olasılık olay, belirli bir olayı destekleyen temel sonuçların sayısının, bu olayın meydana gelebileceği tüm eşit olası deneyim sonuçlarının sayısına oranıdır. Bir A olayının olasılığı P(A) ile gösterilir (burada P, Fransızca olasılık - olasılık kelimesinin ilk harfidir). Tanıma göre
(1.2.1)
A olayının lehine olan temel sonuçların sayısı nerede; - tam bir olaylar grubu oluşturan, eşit derecede olası tüm temel deneyim sonuçlarının sayısı.
Bu olasılık tanımına klasik denir. Olasılık teorisinin gelişiminin ilk aşamasında ortaya çıktı.

Bir olayın olasılığı aşağıdaki özelliklere sahiptir:
1. Belirli bir olayın olasılığı bire eşittir. Belirli bir olayı harfle belirleyelim. Bu nedenle belirli bir olay için
(1.2.2)
2. İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır. İmkansız olayı harfle belirtiriz. İmkansız bir olay için, bu nedenle
(1.2.3)
3. Rastgele bir olayın olasılığı, birden küçük pozitif bir sayı olarak ifade edilir. Eşitsizlikler veya rastgele bir olay için sağlandığından, o zaman
(1.2.4)
4. Herhangi bir olayın olasılığı eşitsizlikleri sağlıyor
(1.2.5)
Bu, (1.2.2) -(1.2.4) bağıntılarından kaynaklanmaktadır.

örnek 1 Bir urn, 4'ü kırmızı ve 6'sı mavi olmak üzere aynı boyut ve ağırlıkta 10 top içerir. Kutudan bir top çekiliyor. Çekilen topun mavi olma olasılığı kaçtır?

Çözüm. "Çekilen topun mavi olduğu ortaya çıktı" olayı A harfi ile gösterilecektir. Bu denemenin, 6'sı A lehine olan 10 eşit olası temel sonucu vardır. Formül (1.2.1) uyarınca, elde ederiz.

Örnek 2 1'den 30'a kadar olan tüm doğal sayılar aynı kartlara yazılır ve bir kavanoza yerleştirilir. Kartlar iyice karıştırıldıktan sonra kavanozdan bir kart çıkarılır. Çekilen karttaki sayının 5'in katı olma olasılığı kaçtır?

Çözüm."Alınan karttaki sayı 5'in katıdır" olayını A ile gösteriniz. Bu testte, 6'sı olay A lehine olan (sayılar 5, 10, 15, 20, 25, 30) olmak üzere 30 eşit olası temel sonuç vardır. Sonuç olarak,

Örnek 3İki zar atılır, üst yüzlerdeki puanların toplamı hesaplanır. Küplerin üst yüzlerinin toplam 9 puan olması gerçeğinden oluşan B olayının olasılığını bulun.

Çözüm. Bu denemede 6 2 = 36 eşit olası temel sonuç vardır. B Olayı 4 sonuçla desteklenir: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), yani

Örnek 4. Rastgele 10'u geçmeyen bir doğal sayı seçiliyor.Bu sayının asal olma olasılığı nedir?

Çözüm."Seçilen sayı asaldır" olayını C harfi ile gösteriniz. Bu durumda, n = 10, m = 4 (2, 3, 5, 7 asalları). Bu nedenle, istenen olasılık

Örnek 5 Simetrik iki madeni para havaya atılıyor. Her iki madeni paranın da üst taraflarında rakam olması olasılığı nedir?

Çözüm."Her madalyonun üstünde bir sayı vardı" olayını D harfi ile gösterelim. Bu testte eşit olarak olası 4 temel sonuç vardır: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Gösterim (G, C), ilk madeni para üzerinde bir arma, ikinci - bir sayı olduğu anlamına gelir). D olayı, bir temel sonuç (C, C) tarafından desteklenir. m = 1, n = 4 olduğundan, o zaman

Örnek 6 Rastgele seçilen iki basamaklı bir sayının basamaklarının aynı olma olasılığı kaçtır?

Çözüm.İki basamaklı sayılar 10'dan 99'a kadar olan sayılardır; Toplamda böyle 90 sayı vardır. 9 sayı aynı basamaklara sahiptir (bunlar 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 sayılarıdır). Bu durumda m = 9, n = 90 olduğundan, o zaman
,
burada A, "aynı basamaklı sayı" olayıdır.

Örnek 7 Kelimenin harflerinden diferansiyel rastgele bir harf seçilir. Bu harfin: a) sesli harf b) ünsüz c) harf olma olasılığı nedir? h?

Çözüm. Diferansiyel kelimesinde 5'i ünlü, 7'si ünsüz olmak üzere 12 harf vardır. Edebiyat h bu kelime olmaz. Olayları belirtelim: A - "sesli harf", B - "ünsüz", C - "harf h". Olumlu temel sonuçların sayısı: - A olayı için, - B olayı için, - C olayı için. n \u003d 12'den beri, o zaman
, ve .

Örnek 8İki zar atılır, her zarın üst yüzündeki puan sayısı not edilir. Her iki zarın da aynı sayıda puana sahip olma olasılığını bulun.

Çözüm. Bu olayı A harfi ile gösterelim. A olayı 6 temel sonuç tarafından desteklenir: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). Toplamda, tam bir olay grubunu oluşturan eşit derecede olası temel sonuçlar vardır, bu durumda n=6 2 =36. Yani istenen olasılık

Örnek 9 Kitap 300 sayfadır. Rastgele açılan bir sayfanın sıra numarasının 5'in katı olma olasılığı nedir?

Çözüm. Sorunun koşullarından, tam bir olaylar grubunu oluşturan tüm eşit olası temel sonuçların n = 300 olacağı sonucu çıkar.Bunlardan m = 60, belirtilen olayın gerçekleşmesini desteklemektedir. Gerçekten de, 5'in katı olan bir sayı, 5k biçimindedir, burada k bir doğal sayıdır ve . . Sonuç olarak,
, burada A - "sayfa" olayı, 5'in katı olan bir sıra numarasına sahiptir".

Örnek 10. İki zar atılır, üst yüzlerdeki puanların toplamı hesaplanır. Toplam 7 veya 8 alma olasılığı daha yüksek olan nedir?

Çözüm. Olayları belirleyelim: A - "7 puan düştü", B - "8 puan düştü". A olayı 6 temel sonuç tarafından desteklenir: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) ve B olayı - tarafından 5 sonuç: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Tüm eşit olası temel sonuçların n = 6 2 = 36'sı vardır. ve .

Yani, P(A)>P(B), yani toplam 7 puan almak, toplam 8 puan almaktan daha olası bir olaydır.

Görevler

1. Rastgele 30'u geçmeyen bir doğal sayı seçiliyor.Bu sayının 3'ün katı olma olasılığı nedir?
2. semaverde a kırmızı ve b aynı boyut ve ağırlıkta mavi toplar. Bu kavanozdan rastgele çekilen bir topun mavi olma olasılığı nedir?
3. Rastgele 30'u geçmeyen bir sayı seçiliyor.Bu sayının zo'nun bir böleni olma olasılığı nedir?
4. Vazoda a mavi ve b aynı boyut ve ağırlıkta kırmızı toplar. Bu kavanozdan bir top çekiliyor ve bir kenara bırakılıyor. Bu top kırmızı. Sonra vazodan başka bir top çekiliyor. İkinci topun da kırmızı olma olasılığını bulun.
5. Rastgele 50'yi geçmeyen bir doğal sayı seçiliyor.Bu sayının asal olma olasılığı nedir?
6. Üç zar atılır, üst yüzlerdeki puanların toplamı hesaplanır. Hangisi daha olasıdır - toplam 9 veya 10 puan almak?
7. Üç zar atılır, düşen puanların toplamı hesaplanır. Toplamda 11 (A olayı) veya 12 puan (B olayı) alma olasılığı daha yüksektir?

Yanıtlar

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - toplamda 9 puan alma olasılığı; p 2 \u003d 27/216 - toplamda 10 puan alma olasılığı; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

sorular

1. Bir olayın olasılığı nedir?
2. Belirli bir olayın olasılığı nedir?
3. İmkansız bir olayın olasılığı nedir?
4. Rastgele bir olayın olasılığının sınırları nelerdir?
5. Herhangi bir olayın olasılığının sınırları nelerdir?
6. Olasılığın hangi tanımına klasik denir?

Olasılık, belirli sayıda tekrarı olan bir olayın olasılığını gösterir. Bu, bir veya daha fazla sonucu olan olası sonuçların sayısı, toplam olası olay sayısına bölünür. Birkaç olayın olasılığı, problemin ayrı olasılıklara bölünmesi ve ardından bu olasılıkların çarpılmasıyla hesaplanır.

adımlar

Tek bir rastgele olayın olasılığı

1. Birbirini dışlayan sonuçlara sahip bir etkinlik seçin. Olasılık ancak söz konusu olayın gerçekleşmesi veya olmaması durumunda hesaplanabilir. Aynı anda herhangi bir olay ve tam tersi bir sonuç elde etmek imkansızdır. Bu tür olaylara bir örnek, bir oyun zarında 5 atmak veya bir yarışta belirli bir atı kazanmaktır. Beş ya gelir ya gelmez; belirli bir at ya önce gelir ya da gelmez.

   • Örneğin, böyle bir olayın olasılığını hesaplamak imkansızdır: kalıbın bir rulosunda 5 ve 6 aynı anda yuvarlanacaktır.

2. Oluşabilecek tüm olası olayları ve sonuçları tanımlayın. 6 numaralı bir zar atıldığında bir tür üçlü gelme olasılığını belirlememiz gerektiğini varsayalım. "Üç çeşit" bir olaydır ve 6 sayıdan herhangi birinin çıkabileceğini bildiğimiz için olası sonuçların sayısı altıdır. Böylece, bu durumda 6 olası sonuç ve olasılığını belirlemek istediğimiz bir olay olduğunu biliyoruz. Aşağıda iki örnek daha var.

   • örnek 1. Bu durumda, olay "haftasonuna denk gelen bir gün seçmektir" ve olası sonuçların sayısı haftanın gün sayısına, yani yediye eşittir.
   • Örnek 2. Olay "kırmızı topu çek" ve olası sonuçların sayısı toplam top sayısına eşittir, yani yirmi.

3. Olay sayısını olası sonuç sayısına bölün. Bu şekilde tek bir olayın olasılığını belirlersiniz. Bir zar atmada 3'ü ele alırsak, olay sayısı 1'dir (üç, kalıbın yalnızca bir tarafındadır) ve toplam sonuç sayısı 6'dır. Sonuç, 1/6'lık bir orandır, 0.166 veya %16,6. Yukarıdaki iki örnek için bir olayın olasılığı aşağıdaki gibi bulunur:

   • örnek 1. Haftasonuna denk gelen bir günü rastgele seçme olasılığınız nedir? Bir haftada iki gün izin olduğu için olay sayısı 2'dir ve toplam sonuç sayısı 7'dir. Dolayısıyla, olasılık 2/7'dir. Elde edilen sonuç 0,285 veya %28.5 olarak da yazılabilir.
   • Örnek 2. Bir kutuda 4 mavi, 5 kırmızı ve 11 beyaz top bulunmaktadır. Kutudan rastgele bir top çekerseniz, kırmızı olma olasılığı nedir? Kutuda 5 kırmızı top olduğundan ve toplam sonuç sayısı 20 olduğundan olay sayısı 5'tir. Olasılığı bulun: 5/20 = 1/4. Elde edilen sonuç 0.25 veya %25 olarak da yazılabilir.

4. Tüm olası olayların olasılıklarını toplayın ve toplamın 1 olup olmadığına bakın. Tüm olası olayların toplam olasılığı 1 veya %100 olmalıdır. %100 alamazsanız, bir hata yapmış ve bir veya daha fazla olası olayı kaçırmış olabilirsiniz. Hesaplamalarınızı kontrol edin ve olası tüm sonuçları hesaba kattığınızdan emin olun.

   • Örneğin, bir zar atıldığında 3 gelme olasılığı 1/6'dır. Bu durumda, kalan beşten başka herhangi bir sayının düşme olasılığı da 1/6'ya eşittir. Sonuç olarak 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6 yani %100 elde ederiz.
   • Örneğin, zardaki 4 sayısını unutursanız, olasılıkları eklemek size sadece 5/6 veya %83 verir, bu bire eşit değildir ve bir hataya işaret eder.

5. İmkansız bir sonucun olasılığını 0 olarak ifade edin. Bu, verilen olayın olamayacağı ve olasılığının 0 olduğu anlamına gelir. Bu şekilde imkansız olayları hesaplayabilirsiniz.

   • Örneğin, 2020'de Paskalya'nın Pazartesi gününe denk gelme olasılığını hesaplarsanız, Paskalya her zaman Pazar günü kutlandığı için 0 elde edersiniz.

   Birkaç rastgele olayın olasılığı

   1. Bağımsız olayları değerlendirirken, her olasılığı ayrı ayrı hesaplayın. Olayların olasılıklarının ne olduğunu belirledikten sonra bunlar ayrı ayrı hesaplanabilir. Diyelim ki bir zarı 5 ile arka arkaya iki kez atma olasılığını bilmek istiyoruz. İlk sonuç, ikinci ile ilgili değildir.

      • Birkaç rulo beşli denir olumsuzluk bağımlı olaylar , çünkü ilk seferde olan ikinci olayı etkilemez.

   2. Bağımlı olayların olasılığını hesaplarken önceki sonuçların etkisini göz önünde bulundurun.İlk olay ikinci sonucun olasılığını etkiliyorsa, olasılığı hesapladığı söylenir. bağımlı olaylar. Örneğin, 52 kartlık bir desteden iki kart seçerseniz, ilk kart çekildikten sonra, destenin bileşimi değişir ve bu da ikinci kartın seçimini etkiler. İki bağımlı olaydan ikincisinin olasılığını hesaplamak için, ikinci olayın olasılığını hesaplarken olası sonuçların sayısından 1 çıkarın.

      • örnek 1. Aşağıdaki olayı göz önünde bulundurun: Desteden birbiri ardına rastgele iki kart çekiliyor. Her iki kartta da kulüp takımı olma olasılığı nedir? Destede aynı türden 13 kart olduğundan, ilk kartın kulüp rengine sahip olma olasılığı 13/52 veya 1/4'tür.
        • Bundan sonra, artık bir kulüp kartı olmadığı için ikinci kartın kulüp rengi olma olasılığı 12/51'dir. Bunun nedeni, ilk olayın ikinciyi etkilemesidir. 3'lü sopayı çeker ve geri koymazsanız, destede bir kart eksik olacaktır (52 yerine 51).
      • Örnek 2. Bir kutuda 4 mavi, 5 kırmızı ve 11 beyaz top vardır. Rastgele üç bilye çekildiğinde birincinin kırmızı, ikincinin mavi ve üçüncünün beyaz olma olasılığı nedir?
        • İlk topun kırmızı olma olasılığı 5/20 veya 1/4'tür. İkinci topun mavi olma olasılığı 4/19, çünkü kutuda bir top eksik, ama yine de 4 mavi top. Son olarak, zaten iki top çektiğimiz için üçüncü topun beyaz olma olasılığı 11/18'dir.

   3. Her bir olayın olasılıklarını çarpın. Bağımsız veya bağımlı olaylarla ve sonuçların sayısıyla (2, 3 ve hatta 10 olabilir) ilgilenip ilgilenmediğinize bakılmaksızın, söz konusu tüm olayların olasılıklarını birbiriyle çarparak genel olasılığı hesaplayabilirsiniz. . Sonuç olarak, aşağıdaki gibi birkaç olayın olasılığını elde edersiniz: birer birer. Örneğin, görev Bir zarın arka arkaya iki kez 5 gelme olasılığını bulunuz.. Bunlar, her birinin olasılığı 1/6 olan iki bağımsız olaydır. Böylece, her iki olayın da olasılığı 1/6 x 1/6 = 1/36, yani 0.027 veya %2.7'dir.

      • örnek 1. Desteden birbiri ardına rastgele iki kart çekiliyor. Her iki kartta da kulüp takımı olma olasılığı nedir?İlk olayın olasılığı 13/52'dir. İkinci olayın olasılığı 12/51'dir. Toplam olasılığı buluyoruz: 13/52 x 12/51 = 12/204 = 1/17, yani 0.058 veya %5.8.
      • Örnek 2. Bir kutuda 4 mavi, 5 kırmızı ve 11 beyaz top bulunmaktadır. Kutudan arka arkaya rastgele üç top çekildiğinde, birincinin kırmızı, ikincinin mavi ve üçüncünün beyaz olma olasılığı nedir?İlk olayın olasılığı 5/20'dir. İkinci olayın olasılığı 4/19'dur. Üçüncü olayın olasılığı 11/18'dir. Yani toplam olasılık 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0.032 veya %3.2'dir.

Herhangi bir rastgele olayın meydana gelme olasılığını değerlendirirken, ilgilendiğimiz olayın meydana gelme olasılığının (olayın olasılığı) diğer olayların nasıl geliştiğine bağlı olup olmadığı konusunda önceden iyi bir fikre sahip olmak çok önemlidir. Klasik şema durumunda, tüm sonuçlar eşit derecede olası olduğunda, ilgilendiğimiz bireysel olayın olasılık değerlerini zaten kendi başımıza tahmin edebiliriz. Olay birkaç temel sonucun karmaşık bir koleksiyonu olsa bile bunu yapabiliriz. Ve aynı anda veya sırayla birkaç rastgele olay meydana gelirse? Bu, bizi ilgilendiren olayın olasılığını nasıl etkiler? Birkaç kez bir zar atarsam ve altı almak istersem ve her zaman şanssızsam, bu, olasılık teorisine göre şansım yaver gideceği için bahsimi artırmam gerektiği anlamına mı gelir? Ne yazık ki, olasılık teorisi böyle bir şey söylemiyor. Ne zarlar, ne kartlar, ne de madeni paralar geçen sefer bize gösterdiklerini hatırlamıyor. Bugün ilk kez mi yoksa onuncu kez mi kaderimi sınıyorum onlar için hiç önemli değil. Ne zaman tekrar yuvarlasam, tek bir şey biliyorum: ve bu sefer tekrar "altı" atma olasılığı altıda bir. Tabii bu, ihtiyacım olan sayının asla düşmeyeceği anlamına gelmiyor. Bu sadece, ilk atıştan ve diğer atışlardan sonraki kaybım anlamına gelir - bağımsız etkinlikler. A ve B olaylarından birinin gerçekleşmesi diğer olayın olasılığını herhangi bir şekilde etkilemiyorsa bağımsız olarak adlandırılır. Örneğin, iki silahtan ilki ile bir hedefi vurma olasılıkları, diğer silahın hedefi vurup vurmadığına bağlı değildir, dolayısıyla "ilk silah hedefi vurdu" ve "ikinci top hedefi vurdu" olayları bağımsızdır. İki A ve B olayı bağımsızsa ve her birinin olasılığı biliniyorsa, hem A olayının hem de B olayının (AB ile gösterilir) aynı anda meydana gelme olasılığı aşağıdaki teorem kullanılarak hesaplanabilir.

Bağımsız olaylar için olasılık çarpma teoremi

P(AB) = P(A)*P(B) İki bağımsız olayın aynı anda meydana gelme olasılığı, bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir.

örnek 1. Birinci ve ikinci topları ateşlerken hedefi vurma olasılıkları sırasıyla eşittir: p 1 = 0.7; p2 = 0.8. Her iki tabancanın aynı anda tek voleyle vurma olasılığını bulunuz.

Daha önce gördüğümüz gibi, A (ilk silahın isabet ettiği) ve B (ikinci silahın vurduğu) olayları bağımsızdır, yani. P(AB)=P(A)*P(B)=p1*p2=0.56. Başlatan olaylar bağımsız değilse tahminlerimize ne olur? Önceki örneği biraz değiştirelim.

Örnek 2 Bir yarışmadaki iki atıcı hedeflere ateş eder ve bunlardan biri doğru atış yaparsa, rakip gerginleşmeye başlar ve sonuçları kötüleşir. Bu gündelik durumu matematiksel bir probleme nasıl dönüştürebilir ve onu çözmenin yollarını nasıl özetleyebilirim? İki senaryoyu bir şekilde ayırmanın, aslında iki senaryo, iki farklı görev oluşturmanın gerekli olduğu sezgisel olarak açıktır. İlk durumda, rakip ıskalarsa, senaryo gergin sporcu için uygun olacak ve doğruluğu daha yüksek olacaktır. İkinci durumda, eğer rakip şansını iyi değerlendirdiyse, ikinci sporcunun hedefi vurma olasılığı azalır. Olayların gelişiminin olası senaryolarını (genellikle hipotez olarak adlandırılırlar) ayırmak için genellikle "olasılık ağacı" şemasını kullanacağız. Bu diyagram, muhtemelen zaten uğraşmak zorunda kaldığınız karar ağacına benzer. Her dal ayrı bir senaryodur, ancak şimdi koşullu olasılık olarak adlandırılan kendi değerine sahiptir (q 1 , q 2 , q 1 -1, q 2 -1).

Bu şema, ardışık rastgele olayların analizi için çok uygundur. Bir önemli soruyu daha açıklığa kavuşturmak için kalır: Gerçek durumlarda olasılıkların ilk değerleri nereden geliyor? Sonuçta, olasılık teorisi aynı madeni para ve zarlarla çalışmaz, değil mi? Genellikle bu tahminler istatistiklerden alınır ve istatistikler mevcut olmadığında kendi araştırmamızı yaparız. Ve çoğu zaman veri toplamakla değil, genellikle hangi bilgilere ihtiyacımız olduğu sorusuyla başlamamız gerekir.

Örnek 3 100.000 nüfuslu bir şehirde, boyalı saç kremi gibi temel olmayan yeni bir ürün için pazarın büyüklüğünü tahmin etmemiz gerektiğini varsayalım. "Olasılık ağacı" şemasını ele alalım. Bu durumda, her bir "dal" üzerindeki olasılığın değerini yaklaşık olarak tahmin etmemiz gerekir. Dolayısıyla, pazar kapasitesi tahminlerimiz:

1) Şehrin tüm sakinlerinin %50'sinin kadın olması,

2) tüm kadınların sadece %30'u saçlarını sık boyar,

3) bunlardan sadece %10'u boyalı saçlar için balzam kullanır,

4) bunlardan sadece %10'u yeni bir ürün deneme cesaretini toplayabilir,

5) %70'i genellikle her şeyi bizden değil, rakiplerimizden alıyor.

Olasılıkların çarpımı yasasına göre, bizi ilgilendiren olayın olasılığını belirleriz A \u003d (bir şehir sakini bu yeni balsamı bizden satın alır) \u003d 0.00045. Bu olasılık değerini şehrin sakinlerinin sayısıyla çarpın. Sonuç olarak, sadece 45 potansiyel alıcımız var ve bu ürünün bir şişesinin birkaç ay sürdüğü göz önüne alındığında, ticaret çok canlı değil. Yine de, değerlendirmelerimizin faydaları var. İlk olarak, farklı iş fikirlerinin tahminlerini karşılaştırabiliriz, diyagramlarda farklı “çatalları” olacak ve elbette olasılık değerleri de farklı olacaktır. İkincisi, daha önce de söylediğimiz gibi, rastgele değer Rastgele olarak adlandırılmaz çünkü hiçbir şeye bağlı değildir. Sadece kesin anlamı önceden bilinmemektedir. Ortalama alıcı sayısının artırılabileceğini biliyoruz (örneğin, yeni bir ürünün reklamını yaparak). Bu nedenle, olasılık dağılımının özellikle bize uymadığı "çatallara", etkileyebileceğimiz faktörlere odaklanmak mantıklıdır. Tüketici davranışı araştırmasının başka bir nicel örneğini düşünün.

Örnek 3 Gıda pazarını günde ortalama 10.000 kişi ziyaret etmektedir. Bir pazar ziyaretçisinin bir mandıra köşküne girme olasılığı 1/2'dir. Bu pavyonda günde ortalama 500 kg çeşitli ürün satıldığı biliniyor. Pavyondaki ortalama satın almanın sadece 100 gr ağırlığında olduğu söylenebilir mi?

Tartışma.

Tabii ki değil. Pavyona giren herkesin oradan bir şey satın almadığı açık.

Şemada görüldüğü gibi ortalama satın alma ağırlığı ile ilgili soruya cevap verebilmek için pavyona giren bir kişinin oradan bir şey satın alma olasılığı nedir sorusunun cevabını bulmamız gerekiyor. Elimizde bu tür veriler yoksa, ancak onlara ihtiyacımız varsa, onları bir süre pavyon ziyaretçilerini gözlemledikten sonra kendimiz elde etmek zorunda kalacağız. Gözlemlerimizin, pavyona gelen ziyaretçilerin yalnızca beşte birinin bir şey satın aldığını gösterdiğini varsayalım. Bu tahminler tarafımızdan elde edilir edilmez, görev zaten basit hale gelir. Pazara gelen 10.000 kişiden 5.000'i süt ürünleri pavyonuna gidecek, sadece 1.000 alım olacak.Ortalama alım ağırlığı 500 gram. Olanların tam bir resmini oluşturmak için, koşullu "dallanma" mantığının, akıl yürütmemizin her aşamasında sanki "somut" bir durumla çalışıyormuşuz gibi açık bir şekilde tanımlanması gerektiğini belirtmek ilginçtir. olasılıklarla.

Kendi kendine muayene için görevler.

1. yemesine izin verin elektrik devresi, her biri diğerlerinden bağımsız olarak çalışan n seri bağlı elemandan oluşur. Her elemanın başarısız olmama olasılığı p bilinmektedir. Devrenin tüm bölümünün (a olayı) düzgün çalışma olasılığını belirleyin.

2. Öğrenci 25 sınav sorusundan 20'sini bilir. Öğrencinin, sınav görevlisi tarafından kendisine verilen üç soruyu biliyor olma olasılığını bulun.

3. Üretim, her biri bir sonraki ay boyunca arıza olasılığı sırasıyla p 1 , p 2 , p 3 ve p 4 olan ekipmanı çalıştıran dört ardışık aşamadan oluşur. Bir ay içinde ekipman arızası nedeniyle üretimin durmama olasılığını bulun.

Ekonomide, insan faaliyetinin diğer alanlarında veya doğada olduğu gibi, sürekli olarak doğru bir şekilde tahmin edilemeyen olaylarla uğraşmak zorundayız. Bu nedenle, mal satış hacmi, önemli ölçüde değişebilen talebe ve dikkate alınması neredeyse imkansız olan bir dizi başka faktöre bağlıdır. Bu nedenle, üretim ve satış organizasyonunda, bu tür faaliyetlerin sonucunu, kişinin kendi önceki deneyimlerine veya diğer insanların benzer deneyimlerine veya yine büyük ölçüde deneysel verilere dayanan sezgilerine dayanarak tahmin etmesi gerekir.

Söz konusu olayı bir şekilde değerlendirmek için, bu olayın kaydedildiği koşulları dikkate almak veya özel olarak düzenlemek gerekir.

Söz konusu olayı tanımlamak için belirli koşulların veya eylemlerin uygulanmasına denir. deneyim veya Deney.

olay denir rastgele eğer deney sonucunda meydana gelebilir veya gelmeyebilir.

olay denir güvenilir, eğer zorunlu olarak bu deneyimin bir sonucu olarak ortaya çıkıyorsa ve imkansız eğer bu deneyimde ortaya çıkamazsa.

Örneğin, 30 Kasım'da Moskova'da kar yağışı rastgele bir olaydır. Günlük gün doğumu belirli bir olay olarak kabul edilebilir. Ekvatorda kar yağışı imkansız bir olay olarak görülebilir.

Olasılık teorisindeki ana problemlerden biri, bir olayın meydana gelme olasılığının nicel bir ölçüsünü belirleme problemidir.

Olayların cebiri

Aynı deneyimde birlikte gözlemlenemeyen olaylara uyumsuz denir. Bu nedenle, aynı anda satılık bir mağazada iki ve üç otomobilin bulunması iki uyumsuz olaydır.

toplam olaylar, bu olaylardan en az birinin meydana gelmesinden oluşan bir olaydır.

Olayların toplamına bir örnek, bir mağazada iki üründen en az birinin bulunmasıdır.

iş olaylar, tüm bu olayların aynı anda meydana gelmesinden oluşan bir olay olarak adlandırılır.

Mağazada aynı anda iki malın ortaya çıkmasından oluşan bir olay, olayların bir ürünüdür: - bir ürünün görünüşü, - başka bir ürünün görünüşü.

Olaylar, deneyimde en az birinin mutlaka gerçekleşmesi durumunda tam bir olaylar grubunu oluşturur.

Örnek. Limanda gemiler için iki rıhtım bulunmaktadır. Üç olay düşünülebilir: - rıhtımlarda gemi olmaması, - rıhtımlardan birinde bir geminin bulunması, - iki rıhtımda iki geminin bulunması. Bu üç olay, tam bir olaylar grubu oluşturur.

Karşısında tam bir grup oluşturan iki benzersiz olası olaya denir.

Zıt olaylardan biri ile gösterilirse, zıt olay genellikle ile gösterilir.

Bir olayın olasılığının klasik ve istatistiksel tanımları

Eşit derecede olası test sonuçlarının (deneylerin) her birine temel sonuç denir. Genellikle harflerle gösterilirler. Örneğin bir zar atılıyor. Kenarlardaki noktaların sayısına göre altı temel sonuç olabilir.

Temel sonuçlardan daha karmaşık bir olay oluşturabilirsiniz. Böylece, çift sayıda nokta olayı üç sonuçla belirlenir: 2, 4, 6.

Söz konusu olayın meydana gelme olasılığının nicel bir ölçüsü olasılıktır.

Çoğu geniş kullanım bir olayın olasılığının iki tanımını aldı: klasik ve istatistiksel.

Olasılığın klasik tanımı, olumlu bir sonuç kavramıyla ilgilidir.

Çıkış denir elverişli bu olay, gerçekleşmesi bu olayın gerçekleşmesini gerektiriyorsa.

Verilen örnekte, söz konusu olay, bırakılan kenarda çift sayıda noktadır ve üç olumlu sonucu vardır. Bu durumda genel
olası sonuçların sayısı. Yani burada bir olayın olasılığının klasik tanımını kullanabilirsiniz.

Klasik tanım olumlu sonuçların sayısının olası sonuçların toplam sayısına oranına eşittir

olayın olasılığı nerede, olay için olumlu sonuçların sayısıdır, toplam sayısı Olası sonuçlar.

İncelenen örnekte

Olasılığın istatistiksel tanımı, deneylerde bir olayın göreceli meydana gelme sıklığı kavramı ile ilişkilidir.

Bir olayın nispi oluşma sıklığı aşağıdaki formülle hesaplanır.

nerede bir dizi deneyde (testlerde) bir olayın meydana gelme sayısıdır.

istatistiksel tanım. Bir olayın olasılığı, deney sayısında sınırsız bir artışla bağıl frekansın sabitlendiği (kurulduğu) göreli sayıdır.

Pratik problemlerde, göreli frekans, bir olayın yeterli bir hızda olma olasılığı olarak alınır. büyük sayılar testler.

Bir olayın olasılığının bu tanımlarından, eşitsizliğin her zaman geçerli olduğu görülebilir.

(1.1) formülüne dayalı olarak bir olayın olasılığını belirlemek için, kombinatorik formüller genellikle olumlu sonuçların sayısını ve olası sonuçların toplam sayısını bulmak için kullanılır.

Pek çok insanın, az çok rastgele olan olayları hesaplamanın mümkün olup olmadığını düşünmesi pek olası değildir. Konuşuyorum basit terimlerle, bir dahaki sefere kalıbın hangi tarafının düşeceğini bilmek gerçekçi mi? Bir olayın olasılığının oldukça kapsamlı bir şekilde incelendiği olasılık teorisi gibi bir bilimin temelini atan iki büyük bilim adamının sorduğu soru buydu.

Menşei

Olasılık teorisi gibi bir kavramı tanımlamaya çalışırsanız, aşağıdakileri elde edersiniz: Bu, rastgele olayların sabitliğini inceleyen matematiğin dallarından biridir. Tabii ki, bu kavram özün tamamını ortaya çıkarmaz, bu yüzden onu daha ayrıntılı olarak düşünmek gerekir.

Teorinin yaratıcılarından başlamak istiyorum. Yukarıda bahsedildiği gibi, iki kişi vardı ve bir olayın sonucunu formüller ve matematiksel hesaplamalar kullanarak hesaplamaya çalışan ilk kişiler arasında onlardı. Genel olarak, bu bilimin başlangıcı Orta Çağ'da ortaya çıktı. O zaman, çeşitli düşünürler ve bilim adamları, rulet, zar ve benzeri gibi kumarı analiz etmeye çalıştılar, böylece belirli bir sayının düşme yüzdesini ve modelini oluşturdular. Temeli, on yedinci yüzyılda adı geçen bilim adamları tarafından atıldı.

İlk başta, çalışmaları bu alandaki büyük başarılara atfedilemezdi, çünkü yaptıkları her şey sadece ampirik gerçeklerdi ve deneyler formül kullanılmadan görsel olarak yapıldı. Zamanla, zarların atılmasını gözlemlemenin bir sonucu olarak ortaya çıkan harika sonuçlar elde ettiği ortaya çıktı. İlk anlaşılır formüllerin türetilmesine yardımcı olan bu araçtı.

Aynı görüşte olan insan, hemfikir

"Olasılık teorisi" adı verilen bir konuyu inceleme sürecinde Christian Huygens gibi bir kişiden bahsetmemek imkansızdır (bir olayın olasılığı tam olarak bu bilimde ele alınmaktadır). Bu kişi çok ilginç. Yukarıda sunulan bilim adamları gibi, rastgele olayların düzenliliğini matematiksel formüller şeklinde elde etmeye çalıştı. Bunu Pascal ve Fermat ile birlikte yapmaması, yani tüm eserlerinin hiçbir şekilde bu zihinlerle kesişmemesi dikkat çekicidir. Huygens ortaya çıktı

İlginç bir gerçek, eserinin, keşifçilerin çalışmalarının sonuçlarından çok önce, daha doğrusu yirmi yıl önce ortaya çıkmasıdır. Belirlenen kavramlar arasında en ünlüsü:

• şansın büyüklüğü olarak olasılık kavramı;
• ayrık durumlar için matematiksel beklenti;
• çarpma ve olasılık toplama teoremleri.

Sorunun araştırılmasına kimin de önemli bir katkı sağladığını hatırlamamak da mümkün değil. Kimseden bağımsız olarak kendi testlerini yaparak kanunun ispatını sunmayı başardı. büyük sayılar. Buna karşılık, on dokuzuncu yüzyılın başında çalışan bilim adamları Poisson ve Laplace, orijinal teoremleri kanıtlayabildiler. Bu andan itibaren, gözlemler sırasındaki hataları analiz etmek için olasılık teorisi kullanılmaya başlandı. yan baypas bu bilim ne de Rus bilim adamları, daha doğrusu Markov, Chebyshev ve Dyapunov. Büyük dahilerin yaptığı çalışmalara dayanarak bu konuyu matematiğin bir dalı olarak belirlemişlerdir. Bu rakamlar on dokuzuncu yüzyılın sonunda zaten işe yaradı ve katkıları sayesinde aşağıdaki gibi fenomenler:

• büyük sayılar yasası;
• Markov zincirleri teorisi;
• Merkezi Limit Teoremi.

Bu nedenle, bilimin doğuşunun tarihi ve onu etkileyen ana insanlarla her şey az çok açıktır. Şimdi tüm gerçekleri somutlaştırma zamanı.

Temel konseptler

Kanunlara ve teoremlere değinmeden önce olasılık teorisinin temel kavramlarını incelemeye değer. Olay, içinde başrolü üstleniyor. Bu konu oldukça hacimlidir, ancak onsuz her şeyi anlamak mümkün olmayacaktır.

Olasılık teorisindeki bir olay, bir deneyin herhangi bir sonuç kümesidir. Bu fenomenin çok fazla kavramı yoktur. Yani, bu alanda çalışan bilim adamı Lotman, bu durumda Konuşuyoruz"Olmasa da, olanlarla" ilgili.

Rastgele olaylar (olasılık teorisi onlara özel önem verir), meydana gelme yeteneğine sahip herhangi bir fenomeni kesinlikle ifade eden bir kavramdır. Veya tam tersine, birçok koşul karşılandığında bu senaryo gerçekleşmeyebilir. Ayrıca, meydana gelen tüm fenomen hacmini yakalayan rastgele olaylar olduğunu bilmeye değer. Olasılık teorisi, tüm koşulların sürekli olarak tekrarlanabileceğini gösterir. "Deney" veya "test" olarak adlandırılan onların davranışlarıydı.

Belirli bir olay, belirli bir testte %100 gerçekleşecek bir olaydır. Buna göre, imkansız bir olay, olmayacak bir olaydır.

Bir çift eylemin kombinasyonu (koşullu olarak A durumu ve B durumu) aynı anda meydana gelen bir olgudur. AB olarak tanımlanırlar.

A ve B olay çiftlerinin toplamı C'dir, başka bir deyişle, bunlardan en az biri gerçekleşirse (A veya B), o zaman C elde edilir.Açıklanan fenomenin formülü şu şekilde yazılır: C \u003d A + B.

Olasılık teorisindeki ayrık olaylar, iki durumun birbirini dışladığı anlamına gelir. Asla aynı anda olamazlar. Olasılık teorisindeki ortak olaylar onların antipodudur. Bu, eğer A gerçekleştiyse, B'yi hiçbir şekilde engellemediği anlamına gelir.

Zıt olaylar (olasılık teorisi onlarla ayrıntılı olarak ilgilenir) anlaşılması kolaydır. Onlarla karşılaştırmalı olarak uğraşmak en iyisidir. Olasılık teorisindeki uyumsuz olaylarla neredeyse aynıdırlar. Ancak aralarındaki fark, her durumda birçok fenomenden birinin gerçekleşmesi gerektiği gerçeğinde yatmaktadır.

Eşit olasılıklı olaylar, tekrarlanma olasılığı eşit olan eylemlerdir. Daha açık hale getirmek için, bir madeni paranın havaya atıldığını hayal edebiliriz: Bir tarafının kaybının diğerinden düşme olasılığı eşit.

Olumlu bir olayı bir örnekle görmek daha kolaydır. Diyelim ki B bölümü ve A bölümü var. Birincisi tek sayı görünümü ile zarın yuvarlanması, ikincisi ise beş numaranın zar üzerindeki görünümüdür. Sonra A'nın B'yi kayırdığı ortaya çıktı.

Olasılık teorisindeki bağımsız olaylar, yalnızca iki veya daha fazla duruma yansıtılır ve herhangi bir eylemin diğerinden bağımsız olduğunu ima eder. Örneğin, A - yazı tura atarken kuyrukları düşürmek ve B - güverteden bir kriko almak. Olasılık teorisinde bağımsız olaylardır. Bu noktada daha da netleşti.

Olasılık teorisindeki bağımlı olaylar da sadece kendi kümeleri için kabul edilebilir. Birinin diğerine bağımlılığını ima ederler, yani B fenomeni ancak A zaten olmuşsa veya tam tersine, B için ana koşul olduğunda gerçekleşmemişse ortaya çıkabilir.

Bir bileşenden oluşan rastgele bir deneyin sonucu, temel olaylardır. Olasılık teorisi, bunun yalnızca bir kez olan bir fenomen olduğunu açıklar.

Temel formüller

Böylece yukarıda "olay", "olasılık teorisi" kavramları ele alınmış, bu bilimin ana terimlerinin tanımı da verilmiştir. Şimdi doğrudan önemli formüllerle tanışma zamanı. Bu ifadeler, olasılık teorisi gibi zor bir konudaki tüm ana kavramları matematiksel olarak doğrulamaktadır. Bir olayın olasılığı burada da büyük bir rol oynar.

Ana olanlarla başlamak daha iyidir ve onlara geçmeden önce ne olduğunu düşünmeye değer.

Kombinatorik öncelikle matematiğin bir dalıdır, çok sayıda tam sayının yanı sıra hem sayıların hem de öğelerinin çeşitli permütasyonlarının, çeşitli verilerin vb. Olasılık teorisine ek olarak, bu dal istatistik, bilgisayar bilimi ve kriptografi için önemlidir.

Böylece, şimdi formüllerin sunumuna ve tanımlarına geçebilirsiniz.

Bunlardan ilki, permütasyon sayısı için bir ifade olacaktır, şöyle görünür:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Denklem, yalnızca öğeler yalnızca sıralarına göre farklılık gösteriyorsa geçerlidir.

Şimdi yerleştirme formülü dikkate alınacak, şöyle görünüyor:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Bu ifade sadece elementin düzeni için değil, aynı zamanda bileşimi için de geçerlidir.

Kombinatoriklerin üçüncü denklemi ve aynı zamanda sonuncusu, kombinasyon sayısı formülü olarak adlandırılır:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

Bir kombinasyona sırasıyla sıralanmamış bir seçim denir ve bu kural onlar için geçerlidir.

Kombinatorik formüllerini bulmanın kolay olduğu ortaya çıktı, şimdi klasik olasılık tanımına geçebiliriz. Bu ifade şöyle görünür:

Bu formülde, m, A olayı için elverişli koşulların sayısıdır ve n, kesinlikle tüm eşit olası ve temel sonuçların sayısıdır.

Çok sayıda ifade var, makale hepsini kapsamayacak, ancak örneğin olayların toplamının olasılığı gibi en önemlilerine değinilecektir:

P(A + B) = P(A) + P(B) - bu teorem sadece uyumsuz olayları eklemek içindir;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - ve bu sadece uyumlu olanları eklemek içindir.

Olay üretme olasılığı:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - bu teorem bağımsız olaylar içindir;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - ve bu bağımlılar içindir.

Olay formülü listeyi sonlandıracaktır. Olasılık teorisi bize şuna benzeyen Bayes teoremini anlatır:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

Bu formülde H 1 , H 2 , …, H n hipotezlerin tam grubudur.

Örnekler

Matematiğin herhangi bir dalını dikkatlice incelerseniz, alıştırmalar ve örnek çözümler olmadan tamamlanmış sayılmaz. Olasılık teorisi de öyle: olaylar, buradaki örnekler, bilimsel hesaplamaları doğrulayan ayrılmaz bir bileşendir.

Permütasyon sayısı için formül

Diyelim ki bir deste iskambil destesinde, yüz değerinden başlayarak otuz kart var. Sonraki soru. Yüz değeri bir ve iki olan kartların yan yana olmaması için desteyi istiflemenin kaç yolu vardır?

Görev belirlendi, şimdi çözmeye geçelim. İlk önce otuz elementin permütasyon sayısını belirlemeniz gerekiyor, bunun için yukarıdaki formülü alıyoruz, çıkıyor P_30 = 30!.

Bu kurala dayanarak, desteyi farklı şekillerde katlamak için kaç seçenek olduğunu bulacağız, ancak bunlardan birinci ve ikinci kartların sıradakileri çıkarmamız gerekiyor. Bunu yapmak için, ilki ikincinin üstünde olduğunda seçenekle başlayalım. İlk kartın yirmi dokuz yer alabileceği ortaya çıktı - birinciden yirmi dokuzuncuya ve ikinci karttan otuzuncuya kadar, bir çift kart için sadece yirmi dokuz yer çıkıyor. Buna karşılık, geri kalanı yirmi sekiz yerde ve herhangi bir sırayla alabilir. Yani, yirmi sekiz kartın bir permütasyonu için yirmi sekiz seçenek vardır P_28 = 28!

Sonuç olarak, ilk kart ikincinin üzerindeyken çözümü düşünürsek, 29 ⋅ 28 ekstra olasılık olduğu ortaya çıkıyor! = 29!

Aynı yöntemi kullanarak, ilk kartın ikincinin altında olduğu durum için gereksiz seçeneklerin sayısını hesaplamanız gerekir. Ayrıca 29 ⋅ 28 çıkıyor! = 29!

Bundan, 2 ⋅ 29! ekstra seçenek olduğu ve güverteyi inşa etmek için 30 gerekli yol olduğu sonucu çıkıyor! - 2 ⋅ 29!. Geriye sadece saymak kalıyor.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Şimdi birden yirmi dokuza kadar olan tüm sayıları kendi aralarında çarpmanız ve sonunda her şeyi 28 ile çarpmanız gerekiyor. Cevap 2.4757335 ⋅〖10〗^32

Örnek çözüm. Yerleştirme Numarası Formülü

Bu problemde, on beş cildi bir rafa koymanın kaç yolu olduğunu, ancak toplamda otuz cilt olması şartıyla bulmanız gerekiyor.

Bu problemde, çözüm öncekinden biraz daha basittir. Halihazırda bilinen formülü kullanarak, otuz on beş ciltten toplam düzenleme sayısını hesaplamak gerekir.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Cevap sırasıyla 202.843.204.931.727.360.000'e eşit olacaktır.

Şimdi görevi biraz daha zorlaştıralım. Bir rafta yalnızca on beş cilt olması koşuluyla, otuz kitabı iki rafa yerleştirmenin kaç yolu olduğunu bulmanız gerekir.

Çözüme başlamadan önce, bazı problemlerin birkaç şekilde çözüldüğünü açıklığa kavuşturmak istiyorum, bu yüzden bunda iki yol var ama her ikisinde de aynı formül kullanılıyor.

Bu problemde, cevabı bir öncekinden alabilirsiniz, çünkü orada on beş kitapla bir rafı farklı şekillerde kaç kez doldurabileceğinizi hesapladık. A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16 çıktı.

İkinci rafı permütasyon formülüne göre hesaplıyoruz, çünkü içine on beş kitap yerleştirilirken sadece on beş kitap kaldı. P_15 = 15 formülünü kullanıyoruz!

Toplamda A_30^15 ⋅ P_15 yolları olacağı ortaya çıktı, ancak ek olarak, otuzdan on altıya kadar olan tüm sayıların çarpımının birden on beşe kadar olan sayıların çarpımı ile çarpılması gerekecek, sonuç olarak, birden otuza kadar olan tüm sayıların çarpımı elde edilecektir, yani cevap 30'a eşittir!

Ancak bu sorun farklı bir şekilde çözülebilir - daha kolay. Bunu yapmak için otuz kitaplık bir raf olduğunu hayal edebilirsiniz. Hepsi bu düzleme yerleştirilmiş, ancak durum iki raf olmasını gerektirdiğinden, bir uzun bir ortadan ikiye kesiyoruz, her biri iki on beş çıkıyor. Bundan, yerleştirme seçeneklerinin P_30 = 30 olabileceği ortaya çıkıyor!.

Örnek çözüm. Kombinasyon numarası formülü

Şimdi kombinatoriklerden üçüncü problemin bir varyantını ele alacağız. Birbirinin aynısı otuz kitap arasından seçim yapmanız şartıyla, on beş kitabı düzenlemenin kaç yolu olduğunu bulmanız gerekir.

Çözüm için elbette kombinasyon sayısı formülü uygulanacaktır. Koşuldan, aynı on beş kitabın sırasının önemli olmadığı açıkça ortaya çıkıyor. Bu nedenle, başlangıçta on beş kitaptan oluşan otuz kitabın toplam kombinasyon sayısını bulmanız gerekir.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : onbeş ! = 155 117 520

Bu kadar. Bu formülü kullanarak, mümkün olan en kısa sürede böyle bir sorunu çözmek mümkün oldu, cevap sırasıyla 155 117 520'dir.

Örnek çözüm. Olasılığın klasik tanımı

Yukarıdaki formülü kullanarak cevabı basit bir problemde bulabilirsiniz. Ancak eylemlerin seyrini görsel olarak görmeye ve izlemeye yardımcı olacaktır.

Sorun şu ki, kavanozda tamamen aynı on top var. Bunlardan dördü sarı, altısı mavidir. Vazodan bir top alınır. Mavi olma olasılığını bulman gerekiyor.

Sorunu çözmek için mavi topu almayı A olayı olarak adlandırmak gerekir. Bu deneyimin on sonucu olabilir, bu da sırasıyla temel ve eşit derecede olasıdır. Aynı zamanda, A olayı için onda altısı uygundur. Aşağıdaki formülü kullanarak çözeriz:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Bu formülü uygulayarak mavi top gelme olasılığının 0,6 olduğunu bulduk.

Örnek çözüm. Olayların toplamının olasılığı

Şimdi olayların toplamının olasılığı için formül kullanılarak çözülen bir değişken sunulacak. Yani, iki kutu olması koşuluyla, ilki bir gri ve beş beyaz top içerir ve ikincisi sekiz gri ve dört beyaz top içerir. Sonuç olarak, bunlardan biri birinci ve ikinci kutulardan alındı. Çıkarılan topların gri ve beyaz olma olasılığının ne olduğunu bulmak gerekir.

Bu sorunu çözmek için olayları belirlemek gerekir.

• Yani, A - ilk kutudan gri bir top alın: P(A) = 1/6.
• A '- ilk kutudan da beyaz bir top aldılar: P (A ") \u003d 5/6.
• B - ikinci kutudan gri bir top alındı: P(B) = 2/3.
• B' - ikinci kutudan gri bir top aldılar: P(B") = 1/3.

Problemin durumuna göre, fenomenlerden birinin meydana gelmesi gerekir: AB 'veya A'B. Formülü kullanarak şunları elde ederiz: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Şimdi olasılığı çarpma formülü kullanıldı. Ardından, cevabı bulmak için denklemi eklemeleri için uygulamanız gerekir:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Böylece, formülü kullanarak benzer sorunları çözebilirsiniz.

Sonuç

Makale, bir olayın olasılığının çok önemli bir rol oynadığı "Olasılık Teorisi" konusunda bilgi verdi. Tabii ki, her şey dikkate alınmadı, ancak sunulan metne dayanarak, matematiğin bu bölümü teorik olarak tanınabilir. Söz konusu bilim sadece profesyonel çalışmalarda değil, aynı zamanda Gündelik Yaşam. Onun yardımıyla, herhangi bir olayın herhangi bir olasılığını hesaplayabilirsiniz.

Metin ayrıca, bir bilim olarak olasılık teorisinin oluşum tarihindeki önemli tarihlere ve buna yatırım yapan kişilerin isimlerine de değindi. Bu, insan merakının insanların rastgele olayları bile hesaplamayı öğrenmesine yol açtı. Bir zamanlar sadece onunla ilgileniyorlardı, ama bugün herkes bunu zaten biliyor. Ve hiç kimse gelecekte bizi neyin beklediğini, söz konusu teoriyle ilgili başka hangi parlak keşiflerin yapılacağını söylemeyecek. Ancak kesin olan bir şey var - araştırma durmuyor!