Birlik uzunligi segmenti bilan qadimgi matematiklar allaqachon bilishgan: ular, masalan, diagonal va kvadratning yon tomonining nomutanosibligini bilishgan, bu raqamning irratsionalligiga teng.

Mantiqiy emas:

Irratsionallikni isbotlovchi misollar

2 ning ildizi

Aksincha faraz qilaylik: u ratsionaldir, ya'ni kamaytirilmaydigan kasr sifatida ifodalanadi, bu erda va butun sonlardir. Keling, taxmin qilingan tenglikni kvadratga aylantiramiz:

Bundan kelib chiqadiki, juft, demak, juft va. Qaerda hammasi bo'lsin. Keyin

Shuning uchun, hatto, demak, juft va. Biz buni oldik va juft bo'lib, bu kasrning qaytarilmasligiga ziddir. Shunday qilib, dastlabki taxmin noto'g'ri edi va - ir ratsional son.

3 raqamining ikkilik logarifmi

Buning aksini tasavvur qiling: u ratsional, ya'ni kasr sifatida ifodalanadi, bu erda va butun sonlar. dan beri va ijobiy qabul qilinishi mumkin. Keyin

Lekin bu aniq, g'alati. Biz qarama-qarshilikni olamiz.

e

Hikoya

Irratsional sonlar tushunchasi hind matematiklari tomonidan miloddan avvalgi 7-asrda, Manava (miloddan avvalgi 750-yil - 690-yillar) tomonidan aniq qabul qilingan. kvadrat ildizlar 2 va 61 kabi ba'zi natural sonlarni aniq ifodalab bo'lmaydi.

Irratsional sonlar mavjudligining birinchi dalili odatda pifagoriyalik Metapontlik Gipasga (miloddan avvalgi 500-yillar) tegishli boʻlib, bu dalilni pentagramma tomonlarining uzunliklarini oʻrganish orqali topgan. Pifagorchilar davrida, etarlicha kichik va bo'linmaydigan yagona uzunlik birligi borligiga ishonishgan, bu har qanday segmentga kiritilgan butun sondir. Biroq, Gipasus uzunlikning yagona birligi yo'qligini ta'kidladi, chunki uning mavjudligini taxmin qilish qarama-qarshilikka olib keladi. U ko'rsatdiki, agar teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi birlik segmentlarining butun sonini o'z ichiga olsa, u holda bu son bir vaqtning o'zida ham juft, ham toq bo'lishi kerak. Dalil shunday ko'rinardi:

• Gipotenuzaning uzunligini teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i uzunligiga nisbati quyidagicha ifodalanishi mumkin. a:b, qayerda a va b eng kichiki sifatida tanlanadi.
• Pifagor teoremasiga ko'ra: a² = 2 b².
• Chunki a² hatto, a juft bo'lishi kerak (chunki toq sonning kvadrati toq bo'lar edi).
• Chunki a:b qaytarilmas b g'alati bo'lishi kerak.
• Chunki a juft, belgilang a = 2y.
• Keyin a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², shuning uchun b demak, teng bo'ladi b hatto.
• Biroq, bu isbotlangan b g'alati. Qarama-qarshilik.

Yunon matematiklari bu nisbatni tengsiz miqdorlar deb atashgan alogos(ta'riflab bo'lmaydigan), ammo afsonalarga ko'ra, Gipasga munosib hurmat ko'rsatilmagan. Rivoyatlarga ko'ra, Gipas dengizda sayohat qilganida kashfiyot qilgan va boshqa Pifagorchilar tomonidan "koinotdagi barcha mavjudotlarni butun sonlar va ularning nisbatlariga qisqartirish mumkinligi haqidagi ta'limotni rad etuvchi koinot elementini yaratish uchun uloqtirgan". " Gipasning kashfiyoti Pifagor matematikasi uchun jiddiy muammo tug'dirdi, bu butun nazariya asosida yotgan raqamlar va geometrik jismlar bir va ajralmas degan taxminni yo'q qildi.

Shuningdek qarang

Eslatmalar

Qanday raqamlar irratsionaldir? irratsional son ratsional haqiqiy son emas, ya'ni. uni kasr sifatida ifodalash mumkin emas (ikkita butun sonning nisbati sifatida), bu erda m butun son, n- natural son. irratsional son cheksiz davriy bo'lmagan sifatida ifodalanishi mumkin kasr.

irratsional son aniq bo'lishi mumkin emas. Faqat 3.333333 formatida. Masalan, ikkitaning kvadrat ildizi - irratsional son.

Irratsional son nima? Irratsional son(ratsionallardan farqli o'laroq) cheksiz o'nli davriy bo'lmagan kasr deyiladi.

Ko'p irratsional sonlar ko'pincha katta lotin harfi bilan soyasiz qalin harf bilan belgilanadi. Bu.:

Bular. irratsional sonlar to'plami - haqiqiy va ratsional sonlar to'plami o'rtasidagi farq.

Irratsional sonlarning xossalari.

• 2 ta manfiy bo'lmagan irratsional sonlar yig'indisi ratsional son bo'lishi mumkin.
• Irratsional sonlar ratsional sonlar to'plamidagi Dedekind bo'limlarini aniqlaydi, ularda mavjud bo'lmagan quyi sinfda. katta raqam, va yuqorida kichikroq yo'q.
• Har bir haqiqiy transsendental son irratsional sondir.
• Hammasi irratsional sonlar algebraik yoki transsendentaldir.
• Irratsional sonlar to'plami hamma joyda raqamlar chizig'ida zich joylashgan: har bir juft son o'rtasida irratsional son mavjud.
• Irratsional sonlar to‘plamidagi tartib haqiqiy transsendental sonlar to‘plamidagi tartib bilan izomorf.
• Irratsional sonlar to'plami cheksiz, 2-toifali to'plamdir.
• Ratsional sonlar ustidagi har bir arifmetik amalning natijasi (0 ga bo'lishdan tashqari) ratsional sondir. Irratsional sonlar ustidagi arifmetik amallarning natijasi ratsional yoki irratsional son bo‘lishi mumkin.
• Ratsional va irratsional sonning yig'indisi har doim irratsional son bo'ladi.
• Irratsional sonlar yig'indisi ratsional son bo'lishi mumkin. Masalan, ruxsat bering x mantiqsiz, keyin y=x*(-1) ham mantiqsiz; x+y=0, va raqam 0 ratsional (agar, masalan, har qanday 7 darajaning ildizini qo'shsak va etti darajaning ildizini ayirib tashlasak, biz 0 ratsional sonini olamiz).

Irratsional sonlar, misollar.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — s — α — e — π — δ

Va ular o'z ildizlarini tortib oldilar Lotin so'zi"nisbat", bu "sabab" degan ma'noni anglatadi. So'zma-so'z tarjimaga asoslanib:

• Ratsional son - bu "oqilona son".
• Irratsional son, mos ravishda, "asossiz raqam".

Ratsional son haqida umumiy tushuncha

Ratsional son - bu quyidagicha yozilishi mumkin bo'lgan raqam:

1. Oddiy musbat kasr.
2. Manfiy oddiy kasr.
3. Raqam sifatida nol (0).

Boshqacha qilib aytganda, quyidagi ta'riflar ratsional songa mos keladi:

• Har qanday natural son tabiatan ratsionaldir, chunki har qanday natural son oddiy kasr sifatida ifodalanishi mumkin.
• Har qanday butun son, shu jumladan nol soni, chunki har qanday butun son ham musbat oddiy kasr, ham manfiy oddiy kasr, ham nol soni sifatida yozilishi mumkin.
• Har qanday oddiy kasr va bu erda ijobiy yoki salbiy bo'lishi muhim emas, shuningdek, ratsional sonning ta'rifiga bevosita yaqinlashadi.
• Shuningdek, ta'rifga kiritilgan aralash raqam, chekli o'nli kasr yoki cheksiz davriy kasr.

Ratsional sonlarga misollar

Ratsional sonlarning misollarini ko'rib chiqing:

• Natural sonlar - "4", "202", "200".
• Butun sonlar - "-36", "0", "42".
• Oddiy kasrlar.

Yuqoridagi misollardan ko'rinib turibdiki ratsional sonlar ham ijobiy, ham manfiy bo'lishi mumkin. Tabiiyki, ratsional son bo'lgan 0 (nol) soni bir vaqtning o'zida ijobiy yoki salbiy sonlar toifasiga kirmaydi.

Shuning uchun eslatib o'tmoqchiman umumiy ta'lim dasturi quyidagi ta'rifdan foydalangan holda: "ratsional sonlar" - x / y kasr sifatida yozilishi mumkin bo'lgan raqamlar, bu erda x (numerator) butun son va y (maxraj) - natural son.

Irratsional son haqida umumiy tushuncha va ta’rif

Biz "ratsional sonlar" bilan bir qatorda "irratsional sonlar" deb ataladigan narsalarni ham bilamiz. Keling, bu raqamlarni qisqacha aniqlashga harakat qilaylik.

Hatto qadimgi matematiklar ham kvadratning yon tomonlari bo'ylab diagonalini hisoblashni xohlab, irratsional sonning mavjudligini bilishgan.
Ratsional sonlarning ta'rifiga asoslanib, siz mantiqiy zanjirni qurishingiz va irratsional sonni belgilashingiz mumkin.
Demak, aslida ratsional bo'lmagan haqiqiy sonlar irratsional sonlardir.
Irratsional sonlarni ifodalovchi o'nlik kasrlar davriy va cheksiz emas.

Irratsional songa misollar

Aniqlik uchun irratsional sonning kichik bir misolini ko'rib chiqing. Biz allaqachon tushunganimizdek, cheksiz o'nli davriy bo'lmagan kasrlar irratsional deb ataladi, masalan:

• Raqam "-5.020020002 ... (ikkitasi bir, ikki, uch va hokazo nollar ketma-ketligi bilan ajratilganligi aniq ko'rinib turibdi)
• Raqam "7.040044000444 ... (bu erda to'rtlar soni va nol soni zanjirda har safar bittaga ko'payishi aniq).
• Hamma ma'lum raqam Pi (3,1415…). Ha, ha - bu ham mantiqsiz.

Umuman olganda, barcha haqiqiy sonlar ham ratsional, ham irratsionaldir. gapirish oddiy so'zlar bilan, irratsional sonni oddiy kasr x / y sifatida ifodalash mumkin emas.

Umumiy xulosa va raqamlar orasidagi qisqacha taqqoslash

Biz har bir raqamni alohida ko'rib chiqdik, ratsional son va irratsional son o'rtasidagi farq qoladi:

1. Irratsional son kvadrat ildizni olishda, aylanani diametrga bo'lishda va hokazo.
2. Ratsional son oddiy kasrni ifodalaydi.

Maqolamizni bir nechta ta'riflar bilan yakunlaymiz:

• 0 ga (nolga) bo'lishdan tashqari ratsional son ustida bajariladigan arifmetik amal yakuniy natija ratsional songa ham olib keladi.
• Irratsional sonda arifmetik amalni bajarishda yakuniy natija ham ratsional, ham irratsional qiymatga olib kelishi mumkin.
• Agar ikkala raqam ham arifmetik amalda ishtirok etsa (bo'lish yoki nolga ko'paytirishdan tashqari), natija bizga irratsional sonni beradi.

Irratsional sonni cheksiz davriy bo'lmagan kasr sifatida ifodalash mumkin. Irratsional sonlar to'plami $I$ bilan belgilanadi va u quyidagilarga teng: $I=R / Q$ .

Masalan. Irratsional sonlar:

Irratsional sonlar ustida amallar

Irratsional sonlar to‘plamida to‘rtta asosiy arifmetik amalni kiritish mumkin: qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish; lekin sanab o'tilgan amallarning hech biri uchun irratsional sonlar to'plami yopilish xususiyatiga ega emas. Masalan, ikkita irratsional sonning yig'indisi ratsional son bo'lishi mumkin.

Masalan. $0,1010010001 \ldots$ va $0,0101101110 \ldots$ ikkita irratsional sonning yig'indisini toping. Bu raqamlarning birinchisi mos ravishda bir nol, ikkita nol, uchta nol va boshqalar bilan ajratilgan birliklar ketma-ketligi bilan hosil bo'ladi, ikkinchisi - nollar ketma-ketligi bilan, ular orasida bitta, ikkita bir, uchta bir va hokazo. joylashtiriladi:

$0,1010010001 \ldots+0,0101101110 \ldots=0,111111=0,(1)=\frac(1)(9)$$

Shunday qilib, berilgan ikkita irratsional sonning yig'indisi $\frac(1)(9)$ soni bo'lib, ratsionaldir.

Misol

Mashq qilish.$\sqrt(3)$ soni irratsional ekanligini isbotlang.

Isbot. Qarama-qarshilik bilan isbotlash usulidan foydalanamiz. Faraz qilaylik, $\sqrt(3)$ ratsional son, ya'ni uni $\sqrt(3)=\frac(m)(n)$ kasr shaklida ifodalash mumkin, bu erda $m$ va $n$ natural sonlarni ko‘paytirish.

Tenglikning ikkala tomonini kvadratga aylantiramiz, olamiz

$$3=\frac(m^(2))(n^(2)) \Chap oʻq 3 \cdot n^(2)=m^(2)$$

3$\cdot n^(2)$ soni 3 ga bo'linadi. Shuning uchun $m^(2)$ va demak, $m$ 3 ga bo'linadi. $m=3 \cdot k$ qo'ysak, $3 \cdot tengligi n^ (2)=m^(2)$ shaklida yozish mumkin

$$3 \cdot n^(2)=(3 \cdot k)^(2) \Chapga oʻq 3 \cdot n^(2)=9 \cdot k^(2) \Chap oʻq n^(2)=3 \cdot k^(2)$$

Oxirgi tenglikdan kelib chiqadiki, $n^(2)$ va $n$ 3 ga boʻlinadi, shuning uchun $\frac(m)(n)$ kasri 3 ga kamayishi mumkin. Ammo taxminga koʻra $\ kasr. frac(m)( n)$ kamaytirilmaydi. Olingan qarama-qarshilik $\sqrt(3)$ sonini $\frac(m)(n)$ kasr sifatida ifodalash mumkin emasligini va shuning uchun irratsional ekanligini isbotlaydi.

Q.E.D.

va p

Shunday qilib, irratsional sonlar to'plami farqdir I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \teskari chiziq \mathbb (Q) ) haqiqiy va ratsional sonlar to‘plami.

Irratsional sonlar, aniqrog'i uzunlik birligi segmenti bilan taqqoslanmaydigan segmentlar mavjudligi qadimgi matematiklarga allaqachon ma'lum bo'lgan: ular, masalan, irratsionallikka ekvivalent bo'lgan kvadratning diagonali va tomonining nomutanosibligini bilishgan. raqamdan 2 (\displaystyle (\sqrt (2))).

Xususiyatlari

• Ikki musbat irratsional sonlar yig‘indisi ratsional son bo‘lishi mumkin.
• Irratsional sonlar ratsional sonlar to‘plamidagi Dedekind kesmalarini belgilaydi, ularning pastki sinfda eng katta soni va yuqori sinfda eng kichik soni yo‘q.
• Irratsional sonlar to'plami hamma joyda haqiqiy chiziqda zich joylashgan: har qanday ikki xil son o'rtasida irratsional son mavjud.
• Irratsional sonlar to‘plamidagi tartib haqiqiy transsendental sonlar to‘plamidagi tartib bilan izomorf. [ ]

Algebraik va transsendental sonlar

Har bir irratsional son algebraik yoki transsendentaldir. Algebraik sonlar to'plami sanaladigan to'plamdir. Haqiqiy sonlar to'plami sanoqsiz bo'lgani uchun, irratsional sonlar to'plami ham sanab bo'lmaydi.

Irratsional sonlar to'plami ikkinchi toifadagi to'plamdir.

Keling, taxmin qilingan tenglikni kvadratga aylantiramiz:

Hikoya

Antik davr

Irratsional sonlar tushunchasi hind matematiklari tomonidan miloddan avvalgi 7-asrda, Manava (taxminan miloddan avvalgi 750-690 yillar) 2 va 61 kabi baʼzi natural sonlarning kvadrat ildizlarini aniq ifodalab boʻlmasligini aniqlaganida soʻzsiz qabul qilingan [ ] .

Irratsional sonlar mavjudligining birinchi isboti, toʻgʻrirogʻi, oʻlchovsiz boʻlaklar borligi odatda Metapontusdagi Pifagor Gipasi (miloddan avvalgi 470-yillar) bilan bogʻliq. Pifagorchilar davrida, etarlicha kichik va bo'linmaydigan yagona uzunlik birligi borligiga ishonishgan, bu har qanday segmentga kiritilgan butun sondir. ] .

Qaysi raqamning mantiqsizligini Gipasus isbotlaganligi haqida aniq ma'lumotlar yo'q. Afsonaga ko'ra, u pentagramning tomonlarini uzunliklarini o'rganayotganda topdi. Shuning uchun, bu oltin nisbat edi, deb taxmin qilish o'rinli, chunki bu oddiy beshburchakda diagonalning yon tomonga nisbati.

Yunon matematiklari bu nisbatni tengsiz miqdorlar deb atashgan alogos(ta'riflab bo'lmaydigan), ammo afsonalarga ko'ra, Gipasga munosib hurmat ko'rsatilmagan. Rivoyatlarga ko'ra, Gipas dengizda sayohat qilganida kashfiyot qilgan va boshqa Pifagorchilar tomonidan "koinotdagi barcha mavjudotlarni butun sonlar va ularning nisbatlariga qisqartirish mumkinligi haqidagi ta'limotni inkor etuvchi koinot elementini yaratish uchun uloqtirgan". " Gipasning kashfiyoti Pifagor matematikasi uchun jiddiy muammo tug‘dirib, raqamlar va geometrik jismlar bir va bir-biridan ajralmas degan butun nazariya asosidagi taxminni yo‘qqa chiqardi.

Keyinchalik Knidlik Evdoks (miloddan avvalgi 410 yoki 408 yillar - miloddan avvalgi 355 yoki 347 yillar) ham ratsional, ham irratsional munosabatlarni hisobga oladigan nisbatlar nazariyasini ishlab chiqdi. Bu irratsional sonlarning asosiy mohiyatini tushunish uchun asos bo'lib xizmat qildi. Qiymat raqam sifatida emas, balki chiziq segmentlari, burchaklar, maydonlar, hajmlar, vaqt oraliqlari kabi ob'ektlarning belgisi sifatida ko'rib chiqila boshlandi - doimiy ravishda o'zgarishi mumkin bo'lgan ob'ektlar (so'zning zamonaviy ma'nosida). Qiymatlar faqat bir raqamdan ikkinchisiga "sakrash" orqali o'zgarishi mumkin bo'lgan raqamlarga qarama-qarshi edi, masalan, 4 dan 5 gacha. Raqamlar eng kichik bo'linmas qiymatdan iborat bo'lib, miqdorlarni cheksiz ravishda kamaytirish mumkin.

Hech qanday miqdoriy qiymat kattalik bilan solishtirilmaganligi sababli, Evdoks kasrni ikki miqdorning nisbati va mutanosiblikni ikki kasrning tengligi sifatida belgilash orqali o'lchovli va o'lchovsiz kattaliklarni qamrab oldi. Tenglamalardan miqdoriy qiymatlarni (raqamlarni) olib tashlash orqali u irratsional miqdorni raqam deb atash tuzog'idan qochdi. Evdoks nazariyasi yunon matematiklariga geometriyada aql bovar qilmaydigan yutuqlarga erishishga imkon berdi va ularga tengsiz miqdorlar bilan ishlash uchun zarur mantiqiy asoslar berdi. Evklidning "Boshlanishlar" ning o'ninchi kitobi irratsional miqdorlarni tasniflashga bag'ishlangan.

O'rta asrlar

Oʻrta asrlar avval hind, soʻngra xitoy matematiklari tomonidan nol, manfiy sonlar, butun va kasr sonlar kabi tushunchalarning qabul qilinishi bilan belgilandi. Keyinchalik arab matematiklari qo'shildi, ular birinchi bo'lib manfiy sonlarni algebraik ob'ektlar sifatida (musbat sonlar bilan teng huquqlar bilan birga) ko'rib chiqdilar, bu endi algebra deb ataladigan fanning rivojlanishiga imkon berdi.

Arab matematiklari qadimgi yunoncha "son" va "qiymat" tushunchalarini haqiqiy sonlar haqidagi yagona, umumiyroq g'oyaga birlashtirgan. Ular Evklidning munosabatlar haqidagi g'oyalariga tanqidiy munosabatda bo'ldilar, undan farqli o'laroq, ular ixtiyoriy miqdorlar munosabatlari nazariyasini ishlab chiqdilar va son tushunchasini munosabatlarga kengaytirdilar. doimiy miqdorlar. Fors matematigi Al Mahani (milodiy 800 y.) Evklidning 10-kitobiga yozgan sharhlarida kvadratik irratsional sonlar (shakl raqamlari) va umumiyroq kubik irratsional sonlarni oʻrganib, tasniflagan. U ratsional va irratsional miqdorlarga ta’rif berib, ularni irratsional sonlar deb atagan. U bu ob'ektlarni osonlik bilan ishladi, lekin u alohida ob'ektlar sifatida mulohaza yuritdi, masalan:

Evklidning kattaliklar birinchi navbatda chiziq boʻlaklari degan tushunchasidan farqli oʻlaroq, Al Mahani butun son va kasrlarni ratsional miqdorlar, kvadrat va kub ildizlarni esa irratsional miqdor deb hisoblagan. Shuningdek, u irratsional sonlar to'plamiga arifmetik yondashuvni kiritdi, chunki u quyidagi miqdorlarning irratsionalligini ko'rsatdi:

Misrlik matematik Abu Komil (taxminan milodiy 850 - milodiy 930 y.) birinchi boʻlib irratsional sonlarni yechim sifatida qabul qilishni maqbul deb topdi. kvadrat tenglamalar yoki tenglamalardagi koeffitsientlar - asosan kvadrat yoki kub ildizlar, shuningdek, to'rtinchi ildizlar shaklida. 10-asrda Iroq matematigi Al Hoshimiy koʻpaytmaning irratsionalligi, boʻlinmasi va irratsional va ratsional sonlarning boshqa matematik oʻzgarishlari natijalarining umumiy dalillarini (vizual geometrik namoyishlar oʻrniga) keltirdi. Al Xazin (milodiy 900 - 971) ratsional va irratsional miqdorga quyidagi ta'rifni beradi:

Bu g‘oyalarning ko‘pchiligi keyinchalik 12-asrda arab matnlari lotin tiliga tarjima qilingandan keyin yevropalik matematiklar tomonidan qabul qilingan. Mag‘riblik arab matematigi, islomiy meros qonunlari bo‘yicha ixtisoslashgan Al Hassar XII asrda kasrlar uchun zamonaviy ramziy matematik yozuvni kiritib, hisob va maxrajni gorizontal chiziq bilan ajratgan. Xuddi shu belgi XIII asrda Fibonachchi asarlarida paydo bo'lgan. XIV-XVI asrlarda. Sangamagramalik Madhava va Kerala astronomiya va matematika maktabi vakillari ba'zi irratsional sonlarga, masalan, p ga yaqinlashuvchi cheksiz qatorlarni o'rganib chiqdilar, shuningdek, ba'zilarining irratsionalligini ko'rsatdilar. trigonometrik funktsiyalar. Jestadeva bu natijalarni "Yuktibhaza" kitobida ma'lum qildi. (transsendental sonlar mavjudligini isbotlash bilan birga), shu bilan Evklidning irratsional sonlarni tasniflash bo'yicha ishini qayta ko'rib chiqish. Ushbu mavzu bo'yicha asarlar 1872 yilda nashr etilgan

Irratsional sonlar bilan chambarchas bog'liq bo'lgan davomli kasrlar (ma'lum sonni ifodalovchi davomli kasr, agar son irratsional bo'lsa, cheksiz bo'ladi) birinchi marta Kataldi tomonidan 1613 yilda o'rganilgan, keyin yana Eyler ishida e'tiborni tortgan va yilda. XIX boshi asr - Lagrange asarlarida. Dirixlet ham davomli kasrlar nazariyasining rivojlanishiga katta hissa qo‘shdi. 1761 yilda Lambert davomli kasrlardan foydalanishni ko'rsatdi p (\displaystyle \pi) ratsional son emas, shuningdek, bu e x (\displaystyle e^(x)) va tg ⁡ x (\displaystyle \operator nomi (tg) x) har qanday nolga teng ratsional uchun irratsionaldir x (\displaystyle x). Lambertning isbotini to'liq emas deb atash mumkin bo'lsa-da, u odatda juda qattiq deb hisoblanadi, ayniqsa yozilgan vaqtni hisobga olgan holda. Legendre 1794 yilda Bessel-Klifford funktsiyasini kiritgandan so'ng, buni ko'rsatdi. p 2 (\displaystyle \pi ^(2)) mantiqsiz, irratsionallik qayerdan p (\displaystyle \pi) arzimas tarzda ergashadi (kvadratli ratsional son ratsional sonni beradi).

Transsendental sonlarning mavjudligini 1844-1851 yillarda Liouvil isbotlagan. Keyinchalik Georg Kantor (1873) ularning mavjudligini boshqa usul yordamida ko'rsatdi va haqiqiy qatorning istalgan oralig'ida cheksiz ko'p transsendental sonlar mavjudligini isbotladi. Charlz Ermit 1873 yilda buni isbotladi e transsendent va 1882 yilda Ferdinand Lindemann bu natijaga asoslanib, transsendensiyani ko'rsatdi. p (\displaystyle \pi) Adabiyot