Başvuru sahipleri dikkat! Sınavın çeşitli görevleri burada analiz edilir. Gerisi, daha ilginç olanları ücretsiz video materyalimizde. İzle ve harekete geç!

Basit problemler ve olasılık teorisinin temel kavramları ile başlayacağız.
Rastgele Bir olay, önceden doğru olarak tahmin edilemeyen bir olay olarak adlandırılır. Olabilir veya olmayabilir.
Piyangoyu kazandınız - rastgele bir olay. Arkadaşlarını galibiyeti kutlamaya davet ettin ve sana giderken asansörde kaldılar - yine rastgele bir olay. Doğru, usta yakındaydı ve tüm şirketi on dakika içinde serbest bıraktı - ve bu da mutlu bir kaza olarak kabul edilebilir ...

hayatımız dolu rastgele olaylar. Her birinin bazılarıyla gerçekleştiği söylenebilir. olasılık. Büyük olasılıkla, bu konsepte sezgisel olarak aşinasınız. Şimdi olasılığın matematiksel bir tanımını vereceğiz.

En basit örnekle başlayalım. Bir bozuk para atıyorsunuz. Yazı tura?

Birkaç sonuçtan birine yol açabilen böyle bir eylem, olasılık teorisi olarak adlandırılır. Ölçek.

Yazı tura - iki olası göç testler.

Kartal, olası iki vakadan birinde düşecek. öyle diyorlar olasılık madeni paranın tura geldiğine eşittir.

Bir zar atalım. Zarfın altı yüzü vardır, yani altı olası sonuç vardır.

Örneğin, üç noktanın düşeceğini tahmin ettiniz. Bu, olası altı sonuçtan biridir. Olasılık teorisinde, denir olumlu sonuç.

Üçlü alma olasılığı (mümkün olan altı sonuçtan biri olumlu).

Dört olma olasılığı da

Ancak yedinin ortaya çıkma olasılığı sıfırdır. Sonuçta, küpte yedi noktalı bir yüz yok.

Bir olayın olasılığı, olumlu sonuçların sayısının toplam sonuç sayısına oranına eşittir.

Açıkçası, olasılık birden büyük olamaz.

İşte başka bir örnek. Bir torba elmanın içinde kırmızı, geri kalanı yeşildir. Elmalar şekil veya boyut olarak farklılık göstermez. Elinizi çantaya atıyorsunuz ve rastgele bir elma çıkarıyorsunuz. Kırmızı bir elma çizme olasılığı , yeşil olan ise .

Kırmızı veya yeşil elma gelme olasılığı .

Sınava hazırlanmak için koleksiyonlarda yer alan olasılık teorisindeki sorunları analiz edelim.

. taksi şirketinde şu anücretsiz arabalar: kırmızı, sarı ve yeşil. Bir aramada, müşteriye en yakın olan arabalardan biri ayrıldı. Sarı bir taksinin gelme olasılığını bulun.

Toplamda araba var yani on beşte biri müşteriye gelecek. Dokuz tane sarı var, yani sarı bir arabanın gelme olasılığı , yani .

. (Demo versiyonu) Tüm biletlerin biyolojisine ilişkin bilet koleksiyonunda, ikisinde mantarlarla ilgili bir soru var. Sınavda öğrenciye rastgele seçilmiş bir bilet verilir. Bu biletin mantarlarla ilgili soruyu içermeme olasılığını bulun.

Açıkçası, mantarları sormadan bir bilet çekme olasılığı, yani.

. Ebeveyn komitesi sonunda çocuklar için hediyeler için yapbozlar satın aldı okul yılı, resimlerle birlikte ünlü sanatçılar ve hayvan resimleri. Hediyeler rastgele dağıtılır. Vovochka'nın hayvan bulmacasını elde etme olasılığını bulun.

Görev benzer şekilde çözülür.

Cevap: .

. Sporcular jimnastik şampiyonasına katılırlar: Rusya'dan, ABD'den, geri kalanı - Çin'den. Jimnastikçilerin performans sırası kura ile belirlenir. Yarışacak son sporcunun Çin'den olma olasılığını bulun.

Tüm sporcuların aynı anda şapkaya yaklaştığını ve üzerinde sayıların olduğu kağıt parçalarını çıkardığını düşünelim. Bazıları yirminci sayıyı alacak. Çinli bir sporcunun onu çekme olasılığı eşittir (çünkü sporcular Çin'dendir). Cevap: .

. Öğrenciden ile arasında bir sayı söylemesi istendi. Beşin katı olan bir sayı adlandırma olasılığı nedir?

her beşte bir verilen kümeden bir sayı ile bölünebilir. Yani olasılık.

Bir zar atılır. Tek sayıda puan alma olasılığını bulun.

Tek sayılar; - Bile. Tek sayıda nokta olasılığı.

Cevap: .

. Madeni para üç kez havaya atılıyor. İki tura ve bir tura gelme olasılığı nedir?

Sorunun farklı formüle edilebileceğine dikkat edin: aynı anda üç madeni para atılıyor. Kararı etkilemez.

Sizce kaç olası sonuç var?

Bir bozuk para atıyoruz. Bu eylemin iki olası sonucu vardır: yazı ve tura

İki jeton - zaten dört sonuç:

Üç jeton mu? Bu doğru, sonuçlar, çünkü .

Sekizde üç kez iki kafa ve bir kuyruk geliyor.

Cevap: .

. Rastgele bir deneyde iki zar atılıyor. Toplamın puan düşürme olasılığını bulun. Sonucu en yakın yüzlüğe yuvarlayın.

İlk kalıbı atın - altı sonuç. Ve her biri için altı tane daha mümkündür - ikinci kalıbı attığımızda.

anladık bu hareket- iki zar atmak - beri olası sonuçların toplam sayısı.

Ve şimdi iyi haber için:

Sekiz puan alma olasılığı .

>. Atıcı, hedefi olasılıkla vurur. Hedefi arka arkaya dört kez vurma olasılığını bulun.

Vurma olasılığı eşitse, kaçırma olasılığı . Önceki problemde olduğu gibi tartışıyoruz. Arka arkaya iki isabet olasılığı . Ve arka arkaya dört isabet olasılığı eşittir.

Olasılık: kaba kuvvet mantığı.

İşte birçok kişiye zor görünen teşhis çalışmasından bir görev.

Petya'nın cebinde ruble paralar ve ruble paralar vardı. Petya bakmadan başka bir cebe biraz bozuk para koydu. Beş ruble paranın şimdi farklı ceplerde olma olasılığını bulun.

Bir olayın olasılığının, olumlu sonuçların sayısının toplam sonuç sayısına oranına eşit olduğunu biliyoruz. Ancak tüm bu sonuçlar nasıl hesaplanır?

Elbette, beş rublelik madeni parayı sayılarla ve on rublelik madeni parayı sayılarla gösterebilir ve ardından kümeden üç öğeyi kaç farklı şekilde seçebileceğinizi hesaplayabilirsiniz.

Ancak daha kolay bir çözüm var:

Madeni paraları sayılarla kodluyoruz:, (bunlar beş ruble), (bunlar on ruble). Şimdi problemin durumu şu şekilde formüle edilebilir:

ile arasında numaralandırılmış altı fiş vardır. Sayıları olan çipler bir araya gelmesin diye iki cebe kaç farklı şekilde eşit olarak dağıtılabilir?

İlk cebimizde olanları yazalım.

Bunu yapmak için setten olası tüm kombinasyonları oluşturacağız. Üç çipten oluşan bir set, üç basamaklı bir sayı olacaktır. Koşullarımız altında ve aynı jeton kümesi olduğu açıktır. Hiçbir şeyi kaçırmamak ve tekrar etmemek için karşılık gelen üç basamaklı sayıları artan sırada düzenleriz:

Herşey! ile başlayan tüm olası kombinasyonları denedik. Devam ediyoruz:

toplam olası sonuçlar.

Bir şartımız var - sayıları olan çipler ve birlikte olmamalıdır. Bu, örneğin, kombinasyonun bize uymadığı anlamına gelir - bu, fişlerin ve her ikisinin de birinci cepte değil, ikinci cepte olduğu anlamına gelir. Bizim için olumlu sonuçlar ya sadece ya da sadece olanlardır. İşte buradalar:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 - toplam olumlu sonuçlar.

O zaman gerekli olasılık .

Matematikte sınavda sizi hangi görevler bekliyor?

Olasılık teorisindeki en zor problemlerden birini analiz edelim.

"Dilbilim" uzmanlığı enstitüsüne girmek için, başvuru sahibi Z., matematik, Rusça ve yabancı dil olmak üzere üç konunun her birinde Birleşik Devlet Sınavında en az 70 puan almalıdır. "Ticaret" uzmanlığına kaydolmak için, matematik, Rus dili ve sosyal bilgiler olmak üzere üç konunun her birinde en az 70 puan almanız gerekir.

Başvuru sahibi Z.'nin matematikte en az 70 puan alma olasılığı Rus dilinde 0.6 - 0.8, yabancı Dil- 0.7 ve sosyal bilgilerde - 0.5.
Z.'nin bahsedilen iki uzmanlıktan en az birine girebilme olasılığını bulun.

Sorunun, Z. adlı bir başvuru sahibinin aynı anda hem dilbilim hem de ticaret okuyup iki diploma alıp almayacağını sormadığını unutmayın. Burada, Z.'nin bu iki uzmanlıktan en az birine girebilme olasılığını bulmamız gerekiyor - yani, gerekli sayıda puanı alacak.
Z.'nin iki uzmanlık alanından en az birine girebilmesi için matematikten en az 70 puan alması gerekir. Ve Rusça. Ve yine de - sosyal bilimler veya yabancı.
Onun için matematikte 70 puan alma olasılığı 0.6'dır.
Matematikte ve Rusçada puan alma olasılığı 0,6 0,8'dir.

Yabancı ve sosyal bilgilerle ilgilenelim. Başvuru sahibi sosyal bilgilerde, yabancı dilde veya her ikisinde de puan aldığında seçenekler bizim için uygundur. Seçenek, dilde veya “toplumda” puan almadığında uygun değildir. Bu, sosyal bilgilerden veya bir yabancıdan en az 70 puan geçme olasılığının şuna eşit olduğu anlamına gelir.
1 – 0,5 0,3.
Sonuç olarak, matematik, Rusça ve sosyal bilgiler veya yabancı birinden geçme olasılığı eşittir
0,6 0,8 (1 - 0,5 0,3) = 0,408. Cevap bu.

Tula şehrinin eğitim kurumunun matematik öğretmenleri için “Matematikte KULLANIM görevlerini bölümlerden çözme: kombinatorik, olasılık teorisi” konulu bir atölye çalışması planlayın. Öğretme teknikleri"

zaman harcama: 12 00 ; 15 00

Konum: MBOU "Lise No. 1", oda. 8 numara

BEN. Olasılık için problem çözme

1. Olasılığın klasik tanımıyla ilgili problemleri çözme

Biz öğretmenler olarak, olasılık teorisindeki KULLANIM'daki ana görev türlerinin olasılığın klasik tanımına dayandığını zaten biliyoruz. Bir olayın olasılığı denilen şeyi hatırlıyor musunuz?

Bir olayın olasılığı belirli bir olay lehine sonuç sayısının toplam sonuç sayısına oranıdır.

Matematik öğretmenlerinin bilimsel ve metodolojik derneğimizde, olasılık problemlerini çözmek için genel bir şema geliştirilmiştir. dikkatinize sunmak isterim. Bu arada, iş tecrübemizi paylaştık ve sorunların çözümüne ilişkin ortak bir tartışma için dikkatinize verdiğimiz materyallerde bu şemayı verdik. Ancak seslendirmek istiyorum.

Bize göre, bu şema her şeyi hızlı bir şekilde mantıklı bir şekilde raflara koymaya yardımcı olur ve bundan sonra görev hem öğretmen hem de öğrenciler için çok daha kolay çözülebilir.

Bu nedenle, aşağıdaki içeriğin sorununu ayrıntılı olarak analiz etmek istiyorum.

Böyle bir çözümün nasıl iletileceğinin metodolojisini açıklamak için sizinle konuşmak istedim, bu sırada adamlar bu tipik görevi anlayacaklar ve daha sonra bu görevleri kendileri anlayacaklardı.

Bu problemde rastgele deney nedir? Şimdi bu deneydeki temel olayı izole etmemiz gerekiyor. Bu temel olay nedir? Onları listeleyelim.

Sorular sorun mu?

Sevgili meslektaşlarım, siz de zarla ilgili olasılık problemlerini açıkça düşündünüz. Sanırım onu ​​sökmemiz gerekiyor, çünkü bazı nüanslar var. Bu sorunu size önerdiğimiz şemaya göre analiz edelim. Küpün her yüzünde 1'den 6'ya kadar bir sayı olduğundan, temel olaylar 1, 2, 3, 4, 5, 6 sayılarıdır. temel olaylar olay lehine. Sadece iki olay bu olayı destekliyor - 5 ve 6 (çünkü 5 ve 6 puanın düşmesi şartından çıkıyor).

Tüm temel olayların eşit derecede mümkün olduğunu açıklayın. Görevdeki sorular ne olacak?

Madeni paranın simetrik olduğunu nasıl anlıyorsunuz? Şunu açıklığa kavuşturalım, bazen bazı ifadeler yanlış anlamalara neden olur. Bu sorunu kavramsal olarak anlayalım. Temel sonuçların ne olabileceği açıklanan bu deneyde sizinle ilgilenelim. Kafanın nerede olduğunu, kuyruğun nerede olduğunu hayal edebiliyor musunuz? Düşüş seçenekleri nelerdir? Başka olaylar var mı? Toplam olay sayısı nedir? Probleme göre kafaların tam olarak bir kez düştüğü biliniyor. Yani bu olaybu dört OR ve RO lehine temel olaylar, bu zaten iki kez olamaz. Bir olayın olasılığının bulunduğu formülü kullanırız. Bölüm B'deki yanıtların bir tamsayı veya ondalık olması gerektiğini hatırlayın.

İnteraktif beyaz tahtada gösterin. Görevi okuduk. Bu deneyimdeki temel sonuç nedir? Çiftin sıralı olduğunu netleştirin - yani sayı ilk kalıba ve ikinci kalıba düştü. Herhangi bir görevde, seçmeniz gereken zamanlar vardır. rasyonel yöntemler, çözümü tablolar, diyagramlar vb. şeklinde oluşturur ve sunar. Bu problemde böyle bir tablo kullanmak uygundur. Size hazır bir çözüm veriyorum, ancak çözüm sırasında bu problemde çözümü bir tablo şeklinde kullanmanın mantıklı olduğu ortaya çıkıyor. Tablonun ne anlama geldiğini açıklayın. Sütunların neden 1, 2, 3, 4, 5, 6 dediğini anlıyorsunuz.

Bir kare çizelim. Çizgiler, ilk rulonun sonuçlarına karşılık gelir - altı tane vardır, çünkü kalıbın altı yüzü vardır. Sütunlar gibi. Her hücrede bırakılan noktaların toplamını yazıyoruz. Tamamlanmış tabloyu gösterin. Toplamın sekize eşit olduğu hücreleri renklendirelim (koşulda gerektiği gibi).

Bir sonraki sorunun, öncekileri analiz ettikten sonra, kendi başlarına çözmeleri için çocuklara verilebileceğine inanıyorum.

Aşağıdaki problemlerde, tüm temel sonuçları yazmaya gerek yoktur. Sadece sayılarını saymak yeterlidir.

(Çözümsüz) Bu sorunu kendi başlarına çözmeleri için adamlara verdim. Problemi çözmek için algoritma

1. Rastgele deneyin ve rastgele olayın ne olduğunu belirleyin.

2. Temel olayların toplam sayısını bulun.

3. Problemin koşulunda belirtilen olay lehine olay sayısını buluruz.

4. Formülü kullanarak bir olayın olasılığını bulun.

Öğrencilere bir soru sorulabilir, 1000 adet pil satışa çıkarsa ve bunlardan 6 tanesi arızalı ise seçilen pil şu şekilde belirlenir. Bizim görevimizde ne var? Daha sonra, burada sayı olarak ne kullanıldığını bulmakla ilgili bir soru soruyorum.ve onu bulmayı öneriyorumsayı. O zaman soruyorum, buradaki olay nedir? Kaç akümülatör olayın tamamlanmasını destekliyor? Ardından, formülü kullanarak bu olasılığı hesaplıyoruz.

Burada çocuklara ikinci bir çözüm sunulabilir. Bu yöntemin ne olabileceğini tartışalım mı?

1. Şimdi hangi olay düşünülebilir?

2. Belirli bir olayın olasılığı nasıl bulunur?

Çocuklara bu formüller anlatılmalıdır. onlar sıradaki

Sekizinci görev, altıncı göreve benzer olduğu için çocuklara kendi başlarına sunulabilir. olarak onlara sunulabilir. bağımsız iş veya tahtadaki bir kartta.

Bu sorun, şu anda gerçekleşen Olimpiyat ile ilgili olarak çözülebilir. Görevlere farklı etkinliklerin katılmasına rağmen, görevler tipiktir.

2. Olasılıkları hesaplamak için en basit kurallar ve formüller (zıt olaylar, olayların toplamı, olayların çarpımı)

Bu görevden Koleksiyonu KULLAN. Çözümü tahtaya koyduk. Bu problemi analiz etmek için öğrencilerin önüne hangi soruları koymalıyız?

1. Kaç makineli tüfek vardı? Bir kez iki otomat, o zaman zaten iki olay var. Çocuklara olayın ne olacağını soruyorum.? İkinci etkinlik ne olacak?

2. olayın olasılığıdır. Koşulda verildiği için hesaplamamıza gerek yoktur. Problemin durumuna göre "her iki makinede de kahve bitmesi" olasılığı 0.12'dir. Bir A olayı vardı, bir B olayı vardı. Ve yeni bir olay mı ortaya çıkıyor? Çocuklara şu soruyu soruyorum - ne? Bu, her iki otomatta da kahve bittiğinde bir olaydır. Bu durumda, olasılık teorisinde bu, A ve B iki olayının kesişimi olarak adlandırılan ve bu şekilde gösterilen yeni bir olaydır.

Olasılık toplama formülünü kullanalım. Formül aşağıdaki gibidir

Referans materyalinde size veriyoruz ve adamlar bu formülü verebilir. Olayların toplamının olasılığını bulmanızı sağlar. Olasılığı formülle bulunan zıt olayın olasılığı soruldu.

Problem 13, olasılığını bulma formülü Ek'te verilen olayların bir ürünü kavramını kullanır.

3. Ağacın kullanımı için görevler seçenekler

Problemin durumuna göre bir diyagram çizmek ve belirtilen olasılıkları bulmak kolaydır.

Bu tür problemlerin çözümünü öğrencilerle hangi teorik materyalin yardımıyla analiz ettiniz? Bu tür problemleri çözmek için bir olasılık ağacı mı kullandınız yoksa başka yöntemler mi kullandınız? Grafik kavramını verdiniz mi? Beşinci veya altıncı sınıfta, erkeklerin analizi grafik kavramını veren bu tür problemler var.

Size sormak istiyorum, siz ve öğrencileriniz olasılık problemlerini çözerken bir olasılık ağacı kullanmayı düşündünüz mü? Gerçek şu ki, sadece USE'nin bu tür görevleri değil, aynı zamanda şimdi çözeceğimiz karmaşık görevler de ortaya çıktı.

Bu tür sorunları çözmek için metodolojiyi sizinle tartışalım - erkeklere açıkladığım gibi metodolojimle örtüşüyorsa, o zaman sizinle çalışmak benim için daha kolay olacak, değilse, bu problemle başa çıkmanıza yardımcı olacağım.

Olayları tartışalım. 17. problemdeki hangi olaylar tanımlanabilir?

Bir düzlemde bir ağaç inşa ederken, ağacın kökü olarak adlandırılan bir nokta belirlenir. Sonra olayları düşünmeye başlıyoruzve. Bir segment oluşturacağız (olasılık teorisinde buna dal denir). Şartlara göre bu markanın cep telefonlarının %30'unu ilk fabrika üretiyor (ne? Onların ürettikleri) diyor yani şu anda öğrencilere soruyorum ilk fabrikanın bu markanın telefonlarını üretme olasılığı nedir? marka, ürettikleri? Olay, telefonun ilk fabrikada piyasaya sürülmesi olduğu için bu olayın olma olasılığı %30 veya 0,3'tür. Kalan telefonlar ikinci fabrikada üretiliyor - ikinci segmenti kuruyoruz ve bu olayın olma olasılığı 0,7.

Öğrencilere şu soru sorulur: İlk fabrikada ne tür telefon üretilebilir? Kusurlu veya hatasız. İlk fabrikanın ürettiği telefonun arızalı olma olasılığı nedir? Duruma göre 0,01'e eşit olduğu söylenir. Soru: İlk fabrikanın ürettiği telefonun arızalı olmama olasılığı nedir? Bu olay verilen olayın tersi olduğu için olasılığı eşittir.

Telefonun arızalı olma olasılığının bulunması gerekmektedir. İlk fabrikadan olabilir veya ikinci fabrikadan olabilir. Sonra olasılıkları toplamak için formülü kullanırız ve tüm olasılığın telefonun ilk fabrikadan arızalı ve telefonun ikinci fabrikadan arızalı olma olasılıklarının toplamı olduğunu elde ederiz. Telefonun arızalı olup ilk fabrikada üretilmiş olma olasılığı ekte verilen olasılıklar çarpımı formülü ile bulunur.

4. Olasılık için USE bankasından en zor görevlerden biri

Örneğin, FIPI Görev Bankasından No. 320199'u analiz edelim. Bu, B6'daki en zor görevlerden biridir.

"Dilbilim" uzmanlığı enstitüsüne girmek için, başvuru sahibi Z., matematik, Rusça ve yabancı dil olmak üzere üç konunun her birinde Birleşik Devlet Sınavında en az 70 puan almalıdır. "Ticaret" uzmanlığına girmek için, matematik, Rus dili ve sosyal bilgiler olmak üzere üç konunun her birinde en az 70 puan almanız gerekir.

Z. adayının matematikte en az 70 puan alma olasılığı 0,6, Rusça - 0,8, yabancı dilde - 0,7 ve sosyal bilgilerde - 0,5'tir.

Z.'nin bahsedilen iki uzmanlıktan en az birine girebilme olasılığını bulun.

Sorunun, Z. adlı bir başvuru sahibinin aynı anda hem dilbilim hem de ticaret okuyup iki diploma alıp almayacağını sormadığını unutmayın. Burada, Z.'nin bu iki uzmanlıktan en az birine girebilme olasılığını bulmamız gerekiyor - yani, gerekli sayıda puanı alacak.

Z.'nin iki uzmanlık alanından en az birine girebilmesi için matematikten en az 70 puan alması gerekir. Ve Rusça. Ve yine de - sosyal bilimler veya yabancı.

Onun için matematikte 70 puan alma olasılığı 0.6'dır.

Matematikte ve Rusçada puan alma olasılığı eşittir.

Yabancı ve sosyal bilgilerle ilgilenelim. Başvuru sahibi sosyal bilgilerde, yabancı dilde veya her ikisinde de puan aldığında seçenekler bizim için uygundur. Seçenek, dilde veya “toplumda” puan almadığında uygun değildir. Bu, sosyal bilgilerden veya yabancı birinden geçme olasılığının en az 70 puan eşit olduğu anlamına gelir. Sonuç olarak, matematik, Rusça ve sosyal bilgiler veya yabancı birinden geçme olasılığı eşittir

Cevap bu.

II . Kombinatoryal problemleri çözme

1. Kombinasyon ve faktöriyel sayısı

Teorik materyali kısaca analiz edelim.

İfaden ! "en-factorial" olarak okunur ve 1'den 1'e kadar olan tüm doğal sayıların çarpımını gösterir.n dahil:n ! = 1 2 3 ...n .

Ayrıca matematikte tanım gereği 0! = 1. Böyle bir ifade nadirdir, ancak yine de olasılık teorisindeki problemlerde ortaya çıkar.

Tanım

Tam olarak farklı nesneleri seçmenin gerekli olduğu nesneler (kalemler, tatlılar, her neyse) olsun. Daha sonra böyle bir seçim için seçenek sayısı denirkombinasyon sayısı elemanlardan. Bu sayı, özel bir formüle göre belirtilir ve hesaplanır.

atama

Bu formül bize ne veriyor? Aslında, neredeyse hiçbir ciddi görev onsuz çözülemez.

Daha iyi anlamak için birkaç basit kombinatoryal problemi analiz edelim:

Bir görev

Barmen 6 çeşit yeşil çaya sahiptir. Çay seremonisi için tam olarak 3 farklı yeşil çay çeşidi gerekmektedir. Bir barmen bir siparişi kaç farklı şekilde tamamlayabilir?

Çözüm

Burada her şey basit: varn = seçim için 6 çeşitk = 3 çeşit. Kombinasyon sayısı aşağıdaki formülle bulunabilir:

Cevap

Formülde değiştirin. Tüm görevleri çözemiyoruz, ancak tipik görevleri yazdık, dikkatinize sunuldu.

Bir görev

20 kişilik bir grupta konferansta konuşma yapmak üzere 2 temsilci seçilmelidir. Bu kaç yolla yapılabilir?

Çözüm

Yine, sahip olduğumuz her şeyn = 20 öğrenci, ama seçmek zorundasınk = 2 öğrenci. Kombinasyon sayısını bulma:

Lütfen farklı faktöriyellerde yer alan faktörlerin kırmızı ile işaretlendiğini unutmayın. Bu çarpanlar ağrısız bir şekilde azaltılabilir ve böylece toplam hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltır.

Cevap

190

Bir görev

Normal sunuculardan 2 kat daha ucuza çeşitli kusurlara sahip 17 sunucu depoya getirildi. Müdür, okul için bu tür 14 sunucu satın aldı ve tasarruf edilen parayı 200.000 ruble miktarında diğer ekipmanların satın alınması için harcadı. Bir yönetici kusurlu sunucuları kaç farklı şekilde seçebilir?

Çözüm

Görevde kafa karıştırıcı olabilecek oldukça fazla ekstra veri var. En önemli gerçekler: her şeyn = 17 sunucu ve yöneticinin ihtiyacık = 14 sunucu. Kombinasyon sayısını sayıyoruz:

Kırmızı renk yine azaltılmakta olan çarpanları gösterir. Toplamda 680 kombinasyon ortaya çıktı. Genel olarak, yönetmenin seçebileceği çok şey var.

Cevap

680

Bu görevde fazladan veri olduğu için bu görev kaprislidir. Birçok öğrenciyi yoldan çıkarırlar. Toplamda 17 sunucu vardı ve yönetmenin 14'ü seçmesi gerekiyordu. Formülde yer değiştirirsek 680 kombinasyon elde ederiz.

2. Çarpma Yasası

Tanım

çarpma yasası kombinatorikte: bağımsız kümelerdeki kombinasyonların (yollar, kombinasyonlar) sayısı çarpılır.

Başka bir deyişle, olsunA bir eylemi gerçekleştirmenin yolları veB başka bir eylemi gerçekleştirmenin yolları. Yol ayrıca bu eylemler bağımsızdır, yani. hiçbir şekilde ilgili değil. Ardından, formülle birinci ve ikinci eylemi gerçekleştirmenin yollarını bulabilirsiniz:C = A · B .

Bir görev

Petya'nın her biri 1 rublelik 4 jeton ve her biri 10 rublelik 2 jeton vardır. Petya, bakmadan cebinden 1 ruble değerinde 1 jeton ve 11 ruble değerinde bir kalem almak için 10 ruble değerinde 1 jeton çıkardı. Bu paraları kaç farklı şekilde seçebilir?

Çözüm

Yani, ilk Petya alırk = 1 jetonn = 1 ruble değerinde 4 mevcut madeni para. Bunu yapmanın yollarının sayısıC 4 1 = ... = 4.

Sonra Petya tekrar elini cebine atıyor vek = 1 jetonn = 10 ruble nominal değerli 2 mevcut madeni para. Burada kombinasyon sayısıC 2 1 = ... = 2.

Bu eylemler bağımsız olduğundan, toplam seçenek sayısıC = 4 2 = 8.

Cevap

Bir görev

Bir sepette 8 beyaz ve 12 siyah top vardır. Bu sepetten 2 beyaz 2 siyah top kaç farklı şekilde elde edilebilir?

Çözüm

Sepetteki toplamn = Seçim için 8 beyaz topk = 2 top. YapılabilirC 8 2 = ... = 28 farklı şekilde.

Ek olarak, sepet şunları içerir:n = Tekrar seçilebilecek 12 siyah topk = 2 top. Bunu yapmanın yollarının sayısıC 12 2 = ... = 66.

Beyaz topun seçimi ve siyahın seçimi bağımsız olaylar olduğundan, toplam kombinasyon sayısı çarpma yasasına göre hesaplanır:C = 28 66 = 1848. Gördüğünüz gibi, epeyce seçenek olabilir.

Cevap

1848

Çarpma yasası, iki veya daha fazla basitten oluşan karmaşık bir eylemi, hepsinin bağımsız olması koşuluyla kaç farklı şekilde gerçekleştirebileceğinizi gösterir.

3. Toplama kanunu

Çarpma yasası, birbirine bağlı olmayan "yalıtılmış" olaylar üzerinde çalışıyorsa, toplama yasasında bunun tersi doğrudur. Asla aynı anda gerçekleşmeyen birbirini dışlayan olaylarla ilgilenir.

Örneğin, “Peter cebinden 1 jeton çıkardı” ve “Peter cebinden tek bir jeton çıkarmadı” birbirini dışlayan olaylardır, çünkü herhangi bir jeton çıkarmadan bir jeton çıkarmak imkansızdır.

Benzer şekilde, "Rastgele seçilen top - beyaz" ve "Rastgele seçilen top - siyah" olayları da birbirini dışlar.

Tanım

ekleme yasası kombinatorikte: eğer birbirini dışlayan iki eylem gerçekleştirilebilirseA veB yollar sırasıyla, bu olaylar birleştirilebilir. Bu, yürütülebilecek yeni bir olay oluşturacaktır.X = A + B yollar.

Başka bir deyişle, birbirini dışlayan eylemleri (olaylar, seçenekler) birleştirirken, kombinasyonlarının sayısı toplanır.

Birbirini dışlayan seçeneklerden herhangi biri bize uygun olduğunda, toplama yasasının kombinatorikte mantıklı bir "VEYA" olduğunu söyleyebiliriz. Tersine, çarpma yasası, hem birinci hem de ikinci eylemlerin aynı anda yürütülmesiyle ilgilendiğimiz mantıksal bir "VE" dir.

Bir görev

Bir sepette 9 siyah ve 7 kırmızı top vardır. Oğlan aynı renkten 2 top çıkarır. Bunu kaç yolla yapabilir?

Çözüm

Toplar aynı renkteyse, birkaç seçenek vardır: ikisi de siyah veya kırmızıdır. Açıkçası, bu seçenekler birbirini dışlar.

İlk durumda, çocuk seçmek zorundak = 2 siyah topn = 9 mevcut. Bunu yapmanın yollarının sayısıC 9 2 = ... = 36.

Benzer şekilde, ikinci durumda seçtiğimizk = 2 kırmızı topn = 7 mümkün. yolların sayısıC 7 2 = ... = 21.

Toplam yol sayısını bulmak için kalır. Siyah ve kırmızı bilyeli varyantlar birbirini dışlayan olduğundan, toplama yasasına göre:X = 36 + 21 = 57.

Cevap57

Bir görev

Tezgah 15 gül ve 18 lale satıyor. 9. sınıf öğrencisi, sınıf arkadaşına 3 çiçek almak istiyor ve tüm çiçekler aynı olmalı. Böyle bir buketi kaç farklı şekilde yapabilir?

Çözüm

Duruma göre, tüm çiçekler aynı olmalıdır. Yani ya 3 gül ya da 3 lale alacağız. Neyse,k = 3.

Gül durumunda, seçim yapmanız gerekecekn = 15 seçenek, yani kombinasyon sayısıC 15 3 = ... = 455. Laleler içinn = 18 ve kombinasyon sayısı -C 18 3 = ... = 816.

Güller ve laleler birbirini dışlayan seçenekler olduğundan, toplama yasasına göre çalışıyoruz. Toplam seçenek sayısını alınX = 455 + 816 = 1271. Cevap bu.

Cevap

1271

Ek şartlar ve kısıtlamalar

Sorunun metninde çok sık, bizi ilgilendiren kombinasyonlara önemli kısıtlamalar getiren ek koşullar vardır. İki cümleyi karşılaştırın:

Farklı renklerde 5 adet kalem seti bulunmaktadır. 3 vuruşlu tutamaç kaç farklı şekilde seçilebilir?

Farklı renklerde 5 adet kalem seti bulunmaktadır. Birinin kırmızı olması gerekiyorsa 3 vuruşlu tutamak kaç farklı şekilde seçilebilir?

İlk durumda, istediğimiz renkleri alma hakkımız var - ek bir kısıtlama yok. İkinci durumda, her şey daha karmaşıktır, çünkü kırmızı bir tutamaç seçmeliyiz (orijinal sette olduğu varsayılır).

Açıkçası, herhangi bir kısıtlama toplam seçenek sayısını büyük ölçüde azaltır. Peki bu durumda kombinasyon sayısını nasıl buluyorsunuz? Sadece aşağıdaki kuralı hatırlayın:

bir set olsunn seçim için elemanlark elementler. Sayıya ek kısıtlamalar getirilmesiylen vek aynı miktarda azalır.

Yani 5 kalemden 3 tanesini seçmeniz gerekiyorsa ve bunlardan birinin kırmızı olması gerekiyorsa, aralarından seçim yapmanız gerekecek.n = 5 − 1 = 4 elemank = 3 − 1 = 2 eleman. Böylece, yerineC 5 3 düşünülmeliC 4 2 .

Şimdi bu kuralın belirli örnekler üzerinde nasıl çalıştığını görelim:

Bir görev

2 mükemmel öğrenci olmak üzere 20 kişilik bir grupta konferansa katılmak için 4 kişi seçmeniz gerekiyor. Mükemmel öğrencilerin konferansa katılması gerekiyorsa, bu dördü kaç şekilde seçilebilir?

Çözüm

yani bir grup varn = 20 öğrenci. Ama sadece seçmelisink = 4 tanesi. Ek kısıtlama yoksa, seçeneklerin sayısı kombinasyonların sayısına eşitti.C 20 4 .

Ancak bize ek bir şart daha verildi: Bu dördü arasında 2 mükemmel öğrenci olmalı. Böylece, yukarıdaki kurala göre sayıları azaltıyoruz.n vek 2. Biz var:

Cevap

153

Bir görev

Petya'nın cebinde 6'sı ruble, 2'si 10 ruble olmak üzere 8 jeton vardır. Petya başka bir cebe üç bozuk para koyar. Her iki 10 rublelik madeni paranın başka bir cebe düştüğü biliniyorsa Petya bunu kaç farklı şekilde yapabilir?

Çözüm

İşte burdan = 8 jeton. Petya vardiyalarık = 2'si on ruble olan 3 jeton. Aktarılacak 3 jetondan 2'sinin zaten sabit olduğu ortaya çıktı, bu nedenle sayılarn vek 2 azaltılmalıdır:

Cevap

III . Kombinatorik ve olasılık teorisi formüllerinin kullanımıyla ilgili birleşik problemleri çözme

Bir görev

Petya'nın cebinde 4 ruble jeton ve 2 2 ruble jeton vardı. Petya bakmadan başka bir cebe üç bozuk para attı. İki rublelik madeni paranın aynı cepte olma olasılığını bulun.

Çözüm

Her iki iki rublelik paranın da aynı cebe düştüğünü varsayalım, o zaman 2 seçenek mümkündür: ya Petya onları hiç değiştirmedi ya da her ikisini de aynı anda değiştirdi.

İlk durumda, iki rublelik madeni para transfer edilmediğinde, 3 rublelik madeni paranın transfer edilmesi gerekecekti. Toplamda bu tür 4 jeton olduğundan, bunu yapmanın yollarının sayısı 4'e 3 kombinasyon sayısına eşittir:C 4 3 .

İkinci durumda, her iki iki ruble jeton da transfer edildiğinde, bir ruble jeton daha transfer edilmelidir. 4 mevcut olandan seçilmelidir ve bunu yapmanın yollarının sayısı 4'ten 1'e kadar olan kombinasyonların sayısına eşittir:C 4 1 .

Şimdi madeni paraları kaydırmanın toplam yolunu bulalım. Toplamda 4 + 2 = 6 jeton olduğundan ve bunlardan sadece 3 tanesinin seçilmesi gerektiğinden toplam seçenek sayısı 6'dan 3'e kadar olan kombinasyon sayısına eşittir:C 6 3 .

Olasılığı bulmak için kalır:

Cevap

0,4

İnteraktif beyaz tahtada gösterin. Sorunun durumuna göre Petya'nın bakmadan üç parayı bir cebe kaydırdığına dikkat edin. Bu soruyu cevaplarken, iki iki rublelik madeni paranın gerçekten bir cepte kaldığını varsayabiliriz. Olasılıkları eklemek için formüle bakın. Formülü tekrar göster.

Bir görev

Petya'nın cebinde 2 adet 5 ruble ve 4 adet 10 rublelik jeton vardı. Petya bakmadan başka bir cebe 3 bozuk para attı. Beş ruble paranın şimdi farklı ceplerde olma olasılığını bulun.

Çözüm

Beş ruble paranın farklı ceplerde yatması için bunlardan sadece birini kaydırmanız gerekir. Bunu yapmanın yollarının sayısı, 2'ye 1'lik kombinasyonların sayısına eşittir:C 2 1 .

Petya toplamda 3 jeton transfer ettiği için, her biri 10 ruble olan 2 jeton daha transfer etmesi gerekecek. Petya'nın 4 tane madeni parası var, bu yüzden yol sayısı 4'ten 2'ye kadar olan kombinasyonların sayısına eşittir:C 4 2 .

Geriye, mevcut 6 jetondan 3'ünü kaydırmak için kaç seçenek olduğunu bulmak kalıyor. Bu sayı, önceki problemde olduğu gibi, 6'dan 3'e kadar olan kombinasyonların sayısına eşittir:C 6 3 .

Olasılığı bulma:

Son adımda, bu olaylar bağımsız olduğundan, iki rublelik madeni para seçme yollarının sayısını ve on rublelik madeni para seçme yollarının sayısını çoğalttık.

Cevap

0,6

Bu nedenle, madeni paralarla ilgili problemlerin kendi olasılık formülleri vardır. Bir teorem olarak formüle edilebilecek kadar basit ve önemlidir.

teorem

Madeni para atılsınn bir Zamanlar. O zaman turaların tam olarak inme olasılığık zamanlar aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

NeresiC n k - kombinasyon sayısın tarafından elemanlark , aşağıdaki formülle hesaplanır:

Bu nedenle, madeni para ile sorunu çözmek için iki sayıya ihtiyaç vardır: atış sayısı ve tura sayısı. Çoğu zaman, bu sayılar doğrudan sorunun metninde verilir. Ayrıca, tam olarak neyin sayılacağı önemli değil: kuyruklar veya kartallar. Cevap aynı olacaktır.

İlk bakışta, teorem çok hantal görünüyor. Ancak biraz pratik yapmaya değer - ve artık yukarıda açıklanan standart algoritmaya geri dönmek istemiyorsunuz.

Madeni para dört kez havaya atılıyor. Tura tam olarak üç kez gelme olasılığını bulun.

Çözüm

Problemin durumuna göre toplam atış sayısın = 4. Gerekli kafa sayısı:k = 3. İkamen vek formülün içine:

Aynı başarı ile kuyruk sayısını da sayabilirsiniz:k = 4 − 3 = 1. Cevap aynı olacaktır.

Cevap

0,25

Bir görev [ Çalışma kitabı“2012'yi matematikte KULLANIN. Görevler B6»]

Madeni para üç kez havaya atılıyor. Yazı gelmemesi olasılığını bulunuz.

Çözüm

Rakamları tekrar yazmakn vek . Madeni para 3 kez atıldığından,n = 3. Ve kuyruk olmaması gerektiğinden,k = 0. Sayıları değiştirmek için kalırn vek formülün içine:

0 olduğunu hatırlatmama izin verin! = 1 tanım gereği. Bu yüzdenC 3 0 = 1.

Cevap

0,125

Görev [Matematikte deneme sınavı 2012. Irkutsk]

Rastgele bir deneyde simetrik bir madeni para 4 kez atılıyor. Yazıların turalardan daha fazla gelme olasılığını bulun.

Çözüm

Turadan daha fazla tura olması için, ya 3 kez (o zaman 1 yazı olacak) ya da 4 (o zaman hiç yazı olmayacak) düşmeleri gerekir. Bu olayların her birinin olasılığını bulalım.

İzin vermekp 1 - turaların 3 kez düşme olasılığı. O zamanlarn = 4, k = 3. Şunlara sahibiz:

şimdi bulalımp 2 - turaların 4 kez de düşme olasılığı. Bu durumdan = 4, k = 4. Şunlara sahibiz:

Cevabı almak için olasılıkları eklemek kalırp 1 vep 2 . Unutmayın: Yalnızca birbirini dışlayan olaylar için olasılıklar ekleyebilirsiniz. Sahibiz:

p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Cevap

0,3125

Birleşik Devlet Sınavı ve GIA için erkeklerle hazırlanırken zamandan tasarruf etmek için, erkeklerle seçebileceğiniz ve çözebileceğiniz daha birçok göreve çözümler sunduk.

GIA Materyalleri, Çeşitli yılların Birleşik Devlet Sınavı, ders kitapları ve siteler.

IV. Referans malzemesi

Çözümü, olasılığın klasik bir tanımı olan tek bir formüle dayanan matematikteki (mathege.ru) açık USE problem bankasında bugüne kadar sunulmuştur.

Formülü anlamanın en kolay yolu örneklerle.
örnek 1 Sepette 9 kırmızı, 3 mavi top vardır. Toplar sadece renk olarak farklılık gösterir. Rastgele (bakmadan) bunlardan birini alıyoruz. Bu şekilde seçilen topun mavi olma olasılığı nedir?

Yorum. Olasılık teorisindeki problemlerde, farklı bir sonuca - bir sonuca - sahip olabilecek bir şey olur (bu durumda, topu çekme eylemimiz). Sonucun farklı şekillerde görülebileceğine dikkat edilmelidir. "Bir top çıkardık" da bir sonuçtur. Sonuç "Mavi topu çıkardık". "Bu özel topu tüm olası toplardan çıkardık" - sonuca ilişkin bu en az genelleştirilmiş görüşe temel sonuç denir. Olasılığı hesaplama formülünde kastedilen temel sonuçlardır.

Çözüm.Şimdi mavi bir top seçme olasılığını hesaplıyoruz.
Olay A: "seçilen top mavi çıktı"
Toplam sayısı tüm olası sonuçlar: 9+3=12 (çizebileceğimiz tüm topların sayısı)
A olayı için elverişli sonuçların sayısı: 3 (A olayının gerçekleştiği bu tür sonuçların sayısı - yani mavi topların sayısı)
P(A)=3/12=1/4=0.25
Cevap: 0.25

Aynı problem için kırmızı bir top seçme olasılığını hesaplayalım.
Olası sonuçların toplam sayısı aynı kalacaktır, 12. Olumlu sonuçların sayısı: 9. İstenen olasılık: 9/12=3/4=0.75

Herhangi bir olayın olasılığı her zaman 0 ile 1 arasındadır.
Bazen günlük konuşmada (ama olasılık teorisinde değil!) Olayların olasılığı yüzde olarak tahmin edilir. Matematiksel ve sözlü değerlendirme arasındaki geçiş, %100 ile çarpılarak (veya bölünerek) yapılır.
Yani,
Bu durumda, gerçekleşmesi mümkün olmayan olayların olasılığı sıfırdır. Örneğin, örneğimizde bu, sepetten yeşil bir top çekme olasılığı olacaktır. (Eğer formüle göre sayılırsa olumlu sonuçların sayısı 0, P(A)=0/12=0'dır)
Olasılık 1, seçenekleri olmadan kesinlikle kesinlikle gerçekleşecek olaylara sahiptir. Örneğin, "seçilen topun kırmızı veya mavi olması" olasılığı problemimiz içindir. (Olumlu sonuç sayısı: 12, P(A)=12/12=1)

Olasılığın tanımını gösteren klasik bir örneğe baktık. Olasılık teorisindeki tüm benzer USE problemleri bu formül kullanılarak çözülür.
Kırmızı ve mavi topların yerine elma ve armut, kız ve erkek çocuklar, öğrenilmiş ve öğrenilmemiş biletler, bir konuda soru içeren ve içermeyen biletler (prototipler), arızalı ve kaliteli çantalar veya bahçe pompaları (prototipler, ) - ilke aynı kalır.

Belirli bir günde meydana gelen bir olayın olasılığını hesaplamanız gereken USE olasılık teorisi probleminin formülasyonunda biraz farklılık gösterirler. ( , ) Önceki görevlerde olduğu gibi, temel bir sonucun ne olduğunu belirlemeniz ve ardından aynı formülü uygulamanız gerekir.

Örnek 2 Konferans üç gün sürer. Birinci ve ikinci gün 15'er konuşmacı, üçüncü gün - 20. Raporların sırası piyango ile belirlenirse, Profesör M.'nin raporunun üçüncü güne düşme olasılığı nedir?

Buradaki temel sonuç nedir? - Bir konuşma için olası tüm seri numaralarından birine bir profesörün raporunu atamak. Çekilişe 15+15+20=50 kişi katılır. Böylece Profesör M.'nin raporu 50 sayıdan birini alabilir. Bu, yalnızca 50 temel sonuç olduğu anlamına gelir.
Olumlu sonuçlar nelerdir? - Profesörün üçüncü gün konuşacağı ortaya çıkanlar. Yani, son 20 sayı.
Formüle göre, olasılık P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
Cevap: 0.4

Buradaki kura çekimi, insanlar ve düzenli yerler arasında rastgele bir yazışma kurulmasıdır. Örnek 2'de eşleştirme, belirli bir kişinin hangi yerlerden alabileceğine göre değerlendirildi. Aynı duruma diğer taraftan da yaklaşabilirsiniz: belirli bir yere hangi olasılıkla hangi insan ulaşabilir (prototipler , , , ):

Örnek 3Çekilişe 5 Alman, 8 Fransız ve 3 Estonyalı katılıyor. Birincinin (/saniye/yedinci/son - önemli değil) bir Fransız olma olasılığı nedir?

Temel sonuçların sayısı, belirli bir yere kura ile ulaşabilecek tüm olası insanların sayısıdır. 5+8+3=16 kişi.
Olumlu sonuçlar - Fransızlar. 8 kişi.
İstenen olasılık: 8/16=1/2=0,5
Cevap: 0,5

Prototip biraz farklı. Madeni paralar () ve zarlar () hakkında biraz daha yaratıcı görevler var. Bu sorunların çözümleri prototip sayfalarında bulunabilir.

İşte bozuk para atma veya zar atma ile ilgili bazı örnekler.

Örnek 4 Yazı-tura attığımızda yazı gelme olasılığı nedir?
Sonuçlar 2 - yazı veya tura. (madeni paranın asla kenara düşmediğine inanılır) Olumlu sonuç - tura, 1.
Olasılık 1/2=0.5
Cevap: 0,5.

Örnek 5 Bir madeni parayı iki kez atarsak ne olur? Her iki seferde de tura gelme olasılığı nedir?
Ana şey, iki madeni parayı atarken hangi temel sonuçları dikkate alacağımızı belirlemektir. İki jeton atıldıktan sonra aşağıdaki sonuçlardan biri ortaya çıkabilir:
1) PP - iki kere yazı geldi
2) PO - ilk tura, ikinci tur tura
3) OP - ilk tura, ikinci tur tura
4) OO - iki seferde de uyarı verir
Başka seçenek yok. Bu, 4 temel sonuç olduğu anlamına gelir.Yalnızca ilki olumlu, 1.
Olasılık: 1/4=0.25
Cevap: 0.25

Bir madeni paranın iki atışının tura gelme olasılığı kaçtır?
Temel çıktıların sayısı aynı, 4. Olumlu çıktılar ikinci ve üçüncü, 2.
Bir kuyruk gelme olasılığı: 2/4=0.5

Bu tür problemlerde başka bir formül işe yarayabilir.
Bir yazı turasında 2 olası sonucumuz varsa, iki sonuç için 2 2=2 2 =4 (örnek 5'te olduğu gibi), üç atış için 2 2 2=2 3 =8, dört için : 2·2·2·2=2 4 =16, … olası sonuçların N atışları için 2·2·...·2=2 N olacaktır.

Böylece, 5 yazı turadan 5 yazı gelme olasılığını bulabilirsiniz.
Temel sonuçların toplam sayısı: 2 5 =32.
Olumlu sonuçlar: 1. (RRRRRR - 5 kez yazıların tümü)
Olasılık: 1/32=0.03125

Aynı şey zar için de geçerlidir. Bir atışla 6 olası sonuç vardır.Yani, iki atış için: 6 6=36, üç atış için 6 6 6=216, vb.

Örnek 6 Bir zar atıyoruz. Çift sayı gelme olasılığı kaçtır?

Toplam sonuç: 6, yüz sayısına göre.
Olumlu: 3 sonuç. (2, 4, 6)
Olasılık: 3/6=0.5

Örnek 7İki zar atın. Toplamın 10 yuvarlanma olasılığı nedir? (yüzde birine yuvarlanır)

Bir zar için 6 olası sonuç vardır. Dolayısıyla, yukarıdaki kurala göre iki kişilik, 6·6=36.
Toplam 10'un düşmesi için hangi sonuçlar olumlu olacak?
10, 1'den 6'ya kadar olan iki sayının toplamına ayrıştırılmalıdır. Bu iki şekilde yapılabilir: 10=6+4 ve 10=5+5. Yani, küpler için seçenekler mümkündür:
(6 birinci ve 4 ikinci)
(4'ü birinci, 6'sı ikinci)
(birincisinde 5 ve ikincisinde 5)
Toplamda 3 seçenek. İstenen olasılık: 3/36=1/12=0.08
Cevap: 0.08

Diğer B6 sorunları türleri, aşağıdaki "Nasıl Çözülür" makalelerinden birinde tartışılacaktır.

$A$ olayının olasılığı, $A$ için uygun olan sonuçların sayısının tüm eşit olası sonuçların sayısına oranıdır.

$P(A)=(m)/(n)$, burada $n$ olası sonuçların toplam sayısıdır ve $m$, $A$ lehine olan sonuçların sayısıdır.

Bir olayın olasılığı $$ segmentinden bir sayıdır.

Taksi şirketinin 50$'lık arabası var. 35$'ı siyah, geri kalanı sarı. Rastgele bir çağrıya sarı bir arabanın gelme olasılığını bulun.

Sarı arabaların sayısını bulun:

Toplamda 50$ araba var yani elliden biri çağrıya gelecek. 15$ sarı araba var, bu nedenle sarı arabanın gelme olasılığı $(15)/(50)=(3)/(10)=0.3$

Cevap:$0.3$

Zıt olaylar

Belirli bir denemede uyumsuzsa ve bunlardan biri mutlaka gerçekleşirse, iki olayın zıt olduğu söylenir. Zıt olayların olasılıkları toplamı 1 olur. $A$ olayının tersi bir olay $((A))↖(-)$ olarak yazılır.

$P(A)+P((A))↖(-)=1$

Bağımsız etkinlikler

$A$ ve $B$ olaylarının her birinin gerçekleşme olasılığı diğer olayın oluşup oluşmadığına bağlı değilse bağımsız olarak adlandırılır. Aksi takdirde, olaylar bağımlı olarak adlandırılır.

$A$ ve $B$ adlı iki bağımsız olayın çarpımının olasılığı şu olasılıkların çarpımına eşittir:

$P(A B)=P(A) P(B)$

İvan İvanoviç iki farklı piyango bileti aldı. İlk piyango biletinin kazanma olasılığı 0.15$'dır. İkinci piyango biletinin kazanma olasılığı 0.12 dolar. Ivan Ivanovich her iki çekilişe de katılıyor. Çekilişlerin birbirinden bağımsız yapıldığını varsayarak, İvan İvanoviç'in her iki beraberliği de kazanma olasılığını bulunuz.

Olasılık $P(A)$ - ilk bileti kazanır.

Olasılık $P(B)$ - ikinci bileti kazanır.

$A$ ve $B$ olayları bağımsız olaylar. Yani her iki olayın da olma olasılığını bulmak için olasılıkların çarpımını bulmanız gerekir.

$P(A B)=P(A) P(B)$

$P=0.15 0.12=0.018$

Cevap: 0,018 $

Uyumsuz etkinlikler

Hem $A$ olayını hem de $B$ olayını destekleyen bir sonuç yoksa, $A$ ve $B$ olaylarının uyumsuz olduğu söylenir. (Aynı anda gerçekleşemeyecek olaylar)

$A$ ve $B$ uyumsuz iki olayın toplamının olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir:

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

Cebir sınavında öğrenci tüm sınavlardan bir soru alır. Bunun konuyla ilgili bir soru olma olasılığı " ikinci dereceden denklemler", 0,3$'a eşittir. Bunun bir İrrasyonel Denklem sorusu olma olasılığı 0.18$'dır. Aynı anda bu iki konu ile ilgili soru bulunmamaktadır. Öğrencinin sınavda bu iki konudan birine soru gelme olasılığını bulunuz.

Bu olaylara uyumsuz denir, çünkü öğrenci YA “Dördünlü Denklemler” konusunda VEYA “İrrasyonel Denklemler” konusunda bir soru alır. Konular aynı anda yakalanamaz. $A$ ve $B$ uyumsuz iki olayın toplamının olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir:

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

$P \u003d 0.3 + 0.18 \u003d 0.48 $

Cevap: $0.48

Ortak Etkinlikler

Birinin meydana gelmesi, aynı davada diğerinin meydana gelmesini engellemiyorsa, iki olayın ortak olduğu söylenir. Aksi takdirde, olaylar uyumsuz olarak adlandırılır.

$A$ ve $B$ adlı iki ortak olayın toplamının olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamı eksi çarpımlarının olasılığına eşittir:

$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A B)$

Sinemanın lobisinde birbirinin aynısı iki kahve makinesi var. Günün sonunda makinenin kahvesinin bitme olasılığı 0,6$'dır. Her iki makinede de kahvenin bitme olasılığı 0,32$'dır. Günün sonunda otomatlardan en az birinin kahvesinin bitmesi olasılığını bulun.

Olayları belirtelim, izin verin:

$A$ = kahve ilk makinede bitecek,

$B$ = kahve ikinci makinede bitecek.

$A B =$ kahve her iki otomatta da bitecek,

$A + B =$ kahve en az bir otomatta biter.

Geleneksel olarak, $P(A) = P(B) = 0.6; P(A B) = 0,32 ABD doları.

$A$ ve $B$ olayları ortaktır, iki ortak olayın toplamının olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir, çarpımlarının olasılığı ile azaltılır:

$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0,6 + 0,6 − 0,32 = 0,88$