Bazen hayatta, uzun zamandır unutulmuş olanı aramak için hafızaya girmeniz gereken durumlar vardır. okul bilgisi. Örneğin, üçgen şeklindeki bir arsanın alanını veya bir apartman dairesinde veya özel bir evde bir sonraki onarımın sırasını belirlemeniz ve ne kadar malzeme alacağını hesaplamanız gerekir. üçgen şekilli bir yüzey için. Birkaç dakika içinde böyle bir sorunu çözebileceğiniz bir zaman vardı ve şimdi umutsuzca bir üçgenin alanını nasıl belirleyeceğinizi hatırlamaya mı çalışıyorsunuz?

Bu konuda endişelenmenize gerek yok! Sonuçta, insan beyninin uzun süredir kullanılmayan bilgiyi uzak bir köşede bir yere kaydırmaya karar vermesi oldukça normaldir ve bu bazen onu çıkarmak o kadar kolay değildir. Böyle bir sorunu çözmek için unutulmuş okul bilgilerini aramakla uğraşmanıza gerek kalmaması için, bu makale bir üçgenin istenen alanını bulmayı kolaylaştıran çeşitli yöntemler içermektedir.

Bir üçgenin, mümkün olan minimum kenar sayısı ile sınırlı bir çokgen türü olduğu iyi bilinmektedir. Prensip olarak, herhangi bir çokgen, köşelerini kenarlarını kesmeyen bölümlerle birleştirerek birkaç üçgene bölünebilir. Bu nedenle, üçgeni bilerek, hemen hemen her şeklin alanını hesaplayabilirsiniz.

Hayatta meydana gelen tüm olası üçgenler arasında, aşağıdaki belirli türler ayırt edilebilir: ve dikdörtgen.

Bir üçgenin alanını hesaplamanın en kolay yolu, köşelerinden birinin doğru olması, yani bir dik üçgen olması durumudur. Yarım dikdörtgen olduğunu görmek kolaydır. Bu nedenle alanı, aralarında dik açı oluşturan kenarların çarpımının yarısına eşittir.

Bir üçgenin bir köşesinden karşı kenara indirilen yüksekliğini ve taban denilen bu kenarın uzunluğunu biliyorsak, alan, yükseklik ve tabanın çarpımının yarısı olarak hesaplanır. Bu, aşağıdaki formül kullanılarak yazılır:

S = 1/2*b*h, ki burada

S, üçgenin istenen alanıdır;

b, h - sırasıyla üçgenin yüksekliği ve tabanı.

Bir ikizkenar üçgenin alanını hesaplamak çok kolaydır, çünkü yükseklik karşı tarafı ikiye böler ve kolayca ölçülebilir. Alan belirlenirse, dik açı oluşturan kenarlardan birinin uzunluğunu yükseklik olarak almak uygundur.

Bütün bunlar kesinlikle iyidir, ancak bir üçgenin köşelerinden birinin doğru olup olmadığı nasıl belirlenir? Figürümüzün boyutu küçükse, bir yapı açısı, bir çizim üçgeni, bir kartpostal veya dikdörtgen şeklinde başka bir nesne kullanabilirsiniz.

Peki ya üçgen bir arsamız varsa? Bu durumda, aşağıdaki gibi ilerleyin: önerilenin en üstünden sayın dik açı bir tarafta 3'ün katları (30 cm, 90 cm, 3 m), diğer tarafta 4'ün katları (40 cm, 160 cm, 4 m) aynı oranda ölçülür. Şimdi bu iki parçanın uç noktaları arasındaki mesafeyi ölçmeniz gerekiyor. Değer 5'in katıysa (50 cm, 250 cm, 5 m), açının doğru olduğu söylenebilir.

Figürümüzün üç tarafının her birinin uzunluğunun değeri biliniyorsa, üçgenin alanı Heron formülü kullanılarak belirlenebilir. Daha basit bir forma sahip olması için yarı çevre adı verilen yeni bir değer kullanılır. Bu, üçgenimizin tüm kenarlarının toplamıdır, ikiye bölünmüştür. Yarı çevre hesaplandıktan sonra, aşağıdaki formülü kullanarak alanı belirlemeye başlayabilirsiniz:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)) burada

Meydan- Kare kök;

p, yarı çevrenin değeridir (p =(a+b+c)/2);

a, b, c - üçgenin kenarları (kenarları).

Peki ya üçgen düzensiz bir şekle sahipse? Burada iki olası yol var. Bunlardan ilki, böyle bir şekli, alanları toplamı ayrı ayrı hesaplanan ve ardından eklenen iki dik üçgene bölmeye çalışmaktır. Veya iki kenar arasındaki açı ve bu kenarların boyutu biliniyorsa aşağıdaki formülü uygulayın:

S = 0,5 * ab * sinC, burada

a,b - üçgenin kenarları;

c, bu taraflar arasındaki açıdır.

İkinci durum pratikte nadirdir, ancak yine de hayatta her şey mümkündür, bu nedenle yukarıdaki formül gereksiz olmayacaktır. Hesaplamalarınızda iyi şanslar!

Üçgen iyi bilinen bir figürdür. Ve bu, formlarının zengin çeşitliliğine rağmen. Dikdörtgen, eşkenar, akut, ikizkenar, geniş. Her biri biraz farklı. Ancak herhangi biri için üçgenin alanını bilmek gerekir.

Kenar uzunluklarını veya yüksekliklerini kullanan tüm üçgenler için ortak formüller

İçlerinde kabul edilen tanımlamalar: taraflar - a, b, c; a, n in, n s üzerindeki karşılık gelen taraflardaki yükseklikler.

1. Bir üçgenin alanı, ½, kenar ve üzerine indirilen yüksekliğin çarpımı olarak hesaplanır. S = ½ * bir * n bir. Benzer şekilde, diğer iki taraf için formüller yazılmalıdır.

2. Yarım çevrenin göründüğü Heron formülü (tam çevrenin aksine küçük bir p harfi ile belirtmek gelenekseldir). Yarı çevre aşağıdaki gibi hesaplanmalıdır: tüm kenarları toplayın ve 2'ye bölün. Yarı çevre formülü: p \u003d (a + b + c) / 2. Ardından \ alanı için eşitlik şekil şöyle görünür: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Bir yarı çevre kullanmak istemiyorsanız, yalnızca kenarların uzunluklarının bulunduğu böyle bir formül kullanışlı olacaktır: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). Bir öncekinden biraz daha uzun, ancak yarı çevreyi nasıl bulacağınızı unuttuysanız yardımcı olacaktır.

Bir üçgenin açılarının göründüğü genel formüller

Formülleri okumak için gereken gösterim: α, β, γ - açılar. Sırasıyla a, b, c kenarlarında bulunurlar.

1. Buna göre iki kenarın çarpımının yarısı ve aralarındaki açının sinüsü üçgenin alanına eşittir. Yani: S = ½ a * b * günah γ. Diğer iki durum için formüller benzer şekilde yazılmalıdır.

2. Bir üçgenin alanı bir taraftan ve bilinen üç açıdan hesaplanabilir. S \u003d (a 2 * günah β * günah γ) / (2 günah α).

3. Bir kenarı bilinen ve ona bitişik iki açısı olan bir formül de vardır. Şuna benziyor: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Son iki formül en basit değil. Onları hatırlamak oldukça zor.

Yazılı veya sınırlı dairelerin yarıçaplarının bilindiği durum için genel formüller

Ek tanımlamalar: r, R — yarıçaplar. Birincisi, yazılı dairenin yarıçapı için kullanılır. İkincisi tarif edilen içindir.

1. Bir üçgenin alanının hesaplandığı ilk formül, yarı çevre ile ilgilidir. S = r * r. Başka bir şekilde şu şekilde yazılabilir: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. İkinci durumda, üçgenin tüm kenarlarını çarpmanız ve bunları çevrelenmiş dairenin dörtlü yarıçapına bölmeniz gerekecektir. Kelimenin tam anlamıyla şöyle görünür: S \u003d (a * b * c) / (4R).

3. Üçüncü durum, kenarları bilmeden yapmanızı sağlar, ancak üç açının da değerlerine ihtiyacınız vardır. S \u003d 2 R 2 * günah α * günah β * günah γ.

Özel durum: dik üçgen

Bu en basit durumdur, çünkü sadece her iki bacağın uzunluğu gereklidir. Latin harfleri a ve b ile gösterilirler. Bir dik üçgenin alanı, kendisine eklenen dikdörtgenin alanının yarısına eşittir.

Matematiksel olarak şöyle görünür: S = ½ a * b. O, hatırlaması en kolay olandır. Dikdörtgenin alan formülü gibi göründüğü için, yalnızca yarısını gösteren bir kesir görünür.

Özel durum: ikizkenar üçgen

İki kenarı eşit olduğundan, alanı için bazı formüller biraz basitleştirilmiş görünüyor. Örneğin, bir ikizkenar üçgenin alanını hesaplayan Heron formülü aşağıdaki şekli alır:

S = ½ inç √((a + ½ inç)*(a - ½ inç)).

Eğer çevirirseniz, daha kısa olacaktır. Bu durumda, Heron'un ikizkenar üçgen formülü aşağıdaki gibi yazılır:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

Alan formülü, kenarlar ve aralarındaki açı biliniyorsa, keyfi bir üçgenden biraz daha basit görünür. S \u003d ½ a 2 * günah β.

Özel durum: eşkenar üçgen

Genellikle onunla ilgili problemlerde taraf bilinir veya bir şekilde tanınabilir. Daha sonra böyle bir üçgenin alanını bulma formülü aşağıdaki gibidir:

S = (a 2 √3) / 4.

Kareli kağıda üçgen gösteriliyorsa alanı bulma görevleri

En basit durum, dik açılı bir üçgen çizildiğinde, bacakları kağıdın çizgileriyle çakışacak şekilde çizilir. O zaman sadece bacaklara uyan hücre sayısını saymanız gerekir. Sonra onları çarpın ve ikiye bölün.

Üçgen dar veya geniş olduğunda, bir dikdörtgene çizilmelidir. Sonra ortaya çıkan şekilde 3 üçgen olacak. Biri görevde verilendir. Diğer ikisi ise yardımcı ve dikdörtgendir. Son ikisinin alanları yukarıda açıklanan yöntemle belirlenmelidir. Ardından dikdörtgenin alanını hesaplayın ve yardımcı olanlar için hesaplananları çıkarın. Üçgenin alanı belirlenir.

Çok daha zor olan, üçgenin kenarlarının hiçbirinin kağıdın çizgileriyle çakışmadığı durumdur. Daha sonra, orijinal şeklin köşeleri yanlarında olacak şekilde bir dikdörtgene yazılmalıdır. Bu durumda, üç yardımcı dik üçgen olacaktır.

Heron formülüyle ilgili bir problem örneği

Şart. Bazı üçgenlerin kenarları vardır. 3, 5 ve 6 cm'ye eşittirler, alanını bilmeniz gerekir.

Şimdi yukarıdaki formülü kullanarak bir üçgenin alanını hesaplayabilirsiniz. Karekök altında dört sayının çarpımı bulunur: 7, 4, 2 ve 1. Yani alan √ (4 * 14) = 2 √ (14)'tür.

Daha fazla kesinliğe ihtiyacınız yoksa 14'ün karekökünü alabilirsiniz. 3.74'tür. O zaman alan 7.48'e eşit olacaktır.

Cevap. S \u003d 2 √14 cm 2 veya 7.48 cm 2.

Dik üçgenle ilgili bir problem örneği

Şart. Dik açılı üçgenin bir ayağı ikincisinden 31 cm daha uzundur.Üçgenin alanı 180 cm2 ise uzunluklarını bulmak gerekir.
Çözüm. İki denklemli bir sistemi çözmeniz gerekiyor. Birincisi alanla ilgili. İkincisi, problemde verilen bacakların oranıdır.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
İlk olarak, "a" değeri birinci denklemde ikame edilmelidir. Görünüşe göre: 180 \u003d ½ (+ 31'de) * inç. Sadece bir tane var bilinmeyen miktar, bu yüzden çözmek kolaydır. Parantezleri açtıktan sonra şunu elde ederiz: ikinci dereceden denklem: 2 + 31'de - 360 = 0. "in" için iki değer verir: 9 ve - 40. İkinci sayı cevap olarak uygun değildir, çünkü üçgenin kenar uzunluğu negatif olamaz değer.

İkinci ayağı hesaplamak için kalır: ortaya çıkan sayıya 31 ekleyin, 40 çıkıyor. Bunlar problemde aranan miktarlar.

Cevap. Üçgenin bacakları 9 ve 40 cm'dir.

Bir üçgenin alanı, kenarı ve açısı boyunca kenar bulma görevi

Şart. Bazı üçgenlerin alanı 60 cm2'dir. İkinci kenar 15 cm ve aralarındaki açı 30º ise kenarlarından birini hesaplamak gerekir.

Çözüm. Kabul edilen tanımlamalara göre, istenen taraf “a”, bilinen “b”, verilen açı “γ” dır. Daha sonra alan formülü aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

60 \u003d ½ a * 15 * günah 30º. Burada 30 derecenin sinüsü 0,5'tir.

Dönüşümlerden sonra "a", 60 / (0,5 * 0,5 * 15)'e eşit çıkıyor. Yani 16.

Cevap. İstenilen kenar 16 cm'dir.

Bir dik üçgende yazılı bir kare sorunu

Şart. Bir kenarı 24 cm olan karenin köşesi üçgenin dik açısına denk gelir. Diğer ikisi bacaklar üzerinde yatar. Üçüncüsü hipotenüse aittir. Bacaklardan birinin uzunluğu 42 cm, dik üçgenin alanı nedir?

Çözüm. İki dik üçgen düşünün. İlki görevde belirtilmiştir. İkincisi, orijinal üçgenin bilinen ayağına dayanmaktadır. Benzerdirler çünkü ortak bir açıya sahiptirler ve paralel doğrulardan oluşurlar.

O zaman bacaklarının oranları eşittir. Küçük üçgenin bacakları 24 cm (karenin kenarı) ve 18 cm'dir (bacak 42 cm eksi karenin kenarı 24 cm olarak verilmiştir). karşılık gelen bacaklar büyük üçgen- 42 cm ve x cm Üçgenin alanını hesaplamak için gerekli olan bu “x” dir.

18/42 \u003d 24 / x, yani, x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (cm).

O zaman alan 56 ve 42'nin çarpımına eşittir, ikiye bölünür, yani 1176 cm2.

Cevap. İstenilen alan 1176 cm2'dir.

Bir üçgen, bir düz çizgi üzerinde uzanmayan noktalarda birbirine bağlanan üç düz çizgiden oluşan böyle bir geometrik şekildir. Çizgilerin bağlantı noktaları, Latin harfleriyle gösterilen üçgenin köşeleridir (örneğin, A, B, C). Bir üçgenin birbirine bağlanan düz çizgilerine, genellikle Latin harfleriyle de gösterilen segmentler denir. Aşağıdaki üçgen türleri vardır:

• dikdörtgen.
• geniş.
• Dar açılı.
• Çok yönlü.
• Eşkenar.
• İkizkenar.

Bir üçgenin alanını hesaplamak için genel formüller

Uzunluk ve yükseklik için üçgen alan formülü

S=a*h/2,
a, alanı bulunacak üçgenin kenarının uzunluğu, h, tabana çizilen yüksekliğin uzunluğudur.

Heron'un formülü

S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c),
burada √ karekök, p üçgenin yarı çevresi, a,b,c üçgenin her bir kenarının uzunluğudur. Bir üçgenin yarı çevresi, p=(a+b+c)/2 formülü kullanılarak hesaplanabilir.

Segmentin açısı ve uzunluğu açısından bir üçgenin alanı için formül

S = (a*b*sin(α))/2,
nerede b,cüçgenin kenarlarının uzunluğu, sin (α) iki kenar arasındaki açının sinüsüdür.

Yazılı dairenin yarıçapı ve üç kenarı verilen bir üçgenin alanı için formül

S=p*r,
p, alanı bulunacak olan üçgenin yarı-çevresidir, r, bu üçgende yazılı dairenin yarıçapıdır.

Üç kenarı verilen bir üçgenin alanı ve etrafı çevrili bir dairenin yarıçapı için formül

S= (a*b*c)/4*R,
a,b,c üçgenin her bir kenarının uzunluğu olduğunda, R üçgenin etrafındaki çevrelenmiş dairenin yarıçapıdır.

Noktaların Kartezyen koordinatlarında bir üçgenin alanı için formül

Noktaların Kartezyen koordinatları, x'in apsis ve y'nin ordinat olduğu xOy sistemindeki koordinatlardır. Bir düzlemdeki xOy Kartezyen koordinat sistemine, O noktasında ortak bir referans noktası olan karşılıklı olarak dik sayısal eksenler Ox ve Oy denir. Bu düzlemdeki noktaların koordinatları A (x1, y1), B (x2, y2) ve C (x3, y3 ), daha sonra elde edilen aşağıdaki formülü kullanarak bir üçgenin alanını hesaplayabilirsiniz. vektör ürün iki vektör.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
nerede || modül anlamına gelir.

Bir dik üçgenin alanı nasıl bulunur

Dik üçgen, bir açısı 90 derece olan üçgendir. Bir üçgenin sadece bir tane böyle açısı olabilir.

İki ayak üzerinde bir dik üçgenin alanı için formül

S=a*b/2,
burada a,b bacakların uzunluğudur. Bacaklara dik açıya bitişik kenarlar denir.

Hipotenüs ve dar açı verilen bir dik üçgenin alanı için formül

S = a*b*sin(α)/ 2,
burada a, b üçgenin bacaklarıdır ve sin(α), a, b çizgilerinin kesiştiği açının sinüsüdür.

Bacak ve karşı açı ile bir dik üçgenin alanı için formül

S = a*b/2*tg(β),
a, b üçgenin bacakları olduğunda, tg(β), a,b bacaklarının bağlandığı açının tanjantıdır.

Bir ikizkenar üçgenin alanı nasıl hesaplanır

İkizkenar üçgen, iki eşit kenarı olan üçgendir. Bu taraflara kenarlar, diğer tarafa ise taban denir. Bir ikizkenar üçgenin alanını hesaplamak için aşağıdaki formüllerden birini kullanabilirsiniz.

Bir ikizkenar üçgenin alanını hesaplamak için temel formül

S=h*c/2,
c üçgenin tabanı olduğunda h, üçgenin tabana indirilmiş yüksekliğidir.

Yan tarafta ve tabanda bir ikizkenar üçgen formülü

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
c üçgenin tabanı olduğunda, a ikizkenar üçgenin kenarlarından birinin değeridir.

Eşkenar üçgenin alanı nasıl bulunur

Eşkenar üçgen, tüm kenarların eşit olduğu bir üçgendir. Bir eşkenar üçgenin alanını hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz:
S = (√3*a*a)/4,
burada a, bir eşkenar üçgenin kenar uzunluğudur.

Yukarıdaki formüller, üçgenin gerekli alanını hesaplamanıza izin verecektir. Üçgenlerin aralığını hesaplamak için üçgenin türünü ve hesaplama için kullanılabilecek mevcut verileri hesaba katmak gerektiğini hatırlamak önemlidir.

Bir üçgenin alanı. Alanların hesaplanmasıyla ilgili birçok geometri probleminde üçgenin alanı için formüller kullanılır. Bunlardan birkaçı var, burada ana olanları ele alacağız.Bu formülleri listelemek çok basit ve yararsız olur. En sık kullanılan ana formüllerin kökenini analiz edeceğiz.

Formüllerin türetilmesine aşina olmadan önce, makaleye baktığınızdan emin olun.Malzemeyi inceledikten sonra, formülleri bellekte kolayca geri yükleyebilirsiniz (sizin için doğru zamanda aniden "uçarlarsa").

İlk formül

Bir paralelkenarın köşegeni onu eşit alana sahip iki üçgene böler:

Bu nedenle, üçgenin alanı paralelkenarın alanının yarısına eşit olacaktır:

Üçgen alan formülü

* Yani, üçgenin herhangi bir tarafını ve bu tarafa indirilen yüksekliği biliyorsak, o zaman bu üçgenin alanını her zaman hesaplayabiliriz.

Formula 2

Paralelkenar alanıyla ilgili makalede daha önce belirtildiği gibi, formül şu şekildedir:

Bir üçgenin alanı, alanının yarısıdır, yani:

*Yani bir üçgende herhangi iki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa, böyle bir üçgenin alanını her zaman hesaplayabiliriz.

Heron formülü (üçüncü)

Bu formülü elde etmek zordur ve buna ihtiyacınız yoktur. Bakın ne kadar güzel, hatırlanıyor diyebiliriz.

*Bir üçgenin üç kenarı verilmişse, bu formülü kullanarak alanını her zaman hesaplayabiliriz.

Formula Dört

nerede ryazılı dairenin yarıçapıdır

*Bir üçgenin üç kenarı ve içinde yazılı dairenin yarıçapı biliniyorsa, o zaman bu üçgenin alanını her zaman bulabiliriz.

formül beş

nerede Rçevrelenmiş dairenin yarıçapıdır.

*Bir üçgenin üç kenarı ve çevrelenmiş dairenin yarıçapı biliniyorsa, o zaman böyle bir üçgenin alanını her zaman bulabiliriz.

Soru ortaya çıkıyor: Bir üçgenin üç tarafı biliniyorsa, Heron formülünü kullanarak alanını bulmak daha kolay değil mi!

Evet daha kolay ama her zaman değil bazen zor oluyor. Kök çıkarma ile ilgisi var. Ek olarak, bu formüller, bir üçgenin alanının verildiği, kenarlarının verildiği ve yazılı veya çevrelenmiş bir dairenin yarıçapını bulmanın gerekli olduğu problemlerde kullanmak için çok uygundur. Bu tür görevler sınava dahildir.

Formüle bir göz atalım:

Bir dairenin yazılı olduğu bir çokgenin alanı için formülün özel bir halidir:

Bir beşgen örneğinde düşünün:

Çemberin merkezini bu beşgenin köşeleriyle birleştiriyoruz ve merkezden yanlarına dikler bırakıyoruz. Düşen dikeylerin yazılı dairenin yarıçapları olduğu beş üçgen elde ederiz:

Beşgenin alanı:

Şimdi, bir üçgenden bahsediyorsak, bu formülün şu şekli aldığı açıktır:

formül altı

Üç kenar ve üç köşeden oluşan en basit geometrik şekil üçgendir. Sadeliği nedeniyle, üçgen eski zamanlardan beri çeşitli ölçümler için kullanılmıştır ve bugün şekil pratik ve günlük sorunları çözmek için yararlı olabilir.

Üçgen özellikleri

Şekil, eski zamanlardan beri hesaplamalar için kullanılmıştır, örneğin, haritacılar ve astronomlar, alanları ve mesafeleri hesaplamak için üçgenlerin özellikleriyle çalışırlar. Bu şeklin alanı aracılığıyla, herhangi bir n-gonun alanını ifade etmek kolaydır ve bu özellik, eski bilim adamları tarafından çokgen alanları için formüller türetmek için kullanılmıştır. Kalıcı işüçgenlerle, özellikle dik üçgenle, matematiğin bütün bir bölümünün temeli haline geldi - trigonometri.

üçgen geometri

Özellikleri geometrik şekil Antik çağlardan beri araştırılmıştır: Üçgen hakkında en eski bilgiler 4000 yıllık Mısır papirüslerinde bulunmuştur. Daha sonra rakam üzerinde çalışıldı. Antik Yunanüçgenin geometrisine en büyük katkıları Öklid, Pisagor ve Heron yapmıştır. Üçgenin incelenmesi hiç durmadı ve 18. yüzyılda Leonhard Euler, figürün ortomerkezi ve Euler çemberi kavramını tanıttı. 19. ve 20. yüzyılların başında, bir üçgen hakkında kesinlikle her şeyin bilindiği göründüğünde, Frank Morley teoremi bir açının trisektörleri üzerinde formüle etti ve Vaclav Sierpinski bir fraktal üçgen önerdi.

Bize tanıdık gelen birkaç düz üçgen türü vardır. okul kursu geometriler:

• dar açılı - şeklin tüm köşeleri keskindir;
• geniş - şeklin bir geniş açısı vardır (90 dereceden büyük);
• dikdörtgen - şekil 90 dereceye eşit bir dik açı içerir;
• ikizkenar - iki eşit kenarı olan bir üçgen;
• eşkenar - tüm kenarları eşit olan bir üçgen.
• AT gerçek hayat her türlü üçgen vardır ve bazı durumlarda geometrik bir şeklin alanını hesaplamamız gerekebilir.

Bir üçgenin alanı

Alan, şeklin düzlemin ne kadarını sınırladığının bir tahminidir. Bir üçgenin alanı, kenarları, yüksekliği, açıları, yazılı veya çevrelenmiş dairenin yarıçapını kullanarak ve ayrıca Heron formülünü kullanarak veya düzlemi sınırlayan çizgiler boyunca çift katlı integrali hesaplayarak altı şekilde bulunabilir. Bir üçgenin alanını hesaplamak için en basit formül:

a üçgenin kenarı olduğunda, h yüksekliğidir.

Ancak pratikte geometrik bir şeklin yüksekliğini bulmak her zaman bizim için uygun değildir. Hesap makinemizin algoritması, aşağıdakileri bilerek alanı hesaplamanıza olanak tanır:

• üç taraf;
• iki taraf ve aralarındaki açı;
• bir taraf ve iki köşe.

Alanı üç kenar açısından belirlemek için Heron formülünü kullanırız:

S = kare (p × (p-a) × (p-b) × (p-c))),

p, üçgenin yarım çevresidir.

İki taraftaki alan ve bir açının hesaplanması klasik formüle göre yapılır:

S = a × b × günah(alfa),

alfa, a ve b kenarları arasındaki açıdır.

Bir kenar ve iki köşeden geçen alanı belirlemek için şu bağıntıyı kullanırız:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gama)

Basit bir orantı kullanarak ikinci kenarın uzunluğunu belirleriz, ardından alanı S = a × b × sin (alfa) formülünü kullanarak hesaplarız. Bu algoritma tamamen otomatiktir ve sadece verilen değişkenleri girmeniz ve sonucu almanız yeterlidir. Birkaç örneğe bakalım.

Gerçek hayattan örnekler

kaldırım levhaları

Diyelim ki zemini üçgen fayanslarla döşemek istiyorsunuz ve miktarını belirlemek istiyorsunuz. gerekli malzeme, bir döşemenin alanını ve zeminin alanını öğrenmelisiniz. Boyutları a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm olan bir karo kullanarak 6 metrekarelik bir yüzey işlemeniz gerektiğini varsayalım.Açıkçası, hesap makinesi bir üçgenin alanını hesaplamak için Heron'un formülünü kullanır ve sonucu ver:

Böylece, bir kiremit elemanının alanı 0.021 metrekare olacak ve zemini iyileştirmek için 6 / 0.021 \u003d 285 üçgene ihtiyacınız olacak. 20, 21 ve 29 sayıları, tatmin edici Pisagor üçlü sayılarını oluşturur. Ve bu doğru, hesap makinemiz üçgenin tüm açılarını da hesapladı ve gama açısı tam olarak 90 derece.

okul görevi

Bir okul probleminde, a \u003d 5 cm kenarının ve yaranın alfa ve beta açılarının sırasıyla 30 ve 50 derece olduğunu bilerek bir üçgenin alanını bulmanız gerekir. Bu problemi manuel olarak çözmek için, önce en-boy oranını ve karşı açıların sinüslerini kullanarak b tarafının değerini buluruz ve sonra S = a × b × sin(alfa) basit formülünü kullanarak alanı belirleriz. Zamandan tasarruf edelim, verileri hesap makinesi formuna girin ve anında cevap alın.

Hesap makinesi kullanırken açıları ve kenarları doğru bir şekilde belirlemek önemlidir, aksi takdirde sonuç yanlış olacaktır.

Çözüm

Üçgen, hem gerçek hayatta hem de soyut hesaplamalarda ortaya çıkan benzersiz bir figürdür. Her türden üçgenin alanını bulmak için çevrimiçi hesap makinemizi kullanın.