Lemma 1 : Agar n n kattalikdagi matritsada kamida bitta qator (ustun) nolga teng bo'lsa, u holda matritsaning satrlari (ustunlari) chiziqli bog'liqdir.

Isbot: Birinchi qator nol bo'lsin

qayerda a 10. Qaysi narsa talab qilingan edi.

Ta'rif: Asosiy diagonal ostidagi elementlari nolga teng bo'lgan matritsa deyiladi uchburchak:

va ij = 0, i>j.

Lemma 2: Uchburchak matritsaning determinanti asosiy diagonal elementlarining mahsulotiga teng.

Isbotni matritsaning o'lchamiga induksiya qilish orqali amalga oshirish oson.

Teorema haqida chiziqli mustaqillik vektorlar.

a)Kerak: chiziqli bog'liq D=0 .

Isbot: Chiziqli bog'liq bo'lsin, j=,

ya'ni j mavjud, hammasi nolga teng emas, j=, nima a 1 A 1 + a 2 A 2 + ... a n A n =, A j - matritsa ustunlari LEKIN. Keling, masalan, a n ¹0.

Bizda ... bor a j * = a j / a n, j £ n-1a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 * A n -1 + A n =.

Matritsaning oxirgi ustunini almashtiramiz LEKIN ustida

A n * \u003d a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 A n -1 + A n \u003d.

Yuqorida isbotlangan determinantning xususiyatiga ko'ra (matritsaning istalgan ustuniga boshqa ustun qo'shilsa, raqamga ko'paytirilsa, u o'zgarmaydi), yangi matritsaning determinanti asl determinantga tengdir. Ammo yangi matritsada bitta ustun nolga teng, ya'ni ushbu ustundagi determinantni kengaytirsak, biz olamiz D=0, Q.E.D.

b)Muvofiqlik: o'lcham matritsasi n nchiziqli mustaqil qatorlar bilan aniqlovchining mutlaq qiymatini o‘zgartirmaydigan o‘zgartirishlar yordamida har doim uchburchak shaklga keltirish mumkin. Bunda dastlabki matritsa satrlarining mustaqilligi uning determinanti nolga teng emasligini bildiradi.

1. Agar o'lcham matritsasida bo'lsa n n chiziqli mustaqil qatorlar elementi bilan a 11 nolga teng, keyin element bilan ustun va 1 j ¹ 0. Lemma 1 ga ko'ra, bunday element mavjud. Bunday holda, o'zgartirilgan matritsaning determinanti dastlabki matritsaning determinantidan faqat belgisi bilan farq qilishi mumkin.

2. Raqamli satrlardan i>1 birinchi qatorni kasrga ko'paytiring a i 1 / a 11. Shu bilan birga, raqamlar bilan satrlarning birinchi ustunida i>1 null elementlar olinadi.

3. Hosil bo‘lgan matritsaning determinantini birinchi ustunga kengaytirib hisoblashni boshlaymiz. Undagi barcha elementlar, birinchisidan tashqari, nolga teng,

D yangi = a 11 yangi (-1) 1+1 D 11 yangi,

qayerda d 11 yangi kichikroq matritsaning determinantidir.

Keyinchalik, determinantni hisoblash uchun D11 1, 2, 3-bosqichlarni oxirgi determinant o'lcham matritsasining determinanti bo'lguncha takrorlang 1 1. 1-band faqat o'zgartiriladigan matritsa determinantining ishorasini o'zgartirganligi sababli, 2-band esa determinantning qiymatini umuman o'zgartirmaydi, demak, bir belgigacha, biz oxir-oqibat dastlabki matritsaning determinantini olamiz. Bunday holda, asl matritsa satrlarining chiziqli mustaqilligi tufayli 1-band har doim amalga oshirilishi mumkin, asosiy diagonalning barcha elementlari nolga teng bo'lmaydi. Shunday qilib, yuqoridagi algoritm bo'yicha yakuniy determinant asosiy diagonaldagi nolga teng bo'lmagan elementlarning mahsulotiga teng. Shuning uchun asl matritsaning determinanti nolga teng emas. Q.E.D.

2-ilova

Quyida vektorlar sistemalarining chiziqli bog'liqligi va shunga mos ravishda chiziqli mustaqilligining bir qancha mezonlari keltirilgan.

Teorema. (Vektorlarning chiziqli bog'liqligi uchun zarur va etarli shart.)

Vektorlar tizimi, agar tizim vektorlaridan biri chiziqli ravishda ushbu tizimning qolganlari bilan ifodalangan bo'lsa, bog'liqdir.

Isbot. Kerak. Tizim chiziqli bog'liq bo'lsin. Keyin, ta'rifga ko'ra, u nol vektorni noan'anaviy tarzda ifodalaydi, ya'ni. nol vektorga teng bo'lgan bu vektorlar tizimining ahamiyatsiz kombinatsiyasi mavjud:

bu erda bu chiziqli birikmaning koeffitsientlaridan kamida bittasi nolga teng emas. Mayli,.

Oldingi tenglikning ikkala qismini ushbu nolga teng bo'lmagan koeffitsientga bo'ling (ya'ni, ko'paytiring:

Belgilang: , qaerda .

bular. sistemaning vektorlaridan biri chiziqli ravishda ushbu sistemaning qolganlari bilan ifodalanadi va hokazo.

Adekvatlik. Tizim vektorlaridan biri shu sistemaning boshqa vektorlari bilan chiziqli ifodalansin:

Keling, vektorni ushbu tenglikning o'ng tomoniga o'tkazamiz:

Vektorning koeffitsienti bo'lganligi sababli, biz vektorlar tizimi bo'yicha nolning ahamiyatsiz bo'lmagan tasviriga ega bo'lamiz, ya'ni bu vektorlar tizimi chiziqli bog'liq va hokazo.

Teorema isbotlangan.

Natija.

1. Vektor fazodagi vektorlar sistemasi, agar sistema vektorlaridan hech biri shu sistemaning boshqa vektorlari bilan chiziqli ifodalanmasagina chiziqli mustaqil hisoblanadi.

2. Nol vektor yoki ikkita teng vektorni o'z ichiga olgan vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir.

Isbot.

1) zarurat. Tizim chiziqli mustaqil bo'lsin. Buning aksini faraz qiling va bu sistemaning boshqa vektorlari orqali chiziqli ifodalangan tizim vektori mavjud. Keyin, teorema bo'yicha, tizim chiziqli bog'liqdir va biz qarama-qarshilikka erishamiz.

Adekvatlik. Tizim vektorlarining hech biri boshqalari bilan ifodalanmasin. Buning aksini faraz qilaylik. Tizim chiziqli bog'liq bo'lsin, lekin keyin teoremadan kelib chiqadiki, bu tizimning boshqa vektorlari orqali chiziqli ravishda ifodalangan tizim vektori mavjud va biz yana ziddiyatga kelamiz.

2a) sistemada nol vektor bo'lsin. Aniqlik uchun vektor :. Keyin tenglik

bular. sistemaning vektorlaridan biri chiziqli ravishda ushbu sistemaning boshqa vektorlari bilan ifodalanadi. Teoremadan kelib chiqadiki, bunday vektorlar sistemasi chiziqli bog'liq va hokazo.

E'tibor bering, bu haqiqatni to'g'ridan-to'g'ri chiziqli bog'liq vektorlar tizimidan isbotlash mumkin.

dan boshlab, quyidagi tenglik aniq

Bu nol vektorning notrivial ko'rinishi bo'lib, bu tizim chiziqli bog'liqligini bildiradi.

2b) sistema ikkita teng vektorga ega bo'lsin. uchun ruxsat bering. Keyin tenglik

Bular. birinchi vektor bir xil sistemaning boshqa vektorlari bilan chiziqli ifodalanadi. Teoremadan kelib chiqadiki bu tizim chiziqli bog'liq va boshqalar.

Avvalgisiga o'xshab, bu tasdiqni to'g'ridan-to'g'ri chiziqli bog'liq tizimning ta'rifidan ham isbotlash mumkin.U holda bu tizim nol vektorni notrivial tarzda ifodalaydi.

sistemaning chiziqli bog'liqligi shundan kelib chiqadi.

Teorema isbotlangan.

Natija. Bitta vektordan tashkil topgan tizim, agar bu vektor nolga teng bo'lmasa, chiziqli mustaqil hisoblanadi.

Funktsiyalar chaqiriladi chiziqli mustaqil, agar

(faqat arzimas chiziqli funktsiyalar kombinatsiyasiga ruxsat beriladi, bu bir xil nolga teng). Vektorlarning chiziqli mustaqilligidan farqli o'laroq, bu erda chiziqli birikmaning o'ziga xosligi tenglik emas, balki nolga teng. Bu tushunarli, chunki chiziqli birikmaning nolga tengligi argumentning har qanday qiymati uchun qondirilishi kerak.

Funktsiyalar chaqiriladi chiziqli bog'liq, agar nolga teng bo'lmagan konstantalar to'plami mavjud bo'lsa (barcha konstantalar nolga teng emas), shundayki (bir xil darajada nolga teng bo'lgan notrivial chiziqli funktsiyalar kombinatsiyasi mavjud).

Teorema.Funksiyalarning chiziqli bog'liq bo'lishi uchun ularning har qandayining chiziqli ravishda boshqalari bilan ifodalanishi (ularning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi) zarur va etarli.

Bu teoremani o'zingiz isbotlang, u xuddi vektorlarning chiziqli bog'liqligiga o'xshash teorema kabi isbotlangan.

Vronskiyning aniqlovchisi.

Funktsiyalar uchun Vronskiy determinanti determinant sifatida kiritiladi, uning ustunlari noldan (funktsiyalarning o'zi) n-1-tartibgacha bo'lgan bu funktsiyalarning hosilalaridir.

.

Teorema. Funktsiyalar bo'lsa chiziqli bog'liq, keyin

Isbot. Funktsiyalardan beri chiziqli bog'liq bo'lsa, ulardan biri qolganlari bilan chiziqli ravishda ifodalanadi, masalan,

Shaxsni farqlash mumkin, shuning uchun

Keyin Wronskiy determinantining birinchi ustuni qolgan ustunlar bo'yicha chiziqli tarzda ifodalanadi, shuning uchun Wronskiy determinanti xuddi shunday nolga teng.

Teorema.Chiziqli bir jinslilikni yechish uchun differensial tenglama n-tartib chiziqli bog'liq, bu zarur va etarli.

Isbot. Oldingi teoremadan zaruriyat kelib chiqadi.

Adekvatlik. Keling, bir nuqtani tuzataylik. Chunki , u holda bu nuqtada hisoblangan determinantning ustunlari chiziqli bog'liq vektorlardir.

, bu munosabatlar

Chiziqli yechimlarning chiziqli birikmasidan beri bir jinsli tenglama uning yechimi bo'lsa, u holda shaklning yechimini kiritishimiz mumkin

Bir xil koeffitsientli yechimlarning chiziqli birikmasi.

E'tibor bering, bu yechim uchun nol boshlang'ich shartlarni qondiradi, bu yuqorida yozilgan tenglamalar tizimidan kelib chiqadi. Lekin chiziqli bir jinsli tenglamaning trivial yechimi ham xuddi shu nol boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiradi. Demak, Koshi teoremasidan kelib chiqadiki, kiritilgan yechim trivialga bir xil tengdir, shuning uchun,

shuning uchun yechimlar chiziqli bog'liqdir.

Natija.Agar chiziqli bir jinsli tenglama yechimlari asosida qurilgan Vronskiy determinanti kamida bir nuqtada yo'qolsa, u xuddi shunday nolga teng bo'ladi.

Isbot. Agar bo'lsa, u holda echimlar chiziqli bog'liq, demak, .

Teorema.1. Yechimlarning chiziqli bog`liqligi uchun zarur va yetarli(yoki ).

2. Yechimlarning chiziqli mustaqilligi uchun bu zarur va etarli.

Isbot. Birinchi tasdiq yuqorida isbotlangan teorema va natijadan kelib chiqadi. Ikkinchi fikr qarama-qarshilik bilan osongina isbotlanadi.

Yechimlar chiziqli mustaqil bo'lsin. Agar bo'lsa, u holda echimlar chiziqli bog'liqdir. Qarama-qarshilik. Binobarin, .

Mayli . Agar yechimlar chiziqli bog'liq bo'lsa, u holda , demak, qarama-qarshilik. Shuning uchun yechimlar chiziqli mustaqildir.

Natija.Vronskiy determinantining hech bo'lmaganda bir nuqtada yo'qolishi chiziqli bir hil tenglama echimlarining chiziqli bog'liqligi uchun mezondir.

Vronskiy determinantining noldan farqi chiziqli bir jinsli tenglama yechimlarining chiziqli mustaqilligi mezoni hisoblanadi.

Teorema.n-tartibli chiziqli bir jinsli tenglama yechimlari fazosining o'lchami n ga teng.

Isbot.

a) n-tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning n ta chiziqli mustaqil yechimlari mavjudligini ko'rsatamiz. Yechimlarni ko'rib chiqing , quyidagi dastlabki shartlarni qondirish:

...........................................................

Bunday echimlar mavjud. Darhaqiqat, nuqta orqali Koshi teoremasi bo'yicha yagona integral egri chiziqdan - yechimdan o'tadi. Nuqta orqali eritmani nuqta orqali o'tkazadi

- yechim , nuqta orqali - yechim.

Bu yechimlar chiziqli mustaqil, chunki .

b) Chiziqli bir jinsli tenglamaning har qanday yechimi shu yechimlar orqali chiziqli ifodalanganligini ko'rsatamiz (ularning chiziqli birikmasidir).

Keling, ikkita yechimni ko'rib chiqaylik. Bir - boshlang'ich shartlar bilan ixtiyoriy yechim . Adolatli nisbat

Vektor algebrasini o'rganishda chiziqli bog'liqlik va vektorlar tizimining mustaqilligi tushunchalari juda muhim, chunki o'lchov va fazo asosi tushunchalari ularga asoslanadi. Ushbu maqolada biz ta'riflar beramiz, chiziqli bog'liqlik va mustaqillikning xususiyatlarini ko'rib chiqamiz va vektorlar tizimini o'rganish algoritmini olamiz. chiziqli bog'liqlik Keling, misollarni batafsil ko'rib chiqaylik.

Sahifani navigatsiya qilish.

Vektorlar sistemasining chiziqli bog`liqligi va chiziqli mustaqilligini aniqlash.

p n o'lchovli vektorlar to'plamini ko'rib chiqing, ularni quyidagicha belgilang. Ushbu vektorlar va ixtiyoriy sonlarning chiziqli birikmasini tuzing (haqiqiy yoki murakkab): . n o'lchovli vektorlar ustidagi amallarning ta'rifiga, shuningdek vektorlarni qo'shish va vektorni raqamga ko'paytirish amallarining xususiyatlariga asoslanib, qayd etilgan chiziqli birikma qandaydir n o'lchovli vektor, ya'ni, .

Shunday qilib, biz vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligini aniqlashga keldik.

Ta'rif.

Agar chiziqli kombinatsiya raqamlar orasida nol vektor bo'lishi mumkin noldan boshqa hech bo'lmaganda bittasi bo'lsa, vektorlar tizimi deyiladi chiziqli bog'liq.

Ta'rif.

Agar chiziqli birikma faqat barcha raqamlar bo'lganda null vektor bo'lsa nolga teng bo'lsa, vektorlar tizimi deyiladi chiziqli mustaqil.

Chiziqli bog`liqlik va mustaqillik xossalari.

Ushbu ta'riflarga asoslanib, biz shakllantiramiz va isbotlaymiz vektorlar sistemasining chiziqli bog`liqligi va chiziqli mustaqilligi xossalari.

Agar chiziqli bog'liq vektorlar tizimiga bir nechta vektor qo'shilsa, natijada hosil bo'lgan tizim chiziqli bog'liq bo'ladi.

Isbot.

Vektorlar tizimi chiziqli bog'liq bo'lganligi sababli, raqamlardan kamida bitta nolga teng bo'lmagan raqam bo'lsa, tenglik mumkin. . Mayli.

Dastlabki vektorlar sistemasiga yana s vektor qo'shamiz , va biz tizimni olamiz. dan beri va , keyin shaklning ushbu sistemasi vektorlarining chiziqli birikmasi

nol vektor va . Shuning uchun hosil bo'lgan vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir.

Agar chiziqli mustaqil vektorlar tizimidan bir nechta vektorlar chiqarib tashlansa, natijada olingan tizim chiziqli mustaqil bo'ladi.

Isbot.

Olingan tizim chiziqli bog'liq deb faraz qilamiz. Ushbu vektorlar tizimiga barcha tashlangan vektorlarni qo'shsak, biz vektorlarning asl tizimini olamiz. Shartga ko'ra, u chiziqli mustaqildir va chiziqli bog'liqlikning oldingi xususiyati tufayli u chiziqli bog'liq bo'lishi kerak. Biz qarama-qarshilikka keldik, shuning uchun bizning taxminimiz noto'g'ri.

Agar vektorlar sistemasi kamida bitta nol vektorga ega bo'lsa, unda bunday tizim chiziqli bog'liqdir.

Isbot.

Bu vektorlar sistemasidagi vektor nolga teng bo'lsin. Faraz qilaylik, dastlabki vektorlar sistemasi chiziqli mustaqil. U holda vektor tengligi faqat qachon mumkin bo'lsa. Biroq, agar biz nolga teng bo'lmagan har qanday nolni olsak, u holda tenglik hali ham amal qiladi, chunki . Shuning uchun, bizning taxminimiz noto'g'ri va vektorlarning dastlabki tizimi chiziqli bog'liqdir.

Agar vektorlar tizimi chiziqli bog'liq bo'lsa, u holda uning vektorlaridan kamida bittasi qolganlari bilan chiziqli ravishda ifodalanadi. Agar vektorlar tizimi chiziqli mustaqil bo'lsa, u holda vektorlarning hech birini boshqalar bilan ifodalab bo'lmaydi.

Isbot.

Keling, birinchi fikrni isbotlaylik.

Vektorlar tizimi chiziqli bog'liq bo'lsin, u holda kamida bitta nolga teng bo'lmagan raqam mavjud va tenglik to'g'ri bo'ladi. Bu tenglikni ga nisbatan hal qilish mumkin, chunki , bu holda, biz bor

Binobarin, vektor isbotlanishi kerak bo'lgan tizimning qolgan vektorlari bilan chiziqli tarzda ifodalanadi.

Endi biz ikkinchi fikrni isbotlaymiz.

Vektorlar tizimi chiziqli mustaqil bo'lgani uchun tenglik faqat uchun mumkin.

Aytaylik, tizimning ba'zi vektorlari chiziqli ravishda boshqalari bilan ifodalangan. U holda bu vektor bo'lsin. Bu tenglikni quyidagicha qayta yozish mumkin, uning chap tomonida tizim vektorlarining chiziqli birikmasi mavjud va vektor oldidagi koeffitsient nolga teng emas, bu esa vektorlarning dastlabki tizimining chiziqli bog'liqligini ko'rsatadi. Shunday qilib, biz qarama-qarshilikka keldik, ya'ni mulk isbotlangan.

Oxirgi ikkita xususiyatdan muhim bayonot kelib chiqadi:
vektorlar sistemasi vektorlarni o'z ichiga olgan bo'lsa va bu erda ixtiyoriy son bo'lsa, u chiziqli bog'liqdir.

Chiziqli bog'liqlik uchun vektorlar tizimini o'rganish.

Keling, vazifani qo'yaylik: biz chiziqli bog'liqlikni yoki chiziqli mustaqillikni o'rnatishimiz kerak vektorlar tizimi .

Mantiqiy savol: "Buni qanday hal qilish kerak?"

Amaliy nuqtai nazardan foydali narsani yuqoridagi ta'riflar va vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligi va mustaqilligi xususiyatlaridan olish mumkin. Ushbu ta'riflar va xususiyatlar vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligini quyidagi hollarda aniqlashga imkon beradi:

Ko'pchilik bo'lgan boshqa holatlarda-chi?

Keling, bu bilan shug'ullanamiz.

Biz maqolada keltirgan matritsa darajasi bo'yicha teorema formulasini eslang.

Teorema.

Mayli r - p tartibli A matritsasining n ga tengligi, . M matritsaning asosiy minori bo'lsin. Bazis minor M ni hosil qilishda qatnashmaydigan A matritsaning barcha satrlari (barcha ustunlari) matritsaning bazis minor M ni hosil qiluvchi satrlari (ustunlari) bilan chiziqli ifodalanadi.

Endi esa matritsa ranji haqidagi teoremaning chiziqli bog’liqlik uchun vektorlar sistemasini o’rganish bilan bog’lanishini tushuntirib beramiz.

Keling, A matritsasini tuzamiz, uning qatorlari o'rganilayotgan tizim vektorlari bo'ladi:

Vektorlar sistemasining chiziqli mustaqilligi nimani anglatadi?

Vektorlar sistemasining chiziqli mustaqilligining to‘rtinchi xossasidan shuni bilamizki, sistema vektorlarining birortasini boshqalar bilan ifodalab bo‘lmaydi. Boshqacha qilib aytganda, A matritsasining hech bir satri boshqa qatorlar bilan chiziqli ifodalanmaydi, shuning uchun, vektorlar sistemasining chiziqli mustaqilligi Rank(A)=p shartiga ekvivalent bo'ladi..

Vektorlar sistemasining chiziqli bog'liqligi nimani anglatadi?

Hammasi juda oddiy: A matritsasining kamida bitta qatori qolganlari bilan chiziqli ifodalanadi, shuning uchun vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligi Rank(A) shartiga ekvivalent bo'ladi.

.