul unei călătorii pe mare și a fost aruncat peste bord de alți pitagoreici „pentru a crea un element al universului, care neagă doctrina conform căreia toate entitățile din univers pot fi reduse la numere întregi și rapoartele lor. " Descoperirea lui Hippasus a pus o problemă serioasă pentru matematica pitagoreică, distrugând ipoteza de bază că numerele și obiectele geometrice sunt una și inseparabile.

    Vezi si

    Note

    Sisteme numerice
    Socoteală
    seturi    		 numere întregi ()