1. Polinomlar to'plami P n (x) darajalar yuqori emas n.

2. Kopgina n-term ketma-ketliklari (terminal qo'shish va skalerga ko'paytirish bilan).

3 . Ko'p xususiyatlar C [ a , b ] davomli [ a, b] va nuqta boʻyicha qoʻshish va skalerga koʻpaytirish bilan.

4. [da belgilangan funktsiyalar to'plami a, b] va ba'zi bir qattiq ichki nuqtada g'oyib bo'ladi c: f (c) = 0 va skalerga qoʻshish va koʻpaytirishning nuqtaviy amallari bilan.

5. Agar R + to'plami x ⊕ y  x  y, ⊙x x  .

§sakkiz. Subfazo ta'rifi

To'plamga ruxsat bering V chiziqli fazoning kichik to'plamidir V (V  V) va shunga o'xshash

a)  x, yV  x ⊕ yV;

b)  xV,    ⊙ xV.

Bu erda qo'shish va ko'paytirish amallari fazodagi kabi V(ular kosmik induktsiya deb ataladi V).

Bunday ko'pchilik V fazoning pastki fazosi deyiladi V.

7  . pastki fazo V o'zi bo'shliqdir.

◀ Buni isbotlash uchun neytral element va qarama-qarshi element mavjudligini isbotlash kifoya. Tenglik 0⊙ x=  va (–1)⊙ X = –X zarurligini isbotlash.

Faqat neytral element () va fazoning o'zi bilan mos keladigan pastki fazodan iborat pastki fazo V, fazoning trivial pastki fazolari deyiladi V.

§9. Vektorlarning chiziqli birikmasi. Vektorlar sistemasining chiziqli oralig'i

Vektorlarga ruxsat bering e 1 ,e 2 , …e n V va  1,  2 , …  n .

Vektor x=  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n = chiziqli deb ataladi vektorlar birikmasi e 1 , e 2 , … , e n 1 koeffitsientlari bilan,  2 , …  n .

Agar chiziqli kombinatsiyadagi barcha koeffitsientlar nolga teng bo'lsa, chiziqli birikma chaqirdi ahamiyatsiz.

Vektorlarning ko'p mumkin bo'lgan chiziqli birikmalari
chiziqli oraliq deb ataladi bu vektorlar tizimi va quyidagi bilan belgilanadi:

ℒ(e 1 , e 2 , …, e n) = ℒ
.

8  . ℒ(e 1 , e 2 , …, e n

◀ Skayarga qoʻshish va koʻpaytirishning toʻgʻriligi shundan kelib chiqadiki, ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) - barcha mumkin bo'lgan chiziqli birikmalar to'plami. Neytral element arzimas chiziqli kombinatsiyadir. Element uchun X=
qarama-qarshi element hisoblanadi x =
. Amaliyotlar qanoatlantirishi kerak bo'lgan aksiomalar ham qondiriladi. Shunday qilib, ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) chiziqli fazodir.

Har qanday chiziqli fazoda, umumiy holatda, cheksiz sonli boshqa chiziqli bo'shliqlar (pastki bo'shliqlar) - chiziqli qobiqlar mavjud.

Kelajakda biz quyidagi savollarga javob berishga harakat qilamiz:

Qachon chiziqli qobiqlar turli tizimlar vektorlar bir xil vektorlardan iborat (ya'ni mos keladi)?

2) Bir xil chiziqli oraliqni belgilaydigan vektorlarning minimal soni qancha?

3) Asl fazo ba'zi vektorlar sistemasining chiziqli oralig'imi?

§o'n. To'liq vektor tizimlari

Agar kosmosda bo'lsa V vektorlarning chekli to'plami mavjud
shunday, ℒ
 V, keyin vektorlar sistemasi
to'liq tizim deb ataladi V, va fazo chekli o'lchovli deyiladi. Shunday qilib, vektorlar tizimi e 1 , e 2 , …, e n V to'liq deb ataladi V tizim, ya'ni. agar

XV   1 ,  2 , …  n shunday x=  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n .

Agar kosmosda bo'lsa V chekli to'liq tizim yo'q (va to'liq tizim har doim mavjud - masalan, barcha kosmik vektorlar to'plami V), keyin bo'sh joy V cheksiz deb ataladi.

9  . Agar a
to'la V vektorlar tizimi va y V, keyin ( e 1 , e 2 , …, e n , y) ham to'liq tizimdir.

◀ Chiziqli birikmalarda yetarli y 0 ga teng qabul qiling.

Vektor fazodan vektorlar sistemasi bo'lsin V maydon ustida P.

Ta'rif 2: Chiziqli qobiq L tizimlari A sistema vektorlarining barcha chiziqli birikmalari to'plamidir A. Belgilanish L(A).

Buni har qanday ikkita tizim uchun ko'rsatish mumkin A va B,

A orqali chiziqli ifodalanadi B agar va faqat agar. (bir)

A ga teng B agar va faqat agar L(A)=L(B). (2)

Dalil avvalgi mulkdan kelib chiqadi

3 Har qanday vektorlar sistemasining chiziqli oralig'i fazoning pastki fazosidir V.

Isbot

Har qanday ikkita vektorni oling va L(A) dan vektorlarda quyidagi kengayishlarga ega A: . Mezonning 1) va 2) shartlarining maqsadga muvofiqligini tekshiramiz:

Chunki u tizim vektorlarining chiziqli birikmasi A.

Chunki u tizim vektorlarining chiziqli birikmasi hamdir A.

Endi matritsani ko'rib chiqing. Matritsa qatorlarining chiziqli qobig'i A matritsaning qator fazosi deyiladi va belgilanadi L r (A). Matritsa ustunlarining chiziqli o'rami A ustun fazosi deb ataladi va belgilanadi L c (A). Matritsaning satr va ustunlar maydoni uchun ekanligini unutmang A turli arifmetik fazolarning pastki fazolaridir P n va Pm mos ravishda. (2) bayonotidan foydalanib, biz quyidagi xulosaga kelishimiz mumkin:

3-teorema: Agar bitta matritsa boshqasidan elementar o'zgarishlar zanjiri orqali olingan bo'lsa, unda bunday matritsalarning qator bo'shliqlari mos keladi.

Pastki bo'shliqlar yig'indisi va kesishishi

Mayli L va M- kosmosning ikkita pastki fazosi R.

Miqdori L+M vektorlar to'plami deyiladi x+y , qayerda x ∈L va y ∈M. Shubhasiz, vektorlarning har qanday chiziqli birikmasi L+M tegishli L+M, Binobarin L+M fazoning pastki fazosidir R(bo'sh joy bilan mos kelishi mumkin R).

kesib o'tish L∩M pastki bo'shliqlar L va M- bir vaqtning o'zida pastki fazolarga tegishli vektorlar to'plami L va M(faqat null vektordan iborat bo'lishi mumkin).

6.1 teorema. Ixtiyoriy pastki bo'shliqlar o'lchamlari yig'indisi L va M chekli o'lchovli chiziqli fazo R bu pastki bo'shliqlar yig'indisining o'lchamiga va ushbu pastki bo'shliqlarning kesishish o'lchamiga teng:

xira L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Isbot. Belgilamoq F=L+M va G=L∩M. Mayli G g- o'lchovli pastki fazo. Biz unda asosni tanlaymiz. Chunki G⊂L va G⊂M, shuning uchun asos G asosga qo'shilishi mumkin L va bazaga M. Pastki fazoning asosi bo'lsin L va pastki fazoning asosi bo'lsin M. Keling, vektorlar ekanligini ko'rsatamiz

(6.1) asosini tashkil qiladi F=L+M. (6.1) vektorlar fazoning asosini tashkil etishi uchun F ular chiziqli mustaqil va har qanday kosmik vektor bo'lishi kerak F vektorlarning chiziqli birikmasi bilan ifodalanishi mumkin (6.1).

Keling, isbot qilaylik chiziqli mustaqillik vektorlar (6.1). Nol fazo vektori bo'lsin F(6.1) vektorlarning bir necha koeffitsientli chiziqli birikmasi bilan ifodalanadi:

(6.3) ning chap tomoni pastki fazo vektoridir L, va o'ng tomoni pastki fazo vektoridir M. Shuning uchun vektor

(6.4) pastki fazoga tegishli G=L∩M. Boshqa tomondan, vektor v pastki fazoning bazis vektorlarining chiziqli birikmasi bilan ifodalanishi mumkin G:

(6.5) (6.4) va (6.5) tenglamalardan bizda:

Ammo vektorlar pastki fazoning asosidir M, shuning uchun ular chiziqli mustaqil va. Keyin (6.2) quyidagi shaklni oladi:

Pastki fazo asosining chiziqli mustaqilligi tufayli L bizda ... bor:

(6.2) tenglamadagi barcha koeffitsientlar nolga teng bo'lganligi sababli vektorlar

chiziqli mustaqildir. Lekin har qanday vektor z dan F(pastki bo'shliqlar yig'indisining ta'rifi bo'yicha) yig'indisi bilan ifodalanishi mumkin x+y , qayerda x ∈ Ly ∈ M. O'z navbatida x a vektorlarning chiziqli birikmasi bilan ifodalanadi y - vektorlarning chiziqli birikmasi. Demak (6.10) vektorlar pastki fazoni hosil qiladi F. (6.10) vektorlar asos tashkil etishini aniqladik F=L+M.

Pastki fazolar asoslarini o'rganish L va M va pastki fazo asosi F=L+M(6.10), bizda: xira L=g+l, xira M=g+m, xira (L+M)=g+l+m. Natijada:

dimL+dimM−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Pastki bo'shliqlarning to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi

Ta'rif 6.2. Kosmos F pastki bo'shliqlarning bevosita yig'indisidir L va M, agar har bir vektor x bo'sh joy F faqat yig'indi sifatida ifodalanishi mumkin x=y+z , qayerda y ∈L va z ∈M.

To'g'ridan-to'g'ri yig'indisi belgilanadi L⊕M. Agar shunday deyishadi F=L⊕M, keyin F uning pastki bo'shliqlarining bevosita yig'indisiga parchalanadi L va M.

6.2 teorema. Uchun n- o'lchovli fazo R pastki bo'shliqlarning bevosita yig'indisi edi L va M, buning kesishishi kifoya L va M faqat nol elementni o'z ichiga oladi va R o'lchami pastki bo'shliqlar o'lchamlari yig'indisiga teng L va M.

Isbot. L kichik fazoda qandaydir bazisni va M kichik fazoda qandaydir bazis tanlaylik. Buni isbotlaylik

(6.11) makonning asosidir R. Teorema gipotezasiga ko'ra, fazoning o'lchami R n pastki bo'shliqlar yig'indisiga teng L va M (n=l+m). Elementlarning chiziqli mustaqilligini isbotlash kifoya (6.11). Nol fazo vektori bo'lsin R(6.11) vektorlarning bir necha koeffitsientli chiziqli birikmasi bilan ifodalanadi:

(6.13)Chunki (6.13) ning chap tomoni pastki fazo vektoridir L, va o'ng tomoni pastki fazo vektoridir M va L∩M=0 , keyin

(6.14) Ammo vektorlar va pastki fazolarning asoslari L va M mos ravishda. Shuning uchun ular chiziqli mustaqildir. Keyin

(6.15) Biz (6.12) faqat (6.15) shartdagina to'g'ri ekanligini aniqladik va bu (6.11) vektorlarning chiziqli mustaqilligini isbotlaydi. Shuning uchun ular asosni tashkil qiladi R.

x∈R bo'lsin. Biz uni asos bo'yicha kengaytiramiz (6.11):

(6.16) (6.16) dan bizda:

(6.18) (6.17) va (6.18) dan har qanday vektor kelib chiqadi R vektorlar yig'indisi bilan ifodalanishi mumkin x 1 ∈L va x 2 ∈M. Bu vakillik noyob ekanligini isbotlash uchun qoladi. (6.17) tasvirga qo'shimcha ravishda quyidagi ko'rinishga ega bo'lsin:

(6.19) (6.17) dan (6.19) ayirib, hosil bo'lamiz

(6.20) dan beri, va L∩M=0 , keyin va . Demak va . ■

Pastki fazolar yig'indisining o'lchami haqidagi 8.4-teorema. Agar va chekli o'lchovli chiziqli fazoning pastki fazolari bo'lsa, u holda pastki fazolar yig'indisining o'lchami ularning kesishish o'lchamisiz o'lchamlari yig'indisiga teng ( Grassman formulasi):

Haqiqatan ham, kesishmaning asosi bo'lsin. Keling, uni quyi fazo asosigacha bo'lgan tartiblangan vektorlar to'plami va pastki fazo asosigacha bo'lgan tartiblangan vektorlar to'plami bilan to'ldiramiz. Bunday qo'shish teorema 8.2 bo'yicha mumkin. Ushbu uchta vektorlar to'plamidan biz tartiblangan vektorlar to'plamini tuzamiz. Keling, ushbu vektorlar fazoning generatorlari ekanligini ko'rsatamiz. Haqiqatan ham, bu fazoning har qanday vektorini tartiblangan to'plamdagi vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ko'rsatish mumkin

Natijada, . Jeneratörlerin lineer mustaqil ekanligini isbotlaylik va shuning uchun ular makonning asosidir. Haqiqatan ham, keling, ushbu vektorlarning chiziqli birikmasini tuzamiz va uni nol vektorga tenglashtiramiz: . Ushbu kengayishning barcha koeffitsientlari nolga teng: ikki chiziqli shaklga ega vektor fazosining pastki bo'shliqlari dan har bir vektorga ortogonal bo'lgan barcha vektorlar to'plamidir. Bu to'plam vektor pastki bo'shliq bo'lib, u odatda bilan belgilanadi.

vektor(yoki chiziqli) bo'sh joy- vektorlar deb ataladigan elementlar to'plami bo'lgan matematik struktura, ular uchun bir-biriga qo'shish va songa ko'paytirish amallari - skaler aniqlanadi. Bu operatsiyalar sakkizta aksiomaga bo'ysunadi. Skalar haqiqiy, murakkab yoki boshqa har qanday son maydonining elementlari bo'lishi mumkin. Bunday fazoning alohida holati odatiy uch o'lchovli Evklid fazosidir, uning vektorlari, masalan, jismoniy kuchlarni ifodalash uchun ishlatiladi. Shuni ta'kidlash kerakki, vektor fazoning elementi sifatida yo'naltirilgan segment sifatida ko'rsatilishi shart emas. "Vektor" tushunchasini har qanday tabiatdagi vektor fazosining elementiga umumlashtirish nafaqat atamalarni chalkashtirib yubormaydi, balki ixtiyoriy tabiatdagi fazolar uchun amal qiladigan bir qator natijalarni tushunish yoki hatto taxmin qilish imkonini beradi. .

Vektor fazolar chiziqli algebrada o'rganiladigan mavzudir. Vektor fazoning asosiy xususiyatlaridan biri uning o'lchamidir. Hajmi maksimal raqam fazoning chiziqli mustaqil elementlari, ya'ni qo'pol geometrik talqinga murojaat qilish, faqat skalerga qo'shish va ko'paytirish amallari orqali bir-biri bilan ifodalanmaydigan yo'nalishlar soni. Vektor maydoni qo'shimcha tuzilmalar bilan ta'minlanishi mumkin, masalan, norma yoki nuqta mahsuloti. Bunday bo'shliqlar tabiiy ravishda hisob-kitoblarda, asosan cheksiz o'lchovli funktsiya fazolarida paydo bo'ladi. (inglizcha), bu erda vektorlar funktsiyalardir. Tahlilning ko'pgina muammolari vektorlar ketma-ketligi berilgan vektorga yaqinlashish yoki yaqinlashmasligini aniqlashni talab qiladi. Bunday savollarni ko'rib chiqish qo'shimcha tuzilishga ega vektor fazolarida, ko'p hollarda yaqinlik va uzluksizlik tushunchalarini aniqlash imkonini beradigan mos topologiyada mumkin. Bunday topologik vektor fazolar, xususan Banax va Gilbert fazolari chuqurroq o‘rganish imkonini beradi.

Vektor fazosi kontseptsiyasining kiritilishini kutgan birinchi ishlar 17-asrga to'g'ri keladi. Analitik geometriya, matritsalar haqidagi ta'limot, chiziqli tenglamalar tizimlari va Evklid vektorlari o'z rivojlanishini o'sha paytda oldi.

Ta'rif

Chiziqli yoki vektor maydoni V (F) (\ displaystyle V \ chap (F \ o'ng)) maydon ustida F (\displaystyle F) tartiblangan to'rtlikdir (V , F , + , ⋅) (\displaystyle (V,F,+,\cdot)), qayerda

• V (\displaystyle V)- ixtiyoriy xarakterdagi elementlarning bo'sh bo'lmagan to'plami, deyiladi vektorlar;
• F (\displaystyle F)- elementlari chaqiriladigan maydon skalyarlar;
• Operatsiya aniqlandi qo'shimchalar vektorlar V × V → V (\displaystyle V\times V\to V), har bir juft elementga mos keladigan x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) ) to'plamlar V (\displaystyle V) V (\displaystyle V) ularni chaqirish so'm va belgilandi x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y) );
• Operatsiya aniqlandi vektorlarni skalyarlarga ko'paytirish F × V → V (\displaystyle F\ marta V\dan V gacha), bu har bir elementga mos keladi l (\displaystyle \lambda) dalalar F (\displaystyle F) va har bir element x (\displaystyle \mathbf (x)) to'plamlar V (\displaystyle V) to'plamning yagona elementi V (\displaystyle V), belgilangan l ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x) ) yoki l x (\displaystyle \lambda \mathbf (x) );

Bir xil elementlar to'plamida, lekin turli maydonlarda aniqlangan vektor bo'shliqlari turli vektor bo'shliqlari bo'ladi (masalan, juftliklar to'plami haqiqiy raqamlar R 2 (\displaystyle \mathbb (R) ^(2)) haqiqiy sonlar maydoni yoki bir o'lchovli - kompleks sonlar maydoni ustidagi ikki o'lchovli vektor fazosi bo'lishi mumkin).

Eng oddiy xususiyatlar

1. Vektor fazosi qo'shish yo'li bilan abel guruhidir.
2. neytral element 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \da V)
3. 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0) ) har kim uchun.
4. Har kim uchun x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V) qarama-qarshi element − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V) guruh xususiyatlaridan kelib chiqadigan yagona narsa.
5. 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x) ) har kim uchun x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
6. (− a) ⋅ x = a ⋅ (− x) = − (a x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x))) har qanday va uchun x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
7. a ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0) ) har kim uchun a ∈ F (\displaystyle \alfa \F ichida).

Tegishli ta'riflar va xususiyatlar

pastki fazo

Algebraik ta'rif: Chiziqli pastki fazo yoki vektor pastki fazosi bo'sh bo'lmagan kichik to'plamdir K (\displaystyle K) chiziqli fazo V (\displaystyle V) shu kabi K (\displaystyle K) da belgilanganlarga nisbatan o‘zi chiziqli fazodir V (\displaystyle V) skalerga qo'shish va ko'paytirish amallari. Barcha kichik bo'shliqlar to'plami odatda sifatida belgilanadi L a t (V) (\displaystyle \mathrm (Lat) (V)). Kichik to'plam pastki bo'shliq bo'lishi uchun bu zarur va etarli

Oxirgi ikkita bayonot quyidagilarga teng:

Har qanday vektorlar uchun x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \K da) vektor a x + b y (\displaystyle \alpha \mathbf (x) +\beta \mathbf (y) ) ham tegishli edi K (\displaystyle K) har qanday uchun a , b ∈ F (\displaystyle \alpha,\beta \F ichida).

Xususan, faqat bitta nol vektordan iborat vektor fazo har qanday fazoning pastki fazosi hisoblanadi; har qanday fazo o'zining pastki fazosidir. Bu ikkalasiga to'g'ri kelmaydigan pastki fazolar deyiladi Shaxsiy yoki ahamiyatsiz.

Subfazo xususiyatlari

Chiziqli birikmalar

Ko'rishning yakuniy yig'indisi

Chiziqli birikma deyiladi:

Asos. Hajmi

Vektorlar x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots,\mathbf (x) _(n)) chaqirdi chiziqli bog'liq, agar ularning qiymati nolga teng bo'lgan ahamiyatsiz chiziqli birikmasi mavjud bo'lsa; ya'ni

ba'zi koeffitsientlar bilan a 1 , a 2 , … , a n ∈ F , (\displaystyle \alpha _(1),\alpha _(2),\ldots ,\alpha _(n)\F ichida) va koeffitsientlardan kamida bittasi a i (\displaystyle \alpha _(i)) noldan farq qiladi.

Aks holda, bu vektorlar deyiladi chiziqli mustaqil.

Ushbu ta'rif quyidagi umumlashtirishga imkon beradi: cheksiz vektorlar to'plami V (\displaystyle V) chaqirdi chiziqli bog'liq, agar ba'zi final uning kichik to'plami va chiziqli mustaqil, agar mavjud bo'lsa final kichik to'plam chiziqli mustaqildir.

Asosiy xususiyatlar:

Chiziqli qobiq

Chiziqli qobiq kichik to'plamlar X (\displaystyle X) chiziqli fazo V (\displaystyle V)- barcha kichik fazolarning kesishishi V (\displaystyle V) o'z ichiga olgan X (\displaystyle X).

Chiziqli qobiq pastki fazodir V (\displaystyle V).

Chiziqli qobiq ham deyiladi yaratiladigan pastki fazo X (\displaystyle X). Bundan tashqari, chiziqli oraliq deyiladi V (X) (\ displaystyle (\ matematik (V)) (X))- bo'sh joy, ustiga cho'zilgan kopgina X (\displaystyle X).

Maqolada chiziqli algebra asoslari: chiziqli fazo, uning xossalari, bazis tushunchasi, fazo o‘lchamlari, chiziqli oraliq, chiziqli fazolar va matritsalar darajasi o‘rtasidagi bog‘liqlik yoritilgan.

chiziqli fazo

Kopgina L chaqirdi chiziqli bo'shliq, agar uning barcha elementlari uchun ikkita elementni qo'shish va elementni qanoatlantiruvchi songa ko'paytirish amallari bo'lsa. I guruh Veyl aksiomalari. Chiziqli fazoning elementlari deyiladi vektorlar. Bu to'liq ta'rif; qisqacha aytganda, chiziqli fazo - bu ikki elementni qo'shish va elementni songa ko'paytirish amallari aniqlangan elementlar to'plami, deyishimiz mumkin.

Veyl aksiomalari.

Herman Vayl geometriyada bizda ikki turdagi ob'ektlar borligini taklif qildi ( vektorlar va nuqtalar), xossalari bo'limning asosi bo'lgan quyidagi aksiomalar bilan tasvirlangan chiziqli algebra. Aksiomalarni qulay tarzda 3 guruhga bo'lish mumkin.

I guruh

1. har qanday x va y vektorlar uchun x+y=y+x tengligi bajariladi;
2. har qanday x, y va z vektorlari uchun x+(y+z)=(x+y)+z;
3. shunday o vektor mavjudki, har qanday x vektor uchun x + o = x tengligi to'g'ri bo'ladi;
4. har qanday vektor uchun X x+(-x)=o shunday vektor (-x) mavjud;
5. har qanday vektor uchun X 1x=x tengligi amalga oshadi;
6. har qanday vektorlar uchun X va da va har qanday l soni, tenglik l( X+da)=λ X+λ da;
7. har qanday vektor uchun X va har qanday l va m raqamlari biz tenglikka egamiz (l+m) X=λ X+μ X;
8. har qanday vektor uchun X va har qanday l va m raqamlari, tenglik l(m X)=(λμ) X;

II guruh

I guruh tushunchani belgilaydi vektorlarning chiziqli birikmasi, chiziqli bog'liqlik va chiziqli mustaqillik. Bu bizga yana ikkita aksiomani shakllantirish imkonini beradi:

1. n ta chiziqli mustaqil vektor mavjud;
2. har qanday (n+1) vektorlar chiziqli bog'liqdir.

Planimetriya uchun n=2, stereometriya uchun n=3.

III guruh

Bu guruh vektor juftligini bog'laydigan skalyar ko'paytirish amali borligini taxmin qiladi X va da raqam ( x,y). Bunda:

1. har qanday vektorlar uchun X va da tenglik amal qiladi ( x,y)=(y, x);
2. har qanday vektorlar uchun X , da va z tenglik amal qiladi ( x+y,z)=(x,z)+(y,z);
3. har qanday vektorlar uchun X va da va har qanday l soni, tenglik (l x,y)=λ( x,y);
4. har qanday x vektor uchun tengsizlik ( x, x)≥0 va ( x, x)=0 agar va faqat agar X=0.

Chiziqli fazoning xossalari

Ko'pincha chiziqli fazoning xususiyatlari Veyl aksiomalariga asoslanadi:

1. Vektor haqida, uning mavjudligi aksioma 3 tomonidan kafolatlangan, yagona aniqlangan;
2. Vektor(- X), mavjudligi aksioma 4 tomonidan kafolatlangan, yagona aniqlangan;
3. Har qanday ikkita vektor uchun a va b kosmosga tegishli L, mavjud yagona vektor X, shuningdek, makonga tegishli L, bu tenglamaning yechimidir a+x=b va vektor farqi deb ataladi b-a.

Ta'rif. Kichik toʻplam L' chiziqli fazo L chaqirdi chiziqli pastki fazo bo'sh joy L, agar u o'zi chiziqli fazo bo'lsa, unda vektorlar yig'indisi va vektorning ko'paytmasi bir xil tarzda aniqlanadi. L.

Ta'rif. Chiziqli qobiq L(x1, x2, x3, …, xk) vektorlar x1, x2, x3, va xk bu vektorlarning barcha chiziqli birikmalari to'plamidir. Chiziqli oraliq haqida biz buni aytishimiz mumkin

-chiziqli oraliq chiziqli pastki fazodir;

- chiziqli oraliq vektorlarni o'z ichiga olgan minimal chiziqli pastki fazodir x1, x2, x3, va xk.

Ta'rif. Chiziqli fazo Veyl aksiomalari sistemasining II guruhini qanoatlantirsa, n o'lchovli fazo deyiladi. n raqami deyiladi o'lcham chiziqli fazo va yozish dimL=n.

Asos har qanday tartiblangan tizimdir n fazoning chiziqli mustaqil vektorlari. Bazisning ma'nosi shundan iboratki, asosni tashkil etuvchi vektorlar fazodagi har qanday vektorni tasvirlash uchun ishlatilishi mumkin.

Teorema. L fazodagi har qanday n ta chiziqli mustaqil vektor bazis hosil qiladi.

Izomorfizm.

Ta'rif. Chiziqli bo'shliqlar L va L' Agar ularning elementlari o'rtasida shunday yakkama-yakka muvofiqlik o'rnatilishi mumkin bo'lsa, ular izomorf deyiladi x↔x', nima:

1. agar x↔x', y↔y', keyin x+y↔x’+y’;
2. agar x↔x', keyin l x↔λ X'.

Bu yozishmalar deyiladi izomorfizm. Izomorfizm bizga quyidagi fikrlarni aytishga imkon beradi:

• agar ikkita bo'shliq izomorf bo'lsa, ularning o'lchamlari teng;
• bir xil maydon va bir xil o'lchamdagi har qanday ikkita chiziqli bo'shliq izomorf bo'ladi.