Simplificarea expresiilor algebrice este una dintre cheile învățării algebrei și o abilitate extrem de utilă pentru toți matematicienii. Simplificarea vă permite să reduceți o expresie complexă sau lungă la o expresie simplă cu care este ușor de lucrat. Abilitățile de bază de simplificare sunt bune chiar și pentru cei care nu sunt entuziaști de matematică. Urmând câteva reguli simple, multe dintre cele mai comune tipuri de expresii algebrice pot fi simplificate fără cunoștințe matematice speciale.

Pași

Definiții importante

1. Membri similari . Aceștia sunt membri cu o variabilă de aceeași ordine, membri cu aceleași variabile sau membri liberi (membri care nu conțin o variabilă). Cu alte cuvinte, termeni similari includ o variabilă în aceeași măsură, includ mai multe variabile identice sau nu includ deloc o variabilă. Ordinea termenilor din expresie nu contează.

   • De exemplu, 3x 2 și 4x 2 sunt termeni asemănători deoarece conțin variabila „x” de ordinul doi (în a doua putere). Cu toate acestea, x și x 2 nu sunt membri similari, deoarece conțin variabila „x” de ordine diferite (primul și al doilea). În mod similar, -3yx și 5xz nu sunt membri similari deoarece conțin variabile diferite.

2. Factorizarea . Aceasta înseamnă găsirea unor astfel de numere, al căror produs duce la numărul inițial. Orice număr original poate avea mai mulți factori. De exemplu, numărul 12 poate fi descompus în următoarea serie de factori: 1 × 12, 2 × 6 și 3 × 4, deci putem spune că numerele 1, 2, 3, 4, 6 și 12 sunt factori ai numărul 12. Factorii sunt la fel ca divizorii , adică numerele cu care numărul inițial este divizibil.

   • De exemplu, dacă doriți să factorizați numărul 20, scrieți-l astfel: 4×5.
   • Rețineți că la factorizare, variabila este luată în considerare. De exemplu, 20x = 4(5x).
   • Numerele prime nu pot fi factorizate, deoarece sunt divizibile doar cu ele însele și cu 1.

3. Amintiți-vă și urmați ordinea operațiunilor pentru a evita greșelile.

   • Paranteze
   • grad
   • Multiplicare
   • Divizia
   • Plus
   • Scădere

   Casting Like Members

   1. Notează expresia. Cele mai simple expresii algebrice (care nu conțin fracții, rădăcini și așa mai departe) pot fi rezolvate (simplificate) în doar câțiva pași.

      • De exemplu, simplificați expresia 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Definiți membri similari (membri cu o variabilă de aceeași ordine, membri cu aceleași variabile sau membri liberi).

      • Găsiți termeni similari în această expresie. Termenii 2x și 4x conțin o variabilă de același ordin (primul). De asemenea, 1 și -3 sunt membri liberi (nu conțin o variabilă). Astfel, în această expresie, termenii 2x și 4x sunt similare, iar membrii 1 și -3 sunt de asemenea asemănătoare.

   3. Oferă membri similari. Aceasta înseamnă adăugarea sau scăderea lor și simplificarea expresiei.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Rescrieți expresia ținând cont de membrii dați. Veți obține o expresie simplă cu mai puțini termeni. Noua expresie este egală cu cea originală.

      • În exemplul nostru: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, adică expresia originală este simplificată și mai ușor de lucrat.

   5. Observați ordinea în care sunt efectuate operațiunile atunci când turnați termeni similari.În exemplul nostru, a fost ușor să aducem termeni similari. Cu toate acestea, în cazul expresiilor complexe în care membrii sunt încadrați între paranteze și sunt prezente fracții și rădăcini, nu este atât de ușor să aduceți astfel de termeni. În aceste cazuri, urmați ordinea operațiilor.

      • De exemplu, luați în considerare expresia 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Aici ar fi o greșeală să definiți imediat 3x și 2x ca termeni similari și să îi citați, deoarece mai întâi trebuie să extindeți parantezele. Prin urmare, efectuați operațiunile în ordinea lor.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Acum, când expresia conține doar operații de adunare și scădere, puteți arunca termeni similari.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Parantezărea multiplicatorului

   1. Găsi cel mai mare divizor comun(GCD) a tuturor coeficienților expresiei. NOD este cel mai mare număr, prin care se împart toți coeficienții expresiei.

      • De exemplu, luați în considerare ecuația 9x 2 + 27x - 3. În acest caz, mcd=3, deoarece orice coeficient al acestei expresii este divizibil cu 3.

   2. Împărțiți fiecare termen al expresiei la mcd. Termenii rezultați vor conține coeficienți mai mici decât în ​​expresia originală.

      • În exemplul nostru, împărțiți fiecare termen de expresie la 3.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Sa dovedit expresia 3x2 + 9x-1. Nu este egal cu expresia originală.

   3. Scrieți expresia originală ca fiind egală cu produsul mcd înmulțit cu expresia rezultată. Adică, includeți expresia rezultată între paranteze și scoateți GCD-ul dintre paranteze.

      • În exemplul nostru: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Simplificarea expresiilor fracționale prin scoaterea multiplicatorului din paranteze. De ce pur și simplu scoateți multiplicatorul din paranteze, așa cum sa făcut mai devreme? Apoi, pentru a învăța cum să simplificați expresii complexe, cum ar fi expresiile fracționale. În acest caz, scoaterea factorului dintre paranteze poate ajuta la eliminarea fracției (de la numitor).

      • De exemplu, luați în considerare expresia fracțională (9x 2 + 27x - 3)/3. Utilizați paranteze pentru a simplifica această expresie.
        • Factorizați factorul 3 (cum ați făcut înainte): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Rețineți că atât numărătorul, cât și numitorul au acum numărul 3. Acesta poate fi redus și obțineți expresia: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Deoarece orice fracție care are numărul 1 la numitor este doar egală cu numărătorul, expresia fracțională inițială este simplificată la: 3x2 + 9x-1.

   Tehnici suplimentare de simplificare

   1. Simplificarea expresiilor fracționale. După cum sa menționat mai sus, dacă atât numărătorul, cât și numitorul conțin aceiași termeni (sau chiar aceleași expresii), atunci pot fi reduse. Pentru a face acest lucru, trebuie să eliminați factorul comun al numărătorului sau al numitorului sau atât al numărătorului, cât și al numitorului. Sau puteți împărți fiecare termen al numărătorului la numitor și astfel simplificați expresia.

      • De exemplu, luați în considerare expresia fracțională (5x 2 + 10x + 20)/10. Aici, pur și simplu împărțiți fiecare termen al numărătorului la numitorul (10). Dar rețineți că termenul 5x2 nu este nici măcar divizibil cu 10 (pentru că 5 este mai mic de 10).
        • Deci, scrieți expresia simplificată astfel: ((5x 2)/10) + x + 2 = (1/2)x 2 + x + 2.

   2. Simplificarea expresiilor radicale. Expresiile sub semnul radical sunt numite expresii radicale. Ele pot fi simplificate prin descompunerea lor în factori corespunzători și eliminarea ulterioară a unui factor de sub rădăcină.

      • Luați în considerare un exemplu simplu: √(90). Numărul 90 poate fi descompus în următorii factori: 9 și 10, iar din 9 extrage Rădăcină pătrată(3) și scoateți 3 de sub rădăcină.
        • √(90)
        • √(9×10)
        • √(9)×√(10)
        • 3×√(10)
        • 3√(10)

   3. Simplificarea expresiilor cu puteri.În unele expresii, există operații de înmulțire sau împărțire a termenilor cu grad. În cazul înmulțirii termenilor cu o singură bază, se adună gradele acestora; în cazul împărțirii termenilor cu aceeași bază, se scad gradele acestora.

      • De exemplu, luați în considerare expresia 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). În cazul înmulțirii, se adună exponenții, iar în cazul împărțirii, se scad.
        • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
        • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
        • 48x7+x2
      • Mai jos este o explicație a regulii de înmulțire și împărțire a termenilor cu un grad.
        • Înmulțirea termenilor cu puteri este echivalentă cu înmulțirea termenilor prin ei înșiși. De exemplu, deoarece x 3 = x × x × x și x 5 = x × x × x × x × x, atunci x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), sau x8.
        • În mod similar, împărțirea termenilor cu puteri este echivalentă cu împărțirea termenilor la ei înșiși. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Deoarece termeni similari care sunt atât în ​​numărător, cât și în numitor pot fi reduceți, produsul a doi „x”, sau x 2, rămâne în numărător.

Materialul acestui articol este o privire generală asupra transformării expresiilor care conțin fracții. Aici vom lua în considerare transformările de bază care sunt caracteristice expresiilor cu fracții.

Navigare în pagină.

Expresii fracționale și expresii fracționale

Pentru început, să clarificăm cu ce fel de transformare a expresiei ne vom ocupa.

Titlul articolului conține expresia care se explică de la sine „ expresii cu fracții". Adică, mai jos vom vorbi despre transformarea expresiilor numerice și a expresiilor cu variabile, în înregistrarea cărora se află cel puțin o fracție.

Observăm imediat că, după publicarea articolului „Transformarea fracțiilor: o viziune generală”Nu mai suntem interesați de fracții individuale. Astfel, în continuare vom lua în considerare sumele, diferențele, produsele, expresiile parțiale și mai complexe cu rădăcini, puteri, logaritmi, care sunt unite doar prin prezența a cel puțin o fracție.

Și să vorbim despre expresii fracționale. Aceasta nu este același lucru cu expresiile cu fracții. Expresii cu fracții - mai multe concept general. Nu orice expresie cu fracții este o expresie fracțională. De exemplu, expresia nu este o expresie fracțională, deși conține o fracție, este o expresie rațională întreagă. Deci nu numiți o expresie cu fracții expresie fracțională fără a fi complet sigur că este.

Transformări identice de bază ale expresiilor cu fracții

Exemplu.

Simplificați expresia .

Soluţie.

În acest caz, puteți deschide parantezele, care vor da expresia , care conține termeni similari și , precum și −3 și 3 . După reducerea lor, obținem o fracție.

Să arătăm forma scurta intrări soluție:

Răspuns:

.

Lucrul cu fracții individuale

Expresiile despre care vorbim transformare diferă de alte expresii în principal prin prezența fracțiilor. Și prezența fracțiilor necesită instrumente pentru a lucra cu ele. În acest paragraf vom discuta despre transformarea fracțiilor individuale incluse în înregistrarea acestei expresii, iar în paragraful următor vom proceda la efectuarea operațiilor cu fracțiile care alcătuiesc expresia inițială.

Cu orice fracție care este parte integrantă expresie originală, puteți efectua oricare dintre conversiile prezentate în articolul Conversie fracțiuni. Adică, puteți lua o fracție separată, puteți lucra cu numărătorul și numitorul ei, să o reduceți, să o aduceți la un nou numitor etc. Este clar că odată cu această transformare, fracția selectată va fi înlocuită cu o fracție identic egală cu aceasta, iar expresia inițială va fi înlocuită cu o expresie identic egală cu aceasta. Să ne uităm la un exemplu.

Exemplu.

Convertiți expresia cu fracție la o formă mai simplă.

Soluţie.

Să începem transformarea lucrând cu o fracție. Mai întâi, deschideți parantezele și dați termeni similari în numărătorul fracției: . Acum se impune bracketingul factorului comun x în numărător și reducerea ulterioară a fracției algebrice: . Rămâne doar să înlocuim rezultatul obținut în locul unei fracții în expresia originală, care dă .

Răspuns:

.

Efectuarea de acțiuni cu fracții

O parte a procesului de conversie a expresiilor cu fracții este adesea de făcut acțiuni cu fracții. Acestea se desfășoară în conformitate cu procedura acceptată pentru efectuarea acțiunilor. De asemenea, merită să rețineți că orice număr sau expresie poate fi întotdeauna reprezentat ca o fracție cu numitorul 1.

Exemplu.

Simplificați expresia .

Soluţie.

Problema poate fi abordată din diferite unghiuri. În contextul subiectului luat în considerare, vom trece prin efectuarea de acțiuni cu fracții. Să începem prin înmulțirea fracțiilor:

Acum scriem produsul ca fracție cu numitorul 1, după care scădem fracțiile:

Dacă se dorește și este necesar, se mai poate scăpa de iraționalitatea din numitor , pe care puteți finaliza transformarea.

Răspuns:

Aplicarea proprietăților rădăcinilor, puterilor, logaritmilor etc.

Clasa de expresii cu fracții este foarte largă. Astfel de expresii, pe lângă fracțiile reale, pot conține rădăcini, grade cu exponenți diferiți, module, logaritmi, funcții trigonometrice etc. Desigur, atunci când sunt convertite, se aplică proprietățile corespunzătoare.

Aplicabil fracțiilor, este de evidențiat proprietatea rădăcinii fracției, proprietatea fracției la grad, proprietatea modulului coeficientului și proprietatea logaritmului diferenței .

Pentru claritate, dăm câteva exemple. De exemplu, în expresia Poate fi util, pe baza proprietăților gradului, să înlocuim prima fracție cu un grad, ceea ce ne permite în continuare să reprezentăm expresia ca o diferență la pătrat. La conversia unei expresii logaritmice este posibil să înlocuim logaritmul unei fracții cu diferența de logaritmi, ceea ce ne permite în continuare să aducem termeni similari și prin urmare să simplificăm expresia: . Conversia expresiilor trigonometrice poate necesita înlocuirea raportului dintre sinus și cosinus al aceluiași unghi cu o tangentă. De asemenea, poate fi necesar să treceți de la o jumătate de argument folosind formulele adecvate la un argument întreg, scăpând astfel de argumentul fracțiunii, de exemplu, .

Aplicarea proprietăților rădăcinilor, gradelor etc. la transformarea expresiilor este tratată mai detaliat în articolele:

• Transformarea expresiilor iraționale folosind proprietățile rădăcinilor,
• Transformarea expresiilor folosind proprietățile puterilor,
• Conversia expresiilor logaritmice folosind proprietățile logaritmilor,
• Conversia expresiilor trigonometrice.

Operația aritmetică care se efectuează ultima la calcularea valorii expresiei este „principală”.

Adică dacă înlocuiți câteva (orice) numere în loc de litere și încercați să calculați valoarea expresiei, atunci dacă ultima acțiune este înmulțirea, atunci avem un produs (expresia este descompusă în factori).

Dacă ultima acțiune este adunarea sau scăderea, aceasta înseamnă că expresia nu este factorizată (și, prin urmare, nu poate fi redusă).

Pentru a rezolva singur, câteva exemple:

Exemple:

Solutii:

1. Sper ca nu te-ai grabit imediat sa tai si? Încă nu a fost suficient să „reducem” unități ca aceasta:

Primul pas ar trebui să fie factorizarea:

4. Adunarea și scăderea fracțiilor. Aducerea fracțiilor la un numitor comun.

Adunarea și scăderea fracțiilor obișnuite este o operație binecunoscută: căutăm un numitor comun, înmulțim fiecare fracție cu factorul care lipsește și adunăm/scădem numărătorii.

Să ne amintim:

Raspunsuri:

1. Numitorii și sunt coprime, adică nu au factori comuni. Prin urmare, LCM a acestor numere este egal cu produsul lor. Acesta va fi numitorul comun:

2. Aici numitorul comun este:

3. Aici, în primul rând, transformăm fracțiile mixte în fracțiuni improprii și apoi - conform schemei obișnuite:

Este cu totul altă problemă dacă fracțiile conțin litere, de exemplu:

Să începem simplu:

a) Numitorii nu conțin litere

Aici totul este la fel ca în cazul fracțiilor numerice obișnuite: găsim un numitor comun, înmulțim fiecare fracție cu factorul care lipsește și adunăm/scădem numărătorii:

acum, la numărător, puteți aduce altele similare, dacă există, și le puteți factoriza:

Incearca-l tu insuti:

Raspunsuri:

b) Numitorii conțin litere

Să ne amintim principiul găsirii unui numitor comun fără litere:

În primul rând, determinăm factorii comuni;

Apoi scriem toți factorii comuni o dată;

și înmulțiți-le cu toți ceilalți factori, nu cu cei comuni.

Pentru a determina factorii comuni ai numitorilor, mai întâi îi descompunem în factori simpli:

Subliniem factorii comuni:

Acum scriem factorii comuni o dată și adăugăm la ei toți factorii necomuni (nu subliniați):

Acesta este numitorul comun.

Să revenim la litere. Numitorii sunt dați exact în același mod:

Descompunem numitorii în factori;

determina multiplicatori comuni (identici);

scrie toți factorii comuni o dată;

Le înmulțim cu toți ceilalți factori, nu cu cei comuni.

Deci, în ordine:

1) descompuneți numitorii în factori:

2) determinați factorii comuni (identici):

3) scrieți toți factorii comuni o dată și înmulțiți-i cu toți ceilalți factori (nesubliniați):

Deci numitorul comun este aici. Prima fracție trebuie înmulțită cu, a doua - cu:

Apropo, există un singur truc:

De exemplu: .

Vedem aceiași factori în numitori, doar toți cu indicatori diferiți. Numitorul comun va fi:

in masura

in masura

in masura

în grad.

Să complicăm sarcina:

Cum se face ca fracțiile să aibă același numitor?

Să ne amintim proprietatea de bază a unei fracții:

Nicăieri nu se spune că același număr poate fi scăzut (sau adunat) de la numărătorul și numitorul unei fracții. Pentru că nu este adevărat!

Vedeți singur: luați orice fracție, de exemplu, și adăugați un număr la numărător și numitor, de exemplu, . Ce s-a învățat?

Deci, o altă regulă de neclintit:

Când aduceți fracții la un numitor comun, folosiți numai operația de înmulțire!

Dar ce trebuie să înmulți pentru a obține?

Aici și înmulțiți. Și înmulțiți cu:

Expresiile care nu pot fi factorizate vor fi numite „factori elementari”.

De exemplu, este un factor elementar. - de asemenea. Dar - nu: este descompus în factori.

Dar exprimare? Este elementar?

Nu, deoarece poate fi factorizat:

(ați citit deja despre factorizare în subiectul „”).

Deci, factorii elementari în care descompuneți o expresie cu litere sunt un analog al factorilor simpli în care descompuneți numerele. Și vom face același lucru cu ei.

Vedem că ambii numitori au un factor. Va merge la numitorul comun în putere (rețineți de ce?).

Multiplicatorul este elementar și nu îl au în comun, ceea ce înseamnă că prima fracție va trebui pur și simplu înmulțită cu ea:

Alt exemplu:

Soluţie:

Înainte de a înmulți acești numitori într-o panică, trebuie să te gândești cum să-i factorizezi? Ambele reprezintă:

Excelent! Apoi:

Alt exemplu:

Soluţie:

Ca de obicei, factorizăm numitorii. În primul numitor, pur și simplu îl punem între paranteze; în al doilea - diferența de pătrate:

S-ar părea că nu există factori comuni. Dar dacă te uiți cu atenție, sunt deja atât de asemănătoare... Și adevărul este:

Deci hai sa scriem:

Adică, s-a dovedit așa: în paranteză, am schimbat termenii și, în același timp, semnul din fața fracției s-a schimbat la opus. Ia notă, va trebui să faci asta des.

Acum aducem la un numitor comun:

Am înţeles? Acum să verificăm.

Sarcini pentru soluție independentă:

Raspunsuri:

Aici trebuie să ne amintim încă un lucru - diferența de cuburi:

Vă rugăm să rețineți că numitorul celei de-a doua fracții nu conține formula „pătratul sumei”! Pătratul sumei ar arăta astfel:

A este așa-numitul pătrat incomplet al sumei: al doilea termen din acesta este produsul dintre primul și ultimul, și nu produsul lor dublat. Pătratul incomplet al sumei este unul dintre factorii de extindere a diferenței de cuburi:

Ce se întâmplă dacă există deja trei fracții?

Da, la fel! În primul rând, ne vom asigura că numărul maxim de factori din numitori este același:

Atenție: dacă schimbați semnele dintr-o paranteză, semnul din fața fracției se schimbă în opus. Când schimbăm semnele din a doua paranteză, semnul din fața fracției este inversat din nou. Ca urmare, el (semnul din fața fracției) nu s-a schimbat.

Scriem primul numitor în întregime în numitorul comun, apoi adăugăm la el toți factorii care nu au fost încă scriși, din al doilea și apoi din al treilea (și așa mai departe, dacă sunt mai multe fracții). Adică merge așa:

Hmm... Cu fracții, este clar ce să faci. Dar ce zici de cei doi?

Este simplu: știi cum să adunăm fracții, nu? Deci, trebuie să vă asigurați că zeul devine o fracțiune! Amintiți-vă: o fracție este o operație de împărțire (numărătorul este împărțit la numitor, în cazul în care ați uitat brusc). Și nu este nimic mai ușor decât împărțirea unui număr la. În acest caz, numărul în sine nu se va schimba, ci se va transforma într-o fracție:

Exact ce este nevoie!

5. Înmulțirea și împărțirea fracțiilor.

Ei bine, partea cea mai grea s-a terminat. Și în fața noastră este cel mai simplu, dar în același timp cel mai important:

Procedură

Care este procedura de calcul a unei expresii numerice? Amintiți-vă, având în vedere valoarea unei astfel de expresii:

ai numarat?

Ar trebui să funcționeze.

Deci, vă reamintesc.

Primul pas este să calculezi gradul.

Al doilea este înmulțirea și împărțirea. Dacă există mai multe înmulțiri și împărțiri în același timp, le puteți face în orice ordine.

Și, în sfârșit, facem adunarea și scăderea. Din nou, în orice ordine.

Dar: expresia dintre paranteze este evaluată în dezordine!

Dacă mai multe paranteze sunt înmulțite sau împărțite între ele, mai întâi evaluăm expresia din fiecare dintre paranteze, apoi le înmulțim sau le împărțim.

Ce se întâmplă dacă există și alte paranteze între paranteze? Ei bine, să ne gândim: o expresie este scrisă între paranteze. Care este primul lucru de făcut atunci când evaluezi o expresie? Așa e, calculează paranteze. Ei bine, ne-am dat seama: mai întâi calculăm parantezele interioare, apoi totul.

Deci, ordinea acțiunilor pentru expresia de mai sus este următoarea (acțiunea curentă este evidențiată cu roșu, adică acțiunea pe care o efectuez chiar acum):

Bine, totul este simplu.

Dar asta nu este același lucru cu o expresie cu litere, nu-i așa?

Nu, e la fel! Numai în loc de operații aritmetice este necesar să se facă operații algebrice, adică operațiile descrise în secțiunea anterioară: aducând similare, adunarea fracțiilor, reducerea fracțiilor și așa mai departe. Singura diferență va fi acțiunea de factorizare a polinoamelor (o folosim adesea când lucrăm cu fracții). Cel mai adesea, pentru factorizare, trebuie să utilizați i sau pur și simplu să scoateți factorul comun din paranteze.

De obicei, scopul nostru este de a reprezenta o expresie ca produs sau coeficient.

De exemplu:

Să simplificăm expresia.

1) Mai întâi simplificăm expresia dintre paranteze. Acolo avem diferența de fracții, iar scopul nostru este să o reprezentăm ca produs sau coeficient. Deci, aducem fracțiile la un numitor comun și adăugăm:

Este imposibil să simplificăm mai mult această expresie, toți factorii de aici sunt elementari (mai ții minte ce înseamnă asta?).

2) obținem:

Înmulțirea fracțiilor: ce ar putea fi mai ușor.

3) Acum puteți scurta:

OK, totul sa terminat acum. Nimic complicat, nu?

Alt exemplu:

Simplificați expresia.

Mai întâi, încercați să o rezolvați singur și abia apoi uitați-vă la soluție.

Soluţie:

În primul rând, să definim procedura.

Mai întâi, să adăugăm fracțiile dintre paranteze, în loc de două fracții, se va dovedi una.

Apoi vom face împărțirea fracțiilor. Ei bine, adăugăm rezultatul cu ultima fracție.

Voi numerota schematic pașii:

Acum voi arăta întregul proces, colorând acțiunea curentă cu roșu:

1. Daca sunt asemanatoare, acestea trebuie aduse imediat. În orice moment avem altele asemănătoare, este indicat să le aducem imediat.

2. Același lucru este valabil și pentru fracțiile reducătoare: de îndată ce apare o oportunitate de reducere, aceasta trebuie folosită. Excepție fac fracțiile pe care le adunați sau scădeți: dacă acum au aceiași numitori, atunci reducerea ar trebui lăsată pentru mai târziu.

Iată câteva sarcini pe care le puteți rezolva singur:

Și a promis chiar de la început:

Raspunsuri:

Soluții (pe scurt):

Dacă ați făcut față cel puțin primelor trei exemple, atunci, luați în considerare, ați stăpânit subiectul.

Acum, la învățare!

CONVERSIUNEA EXPRESIILOR. REZUMAT ȘI FORMULA DE BAZĂ

Operatii de simplificare de baza:

• Aducerea asemănătoare: pentru a adăuga (reduce) termeni similari, trebuie să adăugați coeficienții acestora și să atribuiți partea de litere.
• Factorizare: scoaterea factorului comun din paranteze, aplicarea etc.
• Reducerea fracțiilor: numărătorul și numitorul unei fracții pot fi înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, din care valoarea fracției nu se modifică.
  1) numărătorul și numitorul factorizați
  2) dacă există factori comuni la numărător și numitor, aceștia pot fi tăiați.

  IMPORTANT: numai multiplicatorii pot fi redusi!

• Adunarea și scăderea fracțiilor:
  ;
• Înmulțirea și împărțirea fracțiilor:
  ;

De la cursul de algebră curiculumul scolar Să trecem la detalii. În acest articol, vom studia în detaliu un tip special de expresii raționale − fracții raționale, și, de asemenea, analiza ce caracteristică identică transformări ale fracțiilor raționale avea loc.

Observăm imediat că fracțiile raționale în sensul în care le definim mai jos sunt numite fracții algebrice în unele manuale de algebră. Adică, în acest articol vom înțelege același lucru în fracțiile raționale și algebrice.

Ca de obicei, începem cu o definiție și exemple. În continuare, să vorbim despre aducerea unei fracții raționale la un nou numitor și despre schimbarea semnelor membrilor fracției. După aceea, vom analiza modul în care se realizează reducerea fracțiilor. În sfârșit, să ne oprim asupra reprezentării unei fracții raționale ca sumă a mai multor fracții. Toate informațiile vor fi furnizate cu exemple cu descrieri detaliate ale soluțiilor.

Navigare în pagină.

Definiție și exemple de fracții raționale

Fracțiile raționale sunt studiate în lecțiile de algebră din clasa a VIII-a. Vom folosi definiția unei fracții raționale, care este dată în manualul de algebră pentru clasele a VIII-a de Yu. N. Makarychev și alții.

LA această definiție nu se precizează dacă polinoamele din numărătorul și numitorul unei fracții raționale trebuie să fie sau nu polinoame de formă standard. Prin urmare, vom presupune că fracțiile raționale pot conține atât polinoame standard, cât și nestandard.

Iată câteva exemple de fracții raționale. Deci, x/8 și - fracții raționale. Și fracții și nu se potrivesc cu definiția sonoră a unei fracții raționale, deoarece în prima dintre ele numărătorul nu este un polinom, iar în a doua atât numărătorul, cât și numitorul conțin expresii care nu sunt polinoame.

Conversia numărătorului și numitorului unei fracții raționale

Numătorul și numitorul oricărei fracții sunt expresii matematice autosuficiente, în cazul fracțiilor raționale sunt polinoame, într-un caz anume sunt monomii și numere. Prin urmare, cu numărătorul și numitorul unei fracții raționale, ca și în cazul oricărei expresii, pot fi efectuate transformări identice. Cu alte cuvinte, expresia din numărătorul unei fracții raționale poate fi înlocuită cu o expresie care este identic egală cu aceasta, la fel ca și numitorul.

În numărătorul și numitorul unei fracții raționale se pot efectua transformări identice. De exemplu, la numărător, puteți grupa și reduce termeni similari, iar la numitor, produsul mai multor numere poate fi înlocuit cu valoarea acestuia. Și deoarece numărătorul și numitorul unei fracții raționale sunt polinoame, este posibil să se efectueze transformări caracteristice polinoamelor cu ele, de exemplu, reducerea la o formă standard sau reprezentare ca produs.

Pentru claritate, luați în considerare soluțiile mai multor exemple.

Exemplu.

Convertiți fracția rațională astfel încât numărătorul este un polinom de forma standard, iar numitorul este produsul polinoamelor.

Soluţie.

Reducerea fracțiilor raționale la un nou numitor este utilizată în principal la adunarea și scăderea fracțiilor raționale.

Schimbarea semnelor în fața unei fracții, precum și în numărătorul și numitorul acesteia

Proprietatea de bază a unei fracții poate fi folosită pentru a schimba semnele termenilor fracției. Într-adevăr, înmulțirea numărătorului și numitorului unei fracții raționale cu -1 echivalează cu schimbarea semnelor acestora, iar rezultatul este o fracție care este identic egală cu cea dată. O astfel de transformare trebuie folosită destul de des atunci când se lucrează cu fracții raționale.

Astfel, dacă schimbi simultan semnele numărătorului și numitorului unei fracții, vei obține o fracție egală cu cea inițială. Această afirmație corespunde egalității.

Să luăm un exemplu. O fracție rațională poate fi înlocuită cu o fracție identică egală cu semnele inversate ale numărătorului și numitorului formei.

Cu fracțiile, se poate realiza încă o transformare identică, în care semnul este schimbat fie la numărător, fie la numitor. Să trecem peste regula potrivită. Dacă înlocuiți semnul unei fracții împreună cu semnul numărătorului sau numitorului, obțineți o fracție care este identic egală cu originalul. Declarația scrisă corespunde egalităților și .

Nu este greu să dovedești aceste egalități. Dovada se bazează pe proprietățile înmulțirii numerelor. Să demonstrăm primul dintre ele: . Cu ajutorul unor transformări similare se demonstrează și egalitatea.

De exemplu, o fracție poate fi înlocuită cu o expresie sau .

Pentru a încheia această subsecțiune, prezentăm încă două egalități utile și . Adică dacă schimbi semnul doar numărătorului sau numai numitorului, atunci fracția își va schimba semnul. De exemplu, și .

Transformările luate în considerare, care permit schimbarea semnului termenilor unei fracții, sunt adesea folosite la transformarea expresiilor raționale fracțional.

Reducerea fracțiilor raționale

Următoarea transformare a fracțiilor raționale, numită reducerea fracțiilor raționale, se bazează pe aceeași proprietate de bază a unei fracții. Această transformare corespunde egalității, unde a, b și c sunt niște polinoame, iar b și c sunt diferite de zero.

Din egalitatea de mai sus, devine clar că reducerea unei fracții raționale implică eliminarea factorului comun din numărătorul și numitorul ei.

Exemplu.

Reduceți fracția rațională.

Soluţie.

Factorul comun 2 este imediat vizibil, să-l reducem (la scriere, este convenabil să tăiați factorii comuni prin care se face reducerea). Avem . Deoarece x 2 \u003d x x și y 7 \u003d y 3 y 4 (a se vedea dacă este necesar), este clar că x este un factor comun al numărătorului și numitorului fracției rezultate, cum ar fi y 3 . Să reducem prin acești factori: . Aceasta completează reducerea.

Mai sus, am efectuat reducerea secvențială a unei fracții raționale. Și a fost posibil să se efectueze reducerea într-o singură etapă, reducând imediat fracția cu 2·x·y 3 . În acest caz, soluția ar arăta astfel: .

Răspuns:

.

La reducerea fracțiilor raționale, principala problemă este că factorul comun al numărătorului și numitorului nu este întotdeauna vizibil. Mai mult, nu există întotdeauna. Pentru a găsi un factor comun sau pentru a vă asigura că acesta nu există, trebuie să factorizați numărătorul și numitorul unei fracții raționale. Dacă nu există un factor comun, atunci fracția rațională inițială nu trebuie redusă, în caz contrar, se efectuează reducerea.

În procesul de reducere a fracțiilor raționale, pot apărea diverse nuanțe. Principalele subtilități cu exemple și detalii sunt discutate în articolul reducerea fracțiilor algebrice.

Încheind conversația despre reducerea fracțiilor raționale, observăm că această transformare este identică, iar principala dificultate în implementarea ei constă în factorizarea polinoamelor în numărător și numitor.

Reprezentarea unei fracții raționale ca sumă de fracții

Destul de specifică, dar în unele cazuri foarte utilă, este transformarea unei fracții raționale, care constă în reprezentarea acesteia ca sumă a mai multor fracții, sau suma unei expresii întregi și a unei fracții.

O fracție rațională, în numărătorul căreia se află un polinom, care este suma mai multor monomii, poate fi întotdeauna scrisă ca sumă a fracțiilor cu aceiași numitori, în numărătorii cărora se află monomiile corespunzătoare. De exemplu, . Această reprezentare se explică prin regula adunării și scăderii fracțiilor algebrice cu aceiași numitori.

În general, orice fracție rațională poate fi reprezentată ca o sumă de fracții în multe moduri diferite. De exemplu, fracția a/b poate fi reprezentată ca suma a două fracții - o fracție arbitrară c/d și o fracție egală cu diferența dintre fracțiile a/b și c/d. Această afirmație este adevărată, deoarece egalitatea . De exemplu, o fracție rațională poate fi reprezentată ca o sumă de fracții în diferite moduri: Reprezentăm fracția inițială ca sumă a unei expresii întregi și a unei fracții. După împărțirea numărătorului la numitor la o coloană, obținem egalitatea . Valoarea expresiei n 3 +4 pentru orice număr întreg n este un număr întreg. Și valoarea unei fracții este un număr întreg dacă și numai dacă numitorul ei este 1, −1, 3 sau −3. Aceste valori corespund valorilor n=3, n=1, n=5 și respectiv n=−1.

Răspuns:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliografie.

• Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educaţie, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 7-a. La 2 p.m. Partea 1. Manualul elevului institutii de invatamant/ A. G. Mordkovich. - Ed. a XIII-a, Rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 p.: ill. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 8-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Expresiile și fracțiile raționale sunt piatra de temelie a întregului curs al algebrei. Cei care învață să lucreze cu astfel de expresii, să le simplifice și să le factorizeze, de fapt, vor putea rezolva orice problemă, deoarece transformarea expresiilor este o parte integrantă a oricărei ecuații serioase, inegalități și chiar a unei probleme de cuvinte.

În acest tutorial video, vom vedea cum să aplicăm corect formulele de înmulțire abreviate pentru a simplifica expresiile și fracțiile raționale. Să învățăm să vedem aceste formule în care, la prima vedere, nu există nimic. În același timp, repetăm ​​un truc atât de simplu precum factorizarea unui trinom pătrat în factori prin discriminant.

După cum probabil ați ghicit deja din formulele din spatele meu, astăzi vom studia formulele de înmulțire prescurtată, sau mai bine zis, nu formulele în sine, ci aplicarea lor pentru a simplifica și reduce expresiile raționale complexe. Dar, înainte de a trece la rezolvarea exemplelor, să aruncăm o privire mai atentă la aceste formule sau să le amintim:

1. $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ este diferența de pătrate;
2. $((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ este pătratul sumei;
3. $((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ este diferența la pătrat;
4. $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ este suma cuburilor;
5. $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ este diferența de cuburi.

De asemenea, aș dori să remarc că sistemul nostru de învățământ școlar este conceput în așa fel încât să fie cu studiul acestei teme, adică. expresii raționale, precum și rădăcini, module, toți elevii au aceeași problemă, pe care o voi explica acum.

Cert este că chiar de la începutul studierii formulelor de înmulțire prescurtată și, în consecință, a acțiunilor de reducere a fracțiilor (este vorba despre clasa a 8-a), profesorii spun așa ceva: „Dacă ceva nu îți este clar, atunci nu îngrijorează-te, vom reveni la acest subiect de mai multe ori, în liceu cu siguranță. O să ne dăm seama mai târziu.” Ei bine, atunci la trecerea claselor 9-10, aceiași profesori le explică acelorași elevi care încă nu știu să rezolve fracții raționale, ceva de genul: „Unde ai fost în ultimii doi ani? La fel s-a studiat la algebră în clasa a VIII-a! Ce poate fi de neînțeles aici? Este atât de evident!”

Cu toate acestea, pentru elevii obișnuiți, astfel de explicații nu sunt deloc mai ușoare: aveau totuși o mizerie în cap, așa că acum vom analiza două exemple simple, pe baza cărora vom vedea cum să selectăm aceste expresii în probleme reale, ceea ce ne va conduce la scurte formule de înmulțire și la modul de aplicare ulterior pentru a transforma expresii raționale complexe.

Reducerea fracțiilor raționale simple

Sarcina 1

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]

Primul lucru pe care trebuie să-l învățăm este să distingem pătratele exacte și puterile mai mari în expresiile originale, pe baza cărora apoi putem aplica formulele. Sa vedem:

Să ne rescriem expresia ținând cont de aceste fapte:

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(((\left(3((y)^(2)) \right))^(2))-((\left(4x) \right))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\left(3((y)^(2))-4x \right)\left(3 ((y)^(2))+4x \right))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]

Răspuns: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.

Sarcina #2

Să trecem la a doua sarcină:

\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]

Nu este nimic de simplificat aici, pentru că numărătorul este o constantă, dar am propus această problemă tocmai pentru a învăța cum să factorizezi polinoame care conțin două variabile. Dacă în locul lui ar fi scris un polinom mai jos, cum l-am descompune?

\[((x)^(2))+5x-6=\left(x-... \right)\left(x-... \right)\]

Să rezolvăm ecuația și să găsim $x$ pe care îl putem pune în locul punctelor:

\[((x)^(2))+5x-6=0\]

\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]

\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]

Putem rescrie trinomul după cum urmează:

\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\left(x-1 \right)\left(x+6 \right)\]

Am învățat cum să lucrăm cu un trinom pătrat - pentru aceasta a trebuit să înregistrăm această lecție video. Dar dacă, pe lângă $x$ și constantă, există și $y$? Să le privim ca pe un alt element al coeficienților, adică. Să ne rescriem expresia după cum urmează:

\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]

\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]

\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]

Scriem descompunerea construcției noastre pătrate:

\[\stanga(x-y\dreapta)\stanga(x+6y\dreapta)\]

În total, dacă revenim la expresia originală și o rescriem ținând cont de modificări, obținem următoarele:

\[\frac(8)(\left(x-y \right)\left(x+6y \right))\]

Ce ne oferă un astfel de record? Nimic, pentru că nu se poate reduce, nu se înmulțește sau se împarte cu nimic. Cu toate acestea, de îndată ce această fracțiune se dovedește a fi parte integrantă a unei expresii mai complexe, o astfel de extindere va fi utilă. Prin urmare, de îndată ce vedeți un trinom pătrat (indiferent dacă este împovărat cu parametri suplimentari sau nu), încercați întotdeauna să îl factorizați.

Nuanțe ale soluției

Amintiți-vă regulile de bază pentru transformarea expresiilor raționale:

• Toți numitorii și numărătorii trebuie factorizați fie prin formule de înmulțire abreviate, fie prin discriminant.
• Trebuie să lucrăm conform acestui algoritm: atunci când ne uităm și încercăm să evidențiem formula de înmulțire prescurtată, atunci, în primul rând, încercăm să traducem totul la gradul maxim posibil. După aceea, scoatem gradul general din paranteze.
• Foarte des vor exista expresii cu un parametru: alte variabile vor apărea ca coeficienți. Le găsim folosind formula de expansiune pătratică.

Astfel, de îndată ce vedeți fracții raționale, primul lucru de făcut este să factorizați atât numărătorul, cât și numitorul în factori (în expresii liniare), în timp ce folosim formulele de înmulțire redusă sau discriminantul.

Să ne uităm la câteva astfel de expresii raționale și să încercăm să le descompunem.

Rezolvarea de exemple mai complexe

Sarcina 1

\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]

Rescriem și încercăm să extindem fiecare termen:

Să rescriem întreaga noastră expresie rațională ținând cont de aceste fapte:

\[\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\left(3y \right))^(2))-((\left(2x \right))^(2)))(((\left(2x \right))^(3))+ ((\stanga(3a\dreapta))^(3)))=\]

\[=\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\left(3y-2x \right)\left(3y+2x \right))(\left(2x+3y \right)\left(((\left(2x \right))^(2))- 2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)) \right))=-1\]

Răspuns: $-1$.

Sarcina #2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Să ne uităm la toate fracțiile.

\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\stanga(x-2 \dreapta))^(2))\]

Să rescriem întreaga structură ținând cont de modificări:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))\cdot \frac( 2x+1)(((\left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \right))(\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right))=\]

\[=\frac(3\cdot \left(-1 \right))(2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right))=\frac(3)(2 \left(x-2 \right))\]

Răspuns: $\frac(3)(2\left(x-2 \right))$.

Nuanțe ale soluției

Deci, ce tocmai am învățat:

• Nu fiecare trinom pătrat este factorizat, în special, acest lucru se aplică pătratului incomplet al sumei sau diferenței, care se găsesc foarte des ca părți ale cuburilor sumei sau diferențelor.
• Constante, adică numerele obișnuite care nu au variabile cu ele pot acționa și ca elemente active în procesul de descompunere. În primul rând, ele pot fi scoase dintre paranteze, iar în al doilea rând, constantele în sine pot fi reprezentate ca puteri.
• Foarte des, după descompunerea tuturor elementelor în factori, apar construcții opuse. Trebuie să reduceți aceste fracții cu mare atenție, deoarece atunci când le tăiați fie de sus, fie de jos, apare un factor suplimentar $-1$ - aceasta este tocmai consecința faptului că sunt opuse.

Rezolvarea problemelor complexe

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Să luăm în considerare fiecare termen separat.

Prima fracție:

\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left) (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]

\[((b)^(2))-((2)^(2))=\stanga(b-2 \dreapta)\stanga(b+2 \dreapta)\]

Putem rescrie întregul numărător al celei de-a doua fracții după cum urmează:

\[((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2))\]

Acum să ne uităm la numitor:

\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right) ))^(2))\]

Să rescriem întreaga expresie rațională ținând cont de faptele de mai sus:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

Răspuns: $\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))$.

Nuanțe ale soluției

După cum am văzut încă o dată, pătratele incomplete ale sumei sau pătratele incomplete ale diferenței, care se găsesc adesea în expresii raționale reale, totuși, nu se teme de ele, deoarece după transformarea fiecărui element aproape întotdeauna se anulează. . În plus, în niciun caz nu trebuie să vă fie frică de construcții mari în răspunsul final - este foarte posibil ca aceasta să nu fie greșeala dvs. (mai ales dacă totul este luat în considerare), dar autorul a conceput un astfel de răspuns.

În concluzie, aș vrea să analizez un exemplu mai complex, care nu mai are legătură directă cu fracțiile raționale, ci conține tot ce vă așteaptă la teste și examene reale și anume: factorizarea, reducerea la numitor comun, reducerea termenilor similari. . Exact asta vom face acum.

Rezolvarea unei probleme complexe de simplificare și transformare a expresiilor raționale

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \dreapta)\]

Mai întâi, luați în considerare și extindeți prima paranteză: în ea vedem trei fracții separate cu numitori diferiți, deci primul lucru pe care trebuie să-l facem este să aducem toate cele trei fracții la un numitor comun și, pentru aceasta, fiecare dintre ele ar trebui să fie factorizată:

\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]

\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \dreapta)\]

Să rescriem întreaga noastră structură după cum urmează:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x) -2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(3))+8-\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2) )) \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2) \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ stânga(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\]

\[=\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \right))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Acesta este rezultatul calculelor din prima paranteză.

Tratând cu a doua paranteză:

\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\left(x-2 \right)\left(x+2 \ dreapta)\]

Să rescriem a doua paranteză, ținând cont de modificări:

\[\frac(((x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\stanga(x-2\dreapta)\stanga(x+2\dreapta))\]

Acum să scriem întreaga construcție originală:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Răspuns: $\frac(1)(x+2)$.

Nuanțe ale soluției

După cum puteți vedea, răspunsul s-a dovedit a fi destul de sănătos. Cu toate acestea, vă rugăm să rețineți: de foarte multe ori, cu astfel de calcule la scară largă, când singura variabilă este doar la numitor, elevii uită că acesta este numitorul și ar trebui să fie în partea de jos a fracției și scrie această expresie la numărător - aceasta este o greșeală gravă.

În plus, aș vrea să vă desenez atentie speciala cum sunt gestionate astfel de sarcini. În orice calcule complexe, toți pașii sunt efectuati pas cu pas: mai întâi, numărăm primul parantez separat, apoi al doilea paranteză separat și abia la sfârșit combinăm toate părțile și calculăm rezultatul. Astfel, ne asigurăm de greșelile stupide, notăm cu atenție toate calculele și, în același timp, nu pierdem timp în plus, așa cum ar părea la prima vedere.