Ushbu maqolaning materiali haqida dastlabki ma'lumot irratsional sonlar. Birinchidan, biz irratsional sonlarning ta'rifini beramiz va uni tushuntiramiz. Bu erda irratsional sonlarning bir nechta misollari keltirilgan. Va nihoyat, keling, berilgan sonning irratsional ekanligini yoki yo'qligini aniqlashning ba'zi yondashuvlarini ko'rib chiqaylik.

Sahifani navigatsiya qilish.

Irratsional sonlarning ta’rifi va misollari

O'nli kasrlarni o'rganishda biz cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasrlarni alohida ko'rib chiqdik. Bunday kasrlar bitta segment bilan taqqoslanmaydigan segmentlar uzunligini o'nli o'lchovda paydo bo'ladi. Shuningdek, biz cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirib bo'lmasligini ta'kidladik (oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga va aksincha o'tkazishga qarang), shuning uchun bu raqamlar ratsional sonlar emas, ular irratsional sonlar deb ataladigan sonlarni ifodalaydi.

Shunday qilib, biz keldik irratsional sonlarning ta'rifi.

Ta'rif.

Kiritilgan raqamlar kasrli belgi cheksiz takrorlanmaydigan o'nli kasrlar deyiladi irratsional sonlar.

Ovozlangan ta'rif olib kelish imkonini beradi irratsional sonlarga misollar. Masalan, cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasr 4.10110011100011110000… (birlar va nollar soni har safar bittaga ortadi) ir ratsional son. Irratsional songa yana bir misol keltiramiz: −22,353335333335 ... (sakkizlikni ajratuvchi uchlik soni har safar ikkiga ortadi).

Shuni ta'kidlash kerakki, irratsional sonlar cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasrlar shaklida juda kam uchraydi. Odatda ular shaklda topiladi va hokazo, shuningdek, maxsus kiritilgan harflar shaklida. eng ko'p mashhur misollar Bunday yozuvdagi irratsional sonlar ikkining arifmetik kvadrat ildizi, “pi” soni p=3,141592…, e=2,718281… va oltin sondir.

Irratsional sonlar ratsional va irratsional sonlarni birlashtirgan haqiqiy sonlar orqali ham aniqlanishi mumkin.

Ta'rif.

Irratsional sonlar- bu haqiqiy raqamlar, ular mantiqiy emas.

Bu raqam mantiqiy emasmi?

Agar raqam o'nlik kasr sifatida emas, balki ma'lum bir ildiz, logarifm va boshqalar sifatida berilsa, ko'p hollarda u irratsionalmi degan savolga javob berish juda qiyin.

Shubhasiz, berilgan savolga javob berishda qaysi raqamlar mantiqiy emasligini bilish juda foydali. Irratsional sonlarning ta’rifidan kelib chiqadiki, ratsional sonlar irratsional sonlar emas. Shunday qilib, irratsional sonlar EMAS:

  • chekli va cheksiz davriy o'nli kasrlar.

Shuningdek, arifmetik amallar (+, -, ·, :)) belgilari bilan bog'langan ratsional sonlarning har qanday tarkibi irratsional son emas. Buning sababi shundaki, ikkita ratsional sonning yig'indisi, ayirmasi, mahsuloti va qismi ratsional sondir. Masalan, ifodalarning qiymatlari va ratsional sonlardir. Bu erda shuni ta'kidlaymizki, agar bunday ifodalarda ratsional sonlar orasida bitta irratsional son bo'lsa, u holda butun ifodaning qiymati irratsional son bo'ladi. Masalan, ifodada son irratsional, qolgan sonlar esa ratsional, demak, irratsional son. Agar u ratsional son bo'lsa, unda sonning ratsionalligi bundan kelib chiqadi, lekin u oqilona emas.

Agar raqam berilgan ifodada bir nechta irratsional sonlar, ildiz belgilari, logarifmlar, trigonometrik funktsiyalar, p, e va boshqalar raqamlari bo'lsa, u holda har bir aniq holatda berilgan sonning irratsionalligini yoki ratsionalligini isbotlash talab qilinadi. Biroq, foydalanish mumkin bo'lgan bir qator allaqachon olingan natijalar mavjud. Keling, asosiylarini sanab o'tamiz.

Butun sonning k-chi ildizi ratsional son ekanligi isbotlangan, agar ildiz ostidagi son boshqa butun sonning k-darajali boʻlsa, boshqa hollarda bunday ildiz irratsional sonni belgilaydi. Misol uchun, va raqamlari irratsionaldir, chunki kvadrati 7 bo'lgan butun son yo'q va beshinchi darajaga ko'tarilishi 15 raqamini beradigan butun son yo'q. Va raqamlari irratsional emas, chunki va.

Logarifmlarga kelsak, ba'zida ularning irratsionalligini qarama-qarshilik bilan isbotlash mumkin. Masalan, log 2 3 irratsional son ekanligini isbotlaylik.

Aytaylik, log 2 3 irratsional son emas, ratsional son, ya’ni uni oddiy kasr m/n shaklida ifodalash mumkin. va quyidagi tenglik zanjirini yozishga ruxsat bering: . Oxirgi tenglik mumkin emas, chunki uning chap tomonida toq raqam, va hatto o'ng tomonda. Shunday qilib, biz qarama-qarshilikka keldik, bu bizning taxminimiz noto'g'ri bo'lib chiqdi va bu log 2 3 irratsional son ekanligini isbotlaydi.

E'tibor bering, har qanday musbat va birlik bo'lmagan ratsional a uchun lna irratsional sondir. Masalan, va irratsional sonlar.

Shuningdek, e a soni har qanday nolga teng bo'lmagan ratsional a uchun irratsional, p z soni esa nolga teng bo'lmagan har qanday butun z uchun irratsional ekanligi isbotlangan. Masalan, raqamlar irratsionaldir.

Argumentning har qanday ratsional va nolga teng bo'lmagan qiymati uchun sin , cos , tg va ctg trigonometrik funktsiyalari ham irratsional sonlardir. Masalan, sin1 , tg(−4) , cos5,7 , irratsional sonlardir.

Boshqa tasdiqlangan natijalar ham bor, lekin biz allaqachon sanab o'tilganlar bilan cheklanamiz. Shuni ham aytish kerakki, yuqoridagi natijalarni isbotlashda nazariya bilan bog'liq algebraik raqamlar va transsendent raqamlar.

Xulosa qilib shuni ta'kidlaymizki, berilgan raqamlarning mantiqsizligi haqida shoshilinch xulosalar qilmaslik kerak. Masalan, irratsional sonning irratsional son ekanligi aniq ko'rinadi. Biroq, bu har doim ham shunday emas. Olingan faktning tasdig'i sifatida biz darajani taqdim etamiz. Ma'lumki - irratsional son, va buni ham isbotlagan - irratsional son, lekin - ratsional son. Yig'indisi, ayirmasi, ko'paytmasi va qismi ratsional sonlar bo'lgan irratsional sonlarga ham misollar keltirishingiz mumkin. Bundan tashqari, p+e , p-e , p e , p p , p e va boshqa koʻplab raqamlarning ratsionalligi yoki irratsionalligi hali isbotlanmagan.

Adabiyotlar ro'yxati.

  • Matematika. 6-sinf: darslik. umumiy ta'lim uchun muassasalar / [N. Ya.Vilenkin va boshqalar]. - 22-nashr, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 b.: kasal. ISBN 978-5-346-00897-2.
  • Algebra: darslik 8 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M. : Ta'lim, 2008. - 271 p. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga abituriyentlar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.

Irratsional sonlar nima? Nega ular shunday deb ataladi? Ular qayerda ishlatiladi va ular nima? Bu savollarga ikkilanmasdan javob bera oladiganlar kam. Ammo, aslida, ularga javoblar juda oddiy, garchi hamma ham ularga muhtoj emas va juda kam hollarda.

Mohiyati va belgilanishi

Irratsional sonlar cheksiz nodavriydir.Ushbu tushunchani kiritish zaruriyati yangi paydo bo’layotgan masalalarni yechish uchun ilgari mavjud bo’lgan haqiqiy yoki haqiqiy, butun, natural va ratsional son tushunchalarining yetarli bo’lmaganligi bilan bog’liq. Masalan, 2 ning kvadrati nima ekanligini hisoblash uchun takrorlanmaydigan cheksiz o'nli kasrlardan foydalanish kerak. Bundan tashqari, eng oddiy tenglamalarning ko'pchiligi ham irratsional son tushunchasini kiritmasdan yechimga ega emas.

Bu to'plam I deb belgilanadi. Va allaqachon aniq bo'lganidek, bu qiymatlarni oddiy kasr sifatida ko'rsatish mumkin emas, uning numeratorida butun son bo'ladi va maxrajda -

Birinchi marta, u yoki bu tarzda, hind matematiklari bu hodisaga 7-asrda duch kelishdi, bu aniqlanganda. kvadrat ildizlar ba'zi miqdorlarni aniq ko'rsatib bo'lmaydi. Va bunday raqamlar mavjudligining birinchi isboti Pifagor Gipasiga tegishli bo'lib, u buni teng yonli uchburchakni o'rganish jarayonida qilgan. Ushbu to'plamni o'rganishga bizning eramizdan oldin yashagan boshqa olimlar ham jiddiy hissa qo'shgan. Irratsional sonlar kontseptsiyasining kiritilishi mavjudlarni qayta ko'rib chiqishga olib keldi matematik tizim, shuning uchun ular juda muhim.

ismning kelib chiqishi

Agar lotincha nisbat "kasr", "nisbat" bo'lsa, u holda "ir" prefiksi
so‘zga qarama-qarshi ma’no beradi. Shunday qilib, bu raqamlar to'plamining nomi ularni butun yoki kasr bilan bog'lash mumkin emasligini ko'rsatadi, ular alohida joyga ega. Bu ularning tabiatidan kelib chiqadi.

Umumiy tasnifda o'rin

Irratsional sonlar ratsional sonlar bilan bir qatorda haqiqiy yoki haqiqiy sonlar guruhiga kiradi, ular o'z navbatida murakkabdir. Hech qanday kichik to'plamlar mavjud emas, ammo algebraik va transsendental navlar mavjud, ular quyida muhokama qilinadi.

Xususiyatlari

Irratsional sonlar haqiqiy sonlar toʻplamining bir qismi boʻlganligi uchun ularning arifmetikada oʻrganiladigan barcha xossalari ularga tegishli boʻladi (ular asosiy algebraik qonunlar deb ham ataladi).

a + b = b + a (kommutativlik);

(a + b) + c = a + (b + c) (assotsiativlik);

a + (-a) = 0 (qarama-qarshi sonning mavjudligi);

ab = ba (siljish qonuni);

(ab)c = a(bc) (distributivlik);

a(b+c) = ab + ac (distributiv qonun);

a x 1/a = 1 (teskari sonning mavjudligi);

Taqqoslash ham umumiy qonuniyat va tamoyillarga muvofiq amalga oshiriladi:

Agar a > b va b > c bo'lsa, u holda a > c (munosabatning tranzitivligi) va. va boshqalar.

Albatta, barcha irratsional sonlarni asosiy arifmetika yordamida aylantirish mumkin. Buning uchun maxsus qoidalar yo'q.

Bundan tashqari, Arximed aksiomasining harakati irratsional sonlarga ham taalluqlidir. Unda aytilishicha, har qanday ikkita a va b miqdorlar uchun a ni yetarli marta qabul qilib, b ni yengish mumkin, degan gap to'g'ri.

Foydalanish

Bunga qaramay, ichida oddiy hayot tez-tez ular bilan shug'ullanish kerak emas, irratsional sonlar sanab bo'lmaydi. Ularning ko'pi bor, lekin ular deyarli ko'rinmas. Biz hamma joyda irratsional sonlar bilan o'ralganmiz. Hammaga tanish bo'lgan misollar pi, ya'ni 3,1415926... yoki e, asosan asosdir. tabiiy logarifm, 2.718281828... Algebra, trigonometriya va geometriyada siz ularni doimo ishlatishingiz kerak. Aytgancha, "oltin qism" ning mashhur ma'nosi, ya'ni katta qismning kichikga nisbati va aksincha, shuningdek

ushbu to'plamga tegishli. Kamroq ma'lum bo'lgan "kumush" - ham.

Raqamlar chizig'ida ular juda zich joylashganki, ratsionallar to'plamiga tegishli har qanday ikki miqdor o'rtasida irratsional bo'lishi aniq.

Ushbu to'plam bilan bog'liq hali ham ko'plab hal etilmagan muammolar mavjud. Irratsionallik o'lchovi va sonning normalligi kabi mezonlar mavjud. Matematiklar ularning u yoki bu guruhga mansubligi uchun eng muhim misollarni tekshirishda davom etmoqdalar. Masalan, e normal son, ya'ni uning kiritilishida turli raqamlarning paydo bo'lish ehtimoli bir xil deb hisoblanadi. Pi ga kelsak, u bilan bog'liq tadqiqotlar hali ham davom etmoqda. Irratsionallik o'lchovi - ma'lum bir raqamni ratsional sonlar bilan qanchalik yaqinlashtirish mumkinligini ko'rsatadigan qiymat.

Algebraik va transsendental

Yuqorida aytib o'tilganidek, irratsional sonlar shartli ravishda algebraik va transsendentalga bo'linadi. Shartli ravishda, chunki, qat'iy aytganda, bu tasnif C to'plamini bo'lish uchun ishlatiladi.

Ushbu belgi ostida haqiqiy yoki haqiqiy sonlarni o'z ichiga olgan murakkab raqamlar yashiringan.

Demak, algebraik qiymat deganda nolga teng bo‘lmagan ko‘phadning ildizi bo‘lgan qiymat tushuniladi. Masalan, 2 ning kvadrat ildizi bu toifaga kiradi, chunki u x 2 - 2 = 0 tenglamaning yechimidir.

Bu shartni qoniqtirmaydigan boshqa barcha haqiqiy sonlar transsendental deb ataladi. Bu xilma-xillik eng mashhur va yuqorida aytib o'tilgan misollarni o'z ichiga oladi - pi soni va tabiiy logarifmaning asosi e.

Qizig'i shundaki, na biri, na ikkinchisi dastlab matematiklar tomonidan bunday sifatda chiqarilmagan, ularning irratsionalligi va transsendentligi ular kashf etilganidan ko'p yillar o'tib isbotlangan. Pi uchun dalil 1882 yilda berilgan va 1894 yilda soddalashtirilgan bo'lib, bu doirani kvadratlash muammosi haqidagi 2500 yillik tortishuvlarga nuqta qo'ydi. Bu hali ham to'liq tushunilmagan, shuning uchun zamonaviy matematiklar ustida ishlash kerak bo'lgan narsa bor. Aytgancha, bu qiymatning birinchi etarlicha aniq hisob-kitobi Arximed tomonidan amalga oshirilgan. Undan oldin barcha hisob-kitoblar juda taxminiy edi.

E (Euler yoki Napier raqami) uchun uning transsendentligining isboti 1873 yilda topilgan. Logarifmik tenglamalarni yechishda foydalaniladi.

Boshqa misollar har qanday algebraik nolga teng bo'lmagan qiymatlar uchun sinus, kosinus va tangens qiymatlarini o'z ichiga oladi.

Irratsional sonlar to'plami odatda bosh lotin harfi bilan belgilanadi Men (\displaystyle \mathbb (I)) to'ldirishsiz qalin harflar bilan. Shunday qilib: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \teskari chiziq \mathbb (Q) ), ya'ni irratsional sonlar to'plami haqiqiy va ratsional sonlar to'plamining farqidir.

Irratsional sonlar, aniqrog'i uzunlik birlik segmenti bilan taqqoslanmaydigan segmentlar mavjudligi qadimgi matematiklarga allaqachon ma'lum bo'lgan: ular, masalan, irratsionallikka ekvivalent bo'lgan kvadratning diagonali va tomonining nomutanosibligini bilishgan. raqamdan.

Entsiklopedik YouTube

  • 1 / 5

    Mantiqiy emas:

    Irratsionallikni isbotlovchi misollar

    2 ning ildizi

    Buning aksini aytaylik: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) ratsional, ya'ni kasr shaklida ifodalanadi m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), qayerda m (\displaystyle m) butun sondir va n (\displaystyle n)- natural son.

    Keling, taxmin qilingan tenglikni kvadratga aylantiramiz:

    2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\O‘ng strelka 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\O‘ngga m^(2)=2n^(2)).

    Hikoya

    Antik davr

    Irratsional sonlar tushunchasi hind matematiklari tomonidan miloddan avvalgi 7-asrda, Manava (miloddan avvalgi 750-yillar - miloddan avvalgi 690-yillar) 2 va 61 kabi baʼzi natural sonlarning kvadrat ildizlarini aniq ifodalab boʻlmasligini aniqlaganida soʻzsiz qabul qilingan [ ] .

    Irratsional sonlar mavjudligining birinchi dalili odatda Pifagoriyalik Metapontuslik Gipas (miloddan avvalgi 500-yillar)ga tegishli. Pifagorchilar davrida, etarlicha kichik va bo'linmaydigan yagona uzunlik birligi borligiga ishonishgan, bu har qanday segmentga kiritilgan butun sondir. ] .

    Qaysi raqamning mantiqsizligini Gipasus isbotlaganligi haqida aniq ma'lumotlar yo'q. Afsonaga ko'ra, u pentagramning tomonlarini uzunliklarini o'rganayotganda topdi. Shuning uchun, bu oltin nisbat edi, deb taxmin qilish oqilona. ] .

    Yunon matematiklari bu nisbatni tengsiz miqdorlar deb atashgan alogos(ta'riflab bo'lmaydigan), ammo afsonalarga ko'ra, Gipasga munosib hurmat ko'rsatilmagan. Rivoyatlarga ko'ra, Gipas dengizda sayohat qilganida kashfiyot qilgan va boshqa Pifagorchilar tomonidan "koinotdagi barcha mavjudotlarni butun sonlar va ularning nisbatlariga qisqartirish mumkinligi haqidagi ta'limotni inkor etuvchi koinot elementini yaratish uchun uloqtirgan". " Gipasning kashfiyoti Pifagor matematikasi uchun jiddiy muammo tug‘dirib, raqamlar va geometrik jismlar bir va bir-biridan ajralmas degan butun nazariya asosidagi taxminni yo‘qqa chiqardi.

    Va ular o'z ildizlarini tortib oldilar Lotin so'zi"nisbat", bu "sabab" degan ma'noni anglatadi. So'zma-so'z tarjimaga asoslanib:

    • Ratsional son - bu "oqilona son".
    • Irratsional son, mos ravishda, "asossiz raqam".

    Ratsional son haqida umumiy tushuncha

    Ratsional son - bu quyidagicha yozilishi mumkin bo'lgan raqam:

    1. Oddiy musbat kasr.
    2. Salbiy umumiy kasr.
    3. Raqam sifatida nol (0).

    Boshqacha qilib aytganda, quyidagi ta'riflar ratsional songa mos keladi:

    • Har qanday natural son tabiatan ratsionaldir, chunki har qanday natural son oddiy kasr sifatida ifodalanishi mumkin.
    • Har qanday butun son, shu jumladan nol soni, chunki har qanday butun son ham musbat oddiy kasr, ham manfiy oddiy kasr, ham nol soni sifatida yozilishi mumkin.
    • Har qanday oddiy kasr va bu erda ijobiy yoki salbiy bo'lishi muhim emas, shuningdek, ratsional sonning ta'rifiga bevosita yaqinlashadi.
    • Shuningdek, ta'rifga kiritilgan aralash raqam, final kasr yoki cheksiz davriy kasr.

    Ratsional sonlarga misollar

    Ratsional sonlarning misollarini ko'rib chiqing:

    • Natural sonlar - "4", "202", "200".
    • Butun sonlar - "-36", "0", "42".
    • Oddiy kasrlar.

    Yuqoridagi misollardan ko'rinib turibdiki ratsional sonlar ham ijobiy, ham manfiy bo'lishi mumkin. Tabiiyki, ratsional son bo'lgan 0 (nol) soni bir vaqtning o'zida ijobiy yoki salbiy sonlar toifasiga kirmaydi.

    Shuning uchun eslatib o'tmoqchiman umumiy ta'lim dasturi quyidagi ta'rifdan foydalangan holda: "ratsional sonlar" - x / y kasr sifatida yozilishi mumkin bo'lgan raqamlar, bu erda x (numerator) butun son va y (maxraj) - natural son.

    Irratsional son haqida umumiy tushuncha va ta’rif

    Biz "ratsional sonlar" bilan bir qatorda "irratsional sonlar" deb ataladigan narsalarni ham bilamiz. Keling, bu raqamlarni qisqacha aniqlashga harakat qilaylik.

    Hatto qadimgi matematiklar ham kvadratning yon tomonlari bo'ylab diagonalini hisoblashni xohlab, irratsional sonning mavjudligini bilishgan.
    Ratsional sonlarning ta'rifiga asoslanib, siz mantiqiy zanjirni qurishingiz va irratsional sonni belgilashingiz mumkin.
    Demak, aslida ratsional bo'lmagan haqiqiy sonlar irratsional sonlardir.
    Irratsional sonlarni ifodalovchi o'nlik kasrlar davriy va cheksiz emas.

    Irratsional songa misollar

    Aniqlik uchun irratsional sonning kichik bir misolini ko'rib chiqing. Biz allaqachon tushunganimizdek, cheksiz o'nli davriy bo'lmagan kasrlar irratsional deb ataladi, masalan:

    • Raqam "-5.020020002 ... (ikkitasi bir, ikki, uch va hokazo nollar ketma-ketligi bilan ajratilganligi aniq ko'rinib turibdi)
    • Raqam "7.040044000444 ... (bu erda to'rtlar soni va nol soni zanjirda har safar bittaga ko'payishi aniq).
    • Hamma ma'lum raqam Pi (3,1415…). Ha, ha - bu ham mantiqsiz.

    Umuman olganda, barcha haqiqiy sonlar ham ratsional, ham irratsionaldir. gapirish oddiy so'zlar bilan, irratsional sonni oddiy kasr x / y sifatida ifodalash mumkin emas.

    Umumiy xulosa va raqamlar orasidagi qisqacha taqqoslash

    Biz har bir raqamni alohida ko'rib chiqdik, ratsional son va irratsional son o'rtasidagi farq qoladi:

    1. Irratsional son kvadrat ildizni olishda, aylanani diametrga bo'lishda va hokazo.
    2. Ratsional son oddiy kasrni ifodalaydi.

    Maqolamizni bir nechta ta'riflar bilan yakunlaymiz:

    • 0 ga (nolga) bo'lishdan tashqari ratsional son ustida bajariladigan arifmetik amal yakuniy natija ratsional songa ham olib keladi.
    • Irratsional sonda arifmetik amalni bajarishda yakuniy natija ham ratsional, ham irratsional qiymatga olib kelishi mumkin.
    • Agar ikkala raqam ham arifmetik amalda ishtirok etsa (bo'lish yoki nolga ko'paytirishdan tashqari), natija bizga irratsional sonni beradi.

    Birlik uzunligi segmenti bilan qadimgi matematiklar allaqachon bilishgan: ular, masalan, diagonali va kvadratning yon tomonining nomutanosibligini bilishgan, bu raqamning irratsionalligiga teng.

    Mantiqiy emas:

    Irratsionallikni isbotlovchi misollar

    2 ning ildizi

    Aksincha faraz qilaylik: u ratsional, ya'ni kamaytirilmaydigan kasr sifatida ifodalanadi, bu erda va butun sonlardir. Keling, taxmin qilingan tenglikni kvadratga aylantiramiz:

    .

    Bundan kelib chiqadiki, juft, demak, juft va. Qaerda hammasi bo'lsin. Keyin

    Shuning uchun, hatto, demak, juft va. Biz buni oldik va juft bo'lib, bu kasrning qaytarilmasligiga ziddir. Demak, dastlabki taxmin noto'g'ri bo'lib, irratsional sondir.

    3 raqamining ikkilik logarifmi

    Buning aksini tasavvur qiling: u ratsional, ya'ni kasr sifatida ifodalanadi, bu erda va butun sonlar. dan beri va ijobiy qabul qilinishi mumkin. Keyin

    Lekin bu aniq, g'alati. Biz qarama-qarshilikni olamiz.

    e

    Hikoya

    Irratsional sonlar tushunchasi hind matematiklari tomonidan miloddan avvalgi 7-asrda, Manava (miloddan avvalgi 750-yillar - miloddan avvalgi 690-yillar) baʼzi natural sonlarning kvadrat ildizlarini, masalan, 2 va 61-ni aniq ifodalash mumkin emasligini aniqlaganida, bilvosita qabul qilingan.

    Irratsional sonlar mavjudligining birinchi dalili odatda pifagoriyalik Metapontlik Gipasga (miloddan avvalgi 500-yillar) tegishli boʻlib, bu dalilni pentagram tomonlarining uzunliklarini oʻrganish orqali topgan. Pifagorchilar davrida, etarlicha kichik va bo'linmaydigan yagona uzunlik birligi borligiga ishonishgan, bu har qanday segmentga kiritilgan butun sondir. Biroq, Gipasus uzunlikning yagona birligi yo'qligini ta'kidladi, chunki uning mavjudligini taxmin qilish qarama-qarshilikka olib keladi. U ko'rsatdiki, agar teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi birlik segmentlarining butun sonini o'z ichiga olsa, u holda bu son bir vaqtning o'zida ham juft, ham toq bo'lishi kerak. Dalil shunday ko'rinardi:

    • Gipotenuzaning uzunligini teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i uzunligiga nisbati quyidagicha ifodalanishi mumkin. a:b, qayerda a va b mumkin bo'lgan eng kichik sifatida tanlanadi.
    • Pifagor teoremasiga ko'ra: a² = 2 b².
    • Chunki a² hatto, a juft bo'lishi kerak (chunki toq sonning kvadrati toq bo'lar edi).
    • Chunki a:b qaytarilmas b g'alati bo'lishi kerak.
    • Chunki a juft, belgilang a = 2y.
    • Keyin a² = 4 y² = 2 b².
    • b² = 2 y², shuning uchun b juft, keyin va b hatto.
    • Biroq, bu isbotlangan b g'alati. Qarama-qarshilik.

    Yunon matematiklari bu nisbatni tengsiz miqdorlar deb atashgan alogos(ta'riflab bo'lmaydigan), ammo afsonalarga ko'ra, Gipasga munosib hurmat ko'rsatilmagan. Rivoyatlarga ko'ra, Gipas dengizda sayohat paytida kashfiyot qilgan va boshqa Pifagorchilar tomonidan "koinotdagi barcha mavjudotlarni butun sonlar va ularning nisbatlariga qisqartirish mumkinligi haqidagi ta'limotni inkor etuvchi koinot elementini yaratish uchun uloqtirgan". " Gipasning kashfiyoti Pifagor matematikasi uchun jiddiy muammo tug‘dirib, raqamlar va geometrik jismlar bir va bir-biridan ajralmas degan butun nazariya asosidagi taxminni yo‘qqa chiqardi.

    Shuningdek qarang

    Eslatmalar

    Raqamli tizimlar
    Hisoblash
    to'plamlar    		 Butun sonlar ()