Articolul este dedicat analizei sarcinilor 15 de la examenul de profil la matematică pentru anul 2017. În această sarcină, elevilor li se propune să rezolve inegalitățile, cel mai adesea logaritmice. Deși pot fi orientative. Acest articol oferă o prezentare generală a exemplelor inegalități logaritmice, inclusiv cele care conțin o variabilă la baza logaritmului. Toate exemplele sunt preluate din banca deschisă de sarcini USE în matematică (profil), astfel încât inegalități similare cu foarte probabil poți fi prins la examen ca sarcina 15. Ideal pentru cei care doresc să învețe cum să rezolve sarcina 15 din partea a doua a examenului de profil la matematică într-o perioadă scurtă de timp pentru a obține mai multe puncte la examen.

Analiza sarcinilor 15 de la examenul de profil la matematică

În sarcinile 15 ale Examenului de stat unificat la matematică (profil), se constată adesea inegalități logaritmice. Soluția inegalităților logaritmice începe cu definirea intervalului de valori acceptabile. În acest caz, nu există nicio variabilă în baza ambilor logaritmi, există doar numărul 11, ceea ce simplifică foarte mult sarcina. Prin urmare, singura restricție pe care o avem aici este că ambele expresii sub semnul logaritmului sunt pozitive:

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

Prima inegalitate din sistem este inegalitatea pătratică. Pentru a o rezolva, chiar am face bine să factorizăm partea stângă. Cred că știți că orice trinom pătrat al formei Se factorizează după cum urmează:

unde și sunt rădăcinile ecuației . În acest caz, coeficientul este 1 (acesta este coeficientul numeric în fața lui ). Coeficientul este, de asemenea, egal cu 1, iar coeficientul este un termen liber, este egal cu -20. Rădăcinile unui trinom sunt cel mai ușor de determinat folosind teorema lui Vieta. Ecuația noastră este redusă, ceea ce înseamnă suma rădăcinilor și va fi egală cu coeficientul cu semnul opus, adică -1, iar produsul acestor rădăcini va fi egal cu coeficientul, adică -20. Este ușor de ghicit că rădăcinile vor fi -5 și 4.

Acum partea stângă a inegalității poate fi factorizată: title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X la punctele -5 și 4. Prin urmare, soluția dorită a inegalității este intervalul . Pentru cei care nu inteleg ce scrie aici, puteti vedea detaliile in video, incepand de acum. Acolo veți găsi, de asemenea, o explicație detaliată a modului în care se rezolvă a doua inegalitate a sistemului. Se rezolvă. Mai mult, răspunsul este exact același ca pentru prima inegalitate a sistemului. Adică, mulțimea scrisă mai sus este aria valorilor admisibile ale inegalității.

Deci, luând în considerare factorizarea, inegalitatea originală ia forma:

Folosind formula, să adăugăm 11 la puterea expresiei sub semnul primului logaritm și să mutăm al doilea logaritm în partea stângă a inegalității, schimbând semnul său în opus:

După reducere obținem:

Ultima inegalitate, datorată creșterii funcției , este echivalentă cu inegalitatea , a cărui soluție este intervalul . Rămâne să o traversăm cu zona valorilor admisibile ale inegalității, iar acesta va fi răspunsul la întreaga sarcină.

Deci, răspunsul dorit la sarcină are forma:

Ne-am dat seama de această sarcină, acum trecem la următorul exemplu al sarcinii 15 a examenului de stat unificat la matematică (profil).

Începem soluția prin determinarea intervalului de valori admisibile ale acestei inegalități. Baza fiecărui logaritm trebuie să fie un număr pozitiv care nu este egal cu 1. Toate expresiile sub semnul logaritmului trebuie să fie pozitive. Numitorul unei fracții nu trebuie să fie zero. Ultima condiție este echivalentă cu , deoarece numai altfel ambii logaritmi din numitor dispar. Toate aceste condiții determină intervalul de valori admisibile ale acestei inegalități, care este dat de următorul sistem de inegalități:

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

În intervalul de valori acceptabile, putem folosi formule de transformare logaritmică pentru a simplifica partea stângă a inegalității. Folosind formula scapa de numitor:

Acum avem doar logaritmi de bază. Deja este mai convenabil. În continuare, folosim formula și, de asemenea, formula pentru a aduce expresia demn de glorie la următoarea formă:

În calcule, am folosit ceea ce este în intervalul de valori acceptabile. Folosind substituția, ajungem la expresia:

Să mai folosim o înlocuire: . Ca urmare, ajungem la următorul rezultat:

Deci, reveniți treptat la variabilele originale. Mai întâi la variabilă:

Secțiuni: Matematica

Adesea, la rezolvarea inegalităților logaritmice, apar probleme cu o bază variabilă a logaritmului. Deci, o inegalitate a formei

este o inegalitate școlară standard. De regulă, pentru a o rezolva, se utilizează o tranziție la un set echivalent de sisteme:

dezavantaj aceasta metoda este necesitatea de a rezolva șapte inegalități, fără a număra două sisteme și un set. Chiar și cu funcții pătratice date, soluția populației poate necesita mult timp.

Poate fi propusă o modalitate alternativă, care necesită mai puțin timp de rezolvare a acestei inegalități standard. Pentru a face acest lucru, luăm în considerare următoarea teoremă.

Teorema 1. Fie o funcție crescătoare continuă pe o mulțime X. Atunci pe această mulțime semnul incrementului funcției va coincide cu semnul incrementului argumentului, adică. , Unde .

Notă: dacă o funcție descrescătoare continuă pe setul X, atunci .

Să revenim la inegalitate. Să trecem la logaritmul zecimal (puteți merge la oricare cu o bază constantă mai mare de unu).

Acum putem folosi teorema, observând la numărător incrementul funcțiilor iar în numitor. Deci este adevărat

Ca urmare, numărul de calcule care duc la răspuns este redus cu aproximativ jumătate, ceea ce economisește nu numai timp, dar vă permite și să faceți mai puține erori aritmetice și neglijente.

Exemplul 1

Comparând cu (1) găsim , , .

Trecând la (2) vom avea:

Exemplul 2

Comparând cu (1) găsim , , .

Trecând la (2) vom avea:

Exemplul 3

Deoarece partea stângă a inegalității este o funcție crescătoare pentru și , atunci răspunsul este stabilit .

Setul de exemple în care Terme 1 poate fi aplicat poate fi ușor extins dacă se ia în considerare Terme 2.

Lasă pe platou X sunt definite funcțiile , , , iar pe acest set semnele și coincid, adică atunci va fi corect.

Exemplul 4

Exemplul 5

Cu abordarea standard, exemplul este rezolvat conform schemei: produsul este mai mic decât zero atunci când factorii sunt de semne diferite. Acestea. considerăm un set de două sisteme de inegalități în care, așa cum sa indicat la început, fiecare inegalitate se descompune în încă șapte.

Dacă luăm în considerare Teorema 2, atunci fiecare dintre factori, ținând cont de (2), poate fi înlocuit cu o altă funcție care are același semn în acest exemplu de O.D.Z.

Metoda de înlocuire a incrementului unei funcții cu un increment a argumentului, ținând cont de Teorema 2, se dovedește a fi foarte convenabilă atunci când se rezolvă probleme tipice C3 USE.

Exemplul 6

Exemplul 7

. Să notăm. obține

. Rețineți că înlocuirea implică: . Revenind la ecuație, obținem .

Exemplul 8

În teoremele pe care le folosim, nu există nicio restricție asupra claselor de funcții. În acest articol, ca exemplu, teoremele au fost aplicate la soluția inegalităților logaritmice. Următoarele câteva exemple vor demonstra promisiunea metodei de rezolvare a altor tipuri de inegalități.

INEGALITATI LOGARITMICE ÎN UTILIZARE

Sechin Mihail Alexandrovici

Mica Academie de Științe pentru Studenții din Republica Kazahstan „Căutător”

MBOU „Școala secundară sovietică Nr. 1”, clasa a 11-a, or. sovietic districtul Sovietsky

Gunko Lyudmila Dmitrievna, profesor de MBOU „Școala secundară sovietică nr. 1”

districtul Sovietsky

Obiectiv: studiul mecanismului de rezolvare a inegalităților logaritmice C3 prin metode nestandardizate, identificarea fapte interesante logaritm.

Subiect de studiu:

3) Învață să rezolvi inegalitățile logaritmice specifice C3 folosind metode non-standard.

Rezultate:

Conţinut

Introducere…………………………………………………………………………………………….4

Capitolul 1. Context………………………………………………………….5

Capitolul 2. Colecția de inegalități logaritmice ………………………… 7

2.1. Tranzițiile echivalente și metoda generalizată a intervalelor…………… 7

2.2. Metoda raționalizării ………………………………………………………… 15

2.3. Înlocuirea non-standard……………………………………………………………………………………………………………. ..... 22

2.4. Sarcini cu capcane…………………………………………………… 27

Concluzie……………………………………………………………………………… 30

Literatură……………………………………………………………………. 31

Introducere

Sunt în clasa a XI-a și plănuiesc să intru într-o universitate în care matematica este o materie de bază. Și de aceea lucrez mult cu sarcinile din partea C. În sarcina C3, trebuie să rezolvați o inegalitate non-standard sau un sistem de inegalități, de obicei asociat cu logaritmi. În timpul pregătirii pentru examen, m-am confruntat cu problema lipsei de metode și tehnici de rezolvare a inegalităților logaritmice de examen oferite în C3. Metode care sunt studiate în curiculumul scolar pe această temă, nu oferiți o bază pentru rezolvarea sarcinilor C3. Profesorul de matematică mi-a sugerat să lucrez singur cu temele C3, sub îndrumarea ei. În plus, m-a interesat întrebarea: există logaritmi în viața noastră?

Având în vedere acest lucru, a fost aleasă tema:

„Inegalități logaritmice la examen”

Obiectiv: studiul mecanismului de rezolvare a problemelor C3 folosind metode non-standard, dezvăluind fapte interesante despre logaritm.

Subiect de studiu:

1) Găsiți informațiile necesare despre metodele nestandard de rezolvare a inegalităților logaritmice.

2) Găsiți informații suplimentare despre logaritmi.

3) Învață să rezolvi probleme specifice C3 folosind metode non-standard.

Rezultate:

Semnificație practică este extinderea aparatului de rezolvare a problemelor C3. Acest material poate fi folosit în unele lecții, pentru dirijarea cercurilor, orele opționale de matematică.

Produsul proiectului va fi colecția „Inegalități logaritmice C3 cu soluții”.

Capitolul 1. Context

În timpul secolului al XVI-lea, numărul de calcule aproximative a crescut rapid, în primul rând în astronomie. Îmbunătățirea instrumentelor, studiul mișcărilor planetare și alte lucrări au necesitat calcule colosale, uneori mulți ani. Astronomia era în pericol real de a se îneca în calcule neîmplinite. Au apărut dificultăți și în alte domenii, de exemplu, în domeniul asigurărilor, au fost necesare tabele de dobândă compusă pentru diferite valori procentuale. Principala dificultate a fost înmulțirea, împărțirea numerelor cu mai multe cifre, în special a cantităților trigonometrice.

Descoperirea logaritmilor sa bazat pe proprietățile binecunoscute ale progresiilor până la sfârșitul secolului al XVI-lea. Arhimede a vorbit despre legătura dintre membrii progresiei geometrice q, q2, q3, ... și progresia aritmetică a indicatorilor lor 1, 2, 3, ... în Psalmit. O altă condiție prealabilă a fost extinderea conceptului de grad la exponenți negativi și fracționari. Mulți autori au subliniat că înmulțirea, împărțirea, ridicarea la o putere și extragerea unei rădăcini corespund exponențial în aritmetică - în aceeași ordine - adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea.

Aici a fost ideea logaritmului ca exponent.

În istoria dezvoltării doctrinei logaritmilor au trecut mai multe etape.

Etapa 1

Logaritmii au fost inventați nu mai târziu de 1594 independent de baronul scoțian Napier (1550-1617) și zece ani mai târziu de mecanicul elvețian Burgi (1552-1632). Ambele au vrut să ofere un nou mijloc convenabil de calcule aritmetice, deși au abordat această problemă în moduri diferite. Napier a exprimat cinematic funcția logaritmică și a intrat astfel într-un nou domeniu al teoriei funcțiilor. Bürgi a rămas pe baza luării în considerare a progresiilor discrete. Cu toate acestea, definiția logaritmului pentru ambele nu este similară cu cea modernă. Termenul „logaritm” (logaritm) îi aparține lui Napier. A luat naștere dintr-o combinație de cuvinte grecești: logos – „relație” și ariqmo – „număr”, care însemna „număr de relații”. Inițial, Napier a folosit un alt termen: numeri artificiales - „numere artificiale”, spre deosebire de numeri naturalts - „numere naturale”.

În 1615, într-o conversație cu Henry Briggs (1561-1631), profesor de matematică la Gresh College din Londra, Napier a sugerat să ia zero pentru logaritmul lui unu și 100 pentru logaritmul lui zece sau, ceea ce înseamnă același lucru. , doar 1. Așa au fost tipărite logaritmii zecimal și Primele tabele logaritmice. Mai târziu, tabelele Briggs au fost completate de librarul și matematicianul olandez Andrian Flakk (1600-1667). Napier și Briggs, deși au ajuns la logaritmi înaintea oricui, și-au publicat tabelele mai târziu decât alții - în 1620. Semnele log și Log au fost introduse în 1624 de I. Kepler. Termenul de „logaritm natural” a fost introdus de Mengoli în 1659, urmat de N. Mercator în 1668, iar profesorul londonez John Spadel a publicat tabele de logaritmi naturali ai numerelor de la 1 la 1000 sub denumirea de „New Logarithms”.

În limba rusă, primele tabele logaritmice au fost publicate în 1703. Dar în toate tabelele logaritmice au fost făcute erori în calcul. Primele tabele fără erori au fost publicate în 1857 la Berlin în prelucrarea matematicianului german K. Bremiker (1804-1877).

Etapa 2

Dezvoltarea ulterioară a teoriei logaritmilor este asociată cu o aplicare mai largă a geometriei analitice și calculului infinitezimal. Până în acel moment, stabilirea unei legături între cuadratura unei hiperbole echilaterale și logaritmul natural. Teoria logaritmilor din această perioadă este asociată cu numele unui număr de matematicieni.

Matematicianul, astronomul și inginerul german Nikolaus Mercator în eseul său

„Logaritmotehnica” (1668) oferă o serie care dă expansiunea lui ln(x + 1) în termeni de

puteri x:

Această expresie corespunde exact cursului gândirii sale, deși, desigur, nu a folosit semnele d, ..., ci simboluri mai greoaie. Odată cu descoperirea seriei logaritmice, tehnica de calcul a logaritmilor s-a schimbat: au început să fie determinate folosind serii infinite. În prelegerile sale „Matematica elementară dintr-un punct de vedere superior”, citite în 1907-1908, F. Klein a sugerat folosirea formulei ca punct de plecare pentru construirea teoriei logaritmilor.

Etapa 3

Definirea unei funcții logaritmice ca funcție a inversului

exponențial, logaritmul ca exponent al unei baze date

nu a fost formulată imediat. Opera lui Leonhard Euler (1707-1783)

„Introducere în analiza infinitezimale” (1748) a servit ca mai departe

dezvoltarea teoriei funcţiei logaritmice. În acest fel,

Au trecut 134 de ani de când logaritmii au fost introduși pentru prima dată

(numărând din 1614) înainte ca matematicienii să vină cu o definiție

conceptul de logaritm, care stă acum la baza cursului școlar.

Capitolul 2. Colecția inegalităților logaritmice

2.1. Tranziții echivalente și metoda generalizată a intervalelor.

Tranziții echivalente

dacă a > 1

daca 0 < а < 1

Metoda intervalului generalizat

Această metodă este cea mai universală în rezolvarea inegalităților de aproape orice tip. Schema de soluții arată astfel:

1. Aduceți inegalitatea într-o astfel de formă, unde funcția este situată în partea stângă
, și 0 în dreapta.

2. Găsiți domeniul de aplicare al funcției
.

3. Aflați zerourile unei funcții
, adică rezolvați ecuația
(și rezolvarea unei ecuații este de obicei mai ușoară decât rezolvarea unei inegalități).

4. Desenați domeniul de definiție și zerourile funcției pe o dreaptă reală.

5. Determinați semnele funcției
la intervalele primite.

6. Selectați intervalele în care funcția preia valorile necesare și notați răspunsul.

Exemplul 1

Soluţie:

Aplicați metoda intervalului

Unde

Pentru aceste valori, toate expresiile sub semnele logaritmilor sunt pozitive.

Răspuns:

Exemplul 2

Soluţie:

1 cale . ODZ este determinat de inegalitate X> 3. Luarea de logaritmi pentru astfel de Xîn baza 10, obținem

Ultima inegalitate ar putea fi rezolvată prin aplicarea regulilor de descompunere, i.e. compararea factorilor cu zero. Cu toate acestea, în acest caz este ușor de determinat intervalele de constanță ale funcției

deci se poate aplica metoda intervalului.

Funcţie f(X) = 2X(X- 3.5)lgǀ X- 3ǀ este continuă pt X> 3 și dispare în puncte X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Astfel, determinăm intervalele de constanță ale funcției f(X):

Răspuns:

a 2-a cale . Să aplicăm ideile metodei intervalelor direct inegalității inițiale.

Pentru aceasta, amintim că expresiile A b- A c și ( A - 1)(b- 1) au un singur semn. Apoi inegalitatea noastră pentru X> 3 este echivalent cu inegalitatea

sau

Ultima inegalitate se rezolvă prin metoda intervalului

Răspuns:

Exemplul 3

Soluţie:

Aplicați metoda intervalului

Răspuns:

Exemplul 4

Soluţie:

Din 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 pentru toate reale X, apoi

Pentru a rezolva a doua inegalitate, folosim metoda intervalului

În prima inegalitate, noi facem schimbarea

atunci ajungem la inegalitatea 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, care satisfac inegalitatea -0,5< y < 1.

De unde, pentru că

obținem inegalitatea

care se realizează cu X, pentru care 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Acum, ținând cont de soluția celei de-a doua inegalități a sistemului, obținem în sfârșit

Răspuns:

Exemplul 5

Soluţie:

Inegalitatea este echivalentă cu un set de sisteme

sau

Aplicați metoda intervalului sau

Răspuns:

Exemplul 6

Soluţie:

Inegalitatea echivalează cu un sistem

Lăsa

apoi y > 0,

și prima inegalitate

sistemul ia forma

sau, extinderea

trinom pătrat în factori,

Aplicând metoda intervalului la ultima inegalitate,

vedem că soluţiile sale satisfac condiţia y> 0 va fi tot y > 4.

Astfel, inegalitatea originală este echivalentă cu sistemul:

Deci, soluțiile inegalității sunt toate

2.2. metoda de raționalizare.

Anterior, metoda de raționalizare a inegalității nu a fost rezolvată, nu era cunoscută. Acesta este noul modern metoda eficienta soluții ale inegalităților exponențiale și logaritmice” (citat din cartea lui Kolesnikova S.I.)
Și chiar dacă profesorul l-a cunoscut, era o teamă - dar expertul USE îl cunoaște și de ce nu-l dau la școală? Au fost situații când profesorul i-a spus elevului: "De unde l-ai luat? Stai jos - 2."
Acum metoda este promovată peste tot. Și pentru experți există instrucțiuni asociat cu această metodă, iar în „Cele mai complete ediții de variante standard...” în soluția C3, se folosește această metodă.
METODA ESTE GENIALĂ!

„Masa magică”

În alte surse

dacă a >1 și b >1, apoi log a b >0 și (a -1)(b -1)>0;

dacă a >1 și 0

daca 0<A<1 и b >1, apoi log a b<0 и (a -1)(b -1)<0;