Scopul lecției: repeta cunoștințele elevilor despre logaritmul unui număr, proprietățile acestuia; învață cum să rezolvi ecuații logaritmice și să le consolidezi atunci când faci exerciții.

Sarcini:

Educativ: repeta definirea si proprietatile de baza ale logaritmilor, sa le poti aplica in calcularea logaritmilor, in rezolvarea ecuatiilor logaritmice;

Dezvoltarea: pentru a forma capacitatea de a rezolva ecuații logaritmice;

Educativ: a cultiva perseverența, independența; insufla interesul pentru subiect

Tip de lecție: lecția de învățare a materialelor noi.

Echipament tehnic necesar:computer, proiector, ecran.

Structura și cursul lecției:

1. Organizarea timpului.

Profesor .

Bună, luați loc! Astăzi subiectul lecției noastre este „Rezolvarea ecuațiilor logaritmice”, în care ne vom familiariza cu modalitățile de rezolvare a acestora folosind definiția și proprietățile logaritmilor.(diapozitivul numărul 1)

1. munca orală.

Consolidarea conceptului de logaritm, repetarea proprietăților sale de bază și proprietățile funcției logaritmice:

1. Încălzirea teoriei:

1. Definiți logaritmul.(diapozitivul numărul 2)

2. Este posibil să găsiți logaritmul oricărui număr?

3. Ce număr poate fi la baza logaritmului?

4. Funcția y=log 0,8 x este în creștere sau în scădere?

5. Ce valori poate lua o funcție logaritmică?

6. Ce logaritmi se numesc zecimal, natural?

7. Care sunt principalele proprietăți ale logaritmilor.(diapozitivul numărul 3)

8. Se poate trece de la o bază a logaritmului la alta? Cum să o facă?(diapozitivul numărul 4)

2. Lucrați pe fișă (3-4 elevi):

Card numărul 1: Calculați: a) log 6 4 + log 6 9 =

B) log 1/3 36 - log 1/3 12 =

Rezolvați ecuația: log 5 x \u003d 4 log 5 3 - 1/3 log 5 27

Card #2:

Calculați: a) log211 - log244 =

B) log1/64 + log1/69 =

Rezolvați ecuația: log 7 x \u003d 2 log 7 5 + 1/2 log 7 36 - 1/3 log 7 125.

Sondaj frontal de clasă (exerciții orale)

Calculați: (diapozitivul numărul 5)

Comparați numerele: (diapozitivul numărul 6)

1. log ½ e și log ½ π;
2. log 2 √5/2 și log 2 √3/2.

Aflați semnul unei expresii log 0,8 3 log 6 2/3. (diapozitivul numărul 7)

1. Verificarea temelor:

Casei au fost repartizate următoarele exerciții: Nr. 327 (fără oră), 331 (fără oră), 333 (2) și 390 (6). Verificați răspunsurile la aceste sarcini și răspundeți la întrebările elevilor.

1. Învățarea de materiale noi:

Definiție: O ecuație care conține o variabilă sub semnul logaritmului se numește ecuație logaritmică.

Cel mai simplu exemplu de ecuație logaritmică este ecuația
Buturuga a x \u003d c (a\u003e 0, a ≠ 1)
Modalități de rezolvare a ecuațiilor logaritmice:(diapozitivul numărul 8)

1. Rezolvarea ecuațiilor pe baza definiției logaritmului.(diapozitivul numărul 9)

log a x = c (a > 0, a≠ 1) are soluția x = a Cu .

Pe baza definiției logaritmului, se rezolvă ecuații în care:

• având în vedere bazele și numărul, se determină logaritmul,
• Având în vedere logaritmul și baza, se determină un număr
• baza este determinată de numărul dat și de logaritm.

Exemple:

log 2 128= x, log 16 x = ¾, log x 27= 3,

2 x \u003d 128, x \u003d 16 ¾, x 3 \u003d 27,

2 x \u003d 2 7, x \u003d 2 3, x 3 \u003d 3 3,

x \u003d 7. x = 8. x = 3.

a) jurnalul 7 (3x-1)=2 (răspuns: x=3 1/3)

b) jurnalul 2 (7-8x)=2 (răspuns: x=3/8).

1. metoda de potențare.(diapozitivul numărul 10)

Prin potențare se înțelege trecerea de la o egalitate care conține logaritmi la o egalitate care nu îi conține, adică.

Log a f(x) = log a g(x), atunci f(x) = g(x), cu condiția ca f(x)>0, g(x)>0, a>0, a≠ 1.

Exemplu:

Rezolvați ecuația =

ODZ:

3x-1>0; x>1/3

6x+8>0.

3x-1=6x+8

3x=9

x=-3

3 >1/3 - incorect

Răspuns: Nu există soluții.

lg(x 2 -2) \u003d lg x (răspuns: x \u003d 2)

1. Ecuații rezolvate prin aplicarea identității logaritmice de bază.(diapozitivul numărul 11)

Exemplu:

Rezolvați ecuația=log 2 (6-x)

ODZ:

6-x>0;

x>0;

x≠1;

log 2 x 2 >0;

x 2 >0.

Soluție de sistem: (0;1)Ụ (1;6).

Jurnalul 2 (6-x)

x 2 = 6 x

x 2 + x-6 = 0

x=-3 nu aparține ODZ.

x=2 aparține ODZ.

Răspuns: x=2

Rezolvați cu clasa următoarea ecuație:

= (răspuns: x=1)

1. Metodă de reducere a logaritmilor la aceeași bază.(diapozitivul numărul 12)

Exemplu:

Rezolvați ecuația log 16 x+ log 4 x+ log 2 x=7

ODZ: x>0

¼ log 2 x+½ log 2 x+ log 2 x=7

7/4 log 2 x=7

log 2 x=4

х=16 – aparține ODZ.

Răspuns: x=16.

Rezolvați următoarea ecuație cu clasa:

3 (răspuns: x=5/3)

1. Ecuații rezolvate prin aplicarea proprietăților logaritmului.(diapozitivul numărul 13)

Exemplu:

Rezolvați ecuația log 2 (x +1) - log 2 (x -2) = 2.

ODZ:

x+1>0;

x-2>0. x>1.

Folosim formula pentru transformarea diferenței de logaritmi a logaritmului coeficientului, obținem log 2 = 2, de unde urmează= 4.

Rezolvând ultima ecuație, găsim x \u003d 3, 3\u003e 1 - dreapta

Răspuns: x = 3.

Rezolvați următoarele ecuații cu clasa:

a) log 5 (x + 1) + log 5 (x +5) = 1 (răspuns: x=0).

b) log 9 (37-12x) log 7-2x 3 = 1,

37-12x >0, x

7-2x >0, x

7-2x≠ 1; x≠ 3; x≠ 3;

Jurnalul 9 (37-12x) / jurnalul 3 (7-2x) = 1,

½ log 3 (37-12x) = log 3 (7-2x),

Log 3 (37-12x) = log 3 (7-2x) 2,

37-12x \u003d 49 -28x + 4x 2,

4x 2 -16x +12 \u003d 0,

X 2 -4x +3 \u003d 0, D \u003d 19, x 1 \u003d 1, x 2 =3, 3 este o rădăcină străină.

Răspuns: x=1 este rădăcina ecuației.

C) lg (x 2 -6x + 9) - 2lg (x - 7) = lg9.

(x 2 -6x + 9) > 0, x ≠ 3,

X-7 >0; x>7; x>7.

Lg ((x-3)/(x-7)) 2 = lg9

((x-3)/(x-7)) 2 = 9,

(x-3) / (x-7) \u003d 3, (x-3) / (x-7) \u003d - 3,

x-3 \u003d 3x -21, x -3 \u003d - 3x +21,

x=9. x=6 - rădăcină străină.

Verificarea arată rădăcina 9 a ecuației.

Raspuns: 9

1. Ecuații rezolvate prin introducerea unei variabile noi.(diapozitivul numărul 14)

Exemplu:

Rezolvați ecuația lg 2 x - 6lgx + 5 \u003d 0.

ODZ: x>0.

Fie lgx = p, apoi p 2 -6p+5=0.

p 1 = 1, p 2 = 5.

Înapoi la înlocuire:

lgх = 1, lgх =5

x=10, 10>0 – adevărat x=100000, 100000>0 – adevărat

Răspuns: 10, 100000

Rezolvați următoarea ecuație cu clasa:

Log 6 2 x + log 6 x +14 \u003d (√16 - x 2) 2 + x 2,

16 - x 2 ≥0; - 4≤ x ≤ 4;

X>0, x>0, O.D.Z. [ 0,4).

Log 6 2 x + log 6 x +14 \u003d 16 - x 2 + x 2,

Log 6 2 x + log 6 x -2 = 0

Înlocuiți log 6 x = t

T 2 + t -2 \u003d 0; D=9; t 1 \u003d 1, t 2 \u003d -2.

Jurnalul 6 x = 1, x = 6 este o rădăcină străină.

Jurnalul 6 x=-2, x=1/36, verificarea arată că 1/36 este rădăcina.

Răspuns: 1/36.

1. Ecuații rezolvate prin factorizare.(diapozitivul numărul 15)

Exemplu:

Rezolvați ecuația log 4 (2x-1) ∙ log 4 x \u003d 2 log 4 (2x-1)

ODZ:

2x-1>0;

X>0. x>½.

log 4 (2x-1)∙ log 4 x - 2 log 4 (2x-1)=0

log 4 (2x-1)∙(log 4 x-2)=0

log 4 (2x-1)=0 sau log 4 x-2=0

2x-1=1 log 4 x = 2

x=1 x=16

1;16 - aparțin ODZ

Răspuns: 1;16

Rezolvați următoarea ecuație cu clasa:

log 3 x ∙log 3 (3x-2)= log 3 (3x-2) (răspuns: x=1)

1. Metoda de luare a logaritmului ambelor părți ale ecuației.(diapozitivul numărul 16)

Exemplu:

Rezolvarea ecuațiilor

Luați logaritmul ambelor părți ale ecuației din baza 3.

Obținem log 3 = log 3 (3x)

obținem: log 3 x 2 log 3 x \u003d log 3 (3x),

2log 3 x log 3 x = log 3 3+ log 3 x,

2 log 3 2 x \u003d log 3 x +1,

2 log 3 2 x - log 3 x -1=0,

înlocuiți log 3 x = p, x > 0

2 p 2 + p -2 \u003d 0; D=9; p 1 \u003d 1, p 2 \u003d -1/2

Log 3 x = 1, x=3,

log 3 x \u003d -1 / 2, x \u003d 1 / √3.

Răspuns: 3; 1/√3

Rezolvați următoarea ecuație cu clasa:

Log 2 x - 1

x \u003d 64 (răspuns: x \u003d 8; x \u003d 1/4)

1. Functional - metoda grafica. (diapozitivul numărul 17)

Exemplu:

Rezolvarea ecuațiilor: log 3 x = 12 x.

Deoarece funcția y = log 3 x este în creștere, iar funcția y = 12-x este în scădere pe (0; + ∞), atunci ecuația dată pe acest interval are o singură rădăcină.

Să construim grafice a două funcții într-un sistem de coordonate: y = log 3 x și y = 12 x.

La x=10, ecuația dată se transformă în egalitatea numerică corectă 1=1. Răspunsul este x=10.

Rezolvați următoarea ecuație cu clasa:

1-√x \u003d ln x (răspuns: x \u003d 1).

1. Rezumat, reflecție (împărțiți cercuri pe care băieții își marchează starea de spirit cu o poză).(diapozitivul numărul 18,19)

Determinați metoda de rezolvare a ecuației:

1. Teme pentru acasă: 340(1), 393(1), 395(1.3), 1357(1.2), 337(1), 338(1), 339(1)

Literatură

1. Riazanovsky, A.R. Matematica. Clasele 5 - 11: Materiale suplimentare pentru lecția de matematică / A.R. Ryazanovsky, E.A. Zaitsev. - Ed. a II-a, stereotip. - M .: Dropia, 2002
2. Matematica. Supliment la ziarul „Primul septembrie”. 1997. Nr. 1, 10, 46, 48; 1998. Nr. 8, 16, 17, 20, 21, 47.
3. Skorkina, N.M. Forme nestandard de muncă extracurriculară. Pentru gimnaziu si liceu / N.M. Skorkin. - Volgograd: Profesor, 2004
4. Ziv, B.G., Goldich, V.A. Materiale didactice despre algebră și începuturile analizei pentru clasa a 10-a./B.G.Ziv, V.A.Goldich. - Ed. a III-a, corectată. - Sankt Petersburg: „CheRo-on-Neva”, 2004
5. Algebra și începuturile analizei: Matematică pentru școlile tehnice / ed. G.N. Yakovleva.-M.: Nauka, 1987

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați un cont Google (cont) și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrările slide-urilor:

Metode de rezolvare a ecuaţiilor logaritmice Profesor de matematică: Plotnikova T.V. MBOU „Școala Gimnazială Nr. 1 din Suzdal”

Definiție Logaritmul unui număr pozitiv b la baza a, unde a>0, a≠1, este un astfel de exponent c, la care trebuie să ridicați a pentru a obține b.

Proprietățile logaritmilor log a 1 = 0 log a a = 1 log a (x y) = log a x + log a y 3

Formule de transfer de bază 4

Calculați: 5

Compara 6

7 Determinați semnul numărului:

Metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor logaritmice

1. Folosind definiția logaritmului l og 2 128= x log x 27= 3 Rezolvați următoarele ecuații: a) log 7 (3x-1)=2 b) log 2 (7-8x)=2 9

2. Metoda potențarii Să rezolvăm următoarea ecuație: lg (x 2 -2) = lg x 10 2

11 3. Ecuații rezolvate prin aplicarea identității logaritmice de bază Să rezolvăm următoarea ecuație: 1

12 4 . Metoda de reducere a logaritmilor la aceeași bază log 16 x + log 4 x + log 2 x = 7 Rezolvați următoarea ecuație:

13 5. Ecuații rezolvate prin aplicarea proprietăților logaritmului log 2 (x +1) - log 2 (x -2) \u003d 2 Rezolvăm următoarele ecuații: a) l og 5 (x +1) + log 5 ( x +5) \u003d 1 b) log 9 (37-12x) log 7-2x 3 \u003d 1 c) lg (x 2 -6x + 9) - 2lg (x - 7) \u003d lg9 0 1 9

6. Ecuații rezolvate prin introducerea unei noi variabile l g 2 x - 6lgx +5 = 0 Rezolvăm următoarele ecuații: log 6 2 x + log 6 x +14 = (√16 - x 2) 2 + x 2 14

15 7. Ecuații rezolvate prin factorizare log 4 (2x-1)∙ log 4 x =2 log 4 (2x-1) Rezolvați următoarele ecuații: log 3 x ∙ log 3 (3x-2)= log 3 ( 3x-2) ) 1

8. Metoda logaritmului Să rezolvăm următoarea ecuație: 16

9. Funcțional - metoda grafică log 3 x = 12-x Să rezolvăm următoarea ecuație: 17 1

Determinați metoda de rezolvare a ecuației: Ecuație: Metoda de rezolvare pentru determinarea tranziției logaritmului la o altă potențare a factorizării de bază introducerea unei noi tranziții variabile la o altă bază utilizarea proprietăților graficului logaritmului logaritmului 18

Da! Și cine a venit cu aceste ecuații logaritmice! Pot sa fac orice!!! Mai ai nevoie de câteva exemple? Reflecție 19

Introducere

Creșterea încărcăturii mentale la lecțiile de matematică ne face să ne gândim la modul de menținere a interesului elevilor pentru materialul studiat, activitatea lor pe parcursul lecției. În acest sens, se caută noi metode de predare eficiente și astfel de tehnici metodologice care să activeze gândirea elevilor, să-i stimuleze să dobândească în mod independent cunoștințe.

Apariția interesului pentru matematică în rândul unui număr semnificativ de studenți depinde într-o măsură mai mare de metodologia predării acesteia, de cât de priceput va fi construită munca educațională. Atragerea în timp util a atenției elevilor asupra a ceea ce studiază matematica proprietăți generale obiecte și fenomene ale lumii înconjurătoare, se ocupă nu de obiecte, ci de concepte abstracte, se poate ajunge la înțelegerea faptului că matematica nu rupe legătura cu realitatea, ci, dimpotrivă, face posibilă studierea ei mai profundă, trasarea generalizată. concluzii teoretice care sunt utilizate pe scară largă în practică.

Participarea la festivalul ideilor pedagogice „Lecția deschisă” 2004-2005 an scolar, am susținut o lecție-prelecție pe tema „Funcția logaritmică” (diplomă nr. 204044). Cred că această metodă este cea mai de succes în acest caz particular. În urma studiului, elevii au un rezumat detaliat și o scurtă schiță asupra subiectului, ceea ce le va face mai ușor să se pregătească pentru următoarele lecții. În special, pe tema „Rezolvarea ecuațiilor logaritmice”, care se bazează pe deplin pe studiul funcției logaritmice și al proprietăților acesteia.

Când se formează concepte matematice fundamentale, este important să se creeze o idee în rândul elevilor despre oportunitatea introducerii fiecăruia dintre ele și despre posibilitatea aplicării lor. Pentru aceasta, este necesar ca atunci când se formulează definiția unui concept, lucrând la structura sa logică, să fie luate în considerare întrebările despre istoria apariției acestui concept. Această abordare îi va ajuta pe elevi să realizeze că noul concept servește ca o generalizare a faptelor realității.

Istoria apariției logaritmilor este prezentată în detaliu în lucrarea din ultimul an.

Ținând cont de importanța continuității în predarea matematicii la o instituție de învățământ secundar de specialitate și la o universitate și de necesitatea respectării unor cerințe uniforme pentru studenți, consider că este oportună introducerea următoarei metode de familiarizare a studenților cu soluția ecuațiilor logaritmice.

Ecuațiile care conțin o variabilă sub semnul logaritmului (în special, în baza logaritmului) se numesc logaritmică. Luați în considerare ecuații logaritmice de forma:

Rezolvarea acestor ecuații se bazează pe următoarea teoremă.

Teorema 1. Ecuația este echivalentă cu sistemul

(2)

Pentru a rezolva ecuația (1), este suficient să rezolvați ecuația

iar soluțiile sale sunt substituite în sistemul de inegalități

definirea domeniului de definire al ecuației (1).

Rădăcinile ecuației (1) vor fi doar acele soluții ale ecuației (3) care satisfac sistemul (4), adică. aparțin domeniului de definire al ecuației (1).

La rezolvarea ecuațiilor logaritmice poate apărea o extindere a domeniului de definiție (achiziția rădăcinilor străine) sau o îngustare (pierderea rădăcinilor). Prin urmare, înlocuirea rădăcinilor ecuației (3) în sistemul (4), adică este necesară verificarea soluției.

Exemplul 1: rezolva ecuatia

Soluţie:

Ambele sensuri X satisface conditiile sistemului.

Răspuns:

Luați în considerare ecuații de forma:

Soluția lor se bazează pe următoarea teoremă

Teorema 2: Ecuația (5) este echivalentă cu sistemul

(6)

Rădăcinile ecuației (5) vor fi numai acele rădăcini ale ecuației care

aparţin domeniului de definiţie dat de condiţiile .

O ecuație logaritmică de forma (5) poate fi rezolvată în diferite moduri. Să le luăm în considerare pe cele principale.

1. POTENTIFICARE (aplicând proprietățile logaritmului).

Exemplul 2: rezolva ecuatia

Soluţie:În virtutea teoremei 2, această ecuație este echivalentă cu sistemul:

Să rezolvăm ecuația:

O singură rădăcină satisface toate condițiile sistemului. Răspuns:

2. UTILIZAREA DEFINIȚIEI LOGARITMULUI .

Exemplul 3: Găsi X, dacă

Soluţie:

Sens X= 3 aparține domeniului ecuației. Răspuns X = 3

3. REDUCERE LA O ECUAȚIE CADRATICĂ.

Exemplul 4: rezolva ecuatia

Ambele sensuri X sunt rădăcinile ecuației.

Răspuns:

4. LOGARITH.

Exemplul 5: rezolva ecuatia

Soluţie: Luăm logaritmul ambelor părți ale ecuației în baza 10 și aplicăm proprietatea „logaritmul gradului”.

Ambele rădăcini aparțin intervalului de valori admisibile ale funcției logaritmice.

Răspuns: X = 0,1; X = 100

5. REDUCERE LA O BAZĂ.

Exemplul 6: rezolva ecuatia

Să folosim formula și treceți în toți termenii la logaritmul din baza 2:

Atunci această ecuație va lua forma:

Deoarece , atunci aceasta este rădăcina ecuației.

Răspuns: X = 16

6. INTRODUCEREA VARIABILEI AUXILIARE.

Cu toții suntem familiarizați cu ecuațiile. scoala primara. Chiar și acolo am învățat să rezolvăm cele mai simple exemple și trebuie să recunoaștem că își găsesc aplicația chiar și în matematica superioară. Totul este simplu cu ecuații, inclusiv cu cele pătrate. Dacă aveți probleme cu această temă, vă recomandăm insistent să o încercați din nou.

Logaritmi pe care probabil ai trecut deja și tu. Cu toate acestea, considerăm că este important să spunem ce este pentru cei care nu știu încă. Logaritmul echivalează cu puterea la care trebuie ridicată baza pentru a obține numărul din dreapta semnului logaritmului. Să dăm un exemplu, pe baza căruia, totul îți va deveni clar.

Dacă ridicați 3 la a patra putere, obțineți 81. Acum înlocuiți numerele prin analogie și veți înțelege în sfârșit cum se rezolvă logaritmii. Acum rămâne doar să îmbinăm cele două concepte luate în considerare. Inițial, situația pare extrem de dificilă, dar la o examinare mai atentă, greutatea cade la loc. Suntem siguri că după acest scurt articol nu veți avea probleme în această parte a examenului.

Astăzi, există multe modalități de a rezolva astfel de structuri. Vom vorbi despre cele mai simple, mai eficiente și mai aplicabile în cazul sarcinilor USE. Rezolvarea ecuațiilor logaritmice ar trebui să înceapă cu cel mai simplu exemplu. Cele mai simple ecuații logaritmice constau dintr-o funcție și o variabilă în ea.

Este important de reținut că x este în interiorul argumentului. A și b trebuie să fie numere. În acest caz, puteți exprima pur și simplu funcția în termeni de număr dintr-o putere. Arata cam asa.

Desigur, rezolvarea unei ecuații logaritmice în acest fel vă va conduce la răspunsul corect. Dar problema marii majorități a studenților în acest caz este că nu înțeleg ce și de unde vine. Ca urmare, trebuie să suporti greșeli și să nu obții punctele dorite. Cea mai ofensivă greșeală va fi dacă amesteci literele pe alocuri. Pentru a rezolva ecuația în acest fel, trebuie să memorați această formulă școlară standard, deoarece este greu de înțeles.

Pentru a fi mai ușor, puteți recurge la o altă metodă - forma canonică. Ideea este extrem de simplă. Fii atent la sarcină din nou. Amintiți-vă că litera a este un număr, nu o funcție sau o variabilă. A nu este egal cu unu și este mai mare decât zero. Nu există restricții cu privire la b. Acum, dintre toate formulele, ne amintim una. B poate fi exprimat după cum urmează.

De aici rezultă că toate ecuațiile originale cu logaritmi pot fi reprezentate ca:

Acum putem elimina logaritmii. Rezultatul este o construcție simplă, pe care am văzut-o deja mai devreme.

Comoditatea acestei formule constă în faptul că poate fi folosită într-o varietate de cazuri, și nu doar pentru cele mai simple modele.

Nu vă faceți griji pentru OOF!

Mulți matematicieni experimentați vor observa că nu am acordat atenție domeniului definiției. Regula se rezumă la faptul că F(x) este în mod necesar mai mare decât 0. Nu, nu am ratat acest punct. Acum vorbim despre un alt avantaj serios al formei canonice.

Nu vor fi rădăcini suplimentare aici. Dacă variabila va apărea doar într-un singur loc, atunci domeniul nu este necesar. Se rulează automat. Pentru a verifica această judecată, luați în considerare rezolvarea câtorva exemple simple.

Cum se rezolvă ecuații logaritmice cu baze diferite

Acestea sunt deja ecuații logaritmice complexe, iar abordarea soluției lor ar trebui să fie specială. Aici este rareori posibil să ne limităm la forma canonică notorie. Să începem povestea noastră detaliată. Avem următoarea construcție.

Observați fracția. Conține logaritmul. Dacă vedeți acest lucru în sarcină, merită să vă amintiți un truc interesant.

Ce înseamnă? Fiecare logaritm poate fi exprimat ca un coeficient de doi logaritmi cu o bază convenabilă. Și această formulă are caz special, care este aplicabil cu acest exemplu (adică dacă c=b).

Este exact ceea ce vedem în exemplul nostru. În acest fel.

De fapt, au răsturnat fracția și au primit o expresie mai convenabilă. Amintiți-vă de acest algoritm!

Acum avem nevoie ca ecuația logaritmică să nu conțină baze diferite. Să reprezentăm baza ca o fracție.

În matematică, există o regulă, pe baza căreia, puteți scoate gradul de la bază. Rezultă următoarea construcție.

S-ar părea că acum ce ne împiedică să ne transformăm expresia într-o formă canonică și să o rezolvăm în mod elementar? Nu atât de simplu. Nu ar trebui să existe fracții înainte de logaritm. Să reparăm această situație! O fracție este permisă să fie scoasă ca grad.

Respectiv.

Dacă bazele sunt aceleași, putem elimina logaritmii și echivalăm expresiile în sine. Așa că situația va deveni de multe ori mai ușoară decât a fost. Va exista o ecuație elementară pe care fiecare dintre noi a știut să o rezolve încă din clasa a VIII-a sau chiar a VII-a. Puteți face singuri calculele.

Avem singura rădăcină adevărată a acestei ecuații logaritmice. Exemplele de rezolvare a unei ecuații logaritmice sunt destul de simple, nu? Acum veți putea face față în mod independent chiar și celor mai dificile sarcini pentru pregătirea și promovarea examenului.

Care este rezultatul?

În cazul oricăror ecuații logaritmice, pornim de la o regulă foarte importantă. Este necesar să se acționeze în așa fel încât să se aducă expresia la cea mai simplă formă. În acest caz, veți avea mai multe șanse nu doar să rezolvați corect problema, ci și să o faceți în cel mai simplu și logic mod. Așa lucrează întotdeauna matematicienii.

Nu vă recomandăm insistent să căutați căi dificile, mai ales în acest caz. Amintiți-vă câteva reguli simple care vă vor permite să transformați orice expresie. De exemplu, aduceți doi sau trei logaritmi la aceeași bază sau luați o putere de la bază și câștigați pe ea.

De asemenea, merită să ne amintim că în rezolvarea ecuațiilor logaritmice trebuie să te antrenezi în mod constant. Treptat, vei trece la structuri din ce în ce mai complexe, iar asta te va conduce să rezolvi cu încredere toate opțiunile pentru problemele de la examen. Pregătește-te pentru examene cu mult timp înainte și mult succes!

Acest articol conține o prezentare sistematică a metodelor de rezolvare a ecuațiilor logaritmice cu o variabilă. Acest lucru îl va ajuta pe profesor, în primul rând în sens didactic: selecția exercițiilor vă permite să creați sarcini individuale pentru elevi, ținând cont de capacitățile acestora. Aceste exerciții pot fi folosite pentru o lecție de generalizare și pentru pregătirea pentru examen.
Scurte informații teoretice și rezolvarea de probleme permit elevilor să dezvolte în mod independent abilitățile și abilitățile de a rezolva ecuații logaritmice.

Rezolvarea ecuațiilor logaritmice.

Ecuații logaritmice – ecuații care conțin necunoscutul sub semn logaritm. La rezolvarea ecuațiilor logaritmice, se folosesc adesea informații teoretice:

De obicei, soluția ecuațiilor logaritmice începe cu definiția ODZ. În ecuațiile logaritmice, se recomandă ca toți logaritmii să fie convertiți astfel încât bazele lor să fie egale. Apoi, ecuațiile fie sunt exprimate în termeni de un singur logaritm, care este notat cu o nouă variabilă, fie ecuația este convertită într-o formă convenabilă pentru potențare.
Transformările expresiilor logaritmice nu ar trebui să conducă la o îngustare a ODZ, dar dacă metoda aplicată de soluție îngustează ODZ, eliberând numerele individuale din considerare, atunci aceste numere de la sfârșitul problemei trebuie verificate prin substituție în ecuația originală, deoarece la îngustarea ODZ, este posibilă pierderea rădăcinilor.

1. Ecuații de formă este o expresie care conține un număr necunoscut și numărul .

1) utilizați definiția logaritmului: ;
2) faceți o verificare sau găsiți intervalul de valori valide pentru data necunoscutași selectați rădăcinile (soluțiile) corespunzătoare.
În cazul în care un ) .

2. Ecuații de gradul I în raport cu logaritmul, în soluția cărora se folosesc proprietățile logaritmilor.

Pentru a rezolva aceste ecuații, aveți nevoie de:

1) folosind proprietățile logaritmilor, transformați ecuația;
2) rezolvați ecuația rezultată;
3) verificați sau găsiți intervalul de valori acceptabile pentru un număr necunoscut și selectați rădăcinile (soluțiile) corespunzătoare acestora.
).

3. Ecuația gradului doi și superior relativ la logaritm.

Pentru a rezolva aceste ecuații, aveți nevoie de:

1. efectuați o schimbare de variabilă;
2. rezolvați ecuația rezultată;
3. efectuați o înlocuire inversă;
4. rezolvați ecuația rezultată;
5. verificați sau găsiți intervalul de valori acceptabile pentru un număr necunoscut și selectați rădăcinile (soluțiile) corespunzătoare acestora.

4. Ecuații care conțin necunoscutul în bază și în exponent.

Pentru a rezolva aceste ecuații, aveți nevoie de:

1. luați logaritmul ecuației;
2. rezolvați ecuația rezultată;
3. faceți o verificare sau găsiți intervalul de valori acceptabile pentru un număr necunoscut și selectați-le pe cele corespunzătoare
   rădăcini (soluții).

5. Ecuații care nu au soluție.

1. Pentru a rezolva astfel de ecuații, este necesar să găsim ecuația ODZ.
2. Analizați părțile stânga și dreaptă ale ecuației.
3. Trageți concluziile adecvate.

Ecuația inițială este echivalentă cu sistemul:

Demonstrați că ecuația nu are soluție.

Ecuația ODZ este definită de inegalitatea x ≥ 0. Pe ODZ avem

Suma unui număr pozitiv și a unui număr nenegativ nu este egală cu zero, deci ecuația inițială nu are soluții.

Răspuns: Nu există soluții.

Doar o rădăcină x \u003d 0 intră în ODZ. Răspuns: 0.

Să facem un înlocuitor.

Rădăcinile găsite aparțin ODZ.

Ecuația ODZ este mulțimea tuturor numerelor pozitive.

Pentru că

Aceste ecuații sunt rezolvate într-un mod similar:

Sarcini pentru soluție independentă:

Cărți uzate.

1. Bechetnov V.M. Matematica. Demiurgul Moscovei 1994
2. Borodulya I.T. Funcții exponențiale și logaritmice. (sarcini și exerciții). „Iluminismul” de la Moscova 1984
3. Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. Sarcini în matematică. Ecuații și inegalități. Moscova „Știință” 1987
4. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Antrenor algebric. Moscova "Ileksa" 2007
5. Saakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Probleme în algebră și principii de analiză. „Iluminismul” de la Moscova 2003

proprietăți de bază.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

aceleași temeiuri

log6 4 + log6 9.

Acum să complicăm puțin sarcina.

Exemple de rezolvare a logaritmilor

Ce se întâmplă dacă există un grad în baza sau argumentul logaritmului? Apoi, exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului conform următoarelor reguli:

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă logaritmul ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

O sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Trecerea la o nouă fundație

Să fie dat logaritmul logax. Atunci pentru orice număr c astfel încât c > 0 și c ≠ 1, egalitatea este adevărată:

O sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Vezi si:

Proprietățile de bază ale logaritmului

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Exponentul este 2,718281828... Pentru a vă aminti exponentul, puteți studia regula: exponentul este 2,7 și de două ori anul nașterii lui Lev Tolstoi.

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Cunoscând această regulă, veți ști atât valoarea exactă a exponentului, cât și data nașterii lui Lev Tolstoi.

Exemple de logaritmi

Luați logaritmul expresiilor

Exemplul 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

După proprietățile 3,5 calculăm

2.

3.

Exemplul 2 Găsiți x dacă

Exemplul 3. Să fie dată valoarea logaritmilor

Calculați log(x) dacă

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Logaritmii, ca orice număr, pot fi adunați, scăzuți și convertiți în toate modurile posibile. Dar, deoarece logaritmii nu sunt numere obișnuite, aici există reguli care sunt numite proprietăți de bază.

Aceste reguli trebuie cunoscute - nicio problemă logaritmică serioasă nu poate fi rezolvată fără ele. În plus, sunt foarte puține dintre ele - totul poate fi învățat într-o singură zi. Deci sa începem.

Adunarea și scăderea logaritmilor

Luați în considerare doi logaritmi cu aceeași bază: logax și logay. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Deci, suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este logaritmul coeficientului. Vă rugăm să rețineți: punctul cheie aici este - aceleași temeiuri. Dacă bazele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!

Aceste formule vor ajuta la calcularea expresiei logaritmice chiar și atunci când părțile sale individuale nu sunt luate în considerare (vezi lecția „Ce este un logaritm”). Aruncă o privire la exemple și vezi:

Deoarece bazele logaritmilor sunt aceleași, folosim formula sumei:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log2 48 − log2 3.

Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log3 135 − log3 5.

Din nou, bazele sunt aceleași, deci avem:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

După cum puteți vedea, expresiile originale sunt formate din logaritmi „răi”, care nu sunt considerați separat. Dar după transformări apar numere destul de normale. Pe baza acestui fapt, mulți hârtii de test. Da, control - expresii similare cu toată seriozitatea (uneori - practic fără modificări) sunt oferite la examen.

Eliminarea exponentului din logaritm

Este ușor de observat că ultima regulă le urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă logaritmul ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Și încă ceva: învață să aplici toate formulele nu numai de la stânga la dreapta, ci și invers, adică. puteți introduce numerele dinaintea semnului logaritmului în logaritmul însuși. Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log7 496.

Să scăpăm de gradul din argument conform primei formule:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

O sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Rețineți că numitorul este un logaritm a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 24; 49 = 72. Avem:

Cred că ultimul exemplu trebuie clarificat. Unde s-au dus logaritmii? Până în ultimul moment, lucrăm doar cu numitorul.

Formule de logaritmi. Logaritmii sunt exemple de soluții.

Ei au prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de grade și au scos indicatorii - au obținut o fracțiune „cu trei etaje”.

Acum să ne uităm la fracția principală. Numătorul și numitorul au același număr: log2 7. Deoarece log2 7 ≠ 0, putem reduce fracția - 2/4 va rămâne în numitor. Conform regulilor de aritmetică, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce a fost făcut. Rezultatul este răspunsul: 2.

Trecerea la o nouă fundație

Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod special că funcționează doar cu aceleași baze. Ce se întâmplă dacă bazele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte de același număr?

Formulele pentru tranziția către o nouă bază vin în ajutor. Le formulăm sub forma unei teoreme:

Să fie dat logaritmul logax. Atunci pentru orice număr c astfel încât c > 0 și c ≠ 1, egalitatea este adevărată:

În special, dacă punem c = x, obținem:

Din a doua formulă rezultă că este posibil să se schimbe baza și argumentul logaritmului, dar în acest caz întreaga expresie este „întoarsă”, i.e. logaritmul este la numitor.

Aceste formule se găsesc rar în expresiile numerice obișnuite. Este posibil să se evalueze cât de convenabile sunt acestea numai atunci când se rezolvă ecuații și inegalități logaritmice.

Cu toate acestea, există sarcini care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să luăm în considerare câteva dintre acestea:

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log5 16 log2 25.

Rețineți că argumentele ambilor logaritmi sunt exponenți exacti. Să scoatem indicatorii: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Acum să inversăm al doilea logaritm:

Deoarece produsul nu se schimbă din permutarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi am dat seama de logaritmi.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log9 100 lg 3.

Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să-l notăm și să scăpăm de indicatorii:

Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:

Identitatea logaritmică de bază

Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată. În acest caz, formulele ne vor ajuta:

În primul caz, numărul n devine exponent în argument. Numărul n poate fi absolut orice, pentru că este doar valoarea logaritmului.

A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Se numeste asa:

Într-adevăr, ce se va întâmpla dacă numărul b este ridicat în așa măsură încât numărul b în acest grad să dea numărul a? Așa este: acesta este același număr a. Citiți din nou acest paragraf cu atenție - mulți oameni „atârnă” de el.

La fel ca noile formule de conversie de bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Rețineți că log25 64 = log5 8 - tocmai a scos pătratul de la bază și argumentul logaritmului. Având în vedere regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, obținem:

Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală din cadrul examenului unificat de stat 🙂

Unitate logaritmică și zero logaritmic

În concluzie, voi da două identități care sunt greu de numit proprietăți - mai degrabă, acestea sunt consecințe din definiția logaritmului. Se găsesc constant în probleme și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și elevilor „avansați”.

1. logaa = 1 este. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritmul oricărei baze a din acea bază în sine este egal cu unu.
2. loga 1 = 0 este. Baza a poate fi orice, dar dacă argumentul este unul, logaritmul este zero! Deoarece a0 = 1 este o consecință directă a definiției.

Sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică! Descărcați cheat sheet la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.

Vezi si:

Logaritmul numărului b la baza a denotă expresia. A calcula logaritmul înseamnă a găsi o astfel de putere x () la care egalitatea este adevărată

Proprietățile de bază ale logaritmului

Proprietățile de mai sus trebuie cunoscute, deoarece, pe baza lor, aproape toate problemele și exemplele sunt rezolvate pe baza logaritmilor. Proprietățile exotice rămase pot fi derivate prin manipulări matematice cu aceste formule

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

La calcularea formulelor pentru suma și diferența logaritmilor (3.4) sunt întâlnite destul de des. Restul sunt oarecum complexe, dar într-o serie de sarcini sunt indispensabile pentru simplificarea expresiilor complexe și calcularea valorilor acestora.

Cazuri comune de logaritmi

Unii dintre logaritmii obișnuiți sunt cei în care baza este chiar zece, exponențială sau două.
Logaritmul de bază zece este de obicei numit logaritm de bază zece și se notează simplu lg(x).

Din înregistrare se poate observa că elementele de bază nu sunt scrise în înregistrare. De exemplu

Logaritmul natural este logaritmul a cărui bază este exponentul (notat ln(x)).

Exponentul este 2,718281828... Pentru a vă aminti exponentul, puteți studia regula: exponentul este 2,7 și de două ori anul nașterii lui Lev Tolstoi. Cunoscând această regulă, veți ști atât valoarea exactă a exponentului, cât și data nașterii lui Lev Tolstoi.

Și un alt logaritm important de bază doi este

Derivata logaritmului funcției este egală cu una împărțită la variabilă

Logaritmul integral sau antiderivat este determinat de dependență

Materialul de mai sus este suficient pentru a rezolva o clasă largă de probleme legate de logaritmi și logaritmi. Pentru a înțelege materialul, voi da doar câteva exemple comune din curiculumul scolarși universități.

Exemple de logaritmi

Luați logaritmul expresiilor

Exemplul 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

După proprietățile 3,5 calculăm

2.
Prin proprietatea de diferență a logaritmilor, avem

3.
Folosind proprietățile 3.5 găsim

După privire expresie compusă utilizarea unei serii de reguli este simplificată la forma

Găsirea valorilor logaritmului

Exemplul 2 Găsiți x dacă

Soluţie. Pentru calcul, aplicăm proprietățile 5 și 13 până la ultimul termen

Înlocuiește în evidență și plânge

Deoarece bazele sunt egale, echivalăm expresiile

Logaritmi. Primul nivel.

Să fie dată valoarea logaritmilor

Calculați log(x) dacă

Soluție: Luați logaritmul variabilei pentru a scrie logaritmul prin suma termenilor

Acesta este doar începutul cunoașterii logaritmilor și proprietăților lor. Exersați calculele, îmbogățiți-vă abilitățile practice - veți avea nevoie în curând de cunoștințele dobândite pentru a rezolva ecuații logaritmice. După ce am studiat metodele de bază pentru rezolvarea unor astfel de ecuații, vă vom extinde cunoștințele pentru un alt subiect la fel de important - inegalitățile logaritmice ...

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Logaritmii, ca orice număr, pot fi adunați, scăzuți și convertiți în toate modurile posibile. Dar, deoarece logaritmii nu sunt numere obișnuite, aici există reguli care sunt numite proprietăți de bază.

Aceste reguli trebuie cunoscute - nicio problemă logaritmică serioasă nu poate fi rezolvată fără ele. În plus, sunt foarte puține dintre ele - totul poate fi învățat într-o singură zi. Deci sa începem.

Adunarea și scăderea logaritmilor

Luați în considerare doi logaritmi cu aceeași bază: logax și logay. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Deci, suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este logaritmul coeficientului. Vă rugăm să rețineți: punctul cheie aici este - aceleași temeiuri. Dacă bazele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!

Aceste formule vor ajuta la calcularea expresiei logaritmice chiar și atunci când părțile sale individuale nu sunt luate în considerare (vezi lecția „Ce este un logaritm”). Aruncă o privire la exemple și vezi:

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log6 4 + log6 9.

Deoarece bazele logaritmilor sunt aceleași, folosim formula sumei:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log2 48 − log2 3.

Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log3 135 − log3 5.

Din nou, bazele sunt aceleași, deci avem:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

După cum puteți vedea, expresiile originale sunt formate din logaritmi „răi”, care nu sunt considerați separat. Dar după transformări apar numere destul de normale. Multe teste se bazează pe acest fapt. Da, control - expresii similare cu toată seriozitatea (uneori - practic fără modificări) sunt oferite la examen.

Eliminarea exponentului din logaritm

Acum să complicăm puțin sarcina. Ce se întâmplă dacă există un grad în baza sau argumentul logaritmului? Apoi, exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului conform următoarelor reguli:

Este ușor de observat că ultima regulă le urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă logaritmul ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Și încă ceva: învață să aplici toate formulele nu numai de la stânga la dreapta, ci și invers, adică. puteți introduce numerele dinaintea semnului logaritmului în logaritmul însuși.

Cum se rezolvă logaritmii

Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log7 496.

Să scăpăm de gradul din argument conform primei formule:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

O sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Rețineți că numitorul este un logaritm a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 24; 49 = 72. Avem:

Cred că ultimul exemplu trebuie clarificat. Unde s-au dus logaritmii? Până în ultimul moment, lucrăm doar cu numitorul. Ei au prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de grade și au scos indicatorii - au obținut o fracțiune „cu trei etaje”.

Acum să ne uităm la fracția principală. Numătorul și numitorul au același număr: log2 7. Deoarece log2 7 ≠ 0, putem reduce fracția - 2/4 va rămâne în numitor. Conform regulilor de aritmetică, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce a fost făcut. Rezultatul este răspunsul: 2.

Trecerea la o nouă fundație

Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod special că funcționează doar cu aceleași baze. Ce se întâmplă dacă bazele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte de același număr?

Formulele pentru tranziția către o nouă bază vin în ajutor. Le formulăm sub forma unei teoreme:

Să fie dat logaritmul logax. Atunci pentru orice număr c astfel încât c > 0 și c ≠ 1, egalitatea este adevărată:

În special, dacă punem c = x, obținem:

Din a doua formulă rezultă că este posibil să se schimbe baza și argumentul logaritmului, dar în acest caz întreaga expresie este „întoarsă”, i.e. logaritmul este la numitor.

Aceste formule se găsesc rar în expresiile numerice obișnuite. Este posibil să se evalueze cât de convenabile sunt acestea numai atunci când se rezolvă ecuații și inegalități logaritmice.

Cu toate acestea, există sarcini care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să luăm în considerare câteva dintre acestea:

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log5 16 log2 25.

Rețineți că argumentele ambilor logaritmi sunt exponenți exacti. Să scoatem indicatorii: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Acum să inversăm al doilea logaritm:

Deoarece produsul nu se schimbă din permutarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi am dat seama de logaritmi.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log9 100 lg 3.

Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să-l notăm și să scăpăm de indicatorii:

Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:

Identitatea logaritmică de bază

Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată. În acest caz, formulele ne vor ajuta:

În primul caz, numărul n devine exponent în argument. Numărul n poate fi absolut orice, pentru că este doar valoarea logaritmului.

A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Se numeste asa:

Într-adevăr, ce se va întâmpla dacă numărul b este ridicat în așa măsură încât numărul b în acest grad să dea numărul a? Așa este: acesta este același număr a. Citiți din nou acest paragraf cu atenție - mulți oameni „atârnă” de el.

La fel ca noile formule de conversie de bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Rețineți că log25 64 = log5 8 - tocmai a scos pătratul de la bază și argumentul logaritmului. Având în vedere regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, obținem:

Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală din cadrul examenului unificat de stat 🙂

Unitate logaritmică și zero logaritmic

În concluzie, voi da două identități care sunt greu de numit proprietăți - mai degrabă, acestea sunt consecințe din definiția logaritmului. Se găsesc constant în probleme și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și elevilor „avansați”.

1. logaa = 1 este. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritmul oricărei baze a din acea bază în sine este egal cu unu.
2. loga 1 = 0 este. Baza a poate fi orice, dar dacă argumentul este unul, logaritmul este zero! Deoarece a0 = 1 este o consecință directă a definiției.

Sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică! Descărcați cheat sheet la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.