Ushbu maqola haqida o'nli kasrlar. Bu yerda kasr sonlarning o‘nli yozuvlari bilan shug‘ullanamiz, o‘nli kasr tushunchasi bilan tanishamiz va o‘nli kasrlarga misollar keltiramiz. Keyinchalik, o'nlik kasrlarning raqamlari haqida gapiraylik, raqamlarning nomlarini bering. Shundan so'ng, biz cheksiz o'nli kasrlarga, masalan, davriy va davriy bo'lmagan kasrlarga e'tibor qaratamiz. Keyinchalik, biz o'nli kasrlar bilan asosiy amallarni sanab o'tamiz. Xulosa qilib, biz o'nli kasrlarning koordinata nuridagi o'rnini o'rnatamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Kasr sonning o'nlik belgisi

O'nli kasrlarni o'qish

Keling, o'nli kasrlarni o'qish qoidalari haqida bir necha so'z aytaylik.

To'g'ri oddiy kasrlarga mos keladigan o'nlik kasrlar ushbu oddiy kasrlar kabi o'qiladi, faqat "nol butun" oldindan qo'shiladi. Masalan, 0,12 o'nlik kasr 12/100 oddiy kasrga to'g'ri keladi (u "o'n ikki yuzdan" deb o'qiydi), shuning uchun 0,12 "nol nuqta o'n ikki yuzdan" deb o'qiladi.

Aralash raqamlarga mos keladigan o'nlik kasrlar xuddi shu aralash raqamlar bilan bir xil tarzda o'qiladi. Masalan, o'nlik 56.002 ga to'g'ri keladi aralash raqam, shuning uchun 56.002 o'nlik kasr "ellik olti nuqtadan ikki mingdan bir" deb o'qiladi.

O'nli kasrlardagi o'rinlar

O'nli kasrlarni yozishda, shuningdek natural sonlarni yozishda har bir raqamning qiymati uning pozitsiyasiga bog'liq. Darhaqiqat, 0,3 o'nlikdagi 3 soni o'ndan uchni, o'nlik kasrda 0,0003 - o'n mingdan uch qismini va o'nlik kasrda 30 000,152 - uchta o'n mingni bildiradi. Shunday qilib, biz bu haqda gapirishimiz mumkin o'nli kasrlardagi raqamlar, shuningdek natural sonlardagi raqamlar haqida.

O'nli kasrdagi raqamlarning o'nli kasrgacha bo'lgan nomlari natural sonlardagi raqamlarning nomlari bilan to'liq mos keladi. Va kasrdan keyingi kasrdagi raqamlarning nomlari quyidagi jadvaldan ko'rinadi.

Masalan, 37.051 oʻnlik kasrda 3 raqami oʻnlik qatorida, 7 soni birliklar qatorida, 0 soni oʻninchi oʻrinda, 5 soni yuzinchi oʻrinda, 1 raqami minginchi oʻrinda.

O'nli kasrdagi raqamlar ham ish staji bo'yicha farqlanadi. Agar o'nlik kasr tizimida raqamdan raqamga chapdan o'ngga o'tsak, u holda biz dan harakat qilamiz katta uchun kichik darajalar. Masalan, yuzlar soni o'ninchi raqamdan kattaroq, millioninchi raqam esa yuzinchi raqamdan yoshroq. Ushbu yakuniy o'nlik kasrda biz eng muhim va eng muhim raqamlar haqida gapirishimiz mumkin. Masalan, o'nlik 604.9387 katta (eng yuqori) raqam yuzlar soni va kichik (eng past)- o'n minginchi o'rin.

O'nli kasrlar uchun raqamlarga kengaytirish amalga oshiriladi. Bu natural sonlar sonlarining kengayishiga o'xshaydi. Masalan, 45,6072 ning kasrli kengayishi: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002 . O'nli kasrni raqamlarga kengaytirishdan qo'shish xususiyatlari sizga ushbu o'nli kasrning boshqa ko'rinishlariga o'tish imkonini beradi, masalan, 45,6072=45+0,6072 yoki 45,6072=40,6+5,007+0,0002 yoki 45,6070=74.0. .

O'nli kasrlarni tugatish

Shu paytgacha biz faqat o'nli kasrlar haqida gapirdik, ularning yozuvida kasrdan keyin chekli sonli raqamlar mavjud. Bunday kasrlar yakuniy kasrlar deyiladi.

Ta'rif.

O'nli kasrlarni tugatish- Bular o'nlik kasrlar bo'lib, ularning yozuvlarida chekli sonli belgilar (raqamlar) mavjud.

Yakuniy oʻnli kasrlarga misollar: 0.317 , 3.5 , 51.1020304958 , 230 032.45 .

Biroq, har bir oddiy kasrni chekli o'nli kasr sifatida ifodalash mumkin emas. Masalan, 5/13 kasrni 10, 100, ... maxrajlaridan biri bilan teng kasr bilan almashtirib bo'lmaydi, shuning uchun uni yakuniy o'nli kasrga aylantirib bo'lmaydi. Bu haqda oddiy kasrlarni o‘nli kasrlarga o‘tkazish nazariyasi bo‘limida ko‘proq gaplashamiz.

Cheksiz o'nli kasrlar: davriy kasrlar va davriy bo'lmagan kasrlar

O'nli kasrdan keyin o'nli kasrni yozishda jinlarning mavjudligini tan olish mumkin. yakuniy miqdor raqamlar. Bunday holda, biz cheksiz o'nli kasrlar deb ataladigan narsalarni ko'rib chiqamiz.

Ta'rif.

Cheksiz o'nli kasrlar- Bular o'nli kasrlar bo'lib, ularning yozuvida cheksiz sonli raqamlar mavjud.

Cheksiz o'nli kasrlarni to'liq yoza olmasligimiz aniq, shuning uchun ularni yozishda ular kasrdan keyin ma'lum sonli raqamlar bilan cheklanadi va cheksiz davom etadigan raqamlar ketma-ketligini ko'rsatadigan ellips qo'yadi. Mana cheksiz oʻnli kasrlarga misollar: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.11111111…, 69.74152152152….

Agar siz oxirgi ikkita cheksiz o'nli kasrga diqqat bilan qarasangiz, u holda 2.111111111 kasrda ... cheksiz takrorlanadigan 1 raqami aniq ko'rinadi va 69,74152152152 ... kasrda uchinchi kasrdan boshlab, takrorlanuvchi raqamlar guruhi aniq ko'rinadi. 1, 5 va 2 aniq ko'rinadi. Bunday cheksiz o'nli kasrlar davriy deyiladi.

Ta'rif.

Davriy o'nli kasrlar(yoki oddiygina davriy kasrlar) cheksiz o'nli kasrlar bo'lib, ular yozuvida ma'lum o'nlik kasrdan boshlab ba'zi raqam yoki raqamlar guruhi deyiladi. kasr davri.

Masalan, 2.111111111… davriy kasr davri 1-raqam, 69.74152152152… kasr davri esa 152 kabi sonlar guruhidir.

Cheksiz davriy o'nli kasrlar uchun maxsus belgi qabul qilingan. Qisqartirish uchun biz davrni bir marta qavs ichiga olib yozishga kelishib oldik. Masalan, davriy kasr 2,111111111… 2,(1) , davriy kasr 69,74152152152… 69,74(152) sifatida yoziladi.

Shuni ta'kidlash kerakki, bir xil davriy o'nli kasr uchun siz turli davrlarni belgilashingiz mumkin. Masalan, davriy kasr 0,73333… ni 3 davriga ega 0,7(3) kasr, shuningdek davri 33 bo‘lgan 0,7(33) kasr va shunga o‘xshash 0,7(333), 0,7 (3333) kasr sifatida ko‘rib chiqish mumkin. ), ... Shuningdek, 0,73333 ... davriy kasrga ham qarashingiz mumkin: 0,733(3) yoki shunga o'xshash 0,73(333) va hokazo. Bu erda noaniqlik va nomuvofiqliklarga yo'l qo'ymaslik uchun biz o'nlik kasr davrini takrorlanadigan raqamlarning barcha mumkin bo'lgan ketma-ketliklarining eng qisqasi va eng yaqin joydan o'nli kasrgacha ko'rib chiqishga rozi bo'lamiz. Ya'ni, 0,73333... o'nlik kasrning davri bir raqam 3 ketma-ketligi hisoblanadi va davriylik kasrdan keyingi ikkinchi pozitsiyadan boshlanadi, ya'ni 0,73333...=0,7(3) . Yana bir misol: davriy kasr 4.7412121212… davri 12 ga teng, davriylik kasrdan keyingi uchinchi raqamdan boshlanadi, yaʼni 4.7412121212…=4.74(12) .

Cheksiz o'nli davriy kasrlar maxraji 2 va 5 dan boshqa tub ko'rsatkichlarni o'z ichiga olgan oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga aylantirish orqali olinadi.

Bu erda davriy kasrlar 9 bo'lgan davriy kasrlarni eslatib o'tish kerak. Mana shunday kasrlarga misollar: 6.43(9) , 27,(9) . Bu kasrlar davriy kasrlar uchun yana bir belgi bo'lib, ularni davriy kasrlar davri 0 bilan almashtirish odatiy holdir. Buning uchun 9-davr 0-davr bilan almashtiriladi va keyingi eng yuqori raqamning qiymati bittaga oshiriladi. Masalan, 7.24(9) shaklidagi 9-davrli kasr 7.25(0) koʻrinishdagi 0-davrli davriy kasr yoki 7.25 ga teng yakuniy oʻnlik kasr bilan almashtiriladi. Yana bir misol: 4,(9)=5,(0)=5 . Davrasi 9 bo‘lgan kasrning va 0 bo‘lgan mos kasrning tengligi bu o‘nli kasrlarni ularga teng oddiy kasrlar bilan almashtirgandan so‘ng osonlik bilan aniqlanadi.

Nihoyat, cheksiz takrorlanuvchi raqamlar ketma-ketligiga ega bo'lmagan cheksiz o'nli kasrlarni batafsil ko'rib chiqamiz. Ular davriy bo'lmagan deb ataladi.

Ta'rif.

Takrorlanmaydigan o'nli kasrlar(yoki oddiygina davriy bo'lmagan kasrlar) nuqtasiz cheksiz oʻnli kasrlar.

Ba'zan davriy bo'lmagan kasrlar davriy kasrlarga o'xshash shaklga ega bo'ladi, masalan, 8.02002000200002 ... davriy bo'lmagan kasr. Bunday hollarda farqni sezish uchun ayniqsa ehtiyot bo'lishingiz kerak.

E'tibor bering, davriy bo'lmagan kasrlar oddiy kasrlarga aylantirilmaydi, cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasrlar irratsional sonlarni ifodalaydi.

O'nli kasrlar bilan amallar

O'nli kasrlar bilan amallardan biri taqqoslash bo'lib, to'rtta asosiy arifmetika ham aniqlanadi o'nli kasrlar bilan amallar: qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish. O'nli kasrlar bilan harakatlarning har birini alohida ko'rib chiqing.

O'nlik sanoqli taqqoslash asosan taqqoslangan o'nli kasrlarga mos keladigan oddiy kasrlarni taqqoslashga asoslangan. Biroq, o'nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirish ancha mashaqqatli operatsiya bo'lib, cheksiz takrorlanmaydigan kasrlarni oddiy kasr sifatida tasvirlab bo'lmaydi, shuning uchun o'nli kasrlarni bit bo'yicha taqqoslashdan foydalanish qulay. O'nli kasrlarni bit bo'yicha taqqoslash natural sonlarni solishtirishga o'xshaydi. Batafsil ma'lumot olish uchun maqolani o'nli kasrlarni taqqoslash, qoidalar, misollar, echimlarni o'rganishingizni tavsiya qilamiz.

Keling, keyingi bosqichga o'tamiz - o'nli kasrlarni ko'paytirish. Yakuniy o'nli kasrlarni ko'paytirish o'nli kasrlarni ayirish, qoidalar, misollar, natural sonlar ustuniga ko'paytirishning echimlari kabi amalga oshiriladi. Davriy kasrlarda ko'paytirishni oddiy kasrlarni ko'paytirishga kamaytirish mumkin. O'z navbatida cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasrlarni yaxlitlashdan keyin ko'paytirish chekli o'nli kasrlarni ko'paytirishga kamayadi. O'nli kasrlarni ko'paytirish, qoidalar, misollar, echimlar maqolasining materialini qo'shimcha o'rganishni tavsiya qilamiz.

Koordinatalar nuridagi o'nlik sonlar

Nuqtalar va o'nli kasrlar o'rtasida yakkama-yakka moslik mavjud.

Keling, berilgan o'nli kasrga mos keladigan koordinata nurida nuqtalar qanday tuzilganligini aniqlaylik.

Biz chekli o'nli kasrlar va cheksiz davriy o'nli kasrlarni ularga teng oddiy kasrlar bilan almashtirib, keyin koordinata nurida mos keladigan oddiy kasrlarni qurishimiz mumkin. Masalan, 1,4 o'nlik kasr 14/10 oddiy kasrga to'g'ri keladi, shuning uchun koordinatasi 1,4 bo'lgan nuqta boshdan ijobiy yo'nalishda bitta segmentning o'ndan biriga teng bo'lgan 14 ta segment tomonidan chiqariladi.

O'nlik kasrlarni koordinata nurida, bu o'nli kasrni raqamlarga kengaytirishdan boshlab belgilash mumkin. Masalan, 16.3007 koordinatali nuqta qurishimiz kerak deylik, chunki 16.3007=16+0.3+0.0007 , keyin ichida berilgan nuqta boshlang'ichdan 16 ta birlik segmentini, uzunligi birlik segmentining o'ndan biriga teng bo'lgan 3 ta segmentni va uzunligi birlik segmentining o'ndan mingdan bir qismiga teng bo'lgan 7 ta segmentni ketma-ket yotqizish orqali erishish mumkin. .

Koordinata nurida o'nli sonlarni qurishning bu usuli cheksiz o'nli kasrga mos keladigan nuqtaga xohlagancha yaqinlashishga imkon beradi.

Ba'zan cheksiz o'nli kasrga mos keladigan nuqtani aniq chizish mumkin. Masalan, , u holda bu cheksiz o'nli kasr 1.41421... koordinata nurining nuqtasiga to'g'ri keladi, 1 birlik segmentli tomonli kvadrat diagonalining uzunligi bo'yicha koordinata nurining bosh nuqtasidan uzoqda.

Koordinata nurining berilgan nuqtasiga mos keladigan o'nli kasrni olishning teskari jarayoni deyiladi. segmentning o'nlik o'lchovi. Keling, bu qanday amalga oshirilganini ko'rib chiqaylik.

Bizning vazifamiz koordinata chizig'idagi boshlang'ich nuqtadan ma'lum bir nuqtaga borish (yoki unga borishning iloji bo'lmasa, unga cheksiz yaqinlashish) bo'lsin. Segmentning o'nli o'lchovi bilan biz boshlang'ichdan istalgan son birlik segmentlarini, keyin uzunligi bitta segmentning o'ndan biriga teng bo'lgan segmentlarni, keyin uzunligi bitta segmentning yuzdan biriga teng bo'lgan segmentlarni va hokazolarni ketma-ket kechiktirishimiz mumkin. . Har bir uzunlikdagi chizilgan segmentlar sonini yozib, biz koordinata nurida berilgan nuqtaga mos keladigan o'nli kasrni olamiz.

Misol uchun, yuqoridagi rasmdagi M nuqtaga o'tish uchun siz 1 birlik segmentini va uzunligi birlikning o'ndan biriga teng bo'lgan 4 ta segmentni ajratib qo'yishingiz kerak. Shunday qilib, M nuqtasi o'nlik kasr 1.4 ga mos keladi.

O'nlik kasrni o'lchashda erishib bo'lmaydigan koordinata nurining nuqtalari cheksiz o'nli kasrlarga to'g'ri kelishi aniq.

Adabiyotlar ro'yxati.

  • Matematika: o'qish. 5 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / N. Ya. Vilenkin, V. I. Joxov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 b.: kasal. ISBN 5-346-00699-0.
  • Matematika. 6-sinf: darslik. umumiy ta'lim uchun muassasalar / [N. Ya.Vilenkin va boshqalar]. - 22-nashr, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 b.: kasal. ISBN 978-5-346-00897-2.
  • Algebra: darslik 8 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M. : Ta'lim, 2008. - 271 p. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga abituriyentlar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.

Ushbu maqolada biz o'nli kasr nima ekanligini, qanday xususiyat va xususiyatlarga ega ekanligini tushunamiz. Bor! 🙂

O'nlik oddiy kasrlarning alohida holidir (bunda maxraj 10 ga karrali).

Ta'rif

O'nlik kasrlar kasrlar bo'lib, ularning maxrajlari bittadan va undan keyin ma'lum miqdordagi nollardan iborat sonlardir. Ya'ni, bular maxraji 10, 100, 1000 va hokazo bo'lgan kasrlardir. Aks holda, o'nli kasrni maxraji 10 yoki o'nning darajalaridan biri bo'lgan kasr sifatida tavsiflash mumkin.

Fraksiyaga misollar:

, ,

O'nli kasr oddiy kasrdan boshqacha yoziladi. Ushbu kasrlar bilan operatsiyalar oddiylardan farq qiladi. Ular ustida amallarni bajarish qoidalari ko'p jihatdan butun sonlar bilan ishlash qoidalariga yaqin. Bu, xususan, amaliy muammolarni hal qilishda ularning dolzarbligini belgilaydi.

Kasrning o'nlik sanoq tizimida ifodalanishi

O'nli kasr belgisida maxraj yo'q, u hisob raqamini ko'rsatadi. DA umumiy ko'rinish O'nli kasr quyidagicha yoziladi:

bu yerda X kasrning butun qismi, Y uning kasr qismi, "," kasr kasr.

Oddiy kasrni o'nlik kasr sifatida to'g'ri ko'rsatish uchun uning to'g'ri bo'lishi, ya'ni ajratilgan butun qism (agar iloji bo'lsa) va maxrajdan kichik bo'lgan hisoblagich talab qilinadi. Keyin, o'nli kasr tizimida butun son o'nli kasrdan (X) oldin, oddiy kasrning soni esa kasrdan (Y) keyin yoziladi.

Agar ayiruvchi maxrajdagi nol sonidan kichik raqamlarga ega sonni ifodalasa, Y qismida o'nli kasr belgilarining etishmayotgan raqamlari hisob raqamlari oldidagi nollar bilan to'ldiriladi.

Misol:

Oddiy kasr 1 dan kichik bo'lsa, ya'ni. butun qismga ega emas, u holda X uchun 0 o'nlik ko'rinishda yoziladi.

Kasr qismida (Y) oxirgi muhim (noldan tashqari) raqamdan keyin ixtiyoriy nol sonini kiritish mumkin. Bu kasrning qiymatiga ta'sir qilmaydi. Va aksincha: o'nlik kasrning kasr qismi oxiridagi barcha nollarni tashlab qo'yish mumkin.

O'nli kasrlarni o'qish

X qism umumiy holatda quyidagicha o'qiladi: "X tamsayılar".

Y qismi maxrajdagi raqamga qarab o'qiladi. 10 maxraj uchun siz o'qishingiz kerak: "Y o'ndan bir", maxraj uchun 100: "Y yuzdan", maxraj uchun 1000: "Y mingdan bir" va hokazo ... 😉

O'qishning yana bir yondashuvi kasr qismining raqamlarini hisoblash asosida to'g'riroq deb hisoblanadi. Buni amalga oshirish uchun kasr raqamlari kasrning butun qismining raqamlariga nisbatan oyna tasvirida joylashganligini tushunishingiz kerak.

To'g'ri o'qish uchun nomlar jadvalda keltirilgan:

Shunga asoslanib, o'qish kasr qismining oxirgi raqamining toifasi nomiga mos kelishiga asoslanishi kerak.

  • 3.5 "uch nuqta besh" deb o'qiladi
  • 0,016 "nol nuqta o'n olti mingdan bir" kabi o'qiladi

Ixtiyoriy oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirish

Agar oddiy kasrning maxraji 10 yoki o'nning ba'zi darajalari bo'lsa, kasr yuqorida ko'rsatilgandek aylantiriladi. Boshqa hollarda, qo'shimcha o'zgarishlar talab qilinadi.

Tarjima qilishning 2 ta usuli mavjud.

Tarjimaning birinchi usuli

Numerator va maxrajni shunday butun songa ko'paytirish kerakki, maxraj 10 yoki o'nning darajalaridan biri bo'lsin. Va keyin kasr o'nli yozuvda ifodalanadi.

Bu usul maxraji faqat 2 va 5 ga bo'lingan kasrlar uchun amal qiladi. Shunday qilib, oldingi misolda . Agar kengaytirishda boshqa asosiy omillar bo'lsa (masalan, ), unda siz 2-usulga murojaat qilishingiz kerak bo'ladi.

Tarjimaning ikkinchi usuli

2-usul - hisoblagichni ustun yoki kalkulyatorda maxrajga bo'lish. Butun qism, agar mavjud bo'lsa, transformatsiyada ishtirok etmaydi.

O'nli kasrga olib keladigan uzun bo'linish qoidasi quyida tasvirlangan (qarang: O'nlik kasrlarni bo'lish).

O'nli kasrni oddiyga aylantiring

Buning uchun uning kasr qismi (vergulning o'ng tomonida) ayiruvchi sifatida, kasr qismini o'qish natijasi esa maxrajdagi mos son sifatida yozilishi kerak. Bundan tashqari, iloji bo'lsa, hosil bo'lgan fraktsiyani kamaytirishingiz kerak.

End va Infinite Decimal

O'nli kasr yakuniy deyiladi, uning kasr qismi cheklangan sonli raqamlardan iborat.

Yuqoridagi barcha misollar aniq o'nlik kasrlarni o'z ichiga oladi. Biroq, har bir oddiy kasrni yakuniy o'nli kasr sifatida ifodalash mumkin emas. Agar berilgan kasr uchun 1-tarjima usuli qo'llanilmasa va 2-usul bo'linishni yakunlab bo'lmasligini ko'rsatsa, u holda faqat cheksiz o'nli kasrni olish mumkin.

Cheksiz kasrni to'liq shaklda yozish mumkin emas. To'liq bo'lmagan shaklda bunday kasrlarni ifodalash mumkin:

  1. kasrlarning kerakli soniga qisqartirish natijasida;
  2. davriy kasr shaklida.

Kasr davriy deb ataladi, unda kasrdan keyin cheksiz takrorlanadigan raqamlar ketma-ketligini ajratib ko'rsatish mumkin.

Qolgan kasrlar davriy bo'lmagan deb ataladi. Davriy bo'lmagan kasrlar uchun faqat 1-ko'rsatish usuliga (yaxlitlash) ruxsat beriladi.

Davriy kasrga misol: 0,8888888 ... Bu erda takrorlanuvchi 8 raqami bor, bu, shubhasiz, cheksiz takrorlanadi, chunki boshqacha taxmin qilish uchun hech qanday sabab yo'q. Bu raqam chaqiriladi kasr davri.

Davriy kasrlar sof va aralashdir. O'nli kasr sof bo'lib, unda davr kasrdan keyin darhol boshlanadi. Aralash kasrda kasrdan oldin 1 yoki undan ortiq raqam mavjud.

54.33333 ... - davriy sof kasr

2.5621212121 ... - davriy aralash kasr

Cheksiz o'nli kasrlarni yozishga misollar:

2-misol davriy kasrda davrni qanday qilib to'g'ri shakllantirishni ko'rsatadi.

Davriy o‘nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirish

Sof davriy kasrni oddiy davrga aylantirish uchun uni ayiruvchiga yozing va maxrajga davrdagi raqamlar soniga teng miqdorda to'qqizdan iborat sonni yozing.

Aralash takrorlanuvchi o'nlik kasr quyidagicha tarjima qilinadi:

  1. nuqtadan oldin o'nli kasrdan keyingi raqamdan va birinchi davrdan iborat sonni shakllantirishingiz kerak;
  2. olingan sondan nuqtadan oldingi kasrdan keyingi sonni ayirish. Natijada oddiy kasrning soni bo'ladi;
  3. maxrajda siz davr raqamlari soniga teng bo'lgan to'qqizlar sonidan iborat bo'lgan raqamni kiritishingiz kerak, undan keyin nollar qo'yiladi, ularning soni o'nli kasrdan oldingi o'nli nuqtadan keyingi raqamning raqamlari soniga teng. 1-davr.

O'nlik sanoqli taqqoslash

O'nlik kasrlar dastlab butun qismlari bilan taqqoslanadi. Kattaroq butun qismga ega bo'lgan kasr qanchalik katta bo'lsa.

Agar butun sonlar bir xil bo'lsa, kasr qismining mos keladigan raqamlari birinchisidan (o'ninchidan) boshlab taqqoslanadi. Xuddi shu tamoyil bu erda ham qo'llaniladi: o'ndan kattaroq darajaga ega bo'lgan kasrlar qanchalik katta bo'lsa; agar o'ninchi raqamlar teng bo'lsa, yuzlik raqamlar taqqoslanadi va hokazo.

Chunki

, chunki kasr qismida teng butun qismlar va teng o'ndan biri bo'lganligi sababli, 2-kasrda ko'proq yuzlik bor.

O'nli kasrlarni qo'shish va ayirish

O'nlik kasrlar butun sonlar kabi qo'shiladi va ayiriladi, mos keladigan raqamlar bir-birining ostiga yoziladi. Buning uchun bir-birining ostida o'nli nuqtalar bo'lishi kerak. Keyin butun qismning birliklari (o'nliklari va boshqalar), shuningdek kasr qismining o'ndan birlari (yuzliklari va boshqalar) mos keladi. Kasr qismining etishmayotgan raqamlari nollar bilan to'ldiriladi. To'g'ridan-to'g'ri Qo'shish va ayirish jarayoni butun sonlar bilan bir xil tarzda amalga oshiriladi.

O'nlik sonlarni ko'paytirish

O'nli kasrlarni ko'paytirish uchun siz ularni bir-birining ostiga, oxirgi raqamga to'g'rilab, kasrning joylashishiga e'tibor bermasdan yozishingiz kerak. Keyin raqamlarni butun sonlarni ko'paytirish bilan bir xil tarzda ko'paytirishingiz kerak. Natijani olganingizdan so'ng, ikkala kasrdagi kasrdan keyingi raqamlar sonini qayta hisoblashingiz va natijada olingan sondagi kasr raqamlarining umumiy sonini vergul bilan ajratishingiz kerak. Agar raqamlar etarli bo'lmasa, ular nolga almashtiriladi.

O'nli kasrlarni 10 n ga ko'paytirish va bo'lish

Bu harakatlar oddiy va kasrli kasrni siljitish uchun tushadi. P Ko'paytirishda vergul o'ngga (kasr ortadi) 10 n dagi nollar soniga teng raqamlar soniga ko'chiriladi, bu erda n - ixtiyoriy butun son darajasi. Ya'ni, ma'lum miqdordagi raqamlar kasr qismidan butun songa o'tkaziladi. Bo'lishda mos ravishda vergul chapga o'tkaziladi (raqam kamayadi) va raqamlarning bir qismi butun qismdan kasr qismiga o'tkaziladi. Agar uzatish uchun raqamlar etarli bo'lmasa, etishmayotgan raqamlar nol bilan to'ldiriladi.

O'nli va butun sonni butun va o'nli kasrga bo'lish

O'nli kasrni butun songa bo'lish ikki butun sonni bo'lish bilan bir xil. Bundan tashqari, faqat kasrning o'rnini hisobga olish kerak: raqamdan keyin vergul qo'yilgan raqamni buzishda, hosil qilingan javobning joriy raqamidan keyin vergul qo'yish kerak. Keyin siz nolga erishguningizcha bo'linishni davom ettirishingiz kerak. To'liq bo'linish uchun dividendda etarli belgilar bo'lmasa, ular sifatida nollardan foydalanish kerak.

Xuddi shunday, agar dividendning barcha raqamlari buzib tashlangan bo'lsa va to'liq bo'linish hali tugallanmagan bo'lsa, 2 ta butun son ustunga bo'linadi. Bunday holda, dividendning oxirgi raqami buzilgandan so'ng, natijada olingan javobda o'nli nuqta qo'yiladi va nollar buzilgan raqamlar sifatida ishlatiladi. Bular. bu erda dividend, aslida, nol kasr qismi bilan o'nlik kasr sifatida ifodalanadi.

O'nli kasrni (yoki butun sonni) o'nlik songa bo'lish uchun dividendni va bo'luvchini 10 n raqamiga ko'paytirish kerak, bunda nollar soni kasrdagi kasrdan keyingi raqamlar soniga teng bo'ladi. bo'luvchi. Shu tarzda, ular siz bo'lmoqchi bo'lgan kasrdagi kasrdan xalos bo'lishadi. Bundan tashqari, bo'linish jarayoni yuqorida tavsiflanganidek bir xil.

O'nli kasrlarning grafik tasviri

Grafik jihatdan o'nli kasrlar koordinatali chiziq yordamida ifodalanadi. Buning uchun bitta segmentlar qo'shimcha ravishda 10 ta teng qismga bo'linadi, xuddi santimetr va millimetrlar bir vaqtning o'zida o'lchagichga yotqizilgan. Bu o'nli kasrlarning to'g'ri ko'rsatilishini va ob'ektiv ravishda solishtirilishini ta'minlaydi.

Yagona segmentlardagi uzunlamasına bo'linishlar bir xil bo'lishi uchun bitta segmentning uzunligini diqqat bilan ko'rib chiqish kerak. Bu shunday bo'lishi kerakki, qo'shimcha bo'linishning qulayligi ta'minlanishi mumkin.

Biz ushbu materialni o'nli kasrlar kabi muhim mavzuga bag'ishlaymiz. Birinchidan, asosiy ta'riflarni aniqlaymiz, misollar keltiramiz va o'nli kasrlarning raqamlari qanday ekanligi bilan bir qatorda o'nli kasrlarning yozuv qoidalariga to'xtalib o'tamiz. Keyinchalik, biz asosiy turlarni ajratib ko'rsatamiz: chekli va cheksiz, davriy va davriy bo'lmagan kasrlar. Yakuniy qismda biz kasr sonlarga mos keladigan nuqtalar koordinata o'qida qanday joylashganligini ko'rsatamiz.

Kasr sonlar uchun kasrli yozuv nima

Kasr sonlar uchun o'nli yozuv deb ataladigan narsa tabiiy va kasr sonlar uchun ishlatilishi mumkin. Bu ular orasida vergul qo'yilgan ikki yoki undan ortiq raqamlar to'plamiga o'xshaydi.

O'nli kasr butun sonni kasr qismidan ajratish uchun ishlatiladi. Qoida tariqasida, o'nli kasrning oxirgi raqami hech qachon nol bo'lmaydi, agar kasr birinchi noldan keyin darhol bo'lmasa.

Kasr sonlarning kasrli sanasiga qanday misollar keltirish mumkin? Bu 34 , 21 , 0 , 35035044 , 0 , 0001 , 11 231 552 , 9 va boshqalar boʻlishi mumkin.

Baʼzi darsliklarda vergul oʻrniga nuqta qoʻllanilishini uchratish mumkin (5. 67, 6789. 1011 va h.k.) Bu variant ekvivalent hisoblanadi, lekin ingliz tilidagi manbalar uchun koʻproq xosdir.

O'nli kasrlarning ta'rifi

Yuqoridagi o'nli kasr tushunchasiga asoslanib, biz o'nli kasrlarning quyidagi ta'rifini shakllantirishimiz mumkin:

Ta'rif 1

O'nlik kasrlar kasr sonlari o'nli yozuvda.

Nima uchun kasrlarni bu shaklda yozishimiz kerak? Bu bizga oddiylarga nisbatan ba'zi afzalliklarni beradi, masalan, ixcham belgi, ayniqsa maxraj 1000, 100, 10 va hokazo yoki aralash raqam bo'lgan hollarda. Masalan, 6 10 o'rniga 0 , 6 ni, 25 o'rniga 10000 - 0 , 0023 ni, 512 3 o'rniga 100 - 512 , 03 ni belgilashimiz mumkin.

O'nlik, yuzlik, minglik maxrajdagi oddiy kasrlarni o'nlik shaklida qanday qilib to'g'ri ifodalash alohida materialda tasvirlanadi.

O'nli kasrlarni qanday to'g'ri o'qish kerak

O'nli kasrlar yozuvlarini o'qish uchun ba'zi qoidalar mavjud. Shunday qilib, ularning to'g'ri oddiy ekvivalentlariga mos keladigan o'nli kasrlar deyarli bir xil o'qiladi, lekin boshida "nol o'ndan" so'zlari qo'shiladi. Shunday qilib, 14 100 ga mos keladigan 0, 14 yozuvi "nol nuqta o'n to'rt yuzdan bir" deb o'qiladi.

Agar o'nli kasr aralash son bilan bog'lanishi mumkin bo'lsa, u holda bu raqam bilan bir xil tarzda o'qiladi. Shunday qilib, agar bizda 56 2 1000 ga to'g'ri keladigan 56, 002 kasr bo'lsa, biz "ellik olti nuqta ikki mingdan bir" kabi yozuvni o'qiymiz.

O'nli kasrdagi raqamning qiymati uning joylashgan joyiga bog'liq (xuddi natural sonlardagi kabi). Demak, 0, 7, yetti o‘nlik kasrda o‘ndan, 0, 0007 sonida o‘n mingdan, 70 000, 345 kasrda yetti o‘n minglik butun birliklarni bildiradi. Shunday qilib, o'nli kasrlarda raqam raqami tushunchasi ham mavjud.

Verguldan oldin joylashgan raqamlarning nomlari natural sonlarda mavjud bo'lgan raqamlarga o'xshaydi. Jadvalda keyin joylashganlarning nomlari aniq ko'rsatilgan:

Keling, bir misol keltiraylik.

1-misol

Bizda o'nlik 43, 098 bor. U o‘nlik o‘rinda to‘rt, birliklar qatorida uchta, o‘ninchi o‘rinda nol, yuzinchi o‘rinda 9 va minginchi o‘rinda 8 ball bor.

O'nli kasrlarning raqamlarini ish staji bo'yicha ajratish odatiy holdir. Agar biz raqamlar bo'ylab chapdan o'ngga harakat qilsak, biz yuqoridan past raqamlarga o'tamiz. Ma’lum bo‘lishicha, yuzlar o‘nlikdan katta, millioninchilar esa yuzdan yoshroq ekan. Agar biz yuqorida misol qilib keltirgan yakuniy o'nlik kasrni olsak, unda katta yoki eng kattasi yuzlar soni, eng pasti yoki eng pasti esa 10 mingdan birining raqami bo'ladi.

Har qanday o'nli kasr alohida raqamlarga, ya'ni yig'indi sifatida ifodalanishi mumkin. Bu amal natural sonlar bilan bir xil tarzda bajariladi.

2-misol

Keling, 56, 0455 kasrni raqamlarga kengaytirishga harakat qilaylik.

Biz quyidagilarni qila olamiz:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Qo'shishning xossalarini eslasak, bu kasrni boshqa ko'rinishlarda, masalan, 56 + 0, 0455 yoki 56, 0055 + 0, 4 va boshqalar yig'indisi sifatida ifodalashimiz mumkin.

Keyingi o'nli kasrlar nima

Biz yuqorida aytib o'tgan barcha kasrlar keyingi o'nli kasrlardir. Bu kasrdan keyingi raqamlar soni chekli ekanligini bildiradi. Keling, ta'rifni olamiz:

Ta'rif 1

Keyingi o'nli kasrlar - verguldan keyin chekli sonli raqamlarga ega bo'lgan o'nli kasrlarning bir turi.

Bunday kasrlarga 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231032, 49 va hokazolarni misol qilib keltirish mumkin.

Ushbu kasrlarning har qandayini aralash raqamga (agar ularning kasr qismining qiymati noldan farq qilsa) yoki oddiy kasrga (butun qism nolga teng bo'lsa) aylantirilishi mumkin. Buning qanday amalga oshirilishi haqida biz alohida material ajratdik. Shu o‘rinda bir nechta misol keltiramiz: masalan, oxirgi o‘nlik kasr 5 , 63 ni 5 63 100 ko‘rinishiga keltirishimiz mumkin va 0 , 2 2 10 ga to‘g‘ri keladi (yoki unga teng bo‘lgan boshqa kasr, masalan, 4 20 yoki 1 5.)

Ammo teskari jarayon, ya'ni. oddiy kasrni o'nli shaklda yozish har doim ham bajarilmasligi mumkin. Shunday qilib, 5 13 ni maxraji 100, 10 va hokazo bo'lgan teng kasr bilan almashtirib bo'lmaydi, ya'ni oxirgi o'nlik kasr undan ishlamaydi.

Cheksiz o'nli kasrlarning asosiy turlari: davriy va davriy bo'lmagan kasrlar

Biz yuqorida chekli kasrlar o'nli kasrdan keyin chekli sonli raqamlarga ega bo'lgani uchun shunday deb nomlanishini ta'kidladik. Biroq, u cheksiz bo'lishi mumkin, bu holda kasrlarning o'zi ham cheksiz deb ataladi.

Ta'rif 2

Cheksiz o'nli kasrlar kasrdan keyin cheksiz sonli raqamlarga ega bo'lganlardir.

Shubhasiz, bunday raqamlarni to'liq yozib bo'lmaydi, shuning uchun biz ularning faqat bir qismini ko'rsatamiz va keyin ellips qo'yamiz. Bu belgi o'nli kasrlar ketma-ketligining cheksiz davomini ko'rsatadi. Cheksiz oʻnli kasrlarga misollar 0 , 143346732 ... , 3 , 1415989032 ... , 153 , 0245005 ... , 2 , 6666666666 ... , 69 , 748768152 ... boʻladi. va hokazo.

Bunday kasrning "dumida" nafaqat tasodifiy ko'rinadigan raqamlar ketma-ketligi, balki bir xil belgi yoki belgilar guruhining doimiy takrorlanishi bo'lishi mumkin. O'nli kasrdan keyin almashinadigan kasrlar davriy deyiladi.

Ta'rif 3

Davriy o'nli kasrlar shunday cheksiz o'nli kasrlar bo'lib, unda bir raqam yoki bir nechta raqamlar guruhi kasrdan keyin takrorlanadi. Takrorlanuvchi qism kasr davri deb ataladi.

Masalan, 3 kasr uchun 444444 ... . davr 4 raqami bo'ladi va 76 uchun 134134134134 ... - guruh 134.

Davriy kasrda ruxsat etilgan belgilarning minimal soni qancha? Davriy kasrlar uchun butun davrni qavs ichida bir marta yozish kifoya qiladi. Demak, kasr 3, 444444 ... . 3, (4) va 76, 134134134134 ... deb yozish to'g'ri bo'ladi - 76, (134) .

Umuman olganda, qavs ichidagi bir nechta nuqtali yozuvlar aynan bir xil ma'noga ega bo'ladi: masalan, 0,677777 davriy kasr 0,6 (7) va 0,6 (77) bilan bir xil va hokazo. 0 , 67777 (7) , 0 , 67 (7777) va boshqalar kabi yozuvlarga ham ruxsat beriladi.

Xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun biz yozuvning bir xilligini kiritamiz. Keling, o'nli kasrga eng yaqin bo'lgan faqat bitta nuqtani (raqamlarning mumkin bo'lgan eng qisqa ketma-ketligini) yozishga rozi bo'laylik va uni qavs ichiga kiritamiz.

Ya'ni, yuqoridagi kasr uchun biz 0, 6 (7) yozuvini asosiy sifatida ko'rib chiqamiz va, masalan, 8, 9134343434 kasrda biz 8, 91 (34) ni yozamiz.

Agar oddiy kasrning maxrajida 5 va 2 ga teng bo'lmagan tub ko'rsatkichlar bo'lsa, o'nli kasr tizimiga o'tkazilganda ulardan cheksiz kasrlar olinadi.

Asosan, biz har qanday chekli kasrni davriy kasr sifatida yozishimiz mumkin. Buning uchun biz o'ng tomonga cheksiz sonli nollarni qo'shishimiz kerak. Bu yozuvda qanday ko'rinadi? Aytaylik, bizda oxirgi kasr 45, 32 bor. Davriy shaklda u 45 , 32 (0) ga o'xshaydi. Bu harakat mumkin, chunki har qanday o'nli kasrning o'ng tomoniga nollarni qo'shish natijasida bizga unga teng kasr beradi.

Alohida-alohida, davriy kasrlar haqida to'xtash kerak 9, masalan, 4, 89 (9), 31, 6 (9) . Ular davri 0 bo'lgan o'xshash kasrlar uchun muqobil yozuvdir, shuning uchun ular ko'pincha nol davriga ega bo'lgan kasrlar bilan yozishda almashtiriladi. Shu bilan birga, keyingi raqamning qiymatiga bitta qo'shiladi va (0) qavs ichida ko'rsatiladi. Olingan sonlarning tengligini ularni oddiy kasrlar sifatida ko'rsatish orqali tekshirish oson.

Masalan, 8, 31 (9) kasr mos keladigan kasr 8, 32 (0) bilan almashtirilishi mumkin. Yoki 4 , (9) = 5 , (0) = 5 .

Cheksiz o'nli davriy kasrlarga tegishli ratsional sonlar. Boshqacha qilib aytganda, har qanday davriy kasr oddiy kasr sifatida ifodalanishi mumkin va aksincha.

Kasrlar ham borki, ularda kasrdan keyin cheksiz takrorlanuvchi ketma-ketlik mavjud emas. Bunday holda, ular davriy bo'lmagan kasrlar deb ataladi.

Ta'rif 4

Davriy bo'lmagan o'nli kasrlarga o'nli kasrdan keyin nuqta bo'lmagan cheksiz o'nli kasrlar kiradi, ya'ni. takroriy raqamlar guruhi.

Ba'zida davriy bo'lmagan kasrlar davriy bo'lganlarga juda o'xshash. Misol uchun, 9 , 03003000300003 ... birinchi qarashda nuqta bordek tuyuladi, lekin o'nli kasrlarning batafsil tahlili bu hali ham davriy bo'lmagan kasr ekanligini tasdiqlaydi. Bunday raqamlar bilan juda ehtiyot bo'lishingiz kerak.

Davriy bo'lmagan kasrlar irratsional sonlar. Ular oddiy kasrlarga aylantirilmaydi.

O'nli kasrlar bilan asosiy amallar

O'nli kasrlar bilan quyidagi amallarni bajarish mumkin: taqqoslash, ayirish, qo'shish, bo'lish va ko'paytirish. Keling, ularning har birini alohida tahlil qilaylik.

O'nli kasrlarni solishtirishni asl kasrlarga mos keladigan oddiy kasrlarni solishtirishga qisqartirish mumkin. Ammo cheksiz davriy bo'lmagan kasrlarni bu shaklga keltirish mumkin emas va o'nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirish ko'pincha mashaqqatli ishdir. Muammoni hal qilish jarayonida buni qilish kerak bo'lsa, taqqoslash harakatini qanday tezda bajarish kerak? O'nli kasrlarni raqamlar bo'yicha solishtirish, xuddi natural sonlarni solishtirish kabi qulaydir. Ushbu usulga alohida maqola bag'ishlaymiz.

Bir kasrni ikkinchi kasrga qo'shish uchun natural sonlardagi kabi ustun qo'shish usulidan foydalanish qulay. Davriy o'nlik kasrlarni qo'shish uchun avval ularni oddiylar bilan almashtirishingiz va standart sxema bo'yicha hisoblashingiz kerak. Agar masala shartlariga ko'ra, biz cheksiz davriy bo'lmagan kasrlarni qo'shishimiz kerak bo'lsa, avval ularni ma'lum bir raqamga yaxlitlashimiz kerak, keyin esa qo'shishimiz kerak. Biz aylantiradigan raqam qanchalik kichik bo'lsa, hisoblashning aniqligi shunchalik yuqori bo'ladi. Cheksiz kasrlarni ayirish, ko'paytirish va bo'lish uchun oldindan yaxlitlash ham kerak.

O'nli kasrlarning ayirmasini topish qo'shishga qarama-qarshidir. Darhaqiqat, ayirish yordamida biz ayirilgan kasr bilan yig'indisi kamaytirilgan sonni beradigan sonni topishimiz mumkin. Bu haqda alohida maqolada batafsilroq gaplashamiz.

O'nli kasrlarni ko'paytirish xuddi natural sonlardagi kabi amalga oshiriladi. Buning uchun ustun bo'yicha hisoblash usuli ham mos keladi. Biz yana bu harakatni davriy kasrlar bilan, allaqachon o'rganilgan qoidalarga muvofiq oddiy kasrlarni ko'paytirishga kamaytiramiz. Cheksiz kasrlar, biz eslaganimizdek, hisoblashdan oldin yaxlitlash kerak.

O'nli kasrlarni bo'lish jarayoni ko'paytirish jarayonining teskarisidir. Muammolarni hal qilishda biz ustunlar sonini ham ishlatamiz.

Oxirgi kasr va koordinata o'qidagi nuqta o'rtasida aniq yozishmalarni o'rnatishingiz mumkin. Keling, o'qda kerakli o'nlik kasrga to'liq mos keladigan nuqtani qanday belgilashni aniqlaylik.

Biz allaqachon oddiy kasrlarga mos keladigan nuqtalarni qanday qurishni o'rganib chiqdik va o'nli kasrlarni bu shaklga keltirish mumkin. Masalan, oddiy kasr 14 10 1 , 4 bilan bir xil bo'ladi, shuning uchun unga mos keladigan nuqta boshdan musbat yo'nalishda aynan bir xil masofaga olib tashlanadi:

Siz o'nli kasrni oddiy kasr bilan almashtirmasdan qilishingiz mumkin va raqamlarni kengaytirish usulini asos qilib olishingiz mumkin. Demak, koordinatasi 15 , 4008 ga teng bo'lgan nuqtani belgilashimiz kerak bo'lsa, avval bu raqamni 15 + 0, 4 +, 0008 yig'indisi sifatida ifodalaymiz. Boshlash uchun biz boshlang'ichdan ijobiy yo'nalishda 15 ta butun birlik segmentini, so'ngra bitta segmentning o'ndan 4 qismini va keyin bitta segmentning o'ndan mingdan 8 qismini ajratamiz. Natijada, biz 15, 4008 kasrga mos keladigan koordinata nuqtasini olamiz.

Cheksiz o'nli kasr uchun ushbu aniq usuldan foydalanish yaxshiroqdir, chunki bu sizga kerakli nuqtaga xohlagancha yaqinlashishga imkon beradi. Ba'zi hollarda koordinata o'qi bo'yicha cheksiz kasrning aniq mosligini qurish mumkin: masalan, 2 = 1, 41421. . . , va bu kasr koordinata nurida kvadrat diagonali uzunligi bo'yicha 0 dan uzoqda joylashgan nuqta bilan bog'lanishi mumkin, uning tomoni bitta birlik segmentiga teng bo'ladi.

Agar biz o'qda nuqta emas, balki unga mos keladigan o'nli kasrni topsak, unda bu harakat segmentning o'nli o'lchovi deb ataladi. Keling, buni qanday qilib to'g'ri qilishni ko'rib chiqaylik.

Faraz qilaylik, biz koordinata o'qida noldan ma'lum bir nuqtaga o'tishimiz kerak (yoki cheksiz kasr bo'lsa, iloji boricha yaqinlashishimiz kerak). Buning uchun biz kerakli nuqtaga yetguncha koordinatalarning kelib chiqishidan asta-sekin birlik segmentlarini ajratamiz. Butun segmentlardan keyin, agar kerak bo'lsa, biz o'ndan, yuzdan va kichikroq qismlarni o'lchaymiz, shunda yozishmalar iloji boricha aniq bo'ladi. Natijada, biz mos keladigan o'nli kasrni oldik berilgan nuqta koordinata o'qida.

Yuqorida biz M nuqtasi bo'lgan rasmni berdik. Yana bir marta qarang: bu nuqtaga o'tish uchun siz noldan bir birlik segmentini va uning o'ndan to'rt qismini o'lchashingiz kerak, chunki bu nuqta 1, 4 o'nlik kasrga to'g'ri keladi.

Agar biz o'nli kasrni o'lchash jarayonida biror nuqtani ura olmasak, demak, cheksiz o'nli kasr unga mos keladi.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Esingizdami, o'nli kasrlar haqidagi birinchi darsda men o'nli kasrlar sifatida ko'rsatib bo'lmaydigan sonli kasrlar borligini aytgandim ("O'nlik kasrlar" darsiga qarang)? 2 va 5 dan boshqa raqamlar mavjudligini tekshirish uchun kasrlarning maxrajlarini faktorlarga ajratishni ham o‘rgandik.

Shunday qilib: men yolg'on gapirdim. Va bugun biz mutlaqo har qanday sonli kasrni o'nli kasrga qanday aylantirishni o'rganamiz. Shu bilan birga, biz cheksiz muhim qismga ega bo'lgan kasrlarning butun sinfi bilan tanishamiz.

Takrorlanuvchi o'nlik bu har qanday o'nlik bo'lib, unda quyidagilar mavjud:

  1. Muhim qism cheksiz sonli raqamlardan iborat;
  2. Muayyan vaqt oralig'ida muhim qismdagi raqamlar takrorlanadi.

Muhim qismni tashkil etuvchi takroriy raqamlar to'plami kasrning davriy qismi deb ataladi va bu to'plamdagi raqamlar soni kasr davridir. Muhim qismning takrorlanmaydigan qolgan qismi davriy bo'lmagan qism deb ataladi.

Ko'p ta'riflar mavjud bo'lganligi sababli, ushbu fraktsiyalarning bir nechtasini batafsil ko'rib chiqishga arziydi:

Bu fraktsiya ko'pincha muammolarda paydo bo'ladi. Davriy bo'lmagan qism: 0; davriy qism: 3; davr uzunligi: 1.

Davriy bo'lmagan qism: 0,58; davriy qism: 3; davr uzunligi: yana 1.

Davriy bo'lmagan qism: 1; davriy qism: 54; Davr uzunligi: 2.

Davriy bo'lmagan qism: 0; davriy qism: 641025; davr uzunligi: 6. Qulaylik uchun takrorlanuvchi qismlar bir-biridan bo'sh joy bilan ajratiladi - bu yechimda buni qilish shart emas.

Davriy bo'lmagan qism: 3066; davriy qism: 6; Davr uzunligi: 1.

Ko'rib turganingizdek, davriy kasrning ta'rifi tushunchaga asoslanadi sonning muhim qismi. Shuning uchun, agar siz nima ekanligini unutgan bo'lsangiz, uni takrorlashni maslahat beraman - "" darsiga qarang.

Davriy kasrga o'tish

a / b shaklining oddiy qismini ko'rib chiqing. Keling, uning maxrajini oddiy omillarga ajratamiz. Ikkita variant mavjud:

  1. Kengayishda faqat 2 va 5 omillar mavjud.Bu kasrlar osonlik bilan o'nli kasrlarga keltiriladi - "O'nlik kasrlar" darsiga qarang. Bizni bunday narsa qiziqtirmaydi;
  2. Kengayishda 2 va 5 dan tashqari yana bir narsa bor. Bu holda kasrni o'nli kasr sifatida ko'rsatib bo'lmaydi, lekin uni davriy o'nli kasrga aylantirish mumkin.

Davriy o'nli kasrni o'rnatish uchun uning davriy va davriy bo'lmagan qismini topish kerak. Qanday? Kasrni noto'g'ri kasrga aylantiring, so'ngra hisoblagichni "burchak" bilan maxrajga bo'ling.

Bunday holda, quyidagilar sodir bo'ladi:

  1. Avval ajrating butun qismi agar u mavjud bo'lsa;
  2. Kasrdan keyin bir nechta raqam bo'lishi mumkin;
  3. Biroz vaqt o'tgach, raqamlar boshlanadi takrorlang.

Ana xolos! O'nli kasrdan keyin takrorlanadigan raqamlar davriy qism bilan belgilanadi va oldingisi - davriy bo'lmagan.

Vazifa. Oddiy kasrlarni davriy o'nli kasrlarga o'tkazing:

Butun qismsiz barcha kasrlar, shuning uchun biz hisoblagichni maxrajga "burchak" bilan ajratamiz:

Ko'rib turganingizdek, qoldiqlar takrorlanadi. Kasrni "to'g'ri" shaklda yozamiz: 1,733 ... = 1,7(3).

Natijada kasr: 0,5833 ... = 0,58(3).

Oddiy shaklda yozamiz: 4.0909 ... = 4, (09).

Biz kasrni olamiz: 0,4141 ... = 0, (41).

Davriy o'nlikdan oddiyga o'tish

Davriy o'nlik X = abc (a 1 b 1 c 1) ko'rib chiqaylik. Uni klassik "ikki qavatli" ga o'tkazish talab qilinadi. Buning uchun to'rtta oddiy qadamni bajaring:

  1. Kasr davrini toping, ya'ni. davriy qismda nechta raqam borligini hisoblang. Bu k raqami bo'lsin;
  2. X · 10 k ifodaning qiymatini toping. Bu o'nli kasrni to'liq nuqtani o'ngga siljitishga teng - darsga qarang " O'nli kasrlarni ko'paytirish va bo'lish";
  3. Olingan sondan asl ifodani ayiring. Bunday holda, davriy qism "yoqib yuboriladi" va qoladi oddiy kasr;
  4. Olingan tenglamada X ni toping. Barcha o'nli kasrlar oddiy kasrga aylantiriladi.

Vazifa. Sonning oddiy noto'g'ri kasriga aylantiring:

  • 9,(6);
  • 32,(39);
  • 0,30(5);
  • 0,(2475).

Birinchi kasr bilan ishlash: X = 9, (6) = 9,666 ...

Qavslar faqat bitta raqamni o'z ichiga oladi, shuning uchun davr k = 1. Keyinchalik, bu kasrni 10 k = 10 1 = 10 ga ko'paytiramiz. Bizda:

10X = 10 9,6666... ​​= 96,666...

Asl kasrni ayiring va tenglamani yeching:

10X - X = 96,666 ... - 9,666 ... = 96 - 9 = 87;
9X=87;
X = 87/9 = 29/3.

Endi ikkinchi kasr bilan shug'ullanamiz. X = 32, (39) = 32,393939 ...

Davr k = 2, shuning uchun biz hamma narsani 10 k = 10 2 = 100 ga ko'paytiramiz:

100X = 100 32.393939 ... = 3239.3939 ...

Asl kasrni yana ayirib, tenglamani yeching:

100X - X = 3239.3939 ... - 32.3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Uchinchi kasrga o'tamiz: X = 0,30 (5) = 0,30555 ... Sxema bir xil, shuning uchun men faqat hisob-kitoblarni keltiraman:

Davr k = 1 ⇒ hamma narsani 10 k = 10 ga ko'paytiring 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.

Nihoyat, oxirgi kasr: X = 0,(2475) = 0,2475 2475 ... Yana qulaylik uchun davriy qismlar bir-biridan bo'shliqlar bilan ajratilgan. Bizda ... bor:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10 000;
10 000X = 10 000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10,000X - X = 2475,2475 ... - 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Allaqachon boshlang'ich maktab talabalar kasrlar bilan shug'ullanadilar. Va keyin ular har bir mavzuda paydo bo'ladi. Bu raqamlar bilan harakatlarni unutish mumkin emas. Shuning uchun siz oddiy va o'nli kasrlar haqidagi barcha ma'lumotlarni bilishingiz kerak. Bu tushunchalar oddiy, asosiysi hamma narsani tartibda tushunishdir.

Nima uchun kasrlar kerak?

Atrofimizdagi dunyo butun ob'ektlardan iborat. Shuning uchun aktsiyalarga ehtiyoj yo'q. Lekin kundalik hayot odamlarni doimo narsalar va narsalarning qismlari bilan ishlashga undaydi.

Misol uchun, shokolad bir nechta bo'laklardan iborat. Uning plitkasi o'n ikkita to'rtburchaklar bilan tuzilgan vaziyatni ko'rib chiqing. Agar siz uni ikkiga bo'lsangiz, siz 6 qismga ega bo'lasiz. U yaxshi uchga bo'linadi. Ammo beshta shokoladning butun sonini bera olmaydi.

Aytgancha, bu bo'laklar allaqachon fraktsiyalardir. Va ularning keyingi bo'linishi yanada murakkab raqamlarning paydo bo'lishiga olib keladi.

"Kasr" nima?

Bu bir qismdan tashkil topgan raqam. Tashqi tomondan, u gorizontal yoki chiziq bilan ajratilgan ikkita raqamga o'xshaydi. Bu xususiyat kasr deyiladi. Yuqorida (chapda) yozilgan songa hisoblagich deyiladi. Pastki (o'ngda) maxrajdir.

Aslida, kasr satri bo'linish belgisi bo'lib chiqadi. Ya'ni, hisoblagichni dividend, maxrajni esa bo'luvchi deb atash mumkin.

Kasrlar nima?

Matematikada ularning faqat ikkita turi mavjud: oddiy va o'nli kasrlar. Maktab o'quvchilari boshlang'ich sinflarda birinchi bo'lganlar bilan tanishib, ularni oddiygina "kasrlar" deb atashadi. Ikkinchisi 5-sinfda o'rganadi. O'shanda bu nomlar paydo bo'ladi.

Oddiy kasrlar qator bilan ajratilgan ikkita raqam sifatida yoziladigan barcha kasrlardir. Masalan, 4/7. O'nlik - bu kasr qismi pozitsion belgiga ega bo'lgan va butun sondan vergul bilan ajratilgan son. Masalan, 4.7. Talabalar berilgan ikkita misol butunlay boshqa raqamlar ekanligini aniq bilishlari kerak.

Har bir oddiy kasr o'nli kasr sifatida yozilishi mumkin. Bu bayonot deyarli har doim to'g'ri teskari yo'nalish. O'nli kasrni oddiy kasr sifatida yozishga imkon beruvchi qoidalar mavjud.

Ushbu turdagi kasrlar qanday kichik turlarga ega?

Xronologik tartibda boshlash yaxshidir, chunki ular o'rganilmoqda. Oddiy kasrlar birinchi o'rinda turadi. Ular orasida 5 ta kichik turni ajratib ko'rsatish mumkin.

    To'g'ri. Uning numeratori har doim maxrajdan kichik bo'ladi.

    Noto'g'ri. Uning numeratori maxrajdan katta yoki unga teng.

    Qaytariladigan / kamaytirilmaydigan. Bu to'g'ri yoki noto'g'ri bo'lishi mumkin. Yana bir narsa muhim, hisoblagich va maxraj umumiy omillarga egami. Agar mavjud bo'lsa, unda ular kasrning ikkala qismini bo'lishlari, ya'ni uni kamaytirishlari kerak.

    Aralashgan. Butun son uning odatiy to'g'ri (noto'g'ri) kasr qismiga beriladi. Va u har doim chap tomonda turadi.

    Kompozit. U bir-biriga bo'lingan ikkita fraktsiyadan hosil bo'ladi. Ya'ni, u bir vaqtning o'zida uchta kasr xususiyatiga ega.

O'nli kasrlar faqat ikkita kichik turga ega:

    yakuniy, ya'ni kasr qismi cheklangan (oxiri bor);

    cheksiz - o'nli kasrdan keyin raqamlari tugamaydigan son (ularni cheksiz yozish mumkin).

O'nli kasrni oddiyga qanday o'zgartirish mumkin?

Agar bu cheklangan son bo'lsa, unda qoidaga asoslangan assotsiatsiya qo'llaniladi - men eshitganimdek yozaman. Ya'ni, siz uni to'g'ri o'qishingiz va yozishingiz kerak, lekin vergulsiz, lekin kasr chizig'i bilan.

Kerakli maxraj haqida maslahat sifatida, u har doim bir va bir nechta nol ekanligini unutmang. Ikkinchisini ko'rib chiqilayotgan sonning kasr qismidagi raqamlar qancha bo'lsa, shuncha yozish kerak.

O'nli kasrlarni qanday qilib oddiy kasrga aylantirish mumkin, agar ularning butun qismi etishmayotgan bo'lsa, ya'ni nolga teng? Masalan, 0,9 yoki 0,05. Belgilangan qoidani qo'llaganingizdan so'ng, siz nol butun sonlarni yozishingiz kerak bo'ladi. Ammo ko'rsatilmagan. Faqat kasr qismlarini yozish qoladi. Birinchi raqam uchun maxraj 10, ikkinchisi uchun 100 bo'ladi. Ya'ni, ko'rsatilgan misollar javob sifatida raqamlarga ega bo'ladi: 9/10, 5/100. Bundan tashqari, ikkinchisini 5 ga kamaytirish mumkin bo'ladi. Shuning uchun uning uchun natija 1/20 yozilishi kerak.

O'nli kasrning butun qismi noldan farq qilsa, undan oddiy kasr qanday yasaladi? Masalan, 5.23 yoki 13.00108. Ikkala misol ham butun son qismini o'qiydi va uning qiymatini yozadi. Birinchi holda, bu 5, ikkinchisida, 13. Keyin kasr qismiga o'tishingiz kerak. Ular bilan bir xil operatsiyani bajarish kerak. Birinchi raqam 23/100, ikkinchisida 108/100000. Ikkinchi qiymatni yana kamaytirish kerak. Javob aralash kasrlar: 5 23/100 va 13 27/25000.

Cheksiz o'nli kasrni oddiy kasrga qanday aylantirish mumkin?

Agar u davriy bo'lmasa, unda bunday operatsiyani bajarish mumkin emas. Bu fakt har bir o'nli kasr har doim yakuniy yoki davriy kasrga aylantirilishi bilan bog'liq.

Bunday kasr bilan bajarishga ruxsat berilgan yagona narsa uni yaxlitlashdir. Ammo keyin o'nlik bu cheksizga taxminan teng bo'ladi. Uni allaqachon oddiyga aylantirish mumkin. Ammo teskari jarayon: kasrga aylantirish - hech qachon boshlang'ich qiymatni bermaydi. Ya'ni, cheksiz davriy bo'lmagan kasrlar oddiy kasrlarga aylantirilmaydi. Buni eslash kerak.

Oddiy ko'rinishdagi cheksiz davriy kasr qanday yoziladi?

Bu raqamlarda har doim takrorlanadigan kasrdan keyin bir yoki bir nechta raqam paydo bo'ladi. Ular davrlar deb ataladi. Masalan, 0,3(3). Bu erda davrda "3". Ular ratsional deb tasniflanadi, chunki ularni oddiy kasrlarga aylantirish mumkin.

Davriy kasrlarga duch kelganlar, ular sof yoki aralash bo'lishi mumkinligini bilishadi. Birinchi holda, nuqta darhol verguldan boshlanadi. Ikkinchisida kasr qismi har qanday raqamlar bilan boshlanadi, keyin esa takrorlash boshlanadi.

Cheksiz o'nli kasrni oddiy kasr shaklida yozishingiz kerak bo'lgan qoida bu ikki turdagi raqamlar uchun boshqacha bo'ladi. Sof davriy kasrlarni oddiy kasrlar sifatida yozish juda oson. Yakuniy raqamlarda bo'lgani kabi, ular ham o'zgartirilishi kerak: davrni numeratorga yozing va 9 raqami maxraj bo'lib, davrda qancha raqamlar bor bo'lsa, shuncha takrorlanadi.

Masalan, 0, (5). Raqam butun songa ega emas, shuning uchun siz darhol kasr qismiga o'tishingiz kerak. Numeratorga 5 ni, maxrajga esa 9 ni yozing.Ya'ni javob 5/9 kasr bo'ladi.

Aralash kasr bo'lgan oddiy o'nli kasrni yozish qoidasi.

    Davr uzunligiga qarang. Shunday qilib, 9 sonining maxraji bo'ladi.

    Maxrajni yozing: birinchi to'qqiz, keyin nol.

    Numeratorni aniqlash uchun siz ikkita raqamning farqini yozishingiz kerak. O'nli nuqtadan keyingi barcha raqamlar nuqta bilan birga qisqartiriladi. Ayiriladigan - bu nuqtasiz.

Masalan, 0,5(8) - davriy kasrni oddiy kasr sifatida yozing. Davr oldidagi kasr qismi bitta raqamdan iborat. Shunday qilib, nol bitta bo'ladi. Shuningdek, davrda faqat bitta raqam bor - 8. Ya'ni, faqat bitta to'qqiz bor. Ya'ni, siz maxrajda 90 yozishingiz kerak.

Numeratorni 58 dan aniqlash uchun 5 ni ayirish kerak. 53 chiqadi. Masalan, javob sifatida 53/90 yozish kerak bo'ladi.

Oddiy kasrlar o'nli kasrlarga qanday o'tkaziladi?

Eng oddiy variant - maxraji 10, 100 va boshqalar bo'lgan raqam. Keyin maxraj oddiygina o'chiriladi va kasr va butun qismlar orasiga vergul qo'yiladi.

Ayiruvchi osonlik bilan 10, 100 va hokazolarga aylangan holatlar mavjud. Masalan, 5, 20, 25 raqamlari. Ularni mos ravishda 2, 5 va 4 ga ko'paytirish kifoya. Faqatgina maxrajni emas, balki raqamni ham bir xil raqamga ko'paytirish kerak.

Boshqa barcha holatlar uchun oddiy qoida foydali bo'ladi: hisoblagichni maxrajga bo'ling. Bunday holda siz ikkita javob olishingiz mumkin: yakuniy yoki davriy kasr.

Oddiy kasrlar bilan amallar

Qo‘shish va ayirish

Talabalar ular bilan boshqalarga qaraganda ertaroq tanishadilar. Va dastlab kasrlar bir xil maxrajlarga ega, keyin esa boshqacha. Umumiy qoidalar bunday rejaga qisqartirish mumkin.

    Maxrajlarning eng kichik umumiy karrasini toping.

    Barcha oddiy kasrlarga qo'shimcha ko'paytmalarni yozing.

    Numeratorlar va maxrajlarni ular uchun belgilangan omillarga ko'paytiring.

    Kasrlarning sanoqlarini qo'shing (ayiring) va umumiy maxrajni o'zgarishsiz qoldiring.

    Agar minuendning soni ayiruvchidan kichik bo'lsa, bizda aralash son yoki to'g'ri kasr borligini bilib olishingiz kerak.

    Birinchi holda, butun qism bittasini olishi kerak. Kasrning soniga maxraj qo‘shing. Va keyin ayirishni bajaring.

    Ikkinchisida - kichikroq sondan kattaroq raqamga ayirish qoidasini qo'llash kerak. Ya'ni, ayirma modulidan minuend modulini ayirib, javob sifatida "-" belgisini qo'ying.

    Qo'shish (ayirish) natijasiga diqqat bilan qarang. Agar siz noto'g'ri kasrni olsangiz, unda butun qismni tanlash kerak. Ya'ni, sonni maxrajga bo'ling.

    Ko'paytirish va bo'lish

    Ularni amalga oshirish uchun kasrlarni umumiy maxrajga qisqartirish shart emas. Bu chora ko'rishni osonlashtiradi. Lekin ular hali ham qoidalarga rioya qilishlari kerak.

      Oddiy kasrlarni ko'paytirishda son va maxrajdagi sonlarni hisobga olish kerak. Agar har qanday pay va maxraj umumiy koeffitsientga ega bo'lsa, ularni qisqartirish mumkin.

      Numeratorlarni ko'paytirish.

      Maxrajlarni ko'paytiring.

      Agar siz kamaytiriladigan kasrni olsangiz, u yana soddalashtirilgan bo'lishi kerak.

      Bo'lishda birinchi navbatda bo'linishni ko'paytirish bilan, bo'luvchini (ikkinchi kasrni) o'zaro (hisob va maxrajni almashtiring) bilan almashtirish kerak.

      Keyin ko'paytirishda bo'lgani kabi davom eting (1-banddan boshlab).

      Butun songa ko'paytirish (bo'lish) kerak bo'lgan vazifalarda ikkinchisi noto'g'ri kasr sifatida yozilishi kerak. Ya'ni, maxraj bilan 1. Keyin yuqorida tavsiflangan tarzda davom eting.

    O'nli kasrlar bilan amallar

    Qo‘shish va ayirish

    Albatta, siz har doim o'nli kasrni oddiy kasrga aylantirishingiz mumkin. Va allaqachon tasvirlangan rejaga muvofiq harakat qiling. Ammo ba'zida bu tarjimasiz harakat qilish qulayroqdir. Keyin ularni qo'shish va ayirish qoidalari aynan bir xil bo'ladi.

      Sonning kasr qismidagi raqamlar sonini, ya'ni kasrdan keyin tenglashtiring. Undagi etishmayotgan nol sonini belgilang.

      Kasrlarni shunday yozingki, vergul vergul ostida qolsin.

      Natural sonlar kabi qo'shish (ayirish).

      Vergulni olib tashlang.

    Ko'paytirish va bo'lish

    Bu erda nol qo'shishning hojati yo'qligi muhimdir. Kasrlar misolda ko'rsatilganidek qoldirilishi kerak. Va keyin rejaga muvofiq boring.

      Ko'paytirish uchun siz vergullarga e'tibor bermasdan, kasrlarni bir-birining ostiga yozishingiz kerak.

      Natural sonlar kabi ko'paytiring.

      Javobga vergul qo'ying, javobning o'ng uchidan boshlab ikkala omilning kasr qismlarida qancha raqam borligini hisoblang.

      Bo'lish uchun birinchi navbatda bo'luvchini aylantirish kerak: uni natural songa aylantiring. Ya'ni, bo'luvchining kasr qismida qancha raqam borligiga qarab, uni 10, 100 va hokazolarga ko'paytiring.

      Dividendni bir xil raqamga ko'paytiring.

      O'nli kasrni natural songa bo'ling.

      Butun qismning bo'linishi tugagan paytda javobga vergul qo'ying.

    Bitta misolda kasrlarning ikkala turi mavjud bo'lsa-chi?

    Ha, matematikada ko'pincha oddiy va o'nli kasrlar bilan operatsiyalarni bajarish kerak bo'lgan misollar mavjud. Ushbu muammolarni hal qilishning ikkita varianti mavjud. Siz raqamlarni ob'ektiv ravishda tortishingiz va eng yaxshisini tanlashingiz kerak.

    Birinchi usul: oddiy o'nli kasrlarni ifodalaydi

    Agar bo'lish yoki konvertatsiya qilishda yakuniy fraktsiyalar olinsa, mos keladi. Agar kamida bitta raqam davriy qismni beradigan bo'lsa, unda bu usul taqiqlanadi. Shuning uchun, agar siz oddiy kasrlar bilan ishlashni yoqtirmasangiz ham, ularni hisoblashingiz kerak bo'ladi.

    Ikkinchi usul: o'nli kasrlarni oddiy qilib yozing

    Agar kasrdan keyingi qismda 1-2 ta raqam bo'lsa, bu usul qulay. Agar ular ko'proq bo'lsa, juda katta oddiy kasr paydo bo'lishi mumkin va o'nli yozuvlar sizga vazifani tezroq va osonroq hisoblash imkonini beradi. Shuning uchun har doim vazifani ehtiyotkorlik bilan baholash va eng oddiy hal qilish usulini tanlash kerak.