Exemplu. Un fascicul de neutroni de 1 eV incide pe cristal. Reflexiile Bragg de ordinul I sunt observate la 11,8°. Care este distanța dintre planurile de cristal?

Soluţie. Difracția electronilor cu energie scăzută este similară cu difracția razelor X. Condiție

3. PRINCIPIUL INCERTITUDINEI HEISENBERG

Din mecanica cuantică rezultă că nu toate mărimile fizice pot avea simultan valori exacte (principiul incertitudinii).

Principiul incertitudinii- poziţia fundamentală teoria cuantica afirmând că mărimile fizice suplimentare care caracterizează sistemul (de exemplu, poziția și impulsul) nu pot lua simultan valori exacte. Ea reflectă natura corpusculară duală a particulelor de materie (electroni, protoni etc.).

Principiul incertitudinii Heisenberg este o lege care stabilește o limită pentru acuratețea măsurătorilor (aproape) simultane ale variabilelor de stare, cum ar fi poziția și impulsul unei particule. Specifică o măsură precisă a incertitudinii dând o limită inferioară (diferită de zero) pentru produsul variațiilor de măsurare.

Incertitudini în relație– relații fundamentale ale mecanicii cuantice, stabilind limita de acuratețe a determinării simultane a variabilelor dinamice conjugate canonic care caracterizează un sistem cuantic: coordonată – impuls, acțiune – unghi etc.

Acesta este unul dintre postulatele de bază ale mecanicii cuantice, stabilit de W. Heisenberg în 1927 când analiza un experiment de gândire pentru a măsura coordonatele unui obiect cuantic folosind un „microscop gamma”.

Principiul incertitudinii Heisenberg pune o limită pentru cunoașterea simultană a locului în care se află ceva și cât de repede se mișcă. Formal, asta este scris

unde p x , x sunt inexactitățile din componenta x a impulsului și, respectiv, coordonatele x, în timp ce t este durata de viață a particulei și E este inexactitatea acesteia. energie totală. Aceste limite ale cunoștințelor nu sunt legate de limitările instrumentelor de măsură. Limite fundamentale există chiar și pentru instrumentele ideale și absolut precise.

Exemplu. Luați în considerare un electron cu energie kinetică 5 eV. Viteza lui

Inexactitățile în determinarea simultană a cantităților suplimentare sunt asociate cu relația de incertitudine, care pentru inexactitățile x și x în determinarea coordonatelor și proiecția impulsului p pe aceasta are forma inegalității:

Nota 1. În unele considerații, „incertitudinea” unei variabile este definită ca cea mai mică lățime a intervalului care conține 50% din valori, care, în cazul distributie normala variabilelor, duce pentru produsul incertitudinilor la o limită inferioară mai mare h/2π .

Observația 2. Aici

X = (X − X) 2 1/ 2 , P= (P − P) 2 1/ 2 . (13)

Adică, în conformitate cu interpretarea probabilistică a mecanicii cuantice, inexactitățile poziției și impulsului sunt înțelese ca abateri rădăcină pătratică medie de la aceste observații.

Această inegalitate oferă mai multe posibilități - starea poate fi de așa natură încât x poate fi măsurat cu mare precizie, dar atunci p va fi cunoscut doar aproximativ, sau invers p poate fi determinat exact în timp ce x nu este. În toate celelalte stări, x și p pot fi măsurate cu o precizie „rezonabilă” (dar nu în mod arbitrar ridicat). LA Viata de zi cu zi de obicei nu vedem incertitudine deoarece valoarea lui h este extrem de mică.

El a mai demonstrat că egalitatea în (9) se realizează numai pentru stări cuantice descrise de pachetele de unde gaussiene. E. Schrödinger a sugerat mai multe formula generala pentru cazul stărilor corelate.

Observație 1. Principiul incertitudinii nu se aplică numai poziției și impulsului. În forma sa generală, se aplică fiecărei perechi variabile conjugate. În general, și spre deosebire de cazul poziției și impulsului discutat mai sus, limita inferioară a produsului incertitudinilor a două variabile adiacente depinde de starea sistemului. Principiul incertitudinii devine apoi o teoremă în teoria operatorilor.

Remarca 2. Relația de incertitudine Heisenberg conduce în mod necesar la o revizuire a conceptului de cauzalitate. Putem determina coordonatele cu precizie absolută, dar în momentul în care se întâmplă acest lucru, impulsul capătă o valoare complet arbitrară, pozitivă sau negativă. Aceasta înseamnă că un obiect a cărui poziție am putut să o măsurăm cu absolut exactitate se deplasează imediat cât se dorește. Localizarea își pierde sensul: conceptele care formează însăși baza mecanicii clasice suferă schimbări profunde în tranziția la mecanica cuantică.

Relația de incertitudine face posibilă estimarea măsurii în care conceptele mecanicii clasice pot fi aplicate microparticulelor. Arată că conceptul clasic de traiectorie este inaplicabil micro-obiectelor, deoarece mișcarea de-a lungul unei traiectorii este caracterizată în orice moment de anumite valori ale coordonatelor și vitezei.

Relația de incertitudine dintre două componente ortogonale ale operatorului momentului unghiular total al unei particule:

unde i, j ,k sunt distincte și J i reprezintă momentul unghiular de-a lungul axei x i.

Relația de incertitudine dintre energia E și timpul t necesită o atenție specială, deoarece se deosebeşte ca semnificaţie de expresia (3). Ideea este că nu există niciun operator care să reprezinte timpul, deci timpul nu este o variabilă dinamică și ar trebui tratată ca un parametru.

Pentru stările nestaționare cu o răspândire caracteristică a energiei E, valoarea lui t din (16) trebuie înțeleasă ca intervalul de timp în care valorile medii ale mărimilor fizice care caracterizează sistemul se modifică semnificativ (prin valoarea dispersia corespunzătoare). Lăsați micro-obiectul să fie instabil și să fie durata de viață. Energia unui micro-obiect într-o stare dată trebuie să aibă o incertitudine E . Dacă starea este staționară (t→ ), atunci energia micro-obiectului este exact determinată

E=0.

De obicei, Ur(16) este interpretat ca imposibilitatea de a determina cu precizie energia unui sistem cuantic (E = 0) pentru un interval de timp limitat t. N. Bor a atras atenţia asupra imposibilităţii definirii conceptului de undă monocromatică în acest moment timp. O altă interpretare este strâns legată de conceptul de stare cvasi-staționară. În acest caz, E este incertitudinea valorii pe care o dobândește energia E, care este considerată ca o caracteristică dinamică a unui sistem cuantic care se modifică în timp, la

- interval de timp - caracterizarea evoluţiei lui E în valoarea intervalului lui E . Pentru sistemele cuantice excitate (de exemplu, un atom sau o moleculă), incertitudinea energiei de stare E (lățimea nivelului natural) este direct legată de durata de viață folosind (16).

Luați în considerare câteva exemple de aplicare a relației de incertitudine.

Exemplul 1. Să ne întoarcem la nivelurile de energie cuantificate ale atomului de hidrogen conform lui Bohr. Fie electronul la nivelul E 1 . Pentru a ajunge la nivelul E 2, un electron trebuie să absoarbă un foton cu energie (E 2 - E 1 ) și nu altul. Apare întrebarea, cum „alege” electronul fotonul dorit din fluxul de fotoni incident? La urma urmei, pentru aceasta el trebuie să viziteze în prealabil nivelul E 2, adică „să cunoască” E 2. Obținem un cerc logic închis.

Acum întrebarea despre ce se întâmplă mai întâi - absorbția unui foton sau tranziția unui electron - își pierde sensul. Dacă înainte și după interacțiunea cu radiația avem un electron legat cu energie E 1 și E 2, atunci în timpul radiației există un singur cuantic - sistem mecanic, care include atât un electron, cât și un foton. Acest sistem există pentru un timp finit și, conform (7), nu poate avea o energie definită. În timpul interacțiunii unui electron cu un foton, nu există nici un electron, nici un foton, dar există ceva unificat fără a preciza detaliile.

Exemplul 2 . De ce un electron, care se mișcă cu o rată accelerată, nu iradiază și cade pe nucleu, anihilând? Căderea unui electron asupra nucleului înseamnă o scădere semnificativă a incertitudinii coordonatelor sale, deoarece dimensiunea atomului este ≈10-8 cm, iar dimensiunea nucleului este ≈10-12 cm. Prin urmare, impulsul ar trebui să fi „neclară”. Adică, atunci când un electron cade pe un nucleu, impulsul acestuia trebuie să crească, ceea ce necesită costuri energetice. Calculele arată că o astfel de „localizare” a unui electron necesită o energie de ordinul energiei de legare a nucleonilor.

Dintre interpretările fizice ale relației de incertitudine se pot distinge trei niveluri, care în literatura engleză corespund la trei termeni diferiți: incertitudine, indeterminare, indeterminare. Relațiile de incertitudine sunt cel mai adesea interpretate ca o limitare a preciziei realizabile experimental a măsurării caracteristicilor obiectelor cuantice, din cauza inadecvării dispozitivelor clasice în scopul măsurătorilor cuantice.

Raportul de incertitudine Heisenberg este limita teoretică a preciziei oricărei măsurători. În același timp, indică limita posibilei utilizări a conceptelor clasice pentru a descrie evenimentele din microcosmos. Orice particulă (în sensul general, de exemplu, purtând o particulă discretă incarcare electrica) nu poate fi descris simultan ca o „particulă punctuală clasică” și ca o undă. (Faptul că oricare dintre aceste descrieri poate fi adevărată, cel puțin în unele cazuri, se numește dualitate undă-particulă). Principiul incertitudinii, așa cum a propus inițial de Heisenberg, este adevărat atunci când niciuna dintre aceste două descrieri nu este în întregime și exclusiv adecvată.

O altă interpretare (nedeterminare) provine de la premisa că relația de incertitudine este o consecință a proprietăților obiectelor cuantice inerente acestora, indiferent de imperfecțiunea implementărilor specifice ale instalațiilor experimentale menite să măsoare aceste proprietăți. O astfel de proprietate internă este dualitatea undă-particulă a obiectelor cuantice, adică. o combinație inseparabilă de proprietăți ondulatorii și corpusculare, la fel de necesare pentru descrierea lor completă. Din acest punct de vedere, analogii relației de incertitudine sunt bine cunoscuți, de exemplu, în acustică și optică, cu mult înainte de crearea mecanicii cuantice.

A doua interpretare a relației de incertitudine este mult mai largă și mai fructuoasă decât prima, deoarece nu este o afirmație specială despre limitele de rafinare a caracteristicilor obiectelor cuantice, ci un principiu general al incertitudinii. Acest principiu este premisa interpretării statistice a mecanicii cuantice și cel mai important exemplu al principiului complementarității lui Bohr (termenul de indeterminare este adesea folosit pentru această interpretare largă a relației de incertitudine). Din punctul de vedere al acestui principiu mai general, relația de incertitudine este interpretată ca o modalitate de a păstra conceptele clasice de descriere a sistemelor cuantice prin limitarea reciprocă a zonei de aplicabilitate comună a acestora.

Relația de incertitudine joacă un rol euristic important, deoarece multe rezultate ale problemelor considerate în mecanica kantiană pot fi obținute și înțelese pe baza unei combinații a legilor mecanicii clasice cu relația de incertitudine. Un exemplu important este problema stabilității atomului. Luați în considerare această problemă pentru atomul de hidrogen. Fie ca un electron să se miște în jurul nucleului (protonului) pe o orbită circulară de raza r cu o viteză v . Conform legii lui Coulomb, forța de atracție a unui electron către nucleu este e 2 /r 2 , unde e este sarcina electronului, iar accelerația centripetă este v 2 /r . Conform celei de-a doua legi a lui Newton, mv 2 /r=e 2 /mv 2 (masa m-electronului), i.e. raza orbitei r=e 2 /mv 2 poate fi arbitrar mică dacă v este suficient de mare. Dar în mecanica cuantică, relația de incertitudine trebuie să se mențină. Dacă permitem incertitudinea vitezei în v , i.e. incertitudinea momentului în p=mv , atunci mvr ≥ ħ . De aici putem obține v ≤ e 2 /ħ și r ≥ ħ 2 /me 2 . Prin urmare, mișcarea unui electron de-a lungul orbitei сr ≤ a B =ħ 2 /me 2 ≈ 0,5 10-8 este imposibilă, adică. electronul nu poate cădea pe nucleu – atomul este stabil. Mărimea B și este raza atomului de hidrogen (raza Bohr). Ea corespunde energiei maxime posibile de legare a atomului E 0 = -e 2 /2a B ≈ -13,6 eV, ceea ce determină energia minimă a acestuia - energia stării fundamentale. Pe baza mărimii cunoscute a atomului de hidrogen, a =ħ 2 / me 2 , putem estima viteza caracteristică

Conform naturii cu undă corpusculară duală a particulelor de materie, pentru a descrie microparticulele sunt folosite fie reprezentări de undă, fie corpusculare. Prin urmare, este imposibil să le atribuim toate proprietățile particulelor și toate proprietățile undelor. Desigur, este necesar să se introducă unele restricții în aplicarea conceptelor mecanicii clasice la obiectele microlumii.

În mecanica clasică, statul punct material(particulă clasică) se determină prin stabilirea valorilor coordonatelor, impulsului, energiei etc. (cantitățile enumerate se numesc variabile dinamice). Strict vorbind, variabilele dinamice specificate nu pot fi atribuite unui micro-obiect. Cu toate acestea, obținem informații despre microparticule observând interacțiunea lor cu dispozitive care sunt corpuri macroscopice. Prin urmare, rezultatele măsurătorilor sunt exprimate involuntar în termeni dezvoltați pentru a caracteriza macrocorpii, adică. prin valori caracteristici dinamice. În consecință, valorile măsurate ale variabilelor dinamice sunt atribuite microparticulelor. De exemplu, se vorbește despre starea unui electron în care acesta are o astfel de valoare energetică și așa mai departe.

Proprietățile undei ale particulelor și capacitatea de a specifica doar o probabilitate pentru o particulă rămânea ei în asta punct în spațiu duc la faptul că conceptele în sine coordonatele particulelor și viteza acesteia (sau impuls) poate fi aplicat în mecanica cuantică într-o măsură limitată. În general, nu este nimic surprinzător în asta. În fizica clasică, conceptul de coordonate în unele cazuri este, de asemenea, nepotrivit pentru determinarea poziției unui obiect în spațiu. De exemplu, nu are sens să spunem că o undă electromagnetică este situată într-un anumit punct din spațiu sau că poziția frontului suprafeței undei pe apă este caracterizată de coordonatele X, y, z.

Dualitatea corpuscular-undă a proprietăților particulelor studiate în mecanica cuantică duce la faptul că într-un număr de cazuri se dovedește a fi imposibil , în sensul clasic, în același timp caracterizează o particulă prin poziția sa în spațiu (coordonate) si viteza (sau impuls). Deci, de exemplu, un electron (și orice altă microparticulă) nu poate avea simultan valori exacte ale coordonatei Xși componentele impulsului. Incertitudini valorice Xși satisface relația:

Din (4.2.1) rezultă că cu cât incertitudinea unei mărimi este mai mică ( X sau ), cu atât este mai mare incertitudinea celuilalt. Poate o astfel de stare în care una dintre variabilele lor are o valoare exactă (), în timp ce cealaltă variabilă se dovedește a fi complet nedeterminată (- incertitudinea sa este egală cu infinitul) și invers. În acest fel, nu există stări pentru o microparticulă,în care coordonatele și impulsul său ar avea simultan valori exacte. Aceasta implică imposibilitatea reală a măsurării simultane a coordonatei și impulsului unui micro-obiect cu orice precizie predeterminată.

O relație similară cu (4.2.1) este valabilă pentru y si pentru zși , precum și pentru alte perechi de mărimi (în mecanica clasică, astfel de perechi sunt numite conjugat canonic ). Indicarea cantităților conjugate canonic prin litere Ași B, poti sa scrii:

Relația (4.2.2) se numește raport incertitudini pentru cantități Ași B. Acest raport a fost introdus în 1927 de Werner Heisenberg.

Afirmația că produsul incertitudinilor valorilor a două variabile conjugate nu poate fi mai mic decât constanta lui Planck pentruh,numit raport incertitudinile lui Heisenberg .

Energie și timp sunteți cantități conjugate canonic. Prin urmare, relația de incertitudine este valabilă și pentru ei:

Această relație înseamnă că determinarea energiei cu precizie ar trebui să ia un interval de timp cel puțin egal

Relația de incertitudine a fost obținută prin utilizarea simultană a caracteristicilor clasice ale mișcării unei particule (coordonată, impuls) și prezența proprietăților sale de undă. pentru că în mecanica clasică, se presupune că măsurarea poziției și a impulsului poate fi făcută cu orice precizie, atunci relație de incertitudine este deci limitarea cuantică a aplicabilității mecanicii clasice la micro-obiecte.

Relația de incertitudine indică în ce măsură este posibil să se utilizeze conceptele mecanicii clasice în raport cu microparticulele, în special, cu ce grad de precizie se poate vorbi despre traiectoriile microparticulelor. Mișcarea de-a lungul traiectoriei este caracterizată de valori bine definite ale coordonatelor și vitezei în fiecare moment de timp. Inlocuind in (4.2.1) in locul produsului , se obtine relatia:

Din această relaţie rezultă că cu cât masa particulei este mai mare, cu atât mai mică este incertitudinea coordonatelor și vitezei sale,în consecință, conceptul de traiectorie poate fi aplicat acestei particule cu o mai mare acuratețe. Deci, de exemplu, deja pentru o particulă de praf cu o masă de kg și dimensiuni liniare de m, a cărei coordonată este determinată cu o precizie de 0,01 din dimensiunea sa (m), incertitudinea vitezei, conform (4.2.4) ,

acestea. nu va afecta la toate vitezele cu care se poate mișca o particule de praf.

În acest fel, pentru macroscopic corpurilor, proprietățile lor ondulatorii nu joacă niciun rol; coordonatele și vitezele pot fi măsurate destul de precis. Aceasta înseamnă că legile mecanicii clasice pot fi folosite pentru a descrie mișcarea macrocorpurilor cu certitudine absolută.

Să presupunem că fasciculul de electroni se mișcă de-a lungul axei X cu o viteză m/s, determinată cu o precizie de 0,01% ( m/s). Care este precizia determinării coordonatelor unui electron?

Conform formulei (4.2.4) obținem:

.

Astfel, poziția unui electron poate fi determinată cu o precizie de miimi de milimetru. O astfel de precizie este suficientă pentru a putea vorbi despre mișcarea electronilor de-a lungul unei anumite traiectorii, cu alte cuvinte, pentru a descrie mișcarea lor după legile mecanicii clasice.

Să aplicăm relația de incertitudine la un electron care se mișcă într-un atom de hidrogen. Să presupunem că incertitudinea coordonatei electronice m (de ordinul dimensiunilor atomului însuși), atunci, conform (4.2.4),

.

Folosind legile fizicii clasice, se poate demonstra că atunci când un electron se mișcă în jurul nucleului pe o orbită circulară cu raza de aproximativ m, viteza lui este m/s. În acest fel, incertitudinea vitezei este de câteva ori mai mare decât viteza în sine. Este evident că în acest caz este imposibil să vorbim despre mișcarea electronilor într-un atom de-a lungul unei anumite traiectorii. Cu alte cuvinte, legile fizicii clasice nu pot fi folosite pentru a descrie mișcarea electronilor într-un atom.

Descoperirea de către Werner Heisenberg a principiilor incertitudinii, pe care a făcut-o în 1927, a devenit una dintre cele mai importante realizări științifice care a jucat un rol fundamental în dezvoltarea mecanicii cuantice, iar apoi a influențat dezvoltarea tuturor științelor naturale moderne.

Studiul tradițional al universului a pornit de la premisa că dacă toate obiectele materiale pe care le putem observa se comportă într-un anumit fel, atunci toate celelalte pe care nu le putem cunoaște cu ajutorul senzațiilor trebuie să se comporte și ele în același mod. Dacă există o anumită perturbare în acest comportament, atunci se califică drept paradox și provoacă nedumerire. Așa a fost reacția oamenilor de știință din natură când au pătruns în microcosmos și au întâlnit fenomene care nu se încadrează în modelul tradițional al perspectivei lumii. Acest fenomen s-a manifestat mai ales clar în zona în care erau considerate obiecte de dimensiuni incomensurabile cu cele cu care oamenii de știință erau obișnuiți să se ocupe înainte. Principiul, de fapt, a dat un răspuns la întrebarea cum diferă microlumea de lumea cunoscută nouă.

Fizica newtoniană a ignorat practic un astfel de fenomen precum influența unui instrument de cunoaștere asupra obiectului cunoașterii în sine, influențându-l.La începutul anilor 1920, Werner Heisenberg a ridicat această problemă și a venit cu o formulă care descrie gradul de influență al cunoașterii. metodă de măsurare a proprietăților unui obiect asupra obiectului însuși. Ca urmare, a fost descoperit principiul incertitudinii Heisenberg. A primit reflectare matematică în teoria relației de incertitudine. Categoria „incertitudine” din acest concept a însemnat că cercetătorul nu știe exact locația particulei studiate. În sensul lor practic, principiile incertitudinii Heisenberg au afirmat că, cu cât caracteristicile sunt mai precise, instrumentul este folosit pentru a măsura. proprietăți fizice obiect, cu atât mai puțină incertitudine a ideilor noastre despre aceste proprietăți va fi atinsă. De exemplu, principiul incertitudinii Heisenberg, atunci când este utilizat în studiul microcosmosului, a permis tragerea de concluzii despre incertitudinea „zero”, când impactul instrumentului asupra obiectului studiat a fost neglijabil.

În cercetări ulterioare, s-a descoperit că principiul incertitudinii Heisenberg leagă conținutul său nu numai cu coordonatele spațiale și viteza. Aici se vede mai clar. De fapt, influența sa este prezentă în toate părțile sistemului pe care îl studiem. Această concluzie ne permite să facem câteva observații cu privire la funcționarea principiului Heisenberg. În primul rând, acest principiu presupune că este imposibil să se stabilească aceiași parametri spațiali exacti ai obiectelor. În al doilea rând, această proprietate este obiectivă și nu depinde de persoana care face măsurătorile.

Aceste concluzii au devenit un impuls puternic pentru dezvoltarea teoriilor de management în diverse domenii ale activității umane, unde notoriul „factor uman” este de obicei principalul. Aceasta a arătat semnificația socială a descoperirii lui Heisenberg.

Discuțiile științifice și aproape științifice moderne cu privire la principiile incertitudinii sugerează că, dacă, spun ei, rolul unei persoane în cunoașterea microlumii este limitat și nu o poate influența activ, atunci aceasta nu este o dovadă că conștiința umană este conectată. într-un fel cu „Mintea Superioară”?” (teoria „Noii Ere”). Nu este posibil să recunoaștem aceste concluzii ca fiind serioase deoarece inițial interpretează incorect principiul în sine. Potrivit lui Heisenberg, principalul lucru în descoperirea sa nu este faptul prezenței unei persoane, ci faptul că influența instrumentului asupra subiectului cercetării.

Principiile lui Heisenberg sunt de departe unul dintre cele mai utilizate instrumente metodologice utilizate în domenii diverse cunoştinţe.

Elemente de mecanică cuantică

Dualismul undelor corpusculare a proprietăților particulelor de materie.

§1 Valuri De Broglie

În 1924 Louis de Broglie (fizician francez) a ajuns la concluzia că dualitatea luminii ar trebui extinsă la particulele de materie - electroni. Ipoteza lui De Broglie a fost că electronul, ale cărui proprietăți corpusculare (sarcină, masă) au fost studiate de mult timp, are, de asemenea, proprietăți ale valurilor, acestea. se comportă ca un val în anumite condiţii.

Relațiile cantitative care leagă proprietățile corpusculare și de undă ale particulelor sunt aceleași ca și pentru fotoni.

Ideea lui De Broglie a fost că acest raport are un caracter universal, valabil pentru orice proces ondulatoriu. Orice particulă cu un impuls p corespunde unei undă, a cărei lungime este calculată prin formula de Broglie.

- val de Broglie

p = mveste impulsul particulei,heste constanta lui Planck.

Waves de Broglie, care uneori sunt numite unde de electroni, nu sunt electromagnetice.

În 1927, Davisson și Germer (un fizician american) au confirmat ipoteza lui de Broglie descoperind difracția electronilor pe un cristal de nichel. Maximele de difracție corespundeau formulei Wulff-Braggs 2 dsinj= n l , iar lungimea de undă Bragg s-a dovedit a fi exact egală cu .

Confirmarea ulterioară a ipotezei de Broglie în experimentele lui L.S. Tartakovsky și G. Thomson, care au observat modelul de difracție în timpul trecerii unui fascicul de electroni rapizi ( E » 50 keV) printr-o folie de diferite metale. Apoi a fost descoperită difracția neutronilor, protonilor, fasciculelor atomice și a fasciculelor moleculare. Au apărut noi metode de studiere a materiei - difracția cu neutroni și difracția electronilor și a apărut optica electronică.

Macrocorpurile trebuie să aibă, de asemenea, toate proprietățile (m = 1 kg, deci l = 6 . 6 2 1 0 - 3 1 m - nu poate fi detectat prin metode moderne - prin urmare, macrocorpii sunt considerați doar corpusculi).

§2 Proprietăţile undelor de Broglie

• Lasă o particulă de masămdeplasându-se cu o vitezăv. Apoi viteza de fază valuri de Broglie

.

pentru că c > v, apoi viteza de fază a undei de Broglie mai mult decât viteza luminiiîn vid (v f poate fi mai mare și poate fi mai mică decât c, spre deosebire de grup).

viteza de grup

• în consecință, viteza de grup a undelor de Broglie este egală cu viteza particulei.

Pentru un foton

acestea. viteza grupului egală cu viteza luminii.

§3 Relația de incertitudine Heisenberg

Microparticulele în unele cazuri se manifestă ca unde, în altele ca corpusculi. Legile fizicii clasice ale particulelor și ale undelor nu se aplică acestora. LA fizică cuantică se dovedește că conceptul de traiectorie nu poate fi aplicat unei microparticule, dar se poate spune că particula se află într-un anumit volum de spațiu cu o anumită probabilitate. R. Prin scăderea volumului, vom scădea probabilitatea de a detecta o particulă în el. Descriere probabilistică traiectoria (sau poziția) particulei duce la faptul că impulsul și, în consecință, viteza particulei pot fi determinate cu o anumită precizie.

Mai mult, nu se poate vorbi despre lungimea de undă într-un anumit punct din spațiu și, prin urmare, rezultă că, dacă setăm cu precizie coordonatele X, atunci nu putem spune nimic despre impulsul particulei, deoarece . Privind doar întinderea lungă DC putem determina impulsul particulei. Cu atât mai mult D C, cu atât mai precis D Rși invers, cu atât mai puțin DC , cu atât este mai mare incertitudinea în găsire D R.

Relația de incertitudine Heisenberg stabilește o limită în determinarea simultană a preciziei cantități conjugate canonic, care includ poziția și impulsul, energia și timpul.

Relația de incertitudine Heisenberg: produsul incertitudinilor valorilor a două mărimi conjugate nu poate fi mai mic decât constanta lui Planck în ordinul mărimiih

(uneori scris)

În acest fel. pentru o microparticulă, nu există stări în care coordonatele și impulsul acesteia ar avea ambele valori exacte. Cu cât este mai mică incertitudinea unei cantități, cu atât este mai mare incertitudinea celeilalte.

Relația de incertitudine este o constrângere cuantică aplicabilitatea mecanicii clasice la micro-obiecte.

prin urmare, cu atât mai multm, cu atât mai puțină incertitudine în determinarea coordonatelor și a vitezei. Lam\u003d 10 -12 kg,? = 10 -6 și Δ X= 1% 5, A v = 6,62 10 -14 m/s, adică. nu va afecta la toate vitezele cu care particulele de praf se pot deplasa, de ex. pentru macrocorpi proprietățile lor de undă nu joacă niciun rol.

Lasă un electron să se miște într-un atom de hidrogen. Să spunem ΔX» 1 0 -10 m (de ordinul mărimii unui atom, adică electronul aparține unui atom dat). Apoi

Δ v= 7,27 1 0 6 Domnișoară. Conform mecanicii clasice, atunci când se deplasează pe o razăr » 0. 5 1 0 - 1 0 m v= 2,3 10 -6 m/s. Acestea. incertitudinea vitezei este un ordin de mărime mai mare decât mărimea vitezei, prin urmare, este imposibil să se aplice legile mecanicii clasice microcosmosului.

Din relația rezultă că un sistem cu o viață D t, nu poate fi caracterizat printr-o anumită valoare energetică. Distribuția de energie crește odată cu scăderea duratei medii de viață. Prin urmare, frecvența fotonului emis trebuie să aibă și o incertitudine D n = D E/ h, adică liniile spectrale vor avea o anumită lățime n±D E/ h, va fi neclară. Prin măsurarea lățimii linie spectrală este posibil să se estimeze ordinea de timp pentru existența unui atom în stare excitată.

§4 Funcția de undă și semnificația ei fizică

Modelul de difracție observat pentru microparticule este caracterizat de o distribuție inegală a fluxurilor de microparticule în direcții diferite - există minime și maxime în alte direcții. Prezența maximelor în modelul de difracție înseamnă că undele de Broglie sunt distribuite în aceste direcții cu cea mai mare intensitate. Iar intensitatea va fi maximă dacă se propagă în această direcție număr maxim particule. Acestea. Modelul de difracție pentru microparticule este o manifestare a unei regularități statistice (probabilistice) în distribuția particulelor: acolo unde intensitatea undei de Broglie este maximă, există mai multe particule.

Sunt luate în considerare undele De Broglie în mecanica cuantică ca valurile probabilitate, acestea. probabilitatea de a găsi o particulă în diferite puncte ale spațiului variază în funcție de legea undelor (adică~ e - iωt). Dar pentru unele puncte din spațiu, această probabilitate va fi negativă (adică, particula nu se încadrează în această regiune). M. Born (fizician german) a sugerat că nu probabilitatea în sine se schimbă conform legii undelor, și amplitudinea probabilității, care se mai numeşte şi funcţie de undă sau y -funcție (psi - funcție).

Funcția de undă este o funcție de coordonate și timp.

Pătratul modulului funcției psi determină probabilitatea ca particula vor fi găsite în sfera de aplicare dV - nu funcția psi în sine are sens fizic, ci pătratul modulului său.

Ψ * - funcție conjugată complexă a lui Ψ

(z= A + ib, z * = A- ib, z * - conjugare complexa)

Dacă particula este într-un volum finitV, atunci posibilitatea detectării acestuia în acest volum este egală cu 1, (un anumit eveniment)

R= 1

În mecanica cuantică, se presupune căΨ și AΨ, unde A = const, descrie aceeași stare a particulei. Prin urmare,

Condiție de normalizare

integral peste , înseamnă că se calculează pe un volum (spațiu) infinit.

y - funcția ar trebui să fie

1) final (deoarece R nu poate fi mai mult de 1)

2) fără ambiguitate (este imposibil să se detecteze o particulă în condiții neschimbate cu o probabilitate de 0,01 și 0,9, de exemplu, deoarece probabilitatea trebuie să fie lipsită de ambiguitate).

• continuă (decurge din continuitatea spațiului. Există întotdeauna șansa de a găsi o particulă în diferite puncte din spațiu, dar pentru puncte diferite va fi diferit)
• Funcția de undă satisface principiu suprapuneri: dacă sistemul poate fi în diferite stări descrise de funcțiile de undă y 1 , y 2 ... y n , atunci poate fi în stat y , descris printr-o combinație liniară a acestor funcții:

Cu n(n =1,2...) - orice numere.

Folosind funcția de undă, valorile medii ale oricăror cantitate fizica particule

§5 Ecuația Schrödinger

Ecuația Schrödinger, ca și alte ecuații de bază ale fizicii (ecuațiile lui Newton, Maxwell), nu este derivată, ci postulată. Ar trebui privită ca ipoteza de bază inițială, a cărei validitate este dovedită prin faptul că toate consecințele care decurg din aceasta sunt exact în acord cu datele experimentale.

(1)

Timpul Ecuația Schrödinger.

Nabla - operator Laplace

Funcția potențială a unei particule într-un câmp de forță,

Ψ(y, z, t ) - funcția dorită

Dacă câmpul de forță în care se mișcă particula este staționar (adică nu se modifică în timp), atunci funcțiaUnu depinde de timp și are sens energie potențială. În acest caz, soluția ecuației Schrödinger (adică Ψ este o funcție) poate fi reprezentată ca un produs al doi factori - unul depinde doar de coordonate, celălalt doar de timp:

(2)

E- energie totală particule, care este constantă în cazul unui câmp staționar.

Înlocuind (2) ® (1):

(3)

Ecuația Schrödinger pentru stări staționare.

Disponibil infinit de multesolutii. Prin impunerea unor condiții la limită se selectează soluții care au o semnificație fizică.

Condiții de frontieră:

Funcțiile de undă trebuie să fie regulat, adică

1) finală;

2) lipsit de ambiguitate;

3) continuu.

Se numesc soluții care satisfac ecuația Schrödinger proprii funcțiile și valorile energetice corespunzătoare acestora - valori proprii ale energiei. Se numește mulțime de valori proprii spectru cantități. În cazul în care un E nia valori discrete, apoi spectrul - discret, dacă este continuă - solidă sau continuă.

§ 6 Mișcarea unei particule libere

O particulă este numită liberă dacă nu se acționează asupra ei. câmpuri de forță, adicăU= 0.

Ecuația Schrödinger pentru stările staționare în acest caz este:

Soluția lui: Ψ( X)=DAR e ikx, Unde DAR = const, k= const

Și valorile proprii ale energiei:

pentru că kpoate lua orice valoare, atunci, prin urmare, E ia orice valoare, i.e. energie spectrul va fi continuu.

Funcția de undă temporală

(- ecuația de undă)

acestea. reprezintă o undă plană monocromă de Broglie.

§7 O particulă într-un „puț de potențial” de formă dreptunghiulară.

Cuantificarea energiei .

Să găsim valorile proprii ale energiei și funcțiile proprii corespunzătoare pentru o particulă situată în la nesfârşit put profund de potențial unidimensional. Să presupunem că particula se poate mișca numai de-a lungul axei X . Lasă mișcarea să fie limitată de pereți impenetrabili pentru particuleX= 0 și X=?. Energie potențialăU se pare ca:

Ecuația Schrödinger pentru stări staționare pentru o problemă unidimensională

Particula nu poate ieși în afara sondei de potențial, deci probabilitatea de a detecta o particule în afara sondei este 0. Prin urmare, Ψ în afara sondei este tot 0. Din condițiile de continuitate rezultă că Ψ = 0 și la limitele sondei, adică

Ψ(0) = Ψ(?) = 0

În groapă (0 £ X£l) U= 0 și ecuația Schrödinger.

intrând primim

Decizie comună

În mecanica clasică, fiecare particulă se mișcă de-a lungul unei anumite traiectorii, astfel încât în ​​orice moment poziția și impulsul ei sunt exact fixate. Microparticulele, datorită proprietăților lor de undă, diferă semnificativ de particulele clasice. Una dintre principalele diferențe este că este imposibil să vorbim despre mișcarea unei microparticule de-a lungul unei anumite trattorie și este greșit să vorbim despre valorile exacte simultane ale coordonatei și impulsului acesteia. Aceasta decurge din dualismul undelor corpusculare. Astfel, conceptul de „lungime de undă la un punct dat” este lipsit de simțul fizic, și întrucât impulsul este exprimat în termeni de lungime de undă, rezultă că o microparticulă cu un anumit impuls are o coordonată complet nedefinită. Și invers, dacă microparticula este într-o stare cu valoarea exactă a coordonatei, atunci impulsul său este complet nedeterminat.

V. Heisenberg, ținând cont de proprietățile de undă ale microparticulelor și de restricțiile asupra comportamentului acestora asociate cu proprietățile undei, a ajuns la concluzia în 1927 că este imposibil să se caracterizeze un obiect al microparticulelor simultan cu o precizie predeterminată atât prin coordonate, cât și prin impuls. Conform relația de incertitudine Heisenberg, o microparticulă (microobiect) nu poate avea o anumită coordonată în același timp (x, y, z),și o anumită proiecție a impulsului corespunzătoare (p x, p y, p z), iar incertitudinile acestor cantităţi satisfac condiţiile

adică produsul incertitudinilor coordonatei și proiecția impulsului corespunzătoare nu poate fi mai mic decât o valoare a ordinului h.

Trebuie remarcat că inegalitatea (224) nu este exactă. Formula este adesea dată în literatură . Este similar cu (224), dar pe partea dreaptă se află constanta lui Planck „cu o linie”, numită constanta lui Planck redusă. Nu există nicio contradicție între aceste două forme de notație: ambele sunt valabile doar în ordinea mărimii și ambele sunt potrivite pentru evaluări calitative. O expresie mai precisă este:

Aici parantezele indică varianța A.

Într-un manual de fizică, această relație de incertitudine este dată astfel:

Din relația de incertitudine (225) rezultă că, de exemplu, dacă o microparticulă se află într-o stare cu o valoare exactă a coordonatei (Dx = 0), atunci în această stare proiecția corespunzătoare a impulsului său se dovedește a fi complet nedefinită. (Dp -> ¥), și invers. Astfel, pentru o microparticulă nu există stări în care coordonatele și impulsul ei să aibă ambele valori exacte. Aceasta implică imposibilitatea reală de a măsura simultan coordonatele și impulsul unui micro-obiect cu orice precizie predeterminată.

Principiul incertitudinii face mai mult decât să impună limite asupra posibilelor rezultate ale măsurătorilor. Are o semnificație mai profundă și ne dezvăluie noi proprietățile interne ale obiectului microlumii însuși: un electron nu poate avea simultan anumite valori ale proiecțiilor impulsului și coordonatelor într-o direcție. Această concluzie este adevărată, desigur, nu numai pentru un electron, ci și pentru orice particulă localizată la scară atomică (de ordinul unui angstrom) și a cărei masă este comparabilă cu cea a unui atom.

În teoria cuantică, este de asemenea luată în considerare relația de incertitudine pentru energie W si timpul t. Incertitudinile acestor marimi satisfac conditia:

unde este incertitudinea energiei unei anumite stări a sistemului, este intervalul de timp în care acesta există. Sistem. Având o durată de viață medie, nu poate fi caracterizată printr-o anumită valoare a energiei; răspândirea energiei crește odată cu scăderea duratei medii de viață. Din relația (226) rezultă, de asemenea, că frecvența fotonului emis trebuie să aibă și o incertitudine, i.e. liniile spectrului trebuie să fie caracterizate prin frecvenţă .

Experiența arată într-adevăr că toate liniile spectrale sunt neclare; Măsurând lățimea liniei spectrale, se poate estima ordinea de timp pentru existența unui atom în stare excitată.

Notă

Fenomenele de difracție se manifestă cel mai clar atunci când dimensiunile obstacolului pe care sunt difractate undele sunt proporționale cu lungimea de undă. Acest lucru se aplică undelor de orice natură fizică și, în special, undelor electronice. Pentru undele de Broglie, rețeaua naturală de difracție este o structură cristalină ordonată cu o perioadă spațială de ordinul mărimii unui atom (aproximativ 0,1 nm). Un obstacol de asemenea dimensiuni (de exemplu, o gaură într-un ecran opac) nu poate fi creat în mod artificial, dar pot fi efectuate experimente mentale pentru a înțelege natura undelor de Broglie.

Luați în considerare, de exemplu, difracția electronilor printr-o singură fante de lățime D (Figura 77). Graficul din dreapta arată distribuția electronilor pe o placă fotografică. Mai mult de 85% din toți electronii care trec prin fantă vor cădea în maximul central de difracție. Jumătatea unghiulară θ 1 a acestui maxim se găsește din condiție

D sin θ 1 = λ.

Această formulă corespunde teoriei undelor.

Din punct de vedere corpuscular, putem presupune că în timpul zborului prin fantă, electronul capătă un impuls suplimentar pe direcția perpendiculară. Neglijând 15% din electronii care cad pe placa fotografică în afara maximului central, putem presupune că valoarea maximă p y a impulsului transversal este egală cu

unde p este impulsul absolut al electronului, egal, conform lui de Broglie, cu h / λ. Valoarea lui p nu se modifică atunci când un electron trece prin gol, deoarece lungimea de undă λ rămâne neschimbată. Din aceste relaţii rezultă

Mecanica cuantică dă un sens extrem de profund acestei relații aparent simple, care este o consecință a proprietăților de undă ale unei microparticule. Trecerea electronilor printr-un slot este un experiment în care y - coordonata electronului - este determinată cu o precizie de Δy = D. Valoarea lui Δy se numește incertitudinea măsurării coordonatelor. În același timp, precizia determinării y, componenta impulsului electronului în momentul trecerii prin fantă, este egală cu p y sau chiar mai mare dacă se iau în considerare maximele laterale ale modelului de difracție. Această mărime se numește incertitudinea proiecției impulsului și se notează Δp y . Astfel, mărimile Δy și Δp y sunt legate prin relație

Δy Δp y ≥ h,

care se numește relația de incertitudine Heisenberg. Mărimile Δy și Δp y trebuie înțelese în sensul că microparticulele, în principiu, nu au atât valoarea exactă a coordonatei, cât și proiecția momentului corespunzătoare. Relația de incertitudine nu este legată de imperfecțiunea instrumentelor utilizate pentru măsurarea simultană a poziției și impulsului unei microparticule. Este o manifestare a naturii duble corpusculare a micro-obiectelor materiale. Relația de incertitudine face posibilă estimarea măsurii în care conceptele mecanicii clasice pot fi aplicate microparticulelor. Arată, în special, că conceptul clasic de traiectorie este inaplicabil micro-obiectelor, deoarece mișcarea de-a lungul unei traiectorii este caracterizată în orice moment de anumite valori ale coordonatelor și vitezei. Este fundamental imposibil să se indice traiectoria de-a lungul căreia s-a deplasat un anumit electron după ce a trecut prin fantă și până la placa fotografică în experimentul gândit considerat.

Luați în considerare un alt experiment de gândire - difracția unui fascicul de electroni prin două fante (Fig. 78). Schema acestui experiment coincide cu schema experimentului de interferență optică a lui Young.

O analiză a acestui experiment ne permite să ilustrăm dificultățile logice care apar în teoria cuantică. Aceleași probleme apar atunci când se explică experiența optică a lui Young în ceea ce privește conceptul de fotoni.

Dacă în experimentul de observare a difracției electronilor pe două fante una dintre fante este închisă, atunci franjele de interferență vor dispărea, iar placa fotografică va înregistra distribuția electronilor difracți pe o fante (Figura 77). În acest caz, toți electronii care ajung pe placa fotografică trec prin singura fantă deschisă. Dacă ambele fante sunt deschise, atunci apar franjuri de interferență și atunci se pune întrebarea, prin care dintre fante zboară unul sau altul electron?

Din punct de vedere psihologic, este foarte dificil să te împaci cu faptul că poate exista un singur răspuns la această întrebare: electronul zboară prin ambele fante. Ne imaginăm intuitiv fluxul de microparticule ca o mișcare dirijată a bilelor mici și aplicăm legile fizicii clasice pentru a descrie această mișcare. Dar un electron (și orice altă microparticulă) are nu numai proprietăți corpusculare, ci și ondulatorii. Este ușor de imaginat cum o undă de lumină electromagnetică trece prin două fante în experimentul optic al lui Young, deoarece unda nu este localizată în spațiu. Dar dacă acceptăm conceptul de fotoni, atunci trebuie să recunoaștem că fiecare foton nu este, de asemenea, localizat. Este imposibil să indicați prin care dintre fante a zburat fotonul, la fel cum este imposibil să urmăriți traiectoria fotonului către placa fotografică și să indicați punctul în care va cădea. Experiența arată că chiar și în cazul în care fotonii zboară prin interferometru unul câte unul, modelul de interferență după trecerea multor fotoni independenți încă apare. Prin urmare, în fizica cuantică, se face concluzia: fotonul interferează cu el însuși.

Toate cele de mai sus se aplică și experimentului privind difracția electronilor prin două fante. Întregul set de fapte experimentale cunoscute poate fi explicat dacă presupunem că unda de Broglie a fiecărui electron individual trece simultan prin ambele găuri, în urma cărora apare interferența. Un singur flux de electroni dă, de asemenea, interferență în timpul expunerii pe termen lung, adică un electron, ca un foton, interferează cu el însuși.

Să clarificăm că relația de incertitudine decurge cu adevărat din proprietățile undei ale microparticulelor. Lăsați fluxul de electroni să treacă printr-o fantă îngustă de lățime Dx, situată perpendicular pe direcția mișcării lor (Fig. 77). Deoarece electronii au proprietăți de undă, atunci când trec printr-o fantă, a cărei dimensiune este comparabilă cu lungimea de undă de Broglie a unui electron, se observă difracția. Modelul de difracție observat pe ecran (E) se caracterizează prin maximul principal situat simetric față de axă Y,și maxime secundare de ambele părți ale celui principal (nu sunt luate în considerare, deoarece partea principală a intensității cade pe maximul principal).

Înainte de a trece prin fantă, electronii s-au deplasat de-a lungul axei Z , prin urmare, componenta impulsului p y =0 , deci D p y =0 , si coordonata y particulele este complet nedeterminată. În momentul în care electronii trec prin fantă, poziția lor în direcția axei Y este determinată până la lățimea slotului, adică cu o precizie de Dy. În același moment, din cauza difracției, electronii se abat de la direcția inițială și se vor mișca în unghi. 2j (j este unghiul corespunzător primului minim de difracție).